UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

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FACULTAD DE INGENIERÍA GEOLÓGICA MINERA Y METALÚRGICA

MATEMÁTICAS IV

Resolución de la tercera práctica calificada

Profesor: Ing. Collante Huanto Andrés

Alumno:

Purihuaman Cubas Alex Elesvan

LIMA – PERÚ

2015

FACULTAD: “FIGMM” Página 1

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1.

XY´´ - XY´ + Y = 0 … E.D. original

Y´´ - Y´ + 1X Y = 0 … forma estándar

P(X) = -1

Q(X) = 1X

X= 0 es un punto singular regular, ¿por qué?

Veamos: limx→0

X P(X) = 0 ; limx→0

X2*Q(X) = 0

Como es un punto singular regular, utilizamos el teorema de Frobenius:

La solución será de la forma: Y = ∑n=0

∞

CnX n+r

derivando dos veces: Y´=∑n=0

∞

(n+r )Cn Xn+ r−1 , Y´ ´=∑n=0

∞

(n+r )(n+r−1 )CnXn+r−2

reemplazando en la E.D. original

X∑n=0

∞

(n+r ) (n+r−1 )CnX n+ r−2 - X∑n=0

∞

(n+r )CnX n+r−1+∑n=0

∞

CnX n+r = 0

∑n=0

∞

(n+r ) (n+r−1 )CnX n+ r−1 - ∑n=0

∞

(n+r )CnX n+r + ∑n=0

∞

CnX n+r = 0

X r[∑n=0

∞

(n+r ) (n+r−1 )CnX n−1 - ∑n=0

∞

(n+r )CnX n + ∑n=0

∞

CnX n = 0

X r[ r(r – 1)X−1 + ∑n=1

∞

(n+r ) (n+r−1 )CnX n−1 - ∑n=0

∞

(n+r )CnX n + ∑n=0

∞

CnX n = 0

X r[ r(r – 1)X−1 + ∑k=0

∞

(k+1+r) (k+r )C k+1 Xk - ∑k=0

∞

(k+r)C kXk + ∑

k=0

∞

C k Xk = 0

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X r{ r(r – 1)X−1 + ∑k=0

∞

¿¿ – (k + r – 1)C k]}

ecuación indicial : r(r – 1) = 0 → r1= 1 , r2= 0 → r1 - r2= entero positivo

fórmula de recurrencia : (k+1+r) (k+r )C k+1 – (k + r – 1)C k = 0

para r1= 1 la relación de recurrencia es :C k+1 ¿k

(k+2)(k+1)C k ; k = 0,1,2,3…

Iterando tenemos: C1=C2=C3=…=0

→una solución será Y1 = ∑n=0

∞

CnX n+1 =X∑n=0

∞

CnX n = X(C0 + C1X + C2X2 + ….)

Y1 = C0X

Como tenemos una solución conocida, la otra será:

Y2 = X∫ e−∫ P (X ) dX

Y 12 dX= X∫ e

−∫−1dX

X2 dX= X∫ eX

X2 dX

expansión en serie de Maclaurin de ex: ex=1+ x1 !

+ x2

2 !+ x

3

3 !+…,−∞<x<∞

Y2 = X∫1+ x

1 !+ x

2

2!+ x

3

3 !+…

X2 dX = X∫( 1

X2 ¿+1X

+ 12+ 1

6X+ 1

24X2+…)dX ¿

Y2 = X(−1X + lnX +

X2 + X

2

12 + X

3

72+ … )

Y2 = -1 + XlnX + X2

2 + X

3

12+ X

4

72 + …

luego la solución general es: Y = K1X + K2Y2

2.

a) x2y´´ + xy´ + (x2 – 81)y = 0

recordando: sea x2y´´ + xy´ + (x2 – v2 )y = 0 …ecuación de Bessel

→la solución general de la ecuación de Bessel, para todo valor de v, puede escribirse como :

y = C1Jv(x) + C2Yv(x); donde

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Jv : función de Bessel de primera clase de orden v

Yv : función de Bessel de segunda clase de orden v

volviendo al problema: v2 = 81 → v = 9

→ y = C1 J9(x) + C2Y9(x)

b) xy´´ + 2y´ + 4y = 0

recordando: si se tiene la E.D. de la forma

la solución general será y = xa [C1 JP(bxc) + C2 YP(bxc)]

volviendo al problema: llevamos la E.D. original a la forma estándar

y´´ + 2x y´ +

4x y = 0 e identificamos

1 - 2a = 2 → a =−12

2c – 2 = -1 → c = 12

b2c2=4 → b = 4 a2 – p2c2 = 0 → p = 1

→ y = x-1/2 [C1 J1(4x1/2) + C2 YP(4x1/2)]

3.

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