Resistencia de Materiais. Tema 7. Elementos barra solicitados a …caminos.udc.es/.../224/contenido_publico/recursos/Tema07.pdf · 2015. 1. 27. · Contido. Tema 7. Elementos barra

Resistencia de Materiais. Tema 7. Elementos barra solicitados a torsión uniforme

ARTURO NORBERTO FONTÁN PÉREZ Fotografía. Broklyn (Nova York, 1883).

Van principal: 486 m.

Contido. Tema 7. Elementos barra solicitados a torsión uniforme

2

1. Introdución. 2. Tensións e deformacións en torsión uniforme. 3. Torsión en seccións circulares. 4. Torsión en seccións macizas. 5. Torsión en seccións rectangulares estreitas. 6. Torsión en seccións abertas de parede delgada. 7. Torsión en seccións pechadas de parede delgada e recinto único. 8. Combinación de seccións pechadas e abertas. 9. Seccións transversais sen alabeo. 10. Enerxía de deformación debida á torsión uniforme.

Resistencia de materiais. Tema 7 ETS Enxeñeiros de Camiños, Canais e Portos

Fotografía. Williamsburg (Nova York, 1903).


7.1. Introdución

3

Torsión pura: só existe momento torsor (momento que só ten compoñente na dirección lonxitudinal da peza). Torsión composta: existe momento torsor + momento flector + axil. En xeral, as seccións sometidas a torsión experimentan movementos u, v, w. Os movementos v e w significan

cambios nas coordenadas dos puntos dentro do plano da sección, mentres que a translación u, que se denomina alabeo, é o movemento na dirección perpendicular á sección.

En xeral as seccións sometidas a torsión sufrirán alabeo, logo as seccións transversais planas non

permanecerán planas trala actuación do momento torsor. En función do alabeo distínguese: - Torsión uniforme: o alabeo nos puntos dunha fibra lonxitudinal é constante (o alabeo relativo é

desprezable). As seccións planas non permanecen planas tras a deformación, pero as fibras lonxitudinais non sofren variación de lonxitude: . Só hai tensións tanxenciais (τ).

- Torsión non uniforme: o alabeo relativo non é desprezable. Hai tensións tanxenciais e normais (τ e σ). Para que exista torsión uniforme (barra recta e sección transversal constante) debe cumprirse:

- Lei de momentos torsores constante. - Alabeo libre en toda a barra.


∆ ε σ= ⇒ = ⇒ =x xL 0 0 0


4



Fotografía. Ed Kock Queensboro (Nova York, 1909). Van principal: 360 m.

7.2. Tensións e deformacións en torsión uniforme

5

En torsión uniforme cada punto dunha sección só soporta tensións tanxenciais τxy, τxz: Das ecuacións de equilibrio (sen forzas de volume):

Isto significa que τxy e τxz non dependen de x (todas as seccións transversais teñen as mesmas tensións).

Das leis de Hooke xeneralizadas obtense que: e como: sabemos que: e como , calquera elemento diferencial da sección non sofre distorsión (xira entorno a x pero non cambia de forma). Os puntos da sección transversal só experimentan un xiro φx entorno ao punto XT denominado centro de torsión.


τ τσ σ σ τ

≠ ≠= = = =

xy xz

x y z yz

0 00

z

y

τXZ

τXY

τ τσ τ τ

τ σ ττ τ

ττ σ

∂ ∂∂ ∂ ∂+ + + = ⇒ + =

∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ + + + = ∂∂ ∂ ∂ ∂⇒ = =∂ ∂ ∂∂ ∂ + + + = ∂ ∂ ∂

yx xyx zx xzx

xy y zyy

xy xz

yzxz zz

f 0 0x y z y z

f 0x y z

0x x

f 0x y z

ε ε ε γ= = = =x y z yz 0

ε ε ε∂ ∂ ∂= = =∂ ∂ ∂x y zu v wx y z

( ) ( ) ( ), , ,= = =u u y z v v x z w w x yγ =yz 0

z

y

φx

G

β

β

-v

XT

w

R

[1]

7.2. Tensións e deformacións en torsión uniforme

6

Ademais: θ é o xiro unitario (xiro por unidade de lonxitude da barra). O xiro φx é distinto en cada sección, pero varía linealmente. Se consideramos que: Polo tanto: e as tensións tanxenciais: e aplicando [1]:


( )τ γ ϕτ γ

ϕ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = ⋅ ⇒ = ⋅ = ⋅ + = ⇒ − − ⋅ = ⇒ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

⇒ = ⇒∂

2xy xy x

xy xy T 2

2x

2

u v uG G G 0 z z 0x x x y x y x x

0x

ϕ θ∂= =

∂x cte

x

( )ϕ ϕ θ= = ⇒ = ⋅x xx 0 0 x( ) ( ) ( ), θ θ= = − ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ −T Tu u y z v x z z w x y y

( )

( )

τ γ θ

τ γ θ

∂ ∂ ∂= ⋅ = ⋅ + = ⋅ − ⋅ − ∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂ = ⋅ = ⋅ + = ⋅ + ⋅ − ∂ ∂ ∂

xy xy T

xz xz T

u v uG G G z zy x yu w uG G G y yz x z

τ τ∂ ∂ ∂ ∂+ = ⇒ + =

∂ ∂ ∂ ∂

2 2xy xz

2 2u u0 0

y z y z

( )( )

T

x x T

x TT

x

z z vsenR R v z z

w y yy y wcosR R

βϕ ϕ

ϕβϕ

− − = = ⋅ = − ⋅ −⇒ = ⋅ −− = =⋅

z

y

φx

G

β

β

-v

XT

w

R

[2]

Ecuación asociada ao alabeo (ecuación de Laplace).


7



Fotografía. Manhattan (Nova York, 1909). Van principal: 451 m.

7.3. Torsión en seccións circulares

8

Experimentalmente pódese demostrar que as barras rectas de sección circular non experimentan alabeo, e por ser seccións con simetría, o centro de gravidade coincide co centro de torsión (CDG≡CDT). Así:

Aplicando equilibrio de momentos en x: IT ≡ inercia a torsión. Coñecido Para coroas circulares:


τ θτ τ τ θ

τ θ

= − ⋅ ⋅ ⇒ = + = ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅

xy 2 2xy xz

xz

G zG r

G y

z

y

t XZ

t XYr

t

z

yR

ππ τ π θ θ

θπ

⋅= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒

⇒ = ⇒ ⋅⋅

∫ ∫4R R 2

x 0 0

x4

RM 2 r dr r 2 r dr G r G2

MRG

2

θ =⋅

x

T

MG I

τ⇒ = ⋅x

T

M rI

( )θ ππ τ ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ − ⇒∫

2

1

R 4 4x 2 1R

GM 2 r dr r R R2

, , , , θ ϕ τ τ→ x máxv w

θ =⋅

x

T

MG I

τ⇒ = ⋅x

T

M rI ( )π

= ⋅ −4 4T 2 1I R R

2

π ⋅=

4

TRI

2

z

yR1

R2

⇒

As tensións tanxenciais que actúan sobre a sección transversal están acompañadas por tensións tanxenciais da mesma magnitude que actúan sobre planos lonxitudinais (debido ao principio de reciprocidade das tensións tanxenciais).


9



Fotografía. George Washington (Nova York, 1931/1962). Van principal: 1100 m.

7.4. Torsión en seccións macizas

10

Para poder obter as tensións por torsión uniforme en seccións macizas [2] é necesario coñecer: u e θ. Para resolver este problema, Saint-Venant propuxo que as tensións se expresasen mediante unha función

Φ = Φ(y, z), coñecida como función de tensións, da seguinte forma (cúmprese [1]): Substituíndo en [2]: Nun punto do contorno pódese demostrar que: e como: Aplicando equilibrio de momentos:


Φ Φτ θ τ θ∂ ∂= ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅

∂ ∂xy xzG Gz y

( ) ( )

( ) ( )

ΦΦ θτ θ θ

Φ Φτ θ θ θ

Φ Φ

∂ ∂ ∂∂ ∂ = ⋅ +⋅ = + ⋅ ⋅ − = ⋅ ⋅ + − ∂ ∂ ∂∂ ∂ → ⇒ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⋅ = − ⋅ ⋅ − = − ⋅ ⋅ + − = − ⋅ + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂+ = − − ⇒

∂ ∂

2

xy T T 2

2

xz T T 2

2 2

2 2

uu 1G G z z G z zz y zy z

u uG G y y G y y 1z y y z y

1 1z y

Ecuación de compatibilidade na torsión uniforme ou torsión de Saint-Venant (ecuación de Poisson).

z

y

τXZ

τXY

nsΦ Φτ θ τ θ∂ ∂

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅∂ ∂xs xnG Gn s

Φτ Φ∂= ⇒ = ⇒ =

∂xn 0 0 ctes

Arbitrariamente elíxese:

( ) ...Φ Φτ τ θ θ Φ

θΦ

∂ ∂= − ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = ⇒ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ ∂ ∂

⇒ = ⇒⋅ ⋅ ⋅ ⋅

∫∫ ∫∫ ∫∫

∫∫

x xy xz x

x

M z y dy dz G z y dy dz M G 2 dy dzz y

MG 2 dy dz

Φ= ⋅ ⋅ ⋅∫∫TI 2 dy dzϕθ = =⋅

x x

T

d Mdx G I

Φ Φ∂ ∂+ = −

∂ ∂

2 2

2 2 2z y

Φ = 0

Integrando por partes unha integral dobre

Ecuación diferencial asociada a la torsión uniforme.


11

1. Introdución. 2. Tensións e deformacións en torsión uniforme. Ecuacións de equilibrio no contorno. 3. Torsión en seccións circulares. 4. Torsión en seccións macizas. 5. Torsión en seccións rectangulares estreitas. 6. Torsión en seccións abertas de parede delgada. 7. Torsión en seccións pechadas de parede delgada e recinto único. 8. Combinación de seccións pechadas e abertas. 9. Seccións transversais sen alabeo. 10. Enerxía de deformación debida á torsión uniforme.


Fotografía. Bayonne (Nova York, 1931). Van principal: 511 m.

7.5. Torsión en seccións rectangulares estreitas

12

Aplicando o procedemento de Saint-Venant, buscamos a función de tensións Φ para seccións rectangulares estreitas:

Cando b >>> t: Impoñendo que no contorno Coñecida a función de tensións para as seccións rectangulares estreitas: Nos extremos da sección o fluxo de tensións debe pecharse, polo que aparecen unhas tensións tanxenciais

de dirección variable: O anterior é válido se b/t > 10.


( ) ΦΦ Φ Φ= ⇒ = − ⇒ = − + ⋅ +2

21 22

dz 2 z c z cdz

z

y

Mx

b

t Φ Φ= ⇒ = − +2

2 t0 z4

Φτ θ θ

θ

Φτ θ

∂ = ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅ ∂ ⇒=

⋅ ∂

= − ⋅ ⋅ =∂

xy

x

T

xz

G 2 G zz

MG I

G 0y

τ ⋅ ⋅= − x

xyT

2 M zI

Φ= ⋅ ⋅ ⋅ ⇒∫∫TI 2 dy dz τ ⋅=

⋅x

máx 23 Mb t

⋅=

3

Tb tI

3

zy


13



Fotografía. Robert F. Kennedy (Nova York, 1936). Van principal: 421 m.

7.6. Torsión en seccións abertas de parede delgada

14

Os resultados obtidos para seccións rectangulares estreitas son válidos para seccións abertas de parede delgada con forma arbitraria, tomando:

Exemplos:


= =

⋅= =∑ ∑i

3n ni i

T Ti 1 i 1

b tI I3

τ ⋅= x máx

máxT

M tI

b

b2

1

t

t

1

1

t2

t1

t3

t

bt2

b2

b3

b1


15



Fotografía. Bronx-Whitestone (Nova York, 1939).


7.7. Torsión en seccións pechadas de parede delgada e recinto único

16

Nunha coroa circular se o espesor é pequeno, as tensións tanxenciais son aproximadamente constantes ao longo do espesor:

Para seccións pechadas de parede delgada asúmese:

- As tensións tanxenciais son paralelas ás paredes da sección transversal. - As tensións tanxenciais son constantes ao longo do espesor.

Aplicando equilibrio de forzas en dirección x a un elemento diferencial:


z

yR1

R2

z

y

τ τ τ τ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⋅ = =c c b b c c b bt dx t dx 0 t t cte f

O fluxo de tensións f é constante ao longo da sección.

τ τ= =máx mínmín máx

f ft t

τ= ⋅ =f t cte

7.7. Torsión en seccións pechadas de parede delgada e recinto único

17

Por equilibrio de momentos en x: A inercia a torsión IT das seccións pechadas é moito maior que a dunha sección aberta de forma e tamaño

similar, polo que na práctica estrutural deben empregarse seccións pechadas cando exista torsión.


x 0M f r ds 2 f Ω= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒∫ xM2 t

τΩ

=⋅ ⋅

Ω: área pechada pola liña media da sección.

01 r ds2

Ω = ⋅ ⋅∫z

y

ds

s

r0t

τ

y

φx

GXT

η

rT

z T x

xsxs T T

T

x x2

T

ru u f du fr rs x s G G t ds G t

f ds f dsdu r ds 0 2G t G t

f dsM MG t42 G IG ds

t

η ϕη τγ θ θ

θ θ Ω

θ θΩΩ

= ⋅

∂ ∂ ∂= + = + ⋅ = = ⇒ = − ⋅ ⇒∂ ∂ ∂ ⋅ ⋅

⋅⇒ = − ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒

⋅

⋅⇒ = ⇒ = =

⋅⋅ ⋅⋅

∫ ∫ ∫ ∫

∫

∫

2

T4I ds

t

Ω⋅=

∫

u = u(s), non depende de x


18



Fotografía. Tappan Zee (Nova York, 1955). Van principal: 369 m.

7.8. Combinación de seccións pechadas e abertas

19

Este tipo de seccións tamén se coñecen como seccións pechadas con ás. Exemplo: A inercia a torsión pode calcularse como: sendo: inercia a torsión da parte da sección que forma un contorno pechado. inercia a torsión de cada á i. Como o xiro unitario θ é o mesmo para toda a sección: polo que o momento torsor que soporta cada parte da sección é:

- no contorno pechado:

- en cada á:

Como: unha simplificación habitual é prescindir das ás e supoñer que todo o esforzo é resistido pola sección pechada.


0 i

2 3n ni i

T T Ti 1 i 1

4 b tI I I ds 3t

Ω= =

⋅ ⋅= + = +∑ ∑

∫

0TI ≡

iTI ≡

...0 i

0 i

x xx

T T T

M MMG I G I G I

θ = = = =⋅ ⋅ ⋅

0 0

0

T xx x

T

I MM M

I 2 tτ

Ω= ⋅ → =

⋅ ⋅

i i

i

i

T xx x

T T

I 2 M zM M

I Iτ

⋅ ⋅= ⋅ → = −

0 iT TI I>>


20



Fotografía. Throgs Neck (Nova York, 1961). Van principal: 549 m.

7.9. Seccións transversais sen alabeo

21

Ademais das seccións circulares (ou coroa circular), hai algunhas seccións transversais que independentemente das cargas e as condicións de contorno non teñen alabeo.

Nas seccións pechadas de parede delgada xa vimos: En seccións abertas, na liña media da sección a tensión tanxencial é nula: Seccións transversais sen alabeo:

- seccións circulares ou en coroa circular, - seccións pechadas de parede delgada de espesor constante e circunscribibles a un círculo, - seccións abertas de parede delgada cando os seus elementos conflúan nun punto.


T

T

T

du f r dsds G t du f r 1 tds ds G t r 2f

t2 G

θ

Ωθ

Ω

= − ⋅ ⋅ ⋅⇒ = ⋅ − ⋅ ⋅⋅ =

⋅ ⋅

∫∫

TT

ds 1 ds 1 dut t 0 u cte u 012 t r ds2 r ds2

Ω

⋅= = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅

∫ ∫

∫

Ningún movemento pode ser constante para diferentes valores de Mx

xs T Tdu du0 0 r Se r 0 0 u cte u 0ds ds

τ θ= ⇒ = − ⋅ = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

En seccións pechadas de espesor constante e circunscribibles a un círculo:

seccións abertas de parede delgada cando os seus elementos conflúan nun punto.

Tr 0= ⇒

rT

rT

rT

rT

CDT

CDT


22

1. Introdución. 2. Tensións e deformacións en torsión uniforme. Ecuacións de equilibrio no contorno. 3. Torsión en seccións circulares. 4. Torsión en seccións macizas. 5. Torsión en seccións rectangulares estreitas. 6. Torsión en seccións abertas de parede delgada. 7. Torsión en seccións pechadas de parede delgada e recinto único. 8. Combinación de seccións pechadas e abertas. 9. Seccións transversais sen alabeo. 10. Enerxía de deformación debida a torsión uniforme.


Fotografía. Verrazano Narrows (Nova York, 1964/1969). Van principal: 1298 m.

7.10. Enerxía de deformación debida a torsión uniforme

23

A enerxía de deformación acumulada nunha barra producida por torsión uniforme é: Particularizando para distintas seccións transversais:

- Seccións circulares:

- Seccións abertas de parede delgada:

- Seccións pechadas de parede delgada: Resolvendo as integrais das expresións anteriores, chégase en todos os casos a:


( )2 L 2

0

1 1 1U dV dV dA dx2 2 G 2 G

ττ γ τ= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅⋅∫∫∫ ∫∫∫ ∫ ∫∫

2L

x0

T

1 M rU dA dx2 G I

⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

∫ ∫∫

2L

x0

T

1 2 M zU dA dx2 G I

− ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

∫ ∫∫

2L

x0

1 MU dA dx2 G 2 tΩ

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ∫ ∫∫

2Lx

0T

1 MU dx2 G I

= ⋅ ⋅⋅∫

Documents

Resistencia de Materiais. Tema 7. Elementos barra solicitados a …caminos.udc.es/.../224/contenido_publico/recursos/Tema07.pdf · 2015. 1. 27. · Contido. Tema 7. Elementos barra