Repaso:

Identificar la

gráfica de

cada ecuación.

1.2

Funciones y grafícas

Presentación 2

MATE 3002

Correspondencias entre conjuntos

La idea de una correspondencia:

A cada persona le corresponde una fecha de

nacimiento

Cada libro en la biblioteca le corresponde un

número de páginas

En cada caso existen dos conjuntos, D e I…

Ej. D = personas I = fechas de nacimiento

…y una regla de correspondencia, R, que le asigna a

cada elemento en D un elemento de I .

Otro ejemplo de una correspondencia

Ejemplo: Dueños de automóviles:

Conjunto A: personas

Conjunto B: tipos de carro

Dominio: el conjunto de todas las personas que

son dueños de al menos un carro.

Rango: Conjunto de todo tipo de automóvil que

le pertenece a alguna persona.

Regla de correspondencia:

a A «es dueño de un auto de marca» b B

Otro ejemplo de una correspondencia

Sea D el conjunto de toda persona que es padre o

madre

Sea I el conjunto de todas las personas.

Sea la regla de correspondencia R:

x D “es padre o madre de ” y I

Función

Se define una función, f , desde D a R como

una regla de correspondencia que asigna a cada

elemento x de D exactamente un elemento, y,

de R :

x1 x2

y1

y2

x3

Concepto de Función

• Una función es una correspondencia entre dos

conjuntos.

• El primer conjunto se llama dominio, y el

segundo conjunto se llama rango, campo de

valores, alcance o imagen.

• Cada elemento del dominio corresponde a

exactamente un elemento del campo de valores.

• Es importante notar que NO cualquier

correspondencia entre dos conjuntos es una

función .

Determinar si los ejemplos anteriores de

correspondencias representan funciones.

x D “es padre o madre

de ” y I

a A «es dueño de un

auto de marca» b B

A cada persona le

corresponde una fecha

de nacimiento

No es una función.

No es una función

Si es una función

Si es una función

Ejemplo

Determine la siguiente correspondencia es una función.

a.

6

6

3

3

0

36

9

0

Esta correspondencia es una función porque cada elemento del dominio corresponde a exactamente un elemento del rango o campo de valores.

Nota: La definición de función permite que diferentes elementos del dominio correspondan a un mismo elemento del campo de valores.

Ejemplo (continuación)

Determine si la siguiente correspondencia es una función.

b.

Helen Mirren

Jennifer Hudson

Leonardo DiCaprio

Jamie Foxx

The Queen

Blood Diamond

Dreamgirls

The Departed

Esta correspondencia NO ES una función ya que un elemento del dominio, (Leonardo DiCaprio) está pareado con más de un elemento del campo de valores (Blood Diamond and The Departed).

Relación

Cuando la regla de correspondencia entre un dominio

y un rango se describe como un conjunto de pares

ordenados, se conoce como una relación binaria.

Ejemplo: {(9, 5), (9, 5), (2, 4)}

Esta relación NO representa una función ya que el elemento

9 del dominio corresponde a dos valores distintos del campo

de valores.

El dominio es el conjunto formado por la primera coordenada de cada punto: {9, 2}.

El campo de valores es el conjunto formado por la segunda coordenada de cada punto: : {–5, 5, 4}.

Ejemplo (continuación)

Determine si la relación es una función. Identifique el dominio y el campo de valores.

b. {(–2, 5), (5, 7), (0, 1), (4, –2)}

ES una función. Ninguno de los pares ordenados tiene la misma coordenada en la primera posición asignada a diferentes coordenadas en la segunda posición.

Dominio: el conjunto de primeras coordenadas {–2, 5, 0, 4}.

Campo de valores: el conjunto de segundas coordenadas: {5, 7, 1, –2}.

Ejemplo (continuación)

Determine si la relación es una función. Identifique el dominio y el campo de valores.

b. {(–5, 3), (0, 3), (6, 3)}

ES una función. La definición de función permite que más de un elemento del dominio corresponda a un mismo elemento del campo de valores.

Dominio: {–5, 0, 6}.

Campo de valores: {3}.

Ejemplo gráfico de una relación

Nombre los pares ordenados

de la grafica.

Enumere los miembros del

dominio

D ={1, 4, 5, 7, 13, 14, 15,

19, 20}

Enumere los miembros del

rango.

R ={1, 4, 8, 10, 12, 13}

¿Representa una función?

No, a 19 le corresponden dos

valores en el rango.

{(1,1), (4,8), (5,10), (7,4), (13,10), (14,1), (15,1), (19,10), (19,13), (20,12)}

Ejemplo matemático de una función

Las ecuaciones se pueden

utilizar para describir

relaciones binarias y

funciones.

Ej. y = ½ x + 1

Algunos pares ordenados

que representan soluciones

de la ecuación son:

x y

-4

x y

-4 -1

x y

-4 -1

x y

-4 -1

-2

x y

-4 -1

-2 0

x y

-4 -1

-2 0

0

x y

-4 -1

-2 0

0 1

x y

-4 -1

-2 0

0 1

2

x y

-4 -1

-2 0

0 1

2 2

¿ y = ½ x + 1 es una función ?

Si, por que a cada valor de x sólo

le corresponde UN valor de y .

Notación de funciones

Los valores de entrada (miembers del dominio) se sustituyen

por x en la ecuación.

Los valores de salida (miembros del rango) son los valores

resultantes.

Cuando una ecuación representa una función usamos una

notación especial.

f (x) se lee “f de x,” o “f en x,” o “el valor de f en x.”

Por ejemplo: f(x) = ½ x + 1;

Cuando evaluamos una función:

f(4) = ½(4) + 1 = 3

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Ejemplo

a. f (0)

f (0) = 2(0)2 0 + 3 = 0 – 0 + 3 = 3

b. f (–7)

f (–7) = 2(–7)2 (–7) + 3 = 2 • 49 + 7 + 3 = 108

Para f(x) = 2x2 x + 3, determinar cada uno de los

siguientes valores.

a. f (0) b. f (–7) c. f (5a) d. f (a – 4)

Gráficas de funciones

Trazamos las gráficas de funciones igual que

trazamos las gráficas de ecuaciones .

1. Hallamos los pares ordenados (x, y), o (x, f (x))

2. Localizamos los puntos

3. Completamos la gráfica uniendo los puntos con

una curva que sigue el mismo patrón.

Ejemplo

Trazar la gráfica de f (x) = x2 – 5 .

x

3

2

–1

0

1

2

3

f (x) (x, f (x))

4 (3, 4)

–1 (2, –1)

–4 (–1, –4)

5 (0, 5)

4 (1, 4)

1 (2, 1)

4 (3, 4)

Ejemplo

Use la gráfica de g (x) =½ x2 – 3 para identificar los siguientes valores de la función

a. f (4) b. f (–1)

a. Localice el valor de 4 sobre el eje horizontal.

b. Mover verticalmente hacia la gráfica de la función.

c. Finalmente, moverse horizontalmente para identificar el valor de salida.

f (4) = 5

Ejemplo

Use la gráfica de g (x) =½ x2 – 3 para identificar los siguientes valores de la función

b. f (–1)

a. Localice el valor de -1 sobre el eje horizontal.

b. Mover verticalmente hacia la gráfica de la función.

c. Finalmente, moverse horizontalmente para identificar el valor de salida.

f (-1) = - 2.5

Prueba de la línea vertical

Si es posible dibujar una línea vertical que

cruce una gráfica más de una vez, entonces la

gráfica NO representa una función.

Ejemplo

Indique cuáles de la siguientes gráficas (a) - (c) (en rojo)

son gráficas de funciones?

Si. No. No.

Ejemplo (cont.)

Indique cuáles de la siguientes gráficas (d) - (f) (en rojo)

son gráficas de funciones?

No. Si. Si.

En la gráfica (f), (–1, 1)

pertenece a la gráfica,

pero (–1, –2) NO pertenece

a la gráfica.

Hallar el dominio de una función

Si las entradas y salidas de una función, f , son

números reales y la regla de correspondencia se da con

una fórmula, entonces

• el dominio es el conjunto de todos los números

reales para los cuales la expresión está definida

(produce un número real)

• si al sustituir un valor en la expresión, NO se

produce un número real, decimos que la expresión

NO está definida para ese valor, y el valor NO

pertenece al dominio de la función.

Ejemplo

Evaluar la función en los valores dados y determinar si los valores dados pertenecen al dominio de la función.

a. f (1) b. f (3)

f (x) 1

x 3

a. f (1)

Como f (1) está definido, 1 está en el dominio de f.

b. f (3)

Como división entre 0 NO está definido, f (3) no existe y, 3 NO está en el dominio de f.

f (1) 1

1 3 1

2

f (3) 1

3 31

0

Ejemplo

Evaluar la función en los valores dados y determinar si

pertenecen al dominio de la función o no.

a. h (2)

Como h (2) NO está definido, 2 no pertenece al dominio de h.

ℎ 𝑥 =3𝑥2 − 𝑥 + 7

𝑥 − 2

ℎ 𝟐 =3(𝟐)2 − 𝟐 + 7

2 − 2

=12−2+7

0 =

17

0

Ejemplo

Describir el dominio de:

Como 2 es el único valor que hace que el

denominador sea igual a cero, 2 es el único número real no pertenece al dominio de h.

Describimos el dominio:

1. Consiste de todos los números reales excepto 2.

2. ℝ − 2

3. −∞, 2 ∪ 2, ∞ (notación de intervalo)

ℎ 𝑥 =3𝑥2 − 𝑥 + 7

𝑥 − 2

Ejemplo

Trace la gráfica de

Identifique el dominio y rango.

Determine si es la gráfica de una función.

𝑦 = 𝑥 − 1

x

3

1

0

1

2

5

10

y (x, y)

NE

NE

NE

0 (1, 0)

1 (2, 1)

2 (5, 2)

3 (10, 3)

La gráfica pasa la prueba de la línea vertical.

Ejemplo

Trace la gráfica de

Identifique el dominio y rango.

Determine si es la gráfica de una función.

.

Domain = [–4, )

( ) 4f x x

x

6

4

-3

0

5

y (x, y)

NE

0 (-4, 0)

1 (-3, 1)

2 (0, 2)

3 (5, 3)

Range = [0, )