REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE … · 2015. 5. 5. · Président : Messirdi Bekkai, Professeur à l’Université d’Oran. Directeur de ... Mes remerciements vont

REPUBLIQUE ALGERIENNE DEMOCRATIQUE ET POPULAIRE MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR

ET DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

UNIVERSITE D’ORAN

FACULTE DES SCIENCES

DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES

T H E S E Présentée par

MEZEGHRANI Fatima Zohra

Pour Obtenir

LE DIPLÔME DE DOCTORAT D’ETAT Spécialité : Mathématiques

Option : Analyse fonctionnelle

Intitulée :

Sur quelques problèmes elliptiques sous forme abstraite

de type mêlé.

Devant les membres du jury :

Président : Messirdi Bekkai, Professeur à l’Université d’Oran.

Directeur de thèse : Mortad Mohammed Hichem, Maître de Conférences, classe « A » à

l’Université d’Oran.

Examinateurs : Bendoukha Benrabah, Professeur à l’Université de Mostaganem.

Djebbar Bachir Professeur à l’Université des Sciences et de la

Technologie d’Oran.

Aiboudi Mohamed, Maître de Conférences, classe « A » à l’Université

d’Oran.

Année universitaire : 2011/2012.

Table des matières

Remerciement 2

Introduction 40.1 Objectif principal de la thèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50.2 Historique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60.3 Outils et méthodes de travail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80.4 Description des sections et résultats principaux . . . . . . . . . . . . . . . . 80.5 Perspectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1 Rappels 131.1 Opérateurs linéaires fermés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.2 Les semi-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3 Les espaces d�interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3.1 Propriété fondamentale d�interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.4 Calcul et intégrale de Dunford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.4.1 Formule de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.4.2 Intégrale de Dunford-Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.4.3 Propriété de l�intégrale de Dunford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

1.5 Puissances fractionnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.6 La théorie des sommes d�opérateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.6.1 La théorie des sommes d�opérateur de Da Prato et Grisvard . . . . . 231.6.2 La théorie des sommes d�opérateurs de Dore et Venni . . . . . . . . . 24

1.7 Théorème de traces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.8 Les espaces de Hölder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.9 Lemmes techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2 Résolution du problème dans le cas où f est dans Lp(0; 1;X): 292.1 Approche utilisant les résultats de Dore-Venni . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.1.1 Hypothèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.1.2 Lemmes techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.1.3 Représentation de la solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.1.4 Existence, unicité et régularité maximale . . . . . . . . . . . . . . . . 352.1.5 Estimation-A-Priori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

2.2 Approche utilisant le théorème de Mikhlin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.2.1 Problème avec conditions aux limites homogènes . . . . . . . . . . . . 412.2.2 Problème avec conditions aux limites non homogènes . . . . . . . . . 47

2.3 Applications dans le cas où f est dans Lp(0; 1;X): . . . . . . . . . . . . . . . 48

1

TABLE DES MATIÈRES 2

2.3.1 Résultats de trace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.3.2 Application aux équations aux dérivées partielles. . . . . . . . . . . . 50

3 Résolution du problème dans le cas où f est dans C� ([0; 1] ;X) : 523.1 Approche utilisant la racine carrée de �A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.1.1 Quelques résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533.1.2 Existence, unicité et régularité maximale . . . . . . . . . . . . . . . . 573.1.3 Régularité croisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.1.4 Estimation a priori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.2 Approche utilisant l�intégrale de Dunford . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.2.1 Construction explicite de la solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . 693.2.2 Lemmes techniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.3 Comparaison des deux approches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 743.4 Applications dans le cas où f est dans C� ([0; 1] ;X) . . . . . . . . . . . . . . 75

3.4.1 Résultat anisotropique d�interpolation. . . . . . . . . . . . . . . . . . 753.4.2 Exemples concrets. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

4 Etude du Problème dans le cas où l�opérateur A est variable et f est dansun espace Holdérien. 804.1 Position du problème et hypothèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.2 Construction de la solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

Bibliographie 87

Remerciements

3

TABLE DES MATIÈRES 4

C�est avec mon plus vif enthousiasme que je souhaite rendre mérite aujourd�hui auxpersonnes qui de prés ou de loin et à leur manière, m�ont aidé à mener à bien ce travail.A toutes celles et ceux qui m�ont témoigné de la sympathie et de l�intérêt, qu�ils reçoiventaujourd�hui le témoignage de ma profonde gratitude et l�assurance de mon estime.

Je présente plus particulièrement mes sincères remerciements :

A monsieur Rabah LABBAS Professeur à l�université du Havre qui m�a initié à l�analysefonctionnelle et particulièrement à l�étude des équations di¤érentielles abstraites. Son intérêtpour ce travail, ses orientations et ses conseils mathématiques m�ont été trés précieux.

A monsieur Mohammed Hichem MORTAD Maître de conférences, à l�université d�Oranpour avoir accepté de diriger ce travail, pour la con�ance qu�il m�a témoigné, pour l�aidee¢ cace qu�il m�a apporté et pour le temps qu�il m�a consacré m�ayant permis d�achever cetravail dans les meilleurs conditions..A monsieur Bekkai MESSIRDI Professeur à l�université d�Oran pour l�honneur qu�il me

fait de présider ce jury. Sa collaboration trés fructueuse a été décisive dans l�aboutissementde cette thèse, qu�il trouve ici ma profonde reconnaissance.

Je tiens également à remercier monsieur Benrabeh BENDOUKHA Professeur à l�univer-sité de Mostaganem, avec une profonde sympathie, pour avoir accepté de juger ce travail.

Mes remerciements vont également à l�égard de monsieur Bachir DJEBBAR Professeurà L�université des sciences et de la technologie d�Oran qui m�honore en acceptant de fairepartie de mon jury.

Aussi, je remercie vivement monsieur Mohamed AIBOUDI d�avoir accepté d�examinercette thèse et d�en rédiger un rapport. Ses encouragements m�ont été précieux.

Introduction

5

0.1. OBJECTIF PRINCIPAL DE LA THÈSE 6

0.1 Objectif principal de la thèse

Considérons dans un espace de Banach complexe X, le problème abstrait de typeDirichlet-Neumann

u00(x) + Au(x) = f(x); x 2 (0; 1) (1)

avec les conditions aux limites

u(0) = d0; u0(1) = n1: (2)

Dans tout ce travail, A est un opérateur linéaire fermé de domaine D(A) non nécessaire-ment dense dans X satisfaisant l�hypothèse d�éllipticité suivante

[0;+1[� �(A) et 9C > 0 : (A� �I)�1

L(X)� C

1 + �(3)

Ici d0 et n1 sont des éléments donnés dans X.L�étude sera développée dans les deux cas suivants

1. f 2 Lp(0; 1;X); 1 1; � 2]0; �[: (�A)is

L(X)< Ce�jsj:

(5)

On montre alors qu�il existe une unique solution stricte u de (1)-(2), autrement dit,une fonction u telle que

u 2 W 2;p(0; 1;X) \ Lp(0; 1;D(A));

et véri�ant (1)-(2).D�un autre côté, on donne les conditions nécéssaires et su¢ santes pour avoir une solu-tion stricte ayant la propriété de régularité maximale suivante

u00; Au 2 Lp(0; 1;X):

A titre illustratif, lorsque X = Lq(0; 1); 1 < q <1;(D (A) = f' 2 W 2;q (0; 1) : ' (0) = ' (1) = 0gA' = '"

l�équation abstraite (1) devient celle du Laplacien avec des conditions aux limites detype mêlé 8>>>>><>>>>>:

�u = f;u (0; y) = u0 (y) ;@u

@x(1; y) = u1 (y) ;

u (x; 0) = 0;u (x; 1) = 0:

0.2. HISTORIQUE 7

oùf 2 Lp (0; 1;Lq(0; 1))

on dit que f est dans un espace anisotropique.Dans le cas où p = q on obtient

Lp (0; 1;Lq(0; 1)) = Lp ((0; 1)� (0; 1)) :

La théorie d�Agmon-Douglis-Nirenberg [1] ne traite que les cas où : p = q.

2. f 2 C�([0; 1];X); 0 < � < 1:Ici une solution stricte du problème (1)-(2), telle que

u 2 C2([0; 1] ;X) \ C([0; 1] ;D(A));

et véri�ant (1)-(2), est obtenue. De plus on donne les conditions nécéssaires et su¢ -santes pour avoir la propriété de régularité maximale :

u00; Au 2 C�([0; 1];X):

Ce travail est basé fondamentalement sur une représentation explicite de la solutionutilisant la racine carrée de l�opérateur �A et la méthode de Krein [22]. On analyse alorsavec prudence, toutes les composantes de la solution, dans les deux cas, en utilisant lesrésultats de Dore-Venni et Sinestrari [12], [41], le théorème de réitération de Lions, voir [28]et [43], la théorie des semi groupes et quelques techniques appliquées dans [17] and [18].Comme application de nos résultats, on obtient quelques théorèmes de trace.Comme cité précédement, la racine carrée de l�opérateur �A apparait naturellement

dans les équations du second ordre avec di¤érentes conditions aux limites, mais quand on aà étudier l�équation (1) avec les conditions de Dirichlet, l�utilisation de la racine carrée n�estpas nécéssaire. Par exemple dans le travail de Labbas [23], les techniques sont basées sur lenoyau de Green. Dans notre cas, l�apparence de

p�A est due aux conditions aux limites de

Neumann.Notons que dans ce travail on n�a pas la densité de D(A) dans X, c�est pour cette raison

que l�on doit utiliser la racine carrée de �A avec prudence. On rappelle le papier sur lespuissances fractionnaires d�opérateurs à domaines non denses par Martinez-Sanz [30].

0.2 Historique

Pendant les dernières decenies, plusieurs chercheurs se sont interessés à la résolution duproblème (1) dans les deux cas décrits précédement :

f 2 C�([0; 1];X) ou f 2 W 2;p(0; 1;X); 0 < � < 1; 1 < p <1:

Plusieurs d�entre eux ont étudié (1) comme un problème abstrait de type elliptique, i.e.sous l�hypothèse (3), avec di¤érentes conditions aux limites dans les deux cas f holdérienneou f dans Lp (0; 1;X) en utilisant les puissances fractionnaires d�opérateurs ou le calculfonctionnel de Dunford. Nous citons en premier la théorie des sommes d�opérateurs de DaPrato et P.Grisvard [8] qui traite comme application notre problème avec d0 = n1 = 0 mais,en imposant une condition non naturelle au second membre du type f(0) = f(1) = 0.

0.2. HISTORIQUE 8

On trouve aussi une étude complète de (1) sous les conditions aux limites de Dirichletdans le cas d�opérateurs à coe¢ cients variables, see Labbas [23]. Cet auteur a utilisé lestechniques du noyau de Green .Récemment, une nouvelle approche, basée sur les techniques des semigroupes et les puis-

sances fractionnaires d�opérateurs, a été développée par Favini, Labbas,Tanabe et Yagi [15],[17] concernant l�équation complète

u00 (x) + 2Bu0 (x) + Au (x) = f (x) ; x 2 (0; 1) ;

sous les conditions aux limites de Dirichlet. Notre travail s�inspire de cette dernière référence.On cite par exemple, le premier travail remarquable de S. G. Krein en 1967 (voir [22] p.

249) qui utilise une réduction de l�ordre et les propriétés de la racine carréep�A (le domaine

de A est supposé dense dans X). Le même Problème a été étudié comme un exemple d�unesituation plus générale (cadre de sommes d�opérateurs) par G. Da Prato et P. Grisvard en1975 (voir [10]). Ici les outils utilisées sont basés sur le calcul fonctionnel de Dunford et lesespaces d�interpolation. Cependant, de part le cadre général qu�il traitent, ces auteurs ontimposé une condition non naturelle au second membre du type : f(0) = f(1) = 0.Il est à noter que, dans les exemples concrets régis par des EDP, les espaces d�inter-

polation sont souvent plus faciles à expliciter que les domaines de puissances fractionnairesd�opérateurs. Le travail de R. Labbas en 1986 (voir [23]) clari�e complètement cette situationen donnant des conditions nécessaires et su¢ santes sur les données ( avec les conditions auxlimites de Dirichlet) pour avoir une solution classique ayant de plus une régularité optimale,voir aussi Rabah Labbas [23].Le même problème mais avec les conditions aux limites de Dirichlet-Neumann a été étudié

par F. Z. Mezeghrani [31] avec des hypothèses de di¤érentiabilité de la résolvantes dans lecas où A est variable, en utilisant le calcul fonctionnel de Dunford.Dans le cas où B = 0 et A variable, l�équation non autonome

u00(x) + A (x)u(x) = f(x); x 2 (0; 1);

a été traitée dans le travail sur les sommes d�opérateurs de Da Prato-Grisvard (cadre noncommutatif), avec les conditions aux limites de type�

a0u(0)� b0u0(0) = d0a1u(1) + b1u

0(1) = d1

avec ai; bi > 0 et ai + bi > 0 (i = 0; 1):, où, pour chaque x 2 [0; 1]; (�A (x)) est supposévéri�ant l�hypothèse d�ellipticité dite de Krein (voir [22], (2.2), p. 249) et des hypothèses dedi¤érentiabilité sur la résolvante de type Tanabe et Yagi (voir Da Prato et Grisvard [10],p. 373 et 375). Il est à noter qu�ici les domaines peuvent " beaucoup varier" mais que lesactions des opérateurs sont " régulières" (c�est-à-dire que les coe¢ cients correspondants auxactions des opérateurs sont réguliers).Le travail de R. Labbas en 1986 (voir [23]) étudie et clari�e ce cas mais avec une autre

hypothèse sur les opérateurs elliptiques (�A (x)), sans supposer la di¤érentiabilité des résol-vantes ni la densité des domaines. Cette hypothèse s�inspire sur les travaux de P. Acquista-pace et B. Terreni pour l�étude du problème de Cauchy abstrait, (voir [3]). Concrètement,cette hypothèse traduit que les domaines des opérateurs varient " d�une manière höldé-rienne" mais que les coe¢ cients des actions de ces opérateurs peuvent être peu régulières.

0.3. OUTILS ET MÉTHODES DE TRAVAIL 9

Cette situation a été considérée et étudiée dans un cadre plus général d�une somme d�opé-rateurs par R. Labbas et B. Terreni, (voir [25]). On peut dire que les deux approches sontcomplémentaires l�une de l�autre.

0.3 Outils et méthodes de travail

Cette thèse utilise beaucoup d�outils d�analyse fonctionnelle, en particulier la théoriedes semi-groupes, les puissances fractionnaires d�opérateurs, la théorie de l�interpolation, lathéorie des sommes d�opérateurs linéaires et le calcul fonctionnel de Dunford.Les techniques utilisées s�inspirent de beaucoup de travaux ayant trait à l�étude des

équations di¤érentielles abstraites posées dans des espaces de Banach. On cite à titre indicatifles travaux récents développés dans [14], [15], [16] et [17].

0.4 Description des sections et résultats principaux

Cette thèse comporte 4 chapitres.Le premier chapitre est consacré à des rappels d�usage sur les outils mathématiques

utilisés dans ce mémoire. Nous donnons certains résultats classiques sur les semi groupesles espaces holdériens, les espaces d�interpolation et les espaces fractionnaires, ainsi que lespricipaux théorèmes de la théorie des sommes d�opérateurs linéaires dans le cas des espacesde Banach quelconques ([8] ;[25]) et dans le cas des espaces de Banach UMD ([11] ;[34]).Le deuxième chapitre concerne le cas Lp(0; 1;X). Plus précisément, on s�intéresse à

l�équation di¤érentielle abstraite du second ordre de type elliptique (1) avec les conditionsaux limites de type Dirichlet-Neumann (2) où A est un opérateur linéaire fermé sur un espacede Banach complexe X et d0, n1 sont des éléments donnés dans X. Ici

f 2 Lp(0; 1;X); 1 < p <1;

et X a la proporiété géométrique dite UMD.il est partagé en deux parties, dans la première,on fait une approche de notre problème en utilisant les résultats de Dore-Venni aprés avoirdonné quelques lemmes techniques nécéssaires pour la représentation de la solution. on sup-pose que A est un opérateur Bip et on utilise les résultats du chapitre 1 pour montrer que(1) admet une unique solution stricte, sous certaines hypothèses naturelles d�ellipticité del�opérateur et de régularité sur les données, on donne alors, une représentation explicite dela solution stricte.Plus précisément on démontre le Théorème suivant :

Théorème 0.1 Soit f 2 Lp (0; 1;X) ; 1 < p < +1, on suppose (3), (4) et (5). Alors lespropositions suivantes sont équivalentes :

1. Le problème (1)-(2) admet une unique solution stricte u, telle que

u 2 W 2;p(0; 1;X) \ Lp(0; 1;D (A));

et véri�ant (1)-(2).

2. d0 2 (D(A); X) 12p;p et n1 2 (D(A); X) 1

2+ 12p;p.

0.4. DESCRIPTION DES SECTIONS ET RÉSULTATS PRINCIPAUX 10

De plus, on donne une estimation-a-priori dans la proposition suivante :

Proposition 0.1 Soit f 2 Lp (0; 1;X) ; 1 0 tel que :

ku00kLp(X) + kAukLp(X) � C�kfkLp(X) + kd0k(D(A);X) 1

2p ;p+ kn1k(D(A);X) 1

2+12p ;p

�La formule de représentation de la solution est donnée dans le chapitre 2 par deux mé-

thodes, la première se base sur le calcul fonctionnel de Dunford et la deuxième sur la méthodede Krein[22], l�unicité de la représentation est démontrée dans ce chapitre.Dans la deuxième partie du chapitre 2, on fait une deuxième approche du problème en

utilisant le théorème de Mikhlin. Dans cette partie on utilise les techniques des multipli-cateurs de Fourier et la théorie de Mikhlin pour majorer les puissances imaginaires puresd�opérateurs.La dernière section du deuxième chapitre illustre notre théorie abstraite par quelques

exemples concrets d�applications en EDP dans le cas des espaces Lp, en particulier on montreque l�application I dé�nie par :

W 2;p(0; 1;Lq(R)) \ Lp(0; 1;W 2;q(R)) �! B1� 1

pq;p (R)�B

2� 1p

q;p (R)u 7�! (u (0) ; u0 (1))

est linéaire, continue et bijective.Au troisième chapitre on reprend l�étude du problème (1)-(2) en supposant cette fois-ci

le casf 2 C�([0; 1] ;X); 0 < � < 1:

On cherche une solution stricte u de (1)-(2), i.e. une fonction telle que

u 2 C2([0; 1] ;X) \ C([0; 1] ;D(A));

véri�ant les équations (1)-(2). Cette solution stricte aura la propriété de régularité maxi-male si elle véri�e de plus

u00; Au 2 C�([0; 1] ;X):Les résultats dans ce chapitre sont les suivants :

Théorème 0.2 Soit f 2 C� ([0; 1] ;X) ; 0 < � < 1, et supposons (3). Alors les assertionssuivantes sont équivalentes.

1. Le problème (1)-(2) admet une unique solution stricte u, telle que

u 2 C2([0; 1] ;X) \ C([0; 1] ;D (A));

et véri�ant (1)-(2).

2. d0 2 D(A); Ad0 � f(0) 2 D(A); u est donné par (2.12),n1 2 D(

p�A) et

p�An1 2 D(A):


Proposition 0.2 Soit f 2 C� ([0; 1] ;X) ; 0 < � < 1, on suppose (3),

d0 2 D(A); n1 2 D(p�A); Ad0 � f(0) 2 (D (A) ; X)1� �

2;+1

etp�An1 2 (D (A) ; X)1� �

2;+1 :

Alors 9C > 0 :

ku00kC(X) + kAukC(X)� C

hkfkC�(X) + kAd0 � f(0)kX +

p�An1 X

iet

ku00kC�(X) + kAukC�(X)

� C

"kfkC�(X) + kAd0 � f(0)k(D(A);X)

1� �2 ;+1

+ p�An1

(D(A);X)1� �

2 ;+1

#

On termine le troisième chapitre par des applications concrètes dans le cas holdérien.Comme exemple, on montre que l�application

M : G� �! N�;u 7�! (u (0) ; u0 (1))

est bien dé�nie, linéaire, continue et bijective avec8><>:G� =nu 2 C2+�([0; 1] ;L2 (R)) \ C�([0; 1] ;H2(R)) : u00(0) 2 (H2(R); L2 (R))1� �

2;+1

o;

N� = H2(R)�H�;

etH� =

n� 2 D(

p�A) :

p�A� 2 (H2(R); L2 (R))1��=2;+1 = B�2;1(R)

o:

Le quatrième chapitre est consacré à l�étude du problème :8<:u00(x) + A(x)u(x)� �x = f(x); � > 0; x 2 [0; 1]u(0) = d0u0(1) = n1

où f 2 C� ([0; 1] ;X) ; 0 < � < 1; d0; n1 2 X et (A(x))x2[0;1] est une famille d�opérateurslinéaires fermés de domaines D (A(x)) non nécéssairement denses dans X et véri�ant(

(A(x)� z)�1 existe pour tout z � � et (A(x)� z)�1 L(X)

� c

jzj ; 8z � �

et 8>><>>:9K; �; � tels que : (A(x)� �) (A(x)� z)�1 �(A(x)� �)�1 � (A(s)� �)�1�

L(X)� K jx� sj

�

jzj�avec : �+ 2�� 2 > 0:


Cette dernière hypothèse intervient assez naturellement dans la résolution d�une équationintégrale qui est formellement équivalente à l�équation di¤érentielle :

u00(x) + A(x)u(x)� �x = f(x)

obtenue à l�aide du calcul opérationnel de Dunford. Elle a été utilisée pour la première foispar Acquistapace-Terreni [3] pour l�étude de l�équation parabolique du premier ordre aveccondition de Cauchy non homogène et ensuite dans Labbas-Terreni [25] dans l�étude dessommes d�opérateurs de type parabolique ou elliptique.Dans ce chapitre, on obtient un résultat essentiel d�existence, d�unicité et de régularité

optimale holdérienne de la solution.Le mémoire se termine par une bibliographie relative à l�ensemble des travaux présentés

ici.

0.5. PERSPECTIVES 13

0.5 Perspectives

Les perspectives de recherche dans le domaine traité ici dans cette thèse sont nombreuses,nous citons quelques unes :

1. Considérer l�équation complète :

u00 (x) + 2Bu0 (x) + Au (x) = f (x) ; x 2 (0; 1) ;

sous les conditions aux limites de Dirichlet-Neumann.Ces études devront être faites dans les deux cas : Lp(0; 1;X); 1 < p < 1 etC�([0; 1];X); 0 < � < 1:

2. On ne suppose pas l�hypothèse sur la résolvante et on cherche les conditions nécéssairessur l�opérateur A pour que notre problème admette une solution stricte.

Chapitre 1

Rappels

14

1.1. OPÉRATEURS LINÉAIRES FERMÉS 15

1.1 Opérateurs linéaires fermés

On rappelle que A est un opérateur linéaire sur X un espace de Banach si et seulement sic�est une application linéaire dé�nie sur un sous espace vectoriel D(A) (domaine de dé�nitionde A) de X, à valeurs dans X.Alors :

1. A est dit borné siD(A) = X et 9c > 0 : kA�k � c k�k

et on écrit A 2 L (X) :2. A est dit fermé si et seulement si son graphe est fermé, i. e., pour toute suite (xn)n 2D (A) telle que �

xn �! xAxn �! y

=)�x 2 D(A)Ax = y:

3. A est dit fermable si et seulement s�il admet une extension fermée, ce qui équivaut àdire que pour toute suite (xn)n 2 D (A) telle que�

xn �! 0Axn �! y

=) y = 0:

Les convergences des suites xn et Axn sont au sens de la norme de l�espace X:La notion de fermabilité des opérateurs linéaires est importante dans la résolution de

certaines équations aux dérivées partielles car elle permet d�avoir des solutions distributions,(voir Kato [21]).

1.2 Les semi-groupes

Dé�nition 1.1 Soit X un espace de Banach. On dit que la famille (G(t))t�0 d�opérateurslinéaires bornés sur X constitue un semi-groupe si :

1. G(0) = I = IX ;

2. 8t; s > 0; G(t+ s) = G(t)G(s):

Lorsque la famille (G(t)) est donnée pour t 2 R et que la deuxième propriété est véri�éepour tous t et s de R on dira qu�on a un groupe.

Dé�nition 1.2 On dit qu�un semi-groupe (G(t))t�0 est fortement continu si et seulement sipour tout x 2 X, l�application t �! G(t)x de R+ dans X est continue c�est à dire

8x 2 X; limt�!0

kG (t)x� xkX = 0

on dit aussi que (G(t))t�0 est un C0 semi-groupe.

Proposition 1.1 Si (G(t))t�0 est un semi-groupe fortement continu alors il existe deuxconstantes M > 1 et ! > 0 telles que

8t > 0; kG(t)kL(E) 6Me!t: (1.1)

1.2. LES SEMI-GROUPES 16

Dé�nition 1.3 On appelle générateur in�nitésimal d�un C0 semi-groupe (G(t))t�0, l�opéra-teur � dé�ni par

8><>:D(�) =

�x 2 X : lim

t�!0+G(t)x� x

texiste dans X

�8x 2 D(�); �x = lim

t�!0+G(t)x� x

t:

Proposition 1.2 Si � est générateur in�nitésimal d�un C0 semi-groupe(G(t))t�0 , alors

1. � est linéaire fermé de domaine D(�) dense dans X;

2. L�ensemble résolvant �(�) contient le demi-plan

P! = f� 2 C : jRe(�)j > !g

et 8� 2 P!;8n > 1 (�� I)�n L(E) 6 M

(Re�� !)n

3. La résolvante de � est donnée par la transformation de Laplace :

8� 2 P! ; (�� I)�1 x =1Z0

e��tG (t)xdt

où M et ! sont les constantes de la proposition précédente.

La réciproque de ce résultat est donnée par le célèbre théorème de Hille-Yosida suivant :

Théorème 1.1 (Hille-Yosida) [21] Soit � : D(�) � E �! E un opérateur linéaire tel que :

1. � est fermé et D(�) est dense dans E;

2. il existe M > 1 et ! > 0 tels que :

�(�) � f� 2 C : jRe(�)j > !g

et pour Re� > !; n = 1; 2:::: (�� I)�n L(E)

6 M

(Re�� !)n :

Alors � est le générateur in�nitésimal d�un C0 semi-groupe (G(t))t�0:

Proposition 1.3 On peut retrouver le semi-groupe (G(t)))t�0 à partir de son générateur �par la formule

G(t)x = lim�!1

et��x; t > 0; x 2 X

où �� 2 L(X) est l�approximation de Yosida dé�nie par

�� = ��(�� I)�1; � > !:


La proposition suivante détaille les principales propriétés des C0 semi-groupes.

Proposition 1.4 Soit (G(t))t>0 un C0 semi-groupe de générateur in�nitésimal �, alors ona :

1. Pour tout x 2 X, la fonction t 7! G(t)x est continue sur R+:2. Si x 2 D(�) et t > 0 alors G(t)x 2 D(�):3. La fonction t 7! G(t)x est continûment dérivable sur R+ si et seulement si x 2 D(�).Dans ce cas

8t > 0; d

dtG(t)x = �G(t)x = G(t)�x:

4. Pour tout x de X et tout t > 0Z t

0

G(s)xds 2 D(�) et �Z t

0

G(s)xds = G(t)x� x;

et si de plus x 2 D(�)

�

Z t

0

G(s)xds =

Z t

0

G(s)�xds = G(t)x� x:

5. Si � est générateur in�nitésimal d�un autre C0 semi-groupe (S(t))t>0, alors

8t > 0, S(t) = G(t):

La proposition précédente permet d�a¢ rmer entre autre que si � est le générateur in�ni-tésimal d�un C0 semi-groupe (G(t))t�0 et si u0 2 D(�), la fonction u : [0;+1[�! X dé�niepar

8t > 0, u(t) = G(t)u0;est l�unique fonction dans C1([0; 1] ;X) \ C([0; 1] ;D(�)), solution du problème de Cauchy�

u0(t) = �u(t), x 2 [0;+1[;u(0) = u0:

Dé�nition 1.4 On dit que (G(t))t�0 est un :� C0 semi-groupe uniformément borné si on a la majoration (1.1) avec M > 1 et ! = 0:� C0 semi-groupe de contraction si on a (1.1) avec M = 1 et ! = 0:

Semi-groupes di¤érentiables

Dé�nition 1.5 On dit qu�un C0 semi-groupe (T (t))t�0 est di¤érentiable si pour tout x deX, la fonction t 7! T (t)x est di¤érentiable de ]0;+1[ dans X.

Proposition 1.5 Soit (T (t))t�0 un C0 semi-groupe di¤érentiable de générateur in�nitésimal�. Alors, pour n 2 N et x 2 X, on a :1. 8t 2]0;+1[, T (t)x 2 D(�n).2. t 7! T (t)x est n fois di¤érentiable sur ]0;+1[ et

8t 2]0;+1[; T (n)(t)x = �nT (t)x:

3. 8t 2]0;+1[, T (n)(t) 2 L(X):4. t 7! T (n)(t) est di¤érentiable (donc continu) de ]0;+1[ dans L(X).


Semi-groupe analytique

Dans toute la suite arg désigne la détermination principale de la fonction argumentcaractérisée par :

arg(z) = ' si z = rei�; r > 0; ' 2 [��; �]

Dé�nition 1.6 Soit � 2]0; �]. On appelle semi-groupe analytique, l�application G dé�niesur le secteur S� avec

S� = fz 2 C� : jarg(z)j < �get à valeurs dans L(X) telle que :1. z �! G(z) est analytique sur S�:

2. G(0) = I et 8x 2 X, limz!0z2S�

kG(z)x� xkX = 0:

3. 8z1; z2 2 S�, G(z1 + z2) = G(z1)G(z2).Si de plus sup

z2S�kG(z)k < +1, on dit que (G(z))z2S�est uniformément borné dans S�:

Semi-groupe analytique généralisé

On dira que�exQ�x�0 est un semi-groupe analytique généralisé si Q est un opérateur

linéaire dans X; de domaine non dense et véri�ant :(�(Q) � S!;� =

�� 2 Cn f!g = jarg(�� !)j < �

2+ �et

sup�2S!;�

k(�� !) (�I �Q)�1kL(X) < +1;

où ! 2 R et � 2�0; �

2

�.

Dans ce cas�exQ�x�0 n�est pas supposé un semi-groupe fortement continu (voir E. Sines-

trari [41], A. Lunardi [29]).

Remarque 1.1 En �xant r > 0, �0 2 ]0; �[ alors�exQ�x�0 est dé�ni par

exQ =

8<:12i�

R e�x (�I �Q)�1 d� si x > 0

I si x = 0;

ou est le bord de S!;�nB(0; r) orienté négativement.

Générateur in�nitésimal de semi-groupe analytique (ou holomorphe)

Théorème 1.2 Soit � le générateur in�nitésimal d�un C0 semi-groupe (G(z))z2S� unifor-mément borné sur X. Alors les conditions suivantes sont équivalentes

1.3. LES ESPACES D�INTERPOLATION 19

1. Il existe � 2]0; �=2[ et C > 0 tels que8<: �(�) � S�2+� et

8� 2 S�2+�; k(�� I)�1kL(X) 6

C

j�j :(1.2)

2. (G(t))t�0 est un C0 semi-groupe di¤érentiable et il existeM > 0 tel que pour tout t > 0;

G(t) 2 L(X;D(�)) et k�G(t)kL(X)

6 M

t:

3. Il existe � 2]0; �] tel que (G(t))t�0 soit prolongeable en (G(z))z2S� semi-groupe sur X,analytique dans S�, uniformément borné dans S�.

Théorème 1.3 Soit � : D(�) � X �! X un opérateur linéaire.Alors les propriétés suivantes sont équivalentes :

1. � est fermé, D(�) est dense dans X et il existe C > 0 tel que8<: �(�) � � = f� 2 C� = Re� > 0g et8� 2 �; k(�� I)�1kL(X) 6

C

j�j :(1.3)

2. � est le générateur in�nitésimal d�un semi-groupe analytique, uniformément borné(G(t))t>0 qui de plus se prolonge en (G(z))z2S�, semi-groupe sur X, analytique dans

S�, uniformément borné dans S� (avec � 2]0; �]).

1.3 Les espaces d�interpolation

On donne ici certaines caractérisations des espaces d�interpolation dont on rappelle ci-dessous les principales.

Dé�nition 1.7 Soit X un espace de Banach.On désigne par Lp� (R+; X) avec p 2 [1;+1[; l�espace de Banach des fonctions f forte-

ment mesurables dé�nies pour presque tout t 2 R+ et telles que0@ +1Z0

kf(t)kpFdt

t

1A1=p

= kfkLP� (R+;X) < +1.

Si p = +1, on dé�nit l�espace L1� (R+; F ) par

f 2 L1� (R+; X),(f : R+ �! X est fortement mesurable etsup ess0<t<1

kf(t)kX <1:

Dé�nition 1.8 Soient (X0; k:k0) et (X1; k:k1) deux espaces de Banach s�injectant continû-ment dans un espace topologique séparé E.Pour p 2 [1;+1] et � 2 ]0; 1[, on dit que x 2 (X0; X1)�;p si et seulement si�

i)8t > 0;9u0(t) 2 X0;9u1(t) 2 X1 / x = u0(t) + u1(t)ii)t��u0 2 Lp� (R+; X0) ; t1��u1 2 Lp� (R+; X1) :

1.3. LES ESPACES D�INTERPOLATION 20

Proposition 1.6�X0 \X1; k:kX0\X1

�;�X0 +X1; k:kX0+X1

�et�(X0; X1)�;p ; k:k�;p

�sont des espaces de Banach pour les normes respectives(

kxkX0\X1 = kxkX0 + kxkX1 si x 2 X0 \X1

kxkX0+X1 = infxi2Xi; x0+x1=x

�kx0kX0 + kx1kX1

�si x 2 X0 +X1;

et 8><>:kxk�;p = inf

ui:R+�!Xi; i=0;1:8t>0;u0(t)+u1(t)=x

� t��u0 Lp�(R+;X0) + t1��u1 Lp�(R+;X1)�si x 2 (X0; X1)�;p :

Et de plusX0 \X1 � (X0; X1)�;p � X0 +X1;

avec injections continues.Notons que

(E0; E1)�;p = (E1; E0)1��;p

1.3.1 Propriété fondamentale d�interpolation

On se donne deux triplets d�espaces d�interpolation (X0; X1; X), (Y0; Y1; Y ) et un opéra-teur linéaire T de X dans Y , alors on a le Théorème :

Théorème 1.4 On suppose que les restrictions de T aux espaces Xi à valeurs dans Yi aveci = 1; 2 sont linéaires continues, alors pour tous � 2 ]0; 1[ et p 2 [1;1], l�opérateur T estlinéaire continu de (X0; X1)�;p dans (Y0; Y1)�;p et

kTkL((X0;X1)�;p;(Y0;Y1)�;p) 6 C kTk1��L(X0;Y0)

kTk�L(X1;Y1)

Dé�nition 1.9 Soit A un opérateur linéaire fermé de domaine

D(A) � X;

muni de sa norme du graphe :

8x 2 D(A); kxkD(A) = kxkX + kAxkX :

On pose alors, en suivant les notations de P. Grisvard

DA(�; p) = (D(A); X)1��;p;

où p 2 [1;+1] et 0 < � < 1.

Quand l�opérateur A véri�e certaines hypothèses supplémentaires, il est alors possible dedonner des caractérisations explicites de DA(�; p) ainsi :

Théorème 1.5 Soient p 2 [1;+1] et 0 < � < 1.

1.4. CALCUL ET INTÉGRALE DE DUNFORD 21

1. Supposons que �(A) � R�+ et il existe une constante C > 0 telle que

8� > 0, (A� �I)�1 L(X) 6 C

�;

alorsDA(�; p) =

�x 2 X : t�A (A� tI)�1 x 2 Lp�(R+;X)

: (1.4)

et

DA (�;+1) =�x 2 X : sup

t>0

t�A (A� tI)�1 x E6 C < +1

�et

kxkDA(�;+1)= kxkX + sup

t>0

t�A(A� t)�1x X

(Voir P. Grisvard [19]).

1. Si A génère un semi-groupe fortement continu et borné dans X

DA(�; p) =�x 2 X : t��(etA � I)x 2 Lp�(R+;X)

:

Voir J. L. Lions [27].

2. Si maintenant A génère un semi-groupe analytique borné dans X; alors

DA(�; p) =�x 2 X : t1��AetAx 2 Lp�(R+;X)

:

1.4 Calcul et intégrale de Dunford

1.4.1 Formule de Cauchy

Soit U un ouvert de C. On note H(U), l�espace des fonctions holomorphes de U dans C.Pour f 2 H(U), K un compact à bord de U et z0 à l�intérieur de K, la formule de Cauchy

est donnée par

f (z0) =1

2i�

Z�

f(�)

�� z0d�;

où � est le bord positivement orienté de K:

1.4.2 Intégrale de Dunford-Riesz

Le calcul fonctionnel classique de Dunford-Riesz s�appuie sur la formule précédentepour construire f (T ) où T est un opérateur linéaire fermé et f est holomorphe.Plus précisément si T 2 L(X) et si f est holomorphe sur un voisinage ouvert U de � (T )

(le spectre de T ) alors on dé�nit l�intégrale de Dunford-Riesz par

f (T ) =1

2i�

Z�

f(�) (�I � T )�1 d�;

où � est le bord positivement orienté d�un compact à bord K contenant � (T ) et contenudans U:

1.5. PUISSANCES FRACTIONNAIRES 22

1.4.3 Propriété de l�intégrale de Dunford

Théorème 1.6 Soient f et g 2 H(T ) et T 2 L(X), alors f:g 2 H(T ) et

f (T ) g(T ) = (f:g)(T ) =1

2i�

Z�

f (�) g(�) (�I � T )�1 d�:

Preuve. Voir Dunford-Schwartz [13]:

1.5 Puissances fractionnaires

Théorème 1.7 Si A est un opérateur linéaire fermé à domaine dense dans X tel que�9C > 0 : R+ � �(A) et pour � > 0k(A� �I)�1kL(X) 6 C=(1 + �) ;

alors pour 0 < � 6 1=2, � (�A)� génère un semi-groupe G� (t) fortement continu pour t > 0et uniformément continu pour t > 0.

Preuve. voir A. V. Balakrishnan [4].

Exemple 1.1 Pour � = 1=2 on a

G1=2 (t) =

Z +1

0

(A� �I)�1 sin tp�d�

Puissances fractionnaires avec partie réelle positive

On considère ici A 2 S� où � 2]0; �[.On se donne � 2 C, il s�agit alors sous certaines conditions, d�activer la formule

A� = (z�) (A) : (1.5)

Ici z� désigne la détermination principale de la fonction "puissance �" caractérisée par

z� = e�(ln r +i�) si z = rei�; r > 0; � 2]� �; �[:

Proposition 1.7 Soient �; � 2 C tels que Re�;Re � > 0, on a alors1. A� est un opérateur fermé de X.

2. A�+� = A�A� = A�A�:

3. Re � > Re� =) D(A�) � D(A�) et en particulier

Re� < 1 =) D(A) � D(A�):

4. Si A est injectif alors A� l�est aussi et�A�1

��= (A�)�1 :

5. Si 0 2 �(A) alors 0 2 �(A�):6. Si � 2 R avec 0 < � < �

!alors �

A��= A��:

7. A 2 L(X) =) A� 2 L(X):

1.6. LA THÉORIE DES SOMMES D�OPÉRATEURS 23

Puissances fractionnaires avec partie réelle quelconque

Proposition 1.8 On considère �; � 2 C et on suppose que A est injectif. Alors1. A� est un opérateur fermé de X:

2. A�est injectif et (A�)�1 = A�� = (A�1)� :

3. A�+� � A�A�:4. Si � 2 R avec j�j < �

!alors �

A��= A��:

Considérons maintenant le cas particulier où A admet un inverse borné.

Dé�nition 1.10 Si 0 2 �(A) et � 2 C avec Re� > 0, alors1. A�� = (A�1)� 2 L(X):2. A�� = A��A�� = A��A��.

1.6 La théorie des sommes d�opérateurs

On rappelle dans la suite les principaux résultats de la théorie des sommes d�opérateurslinéaires dans les espaces de Banach quelconques.Soient A et B deux opérateurs linéaires fermés dans X; de domaine respectifs D(A) et

D(B). On s�intéresse alors à l�équation

Au+Bu = g; (1.6)

où g est un vecteur donné de X:L�opérateur somme L = A+B est dé�ni par�

D(L) = D(A) \D(B)Lu = Au+Bu si u 2 D(L);

et (1.6) s�écrit encoreLu = g: (1.7)

Une solution stricte de (1.6) est un élément u 2 D(L) satisfaisant (1.6). L�idéal estde trouver une telle solution lorsque g est quelconque dans X, mais ce n�est pas toujourspossible ; on introduit donc une nouvelle notion :u est une solution forte de (1.6) si et seulement si, il existe (un)n2N une suite dans D(L)

telle quelim

n!+1un = u et lim

n!+1Lun = g; (1.8)

Evidemment, une solution stricte de (1.6) est une solution forte de (1.6). La notion desolution forte est donc plus faible (mais le terme de solution faible ne sera pas utilisé ici, ilest en général réservé aux solutions variationnelles, la notion de solution forte correspondplutôt à une solution distribution).Notons que si L est fermé les deux notions de solution stricte et forte sont équivalentes,

mais la somme de deux opérateurs fermés n�est pas nécessairement fermée.


D�autre part si l�on suppose que L est fermable et si on note L sa fermeture (i.e. L est laplus petite extension fermée de L) alors (1.8) équivaut à

u 2 D(L) et Lu = g:

En�n dans le cas où L est fermable, les propositions suivantes sont équivalentes :

1. Pour tout g de X, il existe une solution forte de (1.6).

2. 0 2 �(L).Et si L est fermé les propositions suivantes sont équivalentes :

1. pour tout g de X, il existe une solution stricte de (1.6).

2. 0 2 �(L).Dans ce contexte, on comprend l�importance de trouver des conditions raisonnables sur

les opérateurs A et B, qui assurent que L est fermable (voire fermé) et que 0 2 �(L):Les deux théorèmes de G. Da Prato et P. Grisvard, énoncés plus loin, répondent positi-

vement à ce problème sur les sommes d�opérateurs sous des conditions adéquates.

1.6.1 La théorie des sommes d�opérateur de Da Prato et Grisvard

Notation 1.1 On suppose qu�il existe r > 0 et un angle � 2]0; �]: On note le secteur S� par

S� = fz 2 Cn f0g : jzj > r et jarg(z)j < � � �g ;

Les hypothèses sur A et B

On suppose que les opérateurs A et B véri�ent les hypothèses de base (dites de Da Pratoet Grisvard [19]) suivantes :Parabolicité-ellipticité :

(DP:1)

8>>>>>>>>><>>>>>>>>>:

9r; CA; CB > 0; �A; �B 2 ]0; �[ :i)� (A) � S�A = fz : jzj > r; jarg (z)j < � � �Ag ;8z 2 S�A ;

(A� zI)�1 L(E)

6 CA= jzj :ii)� (B) � S�B = fz : jzj > r; jarg (z)j < � � �Bg ;8z 2 S�B ;

(B � zI)�1 L(E)

6 CB= jzj :iii) �A + �B < �

i�)D (A) +D (B) = E:

Commutativité au sens des résolvantes :

(DP:2)

�8� 2 �(�A);8� 2 �(�B)(A+ �I)�1(B + �I)�1 = (B + �I)�1(A+ �I)�1

et(DP:3) � (A) \ � (�B) = ;

où � (A) (resp � (�B) ) désigne le spectre de A (resp de (�B) ) et � (A), � (�B) leursensembles résolvants.La première hypothèse est dite d�ellipticité-parabolicité, la deuxième indique le cadre

commutatif.


Théorème de Da Prato et Grisvard

L�opérateur linéaire continu dé�ni par l�intégrale de Dunford suivant :

S : u �! � 1

2i�

Z�

(B + zI)�1 (A� zI)�1 gdz

provenant naturellement de l�extension de la formule de Cauchy dans le cadre opération-nel, véri�e les propriétés :

1. 8u 2 D (A) \D (B) on a S (Au+Bu) = u;2. 8v 2 D (A) +D (B) on a

S (v) 2 D (A) \D (B)

etA (S (v)) +B (S (v)) = v

3. Pour v 2 DA (�; p) +DB (�; p) ; � 2 ]0; 1[ ; p 2 [1;+1] ; on a

Sv 2 D (L) et L (Sv) = v

4. L est fermable et�L��1

= S (L est la fermeture de A+B), de plus :

(D (L) ;E)�;p = (D (A) ;E)�;p \ (D (B) ;E)�;p

� est une courbe sectorielle séparant les spectres de A et (�B) et demeurant dans� (A) \ � (�B) (voir Da Prato-Grisvard [10]).

La fonction u est alors l�unique solution forte de (1.6).

Théorème 1.8 Sous les hypothèses (DP1) � (DP3) et pour � 2]0; 1[; p 2 [1;+1], on a :1. Si g 2 DB(�; q) alors u 2 D(L) et Au; Bu 2 DB(�; p):

2. Si g 2 DA(�; q) alors u 2 D(L) et Au; Bu 2 DA(�; p):

1.6.2 La théorie des sommes d�opérateurs de Dore et Venni

Les espaces UMD

On considère un espace de Banach E de type UMD (Unconditional Martingale Di¤e-rences), (voir Bourgain [5], Burkholder [6]). Nous donnons ici une dé�nition équivalente plusadapté à notre propos et qui utilise la transformée de Hilbert.

Dé�nition 1.11 Pour " 2]0; 1[ et p 2]1;+1[; on dé�nit l�opérateur

H" 2 L (Lp (R; X)) ;

par

8f 2 Lp (R; X) ; (H"f) (x) =1

�

Z"<jsj<1="

f(x� s)s

ds; p. p. x2 R,

et si pour un élément f 2 Lp(R; X) donné lim"�!0+

H"f existe dans Lp (R; X), cette limite estnotée Hf et appelée la transformée de Hilbert de f sur Lp (R; X).


Dé�nition 1.12 X est appelé espace UMD s�il existe p 2]1;+1[ tel que

8f 2 Lp(R; X), lim"�!0+

H"f existe dans Lp (R; X) : (1.9)

Dans ces conditionsH : Lp(R; X) �! Lp(R; X)

f 7�! Hf = lim"�!0+

H"f ;

est, d�après le théorème de Banach Steinhaus, un élément de L (Lp (R; X)), appelé la trans-formée de Hilbert sur Lp (R; X).

Notons que si X est un espace UMD alors (1.9) est vraie pour tout p 2]1;+1[.Il est bon d�avoir aussi une caractérisation géométrique des espaces UMD, à cette �n on

introduit la notion de �-convexité.

Dé�nition 1.13 X est dit �-convexe si et seulement si il existe une fonction

� : X �X �! R;

véri�ant �(0; 0) > 0 et pour tout x; y de X

1. �(x; :) et �(:; y) sont convexes sur X:

2. �(x; y) 6 kx+ yk si kxk = kyk = 1:

Le résultat fondamental de D.L. Burkholder (voir [6] et [5]) est le suivant :

Théorème 1.9 X est un espace UMD si et seulement si X est �-convexe.

Exemples Il est possible de donner de nombreux exemples d�espaces de Banach classiquesqui ont la propriété UMD, ainsi :

1. Tout espace de Hilbert est UMD.

2. Tout espace isomorphe à un espace UMD est UMD.

3. Tout sous-espace fermé d�un espace UMD est UMD.

4. Si les espaces X et Y sont UMD alors les espaces interpolés (cas réel (X; Y )�;p oucomplexe [X; Y ]�;p ) sont UMD si 1 < p <1:

5. Tous les espaces construits sur Lp, sont UMD si 1 < p <1:

Théorème de Dore-Venni

Position du problème Il s�agit, comme dans la théorie des sommes de G. Da Pratoet P. Grisvard de résoudre l�équation

Au+Bu = g;

où g 2 X et A, B sont deux opérateurs linéaires fermés dans X.On suppose entre outre que X est un espace UMD. Le Théorème de Dore-Venni (voir

[11] ) montre que, sous de bonnes hypothèses sur les opérateurs, A+B est fermé, à inverseborné.

1.7. THÉORÈME DE TRACES 27

Les hypothèses sur A et B On suppose cette fois-ci que les opérateurs A et B véri�ent

(DV:1)

8>>>>><>>>>>:

i)� (A) � ]�1; 0] et 9MA > 0 :

8� > 0; (A+ �)�1

L(E)�MA= (1 + �) ;

ii)� (B) � ]�1; 0] et 9MB > 0 :

8� > 0; (B + �)�1

L(E)�MB= (1 + �) ;

D(A) = D(B) = X;

(DV:2)

�8� 2 � (�A) ;8� 2 � (�B)(A+ �)�1 (B + �)�1 � (B + �)�1 (A+ �)�1 = 0

(DV:3)

8>>>><>>>>:i)8s 2 R; Ais 2 L (E) et 9K > 0; �A > 0 :8s 2 R; kAiskL(E) � Kejsj�A ;ii)8s 2 R; Bis 2 L (E) et 9K > 0; �B > 0 :8s 2 R; kBiskL(E) � Kejsj�B ;iii)�A + �B < �:

On note par Bip (E; �) (Bounded imaginary power), l�ensemble des opérateurs sectorielssur E; véri�ant (DV:1) et (DV:3). On a alors le Théorème remarquable suivant dû à Doreet Venni.

Théorème 1.10 Si X est un espace UMD et sous les hypothèses (DV:1); (DV:2) et (DV:3)l�opérateur

L = A+B;

est fermé et

L�1 2 L (X) :

L�opérateur inverse de L est dé�ni explicitement par l�intégrale :

L�1 =

Z

A�zBz�1

sin �zdz

où est une courbe verticale contenue dans la bande

fz 2 C : 0 < Re z < 1g

et orientée de 1e�i�2 vers 1ei

�2 :

1.7 Théorème de traces

Soient E et F deux espaces de Banach, avec E � F (injection continue). Soient p et �deux réels 1 6 p 6 +1 véri�ant la condition

1

p+ � < 1

1.8. LES ESPACES DE HÖLDER 28

et soit la fonction u telle quet�u 2 Lp (0;1;E)

t�du

dt2 Lp (0;1;F )

alors u (t) converge dans F lorsque t �! 0. On prendra par dé�nition

u (0) = limt!0u (t) dans F

u (0) est la trace de u.

1.8 Les espaces de Hölder

Dé�nition 1.14 Soient X un espace de Banach complexe et C ([0; 1] ;X) l�espace de Banachdes fonctions continues sur [0; 1] à valeurs dans X muni de la norme

kfkC(X) = maxt2[0;1]

kf(t)kX

On considère, pour 0 < � < 1; l�espace

C� ([0; 1] ;X) =

�f 2 C ([0; 1] ;X) = sup

t�s 6=0

kf(t)� f(s)kXjt� sj� < +1

�muni de la norme

kfkC�([0;1];X) = kfkC([0;1];X) + supt�s 6=0

kf(t)� f(s)kXjt� sj� :

Cet espace est un espace de Banach appelé espace höldérien de degré �:

1.9 Lemmes techniques

Lemme de Schur ou d�interpolation de Riesz-Lorin

Lemme 1.1 Soit K : 1 � 2 �! R mesurable et telle que

9a > 0 = 8x2 2 2 ;Z1

jK (x1; x2)j dx1 6 a;

9b > 0 = 8x1 2 1 ;Z2

jK (x1; x2)j dx2 6 b

alors l�opérateur

F (f)(x2) =

Z1

K (x1; x2) f(x1)dx1

véri�e :F 2 L (Lp (1) ; Lp (2)) :

1.9. LEMMES TECHNIQUES 29

Lemme 1.2 Si A est un opérateur fermable (resp. fermé) et B est un opérateur borné avecD(A) � D(B) alors l�opérateur A+ B est un opérateur fermable (resp. fermé).

Preuve. 8 (un)n2N une suite dans D(A) telle que

limn!+1

un = 0 et limn!+1

(A+ B)un = y;

montrons que y = 0:on a : (

limn!+1

Aun = zlim

n!+1un = 0

=) z = 0;

etlim

n!+1un = 0 =) lim

n!+1Bun = 0;

carkBunk 6 K kunk ;

donc

limn!+1

(A+ B)un = limn!+1

(Aun + Bun)

= limn!+1

Aun = 0 = y:

Lemme 1.3 Si A est un opérateur fermable et B est un opérateur borné avec D(ImB) �D(A) alors l�opérateur A � B est un opérateur fermable.

Preuve. 8 (un)n2N une suite telle que

limn!+1

un = 0 et limn!+1

(A � B)un = y;

montrons que y = 0:Puisque B est un opérateur borné on a :

limn!+1

Bun = limn!+1

vn = 0;

d�où 8<:lim

n!+1ABun = lim

n!+1A (Bun) = lim

n!+1Avn = y

limn!+1

un = limn!+1

vn = 0=) y = 0

Chapitre 2

Résolution du problème dans le casoù f est dans Lp(0; 1;X):

30

2.1. APPROCHE UTILISANT LES RÉSULTATS DE DORE-VENNI 31

2.1 Approche utilisant les résultats de Dore-Venni

2.1.1 Hypothèses

Considérons dans un espace de Banach complexe X, le problème abstrait de typeDirichlet-Neumann

u00(x) + Au(x) = f(x); x 2 (0; 1) (2.1)

avec les conditions aux limites

u(0) = d0; u0(1) = n1: (2.2)

Dans ce chapitre, A est un opérateur linéaire fermé de domaine D(A) non nécéssairementdense dans X satisfaisant l�hypothèse d�éllipticité suivante

[0;+1[� �(A) et 9C > 0 : (A� �I)�1

L(X)� C

1 + �: (2.3)

Ici d0 et n1 sont des éléments donnés dans X, f appartient à Lp(0; 1;X) avec 1 1; � 2]0; �[: (�A)is

L(X)< Ce�jsj:

(2.5)

(on dit que A 2 Bip (�;X), voir, pour plus de details Prüss-Sohr [39]).On rappelle qu�un espace de Banach X est UMD si et seulement s�il existe p > 1 (et alors

pour tout p), tel que la transformée de Hilbert est continue de Lp(R;X) dans lui-même (voirBourgain [5], Burkholder [6] ).Le résultat principal dans cette section, a¢ rme que sous les hypothèses (2.3), (2.4) et

(2.5), le problème (2.1)-(2.2) admet une unique solution stricte dans Lp(0; 1;X) si et seule-ment si d0 2 (DA; X) 1

2p;p et n1 2 (DA; X) 1

2+ 12p;p :

Notons que si u 2 W 2;p(0; 1;X) alors d�après le théorème de traces de J. L. Lions,

u 2 C1([0; 1];X)

d�oùu(0) et u0(1)

sont bien dé�nis.

Remarque 2.1 1. L�hypothèse (2.4) implique que X est ré�exif, et alors D(A) est densedans X ( voir Haase [20], Proposition 1.1, p. 18 ).

2. L�hypothèse (2.3) implique que l�opérateur��p�A�est le générateur in�nitésimal d�un

semi groupe analytique noté�e�

p�Ax�x>0

sur X ,voir Balakrishnan [4].


3. L�hypothèse (2.5) est équivalente à

9C > 1; � 2 ]0; �[ : 8s 2 R; �p�A�is 6 Ce(�2 )jsj;

( voir Haase [20], Proposition 2.18. p. 64 ).

On pose dans tout ce qui suitB =

p�A:

2.1.2 Lemmes techniques

On a le lemme suivant

Lemme 2.1 Soitf 2 Lp(0; 1;X); 1 < p <1

Sous les hypothèses (2.3), (2.4) et (2.5); on a

1.

x 7�! L(x; f) = B

Z x

0

e�(x�s)Bf(s)ds 2 Lp(0; 1;X); (2.6)

2.

x 7�! L (1� x; f(1� �)) = BZ 1

x

e�(s�x)Bf(s)ds 2 Lp(0; 1;X); (2.7)

3.

x 7�! L(x; f) = BZ 1

0

e�(x+s)Bf(s)ds 2 Lp(0; 1;X): (2.8)

Preuve.� Pour la première assertion on va pouvoir appliquer le théorème de Dore et Venni [12],à l�étude du Problème �

u0(x)�Bu(x) = f(x); x 2 (0; 1)u(0) = 0;

(2.9)

alors, puisque X est un espace UMD et B est un opérateur linéaire fermé dans X satis-faisant aux hypothèses du théorème de Dore et Venni alors, pour tout f 2 Lp (0; 1; X)le Problème 2.9 admet une unique solution stricte u telle que

u 2 W 1;p (0; 1; X) \ Lp (0; 1; D(B)) :

avec

u (x) =

Z x

0

e�(x�s)Bf(s)ds

et donc

x 7�! B

Z x

0

e�(x�s)Bf(s)ds 2 Lp(0; 1;X);


� L�assertion 2. découle immédiatement de la première car, en posant 1 � x = y et1� s = t on obtient

L (1� x; f(1� �)) = B

Z 1

x

e�(s�1+1�x)Bf(s)ds

= B

Z 1

x

e�(1�x�(1�s))Bf(s)ds

= B

Z y

0

e�(y�t)Bf(1� t)dt

= L(y; f(1� �)) 2 Lp(0; 1;X);

� En�n pour l�assertion 3, on écrit, pour tout élément x 2 (0; 1)

L(x; f) = B

Z 1

0

e�(x+s)Bf(s)ds

= B

Z x

0

e�(x+s)Bf(s)ds+B

Z 1

x

e�(x+s)Bf(s)ds

= B

Z x

0

e�(x�s)Be�2sBf(s)ds+ e�2xBB

Z 1

x

e�(s�x)Bf(s)ds

= L(x; e�2�Bf) + e�2xBL(1� x; f (1� �));

et on applique les propositions 1., 2.On a aussi

Lemme 2.2 On suppose (2.3). Alors

1. B2e��B' 2 Lp(0; 1;X) si et seulement si ' 2 (D (A) ; X) 12p;p :

2. Be��B' 2 Lp(0; 1;X) si et seulement si ' 2 (D (A) ; X) 12p+ 12;p :

Preuve. On rappelle que si m 2 N� et C génère un semi-groupe analytique alors

� 2 (D(Cm); X) 1mp;p ;

si et seulement siCme�C� 2 Lp(0; 1;X);

en fait Z 1

0

CmexC� pXdx 6

Z 1

0

xm(1�(1� 1mp))CmexC�

pX

dx

x

6 K k�k(D(Cm);X) 1mp ;p

;

(voir Triebel [43], théorème p. 96).D�où

B2e��B' 2 Lp(0; 1;X)si et seulement si

' 2�D�B2�; X�12p;p= (D (A) ; X) 1

2p;p :


De la même manièreBe��B' 2 Lp(0; 1;X)

si et seulement si' 2 (D (B) ; X) 1

p;p :

En conclusion, en utilisant la propriété de réitèration de Lions-Peetre [28] on obtient

(D (A) ; X) 12p+ 12;p =

�X;D

�B2��

12� 12p;p

= (X;D (B))1� 1p;p

= (D (B) ; X) 1p;p :

Remarque 2.2 On suppose (2.3), (2.4) et (2.5), alors

�Ae��B�B�1

Z 1

0

e�sBf(s)ds

�= Be��B

Z 1

0

e�sBf(s)ds

= L(�; f);

et du Lemme 2.1, on obtient

Ae��B�B�1

Z 1

0

e�sBf(s)ds

�2 Lp(0; 1;X);

d�où l�on déduit en utilisant le lemme 2.2, que�B�1

Z 1

0

e�sBf(s)ds

�2 (D (A) ; X) 1

2p;p :

On poseZ = e�2B:

Proposition 2.1 Sous l�hypothèse (2.3), l�opérateur I � Z admet un inverse borné et

(I � Z)�1 = 1

2�i

Z #

e2z

1� e2z (zI +B)�1 dz + I;

où # est une courbe appropriée dans le plan complexe (une courbe sectorielle de Jordanentourant le spectre de �B).

Preuve. On peut adapter la démonstration complète de Lunardi [29] page 59, en choisissantune courbe # qui tient compte du fait que �B génère un semi groupe analytique.

Corollaire 2.1 Sous l�hpothèse (2.3), l�opérateur (I + Z) admet un inverse borné.

Preuve. On a �I � e�2B

� �I + e�2B

�= I � e�4B

alors �I + e�2B

�=�I � e�2B

��1 �I � e�4B

�:

En conséquence �I + e�2B

��1=�I � e�4B

��1 �I � e�2B

�:


2.1.3 Représentation de la solution

Sous les hypothèses (2.3), (2.4) et (2.5) on suppose que le problème (2.1)-(2.2) admetune solution stricte u.On pose

u(1) = u1:

Alors u est la solution stricte du problème suivant8<:u00(x)�B2u(x) = f(x)u(0) = d0u(1) = u1;

(2.10)

et alors on a la représentation

u(x) = e�xB�0 + e�(1�x)B�1 �

1

2B�1

xZ0

e�(x�s)Bf(s)ds

�12B�1

1Zx

e�(s�x)Bf(s)ds

où

�0 = (I � Z)�1�d0 � e�Bu1

�+1

2(I � Z)�1B�1

0@ 1Z0

e�sBf(s)ds�1Z0

e�(2�s)Bf(s)ds

1A�1 = (I � Z)�1

��e�Bd0 + u1

�+1

2(I � Z)�1B�1

0@ 1Z0

e�(1�s)Bf(s)ds�1Z0

e�(1+s)Bf(s)ds

1A ;voir [15].On déduit que

n1 = u0(1) = �Be�B(I � Z)�1�d0 � e�Bu1

��12e�B(I � Z)�1

0@ 1Z0

e�sBf(s)ds�1Z0

e�(2�s)Bf(s)ds

1A+B(I � Z)�1

��e�Bd0 + u1

�+1

2(I � Z)�1

0@ 1Z0

e�(1�s)Bf(s)ds�1Z0

e�(1+s)Bf(s)ds

1A�12

1Z0

e�(1�s)Bf(s)ds


= �2(I � Z)�1Be�Bd0 + (I � Z)�1 (I + Z)Bu1

�12e�B(I � Z)�1

24 1Z0

e�sBf(s)ds�1Z0

e�(2�s)Bf(s)ds

35+1

2(I � Z)�1

24� 1Z0

e�(1+s)Bf(s)ds+ Z

1Z0

e�(1�s)Bf(s)ds

35Alors

u1 = (I + Z)�1�2e�Bd0 + (I � Z)B�1n1

�+(I + Z)�1B�1

0@� 1Z0

e�(1�s)Bf(s)ds+

1Z0

e�(1+s)Bf(s)ds

1A : (2.11)

D�où la solution u est donnée formellement par

u(x) = (I + Z)�1�e�xB + e�(2�x)B

�d0

+(I + Z)�1�e�(1�x)B � e�(1+x)B

�B�1n1

+1

2(I + Z)�1B�1

Z 1

0

e�(x+s)Bf(s)ds

+1

2(I + Z)�1B�1

Z 1

0

e�(2�x+s)Bf(s)ds (2.12)

+1

2(I + Z)�1B�1

Z 1

0

e�(2+x�s)Bf(s)ds

�12(I + Z)�1B�1

Z 1

0

e�(2�x�s)Bf(s)ds

�12B�1

Z x

0

e�(x�s)Bf(s)ds� 12B�1

Z 1

x

e�(s�x))Bf(s)ds:

2.1.4 Existence, unicité et régularité maximale

Le résultat principal de cette section est

Théorème 2.1 Soit f 2 Lp (0; 1;X) ; 1 < p < +1, on suppose (2.3), (2.4) et (2.5). Alorsles propositions suivantes sont équivalentes

1. Le problème (2.1)-(2.2) admet une unique solution stricte u, telle que

u 2 W 2;p(0; 1;X) \ Lp(0; 1;D (A));

et véri�ant (2.1)-(2.2).

2. d0 2 (D(A); X) 12p;p and n1 2 (D(A); X) 1

2+ 12p;p.


Preuve. Si u est la solution stricte du problème (2.1)-(2.2) et

d0 2 (D (A) ; X) 12p;p et n1 2 (D (A) ; X) 1

2+ 12p;p ;

alors u est donnée par (2.12). Montrons l�unicité de la solution.On pose :

L(f)(x)

=1

2(I + Z)�1

Z 1

0

B�1e�(x+s)Bf(s)ds

+1

2(I + Z)�1

Z 1

0

B�1e�(2�x+s)Bf(s)ds

+1

2(I + Z)�1

Z 1

0

B�1e�(2+x�s)Bf(s)ds

�12(I + Z)�1

Z 1

0

B�1e�(2�x�s)Bf(s)ds

�12

Z x

0

B�1e�(x�s)Bf(s)ds� 12

Z 1

x

B�1e�(s�x))Bf(s)ds:

En écrivant f(x) = Au(x) + u00(x) on obtient :

L(f)(x)

=1

2(I + Z)�1

Z 1

0

B�1e�(x+s)BAu(s)ds

+1

2(I + Z)�1

Z 1

0

B�1e�(2�x+s)BAu(s)ds

+1

2(I + Z)�1

Z 1

0

B�1e�(2+x�s)BAu(s)ds

�12(I + Z)�1

Z 1

0

B�1e�(2�x�s)BAu(s)ds

�12

Z x

0

B�1e�(x�s)BAu(s)ds� 12

Z 1

x

B�1e�(s�x))BAu(s)ds

+1

2(I + Z)�1

Z 1

0

B�1e�(x+s)Bu00(s)ds

+1

2(I + Z)�1

Z 1

0

B�1e�(2�x+s)Bu00(s)ds

+1

2(I + Z)�1

Z 1

0

B�1e�(2+x�s)Bu00(s)ds

�12(I + Z)�1

Z 1

0

B�1e�(2�x�s)B

u00(s)ds

�12

Z x

0

B�1e�(x�s)Bu00(s)ds� 12

Z 1

x

B�1e�(s�x)Bu00(s)ds

=6Xi=1

Hi +6Xi=1

Ji:


Aprés intégration par parties, on a :

J1 =1

2(I + Z)�1B�1

�e�(1+x)Bu0(1)� e�xBu0(0)

�+1

2(I + Z)�1

�e�(1+x)Bu(1)� e�xBu(0)

�+1

2(I + Z)�1

Z 1

0

Be�(x+s)Bu(s)ds;

J2 =1

2(I + Z)�1B�1

�e�(3�x)Bu0(1)� e�(2�x)Bu0(0)

�+1

2(I + Z)�1

�e�(3�x)Bu(1)� e�(2�x)Bu(0)

�+1

2(I + Z)�1

Z 1

0

Be�(2�x+s)Bu(s)ds;

J3 =1

2(I + Z)�1B�1

�e�(1+x)Bu0(1)� e�(2+x)Bu0(0)

��12(I + Z)�1

�e�(1+x)Bu(1)� e�(2+x)Bu(0)

�+1

2(I + Z)�1

Z 1

0

Be�(2+x�s)Bu(s)ds;

J4 = �12(I + Z)�1B�1

�e�(1�x)Bu0(1)� e�(2�x)Bu0(0)

�+1

2(I + Z)�1

�e�(1�x)Bu(1)� e�(2�x)Bu(0)

��12(I + Z)�1

Z 1

0

Be�(2�x�s)Bu(s)ds;

J5 = �12B�1

�u0(x)� e�xBu0(0)

�+1

2

�u(x)� e�xBu(0)

��12

Z x

0

Be�(x�s)Bu(s)ds

et

J6 = �12B�1

�e�(1�x)u0(1)� u0(x)

�� 12

�e�(1�x)u(1)� u(x)

��12

Z 1

x

Be�(s�x)Bu(s)ds;

On obtient alors :6Xi=1

Hi +

6Xi=1

Ji

= �(I + Z)�1�e�xB + e�(2�x)B

�d0

�(I + Z)�1�e�(1�x) � e�(1+x)B

�B�1n1

+u(x);


d�où on obtient la formule (2.12). De plus :

B2u(x) = (I + Z)�1B2�e�xB + e�(2�x)B

�d0

+(I + Z)�1B2�e�(1�x)B � e�(1+x)B

�B�1n1

+1

2(I + Z)�1B

Z 1

0

e�(x+s)Bf(s)ds

+1

2(I + Z)�1B

Z 1

0

e�(2�x+s)Bf(s)ds (2.13)

+1

2(I + Z)�1B

Z 1

0


�12(I + Z)�1B

Z 1

0


�12B

Z x

0

e�(x�s)Bf(s)ds� 12B

Z 1

x

e�(s�x))Bf(s)ds

= �Au(x):

Alors gràce à (2.3), (2.4), (2.5), les lemmes 2.2 et 2.1, Au 2 Lp(0; 1;X):Comme f 2 Lp(0; 1;X) on a u00 2 Lp(0; 1;X), d�où l�on déduit que

u 2 W 2;p(0; 1;X) \ Lp(0; 1;DA)

Inversement, soitu 2 W 2;p(0; 1;X) \ Lp(0; 1;D(A))

alorsAu(:) 2 Lp(0; 1;X); pour tout x 2 (0; 1)

Utilisant la formule (2.13) on obtient

B2e�xBd0 2 Lp(0; 1;X) et Be�xBn1 2 Lp(0; 1;X)

et appliquant le lemme 2.2 on a

d02 (D (A) ; X) 12p;p et n1 2 (D(A); X) 1

2+ 12p;p :

2.1.5 Estimation-A-Priori

Proposition 2.2 Soit f 2 Lp (0; 1;X) ; 1 0 tel que

ku00kLp(X) + kAukLp(X) � C�kfkLp(X) + kd0k(D(A);X) 1

2p ;p+ kn1k(D(A);X) 1

2+12p ;p

�(2.14)


Preuve. Soit u la solution stricte du problème (2.1)-(2.2), alors u est donnée par (2.12). Endérivant deux fois on obtient :

u00(x) = (I + Z)�1A�e�xB + e�(2�x)B

�d0

�(I + Z)�1B�e�(1�x)B � e�(1+x)B

�n1

+1

2(I + Z)�1B

Z 1

0

e�(x+s)Bf(s)ds

+1

2(I + Z)�1B

Z 1

0

e�(2�x+s)Bf(s)ds

+1

2(I + Z)�1B

Z 1

0


�12(I + Z)�1B

Z 1

0


�12B

Z x

0


Z 1

x

e�(s�x))Bf(s)ds

+f(x);

en appliquant la norme dans Lp(X), on a :

1Z0

ku00(x)kpX dx �1Z0

(I + Z)�1 �I + e�2(1�x)B�Ae�xBd0 pX dx+

1Z0

(I + Z)�1 �I � e�2xB�Be�(1�x)Bn1 pX dx+

1Z0

12(I + Z)�1BZ 1

0

e�(x+s)Bf(s)ds

pX

dx

+

1Z0

12(I + Z)�1BZ 1

0


pX

dx

+

1Z0

12(I + Z)�1BZ 1

0


pX

dx

+

1Z0

12(I + Z)�1BZ 1

0


pX

dx

+

1Z0

12BZ x

0

e�(x�s)Bf(s)ds

pX

dx


+

1Z0

12BZ 1

x

e�(s�x))Bf(s)ds

pX

dx

+

1Z0

kf(x)kpX dx

=

9Xj=1

Ij:

I1 =

1Z0

(I + Z)�1 �I + e�2(1�x)B�B2e�xBd0 pX dx� C

1Z0

x2 12pB2e�xBd0

pX

dx

x

6 C kd0k(D(B2);X) 12p ;p

6 C kd0k(D(A);X) 12p ;p:

I2 =

1Z0

(I + Z)�1 �I � e�2xB�Be�(1�x)Bn1 pX dx� C

1Z0

t Be�tBn1 pX dtt

� C

1Z0

t 1pBe�tBn1 pX

dt

t

� C kn1k(D(B);X) 1

p ;p

� C kn1k(D(A);X) 1

2+12p ;p

:

I3 =

1Z0

12(I + Z)�1BZ 1

0

e�(x+s)Bf(s)ds

pX

dx

=

1Z0

12(I + Z)�1Z x

0

Be�(x�s)Be�2sBf(s)ds

pX

dx

+

1Z0

12(I + Z)�1e�2xBZ 1

x

Be�(s�x)Bf(s)ds

pX

dx

2.2. APPROCHE UTILISANT LE THÉORÈME DE MIKHLIN 42

� C

1Z0

e�xB � e�(1+x)B pXkf(x)kpX dx

+C

1Z0

I � e�(1�x)B pXkf(x)kpX dx

� C

1Z0

kf(x)kpX dx:

Alors on déduit que :

1Z0

ku00(x)kpX dx

� C

�kd0k(D(A);X) 1

2p ;p+ kn1k(D(A);X) 1

2+12p ;p

+ kfkLp(X)�

De la même manière on montre que

1Z0

kAu(x)kpX dx

� C

�kd0k(D(A);X) 1

2p ;p+ kn1k(D(A);X) 1

2+12p ;p

+ kfkLp(X)�:

d�où le résultat.

2.2 Approche utilisant le théorème de Mikhlin

2.2.1 Problème avec conditions aux limites homogènes

On considère le problème

u00(x) + Au(x) = f(x); x 2 (0; 1) (2.15)

avec les conditions aux limites homogènes

u(0) = 0; u0(1) = 0 (2.16)

où X est un espace de Banach UMD, f est une fonction Lp (0; 1;E), 1 < p < +1; A estun opérateur linéaire fermé de domaine D (A) dense dans X, tel que les hypothèses (2.3),(2.4 et (2.5) sont véri�ées. Autrement dit l�opérateur A est Bip:On note par Bip(E; �) [Bounded Imaginary power] l�ensemble des opérateurs sectoriels

sur X, véri�ant ces deux hypothèses.On écrit (2.15)-(2.16) sous la forme d�une somme d�opérateurs :�

Su = Bu+ Au = fu 2 D (A) \D (B)


où on considère l�opérateur B dé�ni par :�DB = fu 2 Lp (0; 1;E) =u0; u00 2 Lp (0; 1;E) et u (0) = u0 (1) = 0gBu = u00

Proposition 2.3 : L�opérateur linéaire fermé B véri�e :

1. � (B) � R+ et 9K > 0= (B � �I)�1

L(E)6 K

1 + �;8� > 0

2. 8s 2 R; (�B)is 2 L (E) et 9K > 0;9" > 0 : 8s 2 R; k(�B)iskL(E) 6 Kejsj":

C�est-à-dire que B véri�e les hypothèses (DV1) et (DV3) de Dore-Venni [11]:On montrera plus tard que A et B véri�ent (DV2)On résoud explicitement l�équation :�

v00 (t) + �v (t) = g (t) , g 2 Lp (0; 1;X) , � > 0v (0) = v0 (1) = 0

�On peut voir que ce problème admet une unique solutionv 2 DB et que

�(�B + �)�1 g

(t) = v (t)

v (t) =R 10K� (t; s) g (s) ds où :

K� (t; s) =

8>><>>:sinh

p��s cosh

p�� (1� t)p

�� coshp��

si 0 6 s 6 tsinh

p��t cosh

p�� (1� s)p

�� coshp��

si t 6 s 6 1(2.17)

Pour montrer 1 on utilise le lemme de Schur ,pour cela on montre d�abord que :

8t;Z 1

0

jK� (t; s)j ds 6 C= (1 + �) ;8� > 0

et

8s;Z 1

0

jK� (t; s)j dt 6 C= (1 + �) ;8� > 0:

on déduira alors que : Z 1

0

K� (t; s) g(s)ds

Lp(0;1;E)

6 C= (1 + �) ;8� > 0


Z 1

0

jK� (t; s)j ds =

Z t

0

��coshp�� (1� t) sinhp��sp�� cosh

p��

�� ds+

Z 1

t

��sinhp��t coshp�� (1� s)p�� cosh

p��

�� ds6 coshRe

p�� (1� t)

Rep�� coshRe

p��

Z t

0

sinhRep��sds

+sinhRe

p��t

Rep�� coshRe

p��

Z 1

t

coshRep�� (1� s) ds

6 coshRep�� (1� t)�

Rep��2coshRe

p��

�coshRe

p��t� 1

�+

sinhRep��t�

Rep��2coshRe

p��

sinhRep�� (1� t)

6 coshRep��

Rep��2coshRe

p��

� coshRep�� (1� t)�

Rep��2coshRe

p��

6 1�Rep��2 � coshRe

p�� (1� t)�

Rep��2coshRe

p��

6 1�Rep��2

6 1

�;8� > 0

on montre aussi grâce à la symétrie du noyau que :Z 1

0

jK� (t; s)j dt 6 C=�;8� > 0

et en utilisant le lemme de Schur , on obtient :Z 1

0

jK� (t; s) f(s)j ds 6 C=�;8� > 0

on montre par la suite que B est inversible

(B�1g)(t) =

Z 1

0

K0 (t; s) g(s)ds

où :

K0 (t; s) =

�s , si 0 6 s 6 tt , si t 6 s 6 1

B�1g Lp(0;1;X)

=

�Z 1

0

�B�1g� (t) pXdt

�1=p


B�1g pLp(0;1;X)

=

Z 1

0

(B�1g)(t) pXdt

=

Z 1

0

Z 1

0

K0 (t; s) g(s)ds

pX

dt

Soit t 2 [0; 1] , Z 1

0

jK0 (t; s)j ds = t�t2

26 t 6 1

et soit s 2 [0; 1] , Z 1

0

jK0 (t; s)j dt = s�s2

26 s 6 1

d�aprés le lemme de Schur, on déduit que : Z 1

0

jK0(t; s)g(s)j ds 6 kgkX

d�où : B�1g pLp(0;1;X)

6 kgkpX

et B est inversible (on a donc montré 1 ).Montrons que 2 est véri�é, pour cela, on utilise la représentation intégrale suivante pour

la puissance complexe d�un opérateur linéaire fermé pour 0 < Re z < 1=2

�(�B)�z g

�(t)

=1

� (1� z) � (z)

Z 1

0

(��)�z�(�B + �)�1 g

�(t)d�

=1

� (1� z) � (z)

Z 1

0

��z�Z t

0

sinhp��s cosh

p�� (1� t)p

�� coshp��

g(s)ds

�d�

+1

� (1� z) � (z)

Z 1

0

��z�Z 1

t

sinhp��t cosh

p�� (1� s)p

�� coshp��

g(s)ds

�d�

= I1 + I2:

On a

I1 =1

� (1� z) � (z)

Z 1

0

(��)�z�Z t

0

sinhp��s cosh

p�� (1� t)p

�� coshp��

g(s)ds

�d�

et comme


sinhp��s cosh

p�� (1� t)

coshp��

=e�

p��(t�s)

2

"1 +

e�2p��(1�t) � e�2

p��s � e�2

p��(1�t+s) � e�2

p��

1 + e�2p��

#

alors :

I1 =

5Xi=1

Ji

où :

J1 =1

2� (1� z) �(z)

Z 1

0

(��)�z Z t

0

e�p��(t�s)p��

g(s)ds

!d�

=1

2� (1� z) �(z)

Z t

0

Z 1

0

(��)�z e�p��(t�s)p��

d�

!g(s)ds:

En posant : � =p�� (t� s) on a :

J1 =1

2�(1� z)�(z)

Z t

0

(t� s)2z�1�Z 1

0

��2ze��d�

�g(s)ds

=� (1� 2z)

� (1� z) �(z)

Z t

0

(t� s)2z�1 g(s)ds

=� (1� 2z)

� (1� z) � (z) (�z �G) (t);

avec : ��z(t) = t

2z�1�[0;+1[(t)G(s) = f(s) sur [0; 1] et nulle ailleurs

où �[0;+1[ est la fonction caractéristique sur [0;+1[ : Soit F la transformée de Fourier :

F (�z) (�) = � (2z) [2i�� + 0]�2z

= � (2z) j2��j�2z�h(�)ei�z + h(��)e�i�z

�tel que :

h(�) =

�1 si � > 00 si � 6 0:

On pose :


mz (�) =� (1� 2z)

� (1� z) � (z)F (�z) (�)

=�(1� 2z)�(2z)�(1� z)�(z) j2��j�2z

�h(�)ei�z + h(��)e�i�z

�;

on peut donc écrire :

J1 = F (mz:F (G)) (t) ;

et gràce à la formule des compléments de la fonction � on a :

sup�2R

jmz (�)j 6�� 1

cos �z:

1

(2��)2z

�� e�jIm zjet

sup�2R

j�m0z(�)j 6 j2zj

�� 1

cos �z:

1

(2��)2z

�� e�jIm zjd�où l�on déduit par application du théorème de Mikhlin et du même travail pour les autrestermes Ji , aprés les avoir mis sous forme de produit de convolution, l�existence d�uneconstante K , positive telle que : (�B)�z

L(Lp(0;1;X))6 K (1 + jzj) 1

jcos �zje�jIm zj:

En posant : z = � � is , et en passant à la limite quand � �! 0;on obtient :

(�B)�is L(Lp(0;1;X))

6 K (1 + jsj) 1

ch� jsje�jsj

6 Ke�1jsj:

Par ailleurs les deux opérateurs A et B commutent au sens des résolvantes donc A et B sontBip et on peut appliquer le résultat suivant :

Théorème 2.2 Soit E un espace de Banach UMD. si

A 2 Bip (E; �A) et B 2 Bip (E; �B) avec �A 6= �B

et leurs résolvantes commutent alors il existe " > 0 tel que la somme

(A+B) 2 Bip(E; �) où � = max(�A; �B) + ":

Preuve. Ce théorème est démontré dans Dore-Venni [11]:On signale par ailleurs un résultatamélioré dans Pruss-Sohr [39] avec � = max(�A + �B):Le problème (2.15)-(2.16) admet alors une unique solution stricte .


2.2.2 Problème avec conditions aux limites non homogènes

Maintenant on considère le problème (2.15)-(2.16). L�hypothèse (2.3) implique qu�il existe

�0 2i0;�

2

het r0 > 0 tels que

% (A) � S�0 = fz 2 C� : jarg (z)j � �0g [B (0; r0)et l�estimation dans (2.3) reste vrai dans S�0 :Soit le contour de S�0 orienté de 1ei�0 à 1e�i�0 :La solution est donnée par

u(x) = +1

2i�

Z

coshp��(1� x)

coshp��

(A� �)�1 d0d�

+1

2i�

Z

sinhp��xp

�� coshp��

(A� �)�1 n1d�

� 1

2i�

Z

Z 1

0

K� (x; s) (A� �)�1f (s) dsd�

où K� est donné par (2.17).Dans la première section de ce chapitre on a montré que sous les hypothèses (2.3), (2.4)

et (2.5), le problème (2.15)-(2.16) admet une unique solution stricte

u 2 W 2;p(0; 1;X) \ Lp(0; 1;DA):

On donne le résultat suivant :

Théorème 2.3 Sous les hypothèses (2.3), (2.4) et (2.5), si f 2 Lp (0; 1;X) ;

u0 2 (D (A) ;X) 12p;p etn1 2 (D (A) ;X) 1

2+ 12p;p

alors le problème (2.15)-(2.2) admet une unique solution stricte

u 2 W 2;p(0; 1;X) \ Lp(0; 1;DA):

Preuve. Il su¢ t de montrer que Au 2 Lp (0; 1;X)

Au(x) =1

2i�

Z

sinhp��xp

�� coshp��A (A� �)�1 n1d�

+1

2i�

Z

coshp��(1� x)

coshp��

A (A� �)�1 d0d�

� 1

2i�

Z

Z 1

0

K� (x; s)A(A� �)�1f (s) dsd�

=

3Xn=1

Jn

2.3. APPLICATIONS DANS LE CAS OÙ F EST DANS LP (0; 1;X): 49

Le théorème précédent implique que J3 est dans Lp(0; 1;DA); montrons maintenant que J1et J2 appartiennent à Lp(0; 1;DA) sous les conditions

d0 2 (D (A) ;X) 12p;p etn1 2 (D (A) ;X) 1

2+ 12p;p :

On a

J1 = �1

2i�

Z

sinhp��xp

�� coshp��A (A� �)�1 n1d�

alors

1Z0

kJ1kpX dx =

1Z0

12i�Z

sinhp��xp

�� coshp��A (A� �)�1 n1d�

pX

dx

� C

1Z0

Z

coshRep��x

j�j12

��coshp�� A (A� �)�1 n1 X jd�j!pdx

� C

1Z0

Z 1

0

eRep��x + e�Re

p��x

j�j12 eRe

p��1 + e�2Rep�� A (A� �)�1 n1 X d j�j

!pdx

� C�0

1Z0

Z 1

0

1

j�j12

A (A� �)�1 n1 X d j�j!pdx

� C�0

1Z0

Z 1

0

1

j�j12 j�j

12+ 12p

d j�j!pkn1kp(D(A);X) 1

2+12p ;pdx

� C�0 kn1kp(D(A);X) 1

2+12p ;p

1Z0

dx

� C�0 kn1kp(D(A);X) 1

2+12p ;p

et alors J2 2 Lp (0; 1;E) : De la même manière on montre que J1 2 Lp (0; 1;E) :

2.3 Applications dans le cas où f est dans Lp(0; 1;X):

2.3.1 Résultats de trace.

Dans cette section, X est un espace UMD et A est un opérateur linéaire fermé dé�ni surun domaine dense D(A) � X, satisfaisant les hypothèses (2.3) et (2.5).On établit un résultat de trace en relation avec cet opérateur pour des fonctions dans

Lp:On pose : (Fp = (DA; X) 1

2p;p � (DA; X) 1

2+ 12p;p

Vp = W 2;p((0; 1);X) \ Lp((0; 1);D(A)) où 1 < p < +1


Considèrons l�application dé�ni par :

G : Fp �! Vp(u(0); u0(1)) 7�! u

Proposition 2.4 L�application G est linéaire, continue et bijective.

Il est facile de véri�er que G est linéaire. En utilisant le résultat principal de la premièresection du deuxième chapitre, on a

u 2 W 2;p ((0; 1) ;X) [ Lp ((0; 1) ;D(A))

si et seulement si :d0 2 (DA; X) 1

2p;p et n1 2 (DA; X) 1

2+ 12p;p :

Cette équivalence implique que G est bien dé�nie et bijective. De plus, l�estimation-a-priori(2.14) démontrée au deuxième chapitre prouve queG est continue. Cette proposition impliquele résultat suivant :

Corollaire 2.2 L�application T dé�nie par :

T : Vp �! Fpu 7�! (u(0); u0(1))

est linéaire, continue et bijective.Preuve. Ce résultat est une conséquence directe de la proposition précédente.

Exemple 2.1 Soit X = L2(R):On dé�nit l�opérateur A comme suit :�D (A) = H2(R)Au = u00:

Comme X est un espace de Hilbert, D(A) est dense dans X, de plus (�A) est un opérateurauto-adjoint, alors :

D(p�A) = (DA; X) 1

2;2 = (H

2(R); L2(R)) 12;2 = H

1(R)

voir [28]. En utilisant la transformation de Fourier sur L2(R), on prouve que A véri�e (2.3)et (2.5).

Considérons l�application dé�nie par :

F : H2(0; 1;L2(R)) \ L2(0; 1;H2(R)) �! H32 (R)�H 1

2 (R)u 7�! (u (0) ; u0 (1))

en utilisant le corollaire 2.2 on obtient :

Proposition 2.5 L�application F est linéaire, continue et bijective.


Exemple 2.2 Soit X = Lq(R): On dé�nit un opérateur A comme suit :�D (A) =W 2;q(R)Au = u00:

D(A) est dense dans X et (�A) est un opérateur auto-adjoint, alors

D(p�A) = (DA; X) 1

2;2 = (W

2;q(R); Lq(R)) 12;2 = W

1;q(R)

voir [28]. En utilisant la transformation de Fourier sur L2(R), on prouve que A véri�e (2.3)et (2.5).

Considérons l�application I dé�nie par :

Ep;q �! (W 2;q(R); Lq(R)) 12p;p � (W 2;q(R); Lq(R)) 1

2p+ 12;p

u 7�! (u (0) ; u0 (1))

où :Ep;q = W 2;p(0; 1;Lq(R)) \ Lp(0; 1;W 2;q(R)):

Aprés application du corollaire 2.2 on obtient le résultat suivant :

Proposition 2.6 L�application I est linéaire, continue et bijective.

Notons que les espaces d�interpolation�W 2;q(R); Lq(R)

�12p;p;�W 2;q(R); Lq(R)

�12p+ 12;p

coincident respectivement avec les espaces bien connus de Besov suivants :

B2(1� 1

2p� 12)

q;p (R) = B1� 1

pq;p (R), B

2(1� 12p)

q;p (R) = B2� 1

pq;p (R);

qui sont complètement explicités dans Grisvard [19] page 680.

2.3.2 Application aux équations aux dérivées partielles.

Exemple 2.3 Soit X = Lp(R) et f 2 Lp(0; 1;Lp(R)), 1 >><>>>:@2u

@x2(x; y) +

@2u

@y2(x; y) = f (x; y) ; (x; y) 2 ]0; 1[� R;

u (0; y) = d0 (y) ; y 2 R;@u

@xu (1; y) = n1 (y) ; y 2 R;

(2.18)

On dé�nie l�opérateur A comme suit :�D (A) =W 2;p(R);Au = u00;

alors le problème (2.18) est équivalent au problème abstrait (2.1)-(2.2). D(A) est dense dansLp (R) et A véri�e (2.3) et (2.5), de plus :

D�p�A�= (W 2;p(R); Lp(R)) 1

2;2 = W

1;p(R)

voir Lions-Peetre [28]. On obtient le résultat suivant :


Proposition 2.7 Le problème (2.18) admet une unique solution stricte u, telle que :

u 2 W 2;p(0; 1;Lp (R)) \ Lp(0; 1;W 2;p (R))

si et seulement si : 8<: d0 2 (W 2;p(R); Lp(R)) 12p+ 12;p = W

1� 1p;p(R)

u1 2 (W 2;p(R); Lp(R)) 12p;p = W

2� 1p;p(R):

Chapitre 3

Résolution du problème dans le casoù f est dans C� ([0; 1] ;X) :

53

3.1. APPROCHE UTILISANT LA RACINE CARRÉE DE �A 54

3.1 Approche utilisant la racine carrée de �A

Dans cette section on considère, dans un espace de Banach X, l�équation di¤érentielleabstraite suivante :

u00(x) + Au(x) = f(x); x 2 (0; 1) (3.1)

avec les conditions aux limites de type Dirichlet-Neumann

u(0) = d0; u0(1) = n1: (3.2)

Ici d0 et n1 sont des éléments donnés dans X; f 2 C�([0; 1];X); 0 < � < 1 et A estun opérateur linéaire fermé de domaine D(A) non nécéssairement dense dans X véri�antl�hypothèse d�ellipticité suivante :

8� � 0; 9 (A� �I)�1 2 L(X) : (A� �I)�1

L(X)6 C

1 + �: (3.3)

Dans cette section on étudie le problème (3.1)-(3.2) sous l�unique hypothèse (3.3). Oncherche les conditions nécéssaires et su¢ santes sur les données pour avoir une solution strictedu problème (3.1)-(3.2) telle que

u 2 C2([0; 1] ;X) \ C([0; 1] ;D(A));

véri�ant la propriété de régularité maximale :

u00; Au 2 C�([0; 1];X):

3.1.1 Quelques résultats

Lemme 3.1 Soit A un opérateur linéaire fermé de domaine DA non nécessairement densealors :

DA = D(�A)1=2 :

Preuve. On rappelle que :DA � D(�A)1=2

doncDA � D(�A)1=2 :

cette inclusion est évidente.Soit x 2 D(�A)1=2 alors

x = limnxn

oùxn = (�A)�1=2 yn 2 D(�A)1=2

et

xn = (�A)�1=2 yn =1

2i�

Z

z�1=2 (A� z)�1 yndz

alors xn = (�A)�1=2 yn 2 DA vu que l�intégrale existe et dont les éléments à l�intérieur sontdans DA:


D�où :x = lim

n!+1xn 2 DA:

Pour d0 2 X, on considère la fonction abstraite suivante

]0; 1] �! Xx 7�! D0(x;

p�A)d0

oùD0(x;

p�A)d0 = (I + Z)�1(I + e�2

p�A(1�x))e�

p�Axd0:

On a le résultat suivant

Lemme 3.2 On a :

1.D0(�;

p�A)d0 2 C1(]0; 1] ;D(Ak)); k 2 N;

2.8x 2 ]0; 1] ; D00

0(x;p�A)d0 + AD0(x;

p�A)d0 = 0;

3.9C > 0;8x 2 ]0; 1] ;

D0(x;p�A)d0

X� C kd0kX :

Preuve. Soit x > 0; d0 2 X. Il est facile de véri�er que

(I � Z)�1e�Bx = e�Bx(I � Z)�1;

alorsD0(x;B)d0 = e

�Bx(I + e�2B(1�x))(I + Z)�1d0;

d�où l�on déduit la première assertion en virtue de Sinestrari [41], Proposition 1.1, (ii), page20.On a, pour x 2 ]0; 1],

D00(x;B)d0 = (I + Z)�1

�2Be�2B(1�x)

�e�Bxd0

� (I + Z)�1�I + e�2B(1�x)

�Be�Bxd0

D000(x;B)d0 = (I + Z)�1

�4(�A)e�2B(1�x)

�e�Bxd0

� (I + Z)�1�2Be�2B(1�x)

�Be�Bxd0

� (I + Z)�1�2Be�2B(1�x)

�Be�Bxd0

� (I + Z)�1�I + e�2B(1�x)

�Ae�Bxd0

= � (I + Z)�1�I + e�2B(1�x)

�Ae�Bxd0


D000(x;B)d0 + AD0(x;B)d0

= � (I + Z)�1�I + e�2B(1�x)

�Ae�Bxd0

+A (I + Z)�1�I + e�2B(1�x)

�e�Bxd0

= � (I + Z)�1�I + e�2B(1�x)

�Ae�Bxd0

+(I + Z)�1�I + e�2B(1�x)

�Ae�Bxd0

= 0:

On sait qu�il existe une constante M > 0 telle que pour tout x > 0, d0 2 X, on a e�Bxd0 X �M kd0kX

voir Tanabe [42], page 66, formule (3.27). Alors, 9C > 0 :

kD0(x;B)d0kX = (I + Z)�1 �I + e�2B(1�x)� e�Bxd0 X

� C kd0kX :

Maintenant, on étudie le comportement de D0(:; B) en 0.

Lemme 3.3 1. Soit d0 2 X. Alors

D0(�;p�A)d0 2 C ([0; 1] ;X) si et seulement si d0 2 D(A)

2. Soit d0 2 D(A). Alors

D0(�;p�A)d0 2 C ([0; 1] ;D(A)) si et seulement si Ad0 2 D(A)

Preuve. C�est une conséquence de la commutativité entre (I + Z)�1 et A sur D(A) d�unepart et Sinestrari [41], Proposition 1.2, (ii), page 20, d�une autre part On utilise aussi le faitque

D(p�A) = D(A);

voir Haase [20], Corollaire 3.1.11. Page 59.Maintenant, pour n1 2 X, on considère la fonction abstraite suivante

[0; 1[ �! Xx 7�! N1(x;

p�A)n1

où

Lemme 3.4 On a :

1. N1(�;p�A)n1 2 C1([0; 1[ ;D(Ak)); k 2 N;

2. 8x 2 [0; 1[ ; N 001 (x;

p�A)n1 + AN1(x;

p�A)n1 = 0;

3. 9C > 0;8x 2 [0; 1[ ; N1(x;p�A)n1 X � C kn1kX :

Preuve. Il n�est pas di¢ cile de montrer ce lemme, il su¢ t de remplacer x par 1� x:


Lemme 3.5 1. Soit n1 2 X. Alors

N1(�;p�A)n1 2 C ([0; 1] ;X) si et seulement si n1 2 D(A)

2. Soit n1 2 D(p�A). Alors

N1(�;p�A)n1 2 C ([0; 1] ;D(A)) si et seulement si

p�An1 2 D(A)

Preuve. On montre ce lemme de la même manière que le lemme 3.3.Les deux résultats suivants sont en fait valables pour tout opérateur Q générateur d�un

semi-groupe analytique généralisé.

Proposition 3.1

1. Soit ' 2 X. Alors les deux assertions suivantes sont équivalentes

(a) e�Q' 2 C([0; 1];X):(b) ' 2 D(Q):

2. Soit � 2 ]0; 1[ ; g 2 C�([0; 1];X); ' 2 X. Posons

v(x; '; g;Q) = exQ'+

Z x

0

e(x�s)Qg(s)ds; x 2 [0; 1] :

Alors les deux assertions suivantes sont équivalentes

(a) v 2 C1([0; 1];X) \ C([0; 1];D(Q)):(b) ' 2 D(Q) et g(0) +Q' 2 D(Q):

Preuve. (voir H. Triebel [43] p. 25 et 76).

On a aussi le résultat suivant :

Théorème 3.1

1. Soit � 2 ]0; 1[. Alors les deux assertions suivantes sont équivalentes

(a) e�Q' 2 C�([0; 1];X):(b) ' 2 (D(Q); X)1��;1 :

2. Soit ' 2 X, � 2 ]0; 1[ et g 2 C�([0; 1];X). Posons

v(x) =

Z x

0

e(x�s)Q [g(s)� g(0)] ds; x 2 [0; 1] ;

alorsv 2 C1;�([0; 1];X) \ C�([0; 1];D(Q)):

3. Soit g 2 C([0; 1];X) et ' 2 X. Posons

w(x) = exQ'+

Z x

0

e(x�s)Qg(s)ds; x 2 [0; 1] ;

Alors les deux assertions suivantes sont équivalentes.


(a) w 2 C1;�([0; 1];X) \ C�([0; 1];D(Q)):(b) g 2 C�([0; 1];X), ' 2 D(Q) et g(0) +Q' 2 (D(Q); X)1��;1 :

4. Soit g 2 C�([0; 1];X). Alors

Q

Z 1

0

esQ (g(s)� g(0)) ds 2 (D (Q)); X)1��;1 :

Preuve. La deuxième assertion est obtenue en utilisant la théorie des sommes de Da Prato-Grisvard [8]. L�assertion 3. découle immédiatement de la l�assertion 2. grâce à E. Sinestrari[41], voir aussi G. Da Prato [7].

Notation 3.1 Soient g et h deux fonctions dé�nies sur [0; 1] à valeurs dans X et � 2 ]0; 1[.Nous écrivons

g '� h;si

g � h 2 C�([0; 1];X):

Proposition 3.2 Soit h 2 C�([0; 1];X), ' 2 D(Q) et posons

w(x) = exQ'+

Z x

0

e(x�s)Qh(s)ds; x 2 [0; 1] ;

alorsQw(�) '� e�Q (Q'+ h(0)) :

Preuve. On a

Qw(x) = QexQ'+Q

Z x

0

e(x�s)Q [h(s)� h (0)] ds+QZ x

0

e(x�s)Qh (0) ds

= QexQ'+Q

Z x

0

e(x�s)Q [h(s)� h (0)] ds��h(0)� exQh (0)

�= exQ (Q'+ h(0)) +Q

Z x

0

e(x�s)Q [h(s)� h (0)] ds� h (0) :

En utilisant le Théorème (3.1) et la proposition 1.2, assertion (ii) dans Sinestrari [41] onobtient le résultat.

3.1.2 Existence, unicité et régularité maximale

Maintenant on considère le problème (3.1)-(3.2). La solution est donnée par (2.12).

Théorème 3.2 Soit f 2 C� ([0; 1] ;X) ; 0 < � < 1, et supposons (3.3). Alors les assertionssuivantes sont équivalentes.


u 2 C2([0; 1] ;X) \ C([0; 1] ;D (A));

et véri�ant (3.1)-(3.2).


2. d0 2 D(A); Ad0 � f(0) 2 D(A); u est donné par (2.12),n1 2 D(

p�A) et

p�An1 2 D(A):

Preuve. Supposons 1., alorsd0 = u(0) 2 D(A);

et

Ad0 � f(0) = �u00(0) 2 D(A)Au(1)� f(1) = �u00(1) 2 D(A):

La solution u est donnée par 2.12. On déduit que

u(1) = (I + Z)�1�2e�Bd0 + (I � Z)B�1n1

�+(I + Z)�1

Z 1

0

B�1e�(1+s)Bf(s)ds

�(I + Z)�1Z 1

0

B�1e�(1�s)Bf(s)ds;

alors

B�1n1 = u(1)� 2(I + Z)�1e�Bd0+(I + Z)�1 e�2BB�1n1 (3.4)

�(I + Z)�1e�BZ 1

0

B�1e�sBf(s)ds

+(I + Z)�1Z 1

0

B�1e�(1�s)Bf(s)ds;

= u(1)

�2e�B(I + Z)�1d0+e�2B (I + Z)�1B�1n1

�e�B(I + Z)�1Z 1

0

B�1e�sBf(s)ds

+(I + Z)�1Z 1

0

B�1e�(1�s)Bf(s)ds

=

5Xi=1

ai

Il est clair que a1; a2; a3; a4 sont dans D(A): D�une autre part, de

a5

= (I + Z)�1B�1Z 1

0

e�(1�s)Bf(s)ds

= �A�1(I + Z)�1Z 1

0

Be�(1�s)B (f(s)� f(1)) ds

+A�1(I + Z)�1�I � e�B

�f(1)


on a a5 2 D(A). On déduit queB�1n1 2 D(A)

ce qui implique quen1 2 D(B):

De plus

Au(1)� f(1)= 2(I + Z)�1e�BAd0 � (I + Z)�1 (I � Z)Bn1

�(I + Z)�1e�BZ 1

0

Be�sBf(s)ds

+(I + Z)�1Z 1

0

Be�(1�s)B(f(s)� f(1))ds

+(I + Z)�1(I � e�B)f(1)� (I + Z)�1(I + Z)f(1)

= 2(I + Z)�1e�BAd0 � (I + Z)�1 (I + Z � 2Z)Bn1

�(I + Z)�1e�BZ 1

0

Be�sBf(s)ds

+(I + Z)�1Z 1

0

Be�(1�s)B(f(s)� f(1))ds

�(I + Z)�1(e�B + e�2B)f(1)

= 2(I + Z)�1e�BAd0 +Bn1 + 2 (I + Z)�1 e�2BBn1

�(I + Z)�1e�BZ 1

0

Be�sBf(s)ds

+(I + Z)�1Z 1

0

Be�(1�s)B(f(s)� f(1))ds

�(I + Z)�1(e�B + e�2B)f(1)

alors

Bn1 = [Au(1)� f(1)]� 2e�B(I + Z)�1Ad0+2e�2B (I + Z)�1Bn1

+(I + Z)�1e�BZ 1

0

Be�sBf(s)ds

�(I + Z)�1Z 1

0

Be�(1�s)B(f(s)� f(1))ds

+(e�B + e�2B)(I + Z)�1f(1)

=

6Xi=1

bi


b1; b2; b3; b4; b6 sont dans D (A); alors

Bn1 2 D (A):

Inversement, on suppose que

d0 2 D (A) ; n1 2 D (B) ;Ad0 � f (0) 2 D (A) et Bn1 2 D (A)

u(x) = D0(x;B)d0 +N1(x;B)n1

+1

2(I + Z)�1B�1

Z 1

0

e�(x+s)Bf(s)ds

+1

2(I + Z)�1B�1

Z 1

0


+1

2(I + Z)�1B�

12

Z 1

0


�12(I + Z)�1B�

12

Z 1

0


�12B�1

Z x

0

e�(x�s)Bf(s)ds� 12B�1

Z 1

x

e�(s�x))Bf(s)ds;

alors

u0(x) = D00(x;B)d0

+N 01(x;B)n1

�12(I + Z)�1

Z 1

0

e�(x+s)Bf(s)ds

+1

2(I + Z)�1

Z 1

0


�12(I + Z)�1

Z 1

0


�12(I + Z)�1

Z 1

0


+1

2

Z x

0

e�(x�s)Bf(s)ds

�12

Z 1

x

e�(s�x))Bf(s)ds;


u00(x) = D000(x;B)d0 +N

001 (x;B)n1

+1

2(I + Z)�1B

Z 1

0

e�(x+s)Bf(s)ds

+1

2(I + Z)�1B

Z 1

0


+1

2(I + Z)�1B

Z 1

0


�12(I + Z)�1B

Z 1

0


�12B

Z x

0


Z 1

x

e�(s�x))Bf(s)ds

+f(x)

= � (I + Z)�1�I + e�2(1�x)B

�e�xBAd0

+(I + Z)�1�I � e�2xB

�e�(1�x)BBn1

+1

2(I + Z)�1B

Z 1

0

e�(x+s)Bf(s)ds

+1

2(I + Z)�1B

Z 1

0


+1

2(I + Z)�1B

Z 1

0


�12(I + Z)�1B

Z 1

0


�12B

Z x

0


Z 1

x

e�(s�x))Bf(s)ds

+f(x)

On écrit

u00(x) = �(I + Z)�1e�xB(Ad0 � f(0))� (I + Z)�1e�(2�x)BAd0�(I + Z)�1e�xBf(0)+(I + Z)�1e�(1�x)BBn1 � (I + Z)�1e�(1+x)BBn1

+1

2(I + Z)�1e�xB

Z 1

0

Be�sB(f(s)� f(0))ds

�12(I + Z)�1e�(1+x)Bf(0) +

1

2(I + Z)�1e�xBf(0)

+1

2(I + Z)�1e�(2�x)B

Z 1

0

Be�sBf(s)ds

+1

2(I + Z)�1e�(1+x)B

Z 1

0

Be�(1�s)Bf(s)ds

�12(I + Z)�1e�(1�x)B

Z 1

0

Be�(1�s)B(f(s)� f(1))ds


�12(I + Z)�1e�(1�x)Bf(1) +

1

2(I + Z)�1e�(2�x)Bf(1)

�12

Z x

0

Be�(x�s)B(f(s)� f(x))ds+ 12f(x)

�12e�xB(f(x)� f(0))� 1

2(I + Z)�1e

�xBf(0)

�12(I + Z)�1Ze

�xBf(0)

�12

Z 1

x

Be�(s�x))B(f(s)� f(x))ds

+1

2e�(1�x))B(f(x)� f(1))� 1

2f(x)

+1

2(I + Z)�1e�(1�x))Bf(1) +

1

2(I + Z)�1Ze�(1�x))Bf(1)

+f(x):

d�où on a

u00(x) = �(I + Z)�1e�xB(Ad0 � f(0)) + (I + Z)�1e�(1�x)BBn1�(I + Z)�1e�(2�x)BAd0 � (I + Z)�1e�(1+x)BBn1

+1

2(I + Z)�1e�xB

Z 1

0


�12(I + Z)�1e�(1+x)Bf(0)� 1

2(I + Z)�1e�(2+x)Bf(0)

+1

2(I + Z)�1e�(2�x)B

Z 1

0

Be�sBf(s)ds

+1

2(I + Z)�1e�(1+x)B

Z 1

0

Be�(1�s)Bf(s)ds (3.5)

�12(I + Z)�1e�(1�x)B

Z 1

0

Be�(1�s)B(f(s)� f(1))ds

+1

2(I + Z)�1e�(2�x)Bf(1) +

1

2(I + Z)�1Ze�(1�x))Bf(1)

�12

Z x

0

Be�(x�s)B(f(s)� f(x))ds

+1

2e�xB(f(x)� f(0))� 1

2

Z 1

x


+1

2e�(1�x))B(f(x)� f(1)) + f(x):

Utilisant les lemmes (3.3) et (3.5) le premier et le deuxième termes sont dans C ([0; 1] ;X),les autres sont continus car f 2 C�([0; 1] ;X). D�où l�on déduit que u00 2 C([0; 1] ;X), de la


même manière on montre que Au 2 C([0; 1] ;X):

Au(x) = +(I + Z)�1e�xBAd0 + (I + Z)�1e�(2�x)BAd0

�(I + Z)�1e�(1�x)BBn1 + (I + Z)�1e�(1+x)BBn1

�12(I + Z)�1e�xB

Z 1

0

Be�sBf(s)ds

�12(I + Z)�1e�(2�x)B

Z 1

0

Be�sBf(s)ds

�12(I + Z)�1e�(1+x)B

Z 1

0

Be�(1�s)Bf(s)ds

�12(I + Z)�1e�(1�x)B

Z 1

0

Be�(1�s)Bf(s)ds

+1

2

Z x

0

Be�(x�s)Bf(s)ds+1

2

Z 1

x

Be�(s�x))Bf(s)ds

alors u00(x) + Au(x) = f(x):Finalement, on obtient le théorème de régularité maximale

Théorème 3.3 Soit f 2 C� ([0; 1] ;X) ; 0 < � < 1, on suppose (3.3). Alors les assertionssuivantes sont équivalentes.

1. L�unique solution stricte u du problème (3.1)-(3.2) a la propriété de régularité maxi-male :

u00; Au 2 C�([0; 1] ;X)

2.d0 2 D(A); n1 2 D(

p�A); Ad0 � f(0) 2 (D (A) ; X)1� �

2;+1

etp�An1 2 (D (A) ; X)1� �

2;+1 :

Preuve. Supposons qu�il existe une solution stricte u du problème (3.1)-(3.2) ayant la pro-priété de régularité maximale. Du théorème précédent, on a

d0 2 D(A); n1 2 D(B)

Aussi le premier et le second termes dans la formule (3.5) sont dans C�([0; 1];X) alors

e�B� (Ad0 � f(0)) 2 C�([0; 1];X)e(1��)BBn1 2 C�([0; 1];X)

et appliquant la remarque, (f), page 39.in [41], on obtient

Ad0 � f(0) 2 (D(B); X)1��;1Bn1 2 (D(B); X)1��;1 :

On conclut en notant que

(D(B); X)1��;1 = (D(A); X)1� �2;1 :


Inversement, supposons que

d0 2 D(A); n1 2 D(B); Ad0 � f(0) 2 (D (A) ; X)1� �2;+1

and Bn1 2 (D (A) ; X)1� �2;+1 :

Utilisant le théorème 1.4. Page 361 de [7] on a

e�p�A� (Ad0 � f(0)) 2 C�([0; 1];X)

e(1��)p�ABn1 2 C�([0; 1];X)R 1

0Be�sB(f(s)� f(0))ds 2 C�([0; 1];X)R 1

0Be�(1�s)B(f(s)� f(1))ds 2 C�([0; 1];X)

D�où u00; Au 2 C�([0; 1] ;X):

3.1.3 Régularité croisée

Proposition 3.3 Soit f 2 C� ([0; 1] ;X) ; 0 < � < 1, et supposons (3.3)

d0 2 D(A); n1 2 D(p�A); Ad0 � f(0) 2 (D (A) ; X)1� �

2;+1

etp�An1 2 (D (A) ; X)1� �

2;+1 :

Alors l�unique solution stricte u du problème (3.1)-(3.2) avec la proprièté de régularité maxi-male :

u00; Au 2 C�([0; 1] ;X)a aussi la régularité croisée

Au(�)� f(�) 2 B([0; 1] ; (D(A); X)1� �2;+1)

Preuve. On rappelle que

Au(x)� f(x)= (I + Z)�1e�xB(Ad0 � f(0)) + (I + Z)�1e�(1�x)BBn1

+(I + Z)�1e�(2�x)BAd0 � (I + Z)�1e�(1+x)BBn1

�12(I + Z)�1e�xB

Z 1

0


+1

2(I + Z)�1e�(1+x)Bf(0)� 1

2(I + Z)�1e�(2+x)Bf(0)

�12(I + Z)�1e�(2�x)B

Z 1

0

Be�sBf(s)ds

�12(I + Z)�1e�(1+x)B

Z 1

0

Be�(1�s)Bf(s)ds

+1

2(I + Z)�1e�(1�x)B

Z 1

0

Be�(1�s)B(f(s)� f(1))ds


�12(I + Z)�1e�(2�x)Bf(1) +

1

2(I + Z)�1Ze�(1�x))Bf(1)

+1

2

Z x

0


�12e�xB(f(x)� f(0))

+1

2

Z 1

x


�12e�(1�x))B(f(x)� f(1))

=

16Xi=1

ki(x):

Notons que :(D(A); X)1� �

2;+1 = (D(B); X)1��;+1

alors pour montrer que [Au(x)� f(x)] 2 (D(A); X)1� �2;+1 il su¢ t que

supt>0

t��(e�tB � I)[Au(x)� f(x)] X� K

Comme Ad0� f(0) 2 (D (A) ; X)1� �2;+1 et

p�An1 2 (D (A) ; X)1� �

2;+1 alors k1(x) et k2(x)

sont dans (D(A); X)1� �2;+1.

Il est clair que ki(x), pour i = 3; 4; 6; 7; 8; 9; 11 et 12, sont dans D(B) et alors dans(D(B); X)1��;+1. Concernant k13;

k13(x) =1

2

Z x

0

Be�(x�s)B(f(s)� f(x))ds:

On a :

e�tBk13(x)� k13(x)

= e�tB1

2

Z x

0


�12

Z x

0


=1

2

Z x

0

�Be�(x+t�s)B �Be�(x�s)B

�(f(s)� f(x))ds

=1

2

Z x

0

Z x+t�s

x�sB2e��B(f(s)� f(x))d�ds


e�tBk13(x)� k13(x) � C

Z x

0

Z x+t�s

x�s��2 kf(s)� f(x)kX d�ds

� C

Z x

0

Z x+t�s

x�s��2(x� s)� kfkC�(X) d�ds

� C

Z x

0

Z y+t

y

��2y� kfkC�(X) d�dy

� C

Z x

0

y��1

y� 1

y + t

�kfkC�(X) dy

� C

Z x=t

0

(ut)��1

ut� 1

t(u+ 1)

�kfkC�(X) tdu

� C

Z x=t

0

u�t��1

u� 1

u+ 1

�kfkC�(X) du

� Ct� kfkC�(X)Pour k14 on a :

e�tBk14(x)� k14(x)

= �12e�tBe

�xB(f(x)� f(0)) + 1

2e�xB(f(x)� f(0))

= �12

Z x+t

x

Be��B(f(x)� f(0))d�

e�tBk14(x)� k14(x) � C

Z x+t

x

��1 kf(x)� f(0)kX d�

� C

Z x+t

x

��1x� kfkC�(X) d�

� C

Z x+t

x

��1�� kfkC�(X) d�

� Ct� kfkC�(X) :

Pour k5(x) on écrit

B

Z 1

0

e�(x+s)Bf(s)ds

= B

Z x

0

e�(x�s)Be�2sBf(s)ds+ e�2xBB

Z 1

x

e�(s�x)Bf(s)ds

alors tous les termes sont dans (D(B); X)1��;+1 ce qui complète la démonstration.

3.1.4 Estimation a priori

Proposition 3.4 Soit f 2 C� ([0; 1] ;X) ; 0 < � < 1, on suppose (3.3),

d0 2 D(A); n1 2 D(p�A); Ad0 � f(0) 2 (D (A) ; X)1� �

2;+1

etp�An1 2 (D (A) ; X)1� �

2;+1 :


Alors 9C > 0 :

ku00kC(X) + kAukC(X)� C

hkfkC�(X) + kAd0 � f(0)kX +

p�An1 X

iet

ku00kC�(X) + kAukC�(X)

� C


1� �2 ;+1

+ p�An1

(D(A);X)1� �

2 ;+1

#

Preuve. Ecrivant u00 comme dans la formule (3.5) on obtient

max0�x�1

ku00(x)kX � ChkfkC�(X) + kAd0 � f(0)kX + kBn1kX

ialors l�inégalité 1 est démontrée. Pour la deuxième il su¢ t de montrer que

max0�x;t�1x6=t

ku00(x)� u00(t)kXjx� tj�

� C


1� �2 ;+1

+ p�An1

(D(A);X)1� �

2 ;+1

#:

Dans la formule (3.5) on pose

u00(x) =17Xi=1

hi(x)

alors

u00(x)� u00(t) =17Xi=1

(hi(x)� hi(t))

h1(x)� h1(t) = � (I + Z)�1�e�xB � e�tB

�(Ad0 � f(0))

= � (I + Z)�1 e�xB(I � e�(t�x)B)(Ad0 � f(0))

et

kh1(x)� h1(t)kX � e�xB(I � e�(t�x)B)(Ad0 � f(0)) X

� C jt� xj� kAd0 � f(0)k(D(A);X)1� �

2 ;+1:

on a aussi

h2(x)� h2(t) = (I + Z)�1�e�(1�x)B � e�(1�t)B

�Bn1

= (I + Z)�1 e�(1�x)B�I � e�(x�t)B

�Bn1

il suit quekh2(x)� h2(t)k � C jt� xj� kBn1k(D(A);X)

1� �2 ;+1

:


h3(x)

= � (I + Z)�1 e�(2�x)BAd0= � (I + Z)�1 e�(2�x)B (Ad0 � f(0))� (I + Z)�1 e�(2�x)Bf(0)

Comme précédement, le premier terme est dans C�([0; 1] ;X), le second est évidement dansle même espace. Concernant h13 on a

h13(x)� h13(t)

=1

2

Z x

0

Be�(x�s)B(f(s)� f(x))ds� 12

Z t

0

Be�(t�s)B(f(s)� f(t))ds

=1

2

Z x

t

Be�(x�s)B(f(s)� f(x))ds+ 12

Z t

0

Z x�s

t�sB2e��B(f(s)� f(t))d�ds

+1

2

�e�xB � e�(x�t)B

�(f(t)� f(x)) :

Le premier terme et le dernier sont évidement inférieurs à C jt� xj� kfkC�(X).Pour le deuxième on écrit 12

Z t

0

Z x�s

t�sB2e��B(f(s)� f(t))d�ds

� C kfkC�(X)

Z t

0

js� tj�Z x�s

t�s��2d�ds

� C kfkC�(X) (x� t)Z t

0

(t� s)��1 (x� s)�1ds

� C kfkC�(X) (x� t)�Z t=x�t

0

��1 (1 + �)�1 d�

� C jx� tj� kfkC�(X) :

De plus on a

h14(x)� h14(t)

=1

2e�xB(f(x)� f(0))� 1

2e�tB(f(t)� f(0))

=1

2e�xB(f(x)� f(0))� 1

2e�xB(f(t)� f(0))

+1

2e�xB(f(t)� f(0))� 1

2e�tB(f(t)� f(0))

=1

2e�xB(f(x)� f(t)) + 1

2

Z x

t

Be�sB(f(t)� f(0))ds

d�où l�on déduit que

kh14(x)� h14(t)k � C jt� xj� kfkC�(X) +Z x

t

C

st�ds kfkC�(X)

� C jt� xj� kfkC�(X) +Z x

t

C

ss�ds kfkC�(X)

� C jt� xj� kfkC�(X) :

3.2. APPROCHE UTILISANT L�INTÉGRALE DE DUNFORD 70

De la même façon on montre �nalement que

ku00(x)� u00(t)kX� C jt� xj�

hkfkC�(X) + kAd0 � f(0)k(D(A);X)1��=2;+1

+ p�An1

(D(A);X)1��=2;+1

�et la preuve est complète.

3.2 Approche utilisant l�intégrale de Dunford

Dans cette section on étudie le problème (3.1)-(3.2) dans le cas où

f 2 C� ([0; 1] ;X) ; 0 < � < 1:

sous l�unique hypothèse( 9"0 2 R; c > 0 tels que �(A) � [�"20;+1[et (A� z)�1

L(X)� c

1 + jzj ;8z 2 [�"20;+1[:

La méthode utilisée ici pour l�étude du problème (3.1)-(3.2) est basée sur une constructionde la solution sous la forme d�intégrale de Dunford comme dans [8] et [23] et sur la réductionde l�ordre de l�équation par la transformation de Krein [22].

3.2.1 Construction explicite de la solution

On considère le problème 8<:v00(x) + zv(x) = f(x);v(0) = d0;v0(1) = n1:

où z 2 C� R+: Un calcul simple montre que

vz(x) =cosh

p�z(1� x)

coshp�z

d0 +sinh

p�zxp

�z coshp�zn1

�Z 1

0

Kz (x; s) f (s) ds

où

Kz (x; s) =

8>><>>:sinh

p�zs cosh

p�z (1� x)p

�z coshp�z

si 0 6 s 6 xsinh

p�zx cosh

p�z (1� s)p

�z coshp�z

si x 6 s 6 1

Soit une courbe simple joignant +1e�i� à �1ei� (� 2 ]0; �0[) telle que � � (A)�R+:La racine carrée de �z est la détermination analytique dé�nie sur C par Re

p�z > 0:


La solution du problème (3.1)-(3.2) est donnée formellement par :

u(x) =1

2i�

Z

coshp�z(1� x)

coshp�z

(A� z)�1 d0dz (3.6)

+1

2i�

Z

sinhp�zxp

�z coshp�z

(A� z)�1 n1dz

� 1

2i�

Z

Z 1

0

Kz (x; s) (A� z)�1f (s) dsdz

=

3Xi=1

Ii:

Il est facile de voir que toutes ces intégrales sont absolument convergentes pour tout x 2 ]0; 1[grâce aux majorations suivantes8>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>:

��coshp�z(1� x)coshp�z

�� K(�)e��jzj 12 cos �2x��sinhp�z(1� x)p

�z coshp�z

�� K(�)

jzj12

e

��jzj

12 cos �

2x�

R 10 Kz (x; s) (A� z)�1f (s) ds X� K(�)

jzj2kfkX :

3.2.2 Lemmes techniques

Pour n1 2 X; on pose

L(x;A)n1 =1

2i�

Z

sinhp�zxp

�z coshp�z

(A� z)�1 n1dz

Il est fondamental pour la suite de donner toutes les propriétés de la fonction L(�; A)n1:

Lemme 3.6

1. 9K ne dépendant que de tel que

8n1 2 X; 8x 2 [0; 1[ ; kL(x;A)n1kX � K(�) kn1kX

2. Soit n1 2 X

L(x;A)n1 � n1 ! 0 quand x! 1 si et seulement si n1 2 D(A):

3. Soit n1 2 D�p�A�: Alors

L(x;A)n1 2 C ([0; 1] ;D(A)) si et seulement sip�An1 2 D(A)


Preuve. Voir Mezeghrani [31] page 16.Pour d0 2 X; on pose

S(x;A)d0 =1

2i�

Z

coshp�z(1� x)

coshp�z

(A� z)�1 d0dz

Lemme 3.7

1. 9K ne dépendant que de tel que

8d0 2 X; 8x 2 ]0; 1] ; kS(x;A)d0kX � K(�) kd0kX2. Soit d0 2 X

S(x;A)d0 � d0 ! 0 quand x! 0 si et seulement si d0 2 D(A):

3. Soit d0 2 D(A). Alors

S(x;A)d0 2 C ([0; 1] ;D(A)) si et seulement si Ad0 2 D(A)

Preuve. Voir Mezeghrani [31].

Théorème 3.4 Soit f 2 C� ([0; 1] ;X) ; 0 < � < 1. Alors les propositions suivantes sontéquivalentes


u 2 C2([0; 1] ;X) \ C([0; 1] ;D (A));

et véri�ant (3.1)-(3.2).2. d0 2 D(A); Ad0 � f(0) 2 D(A); n1 2 D(

p�A) and

p�An1 2 D(A):

Preuve. Supposons 1., alorsd0 = u(0) 2 D(A);

et

Ad0 � f(0) = �u00(0) 2 D(A)Au(1)� f(1) = �u00(1) 2 D(A):

u(1) =1

2i�

Z

2

coshp�z

(A� z)�1 d0dz

+1

2i�

Z

sinhp�zp

�z coshp�z

(A� z)�1 n1dz

� 1

2i�

Z

Z 1

0

sinhp�zsp

�z coshp�z(A� z)�1f (s) dsdz

=1

2i�

Z

2

ep�z + e�

p�z (A� z)

�1 d0dz

+1

2i�

Z

ep�z � e�

p�z

p�z�ep�z + e�

p�z� (A� z)�1 n1dz

� 1

2i�

Z

Z 1

0

�ep�zs � e�

p�zs�


p�z�(A� z)�1f (s) dsdz


=1

2i�

Z

2e�p�z

1 + e�2p�z (A� z)

�1 d0dz

+1

2i�

Z

1� e�2p�z

p�z�1 + e�2

p�z� (A� z)�1 n1dz

� 1

2i�

Z

Z 1

0

�ep�zs � e�

p�zs�



=3Xi=1

Ii

on écrit

I2 =1

2i�

Z

1 + e�2p�z � 2e�2

p�z

p�z�1 + e�2

p�z� (A� z)�1 n1dz

=1

2i�

Z

1p�z

(A� z)�1 n1dz �1

2i�

Z

2e�2p�z

p�z�1 + e�2

p�z� (A� z)�1 n1dz

on obtient

u(1) =1

2i�

Z

2e�p�z

1 + e�2p�z (A� z)

�1 d0dz

+1

2i�

Z

1p�z

(A� z)�1 n1dz �1

2i�

Z

2e�2p�z

p�z�1 + e�2

p�z� (A� z)�1 n1dz(3.7)

� 1

2i�

Z

Z 1

0

ep�zs � e�

p�zs



d�où

1

2i�

Z

1p�z

(A� z)�1 n1dz = u(1)� 1

2i�

Z

2e�p�z

1 + e�2p�z (A� z)

�1 d0dz

+1

2i�

Z

2e�2p�z

p�z�1 + e�2

p�z� (A� z)�1 n1dz

+1

2i�

Z

Z 1

0

e�p�z(1�s) � e�

p�z(1+s)

p�z�1 + e�2

p�z� (A� z)�1f (s) dsdz

(�A)�12 n1 = u(1)� 1

2i�

Z

2e�p�z

1 + e�2p�z (A� z)

�1 d0dz (3.8)

+1

2i�

Z

2e�2p�z

p�z�1 + e�2

p�z� (A� z)�1 n1dz

� 1

2i�

Z

Z 1

0

e�p�z(1+s)

p�z�1 + e�2


+1

2i�

Z

Z 1

0

e�p�z(1�s)

p�z�1 + e�2

p�z�(A� z)�1f (s) dsdz:


Les quatre premiers termes sont dans D(A), pour le dernier terme on écrit

1

2i�

Z

Z 1

0

e�p�z(1�s)

p�z�1 + e�2


=1

2i�

Z

Z 1

0

e�p�z(1�s)

p�z�1 + e�2

p�z�(A� z)�1 (f (s)� f(1)) dsdz

+1

2i�

Z

Z 1

0

e�p�z(1�s)

p�z�1 + e�2

p�z�(A� z)�1f (1) dsdz

=1

2i�

Z

Z 1

0

(�A)�12 e�

p�z(1�s)�

1 + e�2p�z� (A� z)�1 (f (s)� f(1)) dsdz

+1

2i�

Z

(�A)�12

�1� e�

p�z�

p�z�1 + e�2

p�z� (A� z)�1f (1) dsdz

= � 1

2i�

Z

Z 1

0

A�1p�Ae�

p�z(1�s)�

1 + e�2p�z� (A� z)�1 (f (s)� f(1)) dsdz

� 1

2i�

Z

A�1p�A

�1� e�

p�z�

p�z�1 + e�2

p�z� (A� z)�1f (1) dsdz

ces deux intégrales sont dans D(A) car la dernière s�écrit

1

2i�

Z

A�1�1� e�

p�z�

�1 + e�2

p�z� (A� z)�1f (1) dsdz

=1

2i�

Z

A�1�1 + e�2

p�z�(A� z)�1f (1) dsdz

� 1

2i�

Z

A�1e�p�z�

1 + e�2p�z�(A� z)�1f (1) dsdz

(�A)�12 n1 2 D(A) donc n1 2 D

�p�A�: De (3.8) on a aussi

p�An1 = Au(1)� f(1)� 1

2i�

Z

2e�p�z

1 + e�2p�z (A� z)

�1Ad0dz

+1

2i�

Z

2e�2p�z

p�z�1 + e�2

p�z�A (A� z)�1 n1dz

� 1

2i�

Z

Z 1

0

e�p�z(1+s)

p�z�1 + e�2

p�z�A(A� z)�1f (s) dsdz

+1

2i�

Z

Z 1

0

e�p�z(1�s)

p�z�1 + e�2

p�z�A(A� z)�1f (s) dsdz + f(1)

3.3. COMPARAISON DES DEUX APPROCHES 75

p�An1 = Au(1)� f(1)� 1

2i�

Z

2e�p�z

1 + e�2p�z (A� z)

�1Ad0dz

+1

2i�

Z

2e�2p�z

p�z�1 + e�2


� 1

2i�

Z

Z 1

0

e�p�z(1+s)

p�z�1 + e�2


� 1

2i�

Z

Z 1

0

p�Ae�

p�z(1�s)�

1 + e�2p�z� (A� z)�1 (f (s)� f(1)) dsdz

� 1

2i�

Z

p�A

�1� e�

p�z�

p�z�1 + e�2

p�z� (A� z)�1f (1) dsdz + f(1)

p�An1 = Au(1)� 1

2i�

Z

2e�p�z

1 + e�2p�z (A� z)

�1Ad0dz

+1

2i�

Z

2e�2p�z

p�z�1 + e�2


� 1

2i�

Z

Z 1

0

e�p�z(1+s)

p�z�1 + e�2


� 1

2i�

Z

Z 1

0

p�Ae�

p�z(1�s)�

1 + e�2p�z� (A� z)�1 (f (s)� f(1)) dsdz

� 1

2i�

Z

p�A

�1� e�

p�z�

p�z�1 + e�2

p�z� (A� z)�1f (1) dsdz:

et chaque terme est dans D(A):Pour la démonstration du sens inverse, voir [31] page 51.

3.3 Comparaison des deux approches

Dans la première section du troisième chapitre, on a montré l�existence, l�unicité et larégularité maximale de la solution stricte de notre problème dans le cas où f 2 C� ([0; 1] ;X) ;en utilisant la représentation de la solution par l�utilisation de la racine carrée de l�opérateur�A et dans la deuxième section du troisième chapitre, on a fait la même résolution mais enutilisant cette fois-ci la représentation de la solution par le noyau de Green, autrement dit enmanipulant des intégrales de Dunford. dans ce qui suit, comparons ces deux représentations,en utulisant des propriétés de l�intégrale de Dunford.

3.4. APPLICATIONS DANS LE CAS OÙ F EST DANS C� ([0; 1] ;X) 76

Par exemple :

I2 =1

2i�

Z

sinhp�zxp

�z coshp�z

(A� z)�1 n1dz

=1

2i�

Z

(�z)�12ep�zx � e�

p�zx

ep�z + e�

p�z (A� z)�1 n1dz

=1

2i�

Z

(�z)�12e�

p�z(1�x) � e�

p�z(1+x)

1 + e�2p�z (A� z)�1 n1dz

=1

2i�

Z

(�z)�12

�1 + e�2

p�z��1 �

e�p�z(1�x) � e�

p�z(1+x)

�(A� z)�1 n1dz

=1

2i�

Z

�g �p��(z) (A� z)�1 n1dz

oùg(u) = u�1

�1 + e�2u

��1 �e�u(1��) � e�u(1+�)

�et comme g est une fonction à variable complexe analytique dans un ensemble fermé conte-nant � (A), A est sectoriel, et ��1 + e�2u�� c�alors d�aprés les propriétés de l�intégrale de Dunford, on a

I2 =�g �p��(A) = (�A)�

12 (I + e�2

p�A)�1

ne�(1�x)

p�A � e�(1+x)

p�Aon1

voir Haase [20]. Ce qui veut dire qu�on peut passer d�une représentation à l�autre sans aucunedi¢ culté.

3.4 Applications dans le cas où f est dans C� ([0; 1] ;X)

3.4.1 Résultat anisotropique d�interpolation.

Soit :(E� =

nu 2 C2+�([0; 1] ;X) \ C�([0; 1] ;D(A)) : u00(0) 2 (D(A); X)1� �

2;+1

oT� = D(A)�Dp

�A(� + 1;+1):

où :Dp

�A(� + 1;+1) =n� 2 Dp

�A :p�A� 2 (D(A); X)1� �

2;+1

o:

Proposition 3.5 L�application J

J : E� �! T�u 7�! (u (0) ; u0 (1))

est dé�nie, linéaire, continue et bijective.


Preuve. L�application J est évidement linéaire. Soit u 2 E�, alors

u00; Au 2 C� ([0; 1] ; X)

d�où 8<:u00(x) + Au(x) = u00(x) + Au(x) := g(x)u(0) = d0 in D(A)u0(1) = n1 in X;

de plusu 2 C2+� ([0; 1] ; X) \ C� ([0; 1] ; D(A)) :

Du théorème 3.3, on obtient que

d0 2 D(A); n1 2 D(p�A)

etAd0 � g(0) 2 (D(A); X)1� �

2;+1;

p�An1 2 (D(A); X)1� �

2;+1;

d�où (d0; n1) 2 T�: Montrons maintenant que J est bijective, soit (d0; n1) 2 T�. Alors leproblème (3.1)-(3.2) admet une unique solution stricte u véri�ant

u 2 C2+� ([0; 1] ; X) \ C� ([0; 1] ; D(A)) ;

telle queu00(0) = �Ad0 + g(0) 2 (D(A); X)1� �

2;+1

d�où 9!u 2 E� telle que J(u) = (d0; n1); alors J est bijective. Soit (d0; n1) 2 T�, alors

kJ(u)kT� = k(d0; n1)kD(A)�Dp�A(�+1;+1) = supnkd0kD(A) ; kn1kDp�A(�+1;+1)

o� sup

(kd0kD(A) ;

p�An1 (D(A);X)

1� �2 ;+1

):

On a d�une part

kd0kD(A) � kAd0kX� kAd0 � u00(0) + u00(0)kX� ku00(0)kX + kAd0 � u00(0)kX

� c

"ku00(0)k(D(A);X)

1� �2 ;+1

+ supx2[0;1]

kAu(x)kX + supx2[0;1]

ku00(x)kX

#

� c

�ku00(0)k(D(A);X)

1� �2 ;+1

+ kAukC([0;1];X) + ku00kC([0;1];X)�

� c

�ku00(0)k

(D(A);X)1� �

2 ;+1+ kAukC�([0;1];X) + ku00kC�([0;1];X)

�� c kukE� :


D�une autre part, de la formule (3.4) on a

kn1kDp�A(�+1;+1)

= p�An1

(D(A);X)1� �

2 ;+1

= (I � Z)�1 (I + Z)Au(1) + 2 (I � Z)�1 e�p�AAd0

(D(A);X)1� �

2 ;+1

+

(I � Z)�1p�A1Z0

e�(1+s)p�Ag(s)ds

(D(A);X)

1� �2 ;+1

+

(I � Z)�1p�A1Z0

e�(1�s)p�Ag(s)ds

�

(I � Z)�1 (I + Z)Au(1) (D(A);X)

1� �2 ;+1

+ 2 (I � Z)�1 e�p�AAd0

(D(A);X)1� �

2 ;+1

+ c kgkC�([0;1];X)

� c

"kAu(1)k

(D(A);X)1� �

2 ;+1

+ kAd0k(D(A);X)

1� �2 ;+1

#+chkAukC�([0;1];X) + ku00kC�([0;1];X)

i� c

"kAu(1)k

(D(A);X)1� �

2 ;+1

+ kAd0 + u00(0)� u00(0)k(D(A);X)

1� �2 ;+1

+ kAukC�([0;1];X) + ku00kC�([0;1];X)i:

Alors

kn1kDp�A(�+1;+1)

� c

�supx>0

x��(e�xp�A � 1)Au(1) X

+ supx>0

x��(e�xp�A � 1)(Ad0 + u00(0)) X

+ ku00(0)k(D(A);X)

1� �2 ;+1

+ kAukC�([0;1];X) + ku00kC�([0;1];X)

#

� c

�supx>0

kAu(x)kX+ sup

x>0ku00(x)k

X+ ku00(0)k

DA(�2 ;+1)

�chkAukC�([0;1];X) + ku00kC�([0;1];X)

i� c

�kAukC�([0;1];X) + ku00kC�([0;1];X) + ku00(0)k

DA(�2 ;+1)

�� c kukE� :

Finalement on déduit que 9c > 0=8u 2 E�; kJ(u)kT� � c kukE� :


Corollaire 3.1 Soit u 2 E� et f 2 C�([0; 1];X) alors

Au(�)� f(�) 2 B([0; 1] ; (D(A); X)1� �2;+1):

Preuve. La preuve de ce corollaire est une conséquence directe des propositions (3.3) et(3.5).

3.4.2 Exemples concrets.

Soit X = L2 (R) et soit �D (A) = H2(R);Au = u00

Il est connu que le domaine D(A) est dense dans X. On pose :8><>:G� =nu 2 C2+�([0; 1] ;L2 (R)) \ C�([0; 1] ;H2(R)) : u00(0) 2 (H2(R); L2 (R))1� �

2;+1

o;

N� = H2(R)�H�;

oùH� =

n� 2 D(

p�A) :

p�A� 2 (H2(R); L2 (R))1��=2;+1 = B�2;1(R)

o:

Le résultat suivant est une conséquence directe de la proposition 3.5 :

Proposition 3.6 L�application M

M : G� �! N�;u 7�! (u (0) ; u0 (1))

est bien dé�nie, linéaire, continue et bijective.

Soit X = C ([0; 1]) et soit�D (A) = fu 2 C2 ([0; 1]) : u(0) = u(1) = 0g ;Au = u00:

Ici D(A) n�est pas dense dans X car

D (A) = fu 2 C ([0; 1]) : u(0) = u(1) = 0g :

La caractérisation de D�p�A�est di¢ cile, cependant, on sait que :

D�p�A�� (D(A); X) 1

2;1 =

�u 2 C1� ([0; 1]) : u(0) = u(1) = 0

;

où

C1� ([0; 1]) =

8>><>>:u 2 C([0; 1] : supx;y;

x+y22[0;1]

0BB@��u(x) + u(y)� 2u�x+ y2

��jx� yj

1CCA <1

9>>=>>; :


Notons que

(D(A); C ([0; 1]))1� �2;+1

=nu 2 (C2 ([0; 1]) ; C ([0; 1]))1� �

2;+1 : u(0) = u(1) = 0

o=

�u 2 C� ([0; 1]) : u(0) = u(1) = 0

;

voir [43], 2.7.2. page 201.Soit 8><>:

C� =�u 2 C2+�([0; 1] ;C ([0; 1])) \ C�([0; 1] ;D(A)) :

u00(0) 2 (D(A); C ([0; 1]))1� �2;+1

o;

T� = D(A)�K�,où

K� =n� 2 H1(R) :

p�A� 2 (D(A); C ([0; 1]))1� �

2;+1

o:

On peut appliquer la proposition (3.5) a�n d�obtenir la proposition suivante :

Proposition 3.7 L�application N

N : C� �! T�u 7�! (u (0) ; u0 (1))

est bien dé�nie, linéaire continue et bijective.

Chapitre 4

Etude du Problème dans le cas oùl�opérateur A est variable et f estdans un espace Holdérien.

81

4.1. POSITION DU PROBLÈME ET HYPOTHÈSES82

4.1 Position du problème et hypothèses

On considère le problème8<:u00(x) + A(x)u(x)� �x = f(x); � > 0; x 2 [0; 1]u(0) = d0u0(1) = n1

(4.1)

où f 2 C� ([0; 1] ;X) ; 0 < � < 1; d0; n1 2 X et (A(x))x2[0;1] est une famille d�opérateurslinéaires fermés de domaines D (A(x)) non nécessairement denses dans X et véri�ant(

(A(x)� z)�1 existe pour tout z � � et (A(x)� z)�1 L(X)

� c

jzj ; 8z � �(4.2)

et 8>><>>:9K; �; � tels que : (A(x)� �) (A(x)� z)�1 �(A(x)� �)�1 � (A(s)� �)�1�

L(X)� K jx� sj

�

jzj�avec : �+ 2�� 2 > 0:

(4.3)

Remarque 4.1

1. Les hypothèses (4.2) et (4.3) restent encore valables dans un petit secteur du plancomplexe

P� = fz 2 C : jarg zj � �:g :

2. Les hypothèses (4.2) et (4.3) ont été utilisées dans Labbas-Terreni [25] pour une équa-tion de type Dirichlet mais avec des restrictions u(0) = 0 et f(0) = f(1) = 0.

Notre but est d�étudier l�existence, l�unicité et la régularité optimale du problème (4.1)lorsque f est assez régulière et d0; n1; f(0) et f(1) véri�ent certanes conditions de com-patibilité liées à l�équation di¤érentielle. On utilisera essentiellement le calcul classique deDunford.

4.2 Construction de la solution

On poseQ(x) = A(x)� �

et on considère le problème suivant8<:v00(x) + zv(x) = f(x)v(0) = d0v0(1) = n1

v est donnée par :

4.2. CONSTRUCTION DE LA SOLUTION 83

v(x) =cosh

p�z(1� x)

coshp�z

d0 +sinh

p�zxp

�z coshp�zn1

�Z 1

0

Kz (x; s) f (s) ds

= L(d0; n1; f)(x):

En écrivant que

L(d0; n1; f)(x) = L(d0; n1; u00(�) +Q(�)u(�))(x)

il vient

L(d0; n1; u00(�) +Q(�)u(�))(x)

=cosh

p�z(1� x)

coshp�z

d0 +sinh

p�zxp

�z coshp�zn1

�Z 1

0

Kz (x; s) (u00(s) +Q(s)u(s)) ds

=cosh

p�z(1� x)

coshp�z

d0 +sinh

p�zxp

�z coshp�zn1

�Z 1

0

Kz (x; s)u00(s)ds�

Z 1

0

Kz (x; s)Q(s)u(s)ds:

calculons l�intégrale

J1 = �Z 1

0

Kz (x; s)u00(s)ds

= �Z x

0

sinhp�zs cosh

p�z (1� x)p

�z coshp�z

u00(s)ds

�Z 1

x

sinhp�zx cosh

p�z (1� s)p

�z coshp�z

u00(s)ds

= �coshp�z (1� x)p

�z coshp�z

Z x

0

sinhp�zs u00(s)ds

� sinhp�zxp

�z coshp�z

Z 1

x

coshp�z (1� s) u00(s)ds

= �coshp�z (1� x)p

�z coshp�z

I1 �sinh

p�zxp

�z coshp�zI2:

On fait une double intégration par parties pour chacune des intégrales et on obtient

I1 =

Z x

0

sinhp�zs u00(s)ds = sinh

p�zx u0(s)

�p�z cosh

p�zx u(x) +

p�zu(0)

�zZ x

0

sinhp�zs u(s)ds


I2 =

Z 1

x

coshp�z (1� s) u00(s)ds = u0(1)

� coshp�z (1� x) u0(x)

�p�z sinh

p�z (1� x) u(x)

�zZ 1

x

coshp�z (1� s) u(s)ds

d�où

J1 = �coshp�z (1� x)p

�z coshp�z

�sinh

p�zx u0(s)�

p�z cosh

p�zx u(x)

��cosh

p�z (1� x)p

�z coshp�z

�p�zu(0)� z

Z x

0

sinhp�zs u(s)ds

�� sinh

p�zxp

�z coshp�z�u0(1)� cosh

p�z (1� x) u0(x)

�+

sinhp�zxp

�z coshp�z�p�z sinh

p�z (1� x) u(x)

�+

sinhp�zxp

�z coshp�z

�z

Z 1

x

coshp�z (1� s) u(s)ds

�= u(x) + z

Z 1

0

Kz (x; s)u (s) ds�cosh

p�z (1� x)

coshp�z

u(0)

� sinhp�zxp

�z coshp�zu0(1)

L(d0; n1; u00(�) +Q(�)u(�))(x)

=cosh

p�z(1� x)

coshp�z

d0 +sinh

p�zxp

�z coshp�zn1

�Z 1

0

Kz (x; s)Q(s)u(s)ds

+u(x) + z

Z 1

0

Kz (x; s)u (s) ds�cosh

p�z (1� x)

coshp�z

u(0)

� sinhp�zxp

�z coshp�zu0(1)

= u(x) + z

Z 1

0

Kz (x; s)u (s) ds�Z 1

0

Kz (x; s)Q(s)u(s)ds

et commeL(d0; n1; f)(x) = L(d0; n1; u00(�) +Q(�)u(�))(x)

il vient

u(x) + z

Z 1

0


0

Kz (x; s)Q(s)u(s)ds (4.4)

=cosh

p�z(1� x)

coshp�z

d0 +sinh

p�zxp

�z coshp�zn1 �

Z 1

0

Kz (x; s) f(s)ds:


On applique la résolvante au premier membre de l�égalité puis l�intégrale de Dunford

1

2i�

Z

(Q(x)� z)�1�u(x) + z

Z 1

0


0

Kz (x; s)Q(s)u(s)ds

�dz

=1

2i�

Z

(Q(x)� z)�1�u(x) +

Z 1

0

Kz (x; s) (z �Q(s))u (s) ds�dz

=1

2i�

Z

(Q(x)� z)�1 u(x)dz

+1

2i�

Z

Z 1

0

Kz (x; s) (Q(x)� z)�1 (z �Q(s))u (s) dsdz

=1

2i�

Z

(Q(x)� z)�1 u(x)dz

+1

2i�

Z

Z 1

0

Kz (x; s) (Q(x)� z)�1 (z �Q(x) +Q(x)�Q(s))u (s) dsdz

=1

2i�

Z

(Q(x)� z)�1 u(x)dz

+1

2i�

Z

Z 1

0

Kz (x; s) (Q(x)� z)�1 (z �Q(x))u (s) dsdz

+1

2i�

Z

Z 1

0

Kz (x; s) (Q(x)� z)�1 (Q(x)�Q(s))u (s) dsdz

= H1 +H2 +H3:

En utilisant l�identité de la résolvante

(Q(x)� z)�1 y = �yz+ (Q(x)� z)�1 Q(x)y

z

on obtient

H1 =1

2i�

Z

(Q(x)� z)�1 u(x)dz

= � 1

2i�

Z

u(x)

zdz +

1

2i�

Z

(Q(x)� z)�1

zQ(x)u(x)dz

= K1 +K2

K1 et H2sont nulles en intégrant à gauche de :

K2 = Q(x)

�1

2i�

Z

1

z(Q(x)� z)�1 u(x)dz

�= Q(x)Q(x)�1u(x) = u(x)

H3 =1

2i�

Z

Z 1

0

Kz (x; s) (Q(x)� z)�1 (Q(x)�Q(s))u (s) dsdz

=1

2i�

Z

Z 1

0

Kz (x; s)�Q(x) (Q(x)� z)�1 � (Q(x)� z)�1Q(s)

�u (s) dsdz


On a utilisé l�identité algébrique facile à véri�er�Q(x) (Q(x)� z)�1 � (Q(x)� z)�1Q(s)

�u(s)

= Q(x) (Q(x)� z)�1�Q(s)�1 �Q(x)�1

�Q(s)u (s)

H3

=1

2i�

Z

Z 1

0

Kz (x; s)Q(x) (Q(x)� z)�1�Q(s)�1 �Q(x)�1

�Q(s)u (s)u (s) dsdz

=1

2i�

Z

Z 1

0

Kz (x; s) (Q(x)� z + z) (Q(x)� z)�1�Q(s)�1 �Q(x)�1


=1

2i�

Z

Z 1

0

Kz (x; s) z (Q(x)� z)�1�Q(s)�1 �Q(x)�1


et de (4.4) on obtient

u(x) +1

2i�

Z

Z 1

0

Kz (x; s) z (Q(x)� z)�1�Q(s)�1 �Q(x)�1


=1

2i�

Z

coshp�z(1� x)

coshp�z

(Q(x)� z)�1 d0dz (4.5)

+1

2i�

Z

sinhp�zxp

�z coshp�z

(Q(x)� z)�1 n1dz

� 1

2i�

Z

Z 1

0

Kz (x; s) (Q(x)� z)�1 f(s)dsdz

On applique Q(x) aux deux membres de l�égalité précédente et on pose8>>>>>>>>>>><>>>>>>>>>>>:

w = Q(�)u(�)P�w (x) =

1

2i�

R

R 10Kz (x; s) zQ(x) (Q(x)� z)�1 (Q(s)�1 �Q(x)�1)w (s) dsdz

F (d0; n1; f)(x) =1

2i�

R

coshp�z(1� x)

coshp�z

Q(x) (Q(x)� z)�1 d0dz

+1

2i�

R

sinhp�zxp

�z coshp�zQ(x) (Q(x)� z)�1 n1dz

� 1

2i�

R

R 10Kz (x; s)Q(x) (Q(x)� z)�1 f(s)dsdz

alors de (4.5) on obtient l�équation

w + P�w = F (d0; n1; f) (4.6)

Tout revient alors à inverser l�équation (4.6) dans un espace adéquat où on peut rendrela norme de P� assez petite.


Supposons pour l�instant que F (d0; n1; f) 2 C ([0; 1] ;X) alors on a

kP�w(x)kX

=

12i�Z

Z 1

0

Kz (x; s) zQ(x) (Q(x)� z)�1�Q(s)�1 �Q(x)�1

�w (s) dsdz

X

� c

Z

jzj supx2[0;1]

Z 1

0

jKz (x; s)j jx� sj� dsjdzj

jz + �j� kwkC(X)

� c

Z

jzjjzj1+

�2 jz + �j�

jdzj kwkC(X)

� c

��2+��1 kwkC(X) :

On en déduit la proposition :

Proposition 4.1 On suppose que F (d0; n1; f) 2 C ([0; 1] ;X) et que les hypothèses (4.2) et(4.3) sont véri�ées alors :

9� > 0 tel que : 8� � ��; kP�kL(C(X)) �1

2:

L�équation (4.6) admet donc une unique solution w = Q(:)u(:) pour � � �� et donc

u(:) = Q(:)�1(I + P�)�1F (d0; n1; f)

= (A(:)� �)�1 (I + P�)�1F (d0; n1; f):

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BIBLIOGRAPHIE 91

Résumé :Ce travail est consacré à l�étude de l�équation abstraite du second ordre de type mêlé :

u00(x) + Au(x) = f(x); x 2 (0; 1);

sous les conditions aux limites de Dirichlet-Neumann :�u(0) = d0u0(1) = n1;

où A est un opérateur linéaire fermé dans un espace de Banach complexe X. Ici, f est unefonction de (0; 1) à valeurs dans X et d0, n1 sont des éléments donnés dans X.On s�intéresse à l�existence, l�unicité et la régularité maximale de solutions de ce problème

lorsque le second membre f appartient à l�une des deux classes d�espaces de Banach degéométrie di¤érente Lp(0; 1;X) et C� ([0; 1];X) avec 1 < p <1, 0 < � < 1.� Dans le premier cadre fonctionnel Lp(0; 1;X), lorsque l�espace de Banach X possède lapropriété UMD et sous certaines hypothèses sur l�opérateur on démontrera l�existence,l�unicité et la régularité maximale de la soluion stricte si et seulement si les donnéesd0, n1 sont dans un espace d�interpolation bien précis. Les techniques utilisées reposentsur la classe dite BIP des opérateurs et essentiellement sur le célèbre Théorème deDore et Venni.

� Dans le deuxième cadre (compte tenu de la régularité höldérienne du second membref), où l�espace de Banach X est quelconque et le domaine D(A) n�est pas dense dansX, on prouvera aussi, sous les mêmes hypothèses que le cadre précédent, des résultatsd�existence et de régularité maximale si et seulement si les données d0, n1 sont dans uncertain espace d�interpolation . Ici, les techniques utilisées reposent sur la théorie dessemi-groupes analytiques, sur la célèbre théorie des sommes d�opérateurs de Da Pratoet Grisvard et principalement sur le travail de Sinestrari.

Mots clés :Théorie des sommes d�opérateurs linéaires, semi-groupes, espaces d�interpolation, les es-

paces UMD, les espaces de Hölder, solution stricte, régularité optimal, équation elliptique,problème de Sturm-Liouville, puissances fractionnaires, puissances imaginaires bornés.

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