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Representaciones de Grupos Finitos,
El Grupo Simetrico
Trabajo de Tesispresentado al
Departamento de Matematicas
por
Gina Maritza Angueyra Castaneda
Asesor: Bernardo Uribe
Para optar al tıtulo deMatematica
MatematicasUniversidad de Los Andes
Febrero 2007
Representaciones de Grupos Finitos,
El Grupo Simetrico
Aprobado por:
Bernardo Uribe, Asesor
Alexander Cardona
Fecha de Aprobacion
A mi mami
y a mi esposo,
por apoyarme en todos los momentos y decisiones de mi vida.
iii
Reconocimientos
Ante todo agradezco, a mi mami, por ensenarme desde pequena el gusto por las
Matematicas, por apoyarme, darme fuerzas y ser mi soporte para seguir adelante
siempre, y a mi esposo, por apoyarme en todas las decisiones que tomo y por ser la
razon principal para seguir creciendo en todas las areas de mi vida.
Tambien quiero agradecer a todas las personas que participaron directamente en
mi formacion matematica, primero que todo, a Yenny Galvis de Velazquez por
ensenarme las bases de esta hermosa disciplina, a Sergio Adarve por mostrarme
la belleza de la Topologıa y la Geometrıa con sus increıbles dibujos, a Leonardo
Venegas por permitirme conocer (casi personalmente), a traves de sus relatos, a los
grandes matematicos y fısicos de la historia, a Italo Capasso porque por una de-
cision suya pude continuar estudiando en un momento difıcil y a Bernardo Uribe,
mi director de tesis, por ser ejemplo de responsabilidad y digno de emulacion.
iv
Tabla de Contenido
Dedicatoria iii
Reconocimientos iv
Resumen vii
I. Representaciones De Grupos Finitos 1
1.1. Definiciones Basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3. Representaciones Irreducibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4. G-Homomorfismos y el Lema de Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.5. Productos Tensoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6. Algebra de Conmutadores y Algebra de Endomorfismos . . . . . . . 28
II. Teorıa de Caracteres 35
2.1. El Caracter de una Representacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.2. Ortogonalidad de Caracteres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3. Numero de Representaciones Irreducibles . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.4. Productos Tensoriales y sus Caracteres . . . . . . . . . . . . . . . . 57
v
2.5. Representaciones Restringidas e Inducidas . . . . . . . . . . . . . . . 63
Referencias 72
vi
Resumen
A lo largo de este trabajo encontraremos la teorıa basica de las representaciones
de grupos finitos (Capıtulo 1) y de sus caracteres (Capıtulo 2). No son necesarios
conocimientos previos muy profundos, basta con estar familiarizado con algebra
lineal y teorıa de grupos (en caso contrario, una buena fuente de consulta es [1]), el
resto, se desarrollara aquı completamente.
En la seccion (1.1) encontraremos las definiciones de representacion y subrepre-
sentacion de un grupo G, las definiciones en terminos de G-modulos y las defini-
ciones en terminos matriciales. Luego veremos los ejemplos de las representaciones
mas importantes de varios grupos en la seccion (1.2). En la seccion (1.3) habla-
mos de las condiciones que debe cumplir una representacion para ser reducible y
probamos el teorema mas importante y mas usado durante todo este trabajo, el
Teorema de Maschke, que es el que permite descomponer cualquier representacion
en subrepresentaciones irreducibles. Definimos las nociones de G-homomorfismos y
G-isomorfismos entre modulos y demostramos el Teorema de Schur en la seccion
(1.4).
En la seccion (1.5) encontramos la definicion y las propiedades del producto tensorial
vii
entre matrices, espacios vectoriales y representaciones del mismo grupo. Por ultimo,
en la seccion (1.6) describimos completamente el Algebra de Conmutadores de una
representacion matricial de un grupo G y el Algebra de Endomorfismos de un G-
modulo, ya que los dos ultimos teoremas enunciados en esta seccion son usados a lo
largo del Capıtulo 2, especialmente en la seccion (2.3) para la demostracion de la
Proposicion (2.3.1).
En el Capıtulo 2 estudiamos la teorıa de caracteres, teorıa que es muy importante
para las representaciones, ya que estos proveen invariantes que permiten clasificar
las representaciones y aportan informacion especıfica acerca de la descomposicion
de una representacion en sus partes irreducibles.
En la seccion (2.1) encontramos la definicion de caracter, sus propiedades, algunos
ejemplos de calculos de caracteres, una proposicion en la que se calcula el carac-
ter de la suma directa y el producto tensorial de dos representaciones (Proposicion
(2.1.2)), y se introduce la nocion de tabla de caracteres. En la seccion (2.2) definimos
un producto interno de caracteres, que nos va a dar una relacion de ortogonalidad
entre los caracteres irreducibles de un grupo (Teorema (2.2.1)); dicha relacion, nos
proporcionara una herramienta muy poderosa, ya que con ella podremos saber si
una representacion es irreducible o no, hallaremos el numero de veces que se en-
cuentra una representacion irreducible dentro de otra y podremos decir cuando dos
representaciones son isomorfas (Corolario (2.2.1)), y terminamos con la Proposicion
(2.2.2) que describe la forma general de la descomposicion de la representacion de
definicion de Sn en sus dos subrepresentaciones irreducibles.
En la seccion (2.3) hablamos de las funciones de clase de un grupo G y vemos su
viii
estrecha relacion con los modulos irreducibles del grupo y en especial con sus carac-
teres, resumiendo todo en el Teorema (2.3.1) que prueba que el espacio generado por
los G-modulos irreducibles es isomorfo al espacio de las funciones de clase. En la si-
guiente seccion, la (2.4) definimos el producto tensorial entre dos representaciones de
grupos distintos, calculamos su caracter y el caracter del producto tensorial definido
en la seccion (1.5), revisamos bajo que condiciones el producto tensorial de repre-
sentaciones irreducibles sigue siendo irreducible y en cuales no. Para terminar, en la
seccion (2.5) definimos nuevas representaciones por medio de tres operaciones que
son la restriccion, la induccion y la inflacion.
En la parte teorica de este trabajo complete las demostraciones de los teoremas,
lemas y proposiciones e incluı la Proposicion (2.2.2) y el Teorema (2.4.3). A lo largo
de los dos capıtulos resolvı varios ejemplos haciendo todos calculos necesarios, espe-
cialmente para el grupo S3 y la final incluı el calculo completo de las representaciones
irreducibles junto con la tabla de caracteres del grupo simetrico de orden 4, S4.
ix
Capıtulo I
Representaciones De Grupos Finitos
A lo largo de este capıtulo estudiaremos los conceptos basicos de las representaciones
de grupos finitos, como la caracterıstica de ser irreducible o la descomposicion en
subrepresentaciones irreducibles. Veremos algunos ejemplos de representaciones y
trabajaremos especialmente con el grupo simetrico S3. Usaremos las representaciones
de dos formas distintas, como G-modulos y como matrices, y como las dos formas
son equivalentes, escogeremos una o la otra dependiendo de la que facilite mas los
calculos. Cabe anotar que todos los espacios vectoriales con los que trabajaremos
estan sobre el campo de los complejos (C).
La teorıa y algunos de los ejemplos de este capıtulo se basan en los libros [1], [2] y
[3]; y se completaron, tanto las demostraciones de las proposiciones y los teoremas,
como los calculos de los ejemplos.
1
1.1. Definiciones Basicas
En esta seccion definiremos los conceptos mınimos que necesitamos para desarrollar
la teorıa del capıtulo completo.
Definicion 1.1.1. Una representacion matricial de un grupo G es un homomor-
fismo
X : G → GLd
donde para cada g ∈ G se asigna X(g) ∈ Matd, donde Matd es el conjunto de todas
las matrices de tamano d × d con entradas en C y GLd, tal que
1. X(ε) = I la matriz identidad para ε la identidad de G.
2. X(gh) = X(g)X(h) para todo g, h ∈ G.
El parametro d se llama grado o dimension de la representacion. �
Definicion 1.1.2. Sea V un espacio vectorial sobre C de dimension finita, GL(V ) es
el grupo de transformaciones lineales invertibles de V en V , llamado el grupo lineal
general de V . Si dim(V ) = d, entonces GL(V ) y GLd son isomorfos como grupos. �
Definicion 1.1.3. Sea V un espacio vectorial y G un grupo. Entonces V es un
G-modulo si existe un homomorfismo de grupos
ρ : G → GL(V )
tal que:
ρ(gh) = ρ(g) · ρ(h) g, h ∈ G
En particular, se tiene que
ρ(ε) = 1V ρ(g−1) = ρ(g)−1
�
2
Definicion 1.1.4. Equivalente a la definicion anterior, se dice que V es un G-modulo
si existe una multiplicacion, gv, de elementos de G por elementos de V tal que
1. gv ∈ V
2. g(cv + dw) = c(gv) + d(gw)
3. (gh)v = g(hv)
4. εv = v
para todos g, h ∈ G, v,w ∈ V y escalares c, d ∈ C. �
Definicion 1.1.5. Si V es un G-modulo, se dice que V es la representacion de G
y si V tiene dimension n, entonces se dice que ρ es de dimension n. �
Definicion 1.1.6. Si S es un conjunto con una multiplicacion por elementos de un
grupo G que satisface 1, 3 y 4 de la definicion (1.1.4), decimos que G actua en S. �
Definicion 1.1.7. Sea ρ : G → GL(V ) una representacion lineal y W un subespacio
vectorial de V , supongamos que W es estable bajo la accion de G (i.e. si x ∈ W ⇒
ρg(x) ∈ W ∀g ∈ G). La restriccion ρWg de ρg a W es un isomorfismo de W en el
mismo y cumple ρWgh = ρW
g · ρWh . Por lo tanto,
ρW : G → GL(W )
es una representacion lineal de G en W ; W se llama subrepresentacion de V. �
Definicion 1.1.8. Sean S = {s1, s2, . . . , sn} un conjunto y CS = C{s1, s2, . . . , sn}
el espacio vectorial generado por S sobre C, esto es, CS consiste de todas las com-
binaciones lineales formales
c1s1 + c2s2 + · · · + cnsn
donde ci ∈ C para todo i. Se definen la adicion de vectores y la multiplicacion por
escalar en CS como:
(c1s1 + c2s2 + · · · + cnsn) + (d1s1 + d2s2 + · · ·+ dnsn)
= (c1 + d1)s1 + (c2 + d2)s2 + · · · + (cn + dn)sn
3
y
c(c1s1 + c2s2 + · · ·+ cnsn) = (cc1)s1 + (cc2)s2 + · · · + (ccn)sn
respectivamente. La accion de G sobre S puede ser extendida a una accion sobre
CS linealmente, ası:
g(c1s1 + c2s2 + · · · + cnsn) = c1(gs1) + c2(gs2) + · · ·+ cn(gsn)
para todo g ∈ G. Esto convierte a CS en un G-modulo de dimension |S|. �
Definicion 1.1.9. Si un grupo G actua en un conjunto S, entonces el modulo
asociado CS es llamado representacion de permutacion asociada a S. Los elementos
de S forman una base para CS llamada la base estandar. �
Definicion 1.1.10. Si G actua en cualquier espacio vectorial V , entonces C[G]
tambien actua en V , de la siguiente manera: si c1g1 + c2g2 + · · · + cngn ∈ C[G] y
v ∈ V , entonces podemos definir la accion de C[G] en V como:
(c1g1 + c2g2 + · · · + cngn)v = c1(g1v) + c2(g2v) + · · · + cn(gnv)
De hecho, se puede extender el concepto de representacion a algebras: una repre-
sentacion de un algebra A es un homomorfismo entre algebras, que va de A en
GL(V ). De esta forma, toda representacion de un grupo G genera una representacion
de su algebra C[G]. �
Definicion 1.1.11. Una particion de n es una secuencia
λ = (λ1, λ2, . . . , λl)
donde los λi son debilmente decrecientes y∑l
i=1 λi = n. Por ejemplo, si π ∈ S5
esta dado por
π = (1, 2, 3)(4)(5)
entonces λ corresponde a la particion
λ = (3, 1, 1)
donde λi indica la cantidad de elementos que hay en cada ciclo. �
4
Definicion 1.1.12. Sea λ = (λ1, λ2, . . . , λl) una particion de n. Un tabloide de
Young de forma λ es un arreglo con l filas tal que cada fila i contiene λi enteros y
el orden de los enteros en una fila no importa. Por ejemplo, si λ = (4, 2, 1), entonces
algunas de los posibles tabloides de Young son
3 1 4 1
5 9
2
=
3 1 1 4
9 5
2
�=
9 5 3 4
2 1
1
�
1.2. Ejemplos
Ahora vamos a ver algunos ejemplos de las representaciones mas importantes de un
grupo G, como son: la representacion regular, la de definicion y la de cosets, entre
otras.
Ejemplo 1.2.1. Si definimos la representacion ρ que le asigna a cualquier g ∈ G,
ρ(g) = 1, entonces ρ se llama representacion unitaria o trivial de G. �
Ejemplo 1.2.2. Una representacion de grado 1 de un grupo G es un homomorfismo
ρ : G → GL(V )
donde dim(V ) = 1 ⇒ V = C ⇒ GL(V ) = GL(C) ∼= (C∗, ·) (el grupo multiplica-
tivo de los complejos distintos de cero) y por lo tanto,
ρ : G → C∗
Como G es un grupo finito, entonces todos sus elementos tienen orden finito, y por
lo tanto, para todo g ∈ G, si
gn = 1 ⇒ (ρ(g))n = ρ(gn) = ρ(1) = 1
lo que implica que ρ(g) es una raız de la unidad y |ρ(g)| = 1.
5
Consideremos el grupo cıclico de orden n, Cn, entonces si g es un generador de Cn,
es decir,
Cn = {g, g2, g3, . . . , gn = e}
y si tenemos que ρ(g) = c, c ∈ C, entonces c y sus potencias, son raıces de la
unidad y como cada una corresponde a una representacion, hay exactamente n
representaciones de Cn que tienen grado 1.
En particular, tomemos n = 4 y C4 = {e, g, g2, g3}. Las cuatro raıces de la unidad son
1, i,−1,−i. Si denotamos por ρ1, ρ2, ρ3, ρ4 a las 4 representaciones correspondientes,
podemos construir la tabla:
e g g2 g3
ρ1 1 1 1 1
ρ2 1 i −1 −i
ρ3 1 −1 1 −1
ρ4 1 −i 1 i
donde la entrada de la fila i y la columna j es ρi(gj). Esta tabla es un ejemplo
de una tabla de caracteres (concepto que veremos mas adelante), ya que para las
representaciones de dimension 1, la representacion y su caracter coinciden. �
Ejemplo 1.2.3. Consideremos el grupo simetrico Sn. Decimos que el homomorfismo
ρ(π) = signo(π) es una representacion llamada representacion de signo.
Si π se descompone en transposiciones como π = τ1τ2 · · · τk, entonces definimos
ρ(π) = signo(π) = (−1)k.
�
Ejemplo 1.2.4. Otra representacion importante de Sn es la representacion de defini-
cion, que es de grado n. Si π ∈ Sn, entonces definimos (en notacion matricial)
X(π) = (xi,j)n×n, donde
xi,j =
⎧⎨⎩1 si π(j) = i,
0 de lo contrario.
6
La matriz X(π) es llamada matriz de permutacion, ya que contiene solo ceros y
unos, con un unico uno en cada columna y cada fila. En particular, consideremos
S3 con sus permutaciones escritas en notacion cıclica, entonces las matrices de la
representacion de definicion son:
X( (1, 2) ) =
⎛⎜⎜⎝0 1 0
1 0 0
0 0 1
⎞⎟⎟⎠
X( (2, 3) ) =
⎛⎜⎜⎝1 0 0
0 0 1
0 1 0
⎞⎟⎟⎠
X( (1, 3) ) =
⎛⎜⎜⎝0 0 1
0 1 0
1 0 0
⎞⎟⎟⎠
X( (1, 3, 2) ) =
⎛⎜⎜⎝0 1 0
0 0 1
1 0 0
⎞⎟⎟⎠
X( (1, 2, 3) ) =
⎛⎜⎜⎝0 0 1
1 0 0
0 1 0
⎞⎟⎟⎠
X( e = (1)(2)(3) ) =
⎛⎜⎜⎝1 0 0
0 1 0
0 0 1
⎞⎟⎟⎠�
Ejemplo 1.2.5. Ahora consideremos Sn con su accion usual en S = {1, 2, . . . , n}.
Si
CS = {c11 + c22 + · · · + cnn : ci ∈ C para todo i}
entonces Sn actua en CS con la accion
π(c11 + c22 + · · ·+ cnn) = c1π(1) + c2π(2) + · · · + cnπ(n)
para todo π ∈ Sn.
Tomemos como caso particular S3 y determinemos las matrices X(π) para π ∈ S3
en la base estandar {1, 2, 3}.
7
Para encontrar, por ejemplo, la matriz de π = (1, 2) calculamos
(1, 2)1 = 2 (1, 2)2 = 1 (1, 2)3 = 3
y haciendo los mismos calculos para las otras permutaciones encontramos,
X( (1, 2) ) =
⎛⎜⎜⎝0 1 0
1 0 0
0 0 1
⎞⎟⎟⎠
X( (2, 3) ) =
⎛⎜⎜⎝1 0 0
0 0 1
0 1 0
⎞⎟⎟⎠
X( (1, 3) ) =
⎛⎜⎜⎝0 0 1
0 1 0
1 0 0
⎞⎟⎟⎠
X( (1, 3, 2) ) =
⎛⎜⎜⎝0 1 0
0 0 1
1 0 0
⎞⎟⎟⎠
X( (1, 2, 3) ) =
⎛⎜⎜⎝0 0 1
1 0 0
0 1 0
⎞⎟⎟⎠
X( e = (1)(2)(3) ) =
⎛⎜⎜⎝1 0 0
0 1 0
0 0 1
⎞⎟⎟⎠que son las mismas matrices de la representacion de definicion descrita en el ejemplo
anterior, por lo que nos referiremos a esta representacion por medio de CS. �
Ejemplo 1.2.6. Sean n el orden de G y V un espacio vectorial de dimension n con
base (eh)h∈G indizada por los h ∈ G.
Si para cada g ∈ G tomamos
ρg : V → V
eh �→ egh
entonces se define una representacion lineal llamada representacion regular de G.
El grado de esta representacion es el grado de G. Ademas se tiene que
ρg(e1) = eg ⇒ {ρg(e1) : g ∈ G}
8
es una base para V .
Por otro lado, si W es una representacion de G que contiene un vector w tal que
{ρg(w) : g ∈ G}
forman una base de W , entonces W es isomorfo a la representacion regular y defi-
nimos ese isomorfismo como:
τ : V → W
eg �→ ρg(w)
�
Ejemplo 1.2.7. Dado G un grupo arbitrario, describimos la representacion regular
de G cuando G actua en sı mismo con multiplicacion por izquierda, ası: si g ∈ G
y h ∈ S = G, entonces la accion de g en h, gh esta definida por la multiplicacion
usual del grupo. Las propiedades 1,3 y 4 de la definicion (1.1.4) de un G-modulo, se
satisfacen por los axiomas de clausura, asociatividad e identidad del grupo.
Ası, si G = {g1, g2, . . . , gn}, entonces el correspondiente G-modulo
C[G] = {c1g1 + c2g2 + · · ·+ cngn : ci ∈ C para todo i}
es llamado el algebra del grupo G. Tiene estructura de algebra ya que se puede
definir la multiplicacion como gigj = gk si gigj = gk en G.
Ahora, la accion de G en el algebra del grupo puede ser expresada como
g(c1g1 + c2g2 + · · · + cngn) = c1(gg1) + c2(gg2) + · · ·+ cn(ggn)
para todo g ∈ G.
Tomemos como caso particular al grupo cıclico de orden 4, C4 y encontremos la
representacion regular de el en sı mismo. Tenemos que
C[C4] = {c1e + c2g + c3g2 + c4g
3 : ci ∈ C para todo i}
9
Encontremos, por ejemplo, la matriz de g2 en la base estandar:
g2e = g2 g2g = g3 g2g2 = e g2g3 = g.
Por lo tanto, haciendo los mismos calculos para todos los elementos de C4 obtenemos
las siguientes matrices:
X(g2) =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝0 0 1 0
0 0 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠
X(g) =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝0 0 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠
X(g3) =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1 0 0 0
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠
X(e) =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠Notemos que estas matrices son matrices de permutacion distintas. En general, la
representacion regular de G genera una inmersion de G en el grupo simetrico de |G|
elementos. �
Ejemplo 1.2.8. Si G actua en un conjunto finito S y si V es el espacio vectorial
que tiene como base al conjunto
{et : t ∈ S},
para cada g ∈ G definimos
ρg : V → V
et �→ egt
y obtenemos la representacion lineal llamada representacion de permutacion asocia-
da a S. �
10
Ejemplo 1.2.9. Un submodulo no trivial de la representacion de definicion (V =
C{1, 2, . . . ,n}) del grupo G = Sn(n ≥ 2) es
W = C{1 + 2 + · · ·+ n} = {c(1 + 2 + · · ·+ n) : c ∈ C},
es decir, W es el subespacio de dimension 1 generado por el vector 1 + 2 + · · · + n.
Para verificar que W es una subrepresentacion de V (Definicion (1.1.7)) debemos
verificar que W es estable bajo la accion de G. Ası, para cualquier π ∈ Sn tenemos
que
π(1 + 2 + · · ·+ n) = π(1) + π(2) + · · · + π(n)
= 1 + 2 + · · ·+ n ∈ W.
Como dim W = 1 y dim V ≥ 2, entonces W es un submodulo no trivial de V .
Para saber cual representacion se obtiene al restringir la accion de G a W , basta
con ver que todo π ∈ Sn envıa al vector base 1 + 2 + · · ·+ n en el mismo y, por lo
tanto, su representacion matricial es X(π) = 1, que es una copia de la representacion
trivial de C{1, 2, . . . ,n}.
Ejemplo 1.2.10. Generalizando el ejemplo anterior, tomemos G = {g1, g2, . . . , gn}
y V = C[G] la representacion de definicion de G. Consideremos el subespacio W de
V , de dimension 1, generado por la suma de todos los elementos de G, es decir:
W = C[g1 + g2 + · · ·+ gn].
W es un submodulo ya que para todo g ∈ G, W es invariante bajo su accion:
g(g1 + g2 + · · · + gn) = gg1 + gg2 + · · ·+ ggn
= g1 + g2 + · · · + gn ∈ W.
En general, si V es la representacion de definicion de G y W es el subespacio de V
de dimension 1, generado por el elemento x =∑g∈G
eg, donde {eg : g ∈ G} es una base
de V , entonces W es una subrepresentacion de V que es isomorfa a la representacion
trivial, ya que ρg(x) = x ∀g ∈ G. �
11
Ejemplo 1.2.11. Sea G un grupo y H un subgrupo de G (H ≤ G). Una ge-
neralizacion de la representacion regular es la representacion de coset (izquier-
do) de G respecto a H . Dados g1, g2, . . . , gk transversales a H , es decir, H =
{g1H, g2H, . . . , gkH} es un conjunto completo de cosets izquierdos disyuntos para
H en G, entonces G actua en H de la siguiente forma
g(giH) = (ggi)H
para todo g ∈ G. El modulo correspondiente
CH = {c1g1H + c2g2H + · · · + ckgkH : ci ∈ C para todo i}
hereda la accion de G, ası
g(c1g1H + c2g2H + · · · + ckgkH) = c1(gg1H) + c2(gg2H) + · · · + ck(ggkH)
Notemos que si H = G, entonces esta se reduce a la representacion trivial y si
H = {ε}, entonces H = G y obtenemos la representacion regular.
Consideremos el caso especial en que G = S3 y H = {ε, (2, 3)}. Podemos tomar
H = {H, (1, 2)H, (1, 3)H}
y
CH = {c1H + c2(1, 2)H + c3(1, 3)H : ci ∈ C para todo i}
Calculando las matrices X(g) de la representacion en la base estandar obtenemos
(1, 2)H = (1, 2)H, (1, 2)(1, 2)H = H, (1, 2)(1, 3)H = (1, 3, 2)H = (1, 3)H
por lo tanto,
X( (1, 2) ) =
⎛⎜⎜⎝0 1 0
1 0 0
0 0 1
⎞⎟⎟⎠y haciendo los mismos calculos para los otros elementos de S3 obtenemos las sigu-
ientes matrices
12
X( (2, 3) ) =
⎛⎜⎜⎝1 0 0
0 0 1
0 1 0
⎞⎟⎟⎠
X( (1, 3) ) =
⎛⎜⎜⎝0 0 1
0 1 0
1 0 0
⎞⎟⎟⎠
X( (1, 3, 2) ) =
⎛⎜⎜⎝0 1 0
0 0 1
1 0 0
⎞⎟⎟⎠
X( (1, 2, 3) ) =
⎛⎜⎜⎝0 0 1
1 0 0
0 1 0
⎞⎟⎟⎠
X( e = (1)(2)(3) ) =
⎛⎜⎜⎝1 0 0
0 1 0
0 0 1
⎞⎟⎟⎠
que son las mismas matrices de la representacion de definicion de S3. �
1.3. Representaciones Irreducibles
En esta seccion vamos a ver una de las caracterısticas mas importantes de la teorıa
de representaciones: la irreducibilidad. Aprenderemos a descomponer una repre-
sentacion matricial en subrepresentaciones irreducibles y probaremos el teorema
mas usado a lo largo de este trabajo, el Teorema de Maschke (1.3.2).
Definicion 1.3.1. Sea X : G → GL(V ) una representacion lineal de G. Decimos
que es irreducible o simple si V no es 0 y si no tiene subespacios vectoriales estables
bajo la accion de G, excepto por 0 y V mismos, de lo contrario, se dice que V es
reducible.
Equivalentemente, V es reducible si tiene una base B, en la cual, a todo g ∈ G se le
asigna una matriz por bloques de la forma
X(g) =
(A(g) B(g)
0 C(g)
)donde las matrices A(g) (para cada g) son cuadradas y todas del mismo tamano, y
0 es la matriz de ceros. �
13
Ejemplo 1.3.1. Vamos a ver que la representacion de definicion de S3 es reducible
de acuerdo con la definicion anterior.
Consideremos el subespacio W = C[1 + 2 + 3] de V = C[1, 2, 3] como en el ejemplo
(1.2.9), por lo tanto, W es una subrepresentacion de V . Vamos a extender la base
de W a una base de V , ası:
B = {1 + 2 + 3, 2, 3}
y encontremos como actuan los elementos de S3 en la base B, por ejemplo (1, 2) y
(1, 3, 2):
(1, 2)(1 + 2 + 3) = 1 + 2 + 3
(1, 2)2 = 1 = (1 + 2 + 3) − 2 − 3
(1, 2)3 = 3
(1, 2, 3)(1 + 2 + 3) = 1 + 2 + 3
(1, 2, 3)2 = 3
(1, 2, 3)3 = 1 = (1 + 2 + 3) − 2 − 3
Haciendo los calculos para los 6 elementos de S3 obtenemos las matrices:
X( (1, 2) ) =
⎛⎜⎜⎝1 1 0
0 −1 0
0 −1 1
⎞⎟⎟⎠
X( (2, 3) ) =
⎛⎜⎜⎝1 0 0
0 0 1
0 1 0
⎞⎟⎟⎠
X( (1, 3) ) =
⎛⎜⎜⎝1 0 1
0 1 −1
0 0 −1
⎞⎟⎟⎠
X( (1, 3, 2) ) =
⎛⎜⎜⎝1 1 0
0 −1 1
0 −1 0
⎞⎟⎟⎠
X( (1, 2, 3) ) =
⎛⎜⎜⎝1 0 1
0 0 −1
0 1 −1
⎞⎟⎟⎠
X( e ) =
⎛⎜⎜⎝1 0 0
0 1 0
0 0 1
⎞⎟⎟⎠
14
Notemos que todas estas matrices son de la forma:
X( π ) =
⎛⎜⎜⎝1 � �
0 � �
0 � �
⎞⎟⎟⎠lo que implica que la representacion de definicion de S3 es reducible, y el uno que
corresponde a la matriz A(g) quiere decir que S3 actua trivialmente sobre W . �
Definicion 1.3.2. Sea V un espacio vectorial con subespacios U y W , entonces V
es la suma directa (interna) de U y W (V = U ⊕W ), si todo v ∈ V puede escribirse
como la suma
v = u + w u ∈ U,w ∈ W.
Si V es un G-modulo y U, W son G-submodulos, entonces decimos que U y W son
complementos uno del otro.
Si X es una matriz, entonces X es la suma directa de las matrices A y B (X = A⊕B),
si X tiene forma diagonal por bloques, ası:
X =
(A 0
0 B
)�
Sea V un G-modulo con V = U ⊕ W , donde U, W ≤ V . Como esta es una suma
directa de espacios vectoriales, podemos encontrar una base para V
B = {u1,u2, . . . ,uf ,wf+1,wf+2, . . . ,wd}
tal que {u1,u2, . . . ,uf} es una base para U y {wf+1,wf+2, . . . ,wd} es una base para
W . Como U y W son submodulos, tenemos
gui ∈ U y gwj ∈ W
para todo g ∈ G,ui ∈ U,wj ∈ W . Por lo tanto, la matriz para cualquier g ∈ G en
la base B es
X(g) =
(A(g) 0
0 B(g)
)
15
donde A(g) y B(g) son las matrices de la accion de G restringida a U y W , respec-
tivamente.
Teorema 1.3.1. Sea V un G-modulo y sea W un subespacio vectorial de V estable
bajo G. Entonces existe un complemento W⊥ de W en V estable bajo G.
Demostracion. Sea B = {v1,v2, . . . ,vd} una base para V . Consideremos el unico
producto interno que satisface
〈vi,vj〉 = δi,j
para los elementos de B. Como este producto puede no ser G-invariante, entonces
definimos para v,w ∈ V
〈v,w〉′ =∑g∈G
〈gv, gw〉
que es invariante bajo la accion de G ya que para v,w ∈ V y para todo h ∈ G
tenemos
〈hv, hw〉′ =∑g∈G
〈ghv, ghw〉 (definicion de 〈·, ·〉′)
=∑f∈G
〈fv, fw〉 (como g varıa sobre G, tambien lo hace f = gh)
= 〈v,w〉′ (definicion de 〈·, ·〉′)
Ahora tomemos
W⊥ = {v ∈ V : 〈v,w〉′ = 0 para todo w ∈ W}
y veamos que es invariante bajo G: sean u ∈ W⊥, w ∈ W y g ∈ G arbitrarios,
entonces
〈gu,w〉′ = 〈g−1gu, g−1w〉′ (porque 〈·, ·〉 es invariante bajo G)
= 〈u, g−1w〉′ (propiedad de grupo)
= 0 (u ∈ W⊥ y g−1w ∈ W porque W
es invariante bajo G)
�
16
Teorema 1.3.2. (Teorema de Maschke) Toda representacion es la suma directa
de representaciones irreducibles.
Demostracion. (Por induccion en la dim(V )) Sea V una representacion lineal de
G, si dim(V ) = 0 entonces tomamos el 0 como la suma directa de la familia de
representaciones irreducibles vacıas.
Ahora supongamos que dim(V ) ≥ 1. Si V es irreducible tomamos V = V ⊕ 0; si no,
usando el Teorema (1.3.1) podemos descomponer V en la suma directa W ⊕ W⊥
con dim(W ) < dim(V ) y dim(W⊥) < dim(V ).
Aplicando la hipotesis de induccion a W y W⊥ podemos escribirlos como sumas
directas de representaciones irreducibles y por lo tanto V tiene la forma deseada. �
Corolario 1.3.1. Sea G un grupo finito y sea X una representacion matricial de
G de dimension d > 0. Entonces existe una matriz fija T tal que toda matriz
X(g), g ∈ G tiene la forma
TX(g)T−1 =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝X(1)(g) 0 · · · 0
0 X(2)(g) · · · 0...
.... . .
...
0 0 · · · X(k)(g)
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠donde cada X(i) es una representacion matricial irreducible de G.
Demostracion. Sea V = Cd con la accion
gv = X(g)v
para todos g ∈ G y v ∈ V . Por el teorema de Maschke (1.3.2),
V = W (1) ⊕ W (2) ⊕ · · · ⊕ W (k),
donde cada W (i) es irreducible de dimension di. Tomemos una base B para V tal
que los primeros d1 vectores sean una base para W (1), los siguientes d2 sean una
base para W (2), etc. La matriz T que transforma la base estandar de Cd en B es
17
la matriz buscada ya que al conjugar T con X(g), estamos expresando X(g) en la
nueva base B. �
Ejemplo 1.3.2. Tomando la representacion de definicion de S3 podemos ver que
V = C{1, 2, 3} = C{1 + 2 + 3} ⊕ C{2, 3}
como espacios vectoriales. Pero C{1+2+3} es un S3-submodulo y C{2, 3} no (por
ejemplo (1, 2)2 = 1 /∈ C{2, 3}), por lo tanto, vamos a encontrar un submodulo U
de V tal que
C{1, 2, 3} = C{1 + 2 + 3} ⊕ U.
Como en el teorema de Maschke(1.3.2), vamos a definir un producto interno en
V = C{1, 2, 3}. Dados dos vectores i, j en la base {1, 2, 3}, tomamos
〈i, j〉 = δi,j
donde δi,j es el delta de Kronecker y lo extendemos a V linealmente en la primera
componente y linealmente conjugado en la segunda. El producto ası definido es
invariante bajo la accion de G ya que
〈πi, πj〉 = δπ(i),π(j) = δi,j = 〈i, j〉
donde la igualdad del medio es valida porque π es una biyeccion.
Ası,
U = C{1 + 2 + 3}⊥ = {v ∈ V : 〈v,w〉 = 0 para todo w ∈ C{1 + 2 + 3}}
es un submodulo de V .
Tambien podemos ver a U como
C{1 + 2 + 3}⊥ = {v = a1 + b2 + c3 : 〈v, 1 + 2 + 3〉 = 0}
= {v = a1 + b2 + c3 : a + b + c = 0}.
Para calcular las matrices de la suma directa escogemos la base {1 + 2 + 3} para
C{1 + 2 + 3} y {2 − 1, 3 − 1} para C{1 + 2 + 3}⊥. Calculemos la accion de (1, 2)
18
en los elementos de la base de S3 ası escogida ({1 + 2 + 3, 2 − 1, 3 − 1}):
(1, 2)(1 + 2 + 3) = 1 + 2 + 3
(1, 2)(2 − 1) = 1 − 2 = −(2 − 1)
(1, 2)(3 − 1) = 3 − 2 = (3 − 1) + (1 − 2)
= (3 − 1) − (2 − 1)
Por lo tanto, la matriz de (1, 2) y las otras matrices son:
X( (1, 2) ) =
⎛⎜⎜⎝1 0 0
0 −1 −1
0 0 1
⎞⎟⎟⎠
X( (1, 3) ) =
⎛⎜⎜⎝1 0 0
0 1 0
0 −1 −1
⎞⎟⎟⎠
X( (1, 3, 2) ) =
⎛⎜⎜⎝1 0 0
0 0 1
0 −1 −1
⎞⎟⎟⎠
X( e ) =
⎛⎜⎜⎝1 0 0
0 1 0
0 0 1
⎞⎟⎟⎠
X( (2, 3) ) =
⎛⎜⎜⎝1 0 0
0 0 1
0 1 0
⎞⎟⎟⎠
X( (1, 2, 3) ) =
⎛⎜⎜⎝1 0 0
0 −1 −1
0 1 0
⎞⎟⎟⎠Por la forma que tienen estas matrices podemos ver que son la suma directa de dos
matrices, ası:
X(g) =
⎛⎜⎜⎝A(g) 0 0
0 B(g)
0
⎞⎟⎟⎠Obviamente A(g) es irreducible (porque es de grado 1), y veremos despues que B(g)
tambien lo es, por lo tanto, hemos descompuesto la representacion de definicion de
S3 en sus partes irreducibles. �
Definicion 1.3.3. Una representacion es completamente reducible si puede ser
escrita como una suma directa de irreducibles. �
19
1.4. G-Homomorfismos y el Lema de Schur
Dados dos G-modulos vamos a decir si son G-isomorfos o no, y si son irreducibles
encontraremos, por medio del Lema de Schur, que son el mismo modulo o son com-
pletamente distintos, es decir, no hay una copia de uno dentro del otro.
Definicion 1.4.1. Sean V y W G-modulos, entonces un G-homomorfismo es una
transformacion lineal θ : V → W tal que
θ(gv) = gθ(v)
para todo g ∈ G y v ∈ V . Tambien decimos que θ preserva o respeta la accion de
G. �
Escribiendo esta definicion en terminos matriciales, tomamos las bases B y C de
V y W respectivamente, X(g) y Y (g) las matrices correspondientes a las represen-
taciones y T como la matriz de θ en las bases B y C. Entonces, la propiedad de
G-homomorfismo se escribe como
TX(g)v = Y (g)Tv
para todo vector columna v y g ∈ G, pero como esto es cierto para todo v, entonces
tenemos
TX(g) = Y (g)T para todo g ∈ G (1)
Por lo tanto, tener un G-homomorfismo θ es equivalente a la existencia de una matriz
T tal que (1) se satisface. Escribiremos esta condicion como TX = Y T .
Ejemplo 1.4.1. Sean G = Sn, V = C{v} con la accion trivial de Sn y W =
C{1, 2, . . . ,n} con la accion de definicion de Sn. Definamos la transformacion θ :
V → W como
θ(v) = 1 + 2 + · · · + n
y la extendemos linealmente, es decir,
θ(cv) = c(1 + 2 + · · · + n)
20
para todo c ∈ C. Como para todo π ∈ Sn se tiene
θ(πv) = θ(v) = 1 + 2 + · · ·+ n = π(1 + 2 + · · ·+ n) = πθ(v)
entonces θ preserva la accion de G y, por lo tanto, es un G-homomorfismo.
De la misma forma, si G es un grupo arbitrario que actua trivialmente sobre V =
C{v}, y W = C[G] es el algebra del grupo, entonces tenemos el G-homomorfismo
θ : V → W dado por
θ(v) =∑g∈G
g
extendido linealmente. �
Definicion 1.4.2. Sean V y W modulos de un grupo G. Un G-isomorfismo es un
G-homomorfismo θ : V → W que es biyectivo. En este caso decimos que V y W son
G-isomorfos o G-equivalentes y se escribe V ∼= W . De lo contrario decimos que
V y W no son G-equivalentes. �
En terminos matriciales, como θ es una biyeccion, entonces la matriz T de la ecuacion
(1) debe ser invertible, es decir, si X y Y son dos representaciones matriciales de un
grupo G, X es equivalente a Y si y solo si existe una matriz fija T tal que
Y (g) = TX(g)T−1
para todo g ∈ G.
Ejemplo 1.4.2. Teniendo en cuenta la definicion anterior, vamos a ver por que la
representacion de coset de S3 (ejemplo 1.2.11)es la misma representacion de defini-
cion. Recordemos que habıamos tomado H = {ε, (2, 3)} ⊂ S3 que daba el modulo
de representacion de coset CH con
H = {H, (1, 2)H, (1, 3)H}.
Dado un conjunto A, sea SA el grupo simetrico en A, es decir, el conjunto de todas
las permutaciones de A, entonces el grupo H puede ser expresado como un producto
directo (interno)
H = {(1)(2)(3), (1)(2, 3)} = {(1)} × {(2)(3), (2, 3)} = S{1} × S{2,3}.
21
Una forma conveniente de escribir los productos de los subgrupos de Sn es el tabloide
de Young, que en este caso tendrıa forma λ = (2, 1) ası:
2 3
1
El conjunto completo de tabloides de forma λ = (2, 1) con entradas 1, 2, 3 es
S =
{2 3
1,
1 3
2,
1 2
3
}
ademas, existe una accion de cualquier π ∈ S3 en S dada por
πi j
k=
π(i) π(j)
π(k).
y por lo tanto, podemos considerar la funcion θ que envıa
Hθ
−→2 3
1
(1, 2)Hθ
−→ (1, 2)2 3
1=
1 3
2
(1, 3)Hθ
−→ (1, 3)2 3
1=
1 2
3.
Por extension lineal, θ se convierte en un G-isomorfismo de espacios vectoriales de
CH en CS, y para verificar que es estable bajo G, revisamos la accion de cada π ∈ S3
en los elementos de la base de H, por ejemplo, si (1, 3) ∈ S3 y H ∈ H, entonces
θ((1, 3)H) = θ((1, 3)H) =1 2
3= (1, 3)
2 3
1= (1, 3)θ(H)
22
y si (1, 2, 3) ∈ S3 y (1, 2)H ∈ H, entonces
θ((1, 2, 3)(1, 2)H) = θ((1, 3)H) =1 2
3
= (1, 2, 3)1 3
2= (1, 2, 3)θ((1, 2)H)
Por lo tanto,
CH ∼= CS. (2)
Por otro lado, los tabloides estan completamente determinados por el elemento en
la segunda fila, ası, tenemos que existe una funcion natural η entre la base {1, 2, 3}
de la representacion de definicion y S, que es
1η
−−→2 3
1
2η
−−→1 3
2
3η
−−→1 2
3.
Extendiendo η linealmente, se obtiene un G-isomorfismo de C{1, 2, 3} en CS. Com-
binando este resultado con la ecuacion (2) obtenemos la equivalencia entre CH y
C{1, 2, 3}, que era lo que querıamos demostrar. �
Proposicion 1.4.1. Sea θ : V → W un G-homomorfismo. Entonces
1. ker θ = {v ∈ V : θ(v) = 0} es un G-submodulo de V .
2. im θ = {w ∈ W : w = θ(v) para algun v ∈ V } es un G-submodulo de W .
Demostracion. 1. Sabemos que ker θ es un subespacio de V ya que θ es lineal, por
lo tanto, solo basta probar que es cerrado bajo la accion de G. Sea v ∈ ker θ,
23
entonces para cualquier g ∈ G,
θ(gv) = gθ(v) (θ es G-homomorfismo)
= g0 (v ∈ ker θ)
= 0
ası, gv ∈ ker θ.
2. De la misma forma, sabemos que im θ es un subespacio de W y, por lo tanto,
vamos a probar que es cerrada bajo la accion de G. Sea w ∈ im θ y g ∈ G,
entonces existe un v ∈ V tal que w = θ(v)
gw = gθ(v) (porque w = θ(v))
= θ(gv) (θ es G-homomorfismo)
y como V es un G-modulo, entonces gv ∈ V , ası gw ∈ im θ.
�
Proposicion 1.4.2. (Lema de Schur) Sean V y W dos G-modulos irreducibles,
y sea θ : V → W un G-homomorfismo, entonces
1. θ es un G-isomorfismo, o
2. θ es la funcion cero.
Demostracion. Como V es irreducible y ker θ es un submodulo de V (por la proposi-
cion anterior), entonces tenemos ker θ = {0} o ker θ = V . De la misma forma, como
W es irreducible, entonces im θ = {0} o im θ = W . Si ker θ = V o im θ = {0}, en-
tonces θ debe ser la funcion cero. Por otro lado, si ker θ = {0} y im θ = W , entonces
θ debe ser un isomorfismo. �
El lema de Schur es muy importante ya que sigue siendo valido sobre campos arbi-
trarios y para grupos infinitos, es mas, la demostracion anterior, sigue funcionando
para estos casos. La version matricial tambien es cierta para los casos generalizados.
24
Corolario 1.4.1. Sean X y Y dos representaciones matriciales irreducibles de G.
Si T es cualquier matriz tal que TX(g) = Y (g)T para todo g ∈ G, entonces
1. T es invertible, o
2. T es la matriz cero.
Corolario 1.4.2. Sean V y W dos G-modulos con V irreducible, entonces la
dim Hom(V, W ) = 0 si y solo si W no contiene un submodulo isomorfo a V .
Corolario 1.4.3. Sea X una representacion matricial irreducible de G sobre los
complejos, entonces las unicas matrices T que conmutan con X(g) para todo g ∈ G
son las matrices de la forma T = cI, es decir, multiplos escalares de la identidad.
Demostracion. Como T cumple TX(g) = X(g)T para todo g ∈ G, entonces pode-
mos escribir
(T − cI)X = X(T − cI)
donde I es la matriz identidad apropiada y c ∈ C es cualquier escalar. Como C es al-
gebraicamente cerrado, entonces podemos escoger c de manera que sea un eigenvalor
de T , ası la matriz T − cI satisface la hipotesis del corolario (1.4.1) con X = Y y no
es invertible por la escogencia de c, por lo tanto, debemos tener que T − cI = 0. �
1.5. Productos Tensoriales
Las siguientes definiciones de productos tensoriales van a ser muy usadas en el resto
del capıtulo y al final del Capıtulo 2; en ese capıtulo se usara, particularmente, la
definicion del producto tensorial de dos representaciones del mismo grupo, para la
cual, se probaran varias afirmaciones usando teorıa de caracteres.
Definicion 1.5.1. Sean X = (xi,j) y Y matrices, entonces su producto tensorial es
la matriz por bloques
X ⊗ Y = (xi,jY ) =
⎛⎜⎜⎝x1,1Y x1,2Y · · ·
x2,1Y x2,2Y · · ·...
... · · ·
⎞⎟⎟⎠25
�
Lema 1.5.1. Sean A, X ∈ Matd y B, Y ∈ Matf , entonces
1. (A ⊗ B)(X ⊗ Y ) = AX ⊗ BY.
2. (A ⊕ B)(X ⊕ Y ) = AX ⊕ BY.
Demostracion. 1. Supongamos que A = (ai,j) y X = (xi,j), entonces
(A ⊗ B)(X ⊗ Y ) = (ai,jB)(xi,jY ) (por definicion de ⊗ (1.5.1))
=∑
k
(ai,kB xk,jY ) (multiplicacion por bloques)
=
(∑k
ai,kxk,j
)BY (distributividad)
= AX ⊗ BY (definicion de ⊗ (1.5.1))
2. Multiplicando por bloques obtenemos
(A ⊕ B)(X ⊕ Y ) =
(A 0
0 B
)(X 0
0 Y
)
=
(AX 0
0 BY
)= AX ⊕ BY
�
Definicion 1.5.2. Sean V y W dos espacios vectoriales, entonces su producto ten-
sorial es el conjunto
V ⊗ W =
{∑i,j
ci,jvi ⊗wj : ci,j ∈ C,vi ∈ V,wi ∈ W
}
con las siguientes condiciones:
26
1. (c1v1 + c2v2) ⊗w = c1(v1 ⊗w) + c2(v2 ⊗ w)
2. v ⊗ (d1w1 + d2w2) = d1(v ⊗ w1) + d2(v ⊗w2)
�
Podemos ver que V ⊗ W es un espacio vectorial, y que, si B = {v1,v2, . . . ,vd} y
C = {w1,w2, . . . ,wf} son bases de V y W respectivamente, entonces el conjunto
{vi ⊗ wj : 1 ≤ i ≤ d, 1 ≤ j ≤ f}
es una base para V ⊗ W , por lo tanto,
dim(V ⊗ W ) = dim(V ) · dim(W ).
Definicion 1.5.3. Sean X y Y dos representaciones matriciales de G, entonces
definimos el producto tensorial de las representaciones dadas como
(X ⊗ Y )(g) = X(g) ⊗ Y (g)
para todo g ∈ G. �
Para verificar que esta definicion es correcta, debemos revisar las dos condiciones de
una representacion matricial (Definicion 1.1.1), ası
1. Para ε la identidad de G tenemos
(X ⊗ Y )(ε) = X(ε) ⊗ Y (ε) = I ⊗ I = I.
2. Si g, g′ ∈ G, entonces
(X ⊗ Y )(g · g′) = X(g · g′) ⊗ Y (g · g′) (definicion de ⊗)
= X(g)X(g′) ⊗ Y (g)Y (g′) (X y Y representaciones)
= (X(g) ⊗ Y (g)) · (X(g′) ⊗ Y (g′)) (parte (1) del Lema (1.5.1))
= (X ⊗ Y )(g) · (X ⊗ Y )(g′) (definicion de ⊗)
27
1.6. Algebra de Conmutadores y Algebra de Endomorfismos
El Algebra de Conmutadores de una representacion matricial de un grupo G o
el Algebra de Endomorfismos de un G-modulo, nos daran informacion acerca de la
descomposicion de la representacion en subrepresentaciones irreducibles, y usaremos
los dos ultimos teoremas de la seccion para encontrar (en el Capıtulo 2) la igualdad
entre el numero de representaciones irreducibles de un grupo y el numero de sus
funciones de clase.
Definicion 1.6.1. Dada una representacion matricial X : G → GLd, la correspon-
diente algebra de conmutadores es
Com X = {T ∈ Matd : TX(g) = X(g)T para todo g ∈ G},
donde Matd es el conjunto de todas las matrices de tamano d × d con entradas en
C.
Dado un G-modulo V , la correspondiente algebra de endomorfismos es
End V = {θ : V → V : θ es un G-homomorfismo}.
�
Si V es un G-modulo y X es su representacion matricial correspondiente, al tomar
la base B que da origen a X y usar la funcion Φ : End V → Com X que envıa a
θ ∈ End V en la matriz T ∈ Com X que corresponde a θ en la base B, podemos ver
que End V y Com X son isomorfas como algebras, resultado que sera importante
para los dos ultimos teoremas de esta seccion.
Ejemplo 1.6.1. De acuerdo con el Corolario (1.4.3) si X es la representacion ma-
tricial de G y es irreducible, entonces
Com X = {T ∈ Matd : TX(g) = X(g)T para todo g ∈ G}
= {cId : c ∈ C}
por lo tanto, dim(ComX) = 1 como espacio vectorial, ya que la matriz Id esta fija
y lo unico que puede cambiar es el escalar c. �
28
Ejemplo 1.6.2. Supongamos que X es una representacion matricial tal que
X =
(X(1) 0
0 X(2)
)= X(1) ⊕ X(2)
donde X(1), X(2) son irreducibles y no equivalentes de grados d1, d2, respectivamente.
Supongamos que
T =
(T1,1 T1,2
T2,1 T2,2
)es una matriz con bloques de la misma dimension que los bloques de X. Si TX = XT ,
entonces al multiplicar a ambos lados obtenemos(T1,1X
(1) T1,2X(2)
T2,1X(1) T2,2X
(2)
)=
(X(1)T1,1 X(1)T1,2
X(2)T2,1 X(2)T2,2
)
que separado por bloques es
T1,1X(1) = X(1)T1,1
T1,2X(2) = X(1)T1,2
T2,1X(1) = X(2)T2,1
T2,2X(2) = X(2)T2,2.
Usando los Corolarios (1.4.1) y (1.4.3) y teniendo en cuenta que X(1) y X(2) no son
equivalentes, podemos resolver estas ecuaciones para obtener
T1,1 = c1Id1, T1,2 = T2,1 = 0, T2,2 = c2Id2
,
donde c1, c2 ∈ C y Id1, Id2
son las matrices identidad de grados d1, d2. Por lo tanto,
T =
(c1Id1
0
0 c2Id2
).
En conclusion, tenemos que si X = X(1) ⊕ X(2) con X(1) � X(2) e irreducibles,
entonces
Com X = {c1Id1⊕ c2Id2
: c1, c2 ∈ C},
donde d1 = gr X(1) y d2 = grX(2). �
29
En general, si X =⊕k
i=1 X(i) donde los X(i) son irreducibles y no equivalentes entre
ellos, entonces
Com X =
{k⊕
i=1
ciIdi: ci ∈ C
},
donde di = gr X(i). Notemos que grX =∑k
i=1 di y que la dimension de Com X es
k (como espacio vectorial) porque solamente pueden variar los k escalares ci ya que
las matrices Idison fijas.
Ejemplo 1.6.3. Supongamos que
X =
(X(1) 0
0 X(1)
)= 2X(1),
donde X(1) es irreducible de grado d. Tomemos T partida como X y calculemos la
multiplicacion por bloques de TX = XT , ası
T1,1X(1) = X(1)T1,1
T1,2X(1) = X(1)T1,2
T2,1X(1) = X(1)T2,1
T2,2X(1) = X(1)T2,2.
De nuevo, usando los Corolarios (1.4.1) y (1.4.3) encontramos que para todo i, j =
1, 2
Ti,j = ci,jId,
donde ci,j ∈ C. Ası, el algebra de conmutadores es
Com X =
{(c1,1Id c1,2Id
c2,1Id c2,2Id
): ci,j ∈ C para todo i, j
}
que usando la notacion de la Definicion (1.5.1) podemos escribir como
Com X =
{(c1,1 c1,2
c2,1 c2,2
)⊗ Id : ci,j ∈ C para todo i, j
}= {M2 ⊗ Id : M2 ∈ Mat2}.
�
30
Si tomamos X = mX(1), entonces
Com X = {Mm ⊗ Id : Mm ∈ Matm},
donde d es el grado de X. Calculando grados y dimensiones obtenemos
grX = grmX(1) = m grX(1) = md
y
dim(Com X) = dim{Mm : Mm ∈ Matm} = m2.
Finalmente, en el caso mas general, si
X = m1X(1) ⊕ m2X
(2) ⊕ · · · ⊕ mkX(k), (3)
donde los X(i) son irreducibles y no equivalentes entre ellos con grX(i) = di, entonces
el grado de X esta dado por
grX =
k∑i=1
gr(miX(i)) = m1d1 + m2d2 + · · ·+ mkdk.
Combinando los Ejemplos (1.6.2) y (1.6.3) podemos encontrar que
Com X =
{k⊕
i=1
(Mmi⊗ Idi
) : Mmi∈ Matmi
para todo i
}(4)
cuya dimension es
dim(Com X) = dim
{k⊕
i=1
Mmi: Mmi
∈ Matmi
}= m2
1 + m22 + · · ·+ m2
k.
Definicion 1.6.2. El centro de un algebra A es
ZA = {a ∈ A : ab = ba para todo b ∈ A}.
�
Proposicion 1.6.1. El centro de Matd es
ZMatd= {cId : c ∈ C}.
31
Demostracion. El algebra Matd tiene como base al conjunto
B = {Ei,j : 1 ≤ i, j ≤ d},
donde Ei,j es la matriz de ceros con exactamente un 1 en la posicion (i, j), ası, si
C ∈ ZMatd, entonces en particular, tenemos
CEi,i = Ei,iC (5)
para todo i. Pero CEi,i (respectivamente Ei,iC) es una matriz de solo ceros excepto
en la i-esima columna (respectivamente i-esima fila) y esta compuesta por los valores
de C de esa columna (resp. fila). Ası, la ecuacion (5) implica que todos los elementos
de fuera de la diagonal de la matriz C son cero. Similarmente, si i �= j, entonces
C(Ei,j + Ej,i) = (Ei,j + Ej,i)C
donde la multiplicacion izquierda (respectivamente derecha) cambia las columnas
(resp. filas) i, j de C. Esto implica que todos los elementos de la diagonal son iguales,
es decir, C = cId para algun c ∈ C y claramente, estas matrices conmutan con
cualquier otra matriz. �
Ahora consideremos C ∈ ZComX donde X y Com X estan dados como en las ecua-
ciones (3) y (4), respectivamente. Entonces,
CT = TC para todo T ∈ Com X (6)
donde T = ⊕ki=1(Mmi
⊗ Idi) y C = ⊕k
i=1(Cmi⊗ Idi
). Calculando el lado izquierdo
obtenemos
CT = (⊕ki=1Cmi
⊗ Idi)(⊕k
i=1Mmi⊗ Idi
) (definicion de C y T )
= ⊕ki=1(Cmi
⊗ Idi)(Mmi
⊗ Idi) (parte (2) del Lema (1.5.1))
= ⊕ki=1(Cmi
Mmi⊗ Idi
) (parte (1) del Lema (1.5.1))
Similarmente,
TC = ⊕ki=1(Mmi
Cmi⊗ Idi
).
32
Ası la ecuacion (6) es cierta si y solo si
CmiMmi
= MmiCmi
para todo Mmi∈ Matmi
pero esto implica que C esta en el centro de Matmi, que por la Proposicion (1.6.1)
equivale a
Cmi= ciImi
para algun ci ∈ C, por lo tanto,
C = ⊕ki=1ciImi
⊗ Idi
= ⊕ki=1ciImidi
=
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝c1Im1d1
0 · · · 0
0 c2Im2d2· · · 0
......
. . ....
0 0 · · · ckImkdk
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠y todos los elementos de ZComX tienen esta forma. Notemos que dim ZCom X = k.
Teorema 1.6.1. Sea X una representacion matricial de G tal que
X = m1X(1) + m2X
(2) + · · ·+ mkX(k),
donde los X(i) son irreducibles y no equivalentes entre ellos con grX(i) = di, entonces
1. grX = m1d1 + m2d2 + · · · + mkdk,
2. Com X = {⊕ki=1(Mmi
⊗ Idi) : Mmi
∈ Matmipara todo i},
3. dim(ComX) = m21 + m2
2 + · · · + m2k,
4. ZComX = {⊕ki=1ciImidi
: ci ∈ C para todo i},
5. dim ZCom X = k. �
Y la version de este teorema para modulos es:
33
Teorema 1.6.2. Sea V un G-modulo tal que
V = m1V(1) + m2V
(2) + · · · + mkV(k),
donde los V (i) son irreducibles y no equivalentes entre ellos con dimV (i) = di,
entonces
1. dim V = m1d1 + m2d2 + · · ·+ mkdk,
2. End V ∼= ⊕ki=1Mmi
,
3. dim(End V ) = m21 + m2
2 + · · · + m2k,
4. ZEnd V es isomorfo al algebra de las matrices diagonales de grado k, y
5. dim ZEnd V = k. �
34
Capıtulo II
Teorıa de Caracteres
La teorıa de caracteres es una de las teorıas mas importantes cuando se habla de
representaciones de grupos finitos, ya que proporciona invariantes que permiten
clasificar las representaciones irreducibles de un grupo y permiten descomponer de
manera unica (salvo isomorfismo) cualquier representacion reducible en sus partes
irreducibles.
A lo largo de este capıtulo aprenderemos, desde la definicion del caracter de una rep-
resentacion, pasando por calculos especıficos de caracteres para determinar cuando
una representacion es irreducible, o cuando dos representaciones son isomorfas, has-
ta la equivalencia entre el numero de caracteres irreducibles de un grupo y el numero
de sus funciones de clase. Luego calcularemos el caracter del producto de dos re-
presentaciones y veremos en que casos ese producto es irreducible; y, para terminar,
veremos como se puede restringir una representacion de un grupo a sus subgrupos,
o bajo que condiciones se puede inducir una representacion de un subgrupo a un
grupo.
La teorıa y los ejemplos de este capıtulo estan basados en los libros [1], [2] y [4]; se
completaron, tanto las demostraciones de las proposiciones y los teoremas, como los
calculos de los ejemplos y se realizaron algunos de los ejercicios propuestos. Al final,
se encuentran todas las representaciones del grupo simetrico S4 con su respectiva
tabla de caracteres.
35
2.1. El Caracter de una Representacion
En esta seccion aprenderemos a calcular el caracter de una representacion, el caracter
la suma directa y del producto tensorial de dos representaciones y veremos como se
crea la tabla de caracteres de un grupo.
Definicion 2.1.1. Sea V un espacio vectorial con base (ei) de n elementos, y sea
a una funcion lineal de V en V con matriz (aij). Definimos la traza de a como el
numero complejo:
Tr(a) =∑
i
aii
que es la suma de los valores propios de a (contados con sus multiplicidades), y que
no depende de la base escogida. �
Definicion 2.1.2. Sea X(g), g ∈ G una representacion matricial, entonces el ca-
racter de X es
χ(g) = Tr X(g).
Por otro lado, χ se puede ver como la funcion
χ : G → C
g �→ Tr X(g).
Si V es un G-modulo, entonces su caracter es el caracter de la representacion ma-
tricial X correspondiente a V . �
Como hay muchas representaciones matriciales correspondientes a un solo G-modulo,
debemos verificar que el caracter esta bien definido, es decir, si X y Y corresponden
a V , entonces Y = TXT−1 para alguna matriz T fija, por lo tanto, para todo g ∈ G
tenemos
Tr Y (g) = Tr TX(g)T−1 = Tr X(g)
ya que la traza es invariante bajo conjugacion. Ası, X y Y tienen el mismo caracter.
Ejemplo 2.1.1. Supongamos que G es arbitrario y X es una representacion de
grado 1, entonces el caracter χ(g) es la unica entrada de X(g) para cada g ∈ G.
Este caracter se llama caracter lineal. �
36
Ejemplo 2.1.2. Consideremos la representacion de definicion de Sn con su caracter
χdef . Si tomamos n = 3, entonces podemos calcular los valores de los caracteres
directamente tomando las trazas de las matrices del Ejemplo (1.2.4), que son
χdef ((1)(2)(3)) = 3, χdef ((1, 2)(3)) = 1, χdef ((1, 3)(2)) = 1,
χdef((1)(2, 3)) = 1, χdef((1, 2, 3)) = 0, χdef((1, 3, 2)) = 0
Podemos ver que en general, si π ∈ Sn, entonces
χdef(π) = el numero de unos en la diagonal de X(π)
= el numero de puntos fijos de π.
�
Ejemplo 2.1.3. Sea G = {g1, g2, . . . , gn} y consideremos la representacion regular
con modulo V = C[G] y caracter χreg. Como X(ε) = In, entonces χreg(ε) = |G|.
Para calcular los valores de los caracteres para g �= ε, debemos usar las matrices
que salen de la base estandar B = {g1, g2, . . . , gn} y como X(g) es la matriz de
permutacion de accion de g sobre B, entonces χreg es el numero de puntos fijos bajo
esta accion, pero si ggi = gi para cualquier i, entonces g = ε, que no es el caso, por
lo tanto, si g �= ε, entonces X(g) no tiene puntos fijos, es decir,
χreg(g) =
⎧⎨⎩|G| si g = ε,
0 de lo contrario.
�
Proposicion 2.1.1. Sea X una representacion matricial de un grupo G de grado d
con caracter χ, entonces
1. χ(ε) = d
2. χ(g−1) = χ(g)∗ para g ∈ G
3. Si K es una clase de conjugacion de G, entonces
g, h ∈ K ⇒ χ(g) = χ(h)
37
4. Si Y es una representacion de G con caracter ψ, entonces
X ∼= Y ⇒ χ(g) = ψ(g)
para todo g ∈ G.
Demostracion. 1. Como X(ε) = Id y Tr(Id) = d, entonces χ(ε) = d.
2. X(g) es finita, por lo tanto sus valores propios λ1, . . . , λd tambien, lo que los
hace de norma uno. Ası
χ(g)∗ = Tr(X(g))∗ =∑
λ∗i =
∑λ−1
i = Tr(X(g)−1) = Tr(X(g−1)) = χ(g−1).
3. Como g, h ∈ K, entonces g = khk−1 para algun k ∈ K, ası
χ(g) = Tr X(g) = Tr X(k)X(h)X(k)−1 = Tr X(h) = χ(h).
4. Esta afirmacion la probamos despues de la Definicion (2.1.2) al mostrar que
el caracter estaba bien definido.
�
Proposicion 2.1.2. Sean X(1)(g) y X(2)(g) dos representaciones matriciales de G
(g ∈ G), y sean χ(1) y χ(2) sus respectivos caracteres, entonces:
1. El caracter χ(g) de la suma directa de las representaciones (X(1) ⊕ X(2))(g)
(Definicion 1.3.2) es igual a χ(1)(g) + χ(2)(g).
2. El caracter ψ(g) del producto tensorial de las representaciones (X(1)⊗X(2))(g)
(Definicion 1.5.3) es igual a χ(1)(g) · χ(2)(g).
Demostracion. 1. La representacion X(g) = (X(1)⊕X(2))(g) = X(1)(g)⊕X(2)(g)
esta dada por
X(g) =
(X(1)(g) 0
0 X(2)(g)
)donde Tr X(g) = Tr(X(1) ⊕ X(2))(g) = Tr X(1)(g) + Tr X(2)(g) y por lo tanto,
χ(g) = χ(1)(g) + χ(2)(g).
38
2. Notemos que para dos matrices A y B cualesquiera
Tr(A ⊗ B) = Tr(ai,jB) =∑
i
ai,i Tr B = Tr A · Tr B. (7)
por lo tanto,
Tr X(g) = Tr(X(1) ⊗ X(2))(g)
= Tr(X(1)(g) ⊗ X(2)(g)) (def. producto tensorial 1.5.3)
= Tr X(1)(g) · TrX(2)(g) (por la ecuacion 7)
ası,
ψ(g) = χ(1)(g) · χ(2)(g)
�
Si K es una clase de conjugacion de G y χ es su caracter, podemos definir χK como
el valor de el caracter en la clase dada:
χK = χ(g)
para cualquier g ∈ K.
Definicion 2.1.3. Sea G un grupo. La tabla de caracteres de G es un arreglo con
las filas indizadas por los caracteres irreducibles no equivalentes de G y las columnas
por las clases de conjugacion de G. La entrada de la tabla en la fila χ y la columna
K es χK y se verıa de la forma
· · · K · · ·...
...
χ · · · χK · · ·...
...
39
Por convencion, la primera fila corresponde al caracter trivial y la primera columna
a la clase de la identidad K = {ε}. �
Esta tabla siempre es finita, ya que mas adelante probaremos que el numero de
representaciones irreducibles de un grupo es igual al numero de sus funciones de
clase, lo que tambien implica que la tabla es cuadrada.
Ejemplo 2.1.4. Si G = Cn, el grupo cıclico de n elementos, entonces cada elemen-
to esta en una clase de conjugacion. Como hay n clases de conjugacion, debe haber
n representaciones irreducibles no equivalentes de Cn. En el Ejemplo 1.2.2 encon-
tramos n representaciones de grado 1 que no son equivalentes entre ellas porque sus
caracteres son diferentes (Parte 4 Proposicion 2.1.1), por lo tanto, ya encontramos
todas las representaciones irreducibles de Cn y su tabla de caracteres es la mostrada
allı. �
Ejemplo 2.1.5. Si G = S3, entonces hay tres clases de conjugacion (una por cada
tipo de ciclo), que son
K1 = {ε}, K2 = {(1, 2), (1, 3), (2, 3)} y K3 = {(1, 2, 3), (1, 3, 2)}
Por lo tanto, debe haber tres representaciones irreducibles para S3. Anteriormente
encontramos dos de ellas, la trivial y la del signo y encontraremos el caracter de
la tercera usando producto interno de caracteres. Hasta ahora tenemos la siguiente
tabla de caracteres para este grupo, luego encontraremos el resto,
K1 K2 K3
χ(1) 1 1 1
χ(2) 1 −1 1
χ(3) ? ? ?
�
40
2.2. Ortogonalidad de Caracteres
Ahora estudiaremos el producto interno de caracteres, que nos permitira deter-
minar: la irreducibilidad de una representacion, el numero de veces que esta una
representacion irreducible dentro de otra o si dos representaciones son equivalentes.
Podemos ver al caracter χ de un grupo G = {g1, g2, . . . , gn} como un vector fila de
numeros complejos, ası:
χ = ( χ(g1), χ(g2), . . . , χ(gn) ).
Si χ es irreducible, entonces este vector se puede obtener de la tabla de caracteres,
simplemente repitiendo el valor del caracter en la clase K un numero |K| veces. Por
ejemplo, los dos primeros caracteres de S3 de la ultima tabla de la seccion anterior,
son
χ(1) = (1, 1, 1, 1, 1, 1) y χ(2) = (1,−1,−1,−1, 1, 1).
Para dos vectores fila de numeros complejos tenemos el producto interno usual dado
por
(c1, c2, . . . , cn) · (d1, d2, . . . , dn) = c1d1 + c2d2 + . . . + cndn
donde la barra significa conjugado complejo. Calculando el producto interno de los
dos caracteres que conocemos de S3 obtenemos
χ(1) · χ(1) = (1, 1, 1, 1, 1, 1) · (1, 1, 1, 1, 1, 1) = 6
χ(2) · χ(2) = (1,−1,−1,−1, 1, 1) · (1,−1,−1,−1, 1, 1) = 6
χ(1) · χ(2) = (1, 1, 1, 1, 1, 1) · (1,−1,−1,−1, 1, 1) = 0
Y calculando, por ejemplo, los productos internos de los caracteres de C4 de la tabla
41
del Ejemplo 1.2.2, encontramos
ρ1 · ρ1 = (1, 1, 1, 1) · (1, 1, 1, 1) = 4
ρ2 · ρ2 = (1, i,−1,−i) · (1, i,−1,−i) = 1 + i i + (−1)2 + (−i)(−i)
= 1 + i(−i) + 1 + (−i)i = 1 + (−i2) + 1 + (−i2) = 4
ρ3 · ρ3 = (1,−1, 1,−1) · (1,−1, 1,−1) = 4
ρ4 · ρ4 = (1,−i, 1, i) · (1,−i, 1, i) = 4
y con algunos ρi · ρj para i �= j obtenemos
ρ1 · ρ3 = (1, 1, 1, 1) · (1,−1, 1,−1) = 1 + (−1) + 1 + (−1) = 0
ρ2 · ρ3 = (1, i,−1,−i) · (1,−1, 1,−1) = 1 + (−i) + (−1) + i = 0
ρ2 · ρ4 = (1, i,−1,−i) · (1,−i, 1, i) = 1 + i(−i) + (−1) + (−i)i = 0
con lo que podemos establecer la siguiente conjetura: Si χ(i) y χ(j) son caracteres
irreducibles de G, entonces
χ(i) · χ(j) =
⎧⎨⎩|G| si i = j,
0 si i �= j.
Dividiendo por |G|, para normalizar el resultado, obtenemos una definicion para el
producto interno de caracteres.
Definicion 2.2.1. Definimos el producto interno de las funciones χ y ψ de un grupo
G a un campo arbitrario como:
〈χ, ψ〉′ =1
|G|
∑g∈G
χ(g−1)ψ(g) =1
|G|
∑g∈G
χ(g)ψ(g−1).
�
Tenemos que 〈χ, ψ〉′ = 〈ψ, χ〉′ y que 〈χ, ψ〉′ es lineal en χ y en ψ.
Definicion 2.2.2. Definimos el producto escalar de las funciones χ y ψ de G en los
numeros complejos C como:
〈χ, ψ〉 =1
|G|
∑g∈G
χ(g)ψ(g).
�
42
Tenemos que 〈χ, ψ〉 es lineal en χ y semilineal en ψ, ademas 〈χ, χ〉 > 0 para todo
χ �= 0.
Supongamos que V es un G-modulo con caracter ψ. Si tomamos una base ortonormal
de V obtenemos una representacion matricial Y para ψ, donde cada Y (g) es unitario,
es decir,
Y (g−1) = Y (g)−1 = Y (g)t,
donde t es la transpuesta.
Proposicion 2.2.1. Sean χ y ψ caracteres, entonces
〈χ, ψ〉 = 〈χ, ψ〉′.
Demostracion. Supongamos que ψ es el caracter de Y (como en la afirmacion ante-
rior), por lo tanto,
〈χ, ψ〉 =1
|G|
∑g∈G
χ(g)ψ(g) =1
|G|
∑g∈G
χ(g) TrY (g)
=1
|G|
∑g∈G
χ(g) TrY (g−1) t =1
|G|
∑g∈G
χ(g) TrY (g−1)
=1
|G|
∑g∈G
χ(g)ψ(g−1) = 〈χ, ψ〉′
�
Por otro lado, como χ y ψ son constantes en las clases de conjugacion, podemos
llamar χK y ψK al valor de cada caracter en la clase K. Entonces la siguiente
igualdad es cierta
〈χ, ψ〉 =1
|G|
∑K
|K|χKψK , (8)
donde la suma es sobre todas las clases de conjugacion de G.
Teorema 2.2.1. Sean χ y ψ caracteres irreducibles de un grupo G, entonces
〈χ, ψ〉 = δχ,ψ
43
Demostracion. Supongamos que χ y ψ son los caracteres de las representaciones
matriciales A y B de grados d y f , respectivamente. Vamos a usar el Lema de Schur
(1.4.2) y por lo tanto, debemos encontrar una matriz que cumpla las condiciones de
T en el Corolario 1.4.1. Sea X = (xi,j) una matriz de tamano d×f de indeterminadas
xi,j, y consideremos la matriz
Y =1
|G|
∑g∈G
A(g)XB(g−1) (9)
que cumple A(h)Y = Y B(h) para todo h ∈ G porque
A(h)Y B(h)−1 = A(h)
(1
|G|
∑g∈G
A(g)XB(g−1)
)B(h)−1
=1
|G|
∑g∈G
A(h)A(g)XB(g−1)B(h−1)
=1
|G|
∑g∈G
A(hg)XB(g−1h−1)
=1
|G|
∑g∈Gg=hg
A( g )XB( g −1 )
= Y
Ası, concluimos usando los Corolarios (1.4.1) y (1.4.3) que
Y =
⎧⎨⎩0 si A � B,
cId si A ∼= B.(10)
Consideremos el caso en el que χ �= ψ, por lo tanto, A y B no son equivalentes, lo
que implica que yi,j = 0 para todo elemento de Y , ası, podemos tomar la entrada
(i, j) de la ecuacion (9) para obtener
1
|G|
∑k,l
∑g∈G
ai,k(g)xk,lbl,j(g−1) = 0
para todo i, j. Si este polinomio es cero, el coeficiente de cada xk,l debe ser cero,
entonces1
|G|
∑g∈G
ai,k(g)bl,j(g−1) = 0
44
para todo i, j, k, l. Notemos que esta ecuacion se puede escribir mas facilmente como
〈ai,k, bl,j〉′ = 0 ∀i, j, k, l (11)
ya que nuestra definicion de producto interno aplica a todas las funciones de G en
C. Ahora,
χ = Tr A = a1,1 + a2,2 + · · · + ad,d
y
ψ = Tr B = b1,1 + b2,2 + · · ·+ bf,f ,
por lo tanto,
〈χ, ψ〉 = 〈χ, ψ〉′
=1
|G|
∑g∈G
χ(g)ψ(g−1)
=1
|G|
∑g∈G
Tr A(g) TrB(g−1)
=1
|G|
∑g∈G
(∑i
ai,i(g)
)(∑j
bj,j(g−1)
)
=1
|G|
∑g∈G
∑i,j
ai,i(g)bj,j(g−1)
=∑i,j
1
|G|
∑g∈G
ai,i(g)bj,j(g−1)
=∑i,j
〈ai,i, bj,j〉′ = 0
como querıamos.
Ahora supongamos que χ = ψ, entonces podemos tomar A = B. Por la ecuacion
(10) sabemos que existe un escalar c ∈ C tal que yi,j = cδi,j, entonces tenemos
〈ai,k, al,j〉′ = 0 siempre que i �= j(como en el caso anterior), y debemos revisar el
caso en el que i = j. Consideremos
1
|G|
∑g∈G
A(g)XA(g−1) = cId
45
y tomemos trazas en ambos lados
cd = Tr cId = Tr
(1
|G|
∑g∈G
A(g)XA(g−1)
)
=1
|G|
∑g∈G
Tr(A(g)XA(g−1)) =1
|G|
∑g∈G
TrX
= Tr X.
Entonces, yi,i = c = 1dTr X puede reescribirse como
1
|G|
∑k,l
∑g∈G
ai,k(g)xk,lal,i(g−1) =
1
d(x1,1 + x2,2 + · · · + xd,d)
e igualando los coeficientes de xk,l en la ecuacion anterior obtenemos
〈ai,k, al,i〉′ =
1
|G|
∑g∈G
ai,k(g)al,i(g−1) =
1
dδk,l (12)
de lo que podemos concluir
〈χ, χ〉 =
⟨d∑
i=1
ai,i,d∑
i=1
aj,j
⟩=
d∑i,j=1
〈ai,i, aj,j〉′
=d∑
i=1
〈ai,i, ai,i〉′ =
d∑i=1
1
d
= 1
que era lo que querıamos probar. �
Notemos que las ecuaciones (11) y (12) dan relaciones de ortogonalidad entre las
entradas de las matrices de las representaciones, ası como estas relaciones entre los
caracteres dan las siguientes consecuencias importantes:
Corolario 2.2.1. Sea X una representacion matricial de G con caracter χ y supon-
gamos que
X ∼= m1X(1) ⊕ m2X
(2) ⊕ · · · ⊕ mkX(k),
donde todos los X(i) son irreducibles y no equivalentes entre ellos, con caracteres
χ(i). Entonces,
46
1. χ = m1χ(1) + m2χ
(2) + · · ·+ mkχ(k).
2. 〈χ, χ(j)〉 = mj , para todo j.
3. 〈χ, χ〉 = m21 + m2
2 + · · · + m2k.
4. X es irreducible si y solo si 〈χ, χ〉 = 1.
5. Sea Y otra representacion matricial de G con caracter ψ, entonces
X ∼= Y si y solo si χ(g) = ψ(g)
para todo g ∈ G.
Demostracion. 1. Usando la parte 1 de la Proposicion (2.1.2) tenemos
χ = Tr X = Trk⊕
i=1
miX(i) =
k∑i=1
miχ(i).
2. Por el teorema anterior tenemos que
〈χ, χ(j)〉 = 〈∑
i
miχ(i), χ(j)〉 =
∑i
mi〈χ(i), χ(j)〉 = mj .
3. Tambien usando el teorema anterior tenemos
〈χ, χ〉 = 〈∑
i
miχ(i),∑
j
mjχ(j)〉 =
∑i,j
mimj〈χ(i), χ(j)〉 =
∑i
m2i .
4. Supongamos que X es irreducible. Como
X ∼= m1X(1) ⊕ m2X
(2) ⊕ · · · ⊕ mkX(k)
se debe tener que todos los mi son iguales a cero, excepto uno, sea este mj ,
entonces X = mjX(j) que implica que mj = 1, ası usando la parte 2 podemos
concluir que
〈χ, χ〉 = 〈χ, χ(j)〉 = mj = 1.
47
Ahora, supongamos que 〈χ, χ〉 = 1. Por la parte 3 tenemos que
〈χ, χ〉 =∑
i
m2i = 1
por lo que debe haber exactamente un ındice j tal que mj = 1 y los otros mi
deben ser cero, ası que X = X(j) que habıamos asumido que era irreducible.
5. La implicacion ⇒ ya la habıamos probado en la parte 4 de la Proposicion
(2.1.1). Para la otra implicacion, tomemos
Y ∼=
k⊕i=1
niX(i),
descomposicion en la que podemos asumir que X y Y comparten los mis-
mos irreducibles, y si hay uno en una descomposicion que no este en el otro,
simplemente se pone con multiplicidad 0.
Ahora, como χ = ψ, entonces 〈χ, χ(i)〉 = 〈ψ, χ(i)〉 para todo i, pero por la
parte 2 podemos concluir que mi = ni para todo i. Ası las dos sumas directas
son equivalentes, es decir, X ∼= Y .
�
Volviendo a trabajar con Sn, si χ es su caracter, podemos ver que para π ∈ Sn
tenemos que χ(π) = χ(π−1) ya que los caracteres son constantes en las clases de
conjugacion y tanto π como π−1 estan en la misma clase. De esto podemos concluir
que la formula para el producto interno de caracteres de Sn puede reescribirse como
〈χ, ψ〉 =1
n!
∑π∈Sn
χ(π)ψ(π). (13)
Ejemplo 2.2.1. Sea G = S3 y consideremos χ = χdef . Sean χ(1), χ(2), χ(3) los tres
caracteres irreducibles de S3, donde los dos primeros son el trivial y el del signo,
respectivamente. Por el Teorema de Maschke (1.3.2) y la parte 1 del Corolario (2.2.1)
sabemos que
χ = m1χ(1) + m2χ
(2) + m3χ(3).
48
Ademas, si usamos la ecuacion (13) y la parte 2 del Corolario (2.2.1) podemos
calcular m1 y m2 ya que conocemos los valores del caracter de la representacion de
definicion, porque los encontramos en el Ejemplo (2.1.2).
m1 = 〈χ, χ(1)〉 =1
3!
∑π∈S3
χ(π)χ(1)(π)
=1
6(3 · 1 + 1 · 1 + 1 · 1 + 1 · 1 + 0 · 1 + 0 · 1) = 1
m2 = 〈χ, χ(2)〉 =1
3!
∑π∈S3
χ(π)χ(2)(π)
=1
6(3 · 1 + 1 · (−1) + 1 · (−1) + 1 · (−1) + 0 · 1 + 0 · 1) = 0.
Ası,
χ = χ(1) + m3χ(3).
De hecho, ya sabıamos que el caracter de definicion contenıa una copia de la repre-
sentacion trivial y ademas habıamos encontrado otra subrepresentacion en el Ejem-
plo (1.3.2). Allı habıamos descompuesto X como A ⊕ B, donde A era la matriz
de la representacion trivial, por lo tanto, vamos a probar que las matrices B(g)
corresponden a una o mas copias del caracter χ(3). Estas matrices eran
B( e ) =
(1 0
0 1
)
B( (1, 2) ) =
(−1 −1
0 1
)
B( (1, 3) ) =
(1 0
−1 −1
)
B( (2, 3) ) =
(0 1
1 0
)
B( (1, 3, 2) ) =
(0 1
−1 −1
)
B( (1, 2, 3) ) =
(−1 −1
1 0
)
49
Si llamamos ψ al caracter correspondiente, entonces
ψ(ε) = 2
ψ((1, 2)) = ψ((1, 3)) = ψ((2, 3)) = 0
ψ((1, 2, 3)) = ψ((1, 3, 2)) = −1.
Si ψ es irreducible, entonces m3 = 1 y ya encontramos χ(3), si no, entonces al ser
ψ de grado 2, debe contener dos copias de χ(3). Por la parte 4 del Corolario (2.2.1)
podemos saber si ψ es irreducible o no, ası:
〈ψ, ψ〉 =1
6(22 + 02 + 02 + 02 + (−1)2 + (−1)2) = 1.
Como ya encontramos el caracter irreducible que faltaba, entonces podemos com-
pletar la tabla de caracteres de S3, que es
K1 K2 K3
χ(1) 1 1 1
χ(2) 1 −1 1
χ(3) 2 0 −1
�
Proposicion 2.2.2. El modulo de definicion de Sn, V = C{1, 2, . . . ,n}, siempre
tiene a W = C{1+2+ · · ·+n} como un submodulo. Si χ(1) y χ⊥ son los caracteres
correspondientes a W y W⊥, respectivamente, entonces V = W ⊕ W⊥ que implica
que
χdef = χ(1) + χ⊥.
Ya sabıamos que χdef cuenta los puntos fijos de π ∈ Sn y que χ(1) es el caracter
trivial, por lo tanto,
χ⊥(π) = (numero de puntos fijos de π) − 1
tambien es un caracter de Sn y es irreducible.
50
Demostracion. En el Ejemplo (1.2.9) vimos que W es un submodulo de V y en el
Teorema (1.3.1) probamos que W⊥ tambien lo es. Como W es la subrepresentacion
trivial (de grado 1), entonces es irreducible y para mostrar que W⊥ tambien es
irreducible, calculamos su caracter y hacemos producto interno con el mismo, para
ver que siempre es 1. �
Ya vimos la aplicacion de esta proposicion al grupo S3 en el Ejemplo (2.2.1), ahora
veremos la aplicacion para S4.
Ejemplo 2.2.2. Si G = S4 y χ = χdef , sabemos que χ cuenta los puntos fijos de
cada clase de conjugacion de G y que cada clase corresponde a un tipo de ciclo, por
lo tanto, las clases son
K1 = {ε}
K2 = {(1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}
K3 = {(1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4)(2, 3)}
K4 = {(1, 2, 3), (1, 3, 2), (1, 2, 4), (1, 4, 2), (1, 3, 4), (1, 4, 3), (2, 3, 4), (2, 4, 3)}
K5 = {(1, 2, 3, 4), (1, 2, 4, 3), (1, 3, 2, 4), (1, 3, 4, 2), (1, 4, 2, 3), (1, 4, 3, 2)}
y el valor de χ en cada clase es
K1 → 4
K2 → 2
K3 → 0
K4 → 1
K5 → 0.
Tomando πi como algun elemento de Ki y combinando la ecuacion (8) con la ecuacion
(13) obtenemos
〈χ⊥, χ⊥〉 =1
4!
5∑i=1
|Ki|(χ⊥(πi))
2
=1
4!(1 · 32 + 6 · 12 + 3 · (−1)2 + 8 · 02 + 6 · (−1)2)
=1
24(9 + 6 + 3 + 0 + 6) =
24
24= 1. �
51
2.3. Numero de Representaciones Irreducibles
En esta seccion veremos la estrecha relacion que existe entre los caracteres irre-
ducibles de una representacion y sus funciones de clase.
Definicion 2.3.1. Una funcion de clase en un grupo G es una funcion f : G → C
tal que f(g) = f(h) siempre que g y h esten en la misma clase de conjugacion. El
conjunto de funciones de clase sobre G se denota R(G). �
Claramente, las sumas y multiplos escalares de las funciones de clase son funciones
de clase, ası R(G) es entonces un espacio vectorial sobre C. Ademas R(G) tiene
una base natural que consiste de las funciones que tienen el valor 1 en una clase de
conjugacion dada y 0 en el resto, por lo tanto,
dim R(G) = numero de clases de conjugacion de G. (14)
Proposicion 2.3.1. Sea G un grupo finito y supongamos que C[G] =⊕
i miV(i),
donde los V (i) forman una lista completa de G-modulos irreducibles y no equivalentes
entre ellos, entonces
1. mi = dim V (i)
2.∑
i(dim V (i))2 = |G|
3. El numero de V (i)’s es igual al numero de clases de conjugacion de G.
Demostracion. 1. Consideremos el caracter χ = χreg de G, por lo tanto, si V (i)
tiene caracter χ(i), por la parte 2 del Corolario (2.2.1) tenemos que
mi = 〈χ, χ(i)〉 =1
|G|
∑g∈G
χ(g)χ(i)(g−1).
Como ya habıamos calculado el caracter de la representacion regular en el
Ejemplo (2.1.3) y era 0 excepto para g = ε que era |G|, reemplazando en la
52
ecuacion anterior obtenemos
mi =1
|G|χ(ε)χ(i)(ε) =
1
|G||G|χ(i)(ε)
= χ(i)(ε) = dim V (i)
la ultima igualdad viene de la parte 1 de la Proposicion (2.1.1). En conclusion,
cada G-modulo irreducible ocurre en C[G] con multiplicidad igual a su dimen-
sion. En particular, todos aparecen al menos una vez, por lo tanto, la lista de
irreducibles no equivalentes debe ser finita ya que el algebra del grupo tiene
dimension finita.
2. Calculando la dimension a ambos lados de la ecuacion
C[G] =⊕
i
miV(i)
obtenemos
dim C[G] = dim⊕
i
miV(i)
|G| =∑
i
mi dim V (i) =∑
i
(dim V (i))2
donde la ultima igualdad se da por la parte anterior.
3. Primero, vamos a ver como son los elementos de End C[G]. Dado cualquier
v ∈ C[G], definimos la funcion de multiplicacion por derecha por v, ası
φv : C[G] → C[G]
φv(w) = wv
para todo w ∈ C[G]. Podemos ver que φv ∈ End C[G] y que los elementos
de este tipo son los unicos que pertenecen a End C[G]. Vamos a mostrar que
C[G] ∼= End C[G] como espacios vectoriales y para probar esta afirmacion
consideraremos la funcion
φ : C[G] −→ End C[G]
vφ
−−→ φv.
53
Tenemos que φ es lineal ya que si v,v′,w ∈ C[G] y c ∈ C entonces
φ(v + v′)(w) = φv+v′(w) (definicion de φ)
= w(v + v′) (definicion de φv+v′)
= wv + wv′ (distributiva en C[G])
= φv(w) + φv′(w) (definicion de φv)
= φ(v)(w) + φ(v′)(w) (definicion de φ)
y
φ(cv)(w) = φcv(w) (definicion de φ)
= w(cv) (definicion de φv)
= c wv (multiplicacion por escalar en C[G])
= c φv(w) (definicion de φv)
= c φ(v)(w) (definicion de φ).
Tambien tenemos que φ es inyectiva y para mostrarlo vamos a calcular su
kernel. Si φv es la funcion cero, entonces
0 = φv(ε) = εv = v.
Para mostrar que es sobre, suponemos que θ ∈ End C[G] y consideramos θ(ε)
que es algun vector v ∈ C[G], por lo tanto, θ = φv, ya que dado cualquier
g ∈ G tenemos
θ(g) = θ(gε) = gθ(ε) = gv = gv = φv(g)
y dos funciones lineales que coinciden en una base coinciden en todas partes.
A nivel algebraico, la funcion φ es un anti-isomorfismo, ya que invierte el orden
de la multiplicacion: φvφw = φwv para todo v,w ∈ C[G]. Ası, φ induce un
anti-isomorfismo del centro de C[G] en el centro de End C[G], por lo tanto,
dim ZC[G] = dim ZEnd C[G],
54
pero por la parte (5) del Teorema (1.6.2) que dice que
dim ZEnd C[G] = k = numero de V (i),
podemos concluir que
dim ZC[G] = numero de V (i).
Ahora veamos como son los elementos del centro del algebra del grupo. Con-
sideremos z = c1g1 + · · ·+ cngn ∈ ZC[G], donde los gi estan en G. Ahora, para
todo h ∈ G tenemos zh = hz o z = hzh−1, que se puede escribir como
c1g1 + · · · + cngn = c1hg1h−1 + · · ·+ cnhgnh
−1.
Como h toma todos los posibles valores en G, hg1h−1 recorre toda la clase de
conjugacion de g1, pero como z permanece igual, todos los miembros de esta
clase deben tener el mismo coeficiente c1. Ası, si G tiene k clases de conjugacion
K1, K2, . . . , Kk y tomamos
zi =∑g∈Ki
g
para i = 1, . . . , k, entonces hemos mostrado que cualquier z ∈ ZC[G] puede ser
escrito como
z =k∑
i=1
dizi.
El converso tambien es cierto ya que cualquier combinacion lineal de los zi
esta en el centro de C[G]. Finalmente, notemos que el conjunto {z1, . . . , zk}
forma una base para ZC[G] y ya vimos que lo genera, solo falta ver que son
linealmente independientes, pero esto se tiene ya que son sumas sobre subcon-
juntos disyuntos a pares de la base {g : g ∈ G} de C[G]. Por lo tanto,
Numero de clases de conjugacion = dimZEnd C[G] = numero de V (i)
como querıamos.
�
55
Proposicion 2.3.2. Los caracteres irreducibles de un grupo G forman una base
ortonormal para el espacio de funciones de clase R(G).
Demostracion. Como los caracteres irreducibles son ortonormales respecto a la for-
ma bilineal 〈·, ·〉 en R(G) (Teorema 2.2.1), entonces son linealmente independientes.
Pero la parte (3) de la Proposicion (2.3.1) junto con la ecuacion (14) muestran que
hay dim R(G) numero de caracteres, y por lo tanto, son una base. �
Teorema 2.3.1. Sean G un grupo finito, {X(1), X(2), . . . , X(k)} una lista comple-
ta de las representaciones matriciales irreducibles de G no equivalentes entre ellas
y R(G) el espacio de funciones de clase. Llamemos M al espacio generado por
{X(1), . . . , X(k)}, entonces, la funcion
Tr : M → R[G]
es un isomorfismo de espacios vectoriales.
Demostracion. Sean χ(1), χ(2), . . . , χ(l) los caracteres irreducibles de G, no equiva-
lentes entre ellos. Por la Proposicion (2.3.2) sabemos que {χ(1), . . . , χ(l)} es una base
de R[G] y como {X(1), . . . , X(k)} es una base de M, vamos a ver que la funcion Tr
es 1-1 y sobre en los elementos de la base. Ademas, es lineal por la parte (1) del
Corolario (2.2.1). Como en {χ(1), . . . , χ(l)} se encuentran al menos los caracteres de
{X(1), . . . , X(k)}, podemos suponer l ≥ k.
(1-1) Sea X ∈ {X(1), . . . , X(k)} y sea ψ = Tr X, entonces ψ = χ(j) para
algun j ∈ {1, . . . , l}, porque si no lo fuera, es decir, si ψ �= χ(j) para todo
j ∈ {1, . . . , l}, por la parte (5) del Corolario (2.2.1) se tendrıa que X � X(i)
para todo i ∈ {1, . . . , k}, que es falso, porque X se habıa escogido como un
X(i).
(Sobre) Si χ(i) ∈ {χ(1), . . . , χ(l)}, entonces χ(i) = Tr X para alguna repre-
sentacion matricial X de G. Vamos a ver que X = X(j) para algun j ∈
{1, . . . , k}. Supongamos que no, entonces X �= X(j) para todo j, por lo tanto
56
X no es irreducible y por el Teorema de Maschke (1.3.2) se puede descomponer
como
X = m1X(1) + m2X
(2) + · · · + mkX(k)
que por la parte (1) del Corolario (2.2.1) implica que χ(i) se puede descomponer
como
χ(i) = m1χ(1) + m2χ
(2) + · · ·+ mkχ(k)
pero χ(i) era irreducible.
Ası, como la funcion Tr es 1-1 y sobre, entonces podemos concluir que k = l y por
lo tanto M ∼= R[G], como querıamos. �
2.4. Productos Tensoriales y sus Caracteres
Vamos a estudiar el producto tensorial de dos representaciones (del mismo grupo o
de dos grupos diferentes) y por medio de sus caracteres encontraremos cuando este
producto es irreducible o no.
Definicion 2.4.1. Sean G y H dos grupos con representaciones matriciales X y
Y , respectivamente. El producto tensorial de las representaciones, X ⊗ Y , asigna a
cada (g, h) ∈ G × H la matriz
(X ⊗ Y )(g, h) = X(g) ⊗ Y (h).
�
Teorema 2.4.1. Sean X y Y representaciones matriciales para G y H , respectiva-
mente, entonces
1. X ⊗ Y es una representacion de G × H .
2. Si X, Y y X ⊗ Y tienen caracteres χ, ψ y χ ⊗ ψ, respectivamente, entonces
(χ ⊗ ψ)(g, h) = χ(g)ψ(h)
para todo (g, h) ∈ G × H .
57
Demostracion. 1. Debemos verificar las dos condiciones de la definicion de una
representacion:
(X ⊗ Y )(ε, ε) = X(ε) ⊗ Y (ε) = I ⊗ I = I.
Si (g, h), (g′, h′) ∈ G × H , entonces usando la parte (1) del Lema (1.5.1)
obtenemos
(X ⊗ Y )((g, h) · (g′, h′)) = (X ⊗ Y )(gg′, hh′)
= X(gg′) ⊗ Y (hh′)
= X(g)X(g′) ⊗ Y (h)Y (h′)
= (X(g) ⊗ Y (h)) · (X(g′) · Y (h′))
= (X ⊗ Y )(g, h) · (X ⊗ Y )(g′, h′).
2. Notemos que para cualquier par de matrices A y B,
Tr A ⊗ B = Tr(aijB) =∑
i
ai,i Tr B = Tr A TrB (15)
ası,
(χ ⊗ ψ)(g, h) = Tr(X(g) ⊗ Y (h)) = Tr X(g) TrY (h) = χ(g)ψ(h).
�
Ahora vamos a ver como las representaciones irreducibles de G y H determinan
completamente las de G × H .
Teorema 2.4.2. Sean G y H grupos.
1. Si X y Y son representaciones irreducibles de G y H , respectivamente, entonces
X ⊗ Y es una representacion irreducible de G × H .
2. Si X(i) y Y (j) son listas completas de representaciones irreducibles y no equiv-
alentes entre ellas, para G y H , respectivamente, entonces X(i) ⊗ Y (j) es una
lista completa de G × H-modulos irreducibles y no equivalentes entre ellos.
58
Demostracion. 1. Del Teorema (2.4.1) sabemos que X⊗Y es una representacion
de G×H , por lo que solo falta ver que es irreducible, y para eso, calcularemos
el producto interno de su caracter con el mismo. Tomemos χ y ψ como los
caracteres de X y Y , respectivamente, entonces
〈χ ⊗ ψ, χ ⊗ ψ〉 =1
|G × H|
∑(g,h)∈G×H
(χ ⊗ ψ)(g, h)(χ ⊗ ψ)(g−1, h−1)
=
[1
|G|
∑g∈G
χ(g)χ(g−1)
][1
|H|
∑h∈H
ψ(h)ψ(h−1)
]= 〈χ, χ〉〈ψ, ψ〉 = 1 · 1 = 1.
2. Sean χ(i) y ψ(j) los caracteres de X(i) y Y (j), respectivamente. Como en la
parte anterior, tenemos que
〈χ(i) ⊗ ψ(j), χ(k) ⊗ ψ(l)〉 = 〈χ(i), χ(k)〉〈ψ(j), ψ(l)〉 = δi,kδj,l
y de nuevo, usando la parte (4) del Corolario (2.2.1), podemos concluir que
los χ(i) ⊗ ψ(j) son irreducibles y no equivalentes entre ellos. Por otro lado, la
lista de los χ(i) ⊗ψ(j) esta completa, ya que por la parte (3) de la Proposicion
(2.3.1)
numero de (χ(i) ⊗ ψ(j)) = (numero de χ(i)) · (numero de ψ(j))
= (numero de clases de G) · (numero de clases de H)
= numero de clases de G × H.
�
De acuerdo con la Definicion (1.5.3) del producto tensorial de dos representaciones
del mismo grupo, podemos formular el siguiente teorema.
Teorema 2.4.3. Sean X y Y representaciones de G, entonces
1. X ⊗ Y es una representacion de G.
59
2. Si χ, ψ y χ⊗ψ son los caracteres de X, Y y X ⊗Y , respectivamente, entonces
(χ ⊗ ψ)(g) = χ(g)ψ(g).
3. Si X y Y son representaciones irreducibles de G, X ⊗Y no siempre es irredu-
cible.
4. Si X es de grado 1 y Y es irreducible, entonces X ⊗ Y si es irreducible.
Demostracion. 1. Este resultado fue demostrado despues de la Definicion (1.5.3).
2. De nuevo, usando la Ecuacion (15), podemos concluir que
(χ ⊗ ψ)(g) = Tr(X ⊗ Y )(g) = Tr(X(g) ⊗ Y (g))
= Tr X(g) TrY (g) = χ(g)ψ(g).
3. Un contraejemplo que podemos usar para probar esta afirmacion es: Sean
X, Y = W⊥ donde W⊥ = C{1 + 2 + 3}⊥ que es un submodulo irreducible
del modulo de definicion de S3. Entonces, vamos a probar que X ⊗ Y no es
irreducible calculando el producto interno de su caracter con el mismo.
Primero calculemos X ⊗ Y para un elemento de cada clase de conjugacion de
S3:
X(ε) ⊗ Y (ε) =
(1 0
0 1
)⊗
(1 0
0 1
)
=
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝1
(1 0
0 1
)0
(1 0
0 1
)
0
(1 0
0 1
)1
(1 0
0 1
)⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠
60
X( (1, 2) ) ⊗ Y ( (1, 2) ) =
(−1 −1
0 1
)⊗
(−1 −1
0 1
)
=
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝−1
(−1 −1
0 1
)−1
(−1 −1
0 1
)
0
(−1 −1
0 1
)1
(−1 −1
0 1
)⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝1 1 1 1
0 −1 0 −1
0 0 −1 −1
0 0 0 1
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠
X( (1, 2, 3) ) ⊗ Y ( (1, 2, 3) ) =
(−1 −1
1 0
)⊗
(−1 −1
1 0
)
=
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝−1
(−1 −1
1 0
)−1
(−1 −1
1 0
)
1
(−1 −1
1 0
)0
(−1 −1
1 0
)⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠
=
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝1 1 1 1
−1 0 −1 0
−1 −1 0 0
1 0 0 0
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠Por lo tanto, sus caracteres son:
(χ ⊗ ψ)(ε) = 4
(χ ⊗ ψ)( (1, 2) ) = 0
(χ ⊗ ψ)( (1, 2, 3) ) = 1.
61
Ası,
〈χ ⊗ ψ, χ ⊗ ψ〉 =1
|S3|
3∑i=1
|Ki|((χ ⊗ ψ)(πi))2
=1
6(1 · 42 + 3 · 02 + 2 · 12)
=1
6(16 + 0 + 2)
=18
6= 3
lo que implica que χ ⊗ ψ no es irreducible (Parte (4) Corolario (2.2.1)).
4. Sean χ y ψ los caracteres de X y Y , respectivamente. Si X es de grado 1,
por el Ejemplo (1.2.2) sabemos que X(g) es una raız de la unidad, es decir,
|X(g)| = 1 y ademas χ(g) = X(g), por lo tanto,
1 = |X(g)| = |X(g)|2 = X(g)X(g) = χ(g)χ(g)
y ası,
〈χ ⊗ ψ, χ ⊗ ψ〉 =1
|G|
∑g∈G
(χ ⊗ ψ)(g) (χ ⊗ ψ)(g)
=1
|G|
∑g∈G
χ(g) ψ(g) χ(g) ψ(g)
=1
|G|
∑g∈G
χ(g) χ(g) ψ(g) ψ(g)
=1
|G|
∑g∈G
1 · ψ(g) ψ(g)
=1
|G|
∑g∈G
ψ(g) ψ(g)
= 〈ψ, ψ〉 = 1
de lo que podemos concluir que X ⊗ Y es irreducible.
�
62
2.5. Representaciones Restringidas e Inducidas
Dado un grupo G con un subgrupo H vamos a encontrar representaciones de G
usando las representaciones de H y viceversa, pero debemos tener en cuenta que las
condiciones de irreducibilidad no siempre se van a preservar.
Definicion 2.5.1. Sean H ≤ G y X una representacion matricial de G. Definimos
la restriccion de X a H , X ↓GH como
X ↓GH (h) = X(h)
para todo h ∈ H . Si X tiene caracter χ, entonces denotamos el caracter de X ↓GH
por χ ↓GH . �
Podemos ver que X ↓GH es una representacion de H , ya que X cumple con la defini-
cion de representacion sobre los elementos de H porque H ⊂ G.
Definicion 2.5.2. Sea H ≤ G y sean t1, t2, . . . , tl transversales para los cosets
izquierdos de H , es decir, G = t1H � · · ·� tlH , donde � es la union disjunta. Si Y es
una representacion de H , entonces la representacion inducida correspondiente Y ↑GH
asigna a cada g ∈ G la siguiente matriz por bloques
Y ↑GH (g) = (Y (t−1
i gtj)) =
⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝Y (t−1
1 gt1) Y (t−11 gt2) · · · Y (t−1
1 gtl)
Y (t−12 gt1) Y (t−1
2 gt2) · · · Y (t−12 gtl)
......
. . ....
Y (t−1l gt1) Y (t−1
l gt2) · · · Y (t−1l gtl)
⎞⎟⎟⎟⎟⎟⎠donde Y (g) es la matriz cero si g �∈ H . �
Proposicion 2.5.1. Sea H ≤ G con {t1, t2, . . . , tl} transversales y con cosets H =
{t1H, t2H, . . . , tlH}. Si Y = 1 es la representacion trivial de H , entonces las matrices
de 1 ↑GH son identicas a las de G cuando actua en el modulo de cosets CH.
Demostracion. Sean X = (xi,j) y Z = (zi,j) las matrices de 1 ↑GH y CH, respecti-
vamente. Estas dos matrices solamente contienen unos y ceros, por lo que podemos
63
concluir que para cualquier g ∈ G
xi,j(g) = 1 ⇔ t−1i gtj ∈ H
⇔ gtjH = tiH
⇔ zi,j(g) = 1.
Ası, CH es un modulo para 1 ↑GH . �
Ejemplo 2.5.1. Recordemos la representacion de coset de G = S3 que vimos en
el Ejemplo (1.2.11). Para este caso tenıamos que H = {ε, (2, 3)} con transversal
G = H � (1, 2)H � (1, 3)H . Sea Y = 1 la representacion trivial de H y vamos a
calcular X = 1 ↑GH .
Sea g = (1, 2), entonces
Y (ε−1(1, 2)ε) = Y ( (1, 2) ) = 0 (porque (1, 2) �∈ H)
Y (ε−1(1, 2)(1, 2)) = Y ( ε ) = 1 (porque ε ∈ H)
Y (ε−1(1, 2)(1, 3)) = Y ( (1, 2, 3) ) = 0 (porque (1, 2, 3) �∈ H)
Y ((1, 2)−1(1, 2)ε) = Y ( ε ) = 1 (porque ε ∈ H)
Y ((1, 2)−1(1, 2)(1, 2)) = Y ( (1, 2) ) = 0 (porque (1, 2) �∈ H)
Y ((1, 2)−1(1, 2)(1, 3)) = Y ( (1, 3) ) = 0 (porque (1, 3) �∈ H)
Y ((1, 3)−1(1, 2)ε) = Y ( (1, 3, 2) ) = 0 (porque (1, 3, 2) �∈ H)
Y ((1, 3)−1(1, 2)(1, 2)) = Y ( (1, 3) ) = 0 (porque (1, 3) �∈ H)
Y ((1, 3)−1(1, 2)(1, 3)) = Y ( (2, 3) ) = 1 (porque (2, 3) ∈ H)
y por lo tanto,
X( (1, 2) ) =
⎛⎜⎜⎝0 1 0
1 0 0
0 0 1
⎞⎟⎟⎠ .
Como podemos ver, esta es la misma matriz de la representacion de coset del ele-
mento (1, 2) y calculando los valores de X para los otros elementos de G obtenemos
las mismas matrices del Ejemplo (1.2.11). �
64
Teorema 2.5.1. Supongamos que H ≤ G tiene transversal {t1, . . . , tl} y sea Y una
representacion matricial de H , entonces X = Y ↑GH es una representacion de G.
Demostracion. Primero vamos a probar que X(g) siempre es una matriz de per-
mutacion, es decir, que tiene exactamente en cada fila y cada columna un bloque
Y (t−1i gtj) distinto de cero. Consideremos la primera columna (los otros casos son
similares). Dados t−11 gt1, t
−12 gt1, . . . , t
−1l gt1, tenemos que gt1 ∈ tiH solo para uno de
los ti’s, por lo tanto, t−1i gt1 es el unico elemento de la lista que esta en H . Ası, el
bloque Y (t−1i gt1) es distinto de cero y Y (t−1
j gt1) es la matriz cero para todo j �= i.
Ahora vamos a verificar las dos condiciones de la Definicion (1.1.1):
Tenemos que X(ε) = (Y (t−1i ε tj)), pero
Y (t−1i ε tj) = Y (t−1
i tj) =
⎧⎨⎩Y (ε) = I si i = j,
matriz 0 de lo contrario.
Para probar que X(g)X(h) = X(gh) para todos g, h ∈ G, vamos a probar que
el elemento de la matriz de la posicion (i, j) en ambos lados de la ecuacion es
el mismo, es decir ∑k
Y (t−1i gtk)Y (t−1
k htj) = Y (t−1i ghtj).
Vamos a hacer un cambio de notacion para hacer los calculos mas facilmente.
Sean ak = t−1i gtk, bk = t−1
k htj y c = t−1i ghtj. Notemos que akbk = c para todo
k y reescribamos la suma anterior con la nueva notacion∑k
Y (ak)Y (bk) = Y (c).
Ahora tenemos dos casos, uno si Y (c) = 0 y otro si Y (c) �= 0.
Si Y (c) = 0, entonces c �∈ H y, por lo tanto, ak �∈ H o bk �∈ H para todo k.
Ası, Y (ak) = 0 o Y (bk) = 0 para cada k, lo que implica que la suma de la
izquierda tambien es 0.
65
Si Y (c) �= 0, entonces c ∈ H . Sea m el unico ındice para el cual am ∈ H ,
entonces bm = a−1m c ∈ H , por lo tanto,∑
k
Y (ak)Y (bk) = Y (am)Y (bm) = Y (ambm) = Y (c),
como querıamos.
�
Ahora vamos a encontrar una formula para el caracter de una representacion induci-
da. Sean H ≤ G, Y una representacion matricial de H y {t1, . . . , tl} transversales
para H . Llamemos ψ al caracter de Y , entonces ψ(t−1i gti) = ψ(h−1t−1
i gtih) para
cualquier h ∈ H y, por lo tanto,
ψ ↑GH (g) =
∑i
Tr Y (t−1i gti) =
∑i
ψ(t−1i gti)
=1
|H|
∑i
∑h∈H
ψ(h−1t−1i gtih).
Pero como h corre sobre H y los ti’s corren sobre los transversales, entonces el pro-
ducto tih corre sobre todos los elementos de G exactamente una vez. Ası, podemos
escribir la igualdad
ψ ↑GH (g) =
1
|H|
∑x∈G
ψ(x−1gx). (16)
Teorema 2.5.2. Sea H ≤ G y supongamos que ψ y χ son caracteres de H y G,
respectivamente, entonces
〈ψ ↑GH , χ〉 = 〈ψ, χ ↓G
H〉,
donde el producto interno de la izquierda se calcula en G y el de la derecha en H .
66
Demostracion.
〈ψ ↑GH , χ〉 =
1
|G|
∑g∈G
ψ ↑GH (g)χ(g−1) (definicion de 〈·, ·〉)
=1
|G||H|
∑x∈G
∑g∈G
ψ(x−1gx)χ(g−1) (ecuacion (16))
=1
|G||H|
∑x∈G
∑y∈G
ψ(y)χ(xy−1x−1) (donde y = x−1gx)
=1
|G||H|
∑x∈G
∑y∈G
ψ(y)χ(y−1) (χ es constante en las clases de G)
=1
|H|
∑y∈G
ψ(y)χ(y−1) (x es constante en la suma)
=1
|H|
∑y∈H
ψ(y)χ(y−1) (ψ es cero fuera de H)
= 〈ψ, χ ↓GH〉.
�
A continuacion veremos otra forma de inducir representaciones de un grupo en otro
por medio de homomorfismos de grupos.
Definicion 2.5.3. Sea f una funcion de un grupo G en un grupo H , entonces se
dice que f es un homomorfismo de grupos si
f(ab) = f(a)f(b)
para todos los elementos a y b en G. �
Ejemplo 2.5.2. Dados dos grupos G y H , f : G → H un homomorfismo y V
un H-modulo, podemos inducir la estructura de G-modulo a V por medio de la
composicion
Gf
−−→ H −→ GL(V )
definida como
g v = f(g) v
67
para todo g ∈ G y v ∈ V , donde la parte derecha de la ecuacion se calcula con
la accion de H en V . Por lo tanto, V se puede ver como un H-modulo o como un
G-modulo. �
Usando la induccion de la representacion de un grupo en otro, que se explico en el
ejemplo anterior, vamos a inducir representaciones de subgrupos en grupos, tomando
como caso especial un subgrupo normal.
Definicion 2.5.4. Un subgrupo H de un grupo G es un subgrupo normal de G si
g−1Hg = H para todo g ∈ G. �
Proposicion 2.5.2. Si H es un subgrupo normal de G, entonces la funcion de
proyeccion f : G → G/H dada por f(g) = gH para g ∈ G es un homomorfismo.
Demostracion. Esta es una consecuencia directa de la multiplicacion de cosets, ya
que
f(ab) = abH = (aH)(bH) = f(a)f(b).
�
Definicion 2.5.5. Sea H un subgrupo normal de G y f : G → G/H la proyeccion
canonica. Sea V un G/H-modulo. El G-modulo que se obtiene usando el proce-
dimiento del Ejemplo (2.5.2) se denota infGG/HV y se llama la inflacion del G/H-
modulo V a G. �
Ejemplo 2.5.3. Consideremos el subgrupo normal
H = {ε, (1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4)(2, 3)}
de G = S4, entonces G/H = S4/H ∼= S3. Si f : S4 → S4/H es la proyeccion canonica
y g : S4/H → S3 es el isomorfismo natural, tomemos h = g ◦ f .
Sea W⊥ = C{1 + 2 + 3}⊥ el submodulo irreducible del modulo de definicion de S3,
entonces vamos a encontrar
infGG/HW⊥ = infS4
S3W⊥.
68
Primero vamos a encontrar t1, t2, . . . , tk transversales a H en S4 para calcular los
cosets correspondientes. Como S4 y H son finitos, entonces el numero de cosets de
H en S4 es|S4|
|H|=
24
4= 6.
Por lo tanto los 6 cosets son
H = {ε, (1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4)(2, 3)}
(1, 2)H = {(1, 2)ε, (1, 2)(1, 2)(3, 4), (1, 2)(1, 3)(2, 4), (1, 2)(1, 4)(2, 3)}
= {(1, 2), (3, 4), (1, 4, 2, 3), (1, 3, 2, 4)}
(1, 3)H = {(1, 3)ε, (1, 3)(1, 2)(3, 4), (1, 3)(1, 3)(2, 4), (1, 3)(1, 4)(2, 3)}
= {(1, 3), (1, 4, 3, 2), (2, 4), (1, 2, 3, 4)}
(2, 3)H = {(2, 3)ε, (2, 3)(1, 2)(3, 4), (2, 3)(1, 3)(2, 4), (2, 3)(1, 4)(2, 3)}
= {(2, 3), (1, 2, 4, 3), (1, 3, 4, 2), (1, 4)}
(1, 2, 3)H = {(1, 2, 3)ε, (1, 2, 3)(1, 2)(3, 4), (1, 2, 3)(1, 3)(2, 4), (1, 2, 3)(1, 4)(2, 3)}
= {(1, 2, 3), (2, 4, 3), (1, 4, 2), (1, 3, 4)}
(1, 3, 2)H = {(1, 3, 2)ε, (1, 3, 2)(1, 2)(3, 4), (1, 3, 2)(1, 3)(2, 4), (1, 3, 2)(1, 4)(2, 3)}
= {(1, 3, 2), (1, 4, 3), (2, 3, 4), (1, 2, 4)}
donde se ve claramente el isomorfismo g entre S4/H y S3. Como S4 tiene 5 clases
de equivalencia (Ejemplo (2.2.2)), entonces vamos a calcular la matriz de la repre-
sentacion X = infS4
S3W⊥ en un elemento de cada clase.
X( ε ) = infS4
S3W⊥(h( ε )) = W⊥( ε ) =
(1 0
0 1
)
X( (2, 4) ) = infS4
S3W⊥(h( (2, 4) )) = W⊥( (1, 3) ) =
(1 0
−1 −1
)
X( (1, 2)(3, 4) ) = infS4
S3W⊥(h( (1, 2)(3, 4) )) = W⊥( ε ) =
(1 0
0 1
)
69
X( (1, 3, 4) ) = infS4
S3W⊥(h( (1, 3, 4) )) = W⊥( (1, 2, 3) ) =
(−1 −1
1 0
)
X( (1, 2, 4, 3) ) = infS4
S3W⊥(h( (1, 2, 4, 3) )) = W⊥( (2, 3) ) =
(0 1
1 0
)�
Para terminar, vamos a calcular la tabla de caracteres de S4. De acuerdo con la parte
(3) de la Proposicion (2.3.1) sabemos que S4 al tener 5 clases de conjugacion, tiene 5
representaciones irreducibles; ya conocemos 3 de ellas, la trivial, la de signo y W⊥ =
C{1 + 2 + 3 + 4}⊥(Ejemplo 2.2.2), falta encontrar las otras dos representaciones
irreducibles.
En el Ejemplo (2.5.3) calculamos una nueva representacion de S4, verifiquemos si es
irreducible o no. Si χS4
S3(g) es el caracter de infS4
S3(g) para todo g ∈ S4, K1, . . . , K5
son las clases de conjugacion de S4 como en el Ejemplo (2.2.2) y gi ∈ Ki, entonces
〈χS4
S3, χS4
S3〉 =
1
|S4|
5∑i=1
|Ki|(χS4
S3(gi))
2
=1
24(1 · 22 + 6 · 02 + 3 · 22 + 8 · (−1)2 + 6 · 02)
=1
24(4 + 0 + 12 + 8 + 0) =
24
24= 1,
por lo tanto, hemos encontrado otra representacion irreducible de S4.
Por la parte (2) de la Proposicion (2.3.1) sabemos que si V (1) = V triv, V (2) =
V signo, V (3) = W⊥, V (4) = infS4
S3y V (5) son los modulos irreducibles de S4, entonces
|S4| =5∑
i=1
(dim V (i))2
24 = 12 + 12 + 32 + 22 + (dim V (5))2
24 = 1 + 1 + 9 + 4 + (dim V (5))2
(dimV (5))2 = 9
lo que implica que
dim V (5) = 3.
70
Por otro lado, usando la parte (4) del Teorema (2.4.3) como V signo es de dimension
1 y W⊥ es irreducible, podemos concluir que
V (5) = V signo ⊗ W⊥
es irreducible; vemos que es de dimension 3 porque W⊥ es de dimension 3 (como
habıamos concluido anteriormente), y por la parte (2) del Teorema (2.4.3) su caracter
es
χ(5) = χsigno · χ⊥
donde χsigno y χ⊥ son los caracter de V signo y W⊥, respectivamente.
Ası, hemos encontrado todas las representaciones irreducibles de S4 y su tabla de
caracteres es
K1 K2 K3 K4 K5
χtriv 1 1 1 1 1
χsigno 1 −1 1 1 −1
χ⊥ 3 1 −1 0 −1
χS4
S32 0 2 −1 0
χ(5) 3 −1 −1 0 1
�
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Referencias
[1] FRALEIGH, John B. A First Course in Abstract Algebra. Addison-Wesley,third edition, 1982.
[2] SAGAN, Bruce E. The Symmetric Group. Representation, Combinatorial Al-
gorithms, and Symmetric Functions. Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag, second edition, 2001.
[3] SERRE, Jean Pierre. Linear Representations of Finite Groups. Graduate Textsin Mathematics. Springer-Verlag, 1977.
[4] VILLARROEL, Rafael. Introduccion a la Teorıa de Re-
presentaciones de Grupos Finitos. Artıculo tomado dewww.matem.unam.mx/∼rafael/documents/representaciones.pdf. 2006.
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