1

TEMA 4 RENTAS EN CAPITALIZACIÓN COMPUESTA

Introducción: en la vida diaria en general y en la actividad empresarial en particular es

habitual encontrar situaciones que dan lugar a pagos o cobros periódicos, tanto en la gestión

de las inversiones de activo circulante y activo fijo, como de las fuentes de financiación. El

conocimiento y aplicación de las rentas es esencial para poder valorar, con exactitud y de

forma sencilla, el valor del dinero en el tiempo convirtiendo los euros corrientes de cada

uno de los periodos en euros constantes del momento de la valoración.

En el sector inmobiliario y de la construcción las rentas son un instrumento matemático

esencial para poder calcular y resolver, entre otras muchas, operaciones tan habituales

como son: financiación en la adquisición de inmuebles, selección de proyectos de

inversión, valoraciones inmobiliarias, préstamos, política de amortizaciones, compras a

plazo, leasing financiero e inmobiliario, renting, cálculos de costos e ingresos, etc.

El estudio de las rentas, tras los métodos de capitalización, representa un peldaño más en el

campo de las matemáticas financieras que permitirá, no sólo el cálculo exacto de cada uno

de sus elementos, sino también la interpretación de los resultados para la toma de

decisiones siendo esta información un elemento muy valioso para la gestión empresarial.

1. Concepto: una renta es una serie de dos o más cobros o pagos (términos) que se realizan

entre acreedor y deudor en periodos fijos y equidistantes.

2. Elementos: definimos sus variables partiendo de los valores actuales y finales de las

rentas constantes: inaVA ,kinkk aVA , insVF ,

kinkk sVF

VA: valor actual, es el importe de la renta, de término α o αk, valorada en el

momento del inicio de su devengo. Convierte las unidades monetarias corrientes de

cada periodo en unidades monetarias constates del “momento cero”.

an i :valor actual de una renta constante, unitaria, temporal, inmediata y postpagable

de n términos valorada al tipo de interés i.

a'n i :valor actual de una renta constante, unitaria, temporal, inmediata y prepagable

de n términos valorada al tipo de interés i.

VF: valor final, es el importe de la renta, de término α o αk, valorada al final del

último periodo de su duración. Convierte las unidades monetarias corrientes de cada

periodo en unidades monetarias constantes del final del periodo enésimo o último

periodo de la renta.

sn i: valor final de una renta constante, unitaria, temporal, inmediata y postpagable

de n términos valorada al tipo de interés i.

s’n i: valor final de una renta constante, unitaria, temporal, inmediata y prepagable

de n términos valorada al tipo de interés i.

αk: término de la renta, es la cuantía, en unidades monetarias, del cobro/pago que se

realiza cada k-ésimo de año, el lapso temporal que separa dos términos es el periodo

y la suma de todos los periodos es la duración de la renta.

n: número de términos: total de términos de periodicidad αk que tiene la renta, debe

ser un número entero positivo siendo necesaria su interpretación cuando su valor es

un número decimal.

ik: tipo de interés: tanto por uno de interés, con frecuencia de capitalización cada k-

ésimo de año, al que se valora la renta.

2

3. Clasificación: podemos clasificarlas de acuerdo con los siguientes criterios:

a) Por el régimen de capitalización que aplican en: rentas a interés simple y rentas

a interés compuesto. Las rentas a interés simple emplean la capitalización simple

y las rentas en capitalización compuesta utilizan el régimen de capitalización

compuesta.

b) Por su duración se clasifican en: temporales, perpetuas y vitalicias. Temporales

son aquéllas que tienen un número finito de términos, perpetuas las que tienen

un número infinito y vitalicias aquéllas en las que el número de términos está en

función de la esperanza de vida de una persona o de una población.

c) Por la cuantía del término se clasifican en: constantes y variables. Constantes

son aquéllas cuyos términos son todos de la misma cuantía y variables aquéllas

cuyos términos son de distinta cuantía, estos pueden variar de acuerdo con una

ley de progresión (aritmética, geométrica) o sin ley de progresión. Las unitarias

son aquéllas cuyo término es la unidad.

d) Por el momento del vencimiento del término se clasifican en: prepagables y

postpagables. Son prepagables o “por anticipado” aquéllas cuyos términos

vencen al principio de los periodos y postpagables o “por vencido” aquéllas

cuyos términos vencen al final de los periodos.

e) Por el momento de la valoración se clasifican en: inmediatas, anticipadas y

diferidas. Son inmediatas aquéllas que se valoran entre el comienzo del primer

periodo y el final del último, anticipadas las que se valoran en un momento

posterior al final del último periodo y diferidas las que se valoran en un

momento anterior al comienzo del primer periodo.

f) Por el fraccionamiento de la valoración se clasifican en: enteras y fraccionadas.

Es entera la renta en la que la periodicidad del término coincide con la

frecuencia de capitalización del tipo de interés y es fraccionada la renta en la que

la periodicidad del término no coincide con la frecuencia de capitalización del

tipo de interés.

4. Rentas constantes.

4.1 Rentas constantes, unitarias, temporales, inmediatas y postpagables.

Deducimos sus valores actualizando y capitalizando respectivamente sus términos

postpagables, en régimen de capitalización compuesta.

4.1.1 Valor actual.

Actualizamos al inicio del primer periodo todos los términos.

nn

in iiiiia )1()1(...)1()1()1( )1(321

Los sumandos del segundo miembro forman los términos de una progresión geométrica

donde el primer término es (1+i)-1

y la razón (1+i)-1

y aplicando la fórmula de la suma de

los términos de una progresión geométrica obtenemos:

3

n

nnn

inii

i

i

i

i

iiia

)1(

1)1()1(1

)1(1

)1()1()1(1

11

Si el término fuese de cuantía distinta de la unidad aplicaríamos

inaVA

4.1.2 Valor final.

Capitalizamos al final del periodo del último periodo todos los términos.

1)1(...)1()1( 21 iiis nn

in

Los sumandos del segundo miembro forman los términos de una progresión geométrica

donde el primer término es 1 y la razón (1+i) y aplicando la fórmula de la suma de los

términos de una progresión geométrica obtenemos:

i

i

i

iis

nn

in

1)1(

1)1(

1)1()1( 1

n

inin ias )1(

Si el término fuese de cuantía distinta de la unidad aplicaríamos

insVF

4.2 Rentas constantes, unitarias, temporales, inmediatas y prepagables:

Deducimos sus valores actualizando y capitalizando respectivamente sus términos

prepagables, en régimen de capitalización compuesta de la misma forma que en el caso de

las postpagables.

4.2.1 Valor actual.

)1()2(21 )1()1(...)1()1(1' nn

in iiiia

)1()1(1

)1(11

)1(1

)1(1

)1()1(1'

1

1)1(

ii

ii

i

i

i

iia

nnn

in

)1(' iaa inin

Si el término fuese de cuantía distinta de la unidad aplicaríamos

inaVA '

4.2.2 Valor final

4

)1()1(...)1()1(' 21 iiiis nn

in

)1(1)1(

1)1(

)1()1()1(' i

i

i

i

iiis

nn

in

)1(' iss inin

Si el término fuese de cuantía distinta de la unidad aplicaríamos

insVF '

5. Otras relaciones entre los valores de las rentas.

Las siguientes fórmulas establecen la relación entre los valores actuales y finales de las

rentas, donde el exponente n expresa la duración de la renta:

in

n

in sia )1(

in

n

in sia ')1('

las relaciones entre los valores postpagables y prepagables:

inin aa '11

inin ss '11

ias inin

11

nini

ai)1(

11

6. Rentas inmediatas, diferidas y anticipadas

Rentas inmediatas: son aquellas que se valoran en un momento comprendido entre el inicio

y el final de su devengo.

Rentas diferidas: son aquellas que empiezan a devengarse en un momento posterior al

momento de su valoración. El tiempo comprendido entre el momento de la valoración y del

inicio del devengo (d) se denomina periodo de diferimiento y se expresa en número de

periodos de la duración indicada por la frecuencia de capitalización..

Valor actual de la renta diferida postpagable.

Calculamos su valor actualizando el valor actual de la renta postpagable el tiempo de

diferimiento.

d

in

d

inin iaVaad )1(/

5

Valor actual de la renta diferida prepagable.

)1(/'/ iadad inin

Valor final: el valor final no está afectado por el diferimiento.

Rentas anticipadas: son aquéllas que terminan de devengarse en un momento anterior al

momento de su valoración. El tiempo comprendido entre el final del devengo y el momento

de su valoración (a), se denomina periodo de anticipación.

a

inin iaaa )1(/

7. Rentas fraccionadas: son aquellas en las que la periodicidad de cobro o pago del

término (subíndice k de αk) no coincide con la frecuencia de capitalización del tipo de

interés al que se valora la renta (subíndice k de ik) Siempre que apliquemos la fórmula del

valor actual y final de una renta, el dato de la frecuencia de capitalización del tipo de interés

(subíndice k de ik) debe ser coincidente con la periodicidad del término (subíndice k de αk),

si estos datos no coinciden nos encontramos con una renta fraccionada.

Para calcular su valor actual o final tenemos que transformarla en una renta entera, no

fraccionada, con dos alternativas:

1. Cambiar el tipo de interés sin modificar el término, calculando un tipo de interés

equivalente cuya frecuencia de capitalización coincida con la periodicidad del

término. Por ejemplo si el término de la renta es αk (siendo k distinto de 1) y el tipo

de interés es de frecuencia anual (i1 ó i), calculamos el tipo ik equivalente y

seguidamente operamos con una renta entera:

kink aVA

2. Cambiar el término sin modificar el tipo de interés, calculando un término

equivalente cuya periodicidad de cobro o pago coincida con la frecuencia de

capitalización del tipo de interés. En primer lugar definimos el concepto de términos

equivalentes como aquellos que para una misma duración de tiempo, teniendo igual

o distinta periodicidad de cobro o pago y valorándose a igual o distinto tipo de

interés, producen el mismo valor actual o final en el mismo periodo de tiempo.

Sobre la base de la definición anterior para que los términos αk y αm sean

equivalentes deben cumplir la siguiente igualdad:

mk inmminkk aa

m

nm

m

m

k

nk

k

ki

i

i

i

)1(1)1(1

m

nm

m

m

k

nk

k

ki

i

i

i

)1(1)1(1

6

como: m

m

k

k iii )1()1(1

m

n

m

k

n

ki

i

i

i

)1(1)1(1

luego

m

m

k

k

ii

Esta igualdad la debe darse para que dos términos de diferentes rentas, valoradas a

igual o distinto tipo de interés, con la misma o distinta periodicidad para que sean

equivalentes. Esta fórmula se emplea especialmente en el caso de que la frecuencia

de capitalización sea menor que la periodicidad del término (la variable k de ik < la

variable k de αk)

Si relacionásemos dos términos prepagables la igualdad sería:

)1()1( m

m

m

k

k

k ii

ii

En el que supuesto que establezcamos la equivalencia entre un término postpagable

y otro prepagable respectivamente para que sean equivalentes la igualdad deberá

ser:

m

m

k

k

k

ii

i

)1(

Si la frecuencia de capitalización es mayor que la periodicidad del término (la

variable k de ik > la variable k de αk) partiendo de la igualdad que deben cumplir dos

rentas para que sean equivalentes

mk inmminkk aa

despejamos el valor del término que buscamos para que sean equivalentes con

aquellos datos del problema, así si buscamos un término αk, equivalente a otro αm

con frecuencia de capitalización im, su valor será:

k

m

ink

inmm

ka

a

8. Rentas perpetuas: son las que tienen un número infinito de términos. Estas rentas se

emplean para valorar propiedades agrícolas, para estimar el importe de premios perpetuos

establecidos por fundaciones en función de un capital etc. Para deducir su valor actual hay

que hallar el límite de an i y de a’n i cuando n tiende a infinito.

Valor actual de la renta unitaria, perpetua y postpagable.

7

ii

iaa

n

ninni

1)1(

11

limlim

Valor actual de la renta unitaria, perpetua y prepagable.

i

iiaa ii

1)1('

El valor final de estas rentas es infinito.

9. Rentas variables.

9.1 Rentas variables en progresión aritmética: son aquéllas en las que cada uno de sus

términos, salvo el primero (α’), es igual al anterior más una cantidad fija que se denomina

diferencia de la progresión (h)

Valor actual

i

nVahaVA

n

in

inih

'

Valor final

n

n

in

inih ii

nVahaVF )1('

9.2 Rentas variables en progresión geométrica: son aquéllas en las cada uno de sus

términos, salvo el primero (α’), es igual al anterior multiplicado por una cantidad fija que se

denomina razón de la progresión (q).

Valor actual.

Si (1+i) > q

qi

i

q

VA

n

inq

1

)1

(1

'

si (1+i) = q

i

nVA inq

1'

si (1+i) < q, carece de sentido financiero.

Valor final

qi

qiiVAVF

nnn

inqinq

1

)1(')1(

Si (1+i) = q

8

1)1(')1(1

'

nn

inq inii

nVF

9.3 Rentas variables en general: son rentas cuyos términos no varían de acuerdo con

ninguna ley de progresión, para su cálculo no se puede aplicar fórmula alguna y es

necesario actualizar o capitalizar cada uno de sus términos:

nn iiiiactualValor )1()1(...)1()1( )1(21

)1(...)1()1( 21 iiifinalValor nn

10. Variación en el tipo de interés: si hay una variación en el tipo de interés la

actualización o capitalización de la renta hay que efectuarla al tipo aplicable en cada tramo

del horizonte temporal. Así si tenemos un primer tramo del horizonte temporal donde se

devengan n términos y el tipo vigente es i y un segundo tramo donde se devengan n’

términos siendo el tipo aplicable i’ sus valores actuales y finales, y en el caso de restas

postpagables, se calcularán aplicando respectivamente las siguientes fórmulas:

n

inin iaaVA )1(''

''

')'1( in

n

in sisVF

Hay que tener en cuenta que los exponentes n y n’ de los factores de actualización y

capitalización de las anteriores expresiones representan tiempo (expresado en número de

periodos) en lugar de número de términos: n, duración del primer tramo de la renta y n’

duración del segundo tramo de la renta.

11. Cálculo de los distintos valores en las rentas constantes:

Exponemos en este apartado las fórmulas y procedimientos que permiten calcular cada uno

de sus elementos:

inin sóa : por medio de tablas financieras o aplicando sus fórmulas.

inaVA

1 in

in

aVAa

VA

i: por medio de tablas financieras o sin tablas financieras por desarrollo en serie de an i o sn i,

por la fórmula de Baily y por el método reiterativo o de aproximaciones sucesivas:

del desarrollo en serie de na se obtiene una fórmula aproximada en la que i equivale a:

n

n

annn

ani

)2(2)1(

)(6

siendo

VAan

9

por la fórmula de Baily:

1)1(212

)1(12 1

2

n

na

nhsiendo

hn

hnhi

por el método reiterativo:

de

ii

ia

n

n

in)1(

1)1(

se deduce:

n

n

n

ai

ii

)1(

1)1(

El método se basa en calcular i utilizando diferentes valores de i hasta que el resultado

obtenido sea igual o muy aproximado al utilizado. El primer valor de i que debe utilizarse

ha de estar comprendido entre los límites:

nin ai

na

111

n: por medio de tablas financieras o tomando logaritmos:

por logaritmos:

i

ai

V

ain nn

1

1log

)1log(

log

)1log(

La interpretación del resultado cuando el número de términos obtenido no es entero:

n+f puede hacerse de tres formas:

1. Rectificando la cuantía del término α lo menos posible, por un término α’, tomando

un número entero lo más aproximado posible bien sea n+1 ó n-1.

Así si la renta inicial es

inaVA

podemos interpretarla como:

inin aVAóaVA 11 ''

Eligiendo la opción que varíe menos la cuantía de.

10

2. Entregando una cantidad o término complementaria R al final del término

fraccionario que deberá cumplir.

)()1( fn

in iRaVA

3. Incrementando la cuantía del último término α que sustituiremos por R’ debiendo

cumplirse:

n

in iRaVA

)1('1