01. Uma pessoa ingere uma certa substncia que se concentra em seu crebro. O grfico a seguir mostra essa concentrao em funo do tempo t.

Admitindo que a concentrao y seja dada por uma funo quadrtica y = at2 + bt + c, correto afirmar que a) a > 0 e b2 - 4ac > 0. b) a > 0 e b2 - 4ac < 0. c) a < 0 e b2 - 4ac > 0. d) a < 0 e b2 - 4ac < 0. e) a 0 e b2 - 4ac = 0. Resoluo: A concavidade da parbola depende do sinal do coeficiente a da funo. Para o grfico ter concavidade voltada para baixo, como mostra a figura, o coeficiente de t2 deve ser negativo, ou seja, a < 0. Como a parbola intercepta o eixo x (abscissas) em dois pontos distintos (que representam suas razes) o = b2 - 4ac deve ser positivo, ou seja, = b2 - 4ac > 0. Logo, a alternativa correta a letra c. 02. Um estudo com um grupo de vestibulandos indica que a funo f(t) = 9e-t/3 + 1, com t 0, a quantidade do contedo de Geometria que um aluno consegue relembrar decorridas t semanas aps o estudo. A funo g, que expressa o tempo t em funo da quantidade de contedo que o aluno consegue relembrar, a inversa da funo f e dada por

Resoluo: A funo f(t) = 9e-t/3 + 1 igual y = 9e-t/3 + 1. Assim, para determinar a inversa, devemos inicialmente isolar o valor de t:

Podemos aplicar logaritmo neperiano em ambos os membros:

Devemos trocar y por t e t por y. Logo:

A questo pede a funo g (inversa de f), que expressa o tempo t em funo da quantidade de contedo f(t). Logo, devemos salientar que o x que aparece nas alternativas o f(t), ou seja, a quantidade de contedo que o aluno consegue relembrar ocorrido t semanas. Assim sendo, podemos dizer que:

Verifique que no t = 0, temos f(t) = 10 contedos de Geometria que o aluno relembra (basta substituir na funo f dada). Se substituirmos x = f(t) = 10 na funo inversa de f, temos o g(x) = t = 0. Alternativa correta a letra A.

03. Sabe-se que a prtica regular de esportes melhora o aprendizado escolar. O grfico a seguir representa o resultado de uma pesquisa realizada junto a um grupo de 1500 alunos do ensino mdio, com quem foi feito um levantamento a respeito do esporte praticado regularmente.

De acordo com a pesquisa, se x o nmero de alunos do ensino mdio que pratica apenas vlei, ento: a) x maior que 150. b) x pertence ao domnio da funo f(x) = 5/(3x - 315) c) x [-100, 200] [100, 300]. d) x igual a 195. e) x satisfaz a equao (x - 105) (x - 195) + 5 = 0. Resoluo: De acordo com o grfico de setores, vemos que 7% praticam apenas vlei. O total de alunos a respeito de esporte praticado regularmente 1500. Assim, 7% de 1500 : 1500.0,07 = 105 alunos. Analisando as alternativas dadas, notamos que a correta a letra c. Veja abaixo:

O valor de x = 105 pertence ao intervalo [100, 200].

04. O grfico a seguir mostra a evoluo das notas em Matemtica de dois grupos de estudantes, denominados grupo I e grupo II.

Analisando o grfico e considerando o perodo de 2007 a 2010, possvel afirmar: a) Os dois grupos melhoraram as notas. b) A nota do grupo I, em 2008, foi 80. c) A nota do grupo I aumentou de 2008 a 2009 e diminuiu de 2009 a 2010. d) A nota do grupo II no sofreu alterao. e) A nota do grupo I aumentou, enquanto a nota do grupo II diminuiu. Resoluo: Analisando as alternativas e observando o grfico, verificamos que o grfico do grupo 1 aumenta, enquanto que o do grupo II.

Alternativa correta a letra E.

05. Em relao ao grfico da questo anterior, considerando 2007 como x = 1, 2008 como x = 2 e assim, sucessivamente, a funo afim y = ax + b que melhor expressa a evoluo das notas em Matemtica do grupo II

Resoluo:

Temos dois pontos visveis da reta referente evoluo das notas do grupo II que so: (1, 70) onde no eixo x temos o tempo em anos, em que 2007 representa x = 1 e a nota 70 no eixo y. (3, 65), onde o ano de 2009 x = 3 e a nota o y = 65. A funo afim do tipo y = ax + b. Assim: (1, 70) 70 = a.1 + b (I) (3, 65) 65 = a.3 + b (II) Agora, precisamos resolver o sistema formado pelas equaes (I) e (II):

Multiplicando a eq. (I) por -1 e somando com a (II) e resolvendo, temos:

Portanto, a lei de formao da evoluo da notas em Matemtica do grupo II

Alternativa correta a letra B.

PS2 - 2 dia01.

O diagrama dado representa a cadeia alimentar simplificada de um determinado ecossistema. As setas indicam a espcie de que a outra espcie se alimenta. Atribuindo valor 1 quando uma espcie se alimenta de outra e zero, quando ocorre o contrrio, tem-se a seguinte tabela:

A matriz A=(aij)4x4 , associada tabela, possui a seguinte lei de formao:

Resoluo: Genericamente, a matriz representada por A = (aij)4x4, em que 1 i 4, onde i indica a linha que o elemento ocupa, e 1 j 4, onde j indica a coluna que o elemento ocupa. Assim, a matriz A associada tabela :

Veja que quando i j, o elemento correspondente a sua posio vale zero e, quando i < j, o elemento vale 1. Logo, a lei de formao da tabela o da alternativa c.

02.

O grfico mostra a quantidade de animais que uma certa rea de pastagem pode sustentar ao longo de 12 meses. Prope-se a funo Q(t) = a sen (b + ct) + d para descrever essa situao. De acordo com os dados, Q (0) igual a a) 100. b) 97.

c) 95. d) 92. e) 90. Resoluo: Na funo dada Q(t) = a sen (b + ct) + d, iremos determinar os parmetros a, b, c e d, para podermos descobrir o Q(0). A imagem da funo o intervalo [20, 120] e o perodo 12.

O perodo dado por

Assim:

Temos tambm -1 sen(b + ct) 1, onde o valor mximo da funo Q(t) igual a 120 e o valor mnimo 20. No valor mximo da funo Q(t), temos o valor mximo de sen(b + ct), que 1, no valor mnino da funo Q(t), temos o valor mnimo de sen(b + ct), que -1. Logo:

Adicionando as equaes e resolvendo, temos a = 50 e d = 70 (*). Bem, j encontramos os parmetros a, c e d, com a funo assim definida: Q(t) = 50 sen (b + t/6) + 70.

Falta determinarmos o b. Para isso, podemos utilizar o ponto (2, 120) e substituir na funo. Portanto: 120 = 50sen(b + .2/6) + 70 120 - 70 = 50sen(b + /3) 50 = 50sen(b + /3) 1 = sen(b + /3). Como sen /2 = 1, podemos fazer: Sen /2 = sen(b + /3) Portanto, a funo fica: Q(t) = 50 sen (/6 + t/6) + 70. Queremos Q(0). Logo: Q(0) = 50 sen (/6 + .0/6) + 70 Q(0) = 50 sen (/6) + 70 Q(0) = 50.1/2 + 70 Q(0) = 25 + 75 Q(0) = 95 (*) Esta tcnica para encontrar a e d prtica, mas perigosa. Observe que o coeficiente a representa a amplitude da funo dada. Esta amplitude pode ser negativa ou positiva. O grfico abaixo em vermelho possui a amplitude positiva (a = 50); enquanto que o grfico em azul, a amplitude negativa (a = -50). No caso do grfico em azul, com ele simtrico em relao reta y = 70, teramos o valor mnimo da funo (20) para o valor mximo de sen (b + ct), que igual a 1 e o valor mximo da funo (120) para o valor mnimo de sen (b + ct), que igual a -1. /2 = b + /3 b = /6.

03. A natureza tem sua prpria maneira de manter o equilbrio. Se uma comunidade fica grande demais, , muitas vezes, reduzida por falta de comida, por predadores, seca, doena ou incndios. Uma certa reserva florestal sofreu um incndio. Na primeira hora, teve 1 km2 de sua rea queimado e, a cada hora subsequente, foi destrudo pelo fogo o triplo da rea em relao hora anterior. Supondo que esse processo se mantenha, quantos km2 da reserva sero queimados decorridas k horas do incio do incndio?

Resoluo: Temos uma progresso geomtrica (1, 3, 9, ...), em que:

04. Em uma determinada regio do mar, foi contabilizado um total de 340 mil animais, entre lontras marinhas, ourios do mar e lagostas. Verificou-se que o nmero de lontras era o triplo do de ourios e que o nmero de lagostas excedia em 20 mil unidades o total de lontras e ourios. Pode-se dizer que o nmero de ourios dessa regio a) 30mil. b) 35 mil. c) 40 mil.

d) 45 mil. e) 50 mil. Resoluo: x quantidade, em milhares, de lontras marinhas. y quantidade, em milhares, de ourios. z quantidade, em milhares, de lagostas. O total de lontras marinha, ourios e lagostas igual a 340 mil. Logo, x + y + z = 340. (eq. I) Como o nmero de lontras o triplo de ourios, temos: x = 3y (eq. II) Como o nmero de lagosta excede em 20 mil a soma de lontras e ourios, temos: z = 20 + x + y (eq. III) Vamos substituir a eq. II na eq. III. Assim: z = 20 + 3y + y z = 20 + 4y (eq. IV) Substituindo a eq. II e IV na eq. I, temos:

Como pedido a quantidade de ourios, a alternativa correta a letra C.

05. A figura a seguir apresenta o delta do rio Jacu, situado na regio metropolitana de Porto Alegre. Nele se encontra o parque estadual Delta do Jacu, importante parque de preservao ambiental. Sua proximidade com a regio metropolitana torna-o suscetvel aos impactos ambientais causados pela atividade humana.

A distncia do ponto B ao ponto C de 8 km, o ngulo mede 45 e o ngulo 75. Uma maneira de estimar

mede

quanto do Delta do Jacu est sob influncia do meio urbano dada pela distncia do ponto A ao ponto C. Essa distncia, em km,

Resoluo:

Como a soma dos ngulos internos de um tringulo igual a 180, podemos concluir que o ngulo B igual a 60.

Utilizando a lei dos senos, temos:

PS3 - 3 dia01. A prefeitura, responsvel pela iluminao pblica de uma cidade, trocou 40% das luminrias por outras mais eficientes. Decorrido um ano da troca, verificou que 2% das novas luminrias e 6% das luminrias antigas apresentaram defeito. Qual a porcentagem das luminrias da cidade que apresentaram defeito nesse perodo? a) 3,2%. b) 4,4%. c) 5,6%. d) 6,8%. e) 8,0%. Resoluo: Como foi trocado 40% das luminrias (novas), conclumos que ficou 60% (antigas). 2% das luminrias novas apresentaram defeito. Portanto, temos que calcular 2% de 40%. Logo: 0,02.0,40 = 0,008 ou 0,8% 6% das luminrias antigas apresentaram defeito. Portanto, temos que calcular 6% de 60%. Logo: 0,06.0,60 = 0,036 ou 3,6% O percentual total que apresentou defeito 0,8% + 3,6% = 4,4%.

02. Uma luminria foi instalada no ponto C(-5, 10). Sabe-se que a circunferncia iluminada por ela tangente reta que passa pelos pontos P(30, 5) e Q(-30, -15). O comprimento da linha central do passeio correspondente ao eixo y, que iluminado por essa luminria, a) 10 m. b) 20 m.

c) 30 m. d) 40 m. e) 50 m. Resoluo: Vamos desenhar a circunferncia centrada no ponto C(-5, 10), onde est localizada a luminria. Esta circunferncia tangente a reta que passa pelos pontos P(30, 5) e Q(-30, -15).

Vamos encontrar o raio da circunferncia. Para isso, necessrio determinarmos a equao da reta que passa pelos pontos P(30, 5) e Q(-30, -15). Assim, podemos fazer:

20x - 60y - 300 = 0

(20)

x - 3y - 15 = 0

Note que o raio forma com a reta tangente, no ponto de tangncia, um ngulo de 90. Logo, podemos calcular o raio utilizando a frmula da distncia entre ponto e reta.

onde d a distncia do ponto C(xc, yc) at a reta Ax + By + C = 0. No caso estudado, a distncia o raio da circunferncia.

Racionalizando o denominador, temos,

pedido o comprimento da linha central do passeio correspondente ao eixo y. Isso significa encontrar a corda AB (veja desenho acima). Para isso, precisamos inicialmente determinar a equao da circunferncia, com centro (-5, 10) e raio Vamos usar a equao reduzida da circunferncia: (x - a)2 + (y - b)2 = R2, onde a e b so as coordenadas do centro. Assim:

Note que o eixo y possui como equao x = 0. Para encontrar os dois pontos A e B, basta substituir x = 0 na equao da circunferncia, visto que, esses pontos pertencem circunferncia e ao eixo y. Logo: (0 + 5)2 + (y - 10)2 = 250 25 + y2 - 20y + 100 - 250 = 0 y2 - 20y - 125 = 0

Resolvendo a equao, temos y1 = -5 e y2 = 25. Portanto: A(0, -5) e B(0, 25)

Logo AB = 25 - (-5) = 30. Alternativa correta a letra C. Obs.: A unidade de comprimento metro que aparece nas alternativas um suposio. No mencionada nenhuma unidade no enunciado da questo. De qualquer maneira, razovel, pelo contexto da situao, que seja em metros.

03. Na iluminao da praa, trs novas luminrias so instaladas do seguinte modo: uma dessas luminrias instalada na bissetriz do primeiro quadrante; a distncia de cada uma delas ao ponto de encontro das linhas centrais dos dois passeios 20 metros; a distncia entre cada par dessas luminrias a mesma. Quais nmeros complexos a seguir representam os pontos onde foram instaladas as trs luminrias? a) Z1 = 20(cos /4 + i sen /4); Z2 = 20(cos 11/12 + i sen 11/12); Z3 = 20(cos 19/12 + i sen 19/12) b) Z1 = 20(cos /4 + i sen /4); Z2 = 20(cos /6 + i sen /6); Z3 = 20(cos 2/3 + i sen 2/3) c) Z1 = cos /4 + i sen /4; Z2 = cos 11/12 + i sen 11/12; Z3 = cos 19/12 + i sen 19/12 d) Z1 = cos /3 + i sen /3; Z2 = cos /12 + i sen /12; Z3 = cos 2/3 + i sen 2/3 e) Z1 = 20(cos /3 + i sen /3); Z2 = 20(cos + i sen ); Z3 = 20(cos 5/6 + i sen 5/6) Resoluo: A luminria L1 pertence bissetriz do 1 quadrante, que possui ngulo de 45. Este ngulo representa o argumento (1 = 45 = /4 ).

Pela informao dada no texto da questo, temos os mdulos dos complexos L1, L2 e L3 iguais entre si de valor 20 metros ( = 20). Na figura abaixo, temos o tringulo L1L2L3 eqiltero, pois a distncia entre cada par de luminrias a mesma. Logo, o ngulo central do tringulo 120 (360/n, onde n o nmero de lados do polgono; no caso, n = 3).

O argumento de L2 45 + 120 = 165. Passando para radianos, temos 2 = 11/12. O argumento de L3 165 + 120 = 285. Passando para radianos, temos 3 = 19/12. Escrevendo na forma trigonomtrica (Z = (cos + i sen ), temos: L1 = Z1 = 20(cos /4 + i sen /4) L2 = Z2 = 20(cos 11/12 + i sen 11/12) L3 = Z3 = 20(cos 19/12 + i sen 19/12) Alternativa correta a letra A.

04. Trs lmpadas com resistncias R1, R2 e R3 so ligadas num circuito em paralelo. Sabe-se que a resistncia total R do circuito

Suponha que cada uma dessas lmpadas teve sua resistncia alterada para R1 + x, R2 + x e R3 + x. Assim, a resistncia total funo de x. Sendo

a expresso da resistncia total de x, possvel afirmar: I. a3 = b2 II. a1 = b0

a) apenas I. b) apenas I e II. c) apenas III. d) apenas II e III. e) I, II e III. Resoluo: Devemos substituir na expresso

R1 por R1 + x, R2 por R2 + x e R3 por R3 + x.

Igualando R com R(x), temos:

Veja que: a3 = 1 e b2 = 3. Logo, a 1 afirmativa errada, pois a3 NO igual a b2.

a1 = R1R2 + R1R3 + R2R3 b0 = R1R2 + R1R3 + R2R3 Logo, a1 = b0. Logo, a 2 afirmativa correta.

R1 + R2 + R3 = a2 (I) 2R1 + 2R2 + 2R3 = b1 b1 = 2(R1 + R2 + R3) Substituindo (I) em (II), temos: b1 = 2a2 a2 = b1/2. Logo, a 3 afirmao correta. Conclumos que a alternativa correta a letra d. (II)

05. Um fabricante decidiu produzir luminrias no formato de uma semiesfera com raio de 20 cm. A parte interior, onde ser alojada a lmpada, receber uma pintura metalizada que custa R$ 40,00 o metro quadrado; j a parte externa da luminria receber uma pintura convencional que custa R$ 10,00 o metro quadrado. Desconsiderando a espessura da luminria e adotando o valor de p=3,14, o custo, em reais, da pintura de cada luminria a) 3,14. b) 6,28. c) 12,56. d) 18,84. e) 25,12. Resoluo:

Para calcular o custo da pintura interna e externa necessrio calcular a rea da semiesfera, internamente e externamente. Este rea, tanto a interna como externa so iguais. Portanto, se calcularmos a rea da esfera, teremos a rea total a ser pintada. Para isto, vamos usar frmula: ASE = 4R2. Como o raio vale 20 cm = 0,2 m, temos: ASE = 4.3,14.(0,2)2 = 0,5024 m2. Tanto a parte interior como exterior, ter a rea a ser pintada, igual metade do valor encontrado, ou seja, 0,2512 m2. O valor do m2 a ser pintado de R$ 40,00 na parte interna e R$ 10,00 na parte externa. Logo, o custo, em reais : Custo = 0,2512.40 + 0,2512.10 = 10,048 + 2,512 = R$ 12,56. Alternativa correta a letra C.