Rencana Pembelajarandanangmursita.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2015/08/integral.pdf · Rantai, Turunan Tingkat Tinggi, Fungsi Implisit, Kemonotonan dan Kecekungan Fungsi,

http://danangmursita.staff.telkomuniversity.ac.id/

Page 1 of 29

Rencana Pembelajaran

Learning Outcome

Setelah mengikuti proses pembelajaran ini, diharapkan mahasiswa dapat

1) Menentukan anti turunan dari sebuah fungsi

2) Menyelesaikan integral tentu dengan integrasi ke-x dan integrasi ke-y.

3) Menghitung luas daerah dengan menggunakan integral tentu dengan integrasi ke-x dan

integrasi ke-y.

4) Menghitung luas daerah yang dibatasi oleh dua buah kurva dengan menggunakan integral

tentu.

5) Menghitung volume benda putar dengan sumbu putar merupakan salib sumbu menggunakan

metode kulit tabung dan metode cakram

6) Menghitung volume benda putar dengan sumbu putar garis yang sejajar dengan salib sumbu

menggunakan metode kulit tabung dam metode cakram

Prasyarat

Pokok bahasan yang harus dipelajari oleh mahasiswa sebelum mengikuti perkuliahan

integral dan penerapannya, adalah

Fungsi Real: Sistem Bilangan Real, Fungsi dan Grafik, Limit dan kekontinuan, Limit tak

Hingga dan Limit di Tak Hingga

Turunan dan Penggunaan: Turunan Fungsi, Turunan Fungsi Trigonometri, Teorema

Rantai, Turunan Tingkat Tinggi, Fungsi Implisit, Kemonotonan dan Kecekungan Fungsi,

Nilai Ekstrim dan Asymtot, Dalil Delhopital

Referensi Untuk mendukung dan mempermudah dalam mempelajari materi integral dan

penggunaannya, disarankan untuk menggunakan buku berikut

Mursita, Danang. (2011). Matematika untuk Perguruan Tinggi. Rekayasa Sains.

Bandung. http://biobses.com/judul-buku,300-

matematika_untuk_perguruan_tinggi.html

Holdbrook, Jerita. Calculus at Work. Chapter 7 Applications of Definite Integrals.

Integral Tentu http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-01sc-single-variable-

calculus-fall-2010/unit-3-the-definite-integral-and-its-applications/

http://biobses.com/judul-buku,300-matematika_untuk_perguruan_tinggi.html

http://biobses.com/judul-buku,300-matematika_untuk_perguruan_tinggi.html

http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-01sc-single-variable-calculus-fall-2010/unit-3-the-definite-integral-and-its-applications/

http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-01sc-single-variable-calculus-fall-2010/unit-3-the-definite-integral-and-its-applications/


Page 2 of 29

1 Integral Tak Tentu

Misal diberikan fungsi 𝐹(𝑥) = 𝑥2, maka turunan dari fungsi F(x) dinyatakan dengan 𝐹(𝑥)

𝑑𝑥= 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥) = 2𝑥. Fungsi 𝑓(𝑥) = 2𝑥 dikatakan sebagai anti turunan dari fungsi 𝐹(𝑥) =

𝑥2. Bagaimana cara anda menjelaskan bahwa fungsi 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 juga merupakan anti

turunan dari fungsi berikut: 𝑭(𝒙) = 𝒙𝟐 + 𝟐, 𝑭(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟑, dan 𝑭(𝒙) = 𝒙𝟐 +𝟏

𝟐 ? Secara

umum, dapat dikatakan bahwa fungsi 𝐹(𝑥) = 𝑥2 + 𝐶 merupakan anti turunan dari fungsi 𝐹′(𝑥) =

𝑓(𝑥) = 2𝑥 dengan 𝐶 merupakan merupakan sembarang konstanta (bilangan real).

Perhatikan definisi berikut. Fungsi 𝐹(𝑥) disebut anti turunan dari 𝑓(𝑥) bila 𝐹′(𝑥) =

𝑓(𝑥) . Proses mencari anti turunan disebut integrasi (integral). Notasi yang digunakan untuk

menyatakan integral dari fungsi 𝑓(𝑥) = 2𝑥 adalah ∫ 2𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥2 + 𝐶. Secara umum dapat

dituliskan ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶 dengan 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥). Bentuk integral ini disebut integral tak

tentu.

Lantas, bagaimana cara kita menyelesaikan integral berikut, ∫ 𝑥2 𝑑𝑥? Perhatikan fungsi

𝐹(𝑥) = 𝐴 𝑥𝑛 + 𝐶 dengan n dan 𝐶 merupakan bilangan real. Turunan dari fungsi 𝐹(𝑥) = 𝐴 𝑥𝑛 +

𝐶 adalah 𝐹′(𝑥) = 𝐴 𝑛 𝑥𝑛−1. Dengan menggunakan notasi integral maka diperoleh,

∫ 𝐴 𝑛 𝑥𝑛−1 𝑑𝑥 = 𝐴 𝑥𝑛 + 𝐶

Kalau kita ingin menyelesaikan integral ∫ 𝑥2 𝑑𝑥 maka kita bandingkan dengan integral di atas,

∫ 𝐴 𝑛 𝑥𝑛−1 𝑑𝑥,

∫ 𝑥2 𝑑𝑥 = ∫ 𝐴 𝑛 𝑥𝑛−1 𝑑𝑥

Diperoleh, 2 = n -1 atau n = 3 dan An = 1, sehingga 𝐴 =1

3. Jadi, ∫ 𝑥2 𝑑𝑥 =

1

3 𝑥3 + 𝐶.

Secara umum, dapat dituliskan rumusan, ∫ 𝑥𝑛−1 𝑑𝑥 =1

𝑛 𝑥𝑛 + 𝐶 atau dapat juga dituliskan

menjadi,

∫ 𝑥𝑛 𝑑𝑥 =1

𝑛 + 1𝑥𝑛+1 + 𝐶

Sebab n adalah bilangan real, maka dapat dipilih n = -1. Tetapi, rumusan tersebut menjadi tidak

terdefinisi, mengapa? Jelaskan. Agar rumusan itu berlaku atau benar, maka nilai n = -1 harus

dikeluarkan, sehingga rumusan menjadi,

∫ 𝑥𝑛 𝑑𝑥 =1

𝑛 + 1𝑥𝑛+1 + 𝐶 , 𝑛 ≠ −1

Bila diminta menyelesaikan integral ∫ 5 𝑥2 𝑑𝑥 maka menggunakan uraian di atas diperoleh 2 = n

– 1 atau n = 3 dan An = 3A = 5 atau 𝐴 =5

3, sehingga ∫ 5 𝑥2 𝑑𝑥 =

5

3𝑥3 + 𝐶. Secara umum, dapat

diperoleh rumusan,

∫ 𝐴 𝑥𝑛 𝑑𝑥 =𝐴

𝑛 + 1𝑥𝑛+1 + 𝐶 , 𝑛 ≠ −1


Page 3 of 29

Rumusan di atas dapat digunakan untuk menyelesaikan integral berikut, ∫ [𝑥3 − 2𝑥 +3

√𝑥+ 2] 𝑑𝑥.

Bentuk integral tersebut diselesaikan,

∫ [𝑥3 − 2𝑥 +3

√𝑥+ 2] 𝑑𝑥 = ∫ [𝑥3 − 2𝑥 + 3𝑥

−12⁄ + 2] 𝑑𝑥

= ∫ 𝑥3 𝑑𝑥 − ∫ 2𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 3 𝑥−1

2⁄ 𝑑𝑥 + ∫ 2 𝑑𝑥

=1

4𝑥4 −

2

2𝑥2 +

3

12⁄

𝑥1

2⁄ + 2𝑥 =1

4𝑥4 −

2

2𝑥2 + 6 𝑥

12⁄ + 2𝑥

Bagaimana anda menyelesaikan integral, ∫ 𝒙 √𝒙 𝒅𝒙 ? Selanjutnya, tuliskan kembali turunan

dari fungsi trigonometri berikut, 𝒇(𝒙) = 𝐬𝐢𝐧 𝒙, 𝒇(𝒙) = 𝐜𝐨𝐬 𝒙, 𝒇(𝒙) = 𝐬𝐞𝐜 𝒙, 𝒇(𝒙) =

𝐜𝐬𝐜 𝒙, 𝒇(𝒙) = 𝐭𝐚𝐧 𝒙, 𝐝𝐚𝐧 𝒇(𝒙) = 𝐜𝐨𝐭 𝒙, kemudian nyatakan anti turunan dari fungsi

trigonometri tersebut dengan menggunakan notasi integral. Misalkan turunan fungsi

𝒇(𝒙) = 𝐬𝐢𝐧 𝒙 adalah 𝒇′(𝒙) = 𝐜𝐨𝐬 𝒙, maka diperoleh, ∫ 𝐜𝐨𝐬 𝒙 𝒅𝒙 = 𝐬𝐢𝐧 𝒙 + 𝑪.

Bila diberikan fungsi komposisi, 𝑓[𝑔(𝑥)], maka turunannya adalah 𝑑[𝑓(𝑔(𝑥))]

𝑑𝑥=

𝑔′(𝑥) 𝑓′(𝑔(𝑥)). Misal diberikan fungsi 𝑦 = sin(𝑥2). Bila dinyatakan dalam bentuk fungsi

komposisi, 𝑦 = 𝑓(𝑔(𝑥)), maka diperoleh 𝑓(𝑔(𝑥)) = sin(𝑔(𝑥)) dan 𝑔(𝑥) = 𝑥2, sehingga

turunannya adalah 𝑑[𝑓(𝑔(𝑥))]

𝑑𝑥=

𝑑[𝑠𝑖𝑛(𝑥2)]

𝑑𝑥= (2𝑥) cos(𝑥2). Dalam notasi integral dapat dituliskan,

∫ 2𝑥 cos(𝑥2) 𝑑𝑥 = sin(𝑥2) + C. Jadi secara umum, dapat diperoleh rumusan,

∫ 𝑔′(𝑥) 𝑓(𝑔(𝑥)) 𝑑𝑥 = 𝐹(𝑔(𝑥)) + 𝐶

dengan 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥)

Misalkan 𝑔(𝑥) = 𝑢 , maka 𝑔′(𝑥) =𝑑𝑢

𝑑𝑥 atau 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑑𝑢. Sehingga bentuk integral di atas dapat

dituliskan sebagai berikut,

∫ 𝑔′(𝑥) 𝑓(𝑔(𝑥)) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢

Integral berikut dxxxx 121 2 dapat diselesaikan dengan memisalkan 𝑢 = 𝑥2 + 2𝑥 − 1,

sehingga 𝑑𝑢 = (2𝑥 + 2)𝑑𝑥 = 2 (𝑥 + 1)𝑑𝑥 atau 1

2 𝑑𝑢 = (𝑥 + 1)𝑑𝑥. Integral dapat diselesaikan

sebagai berikut,

∫(𝑥 + 1)√𝑥2 + 2𝑥 − 12

𝑑𝑥 = ∫1

2√𝑢2 𝑑𝑢 = ∫

1

2𝑢

12⁄ 𝑑𝑢 =

1

3𝑢

32⁄ + 𝐶

=1

3(𝑥2 + 2𝑥 − 1)

32⁄ + 𝐶

2 Definisi Integral Tentu

Bila kita mengendarai kendaraan bermotor (sepeda motor atau mobil) selama 4 jam dengan

kecepatan 50 km / jam, berapa jarak yang ditempuh? Tentu saja jawabnya sangat mudah yaitu 50


Page 4 of 29

x 4 = 200 km. Tetapi, apakah hal ini dapat terjadi dalam kehidupan sehari-hari, bahwa seseorang

dapat mengendari kendaraan selama 4 jam berturut-turut dengan kecepatan konstan? Mustahil

terjadi, meskipun di jalan tol sekalipun. Bisa jadi, satu jam pertama ditempuh dengan kecepatan

60 km / jam, setengah jam berikutnya dengan kecepatan 20 km/jam, dua jam selanjutnya dengan

kecepatan 40 km / jam dan setengah jam sisanya ditempuh dengan kecepatan 70 km/jam. Lantas,

bila terjadi seperti kondisi tersebut maka berapa jarak tempuh selama 4 jam? Untuk menjawab

permasalahan tersebut dapat ditunjukkan dengan Gambar 1 berikut.

Gambar 1 Jarak Tempuh

Daerah yang diarsir pada Gambar 1 merupakan jarak tempuh, sehingga jarak tempuh

selama 4 jam dihitung sebagai berikut, (60 x 1) + (20 x ½) + (40 x 2) + (70 x ½) = 220 km. Jadi,

jarak tempuh sebagaimana diperlihatkan pada Gambar 1 merupakan luas dari daerah yang diarsir.

Pendekatan menghitung luas daerah (jarak tempuh) akan dipergunakan untuk membantu

mendefinisikan pengertian integral tentu.

Diberikan permasalahan tentang menghitung luas daerah yang bentuknya tidak beraturan.

Misalkan diberikan daerah tertutup D yang dibatasi diatas oleh kurva 𝑦 = 𝑥2, dibawah oleh sumbu

X, disamping kiri oleh sumbu Y, dan disamping kanan oleh garis x = 2. Daerah D diperlihatkan

oleh Gambar 2 berikut.

Gambar 2 Daerah D


Page 5 of 29

Untuk menghitung luas daerah D, maka dilakukan pendekatan luas segiempat. Perhatikan

bila interval [0,2], dibagi menjadi dua sub interval, maka dapat dibuat segiempat yang terletak di

dalam daerah D, seperti terlihat pada Gambar 3 (i). Bila interval [0,2] dibagi menjadi empat sub

interval, maka akan ada tiga segiempat yang terletak di dalam daerah D, Gambar 3 (ii) dan bila

[0,2] dibagi menjadi enam sub interval, maka ada lima segiempat yang terletak di dalam daerah

D, Gambar 3 (iii).

Perhatikan Gambar 3, hanya tersedia gambar (i) sampai dengan gambar (iii). Lengkapilah

tabel berikut. Bagaimana cara anda menentukan untuk banyak partisi dan jumlah luas

partisi untuk gambar (iv) dan gambar (v)? Jelaskan jawaban anda.

Gambar 2-3 (i) (ii) (iii) (iv) (v)

Banyak partisi segiempat

Jumlah Luas partisi segiempat

(i) (ii) (iii)

Gambar 3 Partisi (Segiempat) dalam Daerah D

Misalkan luas daerah D disingkat dengan LD dan jumlah luas segiempat yang terletak di

dalam daerah D disingkat dengan PD.

Apakah yang bisa anda ketahui tentang LD dan PD?

Adakah hubungan yang bisa anda simpulkan tentang nilai LD dan PD?

Bila interval [0,2] dibuat banyak sekali (banyaknya bisa mendekati tak

hingga) sub interval, apakah kesimpulan anda masih berlaku?

Perhatikan Gambar 4, hanya tersedia gambar (i) sampai dengan gambar (iii). Lengkapilah

tabel berikut. Bagaimana cara anda menentukan banyak partisi dan jumlah luas partisi

untuk gambar (iv) dan gambar (v)? Jelaskan jawaban anda.


Page 6 of 29

Gambar 1-4 (i) (ii) (iii) (iv) (v)

Banyak partisi segiempat

Jumlah luas partisi segiempat

(i) (ii) (iii)

Gambar 4 Partisi (Segiempat) diluar Daerah D

Sekarang perhatikan bila interval [0,2] dibuat menjadi dua sub interval maka terdapat dua

segiempat yang terletak di luar daerah D, Gambar 4 (i). Bila interval [0,2] dibuat menjadi empat

dan enam sub interval maka berturut-turut didapatkan empat dan enam segiempat, Gambar 4 (ii)

dan (iii). Misalkan jumlah luas segiempat yang terjadi dinyatakan dengan PL.

Apa yang bisa anda simpulkan tentang nilai dari LD dan PL?

Adakah hubungan antara LD dan PL?

Misalkan interval [0,2] dibuat menjadi sebanyak n buah sub interval (n

banyak sekali dan bahkan mendekati tak hingga), apakah kesimpulan anda

masih berlaku?

Perhatikan Gambar 2. Misalkan interval [0,2] dibagi menjadi sebanyak n sub interval yaitu

0 = x1 < x2 < x3 < …< xk<…< xn = 2. Maka diperoleh nilai dari PD (jumlah luas partisi segiempat

yang terletak di dalam daerah D) dan PL (jumlah luas partisi segiempat yang terletak di luar

daerah D) sebagai berikut

k

n

kkkk

n

kk xxfxxxfPD

011

11

k

n

kkkk

n

kk xxfxxxfPL

11

1

Notasi sigma diatas seringkali dinamakan dengan jumlah Riemann. Secara visualisasi dan

perhitungan, nampak bahwa


Page 7 of 29

PD ≤ LD ≤ PL atau k

n

kkk

n

kk xxfLDxxf

101

Bila n (n menuju atau mendekati tak hingga) maka akan diperoleh bahwa 0xk

maka akan diperoleh limit jumlah Riemann dari luasan tersebut yaitu

k

n

kk

nk

n

kk

nxxflimLDxxflim

101 atau

k

n

kk

xk

n

kk

xxxflimLDxxflim

kk

100

10

Sebab ruas kiri dan ruas kanan bernilai sama maka dapat dituliskan

k

n

kk

nk

n

kk

xxxflimxxflimLD

k

110

Misal diberikan daerah D yang dibatasi oleh fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑓(𝑥) > 0, sumbu X, garis

𝑥 = 𝑎, dan garis 𝑥 = 𝑏 yang didefinisikan pada suatu interval tutup [a,b], diperlihatkan oleh daerah

yang diarsir pada Gambar 5 berikut.

Gambar 5. Daerah D

Perhitungan luas daerah D dapat juga dilakukan dengan menghitung jumlah luas partisi

segiempat, namun partisi segiempat tersebut bukan partisi yang terletak di dalam ataupun diluar

daerah D.

Perhatikan Gambar 6. Misal dipilih sembarang nilai 𝑥 = 𝑥1 di antara a dan b.

Selanjutnya dibuat segiempat dengan tinggi 𝑓(𝑥1) dan lebar (b – a), maka luas

segiempat adalah 𝐿1 = (𝑏 − 𝑎) 𝑓(𝑥1).

D


Page 8 of 29

Gambar 6

Perhatikan Gambar 7. Misal dipilih dua nilai 𝑥 = 𝑐1 dan 𝑥 = 𝑐2 di antara a dan b.

Selanjutnya dibuat segiempat dengan tinggi 𝑓(𝑐1), lebar (𝑥1 − 𝑎) dan tinggi 𝑓(𝑥2),

lebar (𝑏 − 𝑥1) maka jumlah luas dua segiempat adalah 𝐿2 = (𝑥1 − 𝑎)𝑓(𝑐1) +

(𝑏 − 𝑥1)𝑓(𝑥2).

Gambar 7

Perhatikan Gambar 8. Misal dipilih tiga nilai 𝑥 = 𝑐1, 𝑥 = 𝑐2, dan 𝑥 = 𝑐3 yang terletak

di antara a dan b. Selanjutnya dibuat segiempat (1) tinggi 𝑓(𝑐1), lebar (𝑥1 − 𝑎); (2)

tinggi 𝑓(𝑥2), lebar (𝑥2 − 𝑥1); dan (3) tinggi 𝑓(𝑥3), lebar (𝑏 − 𝑥2), maka jumlah luas

tiga segiempat adalah 𝐿3 = (𝑥1 − 𝑎)𝑓(𝑐1) + (𝑥2 − 𝑥1)𝑓(𝑥2) + (𝑏 − 𝑥2)𝑓(𝑥3)


Page 9 of 29

Gambar 8

Bagaimana cara yang harus dilakukan untuk menentukan jumlah luas n buah segiempat?

Perhatikan Gambar 9. Pandang segiempat ke – k (partisi ke – k) dengan lebar partisi

1 kkk xxx dan panjang partisi kxf , sehingga luas segiempat (partisi) ke-k adalah

kk xxf dengan 𝑥𝑘̅̅ ̅ terletak pada interval (𝑥𝑘−1, 𝑥𝑘). Sebab fungsi 𝑓(𝑥) > 0 maka nilai dari

0kxf dan 0 kk xxf sebab 1 kkk xxx selalu positif. Bila fungsi 𝑓(𝑥) terletak

dibawah sumbu X maka nilai kxf dan kk xxf juga akan negatif. Oleh karena itu, jumlah

Riemann dari partisi bisa bernilai positif atau bernilai negatif.

Gambar 9

Misalkan interval [a,b] dibagi menjadi n sub interval (dalam hal ini diambil yang

panjangnya sama walaupun hal ini tidaklah mutlak), misal bxx....xxa nn 110 dan

1 kkk xxxx . Pada setiap sub interval kk x,x 1 kita ambil suatu titik kx (titik

sembarang namun untuk memudahkan penjelasan dipilih titik tengah sub interval) yaitu


Page 10 of 29

2

1 kk

kxx

x . Partisi yang terbentuk merupakan segiempat dengan ukuran x dan kxf

sebagai lebar dan panjang partisi, sehingga luas tiap partisi adalah xxf k . Oleh karena itu

didapatkan jumlah luas partisi pada interval [a,b] yaitu :

n

kk xxf

1

. Jumlah ini dinamakan

jumlah Riemann untuk 𝑓(𝑥) yang bersesuaian dengan partisi. Maka luas daerah yang dibatasi

oleh 𝑦 = 𝑓(𝑥), garis 𝑥 = 𝑎, garis 𝑥 = 𝑏, dan sumbu X akan didekati oleh jumlah Riemann di atas

bila diambil n (n mendekati tak hingga). Dari sini dapat didefinisikan suatu integral tentu

yaitu integral dari fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥) pada suatu interval [a,b].

Definisi Integral Riemann

Misal fungsi 𝑓(𝑥) kontinu pada interval [a,b], xn

abxk

lebar partisi yang terletak

pada interval [a,b], 𝑎 = 𝑥0, 𝑏 = 𝑥𝑛, 2

1 kk

kxx

x , maka integral dari 𝑓(𝑥) atas interval [a,b]

didefinisikan sebagai limit jumlah Riemann,

n

kk

n

b

a

k

n

kxxxflimxxflimdx)x(f

110

Bila limit ada maka fungsi 𝑓(𝑥) dikatakan integrabel (dapat diintegralkan) pada interval

[a,b]. Integral ini disebut Integral Riemann atau Integral Tentu.

3 Teorema Dasar Kalkulus

Misal fungsi 𝑓(𝑥) kontinu pada [a,b] dan fungsi 𝐹(𝑥) adalah anti turunan dari fungsi 𝑓(𝑥),

maka berlaku b

a

)a(F)b(Fdx)x(f

Dari bentuk integral tentu b

a

dx)x(f maka fungsi 𝑓(𝑥) dinamakan integran, bilangan a

dinamakan batas bawah integral dan bilangan b dinamakan batas atas integral. Penerapan dari

teorema dasar kalkulus pertama diperlihatkan berikut. Selesaikan integral tentu 2

0

12 dxx . Anti

turunan dari integran 12 x)x(f adalah xx)x(F 2 . Dengan menerapkan teorema dasar

kalkulus pertama maka diperoleh 6122

02

2

0

xxdxx . Nilai integral ini positif sebab

integran 12 x)x(f positif pada interval [0,2].


Page 11 of 29

Bila fungsi 𝑓(𝑥) < 0 pada interval [a,b] maka nilai integral ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥𝑏

𝑎< 0. Tunjukkan

bahwa fungsi 𝒇(𝒙) = −𝟑𝒙 + 𝟑 bernilai negatif pada interval [1,3]? Berapa nilai dari integral

∫ (−𝟑𝒙 + 𝟑) 𝒅𝒙𝟑

𝟏 ? Selanjutnya, mungkinkah nilai dari integral sebuah fungsi kontinu akan

bernilai 0 (nol)? Jelaskan jawaban Anda.

Bila dua buah fungsi 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥) integrabel (dapat diintegralkan) pada interval [a,b],

dan berlaku 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) untuk setiap nilai x pada interval [a,b], 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], maka berlaku sifat

perbandingan yaitu b

a

b

a

dx)x(gdx)x(f . Misal diberikan fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 −

3 dan 𝑔(𝑥) = 1 − 2𝑥 maka berlaku 𝑓(𝑥) ≤ 𝑔(𝑥) untuk setiap nilai x pada interval [-2, 2].

Bagaimana cara anda menunjukkan bahwa berlaku 𝒇(𝒙) ≤ 𝒈(𝒙) untuk setiap nilai x pada

interval [-2, 2]? Selanjutnya hitunglah nilai integral ∫ 𝒇(𝒙)𝒅𝒙𝟐

−𝟐 , ∫ 𝒈(𝒙)𝒅𝒙

𝟐

−𝟐 ,

∫ [𝒈(𝒙) − 𝒇(𝒙)]𝒅𝒙𝟐

−𝟐 , dan ∫ [𝒇(𝒙) − 𝒈(𝒙)]𝒅𝒙

𝟐

−𝟐.

Misal diberikan integral ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎 dan nilai c terletak pada interval [a,b], maka dapat

dituliskan ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎= ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑐

𝑎+ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑏

𝑐. Bentuk integral ini dapat digunakan untuk

menyelesaikan integral ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥3

−2 dengan fungsi

23

201

02

2 x,x

x,x

x,

)x(f . Perhatikan bahwa

fungsi 𝑓(𝑥) terdefinisi untuk tiga buah interval yaitu 𝑥 < 0, 0 < 𝑥 < 2, dan 𝑥 > 2 sehingga

penyelesaian integral diberikan berikut,

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥3

−2

= ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥0

−2

+ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥2

0

+ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥3

2


−2

= ∫ −2 𝑑𝑥0

−2

+ ∫ (1 + 𝑥) 𝑑𝑥2

0

+ ∫ 3𝑥2 𝑑𝑥3

2


−2

= −2𝑥 |0

−2+ (𝑥 +

1

2𝑥2) |

2

0+ 𝑥3 |

3

2


−2

= [0 − (−4)] + [(2 + 2) − 0] + [27 − 8] = 27

Lantas, bagaimana cara menyelesaikan ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙𝟓

𝟎? Uraian secara detail jawaban Anda.

Kemudian selesaikan integral ∫ (𝟐𝒙 − 𝟏) 𝒅𝒙𝟐

𝟐 , ∫ (𝟐𝒙 − 𝟏) 𝒅𝒙

𝟐

𝟎, ∫ (𝟐𝒙 − 𝟏) 𝒅𝒙

𝟎

𝟐. Kesimpulan

apa yang bisa Anda peroleh?


Page 12 of 29

4 Integral Fungsi Genap, Fungsi Ganjil, dan Fungsi Komposisi

Bila fungsi 𝑓(𝑥) merupakan fungsi ganjil, yaitu 𝑓(−𝑥) = −𝑓(𝑥) maka integral

a

a

dx)x(f 0 .

Bila fungsi 𝑓(𝑥) merupakan fungsi genap, yaitu 𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) maka integral

a

a

a

a

dx)x(fdx)x(f 2 .

Misal diberikan fungsi 𝑓(𝑥) = −𝑥3. Apakah fungsi tersebut merupakan fungsi ganjil, genap

atau tidak kedua-duanya? Selain menggunakan definisi, apakah ada cara untuk menyelidiki

bahwa fungsi tersebut ganjil, genap atau tidak kedua-duanya? Jelaskan. Selanjutnya berapa

nilai dari ∫ −𝒙𝟑 𝒅𝒙𝟎

−𝟏 , ∫ −𝒙𝟑 𝒅𝒙

𝟏

𝟎, 𝐝𝐚𝐧 ∫ −𝒙𝟑 𝒅𝒙

𝟏

−𝟏 ?

Pada integral tentu, juga berlaku integral fungsi komposisi, yaitu

)b(g

)a(g

b

a

du)u(fdx)x('g)x(gf . Contoh dari bentuk integral fungsi komposisi ini diperlihatkan

berikut, ∫ 8𝑥 √7 + 2𝑥2 𝑑𝑥3

−3. Penyelesaian dilakukan dengan mendapatkan solusi integral tak

tentu ∫ 8𝑥 √7 + 2𝑥2 𝑑𝑥 dan memisalkan 𝑢 = 7 + 2𝑥2, sehingga 𝑑𝑢 = 4𝑥 𝑑𝑥 atau 2 𝑑𝑢 = 8𝑥 𝑑𝑥.

Jadi diperoleh,

∫ 8𝑥 √7 + 2𝑥2 𝑑𝑥 = ∫ 2𝑢1

2⁄ 𝑑𝑢 =4

3 𝑢

32⁄ =

4

3(7 + 2𝑥2)

32⁄

Integral tentu diselesaikan berikut,

∫ 8𝑥 √7 + 2𝑥2 𝑑𝑥3

−3

= [4

3(7 + 2𝑥2)

32⁄ ]

3

−3= 0

Apakah pengerjaan di atas, juga dapat dilakukan seperti uraian berikut? Berikan komentar

Anda.

(1) Dimisalkan 𝒖 = 𝟕 + 𝟐𝒙𝟐, sehingga 𝒅𝒖 = 𝟒𝒙 𝒅𝒙 atau 𝟐 𝒅𝒖 = 𝟖𝒙 𝒅𝒙

(2) ∫ 𝟖𝒙 √𝟕 + 𝟐𝒙𝟐 𝒅𝒙𝟑

−𝟑= ∫ 𝟐𝒖

𝟏𝟐⁄ 𝒅𝒖

𝟑

−𝟑

(3) ∫ 𝟐𝒖𝟏

𝟐⁄ 𝒅𝒖𝟑

−𝟑= [

𝟒

𝟑(𝟕 + 𝟐𝒙𝟐)

𝟑𝟐⁄ ] 𝟑

−𝟑

(4) [𝟒

𝟑(𝟕 + 𝟐𝒙𝟐)

𝟑𝟐⁄ ] 𝟑

−𝟑=

𝟒

𝟑[(𝟕 + 𝟐(𝟗))

𝟑𝟐⁄ − (𝟕 + 𝟐(𝟗))

𝟑𝟐⁄ ] = 𝟎

5 Fungsi dalam Notasi Integral


Page 13 of 29

Misal fungsi 𝑓(𝑥) kontinu pada [a,b], maka terdapat nilai c di dalam interval (a,b), 𝑐 ∈

(𝑎, 𝑏) sehingga berlaku )ab()c(fdx)x(fb

a

. Bentuk integral ini dikatakan sebagai Nilai

Rata-rata Integral, dengan 𝑓(𝑐) =∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

𝑏𝑎

𝑏−𝑎 merupakan nilai rata-rata integral dari fungsi 𝑓(𝑥).

Pengertian nilai rata-rata integral ini akan digunakan untuk mendapatkan turunan dari fungsi dalam

notasi integral.

Misal fungsi 𝑓(𝑥) kontinu pada interval [a,b] dan diberikan fungsi x

a

dttfxg )()( .

Menggunakan pengertian dari turunan maka akan diperoleh,

h

xghxg

dx

dg

h

)()(lim

0

(definisi turunan)

h

dttfdttf

dx

dg

x

a

hx

a

h

)()(

lim0

(definisi fungsi x

a

dttfxg )()( )

h

dttfdttf

dx

dg

a

x

hx

a

h

)()(

lim0

(sifat integral ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = − ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎

𝑎

𝑏)

h

dttf

dx

dg

hx

x

h

)(

lim0

(sifat integral ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎= ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑐

𝑎+ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

𝑏

𝑐)

Perhatikan ruas kanan (yang terletak di dalam kurung). Nilai tersebut merupakan nilai rata-

rata dari integral fungsi 𝑓(𝑡) pada interval [x, x+h], sehingga dapat dituliskan

cfh

dt)t(fhx

x

dengan c terletak pada interval [x, x+h]

Oleh karena itu dapat didapatkan, cfdx

dg

h 0lim

Apa yang terjadi pada c, bila h mendekati nol? Mengapa? Jelaskan jawaban anda. Akhirnya

kita peroleh xfcflimh

0

, sehingga )(xfdx

dg . Dari bentuk terakhir ini, apabila dihadapkan

suatu fungsi dalam notasi integral x

a

dttfxg )()( , maka turunan dari fungsi 𝑔(𝑥) adalah 𝑓(𝑥).


Page 14 of 29

Misal diberikan fungsi 𝑔(𝑥) = ∫𝑡

√𝑡+1 𝑑𝑡

𝑥

1, maka untuk mendapatkan turunan dari fungsi 𝑔(𝑥)

tanpa harus menyelesaikan integral terlebih dahulu, namun cukup dengan mensubstitusikan x

dengan t pada integran, sehingga turunan dari 𝐹(𝑥) adalah

𝑑𝑔

𝑑𝑥= 𝑓(𝑥) =

𝑥

√𝑥 + 1

Lantas bagaimana mendapatkan turunan dari sebuah fungsi dalam notasi integral namun

batas atas integral tidak hanya x, misalkan 𝑔(𝑥) = ∫ √𝑡 sin 𝑡 𝑑𝑡2𝑥+1

1. Atau bahkan batas atas dan

batas bawah juga merupakan fungsi dalam x, seperti

2

1

1)(

2

x

x

dtt

xg . Untuk menyelesaikan

turunan dari fungsi tersebut akan diuraiakn penjelasan berikut.

Bila fungsi 𝑔(𝑥) yang dinyatakan dalam notasi integral,

)x(v

)x(w

dt)t(f)x(g , maka untuk

mendapatkan turunan dari fungsi 𝑔(𝑥) dilakukan sebagai berikut. Misalkan 𝐹(𝑥) merupakan anti

turunan dari fungsi 𝑓(𝑥), 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥) maka berdasarkan teorema dasar kalkulus, integral dapat

dituliskan menjadi

)x(wF)x(vFdt)t(f)x(g

)x(v

)x(w

Turunan dari fungsi 𝑔(𝑥) dicari dengan mencari turunan pertama dari fungsi komposisi

𝐹(𝑣(𝑥)) dan 𝐹(𝑤(𝑥)) yaitu

)x('v)x(v'F

dx

)x(vdF dan

)x('w)x(w'F

dx

)x(wdF

Sehingga turunan dari fungsi 𝑔(𝑥) adalah )x('w)x(w'F)x('v)x(v'F)x('g . Sebab

fungsi 𝐹(𝑥) merupakan anti turunan dari fungsi 𝑓(𝑥) maka turunan pertama dari fungsi 𝑔(𝑥)

dinyatakan sebagai berikut,

)x('w)x(wf)x('v)x(vf)x('g

atau

)x('w)x(wf)x('v)x(vfdt)t(fdx

d)x(v

)x(w

Hal ini berarti bahwa untuk mendapatkan turunan dari fungsi yang dinyatakan dengan

notasi integral dapat dilakukan tanpa harus menghitung integralnya terlebih dahulu, namun cukup

dengan melihat bentuk integrannya. Misal diberikan fungsi dtt)x(gx

x

2

2

2 1 . Integran dari

bentuk integral ini adalah 𝑓(𝑡) = √𝑡2 + 1 , batas atas integral 𝑣(𝑥) = 𝑥2, dan batas bawah


Page 15 of 29

integral 𝑤(𝑥) = 2𝑥. Bila digunakan rumusan )x('w)x(wf)x('v)x(vf)x('g maka

diperoleh hasil turunan dari fungsi 𝑔(𝑥),

𝑔′(𝑥) = 𝑓(𝑥2) (2𝑥) + 𝑓(2𝑥) (2)

𝑔′(𝑥) = √(𝑥2)2 + 1 (2𝑥) + √(2𝑥)2 + 1 (2)

𝑔′(𝑥) = 2𝑥 √𝑥4 + 1 + 2√4𝑥2 + 1

6 Luas Daerah

Perhatikan daerah D merupakan daerah yang diarsir pada Gambar 10. Daerah D merupakan

bentuk bangun segitiga, luas segitiga merupakan ½ dikalikan alas (6) dan tinggi (3). Adakah cara

lain untuk mendapatkan luas segitiga dengan bantuan integral? Mengapa harus dilakukan dengan

menggunakan metode integral? Integral dapat digunakan untuk mendapatkan luasan daerah yang

tidak beraturan dengan cara yang lebih mudah. Ingat penjelasan awal sub bab integral tentu. Bila

diterapkan integral tentu untuk menghitung luas daerah D maka diperoleh bentuk integral berikut

dan tunjukkan bahwa L = 9.

𝐿 = ∫ (𝑥 + 4) 𝑑𝑥−1

−4

+ ∫ (−𝑥 + 2) 𝑑𝑥2

−1

Gambar 10 Daerah D

Secara umum, penjelasan penerapan integral tentu untuk menghitung luas daerah yang

dibatasi oleh kurva dan atau garis diberikan berikut. Misal suatu daerah D dibatasi oleh kurva 𝑦 =

𝑓(𝑥) ≥ 0, garis x = a , garis x = b, dan sumbu X (perhatikan Gambar 11 (a)), maka luas daerah

dihitung dengan integral tentu sebagai berikut :

b

a

dx)x(fL

Bila fungsi 𝑓(𝑥) terletak di bawah sumbu X, 𝑓(𝑥) ≤ 0 maka integral dari fungsi 𝑓(𝑥)

pada interval [a,b] akan bernilai negatif atau nol. Oleh karena itu luas daerah yang dibatasi oleh

kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥) ≤ 0, garis x = a, garis x = b, dan sumbu X (Perhatikan Gambar 11 (b)) dituliskan

sebagai berikut :


Page 16 of 29

b

a

dx)x(fL

Gambar 11. Daerah D

Misal diberikan daerah D yang dibatasi oleh kurva 𝑓(𝑥) = 𝑥(𝑥2 − 1), garis 𝑥 = −1, garis

𝑥 = 1, dan sumbu X, sebagaimana ditunjukkan oleh Gambar 12. Perhatikan bahwa daerah D

terdiri dari dua daerah, terletak di atas sumbu X untuk interval [-1,0] dan terletak di bawah sumbu

X untuk interval [0,1]. Nilai integral fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥(𝑥2 − 1) atas interval [-1,0] dan interval [0,1]

berturut-turut adalah positif dan negatif, sehingga luas daerah D dapat dinyatakan dengan,

𝐿 = ∫ 𝑥(𝑥2 − 1)𝑑𝑥0

−1

− ∫ 𝑥(𝑥2 − 1) 𝑑𝑥1

0

Gambar 12 daerah D

Bagaimana penyelesaian detail dari integral di atas? Masih dengan menerapkan integral

tentu, apakah ada cara lain untuk mendapatkan luas daerah D pada Gambar 3-3? Jelaskan.

Bentuk integral tentu yang dipakai untuk menghitung luas daerah D diatas, integrasi

dilakukan ke-x. Kadang dijumpai daerah D akan lebih mudah dihitung luasnya dengan integrasi

ke-y. Bentuk daerah D yang dimaksud dijelaskan berikut. Misalkan diberikan daerah D yang

dibatasi 𝑥 = 𝑣(𝑦) ≥ 0, garis 𝑦 = 𝑐, garis 𝑦 = 𝑑, dan sumbu Y (Perhatikan Gambar 13 (a)) maka

luas daerah dituliskan dengan norasi integral berikut (dengan integrasi ke-y) :


Page 17 of 29

d

c

dy)y(vL

Sedangkan untuk daerah D ditunjukkan oleh Gambar 13 (b), dibatasi oleh grafik 𝑥 =

𝑤(𝑦) ≤ 0, garis 𝑦 = 𝑐, garis 𝑦 = 𝑑, dan sumbu Y, maka luas daerah D diberikan dengan :

d

c

dy)y(wL

Gambar 13 Daerah D

Perhatikan daerah D yang ditunjukkan oleh Gambar 14, dibatasi oleh kurva 𝑥 = 𝑦(𝑦 −

4), garis 𝑦 = 2, garis 𝑦 = 5, dan sumbu Y. Daerah D terdiri dari dua daerah, terletak di sebelah

kiri sumbu Y, untuk interval [2,4] dan terletak di sebelah kanan sumbu Y, untuk interval [4,5].

Nilai integral fungsi 𝑥 = 𝑦(𝑦 − 4) pada interval [2,4] bernilai negatif dan pada interval [4,5]

bernilai positif, sehingga luas daerah D dituliskan sebagai berikut,

𝐿 = − ∫ 𝑦(𝑦 − 4)𝑑𝑦4

2

+ ∫ 𝑦(𝑦 − 4)𝑑𝑦5

4


Page 18 of 29

Gambar 14 Daerah D

7 Luas Daerah antara Dua Kurva

Kadang dijumpai daerah D dibatasi oleh dua buah kurva, misal 𝑦 = 𝑓(𝑥) dan 𝑦 = 𝑔(𝑥).

Untuk mendapatkan luas daerah tertutup D yang dibatasi oleh dua kurva tersebut maka dilakukan

langkah berikut.

Tentukan titik potong kedua kurva tersebut, misal 𝑥 = 𝑎 dan 𝑥 = 𝑏, dengan 𝑎 ≤ 𝑏

Tentukan kurva yang terletak di atas dan di bawah pada interval 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏,

Integrasikan (kurva di atas – kurva di bawah) terhadap interval [a,b]

Dengan kata lain, misal daerah D dibatasi oleh kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥) dan 𝑦 = 𝑔(𝑥), garis 𝑥 = 𝑎, dan

garis 𝑥 = 𝑏 dengan 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) untuk 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] seperti ditunjukkan oleh Gambar 15, maka

luas daerah D dituliskan serbagai berikut,

b

a

dx)x(g)x(fL

Gambar 15 Daerah D

Seperti halnya uraian terdahulu, kadang dijumpai daerah tertutup D akan lebih mudah

dihitung luasnya bila integrasi dilakukan ke-y. Misal daerah D dibatasi oleh kurva 𝑥 = 𝑤(𝑦), 𝑥 =


Page 19 of 29

𝑣(𝑦), garis 𝑦 = 𝑐, dan garis 𝑦 = 𝑑 dengan 𝑤(𝑦) ≥ 𝑣(𝑦)untuk 𝑦 ∈ [𝑐, 𝑑] seperti ditunjukkan oleh

Gambar 16, maka luas daerah D ditulsikan sebagai berikut,

d

c

dy)y(v)y(wL

Gambar 16 Daerah D

Misal diberikan daerah tertutup D yang dibatasi oleh dua kurva 𝑦 = 𝑥 − 1 dan 𝑦2 = 2𝑥 +

6, seperti ditunjukkan oleh Gambar 17. Jelaskan bagaimana langkah-langkah yang dilakukan

untuk mendapatkan gambar tersebut? Daerah tertutup D dibatasi oleh kurva 𝑥 = 𝑦 + 1, 𝑥 =

1

2𝑦2 − 3, garis 𝑦 = 4, dan garis 𝑦 = −2, dengan

1

2𝑦2 − 3 ≤ 𝑦 + 1 untuk 𝑦 ∈ [−2,4].

Menggunakan notasi himpunan, daerah D dapat dituliskan menjadi, 𝐷 = {(𝑥, 𝑦)|1

2𝑦2 − 3 ≤ 𝑥 ≤

𝑦 + 1, −2 ≤ 𝑦 ≤ 4}. Luas daerah D dapat dinyatakan dengan integral sebagai berikut,

𝐿 = ∫ [(𝑦 + 1) − (1

2𝑦2 − 3)] 𝑑𝑦

4

−2

Gambar 17 Daerah D


Page 20 of 29

Berapakah luas daerah D dengan notasi integral di atas? Uraikan secara lengkap. Apakah

ada cara lain untuk mendapatkan luas daerah D? Jelaskan.

8 Volume Benda Putar dengan Motode Cakram

Integral tentu dapat juga diterapkan untuk menghitung volume benda putar. Benda putar

yang sederhana dapat kita ambil contoh adalah tabung. Volume tabung adalah hasilkali luas alas

(luas lingkaran) dan tinggi tabung. Volume dari benda putar secara umum dapat dihitung dari

hasilkali antara luas alas dan tinggi. Bila luas alas dinyatakan sebagai fungsi dalam x, A(x) dan

tinggi benda putar adalah sub interval ∆𝑥 pada interval [a,b] maka volume benda putar dapat

dihitung menggunakan integral tentu sebagai berikut:

b

a

dx)x(AV

Untuk mendapatkan volume benda putar yang terjadi karena suatu daerah diputar terhadap

suatu sumbu, dilakukan dengan menggunakan dua buah metode yaitu metode cakram dan kulit

tabung.

Metode Cakram

Misal daerah D dibatasi oleh kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥), garis 𝑦 = 0, garis 𝑥 = 𝑎, dan garis 𝑥 = 𝑏

diputar dengan sumbu putar sumbu X. Volume benda putar (berupa pejal / padat) yang terjadi

ditunjukkan oleh Gambar 19, dapat dihitung dengan memandang bahwa volume benda putar

tersebut merupakan jumlah tak berhingga cakram yang berpusat di titik-titik pada interval [a,b].

Gambar 18

Benda putar di atas dapat dipandang sebagai jumlah dari n buah cakram. Misal diambil

cakram ke-k (sangat tipis) dengan pusat cakram 0,xk dan jari-jari kxfr , maka luas cakram

ke-k dinyatakan sebagai kk xfxA 2 . Jumlah n luas cakram dituliskan :

n

kk

n

kk xfxA

1

2

1

. Untuk n dan ketebalan dari cakram ke-k dinyatakan dengan kx


Page 21 of 29

maka hasilkali antara jumlah luas cakram dengan ketebalan cakram akan mendekati volume benda

putar, yaitu k

n

kk

nxxflimV

1

2 . Menggunakan limit jumlah Riemann maka volume benda

putar dinyatakan sebagai berikut :

dx)x(fVb

a

2

Misal diberikan daerah tertutup D yang dibatasi oleh kurva 𝑦 = 𝑥3 − 2𝑥 + 5, garis 𝑥 = 1,

garis 𝑥 = 2, dan sumbu X. Bila daerah D diputar mengelilingi sumbu X, maka volume benda putar

dapat dihitung dengan menggunakan metode cakram. Cara yang dilakukan adalah memilih

sembarang nilai x pada interval [1,2], maka jari-jari cakram adalah 𝑓(𝑥) = 𝑥3 − 2𝑥 + 5.

Perhatikan Gambar 19. Volume benda putar dihitung dengan integral berikut (penyelesaian

integral ditinggalkan sebagai latihan),

dxdx)x(fV 2

1

232

1

25+2x-x

Gambar 19

Bila sumbu Y sebagai sumbu putar dan perhitungan volume benda putar digunakan metode

cakram maka integrasi dilakukan ke-y. Oleh karena itu, daerah yang akan diputar dibatasi oleh

kurva 𝑥 = 𝑤(𝑦), garis 𝑦 = 𝑐, garis 𝑦 = 𝑑, dan sumbu X. Untuk mendapatkan volume benda putar

dilakukan dengan cara memilih sembarang nilai y pada interval [c,d] dan tinggi cakram adalah 𝑥 =

𝑤(𝑦), sehingga volume benda putar dinyatakan dengan,

dy)y(wVd

c

2

Perhatikan daerah D yang dibatasi oleh kurva 𝑦 = 𝑥2, garis 𝑦 = 1, garis 𝑦 = 4, dan sumbu

Y. Gambar dan arsir daerah D tersebut. Bila D diputar mengelingi sumbu Y dan akan

digunakan metode cakram, maka volume benda putar dihitung dengan melakukan integrasi ke-y.


Page 22 of 29

Oleh karena itu, D dapat dinyatakan dengan notasi himpunan dengan batas-batas y adalah

konstanta. Bagaimana notasi himpunan yang menunjukkan daerah D? Selanjutnya,

nyatakan volume benda putar dalam notasi integral.

9 Volume Benda Putar dari Daerah antara Dua Kurva

Misal diberikan daerah tertutup D yang dibatasi oleh dua kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥) dan 𝑦 = 𝑔(𝑥),

garis 𝑥 = 𝑎 dan garis 𝑥 = 𝑏 . Bila berlaku 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥) untuk setiap 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏] dan daerah D

diputar dengan sumbu putar sumbu X (perhatikan Gambar 20), dengan metode cakram, maka

volume benda putar merupakan volume dari perputaran daerah yang dibatasi oleh kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥),

garis 𝑥 = 𝑎, garis 𝑥 = 𝑏, dan sumbu X dikurangi oleh volume dari perputaran daerah yang dibatasi

oleh kurva 𝑦 = 𝑔(𝑥), garis 𝑥 = 𝑎, garis 𝑥 = 𝑏, dan sumbu X. Oleh karena itu, volume benda putar

dituliskan dengan,

𝑉 = ∫ 𝜋 [𝑓(𝑥)]2 𝑑𝑥𝑏

𝑎

− ∫ 𝜋 [𝑔(𝑥)]2 𝑑𝑥𝑏

𝑎

atau

b

a

dx)x(g)x(fV22

Gambar 20 Daerah D

Bila daerah tertutup D dibatasi dua kurva 𝑥 = 𝑤(𝑦), 𝑥 = 𝑣(𝑦), dengan 𝑤(𝑦) ≥ 𝑣(𝑦)

untuk setiap 𝑦 ∈ [𝑐, 𝑑], garis 𝑦 = 𝑐, dan garis 𝑦 = 𝑑 diputar mengelilingi sumbu Y (diperlihatkan

oleh Gambar 21) maka dengan menggunakan metode cakram, volume benda putar dinyatakan

dengan,

dy)y(v)y(wVd

c

22


Page 23 of 29

Gambar 21 Daerah D

Diberikan daerah D seperti yang diperlihatkan oleh Gambar 22. Bila daerah D diputar

dengan sumbu Y sebagai sumbu putar dan digunakan metode cakram untuk menghitung volume

benda putar, maka integrasi dilakukan ke-y, sehingga D dinyatakan sebagai daerah tertutup yang

dibatasi oleh kurva 𝑥 = 𝑦2 dan 𝑥 = 𝑦3 dengan 𝑦2 ≥ 𝑦3 untuk setiap 𝑦 ∈ [0,1], garis 𝑦 = 0, dan

garis 𝑦 = 1. Volume benda putar dapat dinyatakan dengan (perhitungan integral ditinggalkan

sebagai latihan),

𝑉 = ∫ 𝜋 {[𝑦2]2 − [𝑦3]2} 𝑑𝑦1

0

Gambar 22 Daerah D

Dari uraian diatas, dapat disimpulkan bahwa bila akan menghitung volume benda putar

dari sebuah daerah tertutup D, dengan menggunakan metode cakram dengan sumbu putar:


Page 24 of 29

Sumbu Y, maka integrasi dilakukan ke-y dan volume benda putar dari perputaran

daerah tertutup D pada Gambar 22, dinyatakan dengan 𝑉 = ∫ 𝜋 {[𝑦2]2 −1

0

[𝑦3]2} 𝑑𝑦

Sumbu X, maka integrasi dilakukan ke-x dan bagaimana rumusan volume benda

putar dari perputsan daerah tertutup D pada Gambar 22?

10 Volume Benda Putar dengan Metode Kulit Tabung

Metode berikut sebagai alternatif lain dalam perhitungan volume benda putar yang

mungkin lebih mudah diterapkan bila dibandingkan dengan metode cakram. Benda putar yang

terjadi dapat dipandang sebagai tabung dengan jari-jari kulit luar dan kulit dalam berbeda, maka

volume benda putar yang akan dihitung adalah volume dari kulit tabung. Untuk lebih memperjelas

pengertian metode kulit tabung, diberikan uraian berikut. Pandang tabung (Gambar 23) dengan

jari-jari kulit dalam dan kulit luar berturut-turut 𝑟1 dan 𝑟2, tinggi tabung h. Maka volume kulit

tabung adalah

rhrhrrV 212

dengan : rrr),(rrr

1212 jarijariratarata

2

Gambar 23 Tabung

Bila daerah tertutup D (diarsir kuning) dibatasi oleh kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥), garis 𝑦 = 0, garis

𝑥 = 𝑎, dan garis 𝑥 = 𝑏 diputar mengelilingi sumbu Y maka kita dapat memandang sebagai bangun

yang menyerupai kulit tabung dengan jari-jari 𝑟 = 𝑥, ∆𝑟 = ∆𝑥, dan tinggi tabung ℎ = 𝑓(𝑥),

diperlihatkan oleh Gambar 24 berikut. Dengan menggunakan pendekatan kulit tabung, maka

diperoleh,

∆𝑉 = 2𝜋 𝑟 ℎ ∆𝑥 = 2𝜋 𝑥 𝑓(𝑥) ∆𝑥


Page 25 of 29

Berdasarkan uraian limit jumlah Riemann, maka volume benda putar dapat dinyatakan sebagai

berikut :

b

a

dx)x(fxV 2

Gambar 24

Bila daerah tertutup D (diarsir kuning, pada Gambar 25) dibatasi oleh kurva 𝑥 = 𝑤(𝑦),

garis 𝑥 = 0, garis 𝑦 = 𝑐, dan garis 𝑦 = 𝑑 diputar mengelilingi sumbu X, maka jari-jari kulit

tabung 𝑟 = 𝑦 dan tinggi kulit tabung ℎ = 𝑤(𝑦), sehingga volume benda putar dinyatakan dengan,

d

c

dy)y(wyV 2

Gambar 25

Daerah tertutup D ditunjukkan oleh Gambar 26. Kurva atau garis apa saja yang menjadi

batas daerah tertutup D? Bila daerah D diputar mengelilingi sumbu Y dan digunakan metode

kulit tabung, maka dipilih jari-jari kulit tabung merupakan sembarang nilai 𝑟 = 𝑥 pada interval

[0,2] dan tinggi kulit tabung ditentukan sebagai berikut. Perhatikan 𝑥 = 𝑦2, diperoleh 𝑦 = √𝑥


Page 26 of 29

atau 𝑦 = −√𝑥. Sebab kurva terletak di atas sumbu X maka tinggi kulit tabung adalah 𝑦 = √𝑥.

Oleh karena itu volume benda putar dengan metode kulit tabung dituliskan sebagai berikut,

𝑉 = ∫ 2𝜋 𝑥 √𝑥2

0

𝑑𝑥

Selesaikan integral di atas sehingga diperoleh nilai volume benda putar. Adakah ada cara

lain untuk mendapatkan volume benda putar bila daerah D diputar mengelilingi sumbu Y?

Jelaskan.

Gambar 26

11 Volume Benda Putar dari Perputaran Daerah antara Dua Kurva

Misal daerah D dibatasi oleh kurva 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑦 = 𝑔(𝑥) yang memenuhi 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥)

untuk 𝑥 ∈ [𝑎, 𝑏], garis 𝑥 = 𝑎, dan garis 𝑥 = 𝑏 ditunjukkan oleh Gambar 27. Bila daerah D diputar

mengelilingi sumbu Y dan digunakan metode kulit tabung maka jari-jari kulit tabung adalah

sembarang nilai 𝑟 = 𝑥 pada interval [𝑎, 𝑏] dan tinggi kulit tabung adalah ℎ = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥),

sehingga volume benda putar dapat dinyatakan dengan,

b

a

dx)x(g)x(fxV 2

Gambar 27


Page 27 of 29

Daerah tertutup D dibatasi oleh kurva 𝑥 = 𝑤(𝑦) dan 𝑥 = 𝑣(𝑦) yang berlaku 𝑤(𝑦) ≫ 𝑣(𝑦)

untuk 𝑦 ∈ [𝑐, 𝑑], garis 𝑦 = 𝑐, dan garis 𝑦 = 𝑑 diputar mengelilingi sumbu X. Bila digunakan

metode kulit tabung maka jari-jari kulit tabung adalah sembrang nilai 𝑟 = 𝑦 pada interval [𝑐, 𝑑]

dan tinggi kulit tabung adalah ℎ = 𝑤(𝑦) − 𝑣(𝑦), diperlihatkan oleh Gambar 28. Oleh karena itu

volume benda putar dinyatakan dengan,

d

c

dy)y(v)y(wyV 2

Gambar 28

Diberikan daerah tertutup D yang terletak di kuadran pertama, dibawah parabola 𝑦 = 2 −

𝑥2 dan di atas parabola 𝑦 = 𝑥2, diperlihatkan oleh Gambar 29. Bila daerah D diputar mengelilingi

sumbu Y dan digunakan metode kulit tabung untuk menghitung volume benda putar, maka jaro-

jaroi kulit tabung adalah sembarang nilai 𝑟 = 𝑥 pada interval [0,1] dan tinggi tabung adalah ℎ =

𝑤(𝑦) = 𝑣(𝑦), sehingga volume benda putar dinyatakan dengan,

dxxxxV1

0

2222

Selesaikan integral di atas sehingga diperoleh nilai volume benda putar. Apakah ada

cara lain untuk mendapatkan volume benda putar bila daerah D diputar mengelilingi sumbu

Y? Jelaskan.


Page 28 of 29

Gambar 29

12 Volume Benda Putar dengan Sumbu Putar Sejajar Salib Sumbu

Misal diberikan daerah tertutup D yang terletak di kuadran pertama yang dibatasi oleh

kurva 𝑦 = 1 − 𝑥2, sumbu X, dan sumbu Y. Bila daerah D diputar mengelilingi garis 𝑥 = 1 dan

digunakan metode kulit tabung untuk menghitung volume benda putar, maka integrasi dilakukan

ke-x. Untuk menentukan jari-jari kulit tabung dilakukan dengan menetukan sembarang nilai 𝑟 =

𝑥 pada interval [0,1], sehingga jari-jari kulit tabung adalah jarak antara x ke sumbu putar (x = 1).

Jadi jari-jari kulit tabung adalah 1 − 𝑥, sedangkan tinggi kulit tabung adalah ℎ = 1 − 𝑥2.

Perhatikan Gambar 30. Oleh karena itu, volume benda putar dituliskan dengan,

𝑉 = ∫ 2𝜋 (1 − 𝑥)(1 − 𝑥2) 𝑑𝑥1

0

Gambar 30

Bagaimana penyelesaian lengkap dari integral di atas? Apakah permasalahan untuk

mendapatkan volume benda putar di atas dapat dipecahkan dengan menggunakan metode

cakram? Uraiakan. Apabila daerah D di atas diputar dua kali, putaran pertama mengeliling


Page 29 of 29

garis 𝒙 = −𝟏 dan putaran kedua dengan sumbu putar garis 𝒚 = −𝟏, apakah menghasilkan

volume yang sama? Jelaskan.

Documents

Rencana Pembelajarandanangmursita.staff.telkomuniversity.ac.id/files/2015/08/integral.pdf · Rantai, Turunan Tingkat Tinggi, Fungsi Implisit, Kemonotonan dan Kecekungan Fungsi,