∫0

2π

|senx−cosx|dx

Cuando sen x - cos x ≥0 es decir sen x ≥ cos x tan x ≥1, en el intervalo 0≤x≤2π cumple con: [π/4,5π/4

|sen x - cos x | = -(sen x - cos x) = cos x - sen x cuando sen x - cos x <0 es decir sen x < cos x tan x < 1, en el intervalo 0≤x≤2π cumple con: [0, π/4] U [5π/4, 2π] 

π/4 ∫ (cos x - sen x) dx = (sen π/4 + cos π/4)-(sen 0 + cos 0) = √2 - 1 0 

5π/4 ∫ (sen x - cos x) dx = (- cos5π/4-sen5π/4) - (-cosπ/4-senπ/4) = 2√2 π/4 

2π ∫ (cos x - sen x) dx = (sen2π+cos2π)-(sen5π/4+cos5π/4) = 1+√2 5π/4 

entonces 2π ∫ |sen x - cos x | dx = (√2-1) + (2√2) + (1+√2) = 4√2 0