Resolucao Exercicios Matematica Financeira 2015

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  • Exerccio 1

    Uma determinada aplicao remunerada por uma taxa de juro anual nominal de 8%, num regime de

    capitalizao simples semestral. Considere um capital investido de 10.000 EUR.

    a) Qual a taxa de juro anual efetiva equivalente?

    b) Qual o valor do juro recebido no primeiro ano da aplicao?

    c) Qual o valor global de juros recebidos numa aplicao a 4 anos?

    Quais seriam os valores no caso de um regime de capitalizao composta?

    Exerccio 2

    Considere uma aplicao de 5.000 EUR por um prazo de 5 anos, remunerada a uma taxa de juro anual

    nominal de 8%.

    a) Qual o valor do juro recebido considerando regime de capitalizao simples anual?

    b) Qual o valor do juro recebido considerando regime de capitalizao composta mensal?

    Refaa as alneas anteriores, considerando uma taxa de juro anual efetiva de 8%.

    Exerccio 3

    Considere uma taxa de juro anual nominal de 6%, numa aplicao com capitalizao composta

    trimestral.

    a) Qual a taxa de juro trimestral efetiva equivalente?

    b) Qual a taxa de juro anual efetiva equivalente?

    c) Qual a taxa de juro mensal efetiva equivalente?

    Gesto de Empresas | MIEM

    Matemtica Financeira

  • 2

    Exerccio 4

    Considere os seguintes fluxos de um determinado investimento:

    n Data Movimento

    0 01/01/2012 -7.000

    1 01/07/2012 +280

    2 01/01/2013 +280

    3 01/07/2013 +280

    4 01/01/2014 +280

    5 01/07/2014 +280

    6 01/01/2015 +7.280

    a) Caracterize o regime de capitalizao em causa.

    b) Qual a taxa de juro anual efetiva implcita naqueles fluxos?

    c) Num regime de capitalizao composta, mesma taxa de juro anual efetiva, qual seria o valor

    total dos juros recebidos? Refaa o quadro acima considerando esse cenrio.

    Exerccio 5

    Uma dada aplicao paga um valor total de juros, ao fim de 2 anos, de 600 EUR.

    a) Se a taxa de juro da aplicao for 5%, qual o capital inicial que produziria aquele montante de

    juro num regime de capitalizao composta mensal?

    b) Se o capital inicial era 5.000 EUR, qual a taxa de juro implcita na aplicao, num regime de

    capitalizao composta semestral?

    c) Uma aplicao idntica remunerada a uma taxa de juro anual de 4%. Para um capital inicial

    de 5.000 EUR, e considerando um regime de capitalizao composta mensal, qual o prazo que

    permitiria obter o mesmo montante total de juros?

    Exerccio 6

    Considere uma aplicao a 20 anos a uma taxa de juro anual nominal de 7%. A aplicao capitalizvel

    semestralmente, em regime composto.

    a) Se o capital inicial for 15.000, qual o valor que teremos no final do prazo?

    b) Se o capital inicial for 15.000, qual o capital acumulado no incio do segundo semestre do ano

    9?

    c) Se o capital inicial for 15.000, qual o montante de juros correspondentes ao primeiro semestre

    do ano 17?

    d) Se o capital final for 15.000, qual o valor investido inicialmente?

    e) Se o capital final for 15.000, qual o capital acumulado no incio do segundo semestre do ano 9?

    f) Se o capital final for 15.000, qual o montante de juros correspondentes ao primeiro semestre

    do ano 17?

  • 3

    Exerccio 7

    Um investidor pretende criar um fundo de poupana atravs da aplicao anual de EUR 1.000 a uma

    taxa de juro de 4%.

    a) Admitindo que o investidor conta fazer aplicaes durante 20 anos, qual o montante que

    acumular no final?

    b) Supondo que o investidor tem a opo de substituir este conjunto de rendas anuais por uma s

    aplicao no momento inicial, qual o montante que teria de aplicar?

    c) No caso de pretender ter, no final do prazo, um montante correspondente a EUR 35.000, qual o

    valor anual que o investidor teria de aplicar?

    Exerccio 8

    Considere duas opes:

    i. Investir EUR 500 semestralmente durante 15 anos;

    ii. Aplicar EUR 10.000 por um prazo de 15 anos, com capitalizao composta trimestral.

    a) Qual das opes apresenta valor actual superior, com uma taxa de juro anual nominal de 4%?

    b) Qual a opo que permite acumular um capital superior no final, se tivermos uma taxa de juro

    anual nominal de 7%?

    c) Qual a taxa de juro anual nominal que nos permitiria obter o mesmo valor no final dos 15 anos,

    independentemente da opo tomada?

    Exerccio 9

    Considere um emprstimo a um ano e meio, com prestaes mensais e taxa de juro anual nominal de

    9%. O montante financiado corresponde a EUR 45.000, estando previsto o regime de amortizaes

    constantes do capital.

    a) Qual o capital em dvida no final do primeiro ano do emprstimo?

    b) Qual o montante de juros a pagar no 8 ms do emprstimo?

    c) Assumindo agora periodicidade trimestral e que o prazo do emprstimo alargado para dois

    anos, com carncia de capital e de juros nos primeiros 6 meses, construa um quadro que

    indique o valor da prestao, da amortizao do capital e do juro para cada perodo.

  • 4

    Exerccio 10

    Considere um emprstimo com prestaes anuais constantes e as seguintes caractersticas:

    i. Capital: EUR 100.000,00

    ii. Taxa de juro anual nominal: 9,5%

    iii. Prazo: 5 anos

    iv. Prazo de carncia de capital e juros: 1 ano

    Construa um quadro representativo das prestaes deste emprstimo, indicando para cada perodo o

    valor do capital inicial, a amortizao de capital, o montante dos juros, o total da prestao e o capital

    final.

  • 5

    Exerccio 1 - Resoluo

    Uma determinada aplicao remunerada por uma taxa de juro anual nominal de 8%, num regime de

    capitalizao simples semestral. Considere um capital investido de 10.000 EUR.

    a) Qual a taxa de juro anual efetiva equivalente?

    Regime de capitalizao simples: no h juros sobre juros (juro pago e no acresce

    ao capital)

    = = 8%

    b) Qual o valor do juro recebido no primeiro ano da aplicao?

    Regime de capitalizao simples: 1 = 2 = 3 = = = 4%

    1 + 2 = 2

    1 + 2 = 10.000 4% 2 = 800

    c) Qual o valor global de juros recebidos numa aplicao a 4 anos?

    4 anos = 8

    =

    = 10.000 4% 8 = 3.200

    Gesto de Empresas | MIEM

    Matemtica Financeira Resolues

  • 6

    Quais seriam os valores no caso de um regime de capitalizao composta?

    a) Qual a taxa de juro anual efetiva equivalente?

    Regime de capitalizao composta: juro acresce ao capital inicial

    1 = 0 (1 + )

    2 = 0 (1 + )2; 2 = 0 (1 + )

    = (1 + )2 1

    =2

    = 4%

    taxa de juro anual efetiva = (1 + 4%)2 1 = 8,16%

    b) Qual o valor do juro recebido no primeiro ano da aplicao?

    Ser obtido multiplicando o capital inicial no primeiro ano pela taxa anual efetiva.

    = 10.000 8,16% = 816

    Alternativamente, atravs da taxa efetiva semestral:

    1 = 10.000 4% = 400

    2 = 10.400 4% = 416

    1 + 2 = 400 + 416 = 816

    c) Qual o valor global de juros recebidos numa aplicao a 4 anos?

    4 anos n = 8

    = 0 [(1 + ) 1] = 10.000 [(1 + 4%)8 1] = 3.685,69

    = 0 (1 + ) 0 = 13.685,69 10.000 = 3.685,69

  • 7

    Exerccio 2 - Resoluo

    Considere uma aplicao de 5.000 EUR por um prazo de 5 anos, remunerada a uma taxa de juro anual

    nominal de 8%.

    a) Qual o valor do juro recebido considerando regime de capitalizao simples anual?

    0 = 5.000

    = 5

    = 8%

    = 0 = 5.000 8% 5

    = 2.000

    b) Qual o valor do juro recebido considerando regime de capitalizao composta mensal?

    0 = 5.000

    = 5 12 = 60

    =8

    12%= 0,67% (taxa mensal efetiva)

    = 5.000 [(1 + 0,67%)60 1] = 2.449,23

    Refaa as alneas anteriores, considerando uma taxa de juro anual efetiva de 8%.

    a) Qual o valor do juro recebido considerando regime de capitalizao simples anual?

    0 = 5.000

    = 5

    = 8%

    = 0 = 5.000 8% 5

    = 2.000

  • 8

    b) Qual o valor do juro recebido considerando regime de capitalizao composta mensal?

    0 = 5.000

    = 5 12 = 60

    = 8%

    (1 + 8%) = (1 + )12 taxa mensal efetiva

    = 5.000 [(1 + 0,64%)60 1] = 2.346,64

    Exerccio 3 - Resoluo

    Considere uma taxa de juro anual nominal de 6%, numa aplicao com capitalizao composta

    trimestral.

    a) Qual a taxa de juro trimestral efetiva equivalente?

    =6%

    4= 1,50%

    b) Qual a taxa de juro anual efetiva equivalente?

    1 + = (1 + )4 = (1 + 1,50%)

    4 1

    = 6,14%

    c) Qual a taxa de juro mensal efetiva equivalente?

    (1 + )3 = (1 + ) = (1 + 1,50%)

    3 1

    = 0,4975%

    NOTA: ime = 6%

    12 = 0,5000% apenas estaria correto se estivssemos num regime de

    capitalizao composta mensal ou num regime de capitalizao simples.

  • 9

    Exerccio 4 - Resoluo

    n Data Movimento

    0 01/01/2012 -7.000 1 01/07/2012 +280 2 01/01/2013 +280 3 01/07/2013 +280 4 01/01/2014 +280 5 01/07/2014 +280 6 01/01/2015 +7.280

    a) Caracterize o regime de capitalizao em causa.

    n = 0: aplicao de 7.000 EUR (capital)

    n = 1 n =5: recebimento constante de 280 EUR, equivalentes a juros vencidos

    n = 6: recebimento de 7.280 EUR, compostos pela ltima prestao de juros

    (280 EUR) e pelo capital (7.000 EUR)

    Juros devidos a cada 6 meses periodicidade semestral

    Valor de juros constante capital constante em todos os perodos, logo o juro

    pago no final do perodo, no acrescendo ao capital

    Regime de capitalizao simples semestral

    b) Qual a taxa de juro anual efetiva implcita naqueles fluxos?

    C0 = 7.000

    J1 = 280

    = 280

    7.000= 4,00%

    = 4,00% 12

    6= 8%

  • 10

    c) Num regime de capitalizao composta, mesma taxa de juro anual efetiva, qual seria o

    valor total dos juros recebidos? Refaa o quadro acima considerando esse cenrio.

    0 = 7.000

    = 6

    = 8%

    1 + = (1 + )2

    = 3,92%

    = 0 [(1 + ) 1]

    = 7.000 [(1 + 3,92%)6 1] = 1.817,98

    NOTA: sendo 8,00% a taxa anual efetiva, obter-se-ia o mesmo resultado utilizando essa

    taxa e considerando n = 3 anos.

    Com capitalizao composta: = 0 (1 + )1

    1 = 7.000 1 3,92% = 274,61

    2 = 7.000 (1 + 3,92%)1 3,92% = 285,39

    2 = 3,92% = 285,39

    3 = 7.000 (1 + 3,92%)2 3,92% = 296,58

    6 = 7.000 (1 + 3,92%)5 3,92% = 332,87

  • 11

    n Data Movimento Juros Capital

    0 01/01/2012 -7.000,00 7.000,00 1 01/07/2012 +274,61 274,61 7.274,61 2 01/01/2013 +285,39 285,39 7.560,00 3 01/07/2013 +296,58 296,58 7.856,58 4 01/01/2014 +308,22 308,22 8.164,80 5 01/07/2014 +320,31 320,31 8.485,11 6 01/01/2015 +8.817,98 332,87 8.817,98

    Exerccio 5 - Resoluo

    Uma dada aplicao paga um valor total de juros, ao fim de 2 anos, de 600 EUR.

    a) Se a taxa de juro da aplicao for 5%, qual o capital inicial que produziria aquele montante de

    juro num regime de capitalizao composta mensal?

    J = 600

    = 5% =5%

    12= 0,42%

    n = 24 meses

    = 0 [(1 + ) 1]

    600 = 0 [(1 + 0,42%)24 1]

    0 =600

    1,1049 1

    0 = 5.717,48

  • 12

    b) Se o capital inicial era 5.000 EUR, qual a taxa de juro implcita na aplicao, num regime de

    capitalizao composta semestral?

    J = 600

    0 = 5.000

    n = 4 semestres

    = 0 [(1 + ) 1]

    600 = 5.000 [(1 + )4 1]

    600 = 5.000 (1 + )4 5.000

    (1 + )4 =

    5.600

    5.000

    1 + = 1,124

    = 1,0287 1 = 2,87%

    = (1 + 2,87%)2 1 = 5,83%

    c) Uma aplicao idntica remunerada a uma taxa de juro anual de 4%. Para um capital inicial

    de 5.000 EUR, e considerando um regime de capitalizao composta mensal, qual o prazo que

    permitiria obter o mesmo montante total de juros?

    = 4,00% =4,00%

    12= 0,33%

    0 = 5.000

    = 600

    = 0 [(1 + ) 1]

    600 = 5.000 [(1 + 0,33%) 1]

    600 = 5.000 (1 + 0,33%) 5.000

    (1 + 0,33%) = 5.600

    5.000

    ln(1 + 0,33%) = ln (5.600

    5.000)

    ln(1,0033) = ln(1,2)

    = 0,1133

    0,0033= 34,06 necessrios 35 meses

  • 13

    Exerccio 6 - Resoluo

    Considere uma aplicao a 20 anos a uma taxa de juro anual nominal de 7%. A aplicao

    capitalizvel semestralmente, em regime composto.

    a) Se o capital inicial for 15.000, qual o valor que teremos no final do prazo?

    = 7% = 3,50%

    = 20 2 = 40

    = 0 = 15.000

    = 40

    = 0 (1 + )

    40 = 15.000 (1 + 3,50%)40

    40 = 59.388,90

    b) Se o capital inicial for 15.000, qual o capital acumulado no incio do segundo semestre do ano

    9?

    = 8 2 + 1 = 17

    = 0 (1 + )

    17 = 15.000 (1 + 3,50%)17

    17 = 26.920,13

    c) Se o capital inicial for 15.000, qual o montante de juros correspondentes ao primeiro

    semestre do ano 17?

    = 16 2 + 1 = 33

    = 0 (1 + )1

    33 = 15.000 (1 + 3,50%)32 3,50%

    33 = 1.578,52

  • 14

    d) Se o capital final for 15.000, qual o valor investido inicialmente?

    = 7% = 3,50%

    = 20 2 = 40

    = 40 = 15.000

    = 0

    = (1 + )

    0 = 15.000 (1 + 3,50%)40

    0 = 3.788,59

    e) Se o capital final for 15.000, qual o capital acumulado no incio do segundo semestre do ano

    9?

    = 40 + 17 = 23

    = (1 + )

    4023 = 40 (1 + )23 ou 17 = 40 (1 + )

    (40+17)

    17 = 15.000 (1 + 3,50%)23

    23 = 6.799,28

    f) Se o capital final for 15.000, qual o montante de juros correspondentes ao primeiro semestre

    do ano 17?

    = 40 + 33 = 7

    = 0 (1 + )1

    33 = 15.000 (1 + 3,50%)8 3,50%

    33 = 3,50% = 398,69

  • 15

    Exerccio 7 - Resoluo

    Um investidor pretende criar um fundo de poupana atravs da aplicao anual de EUR 1.000 a uma

    taxa de juro de 4%.

    a) Admitindo que o investidor conta fazer aplicaes durante 20 anos, qual o montante que

    acumular no final?

    = 1.000

    = 4,00%

    = 20

    = [(1 + ) 1

    ]

    = 1.000 [(1 + 4,00%)20 1

    4,00%]

    = 29.778,08

    b) Supondo que o investidor tem a opo de substituir este conjunto de rendas anuais por uma

    s aplicao no momento inicial, qual o montante que teria de aplicar?

    = 1.000

    = 4,00%

    = 20

    = [1 (1 + )

    ]

    = 1.000 [1 (1 + 4,00%)20

    4,00%]

    = 13.590,33

  • 16

    c) No caso de pretender ter, no final do prazo, um montante correspondente a EUR 35.000, qual

    o valor anual que o investidor teria de aplicar?

    = 4,00%

    = 20

    = 35.000

    =

    [(1 + ) 1

    ]

    =35.000

    [(1 + 4%)20 1

    4% ]

    = 1.175,36

    Exerccio 8 - Resoluo

    Considere duas opes:

    i. Investir EUR 500 semestralmente durante 15 anos;

    ii. Aplicar EUR 10.000 por um prazo de 15 anos, com capitalizao composta trimestral.

    a) Qual das opes apresenta valor actual superior, com uma taxa de juro anual nominal de 4%?

    = 500

    = 15 2 = 30 = 15 4 = 60

    = 4% = 2% ;

    = 1%

    0 = 10.000

    = [

    1 (1 + )

    ]

    = 500 [

    1 (1 + 2%)30

    2%]

    = 11.198,23

    > 0

    .

  • 17

    b) Qual a opo que permite acumular um capital superior no final, se tivermos uma taxa de

    juro anual nominal de 7%?

    = 500

    = 15 2 = 30 = 15 4 = 60

    = 7% = 3,50% ;

    = 1,75%

    0 = 10.000

    = [

    (1 + ) 1

    ]

    = 500 [

    (1 + 3,50%)30 1

    3,50%]

    = 25.811,34

    60 = 0

    (1 + )

    60 = 10.000 (1 + 1,75%)60

    60 = 28.318,16

    <

  • 18

    c) Qual a taxa de juro anual nominal que nos permitiria obter o mesmo valor no final dos 15

    anos, independentemente da opo tomada?

    = 500

    = 15 2 = 30 = 15 4 = 60

    0 = 10.000

    = 500 [

    (1 + )30 1

    ]

    60 = 10.000 (1 +

    )60

    = 60

    500 [(1 +

    2 )

    30 1

    2

    ] = 10.000 (1 +4

    )60

    = 5,6017%

    = 5,6017% = 2,80% ;

    = 1,40%

  • 19

    Exerccio 9 - Resoluo

    Considere um emprstimo a um ano e meio, com prestaes mensais e taxa de juro anual nominal de

    9%. O montante financiado corresponde a EUR 45.000, estando previsto o regime de amortizaes

    constantes do capital.

    a) Qual o capital em dvida no final do primeiro ano do emprstimo?

    = 18

    1 = 45.000

    = 2.500

    1 12

    = 1 2.500 12 = 15.000

    b) Qual o montante de juros a pagar no 8 ms do emprstimo?

    = 18

    = 9% = 0,75%

    1 = 45.000

    = 2.500

    8 7

    8 = 1 2.500 7 = 27.500,00

    8 = 27.500 0,75% = 206,25

  • 20

    c) Assumindo agora periodicidade trimestral e que o prazo do emprstimo alargado para dois

    anos, com carncia de capital e de juros nos primeiros 6 meses, construa um quadro que

    indique o valor da prestao, da amortizao do capital e do juro para cada perodo.

    = 9% = 2,25%

    3 = 45.000 + 1 + 2 = 47.047,78

    =47.047,78

    6= 7.841,30

    Per.Cap.

    InicialPrestao

    Amort.

    CapitalJuros

    Capital

    Final

    1 45.000,00 0,00 0,00 1.012,50 46.012,50

    2 46.012,50 0,00 0,00 1.035,28 47.047,78

    3 47.047,78 8.899,87 7.841,30 1.058,58 39.206,48

    4 39.206,48 8.723,44 7.841,30 882,15 31.365,19

    5 31.365,19 8.547,01 7.841,30 705,72 23.523,89

    6 23.523,89 8.370,58 7.841,30 529,29 15.682,59

    7 15.682,59 8.194,16 7.841,30 352,86 7.841,30

    8 7.841,30 8.017,73 7.841,30 176,43 0,00

  • 21

    Exerccio 10 - Resoluo

    Considere um emprstimo com prestaes anuais constantes e as seguintes caractersticas:

    i. Capital: EUR 100.000,00

    ii. Taxa de juro anual nominal: 9,5%

    iii. Prazo: 5 anos

    iv. Prazo de carncia de capital e juros: 1 ano

    Construa um quadro representativo das prestaes deste emprstimo, indicando para cada perodo o

    valor do capital inicial, a amortizao de capital, o montante dos juros, o total da prestao e o

    capital final.

    5 ; : 1 = 4

    = 9,5% = 9,5%

    1 = 100.000

    2 = 1 (1 + )1

    2 = 109.500,00

    2 = = [1 (1 + )

    ]

    =2

    [1 (1 + )

    ]

    = 34.170,90

    =

    . =

    t CI Prestao Capital Juros CF

    1 100.000,00 0,00 0,00 9.500,00 109.500,00

    2 109.500,00 34.170,90 23.768,40 10.402,50 85.731,60

    3 85.731,60 34.170,90 26.026,40 8.144,50 59.705,20

    4 59.705,20 34.170,90 28.498,90 5.671,99 31.206,30

    5 31.206,30 34.170,90 31.206,30 2.964,60 0,00