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Resolução da prova de Matemática do concurso para professor do Estado de São Paulo, do ano de 1998
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Resolução da prova de Matemática doConcurso Público / 98
Professor Educação Básica II
Gabarito Oficial:
Exercício 1
Si = (n-2).180 (soma dos ângulos internos de um polígono qualquer)
Observação: Em qualquer polígono, o número de ângulos é igual ao número de lados.
Sn = (a 1 + a n ).n (soma de uma PA) 2
an = a1 + r.(n-1) (termo geral de uma PA)
Como os ângulos do polígono formam uma PA com a1 = 139 e razão = 2, podemos igualar as fórmulas da soma da PA com a fórmula da soma dos ângulos internos do polígono:
Si = Sn
( a soma dos ângulos internos do polígono é igual à soma da PA, pois os ângulos formam uma PA)
(n-2).180 = (a1 + an).n 2
Sabemos que o termo geral da PA é dado por:
an = a1 + r.(n-1)
Substituindo na fórmula anterior:
(n-2).180 = [a 1 + (a1 + r.(n-1) ].n
1
2
Sabemos que a1 = 139 e r = 2. Substituindo na fórmula anterior:
(n-2).180 = [ 139 + ( 139 + 2 .(n-1)].n 2
Multiplicando ambos os membros por 2
(n-2).360 = [139 + (139 + 2.(n-1)].n
Fazendo as contas:
(n-2).360 = [139 + (139 + 2n-2)].n
360n-720 = [139 + (137 + 2n)].n
360n-720 = [139 + 137 + 2n].n
360n-720 = [276 + 2n].n
360n-720 = 276n + 2n2
360n-276n-2n2-720 = 0
84n-2n2-720 = 0
42n-n2-360 = 0
-n2 + 42n - 360 = 0
Resolvendo a equação de segundo grau:
= b2-4ac
= (42)2-4.(-1).(-360)
= 1764 -1440
= 324
n = -42 18 -2
n1 = 12
2
n2 = 30
Temos duas possibilidades:
- O polígono tem 12 lados, ou o polígono tem 30 lados.
A única alternativa possível, apresentada no exercício, é a alternativa “C” = 12 lados.
Dica:
- Estudar o capítulo IX do volume 9 – Geometria Plana – da coleção “Fundamentos de Matemática Elementar”, Atual Editora – Osvaldo Dolce e José Nicolau Pompeo.
- Estudar também Progressões Aritméticas e Progressões Geométricas, em livros do 2º grau.
Exercício 2
Analisando o gráfico, constatamos que ele corresponde à seguinte tabela:
Número defaltas ocorridas
Em quantos dias se observou que ocorreram os números de
faltas na coluna ao lado
Número total de faltas(número de faltas
multiplicado pela quantidade de dias em que o número foi
observado)0 8 01 5 52 3 63 6 184 2 85 3 15
Totais 27 52
Interpretação da tabela/gráfico:
Vamos supor que as faltas anotadas na tabela anterior se refiram a uma determinada classe, durante um mês (apenas por exemplo).
A professora analisou seu diário, e contou quantas faltas ocorreram em cada dia de aula, anotando-as na tabela anterior.
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Então:
- A linha 1 da tabela indica que em 8 dias de aula (consecutivos ou não) não ocorreram faltas (todos os alunos estavam presentes). Por exemplo, no 1º, 3º, 4º, 7º, 10º, 14º, 15º,26º
dia de aula, não havia nenhuma falta marcada no diário de classe.
- A linha 2 da tabela indica que em 5 dias de aula (consecutivos ou não) apenas um dos alunos faltou. Por exemplo, no 2º, 5º, 11º, 13º, 20º dia de aula, havia (em cada dia) apenas uma falta registrada.
- Etc.
Logo, se somarmos a segunda coluna da tabela (número de dias de aula), teremos o total de dias de aula, ou seja: 27 dias de aula.
Para sabermos o total de faltas, basta multiplicar o número de faltas observado (1ª coluna) pela quantidade de dias em que aquele número de faltas ocorreu (2ª coluna). O resultado está na 3ª coluna, ou seja: 52 faltas.
Assim, somando a 3ª coluna, temos o número total de faltas do período.
Em suma: a tabela/gráfico mostra que ocorreram 52 faltas, em 27 dias de aula.
Resposta: Alternativa “D”.
Exercício 3
sec x = 1___ cos x
(a secante de x é igual ao inverso do co-seno de x).
- Lembre-se que ao estudarmos funções trigonométricas, devemos trabalhar com os ângulos em radianos (que são números reais), e não em graus.
- O domínio da função sec x corresponde a todos os ângulos (em radianos, ou seus equivalentes em graus) que podemos substituir na expressão:
1___ cos x
Análise do Domínio
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Como cos x está no denominador, não podemos usar nenhum ângulo que possua co-seno igual a zero (pois não podemos dividir por zero). Todos os outros ângulos, que possuam co-seno diferente de zero, podem ser usados.
Logo, basta excluirmos os ângulos cujo co-seno é zero.
Exemplos de ângulos cujo co-seno é zero:
Ângulo em graus Ângulo em radianos Co-Seno do Ângulo90º (90º + 0 . 180º ) /2 (/2 + 0. ) 0270º (90º + 1 . 180º) 3/2 (/2 + 1. ) 0450º (90º + 2 . 180º) 5/2 (/2 + 2. ) 0630º (90º + 3 . 180º) 7/2 (/2 + 3. ) 0etc. etc. etc.
Observações:
a) Construa o círculo trigonométrico e localize os ângulos acima, em radianos e em graus, para compreender melhor a tabela.
b) Devemos considerar também os ângulos negativos correspondentes aos ângulos acima (- /2, -3 /2, etc.)
Note que os ângulos que têm co-seno igual a zero são da seguinte forma:
/2 + (um múltiplo de )
Os múltipos de podem ser expressos assim:
k
onde k é um número inteiro qualquer (positivo ou negativo).
Então, os ângulos cujo co-seno é zero podem ser expressos assim:
/2 + k
e são esses ângulos que nós não podemos usar, na função f(x) = sec x, pois sendo sec x = 1/cos x, não podemos obter cos x = 0 no denominador.
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Assim, o domínio da função f(x) = sec x são todos os números reais (que correspondem a todos os ângulos possíveis em radianos) com exceção daqueles cujo co-seno é zero, ou seja:
D = R – { /2 + k , k }
Obs.: R = conjunto dos números reais; Z = conjunto dos números interos
Análise da Imagem da Função
- No círculo trigonométrico, os ângulos possuem o co-seno variando de -1 (inclusive) a 1 (inclusive), ou seja, os co-senos são um número maior ou igual a 1 e menor ou igual a mais um. Não existem co-senos fora do intervalo [-1, +1]
- Então, a função f(x) = sec x, que equivale a f(x) = 1/cos x, resulta em valores tais como, por exemplo:
1/0,1 = 10
1/0,2 = 5
1/ 0,9 = 1,111111...
1/1 = 1
1/-0,1 = -10
1/-0,2 = -5
1/-1 = -1
etc.
Ou seja, os valores da função f(x) = sec x sempre resultam do cálculo da divisão do número 1 , por um número “menor ou igual a 1” e “maior ou igual a –1” (COM EXCEÇÃO DO ZERO).
- Ora, dividindo o número 1 por um número “menor que 1” e “maior que –1”, obteremos somente valores MAIORES OU IGUAIS A 1 ou então valores MENORES OU IGUAIS A –1.
Veja o gráfico da função f(x) = sec x e note que a função (valores de y) só resultam em 1 ou superior, ou em –1 ou inferior. Não há valores de f(x) iguais a 0,99 ou 0,9 ou 0,5 ou 0,4 ou –0,2 ou –0,1 ou –0,99 , por exemplo.
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x
y
-4
-2
0
2
4
Em conseqüência, a função f(x) = sec x nunca resulta em valores no intervalo ]-1, + 1 [.
Isto é: a imagem da função f(x) = sec x pode resultar em qualquer valor, COM EXCEÇÃO DO INTERVALO ]-1, + 1 [ .
- Note que o intervalo acima é aberto à esquerda e à direita, o que significa que o –1 não faz parte desse intervalo; também o + 1 não faz parte do intervalo.
- Enfim, como a função f(x) = sec x resulta qualquer valor, com exceção do intervalo ]-1, + 1 [, podemos indicar que sua imagem é:
I = R - ]-1, + 1 [
(a imagem é o conjunto dos números reais, com exceção do intervalo que vai de –1 a + 1, EXclusive).
Exercício 4
Neste exercício, para encontrar A2, basta multiplicar a matriz A por si mesma, seguindo a regra de multiplicação de matrizes:
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Resposta: Alternativa D
Exercício 5
x2 + y2 = 25
xy = 12
Isolando o x na equação 2:
xy = 12
x = 12 y
Substituindo o valor de x na equação 1:
x2 + y2 = 25
“Tirando o mínimo”:
Multiplicando ambos os membros por y2:
144 + y4 = 25y2
8
144 + y4 - 25y2 = 0
y4 - 25y2 + 144 = 0
Caímos em uma equação “biquadrada”
A técnica mais comum para resolver esta equação é substituir a variável original (y, no caso) por uma variável auxiliar. Vamos usar a variável auxiliar z, fazendo:
z = y2 e z2 = y4
Substituindo z na equação que contém a variável y:
y4 - 25y2 + 144 = 0
z2 - 25z + 144 = 0
Agora, temos uma equação do segundo grau. Vamos calcular usando a fórmula de Bháskara: = b2-4ac
= (-25)2-4.(1).(144)
= 625 -576
= 49
z = 25 7 2
z1 = 16
z2 = 9
Para z = 16:
z = y2
16 = y2
y = 16
9
y1 = + 4
y2 = - 4
Para z = 9:
z = y2
9 = y2
y = 9
y3 = + 3
y4 = - 3
Agora, falta encontrar o valor de x, para cada um dos 4 y encontrados acima.
Tínhamos que:
xy = 12 (se desejar, pode utilizar também a primeira equação)
Para y = +4:
xy = 12
x.4 = 12
x = 12/4
x = 3
Primeira solução: x = 3 e y = 4
Para y = -4:
xy = 12
x.(-4) = 12
x = 12/(-4)
x = -3
Segunda solução: x = -3 e y = -4
10
Para y = +3:
xy = 12
x.3 = 12
x = 12/3
x = 4
Terceira solução: x = 4 e y = 3
Para y = -3:
xy = 12
x.(-3) = 12
x = 12/(-3)
x = -4
Quarta solução: x = -4 e y = -3
Portanto, as soluções do sistema são 4 pares de números:
x = 3 e y = 4x = -3 e y = -4x = 4 e y = 3x = -4 e y = -3
Logo, a alternativa correta é a “A”.
Exercício 6
Este tipo de exercício é muito comum em Matemática Financeira, aparecendo em cálculos de juros compostos.
Os pontos fundamentais deste tipo de exercício são:
- Temos uma quantia inicial : no caso, o número de sócios do clube, ou seja: 10
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- Temos uma “taxa” (ou “percentual”) de crescimento: no caso, a taxa pode ser calculada raciocinando do seguinte modo:
- Se inicialmente temos 10 sócios e cada um pode apresentar ao clube (no final de cada ano) mais 2 sócios, então, no final do ano podemos ter, no máximo:
10.2 = 20 sócios.
- Se ao final do ano temos 20 sócios, qual é a taxa de crescimento ? Basta dividir o novo número de sócios (20) pelo número inicial de sócios:
Taxa de crescimento = 20/10 = 2
Observação:
a) Quando calculamos a taxa de crescimento dessa forma (dividindo o valor “novo” pelo valor “velho”), obtemos uma taxa denominada popularmente de “taxa centesimal”.
b) Se quisermos calcular a taxa “percentual”, basta multiplicar a taxa centesimal por 100:
Taxa de crescimento (centesimal): 2Taxa de crescimento percentual: 2 . 100 = 200% (duzentos por cento).
--- Final das observações ----
Agora que temos a taxa de crescimento, podemos calcular qualquer quantia futura (o número de sócios, no caso) de acordo com a seguinte fórmula:
M = C.(1+i)x
onde:
M = montante, ou “quantia futura” (número futuro de sócios, no presente exercício)
C = capital inicial ou “quantia inicial” (número inicial de sócios, no presente exercício)
i = taxa de crescimento, no formato “centesimal” (SEM MULTIPLICAR POR 100)
x = número de períodos de tempo (dias, meses, anos, etc.)
A constante “1”, na fórmula acima aparece quando se deduz a fórmula. A dedução dessa fórmula não é muito difícil, mas não a apresentarei aqui.
Então, para calcularmos o número M de sócios, basta substituir os dados que temos:
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C = 10 sócios (número inicial de sócios)
i = 2 taxa de crescimento (no formato centesimal)
Ficamos com:
M = 10. (1 + 2)x
M = 10. (3)x
M = 10. 3x
Logo, a resposta correta é a alternativa “C”.
Observação: É importante memorizar a fórmula do montante:
M = C.(1+i)x
pois ela pode ser utilizada em inúmeros tipos de problemas semelhantes, seja para o cálculo de aumento populacional, juros sobre empréstimos, etc. Por exemplo, o exercício 8 pode ser resolvido através dessa fórmula.
Exercício 7
| z + 2 | = 3
Este tipo de exercício é muito comum, em se tratando de números complexos. É interessante compreendê-lo bem, pois com freqüência aparece nos livros didáticos e concursos.
z é um número complexo, da forma:
z = x + yi
onde x e y são números reais e i é o símbolo da unidade imaginária.
A expressão
| z + 2 | = 3
significa que se somarmos o número complexo z ao número 2, e calcularmos o “módulo” dessa soma, obteremos o valor 3.
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Observação:
a) O número 2, acima, pode ser interpretado também como um número complexo, da forma: 2 + 0i
b) O módulo de um número complexo z = x + yi é dado por:
onde x é o coeficiente da parte real de z, e y é o coeficiente da parte imaginária de z.
Substituindo z = x + yi na expressão | z + 2 | = 3:
| z + 2 | = 3
| (x + yi) + 2 | = 3
Eliminando os parênteses:
| x + yi + 2 | = 3
Juntando os termos reais e os termos imaginários :
| x + 2 + yi | = 3
| (x + 2) + yi | = 3
Cálculo do módulo desse novo número complexo:
- Basta elevar a parte real (x + 2) ao quadrado, elevar o coeficiente (y) da parte imaginária ao quadrado , e somar tudo. Em seguida, extrai-se a raiz quadrada:
- Tínhamos:
| (x + 2) + yi | = 3
Então (calculando o módulo no lado esquerdo):
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Para eliminar a raiz quadrada, vamos elevar ambos os lados ao quadrado:
(x + 2)2 + (y)2 = 9
(x + 2)2 + y2 = 9
- Poderia-se pensar em desenvolver o produto notável anterior, eliminando os parênteses, etc., mas isto não é necessário para solucionar o exercício. Veja o porquê:
- Da Geometria Analítica, lembre-se da equação da circunferência:
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
onde:
(a, b) = centro da circunferência
r = raio da circunferência
Agora, analise a expressão a que chegamos anteriormente:
(x + 2)2 + y2 = 9
Observe que esta é a equação de uma circunferência, com:
a = - 2
(se aparece o sinal de mais na equação, é porque o “a” é negativo – reflita por quê !)
b = 0
r = 3
Vamos reescrever a expressão anterior, para ficar mais claro:
Tínhamos:
(x + 2)2 + y2 = 9
Reescrevendo:
(x + 2)2 + (y - 0)2 = 32
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- Note que subtraímos zero do y, colocando esse zero também entre parênteses, e isto não mudou em nada a expressão original.
- Note também que reescrevemos o 9 como 32, para ficar mais claro que 3 é o valor do raio
Dessa forma, quando lemos a expressão:
(x + 2)2 + y2 = 9
é importante conseguir enxergá-la como:
(x + 2)2 + (y - 0)2 = 32
que é a equação de uma circunferência com
Raio = 3Centro = (-2,0)
Portanto, a alternativa correta é a letra “A”.
Observações:
O -2 é negativo porque a equação original da circunferência possui o sinal de menos, mas a expressão a que chegamos possui um sinal de mais ( + ), o que significa que o 2 TEM DE SER NEGATIVO. Se o número ao lado do x (ou do y) aparece como negativo, significa que ele na verdade possui sinal positivo.
Por exemplo, se você vir uma equação assim:
(x - 2)2 + (y – 3) 2 = 16
significa que o centro da circunferência é ( +2, +3), e o raio é 4 (raiz quadrada de 16).
E se você vir uma equação assim:
(x + 3)2 + (y – 1) 2 = 25
significa que o centro da circunferência é ( -3, +1), e o raio é 5 (raiz quadrada de 25).
É importante revisar as principais operações com números imaginários, em livros do 2 º grau – reveja os conceitos de módulo, soma e multiplicação de números complexos, dentre outros assuntos. Reveja também em livros de Geometria Analítica, a equação da circunferência e a equação da elipse (pois muitas vezes esse tipo de exercício de números complexos resulta na equação de uma elipse, e não de uma circunferência).
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Exercício 8
Este exercício é semelhante ao exercício 6. Aqui, vou resolver de modo resumido. Leia o exercício 6 para maiores detalhes de como resolver este tipo de exercício.
Fórmula do montante:
M = C.(1+i)x
Vou mudar as letras apenas para ficar mais de acordo com o enunciado do exercício:
P = A.(1+i) t
onde:
P = População futura
A = População no instante inicial
i = taxa centesimal de crescimento da população
t = tempo (em anos)
Pelos dados do exercício, temos:
P = 40.000 (população futura)
A = 20.000 (população no instante inicial – 1995, no caso)
i = 0,1 (10%)
Obs.: Lembre-se que a taxa percentual (10%) sempre deve ser transformada em taxa centesimal, antes de entrar na fórmula (ou seja, basta dividir a taxa percentual por 100).
t = número de anos a ser calculado
Obs.: Quando tivermos calculado o número de anos (t), bastará somar ao ano de 1995, e obteremos a resposta para o problema.
Eis a resolução:
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P = A.(1+i) t
Substituindo os dados na fórmula acima:
40000 = 20000.(1+0,1) t
40000 = (1,1) t
20000
2 = (1,1) t
A variável t está no expoente. Equações em que a variável procurada está no expoente são solucionadas aplicando o logaritmo em ambos os membros. Podemos usar log (logaritmo na base 10) ou ln (logaritmo na base e). Como o exercício forneceu o logaritmo na base 10 (leia o enunciado do exercício), vamos aplicar log:
log 2 = log (1,1) t
Uma das propriedades dos logaritmos nos diz que o expoente pode “cair”:
log 2 = t . log (1,1)
Isolando a variável t:
log 2 __ = tlog (1,1)
O enunciado forneceu os valores de log 2 e log 1,1. Basta substituir:
0,3010 = t0,0414
Multiplicando por 10000 o numerador e o denominador da fração (apenas para facilitar as contas):
3010 = t414
Fazendo a divisão (ignorando a parte decimal, pois o exercício não exige casas decimais):
t = 7
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Isto significa que, partindo de uma população inicial de 20.000 (em 1995), levará 7 anos para que essa população atinja a marca de 40.000.
Então, isso ocorrerá (ocorreu) em:
1995 + 7 = 2002
A resposta correta é a alternativa “C”.
Exercício 9
Embora seja possível solucionar o problema apenas através de contas, incluí um esquema das roldanas:
120 RPM x RPM
O enunciado diz que as velocidades angulares (velocidades com que as roldanas giram) , em RPM (rotações por minuto) são inversamente proporcionais aos seus diâmetros.
Note o termo inversamente proporcionais.
Se representarmos a velocidade por V, e o diâmetro por D, podemos escrever a seguinte relação:
V = k. 1_ D
onde k é a constante de proporcionalidade.
Observações:
a) Escrevemos 1/D (inverso de D) porque o enunciado diz que a velocidade é INVERSAMENTE proporcional ao diâmetro (poderíamos também deixar o D “normal” e escrever 1/V , tanto faz).
b) A constante k é um número qualquer, pois não sabemos “quantas vezes” a velocidade corresponde ao inverso do diâmetro. Essa constante k aparece em todos os problemas que envolvem proporção. Para maiores detalhes, estude esse assunto (razões e proporções) em algum livro de 2º grau. Os livros de Matemática Financeira também apresentam esse assunto. Estude também o assunto “Regras de Sociedade”, pois ele envolve razões e proporções.
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-----Fim das observações
Usando a expressão anterior, podemos calcular a constante k através dos dados da roldana menor, pois conhecemos sua velocidade (120 RPM) e seu diâmetro (15 cm):
V = k. 1_ D
120 = k. 1_ 15
120.15 = k
k = 1800
Agora, podemos calcular a velocidade da outra roldana:
V = k. 1_ D
V = 1800. 1_ 20V = 1800 20
V = 180 2
V = 90 RPM
Logo, a alternativa correta é a “D”
Exercício 10
Para resolver este tipo de equação exponencial, devemos transformar um (ou ambos) os membros da equação, de modo que ambos os membros sejam escritos na mesma base.
5x = 0,04
Como o lado esquerdo já está “simplificado”, vamos transformar o lado direito, até obter um 5 como base (para ficar igual ao 5 do lado esquerdo).
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Reescrevendo o 0,04:
5x = 4_ 100
Simplificando a fração:
5x = 1_ 25
Escrevendo o 25 como potência de 5 (porque nós queremos obter um 5 no lado direito):
5x = 1_ 52
Podemos “passar” o 5 que está no denominador para o numerador, bastando trocar o sinal do expoente:
5x = 5-2
Como as bases são iguais, podemos igualar os expoentes:
x = -2
Logo, a resposta é a alternativa “E”
Exercício 11
Afirmação “I”
Primeiro, faça um desenho de uma pirâmide de base triangular (ou de base quadrada, ou de base pentagonal), e leia cuidadosamente os ítens abaixo, para compreendê-los bem.
a) Uma pirâmide tem uma base poligonal (ou seja, a base pode ser um triângulo, um quadrado, um pentágono, etc.) e um ponto fora deste polígono (a “ponta” da pirâmide) que é ligado a todos os vértices do polígono da base.
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b) Se o polígono (da base da pirâmide) tem n lados, então o número de arestas da base é n (os n lados do polígono). Por exemplo, se a base da pirâmide é um triângulo, a pirâmide possui 3 arestas na base; se a base é um quadrado, a pirâmide possui 4 arestas na base; etc.
c) Se o polígono da base tem n lados, então ele também tem n vértices. Por exemplo, se a base da pirâmide é um triângulo (n = 3 lados), ele possui 3 vértices. Se a base é um quadrado (n = 4 lados), ele possui 4 vértices; etc.
d) De cada vértice do polígono da base, sai uma aresta que se liga até o ponto fora do polígono (ou seja, que se liga à “ponta” da pirâmide). Então, se a base tem n vértices, existem n arestas que saem da base e vão até a “ponta” da pirâmide.
e) Logo, o número total de arestas de uma pirâmide é:
Total de arestas = arestas da base + arestas até a “ponta”
Total de arestas = n + n
Total de arestas = 2n
f) A afirmação é que a pirâmide tem 30 arestas. Então:
Total de arestas = 2n
30 = 2n
n = 30/2
n = 15
O que é n = 15 ?
Pelo item “b” e “c” (leia-os novamente), sabemos que n é o número de lados do polígono da base, e também é o número de vértices desse polígono da base.
Portanto, o número de vértices do polígono da base = 15.
g) Pelo item “a”, sabemos que toda pirâmide tem n vértices do polígono de sua base, mais o vértice da “ponta”.
Então, o número total de vértices da pirâmide é:
Total de vértices = Vértices do polígono da base + 1
Total de vértices = n + 1
Como calculamos n = 15:
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Total de vértices = 15 + 1
Total de vértices = 16
Logo, a afirmação “I” está correta.
Afirmação “II”
Observe os prismas a seguir. Se chamarmos de n o número de lados da face de cada prisma, teremos:
n = 3 n = 4 n = 5
Número de arestas:
A = 2.3 + 3 A = 2.4 + 4 A = 2.5 + 5A = 6 + 3 A = 8 + 4 A = 10 + 5A = 9 A = 12 A = 15
(três arestas em cada face, (quatro arestas em cada face, (cinco arestas em cada face,mais três arestas que ligam mais quatro arestas que ligam mais cinco arestas que ligamos vértices de uma face aos os vértices de uma face aos os vértices de uma face aosvértices da outra face) vértices da outra face) vértices da outra face)
Seguindo esse raciocínio para outros prismas, podemos concluir que a expressão para o número de arestas é:
A = 2n + n
A = 3n
onde n é o número de lados do polígono que forma as faces do prisma.
Vamos verificar se é possível existir um prisma com 93 arestas:
A = 3n
93 = 3n
23
n = 93 / 3
n = 31
Ou seja, para termos um prisma de 93 arestas, basta utilizarmos como face um polígono de 31 lados.
Logo, a afirmação II é falsa (pois EXISTEM prismas de 93 lados).
Observação:
Caso o resultado da divisão fosse um número não inteiro, então não seria possível construir um prisma com aquele número de arestas. Por exemplo: Existem prismas com 94 arestas ?
A = 3n
94 = 3n
n = 94 / 3
n = 31,333
Então, o polígono das faces teria de ter 31,333 lados, o que é impossível !!! Logo, não existem prismas com 94 arestas.
Afirmação “III”
O número de vértices (V) mais o número de faces (F) é igual ao número de faces (A) + 2:
V + F = A + 2
(pesquise por esta fórmula em um livro de Geometria Espacial; se você fizer o desenho de um tetraedro, de um cubo, etc., e contar o número de vértices, faces e arestas, poderá facilmente constatar a fórmula acima)
Como são 12 arestas e 7 vértices (o enunciado diz isso):
7 + F = 12 + 2
24
7 + F = 14
F = 14 – 7
F = 7
Portanto, esta afirmação está correta.
A resposta, portanto é a alternativa “B”.
Exercício 12
Para calcular o perímetro do quadrilátero PQBR, necessitamos descobrir as medidas dos lados PQ, RB, BQ e RP, pois:
Perímetro = PQ +RB + BQ + RP
a) Como a reta r é paralela ao lado AB, podemos concluir que PQ é paralelo a RB
b) Como a reta s é paralela a BC, podemos concluir que RP é paralelo a BQ
c) Sendo PQ // RB e RP // BQ, temos um paralelogramo.
Então, podemos concluir que:
PQ = RB e RP = BQ
d) Da conclusão anterior, sabemos que o perímetros do quadrilátero (paralelogramo) PQBR é dado por:
Perímetro = RB + RB + RP + RP
Perímetro = 2RB + 2RP
Logo, se conseguirmos encontrar os valores de RB e de RP, poderemos calcular o perímetro.
Observação:
Em vez de RB e RP, poderíamos ter escrito o perímetro em função de PQ e BQ:
Perímetro = 2PQ + 2BQ
------ Final da observação ------
25
Para encontrar os valores de RB e RP, acompanhe o raciocínio a seguir.
e) AB = 6 (o problema forneceu)
AP = AB ( o problema forneceu
Logo:
AP = 6
f) AC = 8 (o problema forneceu)
Como AP = 6 (deduzido acima), então:
PC = 8 – AP (examine o desenho – é fácil concluir isto)
PC = 8 - 6
PC = 2
g) Os triângulos ABC e ARP são semelhantes (cada lado de um é proporcional ao respectivo lado do outro).
Quando temos triângulos semelhantes, podemos criar diversas relações entre seus lados.
Vou escolher aquelas que eu achei serem as mais fáceis para solucionar o problema:
Do triângulo ABC, vamos usar os lados AB e AC.
Do triângulo ARP, vamos usar os lados AR (que é respectivo a AB) e AP (que é respectivo a AC).
Então, podemos escrever:
AB = ACAR AP
(AB está para AR assim como AC está para AP)
Substituindo os dados conhecidos (AB = 6, AC = 8 e AP = 6):
6_ = 8AR 6
26
6.6 = 8.AR
36 = 8.AR
36 = AR 8
AR = 9 2
h) RB = AB – AR (veja o desenho)
RB = 6 – 9 2
RB = 3 2
Encontramos a medida de RB, que é um dos lados do quadrilátero !
Falta encontrar a medida do lado RP
i) Vamos utilizar novamente os conceitos de “semelhança de triângulos”:
Do triângulo ABC, vamos usar os lados AC e BC.
Do triângulo ARP, vamos usar os lados AP (que é respectivo a AC) e RP (que é respectivo a BC).
Então, podemos escrever:
AC = BCAP RP
(AC está para AP assim como BC está para RP)
Substituindo os dados conhecidos (AC = 8, AP = 6 e BC = 9):
8_ = 9 . 6 RP
8.RP = 6.9
8RP = 54
RP = 54 8
27
RP = 27 4
Encontramos o outro lado desejado !!!
j) Finalmente, podemos calcular o perímetro.
Tínhamos que (ver item “d”):
Perímetro = 2RB + 2RP
Substituindo os valores encontrados nos ítens “h” e “i”:
Perímetro = 2.3 + 2.27 2 4
Perímetro = 3 + 27 2Perímetro = 3 + 13,5
Perímetro = 16,5
Portanto, a resposta correta é a alternativa “E”.
Exercício 13
A reta foi dada através de suas equações paramétricas:
x = 1 + 2ty = 2 + 3t
Vamos deixá-la na forma reduzida, para facilitar o entendimento:
Isolando o t na primeira equação:
x = 1 + 2t
x – 1 = 2t
x-1 = t 2
e substituindo na segunda equação:
28
y = 2 + 3t
O coeficiente angular dessa reta, portanto, é 3/2.
A outra reta foi dada em sua “equação geral” (ou “equação cartesiana”):
kx – y = 3
Vamos também escrevê-la na sua forma reduzida, para facilitar as comparações:
kx – y = 3
– y = 3 - kx
y = kx + 3
Portanto, o coeficiente angular dessa reta é k.
Para que duas retas sejam perpendiculares, devemos ter:
m2 = - 1_ m1
Ou seja, o coeficiente angular da segunda reta deve ser igual ao inverso do coeficiente angular da primeira reta, mas com o SINAL TROCADO. Note que o sinal de menos, na expressão anterior, não significa que sempre teremos um valor negativo, mas sim que devemos TROCAR O SINAL do inverso do coeficiente angular da primeira reta.
O coeficiente angular da primeira reta é 3/2, e o coeficiente angular da segunda reta é k.
Então:
29
m2 = - 1_ m1
k = - 1_ 3 2
k = - 2 3
Portanto, a alternativa correta é a “B”.
Exercício 14
Comece fazendo um diagrama de todas as possibilidades que podem ocorrer, no lançamento das 4 moedas:
Se o primeiro lançamento for cara (C), os demais podem ser:
Se o primeiro lançamento for coroa (K), os demais podem ser:
30
Como você pode observar, ao fazermos 4 lançamentos, temos 16 possibilidades no total.
Agora, vamos analisar cada uma das alternativas, para verificar qual delas é a correta (leia o enunciado do exercício):
Afirmação “A”
O fato de terem ocorrido três caras (C C C ) nos três primeiros lançamentos não tem influência sobre o que vai ocorrer no último lançamento. No momento de fazermos o 4º lançamento, temos uma moeda na mão, e há 50% de sair cara (C) e 50% de sair coroa.
Obs.: Há problemas de probabilidade em que o que ocorreu antes de um dado evento influencia no que vai ocorrer nos eventos seguintes, mas no caso deste exercício, o 4º
lançamento é independente dos três primeiros (aliás, cada um dos lançamentos é independente dos demais).
Logo, a resposta da afirmação “A” seria 50%, e não 75%. Portanto, a afirmação “A” é falsa.
Afirmação “B”
Observando o diagrama, vemos que há somente uma possibilidade de ocorrer cara nos 4 lançamentos:
C C C CComo temos 16 possibilidades de resultados dos lançamentos, então a probabilidade de ocorrer C C C C é:
31
1 = 0,625 = 6,25%. 16
Observação: Outro modo de pensar sobre esta afirmação é este:
Em cada lançamento, a probabilidade de ocorrer cara (C) é de 50%, ou seja, ½ . Então, a probabilidade de ocorrer C e C e C e C é dada pela multiplicação:
½ . ½ . ½ . ½ = 1/16 = 0,625 = 6,25%.
Logo, a afirmação “B” também é falsa.
Afirmação “C”
Esta afirmação é igual à afirmação “B”, bastando fazer a análise para 4 coroas (em vez de 4 caras):
K K K K
- Siga o mesmo raciocínio da resolução da afirmação “B”, e conclua que a resposta correta seria de 6,25%.
Portanto, a afirmação “C” é falsa.
Afirmação “D”
As possibilidades de saírem pelo menos duas caras equivale a dizer que queremos:
2 caras e 2 coroas
OU
3 caras e 1 coroa
OU
4 caras
Analise os diagramas, e observe que as possibilidades de ocorrerem as combinações acima são estas:
No primeiro diagrama:
32
CCCCCCCKCCKCCCKKCKCCCKCKCKKC
No segundo diagrama:
KCCCKCCKKCKCKKCC
Portanto, temo 11 possibilidades de obter pelo menos 2 caras. Como são 16 possibilidades no total, temos que a probabilidade é:
11 = 0,6875 = 68,75%16
Portanto, a afirmação “D” está correta.
Observação:
Outro modo de resolver:
Obter pelo menos 2 caras é o mesmo que dizer QUE NÃO QUEREMOS as seguintes possibilidades:
4 coroas3 coroas
Então, o que NÃO QUEREMOS são estas possibilidades:
No primeiro diagrama:
CKKK
No segundo diagrama:
KCKKKKCKKKKCKKKK
Portanto, temos 5 possibilidades que NÃO QUEREMOS (o que foi mais fácil de contar).
33
Então, a probabilidade do que NÃO QUEREMOS é:
5 = 0,3125 = 31,25%16
Então, a probabilidade dos eventos que nós QUEREMOS é 1 – 0,3125 (100% - 31,25%), ou seja:
16 - 5 = 11 = 0,6875 = 68,75%16 16 16
Afirmação “E”
Obs.: Uma vez que já encontramos a afirmação correta (D), não seria necessário resolver esta afirmação – mas fica como um exercício adicional. Além disso, serve como conferência, pois se você descobrir que a afirmação “E” também está correta, significa que errou nos cálculos de alguma delas.
A probabilidade de sair pelo menos uma cara equivale a dizer que nós NÃO QUEREMOS QUE TODAS SEJAM COROAS.
Ou seja, nós NÃO QUEREMOS isto:
KKKK
E a possibilidade de KKKK é apenas 1 caso, dentre 16 possibilidades.
Então, a probabilidade de KKKK é:
1 = 0,625 = 6,25%16
Então, para obtermos a probabilidade de ter pelo menos 1 cara, basta subtrair:
1 – 0,625 = 0,9375 = 93,75%
Ou:
16 - 1 = 15 = 0,9375 = 93,75%16 16 16
34
Portanto, a afirmação “E” é falsa.Observação:
Um outro modo de resolver seria contar todas as possibilidades de ocorrer:
1 cara e 3 coroas2 caras e 2 coroas3 caras e 1 coroa
Encontraríamos, neste caso, as 15 possibilidades (o que daria muito mais trabalho !).Então, calcularíamos:
15 = 0,9375 = 93,75%16
Exercício 15
L(x) = R(x) – C(x)
(O lucro é a diferença entre a receita e o custo)
Subtraindo (Rx) – C(x):
R(x) = – 5x2 + 600xC(x) = 100x + 10500L(x) = – 5x2 + 500X - 10500
Dividindo por 5:
L(x) = – x2 + 100X - 2100
O ponto de máximo da função L(x), ou seja, o lucro máximo, é obtido igualando a primeira derivada a zero:
A derivada de L(x) é:
L’(x) = –2x + 100
Igualando a primeira derivada a zero:
–2x + 100 = 0
–2x = -100
35
2x = 100
x = 50
A alternativa correta é a “E”
Exercício 16
Para calcular o raio de uma circunferência, é necessário conhecer o comprimento de toda a circunferência, para podermos aplicar a fórmula:
C = 2R
Por isso, vamos calcular o comprimento da circunferência (C).
O enunciado nos diz que um ângulo de 120º tem o comprimento de 8 cm
Observação: 8 cm = 8 cm x 3,14 = 25,12 cm (mas isto não importa).
Para encontrar C, basta calcular a seguinte “regra de três”:
Ângulo em graus Ângulo em radianos
120 8360 x
120x = 360 . 8
x = 360 . 8 120
x = 36 . 8 12
x = 3 . 8
x = 24 cm
Portanto, 360º, ou seja, a circunferência toda, tem 24 cm.
Aplicando na expressão:
C = 2R
24 = 2R
36
24 = R2
R = 12 cm
Resposta: Alternativa “C”
Exercício 17
Para solucionar este exercício, é necessário descobrir qual o perímetro de cada triângulo, e somarmos.
O 1º triângulo tem lado = 4. Perímetro = 3 . 4 = 12
O 2º triângulo tem lado = 2, pois é formadoa partir dos pontos médios dos lados do1º triângulo. Perímetro = 3 . 2 =6
O 3º triângulo tem lado = 1, pois é formadoa partir dos pontos médios dos lados do 2º
triângulo. Perímetro = 3 . 1 = 3
O 4º triângulo tem lado = ½, pois é formadoa partir dos pontos médios dos lados do 3º
triângulo. Perímetro = 3 . ½ = 3/2
O 5º triângulo tem lado = ¼, pois é formadoa partir dos pontos médios dos lados do 4º
triângulo. Perímetro = 3 . ¼ = 3/4
Seguindo esse raciocínio “infinitamente”, temos que a soma dos perímetros de todos os triângulos é dada por:
S = 12 + 6 + 3 + 3/2 + 3/4 + ...
Esta é uma PG com razão ½ (cada termo é igual ao anterior, multiplicado por ½.
A fórmula para calcular a soma de uma PG finita é:
37
(quando o número de termos n é finito)
onde:
a1 = primeiro termo da PG
q = razão da PG
No caso desta questão, a PG é infinita, pois teoricamente nós podemos repetir o processo de construção de um triângulo dentro do outro, eternamente.
Quando a PG é infinita e a razão é um número fracionário maior que–1 e menor que 1, a soma da PG é dada por:
(quando o número de termos n é infinito, e –1 < q < 1 )
Nesta questão, a razão é ½. Portanto, podemos utilizar esta segunda fórmula:
Portanto, o perímetro é 24
Resposta: Alternativa “C”.
38
Exercício 18
r.sen = 3
r = r(1+cos)
Tomando a segunda equação:
r = r(1+cos)
E dividindo-a por r:
1 = 1.(1+cos)
1 = (1+cos)
1 = 1+cos
1 –1 = cos
cos = 0
Os únicos ângulos entre 0 e 2 que possuem co-seno igual a zero são:
= /2
e
= 3/2
Vamos estudar cada possibilidade:
Para = /2:
Substituindo agora na primeira equação:
r.sen = 3
r = 3_ . sen
39
r = 3_ . sen (/2)
r = 3 . 1
r = 3
O enunciado determina que r > 0 . Logo, ( r, ) = (3, /2) é uma solução válida. A alternativa “B” é a correta.
Neste momento, como já encontramos a resposta correta, não seria necessário examinar a outra possibilidade para o ângulo , mas vamos fazê-lo, como treino.
Para = 3 /2:
Substituindo na primeira equação:
r.sen = 3
r = 3 . sen
r = 3 . sen (3/2)
r = 3 . -1
r = -3
Este valor para r (negativo) não é aceitável, pois o enunciado determina que r > 0 . Por isso, ( r, ) = (-3, 3/2) NÃO É uma solução válida.
40
Exercício 19
Para solucionar este problema, observe a figura seguinte.
Partimos do triângulo original, com vértices (1,4), (3,5) e (4,1) - veja o triângulo no primeiro quadrante.
Depois, encontramos o segundo triângulo, construindo pontos simétricos em relação ao eixo y (basta trocar o sinal dos x), obtendo os vértices (-1,4), (-3,5) e (-4,1), no segundo quadrante.
Finalmente, encontramos o terceiro triângulo, construindo pontos simétricos em relação ao eixo x (basta trocar o sinal dos y), obtendo os vértices (-1,4), (-3,5) e (-4,1), no terceiro quadrante.
A resposta correta, portanto, é a alternativa “C”.
Exercício 20
Para solucionar problemas envolvendo retas, é necessário ter em mente as várias formas com que se apresentam as equações de uma reta. As principais formas são:
y = mx + b (equação reduzida)
41
y1 – y0 = m (x1 – x0) (equação que passa por dois pontos)
Examinando o gráfico, percebemos que ele fornece dois pontos da reta:
(x1, y1) = (0, 25,5)
e
(x0, y0) = (8, 13,5)
Obs.: Tanto faz a ordem com que numeramos os pontos.
Então, podemos usar a equação 2, para determinar o coeficiente angular da reta (m):
y1 – y0 = m (x1 – x0)
25,5 - 13,5 = m ( 0 – 8)
12 = -8m
m = 12/-8
m = -3/2
(Observe o que o coeficiente é negativo, o que condiz com a inclinação da reta no gráfico)
Agora, vamos usar a equação geral:
y = mx + b
Sabemos que o coeficiente linear (b) é o valor no qual a reta cruza o eixo y, ou seja é o valor de y para o qual x = 0. Examinando o gráfico, percebemos que para x = 0, y = 25,5. Então, o valor em que a reta corta o eixo y é 25,5. Logo, b = 25,5.
y = mx + 25,5
E, pelo cálculo anterior, temos que m = -3/2
Logo, a equação reduzida da reta fica assim:
y = -3 x + 25,5 2
42
O exercício pergunta quando o carro não terá valor algum, ou seja, quando o valor y = 0:
y = -3 x + 25,5 2
0 = -3 x + 25,5 2
- 25,5 = -3 x 2
- 25,5 = -3 x 2
-51 = -3x
x = -51 -3
x = 17 anos
Logo, a alternativa correta é a “E”.
Observação:
Logo depois de termos calculado m = -3/2, poderíamos ter usado a segunda equação da reta, para chegarmos ao mesmo resultado. Assim, não teríamos de calcular o valor do coeficiente b.Vamos ver como fica:
Desta vez, vamos usar os seguintes pontos:
(x1, y1) = (0, 25,5)
e
(x0, y0) = (x, y) x e y são os valores que desejamos conhecer.
Porém, note que o valor de y é zero, pois queremos descobrir em que momento (x) o valor do carro será zero ( y = 0). Então, ficamos com:
43
(x0, y0) = (x, 0)
Lembre-se que tanto faz a ordem em que numeramos os pontos; poderíamos ter feito assim:
(x0, y0) = (0, 25,5)
e
(x1, y1) = (x, 0)
Vamos à equação:
y1 – y0 = m(x1 – x0)
25,5 - 0 = -3( 0 – x) 2
25,5 = -3(– x) 2
25,5 = 3x 2
51 = 3x
x = 51 3
x = 17 (mesmo valor encontrado anteriormente)
Exercício 21
P = preço de custo
L = Lucro
V = Preço de Venda
L = V – P (o lucro é a diferença entre o preço de venda e o preço de custo)
Além disso, o problema informa eu o artigo é revendido com lucro de 40%.
44
Para aumentar um valor de uma certa taxa, passamos a taxa para o formato centesimal (dividindo-a por 100) e somamos 1:
40% = 40/100 = 0,40
Taxa = 1 + 0,40
Taxa = 1,4
Uma vez obtida a taxa, conforme descrito acima, basta multiplicar o valor que se quer reajustar por essa taxa. Então, o preço de venda é dado por:
V = 1,4.P (o preço de venda é igual ao preço de custo acrescentado de 40%)
Agora, vamos calcular qual é o preço com desconto (PD), para sabermos se o lojista teve lucro ou prejuízo.
O lojista deu um desconto de 30% sobre o preço de venda. Isto equivale a dizer que o preço com desconto é 70% do preço de venda:
70% = 70/100 = 0,7
PD = 0,7.V (o preço com desconto equivale a 70% do preço normal de venda)
Tínhamos que:
V = 1,4.P
Substituindo esse resultado na equação do preço com desconto, ficamos com:
PD = 0,7 V
PD = 0,7 . (1,4P)
PD = 0,98P
Isto significa que o preço com desconto equivale a 98% (98/100 = 0,98) do preço de custo.
Ou seja, o lojista perdeu 2%.
A alternativa correta é a “A”.
Exercício 22
45
a) O volume da pirâmide é dado por:
Vp = 1 Ah 3
onde:
A = área da base da pirâmide (que pode ser quadrada, triangular, etc.)
h = altura da pirâmide
b) O volume do cubo é dado por:
Vc = l3 (ou seja: l x l x l)
onde:
l = lado do cubo
c) Observando a figura, vemos que a área da base da pirâmide é:
A = l2 (a área da base da pirâmide é lado vezes lado)
e a altura da pirâmide é :
h = l (a altura da pirâmide é igual ao lado do cubo, pois a pirâmide possui a mesma altura que o cubo).
d) Então, o volume da pirâmide é:
Vp = 1 Ah 3
Vp = 1 . l2.l 3
Vp = 1 l3
3
e) Mas :
l3 = Vc (veja o item “b”)
46
Substituindo na expressão obtida no item “d”:
Vp = 1 l3
3
Vp = 1 Vc
3
( volume da pirâmide corresponde a 1/3 do volume do cubo que a contém)
Transformando 1/3 em percentual:
1/3 = 0,3333... = 33% (aproximadamente)
f) Isto significa que, ao mergulharmos a pirâmide no cubo com água, 33% da água é jogada para fora, sobrando 67% da água (100% - 33%).
Logo, a resposta correta é a alternativa “D”
Exercício 23
a) O cozinheiro possui 10 litros da mistura, sendo 5 litros de água e 5 litros de leite (o problema afirma isso).
b) Ele terá de acrescentar leite ou água. Vamos chamar a quantidade de leite a ser acrescentada de “L”. A quantidade de água a ser acrescentada será chamada de “A”.
c) Note que, de antemão, sabemos que será acrescentado apenas mais leite, ou apenas mais água, pois nenhuma das alternativas oferece a possibilidade de acrescentar-se leite E água ao mesmo tempo. Todavia, este fato não influenciará na resolução da questão.
d) Vamos supor que seja acrescentada uma certa quantidade “A” de água. A mistura final deverá obedecer a seguinte equação:
5 + A = 210 + A 5
Sendo:
5 + A = cinco litros iniciais (que estão misturados com leite) mais “A” litros de água
10 + A = dez litros iniciais da mistura, mais “A” litros de água
47
A divisão da nova quantidade de água ( 5 + A) pela nova quantidade total da mistura ( 10 + A) deverá resultar em 2/5.
Fazendo as contas:5(5 + A) = 2(10+A)
25 + 5A = 20 + 2A
5A – 2A = 20 - 25
3A = -5
A = -5 (aproximadamente -1,67 litros) 3
Ou seja se o cozinheiro fosse alterar a quantidade de água, teria de subtrair 1,67 litros da mistura. Essa hipótese não está contemplada em nenhuma das alternativas. Logo, teremos de examinar a possibilidade de acrescentar mais leite. Veja a seguir.
e) Vamos supor que seja acrescentada uma certa quantidade “L” de leite. A mistura final deverá obedecer a seguinte equação:
5 + L = 310 + L 5
Sendo:
5 + L = cinco litros iniciais (que estão misturados com leite) mais “L” litros de leite
10 + L = dez litros iniciais da mistura, mais “L” litros de água
A divisão da nova quantidade de água ( 5 + L) pela nova quantidade total da mistura ( 10 + L) deverá resultar em 2/5.
Fazendo as contas:
5(5 + A) = 3(10+L)
25 + 5L = 30 + 3L
5L – 3L = 30 - 25
2L = 5
L = 5 (ou seja, 2,5 litros)
48
2
Ou seja se o cozinheiro deve acrescentar 2,5 litros de leite, para obter a proporção mencionada na questão.
Logo, a alternativa correta é a “A“.
Exercício 24
a) A equação reduzida de uma circunferência é:
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
Onde:
a e b são os centros da circunferência, ou seja:
C = (a,b) => centro da circunferência
r = raio da circunferência
No entanto, a equação fornecida na questão é a equação “geral” da circunferência.
Para obter a equação geral, partimos da equação reduzida e desenvolvemos os produtos notáveis:
(x – a)2 + (y – b)2 = r2
x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 = r2
Agrupando os termos semelhantes (lembrando que a, b e r são números):
x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 - r2 = 0 (equação geral da circunferência)
b) Agora, vamos comparar a equação fornecida na questão, com a equação geral obtida no item anterior:
x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 - r2 = 0
x2 + y2 – 12x – 16y + 91 = 0
Comparando cada posição da equações acima, sabemos que:
-2ax = -12x
49
-2by = -16y
a2 + b2 - r2 = 91
(lembre-se que a, b e r são números; destaquei essa parte em negrito, nas duas equações, apenas para chamar a sua atenção)
Resolvendo as equações acima, para encontrar a, b e r:
-2ax = -12x
Dividindo por x:
-2a = -12
a = 6
-2by = -16y
Dividindo por y:
-2b = -16
b = 8
Agora, podemos substituir o valor de a e b na terceira equação, e encontrar r:
a2 + b2 - r2 = 91
62 + 82 - r2 = 91
36 + 64 - r2 = 91
100 - r2 = 91
- r2 = 91 – 100
- r2 = -9
r2 = 9
Extraindo a raiz quadrada dos dois lados, e tomando apenas o valor positivo (pois o raio não pode ser negativo):
r = 3
50
c) Portanto, a circunferência do problema tem os seguintes valores:
Centro: C = (6,8)
Raio: r = 3
d) Agora, vamos construir o gráfico, para compreender melhor o problema.
A reta (verde) que passa pelo centro da circunferência (6,8), e pela origem dos eixos (0,0) também passa pelo ponto de tangência (isso é dito no prolema).
Note que, nessas condições, existem dois possíveis pontos de tangência, um na parte inferior da circunferência, e outro na parte superior. Ou seja, existem dois possíveis pontos de tangência porque o problema afirma que os pontos (0,0) , o centro da circunferência e o ponto de tangência são colineares. Construindo o gráfico, “naturalmente” aparecem dois pontos de tangência. As retas tangentes estão representadas no gráfico apenas para você compreender melhor o problema. Não será necessário efetivamente calcular que retas são essas.
e) O problema pergunta qual é a distância entre a origem (0,0) e o(s) ponto(s) de tangência.
51
Para resolver isto, teremos que descobrir as coordenadas dos pontos de tangência, e então aplicar a fórmula da distância entre dois pontos (que será mostrada mais adiante).
Para descobrir as coordenadas dos pontos de tangência, temos que resolver a seguinte questão: Em que ponto(s) a reta (verde) que passa pela origem intercepta a circunferência ?
Será necessário descobrir qual é a equação da reta que passa pela origem.
f) No gráfico, observe que conhecemos dois pontos que pertencem à reta (verde) que passa pela origem:
P0 = (0,0)
P1 = (6,8) (pois a reta passa no centro da circunferência)
Então, podemos usar a “equação da reta que passa por dois pontos” (já vista em outros exercícios desta prova), para encontrar o coeficiente angular da reta:
y1 – y0 = m (x1 – x0) (equação que passa por dois pontos)
Substituindo os pontos acima:
8 – 0 = m (6 – 0)
8 = 6m
m = 8/6
m = 4/3 (coeficiente angular da reta que passa pela origem e pelo centro da circunferência)
Então, a equação da reta é:
y = 4x + b 3
Falta descobrir o coeficiente linear (b) da reta.
Entretanto, isto é imediato, pois o coeficiente linear (b) é o ponto onde a reta cruza com o eixo y, ou seja, onde x = 0. E já sabemos que para x = 0, y = 0 (veja o gráfico). Portanto, b = 0.
Logo, a equação da reta é:y = 4x
52
3
g) Agora, vamos encontrar os pontos de tangência, que são os pontos em que a reta intercepta a circunferência. Isto equivale a resolver o seguinte sistema:
y = 4x 3
x2 + y2 – 12x – 16y + 91 = 0
(isto pode não estar parecendo familiar, mas é simplesmente um sistema de duas equações, com duas incógnitas).
Vamos aproveitar que a variável y já está isolada, na primeira equação, e vamos substituir na segunda equação:
Resolvendo a equação de segundo grau:
= b2-4ac
= 90000 – 4 . 25 . 819
= 90000 – 81900
= 8100
53
Portanto:
(valor de x do primeiro ponto de tangência)
(valor de x do segundo ponto de tangência)
Vamos calcular o valor de y, para cada um dos pontos de tangência:
Para x = 39 5
y = 4x 3
y = 4 . 39 3 5
y = 4 . 13 1 5
y = 52 = 10,4 5
Para x = 21 5
y = 4x 3
y = 4 . 21 3 5
54
y = 4 . 7 1 5
y = 28 = 5,6 5
Então, os pontos de tangência são:
P1 = (39,52) = (7,8 , 10,4) 5 5
P2 = (21,28) = (4,2 , 5,6) 5 5
Falta apenas calcular a distância da origem (0,0) até cada um dos pontos de tangência (que, afinal, é o que a questão está pedindo).
A distância entre dois pontos é dada por:
Distância da origem até o ponto (39, 52) 5 5
d = 13 => distância da origem até o ponto o ponto (39, 52) 5 5Agora, vamos calcular a distância da origem até o ponto (21, 28)
55
5 5
d = 7 => distância da origem até o ponto o ponto (21, 28) 5 5
Resposta: Alternativa “A”
Exercício 25
Primeiro modo:
- A fileira do meio possui somente ladrilhos claros
- A primeira e terceira fileira possuem ladrilhos claros e escuros intercalados, mas sempre possui um LADRILHO ESCURO A MAIS QUE OS LADRILHOS CLAROS.
- Com 100 ladrilhos escuros, necessariamente a primeira fileira terá 50 ladrilhos escuros, e a terceira fileira terá 50 ladrilhos escuros também (pois a primeira e a terceira fileira são iguais).
- Além disso, a primeira fileira terá 49 ladrilhos claros, pois o número de ladrilhos claros sempre é uma unidade a menor que o número de ladrilhos escuros. O mesmo vale para a terceira fileira, ou seja, terá também 49 ladrilhos claros.
- Então, até o momento, temos:
Primeira fileira: 50 ladrilhos escuros e 49 clarosTerceira fileira: 50 ladrilhos escuros e 49 claros
56
Isto significa que a primeira e terceira fileiras posuem 50 + 49 = 99 ladrilhos
- Ora, se a primeira e terceira fileiras possuem 99 ladrilhos, então a fileira do meio tem de possuir 99 ladrilhos, TODOS CLAROS.
- Finalmente, somando todos os ladrilhos CLAROS:
Primeira fileira = 49 ladrilhos clarosSegunda fileira = 99 ladrilhos clarosTerceira fileira = 49 ladrilhos claros--------------------------------------------Total = 197 ladrilhos claros
Segundo modo:
O primeiro modo de resolução é perfeitamente válido, mas agora, vamos utilizar um modo mais “bonito” matematicamente (talvez seja este método que a pessoa que planejou o exercício tinha em mente).
Vamos construir os ladrilhos usando as letras “E” (ladrilhos escuros) e “C” (ladrilhos claros).
Pelo enunciado do exercício, note que:
a) A segunda fileira de ladrilhos sempre é constituída por ladrilhos CLAROS.
b) A primeira e a terceira fileira sempre são constituídas por ladrilhos ESCUROS, intercalados por ladrilhos CLAROS.
c) A primeira e a terceira fileira sempre se iniciam com um ladrilho ESCURO e sempre terminam com um ladrilho também ESCURO.
d) Com isto em mente, vamos constuir algumas possíveis “faixas” de ladrilhos, e identificar qual é a sua “lei de formação”.
A menor faixa possível é esta:
ContagemE C E E CC C C 4 5E C E
57
A segunda faixa possível é esta:
ContagemE C E C E E CC C C C C 6 9E C E C E
(Note que acrescentamos 2 ladrilhos escuros e 4 ladrilhos claros)
A terceira faixa possível é esta:
ContagemE C E C E C E E CC C C C C C E 8 13E C E C E C E
(Note que acrescentamos, mais uma vez, 2 ladrilhos escuros e 4 ladrilhos claros)
Com as faixas desenhadas anteriormente, já podemos perceber qual é a “lei de formação”. No entanto, vamos desenhar a faixa seguinte, para deixar mais claro qual é essa lei.
A quarta faixa possível é esta:
ContagemE C E C E C E C E E CC C C C C C E C E 10 17E C E C E C E C E
(Outra vez, acrescentamos 2 ladrilhos escuros e 4 ladrilhos claros)
Anotando todas as contagens em uma tabela, temos os seguintes resultados:
Número da Faixa(n)
Ladrilhos Escuros (E)
Ladrilhos Claros(C)
1 4 52 6 93 8 134 10 17... ... ...
n = ? 100 ?Então, construindo vários tipos de faixas, temos que:
58
- A quantidade de ladrilhos escuros é uma PA (progressão aritmética), com razão 2.
- A quantidade de ladrilhos escuros é uma PA (progressão aritmética), com razão 2.
- n é o número de termos da PA
O exercício questiona qual é o número de ladrilhos claros necessários para formar uma faixa que possua 100 ladrilhos escuros.
Para responder a essa pergunta, temos que descobrir o número “n” de termos da PA de ladrilhos escuros, quando o enésimo termo = 100.
Conforme já vimos na primeira questão desta prova, o termo geral da PA (o enésimo termo) é dado por:
an = a1 + r.(n-1) (termo geral de uma PA)
onde:
an = Último termo
a1 = Primeiro termo
n = Número de termos (quantidade de elementos da PA)
r = razão da PA
Na PA de ladrilhos escuros, quando an = 100, significa que teremos 100 ladrilhos escuros. Mas qual é o valor de n (o número da faixa que contém 100 ladrilhos escuros) ?
Cuidado !!! Neste exercício, n representa o número da faixa que será composta por 100 ladrilhos escuros. A variável n não é a quantidade de ladrilhos escuros, e sim o número da faixa que contém 100 ladrilhos escuros.
Substituindo na fórmula do termo geral, ficamos com:
an = a1 + r.(n-1)
100 = 4 + 2.(n-1)
100 = 4 + 2n-2
59
100 = 2 + 2n
100 –2 = 2n
98 = 2n
n = 49
Ou seja, se formos construindo várias faixas, seguindo a regra apresentada anteriormente, quando estivermos na 49ª faixa, teremos 100 ladrilhos escuros.
Com isto, podemos responder: Quando tivermos 100 ladrilhos escuros, quantos serão os ladrilhos claros ?
Agora ficou fácil. Basta calcular o termo an da PA de ladrilhos claros, usando n = 49. O valor de an será exatamente a quantidade de ladrilhos claros.
Cálculo da quantidade de ladrilhos claros, quando n = 49:
an = a1 + r.(n-1)
an = 5 + 4.(49-1)
an = 5 + 4.(48)
an = 5 + 192
an = 197
Portanto, quando tivermos uma faixa com 100 ladrilhos escuros (que seria a faixa número 49, dentre todas as faixas possíveis de serem construídas), teremos 197 ladrilhos claros.
Resposta: Alternativa “E”.
Exercício 26
- O polinômio P é P(x) e o polinômio Q é Q(x).
Pelo enunciado do exercício, sabemos que:
P(x) – Q(x) = x3 – 3x2 + 4x – 1Somando Q(x) em ambos os membros:
60
P(x) = x3 – 3x2 + 4x – 1 + Q(x)
Pelo enunciado, sabemos que:
Então, vamos substituir x = na expressão que encontramos acima. Tínhamos que:
P(x) = x3 – 3x2 + 4x – 1 + Q(x)
Para x = :
(ou seja, em todos os lugares em que estava o x, substituímos por )
Agora, substituindo na expressão anterior, e fazendo os cálculos:
Colocando em evidência, no lado esquerdo:
61
Colocando 5 em evidência, no lado esquerdo:
Resposta: Alternativa “E”.
Exercício 27
É conveniente que você faça os desenhos referentes a cada proposição, pois sem os desenhos fica muito difícil responder, já que este não é um exercício de “cálculos”, e sim de interpretação geométrica.
Vamos analisar cada proposição:
Proposição I
A reta r pode ser paralela ao plano, ou pode ser secante ao plano (pode “cortar” o plano).
Mas r é paralela a uma reta s, sendo que s pertence ao plano.
62
Logo, a reta r é paralela a todo o plano. A proposição é verdadeira.
Proposição II
Há duas retas (s e t, por exemplo) em um plano e elas são concorrentes (cruzam-se). Se uma reta r é perpendicular a essas duas retas, então r é perpendicular a qualquer outra reta que pertença ao plano. Logo, a proposição é verdadeira.
Proposição III
- Duas retas são reversas quando não existe nenhum plano que contenha ambas ao mesmo tempo.
Exemplo (veja a figura a seguir):
- Imagine-se dentro de uma sala vazia (você está, por exemplo, no fundo da sala):
- Imagine que, à sua esquerda, há uma reta vermelha (r) que vai do fundo até a frente da sala, acompanhando o rodapé.
- Agora, imagine que na parte da frente da sala há uma reta azul (s) que vai do lado esquerdo até o lado direito da sala, acompanhando o teto
- Então, as retas r e s, por você imaginadas, são reversas, pois você não conseguirá imaginar nenhum plano que contenha ambas as retas ao mesmo tempo.
- Nestas condições, a única reta que será perpendicular às retas r e s será uma reta t (verde), que passa na direção de baixo para cima na sala, acompanhando o canto esquerdo (ou seja, acompanhando a junção da parede lateral esquerda com a parede frontal da sala)
63
Portanto, a proposição III é verdadeira.
Resposta: As três proposições são verdadeiras: Alternativa “D”.
Exercício 28
Queremos formar grupos de 5 pessoas, sendo no mínimo 2 mulheres.
Os casos possíveis são estes:
a) Grupos com 2 mulheres e 3 homens:
M M H H H
Observação:
Existem variações, tais como: M H M H H, M H H M H, etc. Porém, elas não contam, pois estaríamos usando as mesmas pessoas, e o enunciado pede o número de escolhas distintas.
Por exemplo, se formarmos um grupo com:
Mônica, Magali, Tina, Rosinha, Chico Bento
e invertermos alguém na ordem em que aparecem:
Magali, Mônica, Tina, Rosinha, Chico Bento
não podemos contar duas vezes, pois são o mesmo grupo de pessoas.
b) Grupos com 3 mulheres e 2 homens:
M M M H H
(desconsideramos as suas variações: M M H M H, M M H H M, etc.)
c) Grupos com 4 mulheres e homem:
M M M M H
64
(novamente, suas variações são desconsideradas: M H M M M, M M H M M, etc.)d) Grupos com 5 ou mais mulheres:
Não é possível formar um grupo com 5 ou mais mulheres, pois existem somente 4 mulheres a serem escolhidas.
e) A resolução do problema consiste em calcularmos qual o número de possibilidades em cada tipo de grupo (“a”, “b” e “c”). Acompanhe o esquema a seguir.
Observe o esquema do grupo tipo “a” (2 mulheres e 3 homens)
M M H H H
Nas duas primeiras posições, devemos escolher 2 mulheres, de um total de 4 mulheres posíveis. Além disso, lembre-se que se escolhermos Mônica e Magali ou Magali e Mônica, não devemos contar duas vezes. Por isso, queremos uma COMBINAÇÃO de 4 mulheres, tomadas 2 a 2.
Observação: Se a ordem de escolha fizesse diferença, ou seja, se “Mônica e Magali” fosse diferente de “Magali e Mônica” (como numa competição esportiva, em que a ordem de colocação é importante), então teríamos de pensar em ARRANJOS.
A fórmula de uma combinação é:
Lê-se: “combinação de n elementos, tomados p a p”.
Então, no primeiro tipo de grupo, teremos:
Nas três últimas posições, devemos escolher 3 homens, de um total de 6. Então, teremos:
O número total de grupos do tipo
M M H H H
65
é dado pelo produto do número de combinações de mulheres pelo número de combinações de homens:M M H H H
C4,2 . C6,3
Calculando essas combinações:
Cancelando 2! na primeira fração e 3! na segunda fração:
6 . 20 = 120 grupos
Vamos seguir o mesmo raciocínio, para os demais tipos de grupos:
Grupo tipo “b”
M M M H H
C4,3 . C6,2
66
Cancelando 3! na primeira fração e 4! na segunda fração:
4 . 15 = 60 grupos
Grupo tipo “c”:
M M M M H
C4,4 . C6,1
Cancelando 4! na primeira fração e 5! na segunda fração:
1 . 6 = 6 grupos
67
Portanto, o número total de grupos distintos de 5 pessoas é:
120 + 60 + 6 = 186 grupos.
Resposta: Alternativa “B”
Exercício 29
Localize no plano cartesiano os pontos (0,-1) e (1,0):
Devemos encontrar um “desenho” (lugar geométrico) em que, se tomarmos qualquer ponto P=(x,y) desse desenho, teremos:
Distância entre o ponto P e (0,-1) = Distância entre o ponto P e (1,0).
O “desenho” que tem essa propriedade é uma reta que passa exatamente “no meio” dos pontos (0,-1) e (1,0). Veja o gráfico:
68
Tomando qualquer ponto P sobre a reta (em azul), a distância entre P e (0,-1) é igual à distância entre P e (1,0). Veja os exemplos dos pontos P1 e P2 (evidentemente, desconsidere os erros de distorção que cometi, durante a elaboração do gráfico).
A equação da reta azul mostrada no gráfico pode ser facilmente determinada, notando que a reta passa pela origem dos eixos (0,0) e divide os quadrantes 2 e 4 exatamente ao meio. Note, por exemplo, que o ponto P1 tem coordenadas (1,1). A equação de uma reta que passa pela origem e divide ao meio os quadrantes 2 e 4 é:
y = -x
Observações:
Sabemos que o coeficiente de x tem de ser negativo, devido à inclinação da reta mostrada no gráfico (se lermos o gráfico começando de cima e à esquerda, podemos dizer que a inclinação da reta é “da esquerda para a direita, e de cima para baixo”; retas com esse tipo de inclinação sempre têm o coeficiente de x negativo).
Se a reta passasse pela origem, mas cortando os quadrantes 1 e 3, então sua equação seria:
y = x
69
O coeficiente de x seria positivo, implicando na inclinação “contrária” à que foi mostrada no gráfico anterior.
Resposta: Alternativa “C”.
Exercício 30
Reconstrua a tabela, calculando os totais de cada grupo:
Idioma Homens Mulheres TotalInglês 45 30 75Francês 17 33 50Espanhol 42 58 100Total 104 121 225
Na verdade, a coluna de totais que nos interessará é apenas a da direita da tabela.
Como sabemos de antemão que a pessoa escolhida fala espanhol (o enunciado do problema afirma isso), basta calcular qual é a probabilidade de ser escolhida uma mulher, dentro do grupo que fala espanhol.
Temos 100 pessoas que falam espanhol. Dessas, 58 são mulheres. Então:
58 = 0,58 (58%)100
Resposta: Alternativa “B”.
Exercício 31
a) No círculo fornecido na questão, trace o segmento AM.
b) Note que os pontos APM formam um triângulo retângulo, com categos AP e PM, e hipotenusa AM.
c) Pelo Teorema de Pitágoras:
(AM)2 = (AP)2 + (PM)2
Temos a medida de AP = 4 (o enunciado nos diz isso), mas falta AM (que é solicitado na questão), e falta também PM.
Como a medida de PM não é conhecida, teremos que primeiramente calculá-la.
70
d) Trace o segmento CM, e note que temos um outro triângulo retângulo, com catetos PM e PC, e hipotenusa CM.
e) Novamente, pelo Teorema de Pitágoras:
(CM)2 = (PC)2 + (PM)2
CM = 16 (pois CM é o raio da circunferência, e o enunciado fornece o tamanho do raio).
PC = AC – AP (veja o desenho)
AC é o raio (16) e AP = 4. Então:
PC = 16 - 4
PC = 12
Agora, podemos calcular PM. Voltando à relação de Pitágoras anterior:
(CM)2 = (PC)2 + (PM)2
162 = 122 + (PM)2
256 = 144 + (PM)2
256 – 144 = (PM)2
112 = (PM)2
f) Agora que temos a medida de PM, podemos retornar ao cálculo de AM.
Tínhamos que:
71
(AM)2 = (AP)2 + (PM)2
Substituindo os valores de AP = 4 e PM = :
(AM)2 = (AP)2 + (PM)2
Decompondo 128 em fatores primos:
Resposta: Alternativa “E”
Exercício 32
Observe o desenho a seguir (não, não é um barco a vela – é o triângulo construído a partir dos dados fornecidos no enunciado):
72
Cálculo do perímetro do triângulo
a) Para encontrar o perímetro do triângulo, necessitamos calcular a medida do lado C.
- SQR é um triângulo retângulo, com catetos QS (h) e QR (8-x)
- Pelo Teorema de Pitágoras:
C2 = (QS)2 + (QR)2
Como não conhecemos as medidas de QS e de QR, teremos de calculá-las primeiro.Para isso, vamos trabalhar no triângulo PQS, onde temos mais dados.
b) PQS é um triângulo retângulo, com hipotenusa = 5 e catetos h e x.
Então:
(lembre-se: o seno de um ângulo é o cateto oposto dividido pela hipotenusa)
Encontramos a medida de QS (pois h= QS).
Falta encontrar a medida de QR, e para isso vamos descobrir a medida do segmento x (pois QR = 8-x).
73
c) Trabalhando ainda no triângulo PQS:
(o co-seno de um ângulo é o cateto adjacente dividido pela hipotenusa).
Encontramos a medida de x
Então:
QR = 8 - x
QR = 8 - x
Agora que temos QR e QS, podemos calcular a medida do lado C.
d) Tínhamos que:
C2 = (QS)2 + (QR)2
Substituindo os valores encontrados nos ítens “b” e “c”:
C2 = (QS)2 + (QR)2
74
Agora que conhecemos a medida do lado C, podemos calcular o perímetro
e) O perímetro é dado por:
Perímetro = 5 + 7 + 8
Perímetro = 20
Cálculo da área do triângulo
Para calcular a área do triângulo, podemos usar duas fórmulas conhecidas. Vou apresentar as duas.
f) Fórmula 1 (a mais conhecida):
A = B.h 2
(base vezes a altura, dividido por 2)
75
Note que nesta fórmula é necessário conhecer a altura h do triângulo, que já havíamos calculado anteriormente (h = QS)
g) Fórmula 2 (não tão conhecida):
onde:
a e b são dois lados com medidas conhecidas
= ângulo formado pelos lados conhecidos a e b.
Vamos calcular a área, usando esta fórmula:
No nosso caso, os lados conhecidos são:
PS = 5 (fornecido no enunciado)
PR = 8 (também fornecido no enunciado)
Logo, podemos usar o ângulo de 60º, que é formado por esses dois lados com medidas conhecidas.
Então:
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(obviamente, é o mesmo resultado obtido com a fórmula anterior).
h) Então, ficamos com:
Perímetro = 20
Área =
Resposta: Alternativa “A”
Bons estudos !
Paulo Sérgio [email protected]
Nota: Agradeço aos internautas “Niski” , “Haeser” e “Domingos”, do news group de Matemática do UOL, que auxiliaram na resolução das questões 11 , 24 e 27.
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