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Resolução Guidorizzi – Cálculo 1
Exercícios 12.3 - Página – 360
1. Calcule.
a)
Solução:
Fazendo por partes:
b)
Solução:
Fazendo por partes:
c)
Solução:
Fazendo por partes:
d)
Solução:
Fazendo por partes:
e)
Solução:
Fazendo por partes:
f)
Solução:
Fazendo por partes:
g)
Solução:
Fazendo por partes:
Onde a integral:
Fazendo por substituição simples:
, logo , assim:
Por fim definimos:
h)
Solução:
Fazendo por partes:
i)
Solução:
1ª solução:
Fazendo por partes:
2ª solução:
Fazendo por partes:
3ª solução:
Fazendo por substituição simples:
, assim
organizando: , modificando valor de ,
logo:
Fazendo por partes:
j)
Solução:
Fazendo por partes:
l)
Solução:
1ª solução:
Fazendo por partes:
2ª solução:
m)
Solução:
Fazendo por partes:
n)
Solução:
1ª solução:
Fazendo por partes:
2ª solução:
Fazendo substituição simples:
, assim , logo
o)
Solução:
Fazendo por partes:
p)
Solução:
Fazendo por partes:
q)
Solução:
Fazendo por partes:
2.
a)
Solução:
Relembrando trigonometria:
b) Calcule
Solução:
3. Verifique que, para todo natural , tem-se
a)
Solução:
Por indução testamos para , logo em seguida para um valor qualquer e por fim para um
valor após este escolhido:
Para :
Para :
Para
C.Q.D.
b)
o mesmo processo do exercício anterior.
4. Calcule:
a)
Solução:
b)
Solução:
Os demais exercícios 12.3 são triviais e sequenciais, quando de demonstrações são
semelhantes com o já demonstrado e quando de calculo são similares aos do exercício 1, com
a particularidade de virem definidas em um intervalo, onde apenas devemos aplicar esta
variação.
Exercícios 12.4 - Página – 369
1. Calcule:
a)
solução:
,
e
b)
solução:
, e
c)
solução:
, e
d)
solução:
, e
e)
solução:
, e
f)
solução:
,
e
*o resultado diferente do livro, se a
integral dada fosse , o resultado gabaritado ao final do livro estaria
correto.
g)
solução:
, e
h)
solução:
, e
Trigonometria:
e
i)
solução:
, e
,
*
j)
solução:
Nesse caso podemos aplicar a substituição simples diretamente ou, para facilitar, podemos
fazer uma substituição simples antes da substituição trigonométrica.
, e
l)
solução:
,
e
m) –
solução:
Antes de qualquer coisa, devemos arrumar a função polinomial do segundo grau de forma a
facilitar a aplicação do método de substituição trigonométrica.
– –
–
–
, e
–
n) –
solução:
Antes de qualquer coisa, devemos arrumar a função polinomial do segundo grau de forma a
facilitar a aplicação do método de substituição trigonométrica.
– –
–
–
, e
–
o)
Solução:
, e
e
2. Calcule a área do conjunto de todos os (x,y) tais que .
Solução:
Sabemos que a figura é uma elipse “em pé” pois e
, vamos ao gráfico:
Isolando y:
, , então:
Onde a parte positiva representa a parte acima do eixo x no gráfico e a parte negativa
representa a parte de baixo do eixo x. Logo, podemos fazer a área da parte positiva e
multiplicar por 2.
Para facilitar mais ainda, podemos dividir em 4 partes fazendo a área apenas do primeiro
quadrante e multiplicar por 4.
Para resolver esta função devemos fazer substituição trigonométrica:
,
e
Agora basta calcular o intervalo dado:
3. A resolução é similar com do exercício anterior.
4. Calcule.
a)
Solução:
, e
b)
Solução:
,
então e
c)
Solução:
,
então e
d)
Solução:
,
então e
As demais até a letra o seguem o mesmo raciocínio, assim como os próximos exercícios até o
final deste tópico.
Qualquer duvida nos tópicos anteriores me pergunte que terei o prazer em ajudar.
NOTA:
integrais do tipo:
podem ser resolvidas pela substituição trigonométrica e por
frações parciais pois o polinômio , possui duas raízes.
Porém nesse caso fazer por substituição trigonométrica é mais interessante pois
, o que condiz com uma substituição mais simples.
Integrais do tipo:
podem ser resolvidas pela substituição trigonométrica e por
frações parciais pois o polinômio , possui duas raízes.
Porém nesse caso fazer por frações parciais é mais interessante pois ao fazer por
substituição trigonométrica , o que faria condiz com
um aumento da função no caso dessa substituição.
Integrais do tipo:
não tem raízes logo, só se faz por substituição
trigonométrica.
Exercícios 12.5 - Página – 375
Calcule.
1.
Solução:
Pegando a fração polinomial e encontrando suas raízes:
Nesse caso descoberto pelo quadrado da diferença.
Comparando as frações:
e
Assim a integral:
2.
Solução:
Pegando a fração polinomial e encontrando suas raízes do denominador, pelo método de
completar quadrados:
e , logo assim:
3.
Solução:
Pegando a fração polinomial e encontrando suas raízes:
Nesse caso descoberto pelo quadrado da diferença.
Comparando as frações:
4.