resistencia de materias

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Prof. DonadonInstituto Tecnolgico de Aeronutica

Mauricio V. Donadon

2. Tenso e Deformao: Cargas Axiais

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2.1 Conceito de deformao

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TENSO E DEFORMAOConceito de deformao

A aplicao de foras leva ao aparecimento de tenses e deformao da estrutura.

importante garantir que deformaes no se tornem muito grandes a ponto de comprometer a integridade dos sistemas estruturais.

Sempre que estruturas estaticamente indeterminadasso analisadas, as deformaes devem ser consideradas.

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PP

L

uA

P

u

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PP

L

uA

PP

2L

2uA

Diferentes comprimentos e reas levam a diferentes deslocamentos.

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Diferentes comprimentos da barra levam a diferentes deslocamentos mas a tenso a mesma.

AP=

Invariante: deformao.

Lu

Lu

22==

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Diagrama tenso deformao independe da geometria da barra, depende apenas do material.

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2.2 Deformaes sob carga axial

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TENSO E DEFORMAODeformao sob carga axial

Deformao no ponto

P

P

x x

x + u x + u

dxdu

xu

x=

= 0lim

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TENSO E DEFORMAODeformao sob carga axial

Deformao uma grandeza adimensional

666

10250m/m 10250m 6,0

m 10150 ====Lu

Exemplo: barra de comprimento L = 0,6 m e de seo uniforme que se desloca de u = 15010-6 m.

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2.3 Diagrama tenso deformao

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TENSO E DEFORMAODiagrama tenso deformao

Ensaio de trao

A distncia L entre os pontos A e B marcados inicialmente medida enquanto a carga P aumenta

L0

A B

L

A B PP

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Alongamento u = L L0Tenso = P / A0, onde A0 = rea inicial da seo retaDeformao = u / L0

L

A B PP

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O diagrama tenso deformao varia de material para material. Alm disso, para o mesmo material podem haver flutuaes dependendo da temperatura do corpo de prova ou da velocidade de crescimento da carga.

L

A B PP

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Materiais dcteis Materiais frgeis

ruptura ruptura

Y

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Materiais dcteis Materiais frgeis

Ao estrutural e metais;

Limite de proporcionalidade;

Escoamento (Y);Estrico;

Ruptura.

Ferro fundido, pedra, vidro;

Rompe sem mudana sensvel no modo de deformao;

Deformao at a ruptura pequena.

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Materiais dcteis

Dentro do limite de proporcionalidade trao ou compresso so indiferentes. Para valores maiores de deformao h diferena de comportamento

Materiais frgeis

Em geral a tenso ltima de compresso bem maior que a de trao devido a imperfeies no material.

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2.4 Medidas de deformao

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TENSO E DEFORMAOMedidas de deformao

F

A0L0

AL AF=

Tenso verdadeira

ou

tenso de Cauchy

u

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Medidas de deformao distinguem-se umas das outras porque definem de maneira diferente as mudanas na forma do corpo ou porque utilizam diferentes sistemas de referncia.

Tenso e deformao esto ligadas pela energia de deformao pois esta sempre a mesma, independente da escolha da medida de deformao.

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Trabalho infinitesimal da fora F

u

F


du

dW = F du

d

Trabalho infinitesimal das tenses internas

u

=V

dVddW 0)(

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Trabalho infinitesimal da fora F:

Trabalho infinitesimal das tenses internas:

FdudW =

referencial no deformado

referencial deformado

=0

0)(V

dVddW

=V

dVddW )(

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Deformao de Engenharia

0

0

LLL

E=

00000 L

duLAdLAFdudW EEE ===

00 0)( A

FduAF EE ==

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Deformao de Green2

0020

20

2

21

2

+==

Lu

Lu

LLL

G

+== 2

000000 L

uduLduLAdLAFdu GGG

0

0

0

01

1AF

LL

AF

LuG

=+

=

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Deformao Logartmica

+===

001lnln

0Lu

LL

LdL

L

LL

LduALFdu L=

AF

L =


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Deformao de Biot

0

0

Luu

LLL

B +==

BBdALFdu =

AF

LL

B0

=


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Deformao de Almansi

2

20

2

2LLL

A=

AAdALFdu =

AF

LL

A 20

2=


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Deformaes: tabela

+++

+=++

=

2

2

2

2

)1(21

1

...21)1ln(

21

E

EE

E

E

EEE

EE

A

B

L

G

29EST-10



Pequenas deformaes

01|| 2

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Tenses: tabela

++

+

=

=

20

0

0

20

20

0

0

0

0

)1(

)1(

11

E

E

E

EE

A

B

L

G

AAAA

AA

ALLA

ALLA

AALL

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Pequenas deformaes

01|| 2

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2.5 Lei de Hooke

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TENSO E DEFORMAOLei de Hooke

Na parte linear do diagrama tenso deformao,

E=Lei de Hooke (Robert Hooke 1635-1703)

E = mdulo de elasticidade ou de Young

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ao temperado

ao com alto teor de carbono

ao com mdio teor de carbono

Rigidez igual mas resistncia diferente

ao com baixo teor de carbono

TENSO E DEFORMAOLei de Hooke

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2.6 Comportamento elstico e plstico

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TENSO E DEFORMAOElasticidade e plasticidade

No material elstico as deformaes causadas por cargas desaparecem com a retirada das cargas.

No material plstico as deformaes causadas por cargas no desaparecem totalmente com a retirada das cargas, isto , h deformao permanente.

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R

Y

A

B

C

D

AB // CD


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R

Y

A

B

C

D

carregamento descarregamento - carregamento

RY C

D


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Y B

C

D

Carregamentos alternados


HJ

KA

-Y

A deformao permanenteAK pode ser positiva, negativa ou nula.

Mesmo quando A K o material no retorna s suas condies iniciais.

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2.7 Fadiga

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TENSO E DEFORMAOFadiga

Cargas alternadas podem ser aplicadas indefinidamente se estiverem dentro do limite de proporcionalidade?

No

Para um nmero de repeties da ordem de grandeza de dezenas ou centenas sim. Porm, para milhares ou milhes de repeties ocorre fadiga.

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n

(ksi)Curvas - n


103 104 105 106 107 108 109

ao

alumnio 2024

10

20

30

40

50

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Para milhares ou milhes de repeties do carregamento a ruptura se d bem abaixo da tenso de ruptura obtida com o carregamento esttico.

A ruptura por fadiga sempre frgil, mesmo para materiais dcteis.

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Processo: ruptura se iniciando em uma fissura microscpica ou outra falha similar.

Fissura aumenta gradativamente com as repeties de carregamento.

Aps vrios ciclos a falha se torna grande e a parte intacta do material no consegue mais resistir tenso.


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2.8 Deformaes de barras sob cargas axiais

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PP

L

uA

TENSO E DEFORMAOBarras sob cargas axiais

E=

EAP

E==

Lu=

EAPLu =

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PP

L

uA


Hipteses assumidas:

A barra homognea (E constante)

A seo transversal uniforme

A carga aplicada na extremidade da barra

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Em uma barra segmentada,

=i ii

ii

AELPu

Na situao mais geral possvel,

= L dxEAPu0

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200 kN


Exemplo: determine o deslocamento na ponta da barra.

500 kN 300 kN

300 mm 300 mm 400 mm

A = 600 mm2 A = 200 mm2

50EST-10



Exemplo

200 kN

500 kN300 kN

200 kN

P3

200 kN

P2

200 kN

P1

300 kN 300 kN500 kN

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ExemploP1 = 400 kN

P2 = -100 kN

P3 = 200 kN

++==

3

33

2

22

1

111ALP

ALP

ALP

EAELPu

i ii

ii

u = 2,75 mm

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2.9 Problemas estaticamente indeterminados

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TENSO E DEFORMAOIndeterminao esttica

Diagramas de corpo livre auxiliam na obteno de foras internas.

Na maioria dos problemas as equaes estticas so insuficientes. preciso observar as condies geomtricas.

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Exemplo

P

A1, E1 A2, E2

L

PP1

P1P2

P = 2P1 + P2


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Exemplo

P = 2P1 + P2Uma equao de equilbrio e duas incgnitas.

necessrio mais uma equao.


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Exemplo

Da geometria do problema os deslocamentos devem ser iguais:

22

2

11

1

AELP

AELPu ==

22

2

11

1

AEP

AEP =

2211

222 2 AEAE

PEAP +=221111

1 2 AEAEPEAP +=


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Mtodo da superposio

Em uma estrutura estaticamente indeterminada h mais suportes do que o necessrio.

Substituir suportes por foras e aplicar condies geomtricas e de equilbrio para clculo das foras.


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Exemplo: obter reaes nos suportes

P

L

L1 L2


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2.10 Variao de temperatura

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TENSO E DEFORMAOVariao de temperatura

Suponha uma barra homognea aquecida de TL

L + uTT

61EST-10



Alongamento devido variao de temperatura

LLTu TT == )(T a deformao trmica

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LT

E, A,

P


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P

Deslocamento mecnico: uM = PL / EA

Deslocamento trmico: uT = TLDeslocamento total nulo uT + uM = 0 P = -EAT


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2.11 Coeficiente de Poisson

65EST-10


TENSO E DEFORMAOCoeficiente de Poisson

Barra prismtica em trao

Px = P/A

z = 0y = 0

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Barra prismtica em trao

y = z = 0 no implica em y = z = 0

material homogneo

material isotrpico: propriedades mecnicas independentes da direo segundo a qual so medidas

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Isotropia implica em y = z = deformao transversalCoeficiente de Poisson ()

x

z

x

y

==

EEx

zyx

x ===

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2.12 Estados de carregamento mltiplos

69EST-10


TENSO E DEFORMAOEstados de carregamento mltiplos

Como obter uma lei constitutiva mais geral?

x

z yPrincpio da superposio

cada efeito diretamente proporcional carga que o produziu;

as deformaes causadas por um carregamento no afetam as condies de aplicao de outros.

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1) Aplicar x2) Aplicar y3) Aplicar z


x

z y

71EST-10


1) Aplicar x

E

E

E

xz

xy

xx

=

=

=


x

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2) Aplicar y

EE

EE

EE

yxz

yxy

yxx

=

+=

=


x

y

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3) Aplicar z

EEE

EEE

EEE

zyxz

zyxy

zyxx

+=

+=

=


x

z y

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2.13 Uma noo de deformaes de cisalhamento

75EST-10


TENSO E DEFORMAODeformao de cisalhamento

z

yxy

z

x

yz

yx

zxzy

xy

zx

z

yxyx

xy

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y

x

yxxyxy

yx

y

x

xy / 2

xy / 2

O pequeno ngulo xy que define a distoro do elemento chamado deformao de cisalhamento.

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De modo semelhante ao carregamento normal, possvel traar um diagrama de tenso de cisalhamento versus deformao de cisalhamento.

A parte inicial do diagrama tenso deformao linear e devemos ter:

xyxy G =que a lei de Hooke para cisalhamento.

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A constante G denomina-se mdulo de cisalhamento ou mdulo de elasticidade transversal.

Considerando outras componentes do tensor de tenses,

yzyz

xzxz

GG

==

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Estado geral de tenses

yzyz

xzxz

xyxy

GG

G

===

EEE

EEE

EEE

zyxz

zyxy

zyxx

+=

+=

=

Nota: E, G e no so independentes

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2.14 Exerccios

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1) A barra rgida BDE suspensa por duas hastes AB e CD. A haste AB possui E = 70 GPa com rea de 500 mm2; a haste CDpossui E = 200 GPa e rea de 600 mm2. Para a fora de 30 kNindicada obtenha deslocamentos dos pontos B, D e E.

CONCEITOS DE TENSOExerccios

D

C

0.2 m 0.4 m

30 kN0.3 m

A

B E

0.4 m

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2) Duas barras de 36 mm de dimetro, ABC de ao e CD de bronze so ligadas no ponto C. Determine, para as cargas aplicadas, os deslocamentos dos pontos C e D.


100 kN

50 kN

2 m 3 m 2,5 m

DCA B

Eao = 200 GPa

Ebronze = 105 GPa

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3) Um bloco de forma trapezoidal com espessura constante tfica suspenso de uma superfcie fixa A. Desprezando seu peso prprio, determine o deslocamento do ponto inferior B quando uma fora vertical centrada P aplicada em B.


L

bt

b/2

A

B

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4) A barra AB perfeitamente ajustada aos anteparos fixos quando a temperatura de +25oC. Determinar as tenses atuantes em AC e BC para uma temperatura de -50oC. Use E = 200 GPa e = 1210-6 oC-1.


0,3 m 0,3 m

A BCA = 400 mm2 A = 800 mm2

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5) A haste CE de 10 mm de dimetro e a haste DF de 15 mm de dimetro so ligadas barra rgida ABCD. Sabendo-se que as hastes tm E = 70 GPa determine: (i) a fora em cada haste provocada pelo carregamento mostrado e (ii) o deslocamento do ponto A.


32 kN

0,45 m 0,30 m 0,20 m

0

,

7

5

m

0

,

6

0

m

A

B

CD

EF

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6) A barra rgida ABCD fica suspensa por quatro fios idnticos. Determine a trao em cada fio provocada pela carga P.


A B C D

P

L L L

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7) O tubo de alumnio totalmente preenchido pelo cilindro de lato e o conjunto se encontra sem efeitos de tenso temperatura de 15oC. Determine as tenses no alumnio quando a temperatura for de 195oC. Considerar apenas deformaes axiais.


Alumnio

E = 70 GPa, = 2310-6 oC-1

Lato

E = 105 GPa, = 1910-6 oC-1

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