Resistencia de Materiales
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Mecnica Tema 6 - Columnas Tema 6 Columnas Consideraciones iniciales
Tema 6 - Columnas Seccin 1 - Consideraciones iniciales Una columna
es un elemento sometido a compresin, el cual es lo
suficientementedelgadorespectoasulongitudparaquebajolaaccinde
unacargagradualmentecrecienteserompaporflexinlateralopandeo
anteunacargamuchomenorquelanecesariapararomperlopor
aplastamiento.Enestosediferenciadeunelementocortosometidoa
compresin,elcual,aunqueestecargadoexcntricamente,experimenta una
flexin lateral despreciable.
Aunquenoexisteunlmiteperfectamentedefinidoentreelemento corto y
columna, se suele considerar que un elemento a compresin es una
columna si su longitud es igual o mayor a diez veces la dimensin
menor de la seccin transversal. Las columnas se suelen dividir en
dos grupos: largas e
intermedias.Enalgunoscasos,loselementoscortossometidosacompresinse
consideran en un tercer grupo: el de las columnas cortas.
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Mecnica Tema 6 - Columnas Seccin 1 - Consideraciones iniciales
Estabilidad de estructuras
Consideremoselmontajequesemuestraenlafigura.Elmismo esta
integradopor dosbarras de longitudL/2,apoyadaspor articulaciones
quelepermitenrotarensusextremos,siendosolidariasentresmediante un
pasador.
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Mecnica Luego, si se mueve dicho pasador
unpocohaciaunlado,provocandouna pequeainclinacinuenlasbarrasy
luegoseaplicaunacargaaxialPque mantenga dicha deformacin, tenemos
que lafuerzaperturbadoraenladireccin horizontal puede plantearse de
la forma:: u tan 2 = P Fra
perturbadoLafuerzarestauradora,queseraenestecasolareaccindel
resorte, sera: Comoelngulouesmuypequeo,esvlidalaaproximacin
tgusinuu.Entonces,silafuerzarestauradorafuesemayorquela
perturbadora, tendramos:
Enestasituacin,lasbarrasvolveranasuposicininicial;aesto se denomina
equilibro estable.Si sucediese lo contrario:
Demodoqueelmecanismosedeformarahastaunaposicinde equilibrio entre
las fuerzas.A esto se llama equilibrio inestable. Tema 6 - Columnas
Seccin 1 - Consideraciones iniciales
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Mecnica 4LK Pr u sin2 =LK Fr ra restaurado4LK Pr Si ambas fuerzas
fuesen iguales, entonces:
Lacargaaxialcrtica(Pcri)representaelestadodelmecanismo con el cual
ste se mantiene en equilibrio, pues de variar ligeramente dicha
carga las barras del mecanismo no sufriran nign desplazamiento, es
decir: el mecanismo no se movera. Tema 6 - Columnas Seccin 1 -
Consideraciones iniciales
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Mecnica 4LK Pr cri =Carga crtica en columnasarticuladas Tema 6 -
Columnas Seccin 2 - Carga crtica en columnas articuladas
Consideremosunavigaarticuladaensusextremosmediante rtulas que
permiten la flexin en todas las direcciones, tal como se muestra en
la figura.Si aplicamos una fuerza horizontal H en un punto medio de
la viga se producir una deflexin, a la que denominaremos o.
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Mecnica Supondremosquela deflexin o es lo suficientemente
pequeacomoparaquela proyeccindelalongituddela columna sobre un eje
vertical sea prcticamentelamisma,estando flexada la viga.
Puedeobservarsequeen laseccintransversalquesufrela
mayordeflexin,elmomentoflector es: LafuerzaPcrieslacarga
necesariaparamantenerlaviga
flexadasinempujelateralalguno.Unincrementodeestacarga,
implicaasuvezunaumentodela deflexin o y viceversa. Tema 6 -
Columnas Seccin 2 - Carga crtica en columnas articuladas
Supongamosahoraqueaadimosunacargaaxialcntricaa
compresinPylahacemosaumentardesdecero,almismotiempoque disminuimos
la carga H, de modo que se mantenga constante la deflexin o
constante.
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Mecnica o =criP M (6.2.1) Tema 6 - Columnas Seccin 2 - Carga crtica
en columnas articuladas Si para el caso anterior designamos como x
al eje vertical (sobre el que se proyecta la longitud de la viga) e
y al eje horizontal (sobre el cual
seproducenlasdeflexiones),puedeplantearseelmomentoflectordela
forma:
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Mecnica Elsigno(-)sedebeaqueladeflexin producidaes negativa (segn
la orientacinel eje y), y el momento flector es positivo.
Recordemoslaecuacindelaelsticapara vigas de seccin transversal
constante: y P x Mcri = ) ((6.2.2) I Ex Mdxy d=) (22(6.2.3)
Luego,sustituyendoM(x)delaecuacin6.2.2enlaecuacin 6.2.3, se
obtiene: La solucin general de esta ecuacin es:
PodemosobtenerlosvaloresdelasconstantesC1yC2 aplicando las
condiciones de frontera.Cuando x=0 y=0, de modo que C2=0.Al
plantear la segunda condicin (x=L y=0) queda: Tema 6 - Columnas
Seccin 2 - Carga crtica en columnas articuladas
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Mecnica (6.2.4) I Ey Pdxy dcri =22(6.2.5) ||.|
\| +||.|
\| = xI EPC xI EPC ycri cricos sin2 1(6.2.6) ||.|
\| = LI EPCcrisin
01Lasolucindelaecuacinanteriorsirveparahallarelvalorde Pcri, pues
debe cumplirse: Tema 6 - Columnas Seccin 2 - Carga crtica en
columnas articuladas
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Mecnica (6.2.7) t = n LI EPcriDonde n=1,2,3 . Enlafigurapueden
versedistintasformasenque puedepandearselacolumna
utilizandodistintosvaloresde n. Para efectos de diseo, siempre
trabajaremos con n=1.De modo que la carga crtica queda expresada de
la forma: AestaexpresinseleconocecomolacargacrticadeEulerpara
columnas articuladas. 22LI EPcri = tTema 6 - Columnas Seccin 2 -
Carga crtica en columnas articuladas
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Mecnica (6.2.8) Relacin de esbeltez, esfuerzo crtico El momento de
inercia (I) puede expresarse de la forma:
DondeAeselreadelaseccintransversalyresuna propiedad de rea
denominada radio de giro.Si sutituimos esta ecuacin en la expresin
6.2.8, obtenemos:
DondelaproporcinL/rseconocecomorelacindeesbeltezde
lacolumna.Masadelanteobservaremoscmoesteparmetrosirvepara
clasificar un elemento cargado axialmente a compresin como una
columna corta, larga intermedia. Tema 6 - Columnas Seccin 2 - Carga
crtica en columnas articuladas
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Mecnica 2r A I =(6.2.9) 22) / ( r LA EPcri = t(6.2.10) Si en la
expresin 6.2.10 enviamos el trmino A a dividir hacia el lado
izquierdo, obtenemos:
Medianteestaecuacinsepuededeterminarelesfuerzocrtico
(ocri)enunacolumna,elcualindicaelesfuerzonormalconelcualla
mismacomienzaapandearse.Obsrvesequelostrminosvariablesen
estaexpresinsonlarelacindeesbeltez(L/r)yelesfuerzocrticoen
cuestin.Demodoquepodemosconstruirunagrficaquenosindique
cmovaradichoesfuerzoenfuncindelarelacindeesbeltezen
columnas.Comoelmdulodeelasticidad(E)varaparacadamaterial, tendremos
distintas curvas para diferentes materiales. Tema 6 - Columnas
Seccin 2 - Carga crtica en columnas articuladas
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Mecnica cricrir LEAPot==22) / ((6.2.11)
Porejemplo,ensepresentanenlafiguralascurvasdelacero estructural y
del aluminio.Esimportanteobservarqueparacadamaterial
existeunaesbeltezquesecorrespondeconsuesfuerzodefluencia,como
sesealaenlascurvas.Aladerechadeestospuntos,puedeobservarse
queelesfuerzocrticodisminuyeamedidaqueaumentalarelacinde esbeltez
(en otras palabras, se requiere menor carga para que se produzca el
pandeo en la columna).A la izquierda de estos puntos, la grfica no
tiene sentido prctico. Tema 6 - Columnas Seccin 2 - Carga crtica en
columnas articuladas
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Mecnica Columnas con varios tipos de soporte Tema 6 - Columnas
Seccin 3 - Columnas con varios tipos de soporte En la deduccin de
la ecuacin de Euler, se utiliz como base para
eldesarrollodelasecuacionesunacolumnasoportadamediante
articulacionesensusextremos,demaneraqueladeflexinfuesenulaen los
mismos.Dependiendode los apoyos a los que se sujete una columna,
dichascondicionesdeextremopuedenvariar,alterandoasuvezel desarrollo
de las ecuaciones.Con el objeto de compensar esto, se utiliza en
laecuacindeEulerunalongituddenominadaLongitudefectiva(Le),la cual
representa la distancia entre dos puntos de la columna en los
cuales el momento flector es nulo, y se puede determinar mediante
la relacin: DondeKeselfactordecorreccindelongitudefectivayest
tabulado para distintas condiciones de apoyo de columnas.
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Mecnica L K Le =(6.3.1)
Demaneraquelaecuacindelesfuerzocrticoenunacolumna quedara planteada
de la forma: Los valores de K para las condiciones de apoyo ms
comunes se ilustran en la figura. Tema 6 - Columnas Seccin 3
Columnas con varios tipos de soporte
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Mecnica 2222) / ( ) / ( r L KEr LEecri ==t to(6.3.2)
LaecuacindeEulerseobtieneapartirdelahiptesisdequela carga (P)
siempre se aplica en el centroide de la seccin transversal de la
columna, y que sta es perfectamente recta (antes de aplicar dicha
carga). Esta situacin es ajena a la realidad, pues las columnas
fabricadas
nosonperfectamenterectas,nisueleconocerseconexactitudelpuntode
aplicacin de la carga.
Portanto,lascolumnasnosepandeanrepentinamentesinoque
comienzanaflexionarse,sibiendemodoligero,inmediatamentedespus de la
aplicacin de la carga. Tema 6 - Columnas Seccin 4 - Columnas
sometidas a carga excntrica
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Mecnica Columnas sometidas a carga excntrica
Consideremosentoncesunacolumnasometidaaunacarga
ejercidaconunapequeaexcentricidaderespectoalcentroidedela seccin
transversal, como se muestra.
Podemosplantearunaexpresinparadeterminarelmomento flector en
cualquier seccin transversal: Tema 6 - Columnas Seccin 4 - Columnas
sometidas a carga excntrica
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Mecnica ) ( y e P Mcri+ =(6.4.1) Al plantear la ecuacin de la
elstica de la viga, queda: La solucin general de esta ecuacin es:
Alplantearloslmitesdefrontera,seobtienequecuandox=0 y=e, de modo
que C2=e .Luego, cuando x=L y=e, de modo que: Tema 6 - Columnas
Seccin 4 - Columnas sometidas a carga excntrica
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Mecnica I Ey e PI Ex Mdxy dcri + ==) ( ) (22(6.4.2) e xI EPC xI EPC
y ||.|
\| +||.|
\| = cos sin2 1(6.4.3) ||.|
\| =2tan1LI EPe C(6.4.4) Finalmente, la ecuacin 6.4.3 queda de
la forma: Ladeflexinmximaenlavigaocurrecuandox=0,5L.Si introducimos
este valor en la ecuacin, obtenemos:
Enestaecuacinpuedeobservarsequey=0cuandoe=0.Sin
embargo,silaexcentricidadeesmuypequea,yeltrminodentrodela
funcintrigonomtricalahiciesetenderainfinito,ytendraunvalorno nulo.
Tema 6 - Columnas Seccin 4 - Columnas sometidas a carga excntrica
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Mecnica (((
||.|
\|+||.|
\|||.|
\| = 1 cos sin2tan xI EPxI EP LI EPe y (6.4.5) ||.|
\| =2secmaxLI EPe y(6.4.6) Entonces, como sec(x) cuando xt/2,
podemos plantear: Finalmente, se puede determinar el valor de la
carga crtica: Ntesequesteeselmismoresultadoarrojadoparaelcasode
cargaexcntrica(ec.6.2.8).Esprecisorecordarqueencasodetrabajar con
condiciones de apoyo distintas, se debe trabajar con la longitud
efectiva (Le) en vez de la longitud nominal (L) de la columna. Tema
6 - Columnas Seccin 4 - Columnas sometidas a carga excntrica
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Mecnica 2 2t= LI EPcri(6.4.7) (6.4.8) 22LI EPcri = tPodemos
entonces plantear la ecuacin del esfuerzo mximo en la seccin de
mayor deflexin de la viga:
RecordandoqueI=Ar2,podemosreescribirestaecuacindela forma: A esta
ecuacin se le conoce como la frmula de la secante, y sirve
paradeterminarelvalordelesfuerzomximoproducidotantoporflexin como
por compresin que se produce en la viga.Debe cumplirse: PPcri. Tema
6 - Columnas Seccin 4 - Columnas sometidas a carga excntrica
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Mecnica Ic LI EPe PAPIc y PAP||.|
\| + = + =2sec) (maxmaxo (6.4.9) (((
||.|
\|+ =rLA EPrc eAP2sec 12maxo (6.4.10)
Medianteensayosmecnicosrealizadosencolumnasseha
demostradoquelacargacrticasealadaporlasecuacionesdeEuleryde la
secante puede ser superior a la carga crtica real necesaria para
pandear la columna, como muestra el grfico. Tema 6 - Columnas
Seccin 5 - Columnas largas, cortas e intermedias
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Mecnica Columnas largas, cortase intermedias De la grfica anterior
pueden verse con claridad tres zonas que, en
funcindelarelacindeesbeltez,permitenclasificarlascolumnasentres
grupos: ColumnasCortas.Aestegrupopertenecenelementoscargados
axialmenteacompresinconrelacionesdeesbeltezmuypequeas,enlos que no
se produce pandeo y la falla ocurre cuando omax oy.
ColumnasIntermedias.Cuandoenloselementoscargados
comienzaapresentarseelfenmenodepandeoalstosexperimentar
esfuerzosmenoresaoy.LaecuacindeEulernoseaproxima
satisfactoriamentealcomportamientodelacolumna,requiriendoestazona
deecuacionesexperimentalescomplejasparapredecirconciertaprecisin el
valor del esfuerzo crtico (con el cual comienza el pandeo en la
columna). ColumnasLargas.Referidaaaquelloselementoscongrandes
relacionesdeesbeltez.LaecuacindeEulerdescribeconprecisin aceptable
el comportamiento de estas columnas. Tema 6 - Columnas Seccin 5 -
Columnas largas, cortas e intermedias
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Mecnica Enlafiguraquesemuestranalgunastendenciasquepueden usarse
para determinar el esfuerzo crtico en columnas intermedias.Ntese
queladificultadenelusodeestoscriteriosradicaendeterminarcon
exactitud los lmites de la relacin de esbeltez en los cuales son
vlidos. Frmula de Gordon-Rankine: Aproximacin lineal: Aproximacin
parablica: Tema 6 - Columnas Seccin 5 - Columnas largas, cortas e
intermedias
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Mecnica ) / (2 2r L ke cri =o o) / ( 111r L kecri +=oo23 3) / ( r L
ke cri =o oComosemencionanteriormente,elusodelafrmuladeEuler
paraeldiseoescompletamentevlidosilacolumnaatratares perfectamente
recta, hechas de un material completamente homogneo, en las que los
puntos de aplicacin de la carga son perfectamente conocidos.
Enrealidad,estonoocurreas.Paracompensartodas
imperfeccionesquetienenlascolumnasreales,seutilizancdigosde
diseo,loscualessonproductosdeensayosmecnicosquesellevana
cabosimulandocondicionesrealesdeconstruccinytrabajodeelementos
sometidos a cargas axiales de compresin.
Acontinuacinmostraremosalgunosejemplosdecdigosde diseo para
columnas hechas de distintos materiales. Tema 6 - Columnas Seccin 6
- Diseo de columnas sometidas a carga axial cntrica
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Mecnica Diseo de columnas bajo carga axial cntricaColumnas de acero
Lascolumnasdeaceroestructuralsediseanconbaseen frmulas propuestas
por el Structural Stability Research Council (SSRC).A
dichasformulasselehaaplicadofactoresdeseguridadconvenientes,yel
AmericanInstituteofSteelConstruction(AISC)lashaadoptadocomo
especificaciones para la industria de construccin.Para columnas
largas, se utiliza la ecuacin de Euler con un factor de seguridad
de 12/23: para
Donde el valor mnimo de relacin de esbeltez efectiva vlido para
la relacin viene dado por: Tema 6 - Columnas Seccin 6 - Diseo de
columnas bajo carga axial cntrica
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Mecnica ) / ( 23122r KLEperm =to 200 ss|.|
\|rL KrL Kcy cErL Kot2 =|.|
\|(6.6.1) (6.6.2) En columnas con relaciones de esbeltez menores
se usa un ajuste parablico, con un factor de seguridad dictado por
una compleja relacin: para Tema 6 - Columnas Seccin 6 - Diseo de
columnas bajo carga axial cntrica
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Mecnica ((
+((
=3322) / () / (81) / () / (8335) / () / (1cccpermr KLr KLr KLr
KLr KLr KLocrL KrL K|.|
\|s(6.6.3) Columnas de aluminio
LaAluminiumAssociationespecificaeldiseodecolumnasde
aluminiopormediodetresecuaciones.Parcadatipodealuminiohayun
juegoespecficodeecuaciones.Porejemplo,paraelcasodelaaleacin comn de
aluminio (2014-T6) se usa:Tema 6 - Columnas Seccin 6 - Diseo de
columnas bajo carga axial cntrica
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Mecnica ksiperm28 = o 12 0 ssrL K(6.6.4)para | |ksi r KLperm) / (
23 , 0 7 , 30 = o 55 12 ssrL K(6.6.5)para 2) / (54000r KLksiperm =
orL K s 55(6.6.6) para Columnas de madera
LasAluminiumAssociationespecificaeldiseodecolumnasde
aluminiopormediodetresecuaciones.Parcadatipodealuminiohayun
juegoespecficodeecuaciones.Porejemplo,paraelcasodelaaleacin comn de
aluminio (2014-T6) se usa:Tema 6 - Columnas Seccin 6 - Diseo de
columnas bajo carga axial cntrica
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Mecnica ksiperm20 , 1 = o 11 0 ssdL K(6.6.7)para ksid KLperm(((
|.|
\| =20 , 26/311 20 , 1 o 26 11 ssdL K(6.6.8)para 2) / (5400d
KLksiperm = o 50 26 ssdL K(6.6.9) para Tema 6 - Columnas Seccin 7 -
Diseo de columnas sometidas a carga axial excntrica
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Mecnica Diseo de columnas bajo carga axial excntricaExisten varias
formas de tratar casos donde la carga en la columna
esexcntrica.Trataremosenestaocasinlosmtodosmscomunes:el mtodo del
esfuerzo admisible y el mtodo de interaccin.
Mtododelesfuerzoadmisible.Enestecaso,secomparandel esfuerzo mximo
producido en la viga y el esfuerzo admisible dictado por la ecuacin
de Euler.El esfuerzo mximo vendra dado por: Ic MAP + =maxo(6.7.1)
Tema 6 - Columnas Seccin 7 - Diseo de columnas sometidas a carga
axial excntrica
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Mecnica El esfuerzo admisible segn la ecuacin de Euler: Y debe
cumplirse: MtododeInteraccin.Sellamaaspuesenlseobservan cmo
interactan las tensiones producidas por la carga de compresin y por
el momento flector ejercidos en la viga. 22) / ( r LEadm= to(6.7.2)
admo o max(6.7.3) Tema 6 - Columnas Seccin 7 - Diseo de columnas
sometidas a carga axial excntrica
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Mecnica En este caso, la condicin que debe cumplirse es:
Donde[oadm]axialy[oadm]flexinsecalculanapartirdecdigosde
diseoestipuladosparacargaaxialycargaexcntricarespectivamente.Notequeadiferenciadelcasoanterior,losesfuerzosproducidosporcarga
axialyflexinsecomparanporseparadoconelesfuerzocrticoparacada
caso.Segnel mtodo anterior se comparan ambos esfuerzos respecto al
esfuerzo admisible proporcionado por la ecuacin de Euler. | | | |1
flexinadmaxialadmIc MAPo o((
+((
(6.7.4)
