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7/24/2019 Resoluo Prova Enade 2005
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FUNDAO EDUCACIONAL UNIFICADA CAMPOGRANDENSE (FEUC)
FACULDADES INTEGRADAS CAMPO-GRANDENSES (FIC)
COORDENAO DE MATEMTICA
Estrada da Caroba, !", Ca#$o-Gra%d&'R - T&* +!-!"
S.t&s* ///01&230br, ///0s.t&s04oo4&03o#'s.t&'FEUC#at
E N A D E 2005
MATEMTICA
LICENCIATURA
QUESTES RESOLVIDAS
7/24/2019 Resoluo Prova Enade 2005
2/52
I N T R O D U O
Estamos apreseta!o a pro"a !o ENADE ap#$%a!a em 2005 para os %&rsos !e
L$%e%$at&ra em Matem't$%a(
Este tra)a#*o tem o o)+et$"o !e apro,$mar a#&os e pro-essores !as .a%!a!es
Ite/ra!as Campo1ra!eses ao ro+eto ENADE 2033(
Re%o*e%emos 4&e -aemos &m tra)a#*o !e 4&a#$!a!e( Isto -$%a !eterm$a!o pe#a
ota 670 !o ENADE 2008( Mas7 e%essar$amete7 ao pesarmos 4&e temos a e%ess$!a!e !e
e,pa!$rmos ossos %o*e%$metos estaremos o %am$*o pro/ress$"o(
Esperamos 4&e7 a#&os e pro-essores7 possam %o#a)orar $-orma!o so)re poss9"e$s
erros 4&e por "et&ra te*amos %omet$!o(
A/ra!e%emos ao ro-essor Ro!r$/o pe#as reso#&:;es !as 4&est;es 267 2
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RESOLUO?
Retirada de x 3/s de gua.
Custo total de y estimado da obra em bilhes de reais.
Nmero de habitantes z beneficiados pelo proeto.
=
2
4
11
.
201
140
221
z
y
x
x ! "y # "z $ %%
&y # z $ &
x ' "z $ "
(ultiplicando a primeira e)ua*+o por ,'%- e somando'se terceira teremos o sistema
e)ui0alente1
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x ! "y # "z $ %%
&y # z $ &
' "y $ '2
a41
y $ &5 bilhes de reais6
z $ &y ' & $ &. &5 ' & $ %& milhes de habitantes6
x $ %% # "y ! "z $ %% # 2 ! "7 $ 38 m 3/ s ,menos de "9 da 0az+o do rio, "9 de %758 $ 3: m3/s-.
RESOSTA? O %&sto tota# est$ma!o !a o)ra s&per$or a < )$#*;es !e rea$s(
RESOLUO*
1806.10.32
3.4.
2
4.5.3..
2
4
2
5
1
3 ===CCC
RESOSTA? 380
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RESOLUO?
No somat;rio temos uma progress+o geom? finita
>
+
==
>
+
>
>
n
n
n
n
n
emChegamos
temosxqSe
x
xx
x
xS
@nt+o " n ' %A 7% e o maior inteiro )ue satisfaz a ine)ua*+o < n $ :.
RESOSTA ? =
RESPOSTA*
>,x- $ ,m ' &- ,m"! &- x5! x"! Bx ! %.
>,x- n+o admite raiz real.
ea )ue um polinDmio do )uinto grau admite cinco ra4zes. >odemos ter dois pares de ra4zes
complexas imaginrias conugadas e uma raiz complexa real. Ee o polinDmio for de grau impar
sempre admite raiz real.
Fogo ,m ' &-. ,m"! &- $ 8 para n+o admitir raiz real.
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a4 m ' & $ 8 e m $ &.
>ara m" ! & $ 8 n+o teremos ra4zes reais como solu*+o desta e)ua*+o.
Fogo para ,m ' &-. ,m"! &- $ 8 temos m $ &.
=gora de0emos analisar x"! Bx ! % $ 8.
Gual a condi*+o para )ue tenha ra4zes complexasH
Gue b"# &ac sea negati0o.
Fogo B"# & A 8 .
= parbola abaixo representa a lei y $ B" # & e tem 0alores de y negati0os no inter0alo
'" A B A ".
Fogo a solu*+o de B"# & A 8 < '" A B A " B Real.
RESOSTA? m B < e 2 2(
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QUESTO ANULADA
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RESOLUO?
G8
G%
G" G3
ea )ue G8 G" G& GI . . . s+o paralelogramos retJngulo. ea )ue G%
G3 G5. . . s+o
paralelogramos n+o retJngulo.
Construindo um modelo para os dois primeiros paralelogramos G8e G%1
ea )ue a rea de ,G%- < igual a rea de ,G8- subtra4da de )uatro triJngulos retJngulos
congruentes formados entre as duas figuras G8e G%. =ssim1
Eupondo o retJngulo G8com lados " e &. = rea a,G8- $ 7.
= rea de cada triJngulo retJngulo ser E $2
2.1 $ %. Como h )uatro triJngulos congruentes
teremos a, G%- $ 7 # &.%$ &.
=ssim temos2
1
8
4
)(
)(
0
1==
Qa
Qa. Ksto < 0lido para as outra situa*es .
)(
)(
1i
i
Qa
Qa
@nt+o temos todos os itens do exerc4cio corretos.
RESOSTA? To!os os $tes esto %orretos(
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RESOLUO?
%' olume da >irJmide.
3
)..(1
OACBCDV =
ea )ue =L < a altura da pirJmide.
"# olume do >risma.
3
8
..
8.
3
..
.8
..
2.
2.
2
1
2
2
==
==
OACBCD
OACBCD
V
V
OACBCDOACBCDV
ea )ue C.CM e =L surgem nos dois 0olumes. @sses dados determinam )ue a base da
pirJmide sea retJngulo ou um paralelogramo )ual)uer e a altura da pirJmide dada por =L
sea definida )uando o Jngulo L=M for retJngulo ou n+o.
RESOSTA? As !&as asser:;es so propos$:;es "er!a!e$ras7 mas a se/&!a o +&st$-$%at$"a
!a pr$me$ra(
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RESOLUO?
,%- x"! y "! &x # &y ! & $ 8
,"-
x"
! y"
# "x ! "y ! % $ 8
x"! y"# "xcx # "ycy ! xc"! yc
"# r"$ 8
,%- ' " xc$ &6 xc$ ' "' " yc$ ' &6 yc$ "
,'"-"! ""# r"$ &
' r"$ ' &6 r $ "
,"-
# "xc $ '"6 xc$ %'
"yc$ "6 yc$ '%
%"! ,'%-"# r"$ %
r"$ %6 r $ %
=baixo temos as representa*es das duas e)ua*es de circunferncia1
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11.0 10.0 9. 0 8.0 7.0 6. 0 5. 0 4.0 3.0 2.0 1.0 1.0 2.0 3. 0 4. 0 5.0 6.0 7. 0 8.0 9. 0 10. 0 11. 0
6.0
5.0
4.0
3.0
2.0
1.0
1.0
2.0
3.0
4.0
5.0
6.0
x
y
Comentando os itens1
Ktem a- =s duas circunferncias n+o tm pontos em comum.
Ktem b- @)ua*+o da reta )ue passa pelos centros das circunferncias ,% '%- e , '" "- < y $ ' x.
Ktem c- ea na representa*+o das circunferncias )ue o eixo x tangencia as duas
circunferncias assim como o eixo y.
Ktem d- L raio da circunferncia C%< o dobro do raio da circunferncia C".
Ktem e- C%est contida no segundo )uadrante e C"est contida no )uarto )uadrante.
RESOSTA? Os e$,os %oor!ea!os so ta/etes %om&s Fs !&as %$r%&-erG%$as(
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RESOLUO?
ea no0embro de "8851
seg ter )uar )ui sex s') dom
8 % " 3 & 5 I
: 7 2 %8 %% %" %3
%& %5 %I .....................................................
................................................................................
.....................................................%82:
%5 < cDngruo a % m;dulo : isto
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RESOLUO?
3 1
(;dulo %
=rgumento 88
)
3
0360
3
0360(cos11
0000
3 ++
+=
Kseni
K
O $ 81 %,cos 88! i sen 88- $ %
O $ %1 %,cos %"88!i sen %"88- $ i2
3
2
1+
O $ "1 %,cos "&88!i sen "&88- $ i2
3
2
1
3
8
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(;dulo "
=rgumento 88
)3
0360
3
0360(cos28
0000
3 ++
+=
Kseni
K
O $ 81 ", cos 88! i sen 88-$ "
O$%1 ii 31)2
3
2
1(2 +=+
O$"1 ii 31)2
3
2
1(2 =
Comentando os itens1
Ktem a- Ls 0
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RESOLUO?
Srea de P1
=baixo os pontos )0,1();2
3,
2
1();
2
3,
2
1(
Srea a $4
33
2
)2
1
1(3=
+
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Srea de E1
=baixo os pontos )0,2(;)3,1();3,1(
Srea aT $ 332
)12(32=
+
ea )ue aT$ & a.
RESOSTA? aB
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Ls dois planos s+o paralelos pois1
7
2
12
4
3
1
15
5==
ea )ue ,% % '%- pertence ao plano 5x ! y ! &z $ " e sendo ,%8 " 7- 0etor normal ao plano
temos a e)ua*+o %8,x # %-! ",y'%- !7,z!%- $ 8 )ue corresponde a e)ua*+o do plano dada.
ea )ue ,:/%5 8 8- pertence ao plano %5x ! 3y ! %"z $ : e sendo ,%8 " 7- 0etor normal
temos a e)ua*+o %8,x # :/%5- ! ",y ' 8- ! 7,z # 8- $ 8 )ue corresponde a e)ua*+o do plano
dada.
@nt+o ,%8 " 7- < 0etor normal aos dois planos dados.
=o dizer )ue ,%8 " 7- < um 0etor n+o nulo e normal a ambos os planos est informando )ue
os planos poderiam ser coincidentes. Fogo esta asser*+o somente n+o ustifica )ue os dois
planos seam paralelos. U necessrio )ue se obser0e os termos independentes das e)ua*es
do plano.
RESOSTA? As !&as asser:;es so propos$:;es "er!a!e$ras7 mas a se/&!a o &ma
+&st$-$%at$"a !a pr$me$ra(
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RESOLUO?
ados dois elementos a e b ? um conunto munido de uma opera*+o V ter sempre uma
solu*+o para a e)ua*+o a V x $ b se o elemento a 8 for simetriz0el ,no caso de V ser aditi0a-
ou in0ers40el ,no caso de V ser multiplicati0a-.
=ssim sabemos )ue existe a # % ? tal )ue a V a # %$ a '% V a $ 8 ,elemento neutro-.
Fogo1 a '%V , a V x- $ a '%V b
,a' %V a- V x $ a'%V b6 ea )ue a '%V a < o elemento neutro.
W $ a'%V b < solu*+o.
=gora note )ue 1
%8- @m um grupo , ? .- todos os elementos 8 s+o simetriz0eis por .
"8- @m um corpo , O ! .- todos os elementos 8 s+o simetriz0eis por ! e in0ers40eis por .
38- @m um anel , = ! .- garantimos a simetria por ! mas n+o a in0ersibilidade por .Conse)uentemente a resposta certa < c.
RESOSTA ? Em &m ae# K A7 7 ( a e4&a:o a ( B ) tem so#&:o para 4&a$s4&er a e )perte%etes a A(
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RESOLUO?
Xma transforma*+o linear < uma fun*+o entre dois espa*os 0etoriais )ue preser0a as
opera*es de adi*+o 0etorial e produto por escalar.
efini*+o1
Eeam e Q espa*os 0etoriais sobre o mesmo corpo O.
iz'se )ue P 1
Q < uma transforma*+o linear se1
)()(,)
)()()(,,)
vaTavTRaVevii
wTvTwvTVwvi
=
+=+
Kmportante1
Poda transforma*+o linear P pode ser escrita na forma matricial como um produto de uma
matriz de constantes , coeficientes- por um 0etor.
No caso do exerc4cio temos P 1 R"R"
No item K temos uma rota*+o com um Jngulo dado por
P ,x- $
y
x
sen
sen.
cos
cos
,produto-.
Fogo < transforma*+o linear.
No iem KK temos um cisilhamento dado por P,x- $
y
x
c
c.
1
1
2
1,produto-.
Fogo < transforma*+o linear.
No item KKK temos transla*+o dada por P,x- $
+
2
1.
c
c
y
x, adi*+o-.
N+o < transforma*+o linear
No item K n+o < linear pois precisa de alguma lei en0ol0endo potncias de expoente "
ou ra4zes.
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No item temos a 0aria*+o de tamanho uniforme ou homotetia dada por
P,x- $
y
x
c
c..
2
1,produto-.
Fogo < transforma*+o linear.
No item K temos 0aria*+o de tamanho n+o uniforme dado por
P,x- $
yx
cc ..2
1 com c"$ 8 , produto-.
Fogo < transforma*+o linear.
RESOSTA ? I7 II 7 V e VI
RESOLUO?
amos fazer algumas anlises na fun*+o f,x- $ x3# "x"! 5x !%I.
ea )ue ao deri0armos f,x- encontramos fT,x- $ 3 x"# &x ! 5 )ue tem como representa*+o
uma parbola acima do eixo x , fT,x- admite ra4zes complexas-. Fogo fT,x- Y 8 para todo real x.
Fogo isto determina )ue a fun*+o f,x- $ x3# "x"! 5x ! %I < crescente para todo real x.
@m busca da resposta correta 0erificamos )ue f,'%- $ 7 Y 8 e f,'"-$ '%8 A 8. Fogo temos no
inter0alo entre '% e '" a raiz x8de multiplicidade 3 da fun*+o f,x- isto
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RESOLUO?
ea )ue o grfico dado tem no enunciado no inter0alo entre 8 e % a fun*+o f,x- $ % )ue
resulta como integral uma fun*+o do primeiro grau Z,x- $ x neste inter0alo6 tem no inter0alo
de % a " a fun*+o f,x- $ '% )ue resulta como integral uma fun*+o do primeiro grau
Z,x- $ ax ! b a A 8 neste inter0alo6 tem no inter0alo de " ao infinito a fun*+o f,x- $ ax ! b
a Y 8 )ue resulta como integral uma fun*+o )uadrtica de conca0idade para cima neste
inter0alo.
RESOSTA? Item D
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COORDENAO DE MATEMTICAEstrada da Caroba, !", Ca#$o-Gra%d&'R - T&* +!-!"S.t&s* ///01&230br, ///0s.t&s04oo4&03o#'s.t&'FEUC#at
RESOLUO*
Note )ue a temperatura < dada por P,xyz- $1
50222+++ zyx
Como deseamos encontrar o ponto de maior temperatura e P < dada por uma fra*+o de
numerador constante temos de achar o menor 0alor para o denominador x"! y"! z"! %.
Xsando gradiente1
)2,2,2(),,(),,( zyxz
T
y
T
x
Tzyx =
=
L m4nimo ser encontrado )uando
=
=
=
=
=
0
0
0
)0,0,0()2,2,2(
)0,0,0(),,(
z
esferadacentroOy
x
zyx
zyx
RESOSTA? Item D at$/$r' o se& ma$or "a#or o %etro !a )o#a(
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QUESTO 28?
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R@ELFX[\L1
K-
Certo pois as cur0as de n40el de uma superf4cie s+o dadas pelas intersec*es da mesma
por planos horizontais.
KK- Certo pois =+
22
22lim
yx
yxe =
+
+
)( 22
22lim
yx
yxe 0lim =
a
ae
011lim ==
eeaa
KKK- @rrado pois ela < ilimitada inferiormente pelo plano xy. Guanto mais nos afastarmos da
origem mais a altura da superf4cie tende a zero mas n+o o ultrapassa.
Conse)uncia direta do item KK.
K-
=
=====
+
)01(
)1()1(lim2
2
2
22
22
22
2
22
eedxdyedxdyedxdye a
aa
yx
yx
yx
R
yx
@st correto.
RESOSTA ? I7 II e IV(
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ADRO DE RESOSTAS DADO ELO INE?
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ADRO DE RESOSTAS DADO ELO INE?
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RESOLUO?
Ktem K1
Na figura do problema % podemos ter um c4rculo inscrito no oct;gono sugerindo uma
aproxima*+o da rea do c4rculo com a rea do oct;gono.
L item K est certo.
Ktem KK1
No problema " ao aproximarmos podemos ter1
3%& A 3%&%5 A 3%5.
3%& < aproxima*+o por defeito ,para menos- e 3%5 por excesso ,para mais-.
ea )ue a rea do c4rculo com aproxima*+o 3%& d 3%& . ,&5-"$ I35 $ I&.
Fogo podemos ter aproxima*+o por defeito ,para menos-.
L item KK est errado.
Ktem KKK1
No problema " a rea do c4rculo de diJmetro d < igual a rea do )uadrado de lado d9
8.
L item KKK est correto.
RESOSTA? Apeas os $tes I e III esto %orretos(
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RESOLUO?
= e)ua*+o do segundo grau antes de Cristo ' 3888 aC tinha propostas de resolu*+o de
e)ua*es simples. N+o ha0ia os nmeros negati0os. N+o ha0ia a lgebra simb;lica. Resol0iam
alguns tipos de e)ua*es com pala0ras ,lgebra ret;rica-. =p;s a cultura geom
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L item @ est incorreto. Com a hist;ria da (atemtica teremos acelera*+o de aprendizagem.
RESOSTA? P a!e4&a!a a $ser:o !essa perspe%t$"a7 asso%$a!a F ma$pa:o !e re%orte e
%o#a/em pe#a %omp#emeta:o !e 4&a!ra!os7 )&s%a!o sempre a#terat$"as para as
s$t&a:;es 4&e esse pro%e!$meto o %ose/&e reso#"er(
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RESOLUO?
L estudo dos nmeros decimais tem in4cio nos anos iniciais do @nsino Zundamental # )uinto
ano ' onde os nmeros decimais s+o ensinados atra0
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No item KK ao colocar )ue os nmeros decimais de0e preceder o ensino do sistema monetrio
est incorreto pois o ensino dos nmeros decimais de0e ser ensinado atrelado aos problemas
en0ol0endo 0alores monetrios.
L Ktem KKK n+o < apropriado para supera*+o da baixa aprendizagem embora a maioria dos
programas apresentem o estudo de fra*es decimais de forma independente e bem posterior
ao estudo de fra*es de )uantidade )ual)uer.
=ssim as reflexes dos itens K e K podem superar a baixa aprendizagem dos nmeros
decimais.
RESOSTA? I e IV
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RESOLUO?
Nesta )uest+o apenas o item ]e^ est incorreto. =o afirmar )ue o problema examina
conse)_ncias do uso de diferentes defini*es deixa o problema fechado apenas para o exame
de conse)_ncias com o gasto de gua.
RESOSTA? E,am$a %ose4G%$as !o &so !e !$-eretes !e-$$:;es(
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RESOLUO?
L cubo tem %% planifica*es ao todo e a planifica*+o apresentada pelos alunos n+o est entre
elas ,n+o monta o cubo-.
Guando uma afirma*+o tem base matemtica podemos dizer )ue tem expl4cito um
fundamento matemtico.
=o obser0arem )ue n+o poderiam montar um cubo deram ustificati0as.
No item = colocaram )ue n+o se podem alinhar trs )uadrados. Zalso. >odemos ter
alinhamento de trs e mais trs )uadrados para planificar o cubo.
No item M podemos ter uma planifica*+o com )uatro )uadrados alinhados e dois )uadradosum de cada lado oposto dos )uadrados alinhados. Zaltou a fundamenta*+o matemtica.
No item C temos uma afirma*+o falsa pois podemos ter trs )uadrados alinhados e ao lado do
ltimo mais trs alinhados.
No item ao colocar )ue cada ponto )ue corresponder a um 0
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RESOSTA? Ca!a poto 4&e %orrespo!er' a &m "rt$%e !e"er' ser o e%otro !e7 o
m',$mo7 trGs se/metos7 4&e sero arestas !o %&)o(
RESOLUO?
`oe no ensino dos anos iniciais do @nsino Zundamental )uinto ano ensina'se
porcentagem ap;s o ensino de fra*es e nmeros decimais. (ostram'se exemplos em 0rios
contextos sociais. @nsina'se porcentagem integradas geometria )uando temos um )uadrado
com subdi0ises em cem )uadrados6 percentual em forma de porcentagem fra*+o ou nmero
,"396 "3/%886 8"3-6 em medidas )uando por exemplo definimos 589 de um litro6 em
tratamento da informa*+o )uando em grficos de setores representamos porcentagens de um
determinado e0ento.
Fogo consideramos corretos os itens1
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K'
L ensino de porcentagem de0e ter o contexto sociocultural como moti0a*+o deaprendizagem.
KKK' ensino de fra*es centesimais e o de fra*es de )uantidade de0em ser articulados com
o ensino de porcentagem.
K'L contedo de porcentagem fa0orece um trabalho integrado entre diferentes blocos de
contedos tais como nmeros medidas geometria e tratamento da informa*+o.
RESOSTA? I7 III7 IV(
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RESOLUO?
Como h $ nm. define a m
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RESOLUO?
=o fazermos 3.3 temos .39 = Ee a m)uina determina o 0alor de 3 teremos para
3.3 um 0alor decimal finito.
=o fazer 3.3 como 3 ou ".222222222I n+o existem erros nas m)uinas. =o
encontrarmos 3 podemos estar usando as propriedades dos radicais nos programas da
m)uina. =o encontrarmos ".222222222I estaremos usando o produto de dois nmeros
decimais finitos. U interessante obser0armos )ue se escre0ermos 3 como infinitas
decimais n+o peri;dicas e multiplicarmos pelo mesmo 0alor teremos um nmero com
infinitas decimais tendendo para 3 ,limite-. =ssim estaremos discutindo as diferen*as entre
os conceitos de nmeros racionais irracionais e aproxima*es.
RESOSTA? Co-rotar a resposta o)t$!a %om a !e &ma %a#%a!ora %$et9-$%a7 !$s%&t$!o
a !$-ere:a etre os %o%e$tos !e meros ra%$oa$s7 apro,$ma:;es e meros$rra%$oa$s(
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RESOLUO?
L aluno di0idiu I3:7: usando inicialmente a di0is+o de cada ordem por 3 gerando "%""".
ea )ue usou corretamente o procedimento de di0is+o )uando ao di0idir : ,centena
simples- por 3 obte0e resto % ,centena simples- )ue representa %8 na ordem da dezena
simples e )ue somado com " de resto da di0is+o de 7 ,dezena simples- por 3 d %" )ue
di0idido por 3 d & e )ue somado com " gerado da di0is+o de 7 por 3 encontrou I. =o
di0idir : ,unidade simples- por 3 encontrou " e resto %. =o fazer a di0is+o encontrou
corretamente o )uociente "%"I" e resto %.
RESOSTA? O a#&o %ompree!e& tato a estr&t&ra !e mero 4&ato o %o%e$to !a
opera:o !e !$"$so(
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PADRO DE RESPOSTAS DADO PELO INEP*
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