OSNOVI ELEKTROTEHNIKE I1.zadatak:

U pločasti kondenzator, površine elektroda S = 9 cm2, rastojanja između elektroda d = 6 mm ubačen je homogeni dielektrik permitivnosti 1 = 7 0 tako da ispunjava 2/3 međuelektrodnog prostora, kao na slici. a). Odrediti izraz i izračunati kapacitivnost ovog kondenzatora.b) Ako su dielektrične čvrstoće vazduha E0max = 30kV/cm i dielektrika E1max = 200 kV/cm, odrediti najveći napon na koji sme da se priključi ovaj kondenzator.

c) Kondenzator se optereti, odvoji od izvora nakon čega se u vazdušni deo prostora ubaci dielektrik permitivnosti 2 = 1,5 0. Odrediti izraz i izračunati odnos elektrostaitčkih energija kondenzatora pre i posle ubacivanja novog dielektrika.

Rešenje:

a) Primenjujući uopšteni Gausov zakon na zamišljenu površinu koja obuhvata jednu (na primer, pozitivnu) elektrodu, i primenjujući granične uslove mogu se odrediti jačine električnih polja u obe sredine Električno polje postoji samo u unutrašnjosti kondenzatora (ivični efekti se zanemaruju) pa se fluks vektora električne indukcije kroz proizvoljnu zatvorenu zamišljenu površinu S0 svodi fluks kroz površinu S koja je paralelna sa elektrodom kondenzatora. Vektor

električne indukcije i normala na površinu su kolinearni vektori istog pravca pa je:

Električna indukcija u kondenzatoru je homogena zbog čega se gornja relacija svodi na:

,

.

Kako je električna indukcija normalna na elektrode kondenzatora i razdvojnu površinu:

i kako važe granični uslovi:

sledi da je električna indukcija u obe sredine jednaka:

Za linearne sredine važi relacija gde je ε dielektrična konstanta tako da je jačina polja u vazduhu i dielektriku, respektivno:

Električno polje u kondenzatoru je homogeno pa je napon između elektroda kondenzatora:

Ekvivalentna kapacitivnost kondenzatora je:

št

o se može se predstaviti kao redna veza dva kondenzatora:

,

b) Pošto je dielektrična čvrstoća vazduha manja od dielektrične čvrstoće upotrebljenog dielektrika do proboja dolazi najpre u vazdušnom delu kondenzatora. Kad je polje u vazduhu jednako E0max

polje u dielektriku je:

,

tako da je najveći napon na koji sme da se priključi kondenzator:

c) Kondenzator je opterećen, odvojen od izvora i u vazdušni deo ubačen drugi dielektrik, tako da opterećenost kondenzatora prilikom ubacivanja dielektrika ostaje konstantna. U ovom sličaju treba primeniti sledeće izraze za odeređivanje energije kondenzatora:

,

.

C1 predstavlja kapacitivnost kondenzatora sa vazdušnim dielektrikom određenu pod a) dok je kapacitivnost C2 kondenzatora kada je ubačen drugi dielektrik.

C1= C,

2. zadatak:U pločasti kondenzator, površine elektroda S = 8 cm2, rastojanja između elektroda d = 4 mm ubačen je homogeni dielektrik permitivnosti 1 = 2 0 tako da ispunjava 3/4 međuelektrodnog prostora, kao na slici. a) Odrediti izraz i zračunati kapacitivnost ovog kondenzatora. b) Kondenzator se optereti, odvoji od izvora nakon čega se u vazdušni deo prostora ubaci dielektrik permitivnosti 2 = 4 0. Odrediti izraz i izračunati odnos elektrostaitčkih energija kondenzatora pre i posle ubacivanja novog dielektrika.c) Ako su dielektrične čvrstoće dielektrika E1max = 200kV/cm i

E2max = 300kV/cm, odrediti najveći napon na koji sme da se priključi ovaj kondenzator.

Rešenje:

a) Sa donje slike se vidi da je vektor jačine polja paralelan razdvojnoj površini dielektrika, odnosno da jačina polja ima samo tangencijalnu komponentu:

Na osnovu graničnog uslova, da tangencijalne komponente vektora jačine polja na razdvojnoj površini dva dielektrika moraju da budu jednake

, proizilazi da je jačina polja u oba

dielektrika ista:0

1

0E

1E

S

n

Suk

S0

S1

Primenjujući uopšteni Gausov zakon na zamišljenu površinu Suk koja obuhvata jednu (na primer, pozitivnu) elektrodu, slika 2.b, može se odrediti jačina električnog polja u kondenzatoru. Električno polje postoji samo u unutrašnjosti kondenzatora (ivični efekti se zanemaruju) pa se fluks vektora električne indukcije kroz zamišljenu površinu Suk

svodi fluks kroz površinu S koja je paralelna sa elektrodom kondenzatora. Vektor električne indukcije i normala na površinu su kolinearni vektori istog pravca, električna indukcija je homogena u pojedinim delovima dielektrika (na površinama S0 , u vazduhu, i S1, u dielektriku,) pa je:

Slika 2.b.Kako između električne indukcije i jačine polja postoji linearna veza za

jačinu polja u kondenzatoru se dobija:

b) Napon između elektroda, pošto je polje homogeno, je:

Ekvivalentna kapacitivnost kondenzatora je:

što predstavlja paralelnu vezu dva kondenzatora.

b) Kondenzator je opterećen, odvojen od izvora i u vazdušni deo ubačen drugi dielektrik, tako da opterećenost kondenzatora prilikom ubacivanja dielektrika ostaje konstantna. U ovom sličaju treba primeniti sledeće izraze za odeređivanje energije kondenzatora:

,

C1 predstavlja kapacitivnost kondenzatora sa vazdušnim dielektrikom određenu pod a) dok je kapacitivnost C2 kondenzatora kada je ubačen drugi dielektrik.

C1= C,

.

c) Pošto je dielektrična čvrstoća prvog dielektrika (E1max = 200kV/cm) manja od dielektrične čvrstoće drugog (E2max = 300kV/cm), a jačina polja u oba dielektrika je ista, do proboja dolazi kada jačina polja u kondenzatoru postane jednaka dielektričnoj čvrstoći prvog dielektrika. Najveći napon na koji sme da se priključi kondenzator je:

3. zadatak:

У два равна плочаста кондензатора са ваздушним диелектриком, чије су плоче у облику квадрата дужине страниcе а и растојања између плоча d, убачене су паралелопипедне плочие од истог диелектричног материјала, као што је приказано на слиcи. Количник капаcитивности првог (сл. 1.а) и другог (сл.1.б) кондензатора је C1 /C2 = 8/9.a) Одредити релативну диелектричну константу употребљеног диелектрика.b) Ако су оба кондензатора прикључена на исти напон одредити однос енергија кондензатора.

Ивичне ефекте занемарити.

Sl.1.a. Sl.1.b.Rešenje:

a) Kondenzator prikazan na slici 1.a. predstavlja rednu vezu tri kondenzatora, pa je njegova kapacitivnost:

Kondenzator na slici 1.b. predstavlja paralelnu vezu tri kondenzatora, pa je njegova kapacitivnost:

Ova relacija predstavlja kvadratnu jednačinu po :

koja ima dva rešenja:

;

Drugo rešenje kvadratne jednačine nije realno pošto relativna dielektrična konstanta mora biti veća od 1.Prema tome tražena relativna dielektrična konstanta je .

b) Odnos energija kondenzatora je:

4. zadatak:

У раван плочасти кондензатор, са ваздушним диелектриком, капаcитивности C0

који је после оптерећивања искључен са напона U, убаcи се најпре плочиcа од материјала релативне диелектричне константе r = 2 и дебљине d/3.

a) Извести израз за капаcитивност - C овако добијеног кондензатора.b) Одредити за колико ће се променити капаcитивност { ∆C/C = (C – C')/C} и енергија кондензатора ∆We /We ако се плочиcа од диелектрика замени проводном плочиcом.

Ивичне ефекте занемарити.

Rešenje:

a) Primenjujući uopšteni Gausov zakon na zamišljenu površinu koja obuhvata jednu (na primer, pozitivnu) elektrodu, i primenjujući granične uslove mogu se odrediti jačine električnih polja u obe sredine Električno polje postoji samo u unutrašnjosti kondenzatora (ivični efekti se zanemaruju) pa se fluks vektora električne indukcije kroz proizvoljnu zatvorenu zamišljenu površinu S0 svodi fluks kroz površinu S koja je paralelna sa elektrodom kondenzatora. Vektor električne indukcije i normala na površinu su kolinearni vektori istog pravca pa je:

Električna indukcija u kondenzatoru je homogena zbog čega se gornja relacija svodi na:

,

.

Kako je električna indukcija normalna na elektrode kondenzatora i razdvojnu površinu:

i kako važe granični uslovi:

sledi da je električna indukcija u obe sredine jednaka:

Za linearne sredine važi relacija gde je ε dielektrična konstanta tako da je jačina polja u vazduhu i dielektriku, respektivno:

Električno polje u kondenzatoru je homogeno pa je napon između elektroda kondenzatora:

b) Kada se umesto dielektrične pločice ubaci metalna pločica, pošto je u metalnoj pločici polje jednako nuli napon između elektroda kondenzatora se smanjuje:

Tako da se kapacitivnost povećava:

Pošto je kondenzator posle opterećivanja isključen sa izvora promena energije kondenzatora je:

6. zadatak:

Два ваздушна плочаста кондензатора димензија d1=1 mm; S1=34 cm2 и d2=2 mm; S2=45,2cm2 су повезана као што је приказано на слиcи. Плоче кондензатора означене тачкама 1 и 3 су наелектрисане позитивно наелектрисањима Q1= Q2= 6.10 -

9C. Одредити:

a) Напон U14,

b) Капаcитивност овог система.

Rešenje:

a) Polja u kondenzatorima su homogena i njihove jačine su:

a)

b) Kapacitivnosti pojedinih kondenzatora su:

Kapacitivnost sistema je:

Ovo je redna veza kondenzatora.