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Resolução dos exercícios propostos do livro texto referente a
primeira etapa do curso – Rodrigo César Pacheco
Exercícios do capítulo 1 (páginas 24 e 25)
Questão 1.1 Uma fonte luminosa emite uma potência igual a 3mW. Se as perdas totais do
sistema somam 45dB, qual deve ser a mínima potência detectável por um fotodetector para
que o sistema funcione?
Resolução
Pfonte = 3mW
Perdas = 45dB
Pfonte – Perdas = Pmin
10log3 × 10
-3 – 45 = -70,229dB →→→→ Pmin = 10
-7,0229= 94,87nW
Portanto, a mínima potência detectável por um foto detector para que o sistema funcione é
94,87nW.
Questão 1.2 Calcule a energia de um fóton nos comprimentos de onda 0,70;0,85 e 1,30 µm .
Qual fóton tem mais energia: um visível ou um infravermelho?
Resolução
E = hf c = λf
E = hcλ
= 6,626 × 10-34 × 3 × 10
8
λ
λ = 0,7µm →→→→ E = 2,84 × 10-19
J
λ = 0,0,85µm →→→→ E = 2,34 × 10-19
J
λ = 1,3µm →→→→ E = 1,52 × 10-19
J
O fóton mais energético é o de comprimento de onda 0,7 µm , que está na faixa de frequência
visível.
Questão 1.3 Quantos fótons por segundo estão incidindo sobre um foto detector, se a
potência é igual a 1nW e o comprimento de onda é 1,3 µm ?
Resolução
P × ∆t = Efóton × Nfótons
Nfótons
∆t= P
Efóton
= Phf
= 1.3 × 10-9
6,626 × 3 × 10-20
= 6,54 × 109fótons/s
Questão 1.5 Quantos canais de voz podem ser multiplexados em uma portadora de
comprimento de onda igual a 1,06 µm ? Assuma que a banda passante do sistema é igual a 1%
da frequência da portadora.
Resolução
Ncanal × Bcanal = Banda Passante
Banda Passante = 0,01 × fc
fc = cλ
Ncanal = 0,01 × cλ × Bcanal
= 0,01 × 3 × 108
1,06µm × 4 × 103
= 7,075 × 108 Canais
Exercícios do capítulo 2 (páginas 24 e 25)
Exercício 2.1 Calcule a direção do raio de luz que atravessa uma interface dielétrica sabendo
que n1=1,5,n2=1 e ângulo de incidência é 45º. Comente o resultado.
Resolução
Como o raio se propaga de um meio mais refringente para um menos refringente, há a
possibilidade de ocorrer reflexão total, isto é, não haver raio refratado. Isto ocorrerá se o
ângulo de incidência for superior a um determinado ângulo crítico. Calculando o ângulo crítico,
temos:
sen(θc) = n2
n1
= 11,5
→→→→ θc = 41,81º
Portanto, para ângulos de incidência superiores a 41,81º, não há um raio refratado. Uma vez
que o ângulo de incidência neste caso é 45º, ocorre reflexão total.
Exercício 2.2 Um raio de luz se propagando pelo ar incide sobre uma interface dielétrica
formando um ângulo de incidência de 30º com a normal. Comente a seguinte afirmação: o raio
transmitido para o segundo meio forma um ângulo de 45º com a normal.
Resolução
Quando um raio de luz se propaga de um meio mais refringente para um menos refringente, o
raio refratado se afasta da normal. Considerando afirmação válida, como o raio refratado se
afastou da normal, o segundo meio seria menos refringente que o primeiro.
Sendo o primeiro meio o ar (índice de refração unitário), o índice de refração no segundo meio
deveria ser menor que 1, o que implica que a velocidade de propagação da luz neste meio é
superior a do vácuo, o que é impossível. Logo a afirmação é incorreta.
Exercício 2.7. Determine o padrão de difração no infinito de uma janela f(x) dada por:
f(x) = =
2A
A
0
|x| ≤≤≤≤ L4
L4
< |x| < L2
|x| ≥≥≥≥ L2
Resolução
O padrão de difração no infinito é dado pela transformada de Fourier da função da janela.
F(α) =⌡⌠
– ∝∝∝∝
+ ∝∝∝∝
f(x) × e– j × 2π × α × x
λ dx
Decompondo essa janela em uma soma de duas outras f1(x) e f2(x) tal que
f1(x) + f2(x) = f(x)
f1(x) = =
A
0
|x| ≤≤≤≤ L2
caso contrario
f2(x) = =
A
0
|x| ≤≤≤≤ L4
caso contrario
f1(x) →→→→ F1(α)
f2(x) →→→→ F2(α)
fx →→→→ F(α) = F2(α) + F1(α)
F1(α) = A × Lsinc( αL
λ
F2(α) = A × L2
sinc( αL
2λ
F(α) = A × Lsinc( αL
λ + A × L
2sinc(
αL
2λ
F(α) = A × 2 × λπ × α
× sen3παL
4λ × cos
παL
4λ
Exercícios do capítulo 3 (páginas 106, 107 e 108)
Exercício 3.3 Considere um pulso de luz se propagando através da Sílica. Determine o
alargamento de pulso por unidade de comprimento, para comprimento de onda no espaço
livre igual a 0,85µm e largura espectral 2nm.
Resolução
Do enunciado temos:
λ0 = 0,85µm
∆λ = 2nm
Consultando a figura 3.6 do livro texto obtemos o coeficiente de dispersão material para a
sílica pura:M = 100ps
km × nm
Alargamento de pulso por unidade de comprimento é dado então:
∆ τL = – M × ∆λ = – 200ps
km
O sinal negativo indica que comprimentos de ondas maiores viajam mais rapidamente neste
meio.
Exercício 3.4 Repita o exercício 3.3 para uma fonte luminosa cujo comprimento de onda
central de emissão é 1,55µm. Assuma que o coeficiente de dispersão material é
M = -20psnm × km
Resoluçã006F
Considerando que a largura espectral da fonte é 20nm, como a fonte do exercício 3.2, temos:
∆ τL = – M × ∆λ = 400ps
km
Neste caso, os comprimentos de onda maiores viajam mais devagar que os comprimentos de
onda menores.
Exercício 3.5 Utilize o resultado do exercício 3.4 para determinar a máxima taxa de dados e
frequência de modulação suportadas pelo sistema. As respostas devem ser dadas para as
distâncias de 100m,1km e 10 km, para as codificações NRZ e RZ.
Resolução
Para codificação RZ com taxa de transmissão RZ ,admitindo que a maior parte da potência do
sinal esteja concentrada até a frequência RZ, então:
RZ = f3dB,elétrica = 0,71
2 × ∆τ
Para codificação NRZ com taxa de transmissão NRZ ,admitindo que a maior parte da potência
do sinal esteja concentrada até a frequência NRZ/2, então:
NRZ = 2 × f3dB,elétrica = 0,71
∆τ
Usando o alargamento de pulso determinado no item anterior e as expressões acima a tabela
abaixo foi construída.
L(km) ∆τ(ns) f3dB,óptica f3dB,elétrica RZ NRZ
0,1 0,040 12,50Ghz 8,875Ghz 8,875Ghz 17,75Ghz
1 0,4 1,25Ghz 0,8875Ghz 0,8875Ghz 1,775Ghz
10 4 125Mhz 88,75Mhz 88,75Mhz 177,5Mhz
Exercício 3.8. Faça um gráfico da onda evanescente e– α × z × z sabendo que:
n1 = 1,48
n2 = 1,46
λ = 0,82µm
0 ≤≤≤≤ z ≤≤≤≤ 4µ
82º ≤≤≤≤ θ ≤≤≤≤ 90º
Resolução
O fator de atenuação α da onda evanescente é dado por:
α = k0 × (n1)2 × (sen(θi))
2– (n2)²
O gráfico abaixo mostra amplitude do campo evanescente em função da distância até a
interface para diferentes valores de ângulo de incidência. Percebe se que para uma distância
de 4µm da interface, o campo já apresenta elevada atenuação.
Exercícios do capítulo 4 (páginas 135 e 136)
Exercício 4.1 Determine a carta de modos (índice de refração efetivo versus d/λ) de um guia de
onda dielétrico simétrico, com n1=1,48 e n2=1,46.
Resolução
Para que um determinado modo se propague no guia a equação abaixo deve ser satisfeita.
tanh × d
2 = n1
2 × sen(θ)2
– n22
n1 × cos(θ)
Variando θ desde o ângulo crítico até 90° é possível obter os valores de d/λ para os
quais há propagação do modo fundamental. As soluções dos demais modos estão espaçadas
desta de ∆d
λ = 1
2 × n1 × cosθ .
A carta de modos para este guia foi reproduzida abaixo.
Exercício 4.2 Qual é a máxima espessura do filme dielétrico se apenas um modo TE deve se
propagar no guia do exercício proposto 4.1?
Resolução
A condição de corte para o m-ésimo modo é dada por:
d
λ0
m =m
2 × n12
– n22
Fazendo m=1 na expressão anterior, obtemos:
dmax = 2,062λ0
Exercício 4.4. Determine a espessura de corte do filme dielétrico de um guia de onda simétrico
para os modos: TE0, TE1,TE2,TE3. Adote os seguintes parâmetros: n1=1,48 n2=1,46 e
comprimento de onda no espaço livre 0,82µm.
Resolução
A condição de corte para o m-ésimo modo é dada por:
d
λ0
m =m
2 × n12
– n22
O modo fundamental TE0 sempre se propaga. A espessura de corte para o modo TE1 é
obtida fazendo m=1 na expressão anterior.
d1 =0,82µm
2 × 1,482
– 1,462
= 1,69µm
De modo análogo para os outros modos, temos:
d2 = 2 × 0,82µm
2 × 1,482
– 1,462
= 3,38µm
d3 = 3 × 0,82µm
2 × 1,482
– 1,462
= 5,07µm
Exercícios do capítulo 5 (páginas 209,210 e 211)
Exercício 5.4 Uma fibra óptica ID tem n1=1,50 , n2=1,49, e o diâmetro do núcleo é
2a=50µm. Considere o raio de luz se propagando segundo o ângulo crítico. Quantas reflexões
por metro sofre esse raio?
Resolução:
Cálculo do ângulo crítico:
sen(θc) = n2n1
= 1,491,5
→→→→ θc = 83,38°
Sendo x é a distância entre duas reflexões sucessivas, é válido que
tan(θc) = x2a
O número N de reflexões em L metros é dado pela parte inteira de:
N = Lx
+ 1 = L2a × tan(θc)
+ 1
Para L=1m, vem N=2322 reflexões.
Exercício 5.8 Calcule a perda de acoplamento mínima entre uma fonte luminosa que
emite sobre um ângulo total de 40° e uma fibra óptica cuja abertura numérica seja NA=0,15.
Resolução:
Ângulo sólido de emissão da fonte Ωf = 2π × 1 – cos(20°)
= 0,3789
Ângulo de aceitação da fibra, supondo esta imersa em ar.
θa = sin-1
(NA) = asin(0,15)
Ângulo sólido de aceitação da fibra Ωa = 2π × (1 – cos(θa)) = 7,108 × 10-2
Perda de acoplamento mínima é dada por: -10logΩa
Ωf = 7,27dB
Exercício 5.12 Considere uma fibra óptica ID cujo núcleo possui raio a. Seja R o raio de
curvatura mínimo para que um raio de luz, se propagando ao longo do eixo da fibra óptica
atinja a dobra, segundo um ângulo igual ao ângulo crítico. Determine uma expressão para
Ra
= f(θc) e esboce o gráfico dessa função.
Resolução:
Nas condições do enunciado, pode-se escrever que:
sin(θc) = RR + a
→→→→ R = sin(θc)1 – sin(θc)
O correspondente gráfico dessa função é reproduzido abaixo.
Exercício 5.15 Uma fibra óptica multimodo tem um comprimento de equilíbrio
Lc=1km. Na região linear, o alargamento de pulso rms por unidade de comprimento é
10ns/km. O alargamento de pulso é devido principalmente a distorção modal. Determine a
banda passante óptica em função do comprimento L da fibra, para 0≤L≤10km.
Resolução
Admitindo que a resposta impulsiva dessa fibra seja do tipo gaussiana,
∆fóptica × σmodal = 0,188
Para 0≤L≤1km, σmodal = L × 10nS
Para 1≤L≤10km, σmodal = Lq × 10nS , em que q varia entre 0,5 e 1. Os gráficos abaixo
relacionam a banda passante óptica e o comprimento do enlace para dois casos, q=0,5
(mistura perfeita de modos) e q=0,8.
A tabela abaixo apresenta alguns valores do gráfico.
L(km) σmodal (ns) para q=0,5
∆fóptica (Mhz) σmodal (ns) para q=0,8
∆fóptica (Mhz)
0,1 1 188 1 188
0,5 5 37,6 5 37,6
1 10 18,2 10 18,8
3 17,32 10,85 24,08 7,81
5 22,36 8,4 36,24 5,18
10 31,6 5,95 63,09 2,98
Exercício 5.17 Para um alcance de 20km, qual é o alargamento de pulso máximo admissível
para uma fibra ID, para que seja possível uma transmissão a uma taxa R=100Mbps, com
codificação On-Off NRZ? Considere que o transmissor e o receptor ópticos possuam banda
passante infinita. É possível garantir o funcionamento desse sistema com uma fibra ID, com
núcleo de raio a=25µm, número V=5, para o comprimento de onda 1,55µm? Justifique.
Resolução
A relação entre o alargamento de pulso máximo e a taxa de transmissão para
codificação NRZ é dada por: R = 0,7∆τ Logo, máximo alargamento de pulso admissível é 7ns.
Admitindo que a distorção modal seja predominante e usando n1=1,5 temos que o
alargamento de pulos para a fibra do enunciado é:
∆τ = L × n1 × ∆c
V = 2πa × n1 × 2∆λ0
→→→→ ∆ = 5,409 × 10-4
∆τ = 1,5 × 5,409 × 10-4 × 20
3 × 108 = 54ns
Como o alargamento de pulso desta fibra é superior ao máximo alargamento de pulso
admissível, não é possível utilizar este tipo de fibra para atender as especificações dadas.