Resistance Des Materiaux

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  • Rsistance des matriaux. Sad KOUTANI. 1998 Page 1

    RESISTANCE DES MATERIAUX

    Sad KOUTANI

    File 136 koutani

  • Rsistance des matriaux. Sad KOUTANI. 1998 Page 2

    OBJECTIFS

    Connatre les hypothses, pour situer le champ de validit de la Rsistance des Matriaux. Une tude sommaire de la thorie de llasticit sera prsente. Matriser les mthodes pratiques de calcul des dformations pour les divers types de sollicitations. A lissue de cette formation, llve doit tre capable de dimensionner une pice de simple gomtrie en fonction de sa tenue sous charge et dfinir les caractristiques physiques ncessaires au choix du matriau dans lequel elle sera ralise. La charge peut tre simple ou compose.

    CONTENU Les essais Essai de traction. Essai de duret. Essai de rsilience. Essai de fatigue Mcanique des solides dformables Loi de Hooke gnralise - Mthodes de la thorie de llasticit. Tricercle de Mohr Phnomne de concentration de contraintes Energie de dformation et critres de la limite lastique Sollicitations simples Traction et compression Application aux courroies de transmission Cisaillement Applications : assemblage par rivets. poinonnage dune tle Torsion Application : diamtre dun arbre de transmission. arbre section variable Flexion Effort tranchant et moment de flexion Equation dune fibre lastique dforme. Mthode graphique de Mohr. Poutre isostatique et poutre hyperstatique Sollicitations composes Combinaisons traction - torsion et compression - flexion Flambement dune poutre- Mthode de Dutheil. Combinaison flexion - torsion : arbre de transmission Introduction la Mthode des lments finis

  • Rsistance des matriaux. Sad KOUTANI. 1998 Page 3

    STATIQUE DES SOLIDES INDEFORMABLES

    Les matriaux solides sont, en ralit, tous plus ou moins dformables. En construction, on cherche limiter leur dformation. Comme la dformation induit un dplacement des points dapplication des forces et une dviation de leurs supports respectifs, les quations de la statique (quilibre) doivent tre crites pour un solide, aprs sa dformation. Il est toutefois important de noter que les dformations que lon tudiera sont faibles (domaine lastique), et par consquent, les quations relatives au solide considr comme indformable, restent applicables la structure du corps dform. I- Equations dquilibre dun solide indformable

    Un solide est lquilibre dans un repre fix, lorsque le torseur des actions extrieures est nul ( le torseur des actions intrieures tant nul daprs le principe des actions mutuelles ),

    [ ]T ex = 0.

    Ce qui se traduit par une rsultante des actions extrieures et un moment rsultant nuls

    R F et Mi= = = 0 0.

    Considrons le cas gnral o un solide, rapport un repre orthonorm pour le systme

    daxes ( )O x x x, , ,1 2 3 , est soumis un systme de forces

    Fi et des moments

    Ci , avec

    F

    X

    X

    Xi

    i

    i

    i

    =

    1

    2

    3

    , de points dapplication Ai tels que OA

    x

    x

    x

    i

    i

    i

    i

    =

    1

    2

    3

    ,

    et

    C

    L

    M

    Ni

    i

    i

    i

    =

    .

    Les deux conditions dquilibre scrivent

    F C OA Fii

    ii

    ii

    i= +

    = 0 0et ,

    desquelles, on obtient les 6 quations scalaires

    X X Xii

    ii

    ii

    1 2 30 0 0= = =

  • Rsistance des matriaux. Sad KOUTANI. 1998 Page 4

    ( ) ( )L x X x X M x X x Xi i i i iii

    i i i i iii

    + = + = 2 3 3 2 3 1 1 30 0

    ( )N x X x Xi i i i iii

    + = 1 2 2 1 0

    II- Bilan et nature des forces appliques

    Tout problme de la Mcanique ncessite une exacte dtermination du systme solide tudi et de ses interactions avec son environnement. Les forces appliques sur un solide lquilibre peuvent tre : - des forces directement appliques (charges), elles sont gnralement connues. - des forces de contact ou de liaison, elles sont gnralement inconnues. - des forces de volume, exemple : forces de pesanteur souvent ngligeable en Rsistance des Matriaux. Pour dterminer le torseur dune liaison il faut prciser les degrs de libert du systme solide considr : 1- Pour tout mouvement de translation empch dans une direction, est associ une force de liaison ou une action dappui dont laxe est cette direction. 2- A toute impossibilit de rotation est associ un couple dont laxe est celui de la rotation considre. On doit diffrencier les systmes mcaniques bidimensionnels des systmes mcaniques tridimensionnels. a) Systmes bidimensionnels Dans ce cas les forces appliques sont dans un plan, et les degrs de libert correspondent une rotation autour de laxe normal ce plan et aux translations dans ce plan. - Appui simple

    RA

    A

    S2

    S1x2

    x3

  • Rsistance des matriaux. Sad KOUTANI. 1998 Page 5

    Le systme S1 na que 2 degrs de libert, une translation selon x2 et la rotation autour de x1 . On a donc laction dappui

    R

    XA

    A

    =

    0

    0

    3

    .

    - Appui linaire Ici, on a un contact linaire. Laction dappui est similaire celle de lappui simple.

    x2

    x3

    RA

    S1

    S2x1

    R

    XA

    A

    =

    0

    0

    3

    - Articulation verrou

    Seules la translation selon laxe x1 et la rotation autour de cet axe sont possibles.

    x2

    x3

    RAS1

    S2

    Les actions lmentaires de contact se rduisent au centre de larticulation la force

  • Rsistance des matriaux. Sad KOUTANI. 1998 Page 6

    R X

    XA A

    A

    =

    0

    2

    3

    - Encastrement

    Dans ce type de liaison, il y a suppression de tous les degrs de libert. Laction de S2 sur S1 se rduit au centre de gravit de la section limite dencastrement au torseur de composantes

    R X

    X

    M

    M

    A A

    A

    A

    A

    =

    =

    0

    0

    02

    3

    x2

    x3

    RA

    S2S1

    M A

    b) Systmes tridimensionnels Les degrs de libert sont au nombre de 6, 3 translations et 3 rotations. Ici encore, chaque type de liaison va en bloquer certains. - Appui simple

    La liaison mcanique entre S1 et S2 est ralise au moyen dune bille roulante. La force de liaison est perpendiculaire la surface de roulement.

    S2

    S1

    RA

    x2

    x3

    S1 subit la raction

  • Rsistance des matriaux. Sad KOUTANI. 1998 Page 7

    R

    XA

    A

    =

    0

    0

    3

    - Anneau

    La sphre S1 est astreinte aux roulements lintrieur du cylindre S2 . La circonfrence de contact des deux solides appartient une section droite du cylindre. Les trois rotations et la

    translation selon laxe x2 sont libres. Au centre de la sphre, laction rsultante scrit

    R

    X

    X

    MA

    A

    A

    A=

    =1

    2

    0 0

    x1

    x2

    x3

    RA

    - Rotule

    Le solide S2 a une cavit sphrique dans laquelle la solide S1 peut effectuer les trois rotations. Aucune translation nest possible.

    S1

    S2

    On a donc

    R

    X

    X

    X

    MA

    A

    A

    A

    A=

    =1

    2

    2

    0

    - Encastrement

  • Rsistance des matriaux. Sad KOUTANI. 1998 Page 8

    On a encastrement lorsque la liaison des deux solides ne permet aucun degr de libert.

    R

    X

    X

    X

    M

    M

    M

    MA

    A

    A

    A

    A

    A

    A

    A

    =

    =

    1

    2

    3

    1

    2

    3

    .

    III- SYSTEMES ISOSTATIQUES ET SYSTEMES HYPERSTATIQUES Soit une structure de n solides, faisant intervenir un certain nombre de liaisons dont chacune introduit Li inconnues. Sachant que lquilibre de chaque solide est dcrit par 6 quations, on obtient pour lensemble de la structure 6n quations. Le nombre entier

    ( )W L ni= 6

    est caractristique pour la structure tudie. Si W = 0, Toute les inconnues peuvent tre dtermines partir des quations dquilibre, et le systme est appel systme isostatique. Si W > 0, le systme est statiquement indtermin, il est appel systme hyperstatique. Nous verrons que des quations empruntes la Rsistance des Matriaux permettent la dtermination des inconnues restantes. Si W < 0, la structure devient un mcanisme. Ce nest pas lobjet de ce cours.

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    ESSAIS MECANIQUES

    Les matriaux que nous considrerons sont de structure isotrope, et leurs constituants ne prsentent pas darrangement rgulier. Les matriaux mtallurgiques sont polycristallins, lchelle microscopique, ils ont une structure granulaire o chaque grain peut tre considr comme un monocristal. Les grains, orients alatoirement, sont spars par des joints de grains de structure diffuse. Il nexiste donc pas de direction prfrentielle dapplication des charges. Il faut, cependant, noter que les matriaux industriels peuvent tre anisotropes, par exemple les matriaux composites stratifis. Pour dterminer pratiquement les proprits mcaniques caractristiques des matriaux, on tudie leurs rponses diverses sollicitations. On ralise des essais dont le plus important est lessai de traction charge axiale. I- ESSAI DE TRACTION

    Eprouvette dessai Cest une tige cylindrique dont la partie centrale est moins large que ses extrmits o se fixent les mchoires dune machine traction. Cette forme est conue pour viter la rupture aux points de fixations.

    Les prouvettes sont normalises pour que les essais soient comparables. la longueur L0

    entre deux repres de lprouvette et sa section S0 obissen