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DETERMINAR LAS REACCIONES EN LOS APOYOS Y LO QUE SE PRECISA EN CADA VIGA POR METODO DE CASTIGLIANO Y TRABAJO VIRTUAL: SOLUCION: 1. METODO DE GASTIGLIANO

Resistencia de Materiales II

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INGENIERIAS

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Page 1: Resistencia de Materiales II

DETERMINAR LAS REACCIONES EN LOS APOYOS Y LO QUE SE

PRECISA EN CADA VIGA POR METODO DE CASTIGLIANO Y TRABAJO

VIRTUAL:

SOLUCION:

1. METODO DE GASTIGLIANO

Page 2: Resistencia de Materiales II

𝑦 = 𝑀𝑠𝑒𝑛 (πœ‹π‘₯

𝑙)

𝑉 = ∫ 𝑦 = ∫ 𝑀𝑠𝑒𝑛 (πœ‹π‘₯

𝑙)

π‘₯

0

𝑑π‘₯ =βˆ’π‘€π‘™

πœ‹[cos (

πœ‹π‘₯

𝑙) βˆ’ 1]

𝑀 = ∫ 𝑉𝑑π‘₯ = βˆ«βˆ’π‘€πΏ

πœ‹[cos (

πœ‹π‘₯

𝐿) βˆ’ 1]

π‘₯

0

𝑑π‘₯ =βˆ’π‘€π‘™2

πœ‹2[sen (

πœ‹π‘₯

𝐿)] +

𝑀𝐿π‘₯

πœ‹

a) ECUACIΓ“N

π‘€π‘Ž = 𝑅𝐴π‘₯ βˆ’πœ”πΏ

πœ‹π‘₯ +

πœ”πΏ2

πœ‹2𝑠𝑖𝑛 (

πœ‹π‘₯

𝐿) … … (1)

b) DERIVADA PARCIAL

πœ•π‘€π‘Ž

πœ•π‘…π΄= π‘₯

c) SEGUNDO TEOREMA DE CASTIGLIANO:

𝛿 = ∫ π‘€π‘Ž (πœ•π‘€π‘Ž

πœ•π‘…π΄) = 0

𝐿

0

Page 3: Resistencia de Materiales II

𝛿 = ∫ (𝑅𝐴π‘₯ βˆ’πœ”πΏ

πœ‹π‘₯ +

πœ”πΏ2

πœ‹2𝑠𝑖𝑛 (

πœ‹π‘₯

𝐿)) (π‘₯)𝑑π‘₯ = 0

𝐿

0

𝛿 = ∫ (𝑅𝐴π‘₯2 βˆ’πœ”πΏ

πœ‹π‘₯2 +

πœ”πΏ2π‘₯

πœ‹2𝑠𝑖𝑛 (

πœ‹π‘₯

𝐿)) 𝑑π‘₯ = 0

𝐿

0

[𝑅𝐴

π‘₯3

3βˆ’

πœ”πΏ

πœ‹

π‘₯3

3βˆ’

πœ”πΏ3π‘₯

πœ‹3π‘π‘œπ‘  (

πœ‹π‘₯

𝐿) +

πœ”πΏ4

πœ‹4𝑠𝑖𝑛 (

πœ‹π‘₯

𝐿)]

𝐿

0= 0

𝑅𝐴

𝐿3

3βˆ’

πœ”πΏ4

3πœ‹+

πœ”πΏ4

πœ‹3= 0

𝑅𝐴 =πœ”πΏ

πœ‹βˆ’

3πœ”πΏ

πœ‹3

POR ESTATICA:

βˆ‘ 𝐹𝑣 = 0

𝑅𝐴 + 𝑅𝐡 =2πœ”πΏ

πœ‹

𝑅𝐡 =2πœ”πΏ

πœ‹+

3πœ”πΏ

πœ‹3βˆ’

πœ”πΏ

πœ‹

𝑅𝐡 =πœ”πΏ

πœ‹+

3πœ”πΏ

πœ‹3

Page 4: Resistencia de Materiales II

βˆ‘ 𝑀𝐴 = 0

𝑅𝐡𝐿 βˆ’ 𝑀𝐡 βˆ’2πœ”πΏ

πœ‹

𝐿

2= 0

𝑀𝐡 = (πœ”πΏ

πœ‹+

3πœ”πΏ

πœ‹3) 𝐿 βˆ’

πœ”πΏ2

πœ‹

𝑀𝐡 =πœ”πΏ2

πœ‹+

3πœ”πΏ2

πœ‹3βˆ’

πœ”πΏ2

πœ‹

𝑀𝐡 =3πœ”πΏ2

πœ‹3

DETERMINAMOS EL GIRO EN EL APOYO SIMPLE:

π‘€π‘Ž = 𝑅𝐴π‘₯ βˆ’ π‘šπ‘Ž βˆ’πœ”πΏ

πœ‹π‘₯ +

πœ”πΏ2

πœ‹2𝑠𝑖𝑛 (

πœ‹π‘₯

𝐿)

DERIVADA PARCIAL

πœ•π‘€π‘Ž

πœ•π‘šπ‘Ž= βˆ’1

Page 5: Resistencia de Materiales II

PRIMER TEOREMA DE CASTIGLIANO:

πœƒ =1

𝐸𝐼∫ π‘€π‘Ž (

πœ•π‘€π‘Ž

πœ•π‘šπ‘Ž)

𝐿

0

πœƒ =1

𝐸𝐼∫ (𝑅𝐴π‘₯ βˆ’ π‘šπ‘Ž βˆ’

πœ”πΏ

πœ‹π‘₯ +

πœ”πΏ2

πœ‹2𝑠𝑖𝑛 (

πœ‹π‘₯

𝐿)) (βˆ’1)

𝐿

0

𝑑π‘₯

πœƒ =1

𝐸𝐼∫ (βˆ’π‘…π΄π‘₯ +

πœ”πΏ

πœ‹π‘₯ βˆ’

πœ”πΏ2

πœ‹2𝑠𝑖𝑛 (

πœ‹π‘₯

𝐿))

𝐿

0

𝑑π‘₯

REEMPLZANDO 𝑅𝐴 EN ESTA ÚLTIMA ECUACION

πœƒ =1

𝐸𝐼∫ (βˆ’ (

πœ”πΏ

πœ‹βˆ’

3πœ”πΏ

πœ‹3) π‘₯ +

πœ”πΏ

πœ‹π‘₯ βˆ’

πœ”πΏ2

πœ‹2𝑠𝑖𝑛 (

πœ‹π‘₯

𝐿))

𝐿

0

𝑑π‘₯

INTEGRANDO Y EVALUANDO TENEMOS:

πœƒ = βˆ’πœ”πΏ3

2πœ‹3

EL SIFNO NEGATIVO INDICA QUE LA FUERZA APLICADA (MOMENTO

π‘šπ‘Ž ) DEBE ESTAR EN SENTIDO HORARIO

πœƒ =πœ”πΏ3

2πœ‹3

2. POR TRABAJO VIRTUAL:

DETERMINAMOS LA DEFLEXION EN EL APOYO SIMPLE:

Page 6: Resistencia de Materiales II

DETERMINAMOS LA ECUACION DEL MOMENTO REAL:

π‘€π‘Ž = 𝑅𝐴π‘₯ βˆ’πœ”πΏ

πœ‹π‘₯ +

πœ”πΏ2

πœ‹2𝑠𝑖𝑛 (

πœ‹π‘₯

𝐿)

EL MOMENTO VIRTUAL SERA:

π‘šπ‘£π‘Ž = π‘šπ‘Ž = 1

LA ECUACION DE TRABAJO VIRTUAL PARA LA DEFLEXION

EN EL APOYO SIMPLE:

πœƒ =1

𝐸𝐼∫ π‘€π‘Ž βˆ— π‘šπ‘£π‘Ž 𝑑π‘₯

𝐿

0

πœƒ =1

𝐸𝐼∫ (𝑅𝐴π‘₯ βˆ’

πœ”πΏ

πœ‹π‘₯ +

πœ”πΏ2

πœ‹2𝑠𝑖𝑛 (

πœ‹π‘₯

𝐿)) (1)𝑑π‘₯

𝐿

0

REEMPLZANDO 𝑅𝐴 EN ESTA ÚLTIMA ECUACION

Page 7: Resistencia de Materiales II

πœƒ =1

𝐸𝐼∫ ((

πœ”πΏ

πœ‹βˆ’

3πœ”πΏ

πœ‹3) π‘₯ βˆ’

πœ”πΏ

πœ‹π‘₯ +

πœ”πΏ2

πœ‹2𝑠𝑖𝑛 (

πœ‹π‘₯

𝐿))

𝐿

0

𝑑π‘₯

INTEGRANDO Y EVALUANDO TENEMOS:

πœƒ =πœ”πΏ3

2πœ‹3

Page 8: Resistencia de Materiales II

3. DETERMINAR LAS REACCIONES EN LOS APOYOS Y LO QUE SE

PRECISA EN CADA VIGA POR METODO DE CASTIGLIANO Y

TRABAJO VIRTUAL:

SOLUCION:

4. METODO DE GASTIGLIANO

a) ISOSTATIZANDO

Page 9: Resistencia de Materiales II

𝑦 = 𝑀𝑠𝑒𝑛 (πœ‹π‘₯

𝑙)

𝑉 = ∫ 𝑦 = ∫ 𝑀𝑠𝑒𝑛 (πœ‹π‘₯

𝑙)

π‘₯

0

𝑑π‘₯ =βˆ’π‘€π‘™

πœ‹[cos (

πœ‹π‘₯

𝑙) βˆ’ 1]

𝑀 = ∫ 𝑉𝑑π‘₯ = βˆ«βˆ’π‘€πΏ

πœ‹[cos (

πœ‹π‘₯

𝐿) βˆ’ 1]

π‘₯

0

𝑑π‘₯ =βˆ’π‘€π‘™2

πœ‹2[sen (

πœ‹π‘₯

𝐿)] +

𝑀𝐿π‘₯

πœ‹

d) ECUACIΓ“N

π‘€π‘Ž = 𝑅𝐴π‘₯ βˆ’ 𝑀𝐴 βˆ’πœ”πΏ

πœ‹π‘₯ +

πœ”πΏ2

πœ‹2𝑠𝑖𝑛 (

πœ‹π‘₯

𝐿) … … (1)

e) DERIVADA PARCIAL

Page 10: Resistencia de Materiales II

πœ•π‘€π‘Ž

πœ•π‘€π΄= βˆ’1 𝑦

πœ•π‘€π‘Ž

πœ•π‘…π΄= π‘₯ … … (2)

f) SEGUNDO TEOREMA DE CASTIGLIANO:

πœƒ = ∫ π‘€π‘Ž (πœ•π‘€π‘Ž

πœ•π‘€π΄) = 0

𝐿

0

- REEPLAZANDO(1) Y (2):

πœƒπ΄ = ∫ (𝑅𝐴π‘₯ βˆ’ 𝑀𝐴 βˆ’πœ”πΏ

πœ‹π‘₯ +

πœ”πΏ2

πœ‹2𝑠𝑖𝑛 (

πœ‹π‘₯

𝐿)) (βˆ’1) = 0

𝐿

0

[βˆ’π‘…π΄

π‘₯2

2+ 𝑀𝐴π‘₯ +

πœ”πΏ

πœ‹

π‘₯2

2+

πœ”πΏ3

πœ‹3π‘π‘œπ‘  (

πœ‹π‘₯

𝐿)]

𝐿

0= 0

[βˆ’π‘…π΄

𝐿2

2+ 𝑀𝐴𝐿 +

πœ”πΏ

πœ‹

𝐿2

2+

πœ”πΏ3

πœ‹3π‘π‘œπ‘  (

πœ‹πΏ

𝐿) βˆ’

πœ”πΏ3

πœ‹3] = 0

[βˆ’π‘…π΄πΏ

2+ 𝑀𝐴 +

πœ”πΏ2

2πœ‹βˆ’

2πœ”πΏ2

πœ‹3] = 0 … … (3)

𝛿 = ∫ π‘€π‘Ž (πœ•π‘€π‘Ž

πœ•π‘…π΄) = 0

𝐿

0

𝛿𝐴 = ∫ (𝑅𝐴π‘₯ βˆ’ 𝑀𝐴 βˆ’πœ”πΏ

πœ‹π‘₯ +

πœ”πΏ2

πœ‹2𝑠𝑖𝑛 (

πœ‹π‘₯

𝐿)) (π‘₯) = 0

𝐿

0

𝛿𝐴 = ∫ (𝑅𝐴π‘₯2 βˆ’ 𝑀𝐴π‘₯ βˆ’πœ”πΏ

πœ‹π‘₯2 +

πœ”πΏ2π‘₯

πœ‹2𝑠𝑖𝑛 (

πœ‹π‘₯

𝐿)) = 0

𝐿

0

[𝑅𝐴

π‘₯3

3βˆ’ 𝑀𝐴

π‘₯2

2βˆ’

πœ”πΏ

πœ‹

π‘₯3

3βˆ’

πœ”πΏ3π‘₯

πœ‹3π‘π‘œπ‘  (

πœ‹π‘₯

𝐿) +

πœ”πΏ4

πœ‹4𝑠𝑖𝑛 (

πœ‹π‘₯

𝐿)]

𝐿

0= 0

Page 11: Resistencia de Materiales II

[𝑅𝐴

𝐿3

3βˆ’ 𝑀𝐴

𝐿2

2βˆ’

πœ”πΏ

πœ‹

𝐿3

3βˆ’ (βˆ’

πœ”πΏ3𝐿

πœ‹3)] = 0

𝑅𝐴

𝐿

3βˆ’

𝑀𝐴

2βˆ’

πœ”πΏ2

3πœ‹+

πœ”πΏ2

πœ‹3= 0 … … (4)

- Multiplicando la ecuaciΓ³n (4) por 2, sumando con la

ecuaciΓ³n (3), tenemos:

2𝑅𝐴

𝐿

3βˆ’

2πœ”πΏ2

3πœ‹+

2πœ”πΏ2

πœ‹3βˆ’

𝑅𝐴𝐿

2+

πœ”πΏ2

2πœ‹βˆ’

2πœ”πΏ2

πœ‹3 = 0

𝑅𝐴𝐿

6βˆ’

πœ”πΏ2

6πœ‹= 0

𝑅𝐴 =πœ”πΏ

πœ‹

- Reemplazando 𝑅𝐴 en la ecuaciΓ³n (3), tenemos:

[βˆ’πœ”πΏ

πœ‹

𝐿

2+ 𝑀𝐴 +

πœ”πΏ2

2πœ‹βˆ’

2πœ”πΏ2

πœ‹3] = 0

𝑀𝐴 =2πœ”πΏ2

πœ‹3

POR SIMETRIA:

𝑅𝐴=𝑅𝐡 =πœ”πΏ

πœ‹

𝑀𝐴 = 𝑀𝐡 =2πœ”πΏ2

πœ‹3

Page 12: Resistencia de Materiales II

LA DEFLEXION EN EL CENTRO DE LA LUZ SERA:

π‘€π‘Ž = 𝑅𝐴π‘₯ βˆ’ 𝑀𝐴 βˆ’πœ”πΏ

πœ‹π‘₯ +

πœ”πΏ2

πœ‹2𝑠𝑖𝑛 (

πœ‹π‘₯

𝐿) βˆ’ 𝑃(π‘₯ βˆ’

𝐿

2)

πœ•π‘€π‘Ž

πœ•π‘ƒ= βˆ’ (π‘₯ βˆ’

𝐿

2)

POR EL PRIMER TEOREMA DE CASTIGLIANO:

𝛿 =1

𝐸𝐼∫ π‘€π‘Ž (

πœ•π‘€π‘Ž

πœ•π‘ƒ)

𝐿

0

𝛿 =1

𝐸𝐼∫ (𝑅𝐴π‘₯ βˆ’ 𝑀𝐴 βˆ’

πœ”πΏ

πœ‹π‘₯ +

πœ”πΏ2

πœ‹2𝑠𝑖𝑛 (

πœ‹π‘₯

𝐿) βˆ’ 𝑃(π‘₯ βˆ’

𝐿

2)) (

𝐿

2βˆ’ π‘₯) 𝑑π‘₯

𝐿

𝐿2

𝛿 =1

𝐸𝐼∫ (𝑅𝐴 (

𝐿π‘₯

2βˆ’ π‘₯2) βˆ’ 𝑀𝐴 (

𝐿

2βˆ’ π‘₯) βˆ’

πœ”πΏ

πœ‹(

𝐿π‘₯

2βˆ’ π‘₯2)

𝐿

𝐿2

+πœ”πΏ2

πœ‹2𝑠𝑖𝑛 (

πœ‹π‘₯

𝐿) (

𝐿

2βˆ’ π‘₯)) 𝑑π‘₯

INTEGRANDO Y EVALUANDO:

𝛿 = βˆ’πœ”πœ‹πΏ4 βˆ’ 4πœ”πΏ4

4πœ‹4

Page 13: Resistencia de Materiales II

𝛿 =πœ”πΏ4

πœ‹4βˆ’

πœ”πΏ4

4πœ‹3

𝛿 =πœ”πΏ4

πœ‹3(

1

πœ‹βˆ’

1

4)

POR TRABAJO VIRTUAL

APLICAMOS UNA FUERZA UNITARIA EN EL CENTRO DE

LA VIGA PARA DETERMINAR LA DEFLEXION EN EL

CENTRO DE LA LUZ:

DETERMIANOS LA ECUACION DEL MOENTO REAL:

π‘€π‘Ž = 𝑅𝐴π‘₯ βˆ’ 𝑀𝐴 βˆ’πœ”πΏ

πœ‹π‘₯ +

πœ”πΏ2

πœ‹2𝑠𝑖𝑛 (

πœ‹π‘₯

𝐿)

LA ECUACION DE MOMENTO VIRTUAL:

π‘šπ‘Ž = βˆ’1 (π‘₯ βˆ’πΏ

2)

Page 14: Resistencia de Materiales II

PLANTEAMOS LA ECUACION DE TRABAJO VIRTUAL

PARA DETERMINAR LA DEFLEXION EN EL CENTRO DE

LA LUZ:

𝛿 =1

𝐸𝐼∫ π‘€π‘Ž βˆ— π‘šπ‘£π‘Ž 𝑑π‘₯

𝐿

0

𝛿 =1

𝐸𝐼∫ (𝑅𝐴π‘₯ βˆ’ 𝑀𝐴 βˆ’

πœ”πΏ

πœ‹π‘₯ +

πœ”πΏ2

πœ‹2𝑠𝑖𝑛 (

πœ‹π‘₯

𝐿)) (βˆ’1 (π‘₯ βˆ’

𝐿

2)) 𝑑π‘₯

𝐿

0

𝛿 =1

𝐸𝐼∫ (𝑅𝐴 (

𝐿π‘₯

2βˆ’ π‘₯2) βˆ’ 𝑀𝐴 (

𝐿

2βˆ’ π‘₯) βˆ’

πœ”πΏ

πœ‹(

𝐿π‘₯

2βˆ’ π‘₯2)

𝐿

𝐿

2

+πœ”πΏ2

πœ‹2𝑠𝑖𝑛 (

πœ‹π‘₯

𝐿) (

𝐿

2βˆ’ π‘₯)) 𝑑π‘₯

INTEGRANDO Y EVALUANDO:

𝛿 = βˆ’πœ”πœ‹πΏ4 βˆ’ 4πœ”πΏ4

4πœ‹4

𝛿 =πœ”πΏ4

πœ‹4βˆ’

πœ”πΏ4

4πœ‹3

𝛿 =πœ”πΏ4

πœ‹3(

1

πœ‹βˆ’

1

4)

SEGUNDA PARTE:

DIBUJAR LOS DIAGRAMAS DE N, V Y M

DETERMINAR EL DESPLAZAMIENTO EN EL APOYO LIBRE 𝑒2, 𝑣2 y

πœƒ2

Page 15: Resistencia de Materiales II

SOLUCION:

ES HIPERESTATICA, SELECCIONAMOS UNA FUERZA REDUDANTE, EN

ESTE CASO H1

PRIMER PASO: LEVANTAMOS EL GRADO DE HIPERTATICIDAD:

𝛿 =πœ•π‘ˆπ‘€

πœ•π‘…= 0 … ( 𝑁𝑂 𝑃𝑅𝑂𝑉𝑂𝐢𝐴 π‘πΌπ‘πΊπ‘ˆπ‘ 𝐷𝐸𝑆𝑃𝐿𝐴𝑍𝐴𝑀𝐼𝐸𝑁𝑇𝑂)

R= FUERZA REDUNDANTE

Page 16: Resistencia de Materiales II

ECUACION DE FUERZA INTERNAS:

𝛿 =πœ•π‘ˆπ‘€

πœ•π‘…=

1

𝐸𝐼∫ 𝑀 (

πœ•π‘€

πœ•π»1) 𝑑π‘₯

𝐿

0

= 0

1

𝐸𝐼∫ 𝑀 (

πœ•π‘€

πœ•π»1) 𝑑π‘₯

𝐿

0

= 0

a) FUERZAS INTERNAS:

SECCION (a-a) 𝟎 ≀ 𝜽 ≀ πŸ—πŸŽ

Page 17: Resistencia de Materiales II

𝑉𝐴 = πœ”π‘Ÿ 𝑠𝑖𝑛 πœƒ βˆ’ πœ”π‘Ÿ(1 βˆ’ π‘π‘œπ‘  πœƒ)π‘ π‘–π‘›πœƒ βˆ’ πœ”π‘Ÿ 𝑠𝑖𝑛 πœƒ π‘π‘œπ‘  πœƒ

βˆ’ 𝐻1 π‘π‘œπ‘  πœƒ

𝑉𝐴 = πœ”π‘Ÿ π‘π‘œπ‘  πœƒ

𝑁𝐴 = πœ”π‘Ÿ(1 βˆ’ π‘π‘œπ‘  πœƒ)π‘π‘œπ‘ πœƒ βˆ’ 𝐻1 𝑠𝑖𝑛 πœƒ βˆ’ πœ”π‘Ÿ π‘π‘œπ‘  πœƒ βˆ’ πœ”π‘Ÿ 𝑠𝑖𝑛2 πœƒ

𝑁𝐴 = πœ”π‘Ÿ(𝑠𝑖𝑛 πœƒ βˆ’ 1)

Page 18: Resistencia de Materiales II

𝑀𝐴 = πœ”π‘Ÿ. (π‘Ÿ 𝑠𝑖𝑛 πœƒ) + πœ”π‘Ÿ. π‘Ÿ(1 βˆ’ π‘π‘œπ‘  πœƒ) βˆ’ πœ”π‘Ÿ.π‘Ÿ

2𝑠𝑖𝑛2 πœƒ

βˆ’ πœ”π‘Ÿ.π‘Ÿ

2(1 βˆ’ π‘π‘œπ‘  πœƒ)2

𝑀𝐴 = πœ”π‘Ÿ2(𝑠𝑖𝑛 πœƒ βˆ’ 1)