Sciences et Technologies de l’Industrie et du Développement Durable Tle STI2D La Résistance des Matériaux (RdM)

CI3 : Dimensionnement et choix des matériaux et structures (Statique & RDM)

Cours ETT

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RESISTANCE DES MATERIAUX

1. Introduction, but de la RdM

L’étude de la résistance des matériaux a UN SEUL OBJECTIF : Définir les caractéristiques du matériau d’un élément en vue de le choisir et de le commander chez un fournisseur. Pour cela, l’étude s’appuie sur les trois objectifs suivant :

• la connaissance des caractéristiques mécaniques des matériaux. (Comportement sous l’effet d’une action mécanique),

• l'étude de la résistance des pièces mécaniques.(résistance ou rupture),

• l'étude de la déformation des pièces mécaniques. Ces études permettent de choisir le matériau et les dimensions d'une pièce mécanique en fonction des conditions de déformation et de résistance requises. Cela va permettre, à l’aide d’un catalogue constructeur ou du site Web du constructeur d’en effectuer le choix.

2. Hypothèse de la RdM, champ d’application

2.1. Le matériau :

Il est homogène : Structure continue et identique dans toutes les directions; Cette hypothèse est fausse pour tous les matériaux granuleux ou fibreux (béton, pierre, bois, composites,...)

Il est isotrope : Même propriétés mécaniques dans toutes les directions. Cette hypothèse est fausse pour tous les matériaux granuleux ou fibreux.

2.2. Disposition de la matière

Définition d’une poutre : La RDM étudie des pièces dont les formes sont relativement simples. Ces pièces sont désignées sous le terme de « poutres ». Poutre : on appelle poutre (voir fig.) un solide engendré par une surface plane (S) dont le centre de surface G décrit une courbe plane (C) appelée ligne moyenne. Les caractéristiques de la poutre sont :

• Ligne moyenne droite ou à grand rayon de courbure (C),

• Section droite (S) constante ou variant progressivement,

• Grande longueur par rapport aux dimensions transversales,

• Existence d'un plan de symétrie.

(C)

(S)

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2.3. Etude assistée par ordinateur de la RDM

Si la pièce n’est pas une poutre, alors il faut utiliser un logiciel effectuant les calculs par éléments finis. Le principe est le suivant : Les surfaces de la pièce sont découpées en éléments (triangles en règle générale) qui vont servir aux calculs effectués par l’ordinateur. En considérant ces éléments répondant aux contraintes de la RDM, il est possible d’obtenir des simulations visuelles et numériques facilitant l’aide au choix des matériaux. Exemple : La lame mobile d’un sécateur 1- Maillage de la pièce et Définition des liaisons 2- Définition du chargement (Efforts appliqués) Interprétation des résultats.

3- Contraintes dans le matériau (MPa) 4- Déformations (mm) Ce type d’étude vous sera donné réalisé dans l’épreuve d’enseignement transversal, il faudra savoir l’exploiter !

2.4. Les forces extérieures

Deux types d'actions mécaniques extérieures peuvent s'exercer sur la poutre :

• Charges concentrées ( en N ou moment en Nm)

• Charges réparties « p » sur DE. (Exprimées en N/m).

F1

MC

F1Mc

CA B

D E

p

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x

y

F

3. Sollicitations simples

LA TRACTION – COMPRESSION :

�� = 𝑒𝑓𝑓𝑜𝑟𝑡 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙 = �� Si N > 0 : Traction Si N < 0 : Compression Les câbles du pont du Golden Gate à San Francisco travaillent en traction et les piliers en compression. LE CISAILLEMENT :

�� = 𝑒𝑓𝑓𝑜𝑟𝑡 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑐ℎ𝑎𝑛 = ��

LA TORSION :

𝐿𝑎 𝑠𝑜𝑙𝑖𝑐𝑖𝑡𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑔é𝑛è𝑟𝑒 𝑢𝑛 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑀𝑡 𝑒𝑡 𝐹1 + 𝐹2

= 0 LA FLEXION SIMPLE :

��𝑔é𝑛è𝑟𝑒 𝑢𝑛 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑀𝑡 𝑒𝑡 𝑢𝑛 𝑒𝑓𝑓𝑜𝑟𝑡 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑐ℎ𝑎𝑛𝑡 �� En résumé : Remarque : Nous avons des sollicitations composées chaque fois qu'il y a, pour une même poutre, addition de sollicitations simples.

Composantes Sollicitation

N > 0 Traction

< 0 Compression

Ty Cisaillement

Tz

Mt Torsion

Mfy Flexion

Mfz

x

y

F

x

y F

F

𝐹1

𝐹2

𝐹1

𝐹2

𝐹1

𝐹2

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4. Notion de contraintes

4.1. Définition :

Les efforts de cohésion induisent des contraintes à l’intérieur de la pièce qui caractérisent les actions mécaniques de cohésion interne au matériau qui existent entre les grains de matière.

Remarque : Une contrainte est assimilable à une pression. C’est un effort par unité de surface (N/mm² ou MPa).

4.2. Contrainte NORMALE – Contrainte TANGENTIELLE :

Suivant l’orientation de la contrainte par rapport à la normale de la section ��, on définie deux types de contraintes :

Contrainte normale :

La contrainte normale (Mpa) est normale à la section droite (S)

Contrainte tangentielle :

La contrainte tangentielle (Mpa) est située dans le plan tangent à la section droite (S)

5. Sollicitations de TRACTION - COMPRESSION

5.1. Détermination de la contrainte normale

Soit une pièce sollicitée à ses deux extrémités par deux efforts F parallèles à l’axe longitudinal de la pièce. Si on isole le tronçon E1 de la poutre, la répartition des contraintes dans la section (S) est uniforme et normale à la surface :

La contrainte normale de traction .n :

> 0 : Traction Les efforts extérieurs tendent à allonger la pièce : Allongement

< 0 : Compression Les efforts extérieurs tendent à raccourcir la pièce : Raccourcissement Remarque : dans ce cas N = F car la résultante des efforts appliqués à la pièce s’exerce sur l’axe x, axe normale à la section (S).

5.2. Loi de Hooke :

L’essai de traction consiste à soumettre une éprouvette normalisée à un effort de traction progressivement croissant, jusqu’à la rupture de l’éprouvette. La machine mesure les efforts appliqués et les déformations de l’éprouvette. Matériaux isotrope et homogène.

S

N

n

(S)

E1 E2

n

(S)

��

��

E1

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: Contrainte normale de traction (Mpa)

Loi de HOOKE : = E . Avec : E : Module d'élasticité longitudinal (Mpa)

: Allongement unitaire (déformation. par unité de longueur)

E correspond à la pente de la droite du domaine élastique de l’essai de traction. Il s’appelle aussi Module d’Young. Quelques valeurs de E :

Plus E est grand plus le matériau est « raide ». Plus E est petit plus le matériau est « souple »

Relation entre l’allongement unitaire (mm/mm) et l(mm) :

l = × l

Matériau Fontes Aciers Cuivre Aluminium Tungstène

E (MPa) 60 000à160 000 200 000 120 000 70 000 400 000

Retour en arrière après la traction

Traction

Etat initial

Retour en arrière après la traction et apparision de la striction

Traction au-delà de la limite élastique – Zone de striction

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Max

x

(S)

Ordonnée du point M (ici y>0)

Fibre neutre

Zone de compression

Zone de traction

M

S1

Max

M. x

(Contrainte en M)

5.3. Condition de résistance :

Pour qu'une pièce résiste aux efforts de traction sans subir de déformation permanente il faut que la contrainte interne ne dépasse pas la limite élastique Re du matériau.

Pour des raisons de sécurité et compte tenu des hypothèses faites avec les modélisations, la contrainte normale doit rester inférieure à une valeur limite appelée contrainte pratique à l'extension Rpe. On considère que c’est la contrainte maximale admissible.

𝑅𝑝𝑒 =𝑅𝑒

𝑐𝑠 Avec cs: coefficient de sécurité >1

cs = 1,5 à 3 pour des structures courantes. cs = 8 à 10 pour des structures présentant un danger pour l'homme et son environnement

La condition de résistance s’écrit donc : Rpe

6. Sollicitation de FLEXION simple

6.1. Contraintes :

La loi de Hooke a permis de mettre en évidence que la contrainte est proportionnelle à allongement relatif. Dans le cas de la flexion plane simple, les contraintes se réduisent essentiellement à des contraintes normales.

=𝐌𝐟𝐳

𝐈𝐆𝐳. y

M : contrainte normale au point M due à la flexion (en MPa)

Avec : Mfz : moment de flexion selon (G, z ) dans (S) (en N.mm)

IGz : moment quadratique de la section droite (S) / à son axe neutre (en mm4)

y : ordonnée du point M dans (G, x y z, , ) (en mm)

Remarque : - La contrainte normale maximale se trouve sur le point le plus éloigné de l’axe neutre (fibre moyenne). - La condition de résistance en flexion est la même qu’en traction en prenant la valeur maximale de la contrainte.

G

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6.2. Moment quadratique :

Le moment quadratique(𝑚𝑚4) caractérise la raideur de la poutre au fléchissement. Exemple du réglet : Un réglet fléchira facilement s’il est à plat mais Beaucoup moins s’il est sur la tranche. Moment quadratique des sections simples :

IGz : Moment quadratique par rapport à l’axe 𝐺𝑧 IO : Moment quadratique par rapport au point O

7. Sollicitation de CISAILLEMENT

7.1. Contrainte dans la section droite :

Les contraintes tangentielles sont sensiblement uniformément réparties dans une section droite. On définit une

contrainte moyenne moy égale à si la répartition des contraintes tangentielles était uniforme.

: Contrainte tangentielle de cisaillement (Mpa)

moy = ST Avec : T : norme de l’effort tranchant (N)

S : aire de la section droite (mm²)

7.2. Condition de résistance :

La condition de résistance pour une sollicitation de cisaillement est la même que pour la traction en prenant en compte la résistance pratique au cisaillement (ou glissement) Rpg :

𝑅𝑝𝑔 =𝑅𝑒𝑔

𝑐𝑠 Avec : Reg : Résistance élastique au glissement (MPa)

cs : Coefficient de sécurité

𝐼𝐺𝑧 (𝑚𝑚4)

G

S

Répartition de la contrainte dans la section droite

Réglet à la verticale

Réglet à l’horizontale

Forme de la section

𝐼𝑂 (𝑚𝑚4)

𝑏. ℎ3

12

𝑎4

12

𝜋. (𝐷4−𝑑4)

64

𝜋. 𝑑4

64

𝜋. (𝐷4−𝑑4)

32

𝜋. 𝑑4

32

𝑎4

6

𝑏. ℎ3 + 𝑏3. ℎ

12

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La condition de résistance s’écrit donc : Attention : Re (contrainte normale qui intervient en traction et flexion) et Reg (contrainte tangentielle qui intervient en cisaillement)

8. Exemple d’application concrète de la RDM

Le Vigipark est un système pluri technique servant à condamner une place de parking pour la laisser à disposition des personnes handicapées. Pour cela, il est muni d’un arceau qui condamne la place en position relevé et qui s’escamote suite à une consigne donnée par la personne handicapée à l’aide d’une télécommande.

Le système est mis en mouvement par un ensemble moteur + réducteur. Cependant, ce moteur ne fournit pas assez de couple pour maintenir l’arceau relevé au cas où une personne voudrait forcer sur l’arceau pour prendre la place.

Le constructeur a donc implanté un système de verrouillage mécanique représenté ci-contre.

L’arceau étant relevé, la griffe de la butée escamotable prend place dans les fentes usinées dans les bagues de butée, qui sont solidaires de l’axe de l’arceau. Quand un individu force sur l’arceau, les bagues ont tendance à tourner et à entraîner la butée escamotable. L’effort ainsi généré est transmis au support de butée qui est coincé dans le bâti : l’arceau ne peut pas tourner.

Cependant, quand le moteur se met en marche, les clous fixés sur l’arbre moteur (non représenté) soulèvent la butée escamotable : l’arceau ne peut donc tourner que lorsque le moteur est mis en marche.

Il existe tout de même une sécurité intégrée au Vigipark. Si l’effort appliqué à l’arceau est trop élevé, celui-ci se désolidarise de son axe pour se rabattre afin de préserver les éléments de transmission. On a déterminé que l’effort maximal qu’on peut appliquer en bout d’arceau est de 20 daN avant qu’il bascule. L’objet de cette étude est de déterminer, au moment de l’escamotage de l’arceau, les efforts dans le système de verrouillage et de vérifier le dimensionnement de la butée escamotable en analysant les contraintes au sein de cette pièce. La simulation donne comme résultat (les couleurs correspondant à des valeurs de contrainte sur une échelle affichée à droite du modèle.

moy Rpg

Butée escamotable

Bagues de butée

Support de butée

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1. Relevez sur le résultat de la simulation ci-contre la limite d’élasticité Re donnée pour le matériau choisi.

.....................................................................

.....................................................................

2. Relevez sur cette échelle la valeur maximale de contrainte.

.....................................................................

.....................................................................

3. Le choix de ce matériau est-il adapté à cette utilisation ? ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................

4. Observez la répartition des contraintes et la déformée. Entourez la zone la plus sollicitée. ........................................................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................................................