Rendimientos de Escala -Como Se Calculan

7/14/2019 Rendimientos de Escala -Como Se Calculan

http://slidepdf.com/reader/full/rendimientos-de-escala-como-se-calculan 1/45

Teoría de la Empresa

La Tecnología de Producción



La Empresa

¿Qué es una Empresa?

En la práctica, el concepto de empresa, y el papel que

las empresa desempeñan en la economía, son

extraordinariamente complejos.

En esta introducción a la teoría de la empresa adoptaremos una

visión simple de la actividad de las empresas: nos limitaremos

a considerarlas como agentes económicos cuya actividad

consiste en transformar bienes; es decir, producir ciertos bienes(outputs) utilizando otros bienes como inputs. Así, una

empresa queda completamente caracterizada por su tecnología.




La tecnología de producción puede describirse mediante el

conjunto de posibilidades de producción Y , un subconjunto

de ℜl . Un plan de producción es un vector en ℜl en el que las

coordenadas positivas son los outputs y las negativas son

inputs.

Ejemplo: Supongamos que hay 5 bienes (l=5). Si el plan de

producción (-5, 2, -6, 3, 0) es factible, esto significa que la

empresa puede producir 2 unidades del bien 2 y 3 unidades

del bien 4 usando 5 unidades del bien 1 y 6 unidades del

bien 3 como inputs. En este plan de producción el bien 5 ni

aparece ni como input ni como output.




Para simplificar el problema, supondremos que la empresa produce un sólo output (Q) utilizando dos inputs ( L y K )

Así, una tecnología de producción se puede describir mediante una función de producción, F(L,K), que nosindica la cantidad máxima Q de output que se puede

producir para cada vector de inputs (L,K) ≥ 0

El conjunto de posibilidades de producción Y se puededescribir como los niveles de producción Q ycombinaciones de factores (L,K) que satisfacen ladesigualdad Q ≤ F(L,K).

La ecuación Q = F(L,K) describe la frontera de posibilidades de producción.



Función de Producción

Q = F(L,K)Q = producción

L = trabajo

K = capital

FK = ∂F / ∂K > 0 (producto marginal del capital)

FL = ∂F / ∂L > 0 (producto marginal del trabajo)



Ejemplo: Función de Producción

1 20 40 55 65 75

2 40 60 75 85 90

3 55 75 90 100 105

4 65 85 100 110 115

5 75 90 105 115 120

Cantidad de capital 1 2 3 4 5

Cantidad de trabajo



Isocuantas

La función de producción describe también las

combinaciones de factores que permiten obtener

un mismo nivel de producto.

Así, podríamos diferenciar entre

- tecnologías intensivas en trabajo

- tecnologías intensivas en capital.



Isocuantas

L

1

2

3

4

1 2 3 4 5

5Combinaciones de trabajo y

capital que permiten producir

75 unidades de producto.

K

75

75

75

75



Isocuantas

L

1

2

3

4

1 2 3 4 5

5 Isocuanta: curva que describe

todas las combinaciones de trabajo

y capital que generan el mismo

nivel de producción.

Q=75

K



Mapas de Isocuantas

L

1

2

3

4

1 2 3 4 5

5

Q 1 =

Isocuantas: describen las

combinaciones de factores

que permiten obtener 55, 75

y 90 unidades de producto.

Q 2 =

Q 3 =

K

7555

90



Las isocuantas muestran la flexibilidad que tienen

las empresas para sustituir un input por otro input

manteniendo constante el nivel de producción.

Esta información permite al productor responder a

cambios en los precios de factores.

Mapas de Isocuantas



Factores Sustitutivos y Complementarios

Imperfectos

1

2

3

4

1 2 3 4 5

5

1

1

1

1

2

1

2/3

1/3

L

K A

B

C

DE

La tasa a la que los

factores pueden sustituirse

varía a lo largo de la

isocuanta



L

K

1 2

1

2

0

Función de producción:

F(L,K)= L + K.

Factores Sustitutivos Perfectos

3

Q 1Q 2

Q 3

Los factores pueden sustituirse a

una tasa constante, cualquiera

que sea la combinación de

factores que se esté utilizando

(veremos que la RMST es una

constante).



L (Carpinteros)

K

(Martillos)

2 3 41

1

2

3

4

0

Función de producción:

F(L,K) = min{L,K}

Factores Complementarios Perfectos

Es imposible

sustituir un factor de

producción por otro:

un carpintero sin

martillo no produce,

y viceversa



Vamos a estudiar las curvas de producto.

Para ello, supongamos que todos los factores

menos uno son fijos, y consideremos cómo varía la

producción con el factor variable:

La producción con un factor variable

Q = F(L,K 0 ) = f(L)



Cantidad Cantidad Producciónde trabajo (L) de capital (K ) total (Q )

Ejemplo numérico: producción con un

factor variable

0 10 0

1 10 10

2 10 303 10 60

4 10 80

5 10 95

6 10 108

7 10 112

8 10 112

9 10 108

10 10 100

Suponemos que

el capital es el

input fijo y el

trabajo el factor

variable



Producto total

L

Q

60

112

0 2 3 4 5 6 7 8 9 101

Curva de producto total



Definimos el producto medio del trabajo

( PMe L) como la cantidad de output

producida por cada unidad de trabajo

Producto medio

PMe L= Q / L



Cantidad Cantidad Producción Productode trabajo (L) de capital (K ) total (Q ) medio

Ejemplo numérico: producto medio

0 10 0 0

1 10 10 10

2 10 30 15

3 10 60 20

4 10 80 20

5 10 95 19

6 10 108 18

7 10 112 16

8 10 112 14

9 10 108 12

10 10 100 10



Producto total

L

Q

60

112

0 2 3 4 5 6 7 8 9 101

Curvas de producto total y de producto

medio

Producto medio

8

10

20

0 2 3 4 5 6 7 9 101

30

Q/L

L



Producto marginal

Δ L ΔQ

PM L =

El producto marginal del trabajo ( PM L) sedefine como la producción adicional

obtenida cuando se incrementa la cantidad

de trabajo en una unidad



Cantidad Cantidad Producción Producto Productode trabajo (L) de capital (K ) total (Q ) medio marginal

Ejemplo numérico: producto marginal

0 10 0 0 ---

1 10 10 10 10

2 10 30 15 20

3 10 60 20 30

4 10 80 20 20

5 10 95 19 15

6 10 108 18 13

7 10 112 16 4

8 10 112 14 0

9 10 108 12 -4

10 10 100 10 -8



Producto total

L

Q

60

112

0 2 3 4 5 6 7 8 9 101

Curvas de producto total y de producto

marginal

Producto marginal

8

10

20

0 2 3 4 5 6 7 9 101

30

Q/L

L



Producto medio y producto marginal

L

Q

60

112

0 2 3 4 5 6 7 8 91

B

L

Q

60

112

0 2 3 4 5 6 7 8 91

D

C

L

Q

60

112

0 2 3 4 5 6 7 8 91

En B→Q/L < dQ/dL

En D→ Q/L > dQ/dL

En C→ Q/L = dQ/dL



Producto medio y producto marginal

L

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

10

20

30

Producto medio

Producto marginal

C

A la izquierda de C: PM > PMe y PMe es creciente A la derecha de C: PM < PMe y PMe es decreciente

En C: PM = PMe y PMe alcanza su máximo

Q/L

PM L



Relación Marginal de Sustitución Técnica

La Relación Marginal de Sustitución Técnica ( RMST )

indica las proporciones en las que puede sustituirse

trabajo por capital de manera que la producción

permanezca constante.

Si la definimos como RMST = -F L /F K , indica el número

de unidades adicionales de capital necesarias para

mantener constante el nivel de producción cuando la

cantidad del input trabajo disminuye en una unidad.



RMST = -(-2/1) = 2

RMST Δ LΔΚ −=

Δ L=1 ΔΚ = - 2


1

2

3

4

1 2 3 4 5

5

L

K A

B

1

2




Δ LΔΚ −=

L

K

RMST

A

B

Δ L

Δ K La RMST es la pendiente de

la recta que une A y B.



C


K

L

RMST = lim -ΔΚ / Δ L Δ L 0

Cuando Δ L tiende a cero,

RMST es la pendiente de la

isocuanta en el punto C.



Cálculo de la RMST

Análogamente a lo que hacíamos con las funciones de utilidad,

podemos calcular la RMST como un cociente de productos

marginales utilizando el Teorema de la Función Implícita:

F(L,K)=Q0 (*)

donde Q0=F(L0, ,K 0 ).

Derivando totalmente la ecuación (*), tenemos F LdL +F K dK = 0.

La derivada de la función que define la ecuación (*) es

dK/dL= -FL/FK .

Esta fórmula nos permite evaluar la RMST en cualquier punto de la isocuanta.



Ejemplo: Cobb-Douglas

Sea Q = F(L,K) = L3/4 K 1/4

Calcule la RMST

Solución:

F L = 3/4 (K / L)1/4

F K = 1/4 (L / K)3/4

RMST = -F L / F K = -3 K / L



Ejemplo: Sustitutivos Perfectos

Sea Q = F(L,K) = L + 2K

Calcule la RMST

Solución:

F L = 1

F K = 2

RMST = -F L / F K = -1/2 (constante)



Rendimientos a Escala

Modificación de la escala: aumento de

todos los factores en la misma proporción

(ej. (L,K) → (2L,2K))

Rendimientos a escala: tasa a la que

aumenta la producción cuando se

incrementa la escala.



Rendimientos a Escala

Consideremos una modificacion de la escala:(L, K) → (rL, rK), con r > 1.

Decimos que

• Hay rendimientos crecientes de escala si F(rL, rK) > r F(L,K)

• Hay rendimientos constantes de escala si

F(rL, rK) = r F(L,K)

• Hay rendimientos decrecientes de escala si F(rL, rK) < r F(L,K).



Las isocuantas

son equidistantes.

Q=10

Q=20

Q=30

155 10

2

4

0

6

Ejemplo: Rendimientos Constantes a Escala

L

K



L

K

Q=10

Q=20

Q=30

Las isocuantas están

cada vez más cerca.

5 10

2

4

0 8

3.5

Ejemplo: Rendimientos Crecientes a Escala



Las isocuantas están

cada vez más lejos.

5 15

2

0 L

K

6

Q=10

Q=20

Q=30

30

12

Ejemplo: Rendimientos Decrecientes a Escala



Ejemplo: Rendimientos a Escala

Sea la función de producción Q = F(L,K) = L + K

Diga cómo son los rendimientos de escala.

Solución: Sea r > 1. Entonces

F(rL,rK) = (rL) + (rK)

= r (L+K)

= r F(L,K)

La función F presenta rendimientos constantes a escala.




Sea la función de producción Q = F(L,K) = LK

Diga cómo son los rendimientos de escala.


F(rL,rK) = (rL)(rK)

= r 2 (LK)

= r 2 F(L,K)

> r F(L,K).

La función F presenta rendimientos crecientes a escala.




Sea la función de producción Q = F(L,K) = L1/5

K 4/5

.¿Cómo son los rendimientos de escala?


F(rL,rK) = (rL)1/5(rK)4/5

= r (4/5+1/5) L1/5 K 4/5

= r F(L,K).

La función F presenta rendimientos constantes a escala.




Sea la función de producción Q = F(L,K) =min{K,L}.¿Cómo son los rendimientos de escala?


F(rL,rK) = min {rL,rK}

= r min{L,K}

= r F(L,K).

La función F presenta rendimientos constantes aescala.




Sea la función de producción Q = F(L,K 0 ) = f(L) = 4L1/2.¿Cómo son los rendimientos de escala?


f(rL) = 4 (rL)1/2

= r 1/2 (4L1/2 )

= r 1/2 f(L)

< r f(L)

La función f presenta rendimientos decrecientes a escala.



Transformaciones Monótonas

Al contrario de lo que ocurría con las funciones de

utilidad, las funciones de producción no son

representaciones ordinales de la posibilidades de

producción, sino representaciones cardinales.

Aunque una función de producción G sea una

transformación monótona de otra función de

producción F, las tecnologías que representan son

distintas.




Por ejemplo, las funciones de producción F y G, definidas como

F(L,K) = LK

y

G(L,K) = (LK)1/2

representan tecnologías distintas. En particular, presentanrendimientos a escala distintos. Sea r > 1. Tenemos

F(rL,rK) = r 2 LK = r 2 F(L,K) > rF(L,K)

y

G(rL,rK) = r(LK)1/2 = rF(L,K).

Por tanto, F presenta rendimientos crecientes a escala y G presenta rendimientos constantes a escala.




Sin embargo, sigue siendo cierto que las transformaciones

monótonas no modifican la RMST. Puede comprobarse que la

RMST es la misma para las funciones de producción F y G

descritas:

MRTS F (L,K) = K/L;

MRTS G(L,K) = (1/2)L(-1/2) K 1/2 /[(1/2)L(1/2) K (-1/2) ]

= K/L.

Documents

Rendimientos de Escala -Como Se Calculan