Resolução de problemas de alocação de recursos

191 Aula 7: Resolução de problemas de alocação de recursos

AULA

7Resolução de problemas de alocação de recursos

NESTA AULA´ Método Gráfico de Resolução

´ Uso da planilha eletrônica

METAS DE COMPREENSÃO´ Dado um problema de alocação de recursos com duas variáveis de decisão,

resolvê-lo por meio do método gráfico.

´ Dado um problema de alocação de recursos, resolvê-lo com auxílio dosuplemento SOLVER do MS-Excel.

´ APRESENTAÇÃO

Esta aula é continuação direta da aula anterior, em que apresentamos os problemas de otimização e indicamos nosso foco naquela aula: a construção de modelos de problemas de programação linear de alocação de recursos.

Nesta aula nos propomos a indicar dois caminhos. Primeiro apresentaremos o método gráfico de solução. Esse método, em termos práticos é bem limitado, pois só permite resolver problemas com duas variáveis de decisão, quando qualquer problema real facilmente tem bem mais que duas variáveis. Apesar de limitado, esse método é importante para aprofundar a compreensão dos conceitos envolvidos. Em seguida apresentaremos um segundo caminho para tratar desses problemas: o uso do suplemento Solver disponível na planilha eletrônica MS-Excel. Essa ferramenta computacional já permite resolver problemas mais complexos, com maior número de variáveis de decisão.

192 Matemática Aplicada

Método Gráfico de ResoluçãoComo dissemos, nesta aula damos continuidade à discussão da aula an-

terior. Partimos do mesmo problema exemplo, cuja descrição verbal está a seguir:

“Uma pequena fábrica artesanal instalada numa garagem precisa plane-jar a sua produção para a próxima jornada. Isto é, ela precisa determinar quantos bolos e quantos biscoitos deve produzir.

Uma primeira avaliação indica que ela deve se preocupar com a disponi-bilidade de três recursos: mão de obra (o equivalente a 24h de trabalho), farinha (10 kg) e frutas secas (1 kg) para fazer bolos e biscoitos. O proble-ma é determinar quantos bolos e quantos biscoitos produzir com toda essa farinha. Cada bolo produzido consome 350 g de farinha (ou 350 g/bolo), e cada dúzia de biscoitos requer 120 g (ou 120 g/dúzia). Em cada bolo são colocados 50 g de frutas secas e em cada dúzia de biscoitos, 10 g. Cada bolo requer 45 minutos de mão de obra, e cada dúzia de biscoitos, 15 minutos. Além disso, a fábrica tem um histórico da procura por seus produtos. Ela sabe que a demanda máxima por bolos no período considerado é de 30 uni-dades, e a de biscoitos, de 50 dúzias. O objetivo da empresa é maximizar seu lucro na operação. Ela sabe que na venda de cada bolo e de cada dúzia de biscoitos, a empresa tem uma margem respectivamente de R$ 5,00 e R$ 2,00.”

Identificamos nessa situação duas variáveis de decisão: a quantidade de bolos a ser produzida, que representamos por x, e a quantidade de biscoi-tos (medida em dúzias) a ser produzida, que representamos por y.

A função objetivo é a margem total de lucro obtida com a venda dessa produção, que representamos por Z. Há três restrições relacionadas aos recursos disponíveis: o consumo de farinha, que deve ser no máximo de 10 kg, o consumo de frutas secas (máximo de 1 kg) e a utilização de mão de obra (máximo de 24 h). Há outras duas restrições relacionadas à demanda prevista (máximo de 30 bolos e máximo de 50 dúzias de biscoitos).

Finalmente há duas restrições de caráter mais matemático: as variáveis de decisão não podem ser negativas. A partir dessa análise foi construído o seguinte modelo:

Determinar x e y tais que o valor de Z = 5x + 2y seja máximo e sejam respeitadas as seguintes restrições:

(1)


Antes de continuarmos, seria bom você rever suas anotações da aula passada. O significado de cada uma das expressões do modelo deve estar claro para você.

Vamos apresentar um método de resolução. Esse método é aplicável apenas a problemas que têm duas variáveis de decisão. Seu principal in-teresse é permitir uma visualização gráfica do problema, e uma interpre-tação imediata dos diferentes passos de resolução em termos da situação original, permitindo uma melhor compreensão dos conceitos envolvidos.

A abordagem pelo método gráfico traduz as expressões para um proble-ma gráfico: identificar um ponto na fronteira de uma região delimitada. O método começa por representar graficamente todas as restrições. Essa representação gráfica permite delimitar uma “região viável”, ou “região de viabilidade técnica”, isto é, um conjunto de valores para as variáveis que atendem a todas as condições impostas. Essa região tem limites bem defi-nidos, ultrapassar algum desses limites significa desrespeitar uma ou mais das restrições do problema. A solução ótima estará necessariamente em algum ponto da fronteira, de outro modo ou um conjunto de recursos ficará ocioso (restrições com máximo) ou estará sendo usado desnecessariamente (restrições com mínimo). O problema passa a ser então analisar os pontos da fronteira. A Figura 1 sumariza esses passos.

Então o 1º passo é representar graficamente as restrições. Para isso, talvez seja bom você relembrar o que já vimos nesta unidade sobre cons-trução de gráficos, em especial gráficos cartesianos de equações lineares, ou gráficos de retas. Nas Dicas do final desta aula você também encontrará sugestões de material da Internet.

A primeira etapa é isolar do lado esquerdo em cada restrição o y, passan-do todo o resto para o lado direito. Como é feito isso? Usando algo que mui-tos professores chamam de “regra da balança” e os alunos conhecem pela forma “está somando, passa subtraindo; está multiplicando, passa dividin-do...”. Por trás dessas regras está a ideia de que podemos fazer qualquer operação com uma igualdade sem alterar sua validade desde que façamos


exatamente a mesma coisa com o lado direito e com o lado esquerdo.

Comecemos pelas restrições mais simples, as quatro últimas:

y > 0 e y < 50 já estão prontas.

Como fazer com x > 0 e x < 30, já que o y não aparece? Bem, quando o y não aparece, isolamos o x. Logo, essas duas estão também prontas.

Vamos então para a primeira restrição:

350x + 120y < 10000120y < 10000 – 350xy < (10000 – 350x)/120y < 10000/120 – 350x/120y < 83,3333 – 2,9167x

Como utilizamos corretamente a regra da balança, a informação que estava na expressão original (350x + 120y < 10000) continua exatamente a mesma, inalterada, na expressão obtida (y < 83,3333 – 2,9166x).

Fazendo a mesma coisa com as outras restrições, chegamos ao seguinte resultado:

(2)

Você conseguiu obter cada uma dessas expressões a partir do modelo original (conjunto de expressões 1)?

Cada uma dessas expressões representa uma região do plano cartesiano (plano XY) delimitada por uma reta. Vamos começar pelas expressões que não contêm o y. Elas representam regiões limitadas por retas verticais. As Figuras 2a e 2b mostram o resultado para x > 0 e para x < 30 respectivamente.


Como dissemos, quando a restrição é desse tipo, a reta limite é uma reta vertical passando exatamente pelo valor limite de x. Na Figura 2, as retas limites estão representadas em vermelho, a área à esquerda contém todos os valores com x abaixo do limite, e a área à direita, contém os valores com x acima do limite. A restrição x > 0 permite apenas os valores iguais ao limite ou superiores, logo a região viável é a região à direita, mais a reta limite. A restrição x < 30 permite todos os valores iguais ao limite ou inferiores, logo a região viável é a região à esquerda, mais a reta limite.

Com cada uma das outras restrições faremos o mesmo: descobriremos uma reta que divide o plano em duas partes, a restrição determina que apenas uma das partes deve ser considerada. Feito isso, procuraremos de-terminar a região de viabilidade técnica, ou região viável, ou ainda região admissível. Essa região corresponde à parte do plano que é permitida por todas as restrições sem exceção. Antes de tratar das outras restrições, va-mos adiantar um pouco as coisas e ver o que acontece com a região viável quando se consideram duas restrições ao mesmo tempo.

Na Figura 2a está a região viável determinada pela restrição x > 0. É a reta vermelha e a região a sua direita. Na Figura 2b está a região viável de-terminada pela restrição x < 30. É a reta vermelha e a região a sua esquer-da. Como será a região viável determinada pelas duas restrições ao mesmo tempo? Bem, graficamente é o conjunto de pontos que pertence às duas regiões individuais, ou seja, é o conjunto que está ou na reta ou à direita da reta vermelha da 2a e TAMBÉM está à esquerda da reta vermelha da 2b, ou na própria reta. Concorda que isso define uma faixa entre x = 0 e x = 30? Bem, isso está representado na Figura 3. A região viável determinada pelas duas restrições é a faixa pintada.

Tratemos agora das restrições que não contêm x: y > 0 e y < 50. É uma muito parecida com a anterior, só que em vez de retas verticais determi-nando uma região viável na forma de uma faixa vertical, teremos retas horizontais delimitando uma faixa horizontal. A restrição y > 0 tem como região viável todos os pontos da reta horizontal que passa por y = 0 e os pontos acima dela. A restrição y < 50 tem como região viável todos os


Lembramos que região viável do problema é aquela delimitada por todas as restrições simultaneamente. Considerando as quatro restrições tratadas até agora, dá para imaginar como é a região delimitada por essas quatro? Pense um pouco. Queremos o conjunto de todos os pontos cujas coorde-nadas x estão entre 0 e 30 e cujas coordenadas y estão entre 0 e 50. Não vai ser mais uma faixa, concorda? Será o quê? O resultado está na Figura 5.

Passemos agora às restrições cujas expressões matemáticas contêm x e y. Em termos qualitativos o procedimento é o mesmo: encontrar a reta que delimita a região viável descrita pela restrição. A diferença é que agora a reta não é nem vertical nem horizontal. Precisamos então de um outra abordagem.

pontos da reta horizontal que passa por y = 50 e os pontos abaixo dela. O resultado é apresentado na Figura 4.


PENSE NISSO

Neste capítulo, até agora, nossa discussão tem sido feita em termos puramente matemáticos. No entanto é importante lembrar que tudo isso tem um significado em termos do problema original. Por exemplo, por que as restrições cuja expressão não contém y são representadas por retas verticais? O que significa o y? Trata-se da quantidade de biscoitos a ser produzida. E o que significa a reta? Trata-se do limite que a restrição impõe. Logo, se a restrição não contém y, isso quer dizer que ela não afeta nem é afetada pela quantidade de biscoitos produzida. O limite que ela impõe se refere apenas à quantidade de bolos, isto é, o x. As duas restrições desse tipo nos dizem o seguinte: a quantidade de bolos não pode ser negativa (é óbvio, mas os computadores precisam dessa informação) – no gráfico, o que interessa são pontos à direita de x = 0 (o valor de y não importa);não vale a pena produzir mais de 30 bolos porque não haverá procurapara tanto – no gráfico, o que interessa são pontos à esquerda de x = 30(o valor de y não importa).

Você saberia fazer a mesma discussão para as outras duasrestrições analisadas?

Se você entendeu bem essa discussão, deve estar claro que, para as restrições que envolvem tanto a quantidade de bolos como a de biscoitos, a reta não pode ser nem horizontal (limite independente dos bolos) nem vertical (limite independente dos biscoitos), mas deve ser uma reta que corta tanto o eixo x como o eixo y.

A expressão matemática da reta que limita a região de interesse é obti-da transformando a restrição (usualmente expressa por uma desigualdade) numa igualdade – pois o que nos interessa agora é exatamente o limite. Vamos fazer isso com a 1ª restrição: y < 83,3333 – 2,9167x. A equação da reta correspondente é y = 83,3333 – 2,9167x. Repetimos, a desigualdade descreve todos os pontos da região de interesse. Queremos apenas a reta limite, que é descrita pela igualdade.

Representar graficamente esse limite corresponde a construir o gráfico da função y = 83,3333 – 2,9167x. Trata-se de uma função do 1º grau, com coeficiente angular -2,9167 e coeficiente linear 83,3333. Como indicamos anteriormente, você deve revisar os procedimentos de construção de gráfi-cos, se sentir necessidade. Nas Dica de Vídeos, o item (6) trata exatamente disso, propondo um vídeo que descreve em detalhe o procedimento que usaremos aqui.

Vamos fazer então o gráfico. Como se trata de uma reta, basta descobrir dois pontos. Sempre que possível vamos procurar os pontos em que a reta corta os eixos horizontal e vertical:

• Eixo y – colocar x = 0 e calcular y, o ponto será (0, ycalculado)

• Eixo x – colocar y = 0 e calcular x, o ponto será (0, ycalculado)


Talvez você tenha se perguntado quando isso não é possível. Bem, isso não é possível quando a fórmula for do tipo y = mx, ou seja, do lado direi-to há apenas um termo em x, não há nenhum termo independente. Nesse caso, a reta corta o eixo no ponto (0,0), assim, o procedimento acima não vai nos dar dois pontos, mas apenas um só. Não tem problema, quando acontecer isso, escolhemos um segundo valor para x, por exemplo, x = 100, e calculamos o y. Teremos os dois pontos (0,0) e (xescolhido, ycalculado).

No caso da 1ª restrição, podemos usar o procedimento indicado inicial-mente, pois a equação não é do tipo y = mx.

Fazendo x = 0:

y = 83,3333 – 2,9167x

y = 83,3333 – 2,9167.0

y = 83,3333

Logo o 1º ponto é (0, 83,3333)

Fazendo y = 0:

0 = 83,3333 – 2,9167x

2,9167x = 83,3333

x = 83,3333/2,9167

x = 28,5711

Logo o 2º ponto é (28,5711, 0)

A reta definida pelos pontos (0, 83,3333) e (28,5711, 0) marca o limite da região viável definida pela 1ª restrição. No entanto, qual é essa região? É a parte que fica acima da reta ou abaixo da reta? Como a restrição é do tipo y < mx + n, isto é, como se quer que y seja menor ou igual ao resultado do lado direito, os pontos que interessam são os que estão na reta ou abaixo dela. Isso é mostrado na Figura 6.


A reta vermelha da Figura 6 representa os pontos em que y = 83,3333 – 2,1967x. A região acima dela representa os pontos em que y > 83,3333 –2,1967x, e os pontos abaixo dela (região mais escura), os pontos em que y< 83,3333 – 2,1967x. Procure localizar na Figura 6 os

pontos usados para desenhar a reta: (0,83,3333) e (28,5711, 0).

Isso que fizemos para a 1ª restrição deverá ser feito para cada uma das outras duas restrições que faltam. Eis os cálculos para a 2ª restrição:

Restrição: y < 100 – 5x à equação da reta limite: y = 100 – 5x

Fazendo x = 0: y = 100 – 5.0 à y = 100 à 1º ponto: (0, 100)

Fazendo y = 0: 0 = 100 – 5x à 5x = 100 à x = 100/5 à x = 20 à 2º ponto (20,0)

O resultado está representado na Figura 7a. Procure localizar na figura os pontos usados para desenhar a reta (0,100) e (20,0).

Agora a mesma coisa para a 3ª restrição:

Restrição: y < 96 – 3x à equação da reta limite: y = 96 – 3x

Fazendo x = 0: y = 96 – 3.0 à y = 96 à 1º ponto: (0, 96)

Fazendo y = 0: 0 = 96 – 3x à 3x = 96 à x = 96/3 à x = 32 à 2º ponto (32,0)

O resultado está representado na Figura 7b. Procure localizar na figura os pontos usados para desenhar a reta (0,96) e (32,0).

Com isso, terminamos a 1ª etapa do método gráfico (cf. Figura 1). Re-presentamos graficamente todas as restrições. Agora vamos procurar iden-tificar a região de viabilidade técnica, isto é, a região que contém todos os pontos, todas as possíveis soluções que atendem a todas as restrições. Para isso, precisamos representar todas as restrições no mesmo plano car-tesiano. Já começamos a fazer isso (Figura 5). Basta incluir nessa figura os resultados das Figuras 6 e 7. Isso é apresentado na Figura 8.


Antes de começar a analisá-la, estude-a bem. Compare-a com as ou-tras figuras já discutidas. Ela tem muitos detalhes, pois é a composição de todas elas. Para não ficar excessivamente carregada, excluímos algu-mas das informações que estavam escritas nas figuras anteriores, mas elas continuam valendo. Perceba que os pontos assinalados com círculo cinza correspondem aos pontos usados para traçar as três últimas retas. Só há uma exceção, o ponto (20,0), usado para traçar a reta da 2ª restrição. Ele é um dos pontos marcados com um círculo vermelho, mais especificamente o ponto S4.

A região de viabilidade técnica está pintada numa cor mais escura. Ve-rifique que de fato todos os pontos dessa região atendem a todas as restri-ções. Analise os seguintes pontos (lembre-se que cada ponto corresponde a um plano de produção) e diga por que eles não são viáveis, informando qual restrição não estaria sendo obedecida, qual recurso estaria faltando, qual limitação não seria respeitada: (-5,30), (5, 60), (5,85), (1,97), (10,65), (10, 51), (20,10).


A região viável constitui o conjunto de todas as soluções possíveis. Nosso objetivo é encontrar a melhor de todas, a solução ótima. É possível de-monstrar que essa solução necessariamente estará na fronteira dessa re-gião. Para perceber que isso faz sentido, observe que pontos no interior da região correspondem a planos de produção que não esgotam nenhum dos recursos, nem chegam ao limite de nenhuma restrição. Conforme o proble-ma e a restrição, isso pode significar recursos ociosos ou recursos gastos desnecessariamente. Apenas na fronteira da região viável chegamos a um limite de fato dos recursos, pois, nessa linha, pelo menos um dos recursos está sendo usado no seu limite.

Então, em vez de procurar a solução ótima entre todas as possíveis, basta procurá-la nos pontos de fronteira. Observe agora que a fronteira é formada por segmentos de reta. Isso sempre acontecerá em problemas de programação linear (não é à toa que se chama “linear”). É possível de-monstrar que a solução ótima será um dos vértices, isto é, um dos pontos em que dois segmentos se encontram. Uma maneira de entender isso é perceber que no vértice, dois dos recursos estão sendo usados no limite. Na Figura 8, assinalamos os vértices da região viável com círculos vermelhos e os batizamos: S1, S2, S3 e S4 (problemas mais complexos podem ter regiões viáveis com muito mais vértices).

Em resumo, em vez de analisar os infinitos pontos que constituem a região viável, basta analisar os seus vértices. No nosso exemplo, os pontos S1, S2, S3 e S4.

O que significa analisá-los? Significa calcular a função objetivo (no caso a margem de lucro total) e determinar qual deles tem o valor máximo. Esse ponto corresponderá à solução ótima.

Sabemos da aula anterior que a função objetivo é dada por Z = 5x + 2y. Precisamos calcular o valor de Z para cada um dos pontos. Para fazer esse cálculo, precisamos saber as coordenadas x e y de cada ponto. Na discussão a seguir, estamos sempre nos referindo à Figura 8.

O ponto S1 corresponde à origem, o cruzamento das retas x = 0 e y =0 (os dois eixos). Logo suas coordenadas são (0,0)

O ponto S2 corresponde ao cruzamento das retas x = 0 e y =50 (reta li-lás). Logo suas coordenadas são (0,50)

O ponto S4 corresponde ao cruzamento das retas y = 100 – 5x (reta marrom) e y = 0. Na verdade nós o usamos para traçar essa reta marrom. Sabemos que suas coordenadas são (20,0) (qualquer dúvida, reveja como nós o obtivemos).

O ponto S3 corresponde ao cruzamento das retas y =50 (reta lilás) e y = 100 – 5x (reta marrom). Substituindo o y da 1ª reta na expressão da 2ª reta, temos:

50 = 100 – 5x

5x = 100 – 50

5x = 50

x = 50/5

x = 10


Logo as coordenadas de S3 são (10, 50).

Uma observação geral: ao usar o método gráfico, frequentemente apa-rece essa situação: dadas duas retas, encontrar o ponto em que elas se cru-zam. Você sempre terá uma expressão matemática para cada reta. Neste caso foi um pouco mais simples porque a expressão de uma das retas já dá o valor de y (y = 50). Se você tivesse que encontrar o ponto em que a retamarrom (y = 100 – x) se encontra com a reta roxa (y = 96 – 3x), como faria?Deveria resolver o sistema de equações (y = 100 – x) e (y = 96 – 3x). Lembracomo se faz? Se não lembra, revise seu material da Educação Básica, ou dêuma olhada no item 7 das Dicas.

Com essas informações, podemos calcular o valor de Z em cada ponto. Isso está sumarizado na Tabela 1.

Vértice x y Z = 5x + 2y

S1 0 0Z = 5.0 + 2.0

Z = 0

S2 0 50Z = 5.0 + 2.50

Z = 100

S3 10 50Z = 5.10 + 2.50

Z = 150

S4 20 0Z = 5.20 + 2.0

Z = 100

Interpretemos cada um desses resultados:

• Ponto S1: se não se produzirem nem bolos (x=0) nem biscoitos (y=0),a margem total de lucro obtida será 0.

• Ponto S2: se não se produzirem bolos (x=0) e se produzirem 50 dúziasde biscoitos (y = 50), a margem total de lucro obtida será $ 100.

• Ponto S3: se se produzirem 10 bolos (x=10) e 50 dúzias de biscoitos(y = 50), a margem total de lucro obtida será $ 150.

• Ponto S4: se se produzirem 20 bolos (x=20) e não se produzirem bis-coitos (y = 0), a margem total de lucro obtida será $ 100.

Está claro que entre essas quatro opções, a melhor é a opção S3: 10 bo-los e 50 dúzias de biscoitos. Com esse plano de produção, toda a demanda de biscoitos é atendida e todas as frutas secas são gastas (reta marrom na Figura 8). Com isso, o método gráfico termina a resolução do problema.

´ Tabela 1 – Determinação da solução ótima: cálculo do Zem cada vértice da região viável


Podemos, no entanto, tirar mais informações da Figura 8. Observe que o cruzamento das retas azul e rosa representa o ponto em que as demandas de biscoitos e bolos são atendidas. Esse ponto está acima das retas que re-presentam os limites da quantidade de farinha, de frutas secas e de mão de obra. Isso quer dizer que esse ponto, com os recursos atuais, é inatingível, pois nenhum dos três recursos necessários é suficiente para uma produção que atenda a tal demanda.

TROCANDO IDEIAS

Esta aula trata basicamente de assuntos mais técnicos. Como sempre em Matemática, a prática é fundamental. Nesse sentido é importante que você não demore a ler com atenção o restante da aula. Vá postando no Fórum do ambiente virtual uas dúvidas e procure ajudar seus colegas com as dúvidas deles. Em especial nesta aula é importante que pesquisem materiais complementares.

Nas leituras indicadas você encontrará diversas sugestões bibliográficas que explicam o método gráfico. Postem suas descobertas no fórum. Comentem as sugestões dos colegas.

Uso da planilha eletrônicaNa primeira parte vimos uma maneira de resolver problemas de progra-

mação linear que permite acompanhar toda a mecânica, entendendo o que acontece a cada passo. Por outro lado, esse caminho é limitado, pois só permite tratar de problemas com duas variáveis.

Uma alternativa é a utilização de uma ferramenta que está disponível na planilha eletrônica MS-Excel. A apresentação dessa ferramenta aqui não constitui uma recomendação de utilização do Excel como planilha eletrô-nica em detrimento de outras opções. Trata-se apenas de uma constatação de sua ampla difusão e da existência dessa ferramenta específica entre as opções que ele oferece.

A ferramenta em questão se chama Solver. É um suplemento do Excel que é normalmente instalado na instalação completa do pacote, mas fica inativo. Em Dicas e Mídia você encontra o endereço do site da Microsoft que explica como fazer isso.

Devemos também alertar que aqui não pretendemos ensinar a usar o Excel. Ainda assim, começamos de algo bem simples: a construção de fór-mulas. Se o Excel fosse apenas uma planilha para digitar valores e montar tabelas, não teria seu lugar aqui. O Excel permite fazer cálculos. Mas isso também não seria suficiente. O Excel permite automatizar cálculos por meio da construção de fórmulas. É aí que ele se torna útil para nós.

O que quer dizer “automatizar cálculos”? Quer dizer que não é neces-sário digitar todas as operações a cada vez que queiramos fazer o cálculo,


basta digitar os dados de entrada que o Excel faz o resto. Vamos dar um exemplo simples: a soma de dois valores.

Na Figura 9 estão mostrados os dois valores que deverão ser somados (colocamos 2 e 3 mas poderiam ser quaisquer outros). O 1º valor está na coluna A e na linha 1. Dizemos que ele está na posição A1. O 2º valor está na mesma coluna, na linha de baixo, logo está na célula A2. As células em que estão os valores são importantes porque são com elas que construire-mos as fórmulas.

Queremos construir uma fórmula que faça essa soma. Podemos colocar essa fórmula onde for mais conveniente na planilha. Aqui colocamos na linha de baixo, na célula A3. A fórmula a ser colocada é

=A1+A2

O sinal de igual informa o Excel que o que segue é uma fórmula. A ex-pressão digitada pode ser traduzida como uma instrução que é dada ao Excel: “coloque nesta célula o resultado da soma dos valores das células A1 e A2”.

Digite agora um outro número na célula A1. O que acontece com o resul-tado que aparece na célula A3? É a isso que nos referíamos como automa-tização dos cálculos.

Vamos apresentar o Solver por meio de um exemplo. Usaremos o se-gundo problema analisado na aula anterior. No Palavra de Autor a seguir reproduzimos sua descrição verbal.


PALAvRA DE AUTOR

Uma refinaria produz três tipos de gasolina: verde, azul e comum. Cada tipo requer para a sua produção gasolina pura, octana e aditivo. A disponibilidade desses insumos é respectivamente de 9 600 000, 4 800 000 e 2 200 000 litros por semana. As especificações de cada tipo são: um litro de gasolina verde requer 0,22 litro de gasolina pura, 0,50 litro de octana e 0,28 litro de aditivo; um litro de gasolina azul requer 0,52 litro de gasolina pura, 0,34 litro de octana e 0,14 litro de aditivo; um litro de gasolina comum requer 0,74 litro de gasolina pura, 0,20 litro de octana e 0,06 litro de aditivo. Como regra de produção, com base na demanda de mercado, o planejamento da refinaria estipulou que a quantidade de gasolina comum deve ser no mínimo igual a 16 vezes a quantidade de gasolina verde, e que a quantidade de gasolina azul seja no máximo igual a 600 000 litros por semana. A empresa sabe que cada litro de gasolina verde, azul e comum dá uma margem de contribuição para o lucro de $ 0,30, $ 0,25 e $ 0,20, respectivamente, e seu objetivo é determinar o programa de produção que maximiza a margem total de contribuição para o lucro.

(Retirado e adaptado de ANDRADE, 2009, p. 27)

O método gráfico parte do modelo matemático, mostrado novamente a seguir:

Determinar o valor de x, y e z, tais que Z = 0,30x + 0,25y + 0,20z seja máximo e que obedeçam às seguintes restrições:

Para usar o Solver precisaremos desse modelo, mas será particularmente útil a tabela com os dados unitários e limites. Na Tabela 2 a seguir reprodu-zimos os dados da Tabela 7 da aula anterior:


´ Tabela 2 – Dados unitários sobre o problema de fabrica-ção de combustíveis.

Restrição 1 l de gasolina verde

1 l de gasolina azul

1 l de gasolina comum Limite

Gasolina Pura 0,22 l 0,52 l 0,74 lMáx. de 9,6

milhões de litros

Octana 0,50 l 0,34 l 0,20 lMáx. de 4,8

milhões de litros

Aditivo 0,28 l 0,14 l 0,06 lMáx. de 2,2 milhões

de litrosRelação verde/

comum-16 0 1 Mínimo 0

Demanda por gasolina azul

0 1 0 Máx. de 600 000 l

Margem de contribuição

$ 0,30 $ 0,25 $ 0,20 MAXIMIZAR

Verifique que você se lembra da relação entre as informações dessa ta-bela e o problema original.

A primeira coisa a fazer é colocar essa tabela no Excel. Isso aparece na Figura 10, onde colocamos exclusivamente os dados unitários, deixando por enquanto de lado os limites das restrições.

Não se preocupe com a formatação. Observe aqui que há algumas di-ferenças em relação à Tabela 2. Os valores estão sem unidades. Esse é um cuidado que você deve tomar. Ao digitar esses dados, o Excel tem que reconhecer que eles são números, para podermos fazer cálculos com eles. Por isso, nada de colocar unidades, textos, ou mesmo pontos separadores nas células que devem conter apenas quantidades.

Outra coisa, lembra-se da nossa ênfase no fato de que cada linha corres-ponde a uma restrição ou ao objetivo? Essa é uma característica importante


que é útil na montagem da planilha para ser analisada com o Solver.

O passo seguinte é fazer hipóteses sobre o valor das variáveis de de-cisão. Para isso, precisamos escolher células que armazenarão essas hi-póteses. Como dissemos acima, podemos colocar onde quisermos, mas é interessante manter uma certa coerência fazendo que cada coluna e cada linha contenham dados do mesmo tipo. Por isso colocamos essas hipóteses logo abaixo da tabela de dados unitários, na linha 11. Assim, tudo o que se refere à gasolina verde está na coluna B, à azul, na C e à comum, na D, inclusive o valor das variáveis de decisão. Isso é mostrado na Figura 11. Colocamos o título de TENTATIVA para essas células porque se trata deuma tentativa de solução. Poderíamos ter colocado HIPÓTESE, ou mesmoSOLUÇÃO, pois ao final do processo será nessas células que estará a soluçãoencontrada pelo Solver.

O valor dessas hipóteses não é particularmente importante, colocamos usualmente 1. Precisamos agora calcular o valor da função objetivo que resulta dessas hipóteses. Lembrando que a fórmula matemática é Z = 0,3x + 0,25y + 0,2z, devemos traduzir essa fórmula matemática para o Excel.Os coeficientes 0,3, 0,25 e 0,20 estão nas células B8, C8 e D8 (confira). Osvalores de x, y e z estão nas células B10, C10 e D0. Logo a fórmula mate-mática 0,3x + 0,25y + 0,2z se traduz no Excel por B8*B10+C8*C10+D8*D10.Optamos por colocar essa fórmula na célula F10. A Figura 12 mostra a pla-nilha logo após digitarmos essa fórmula e antes de darmos o ENTER.

Aproveitamos para chamar a sua atenção para mais um detalhe da pla-nilha que estamos construindo: ao lado de cada célula que tenha um valor ou uma fórmula procuramos colocar uma outra que identifique o conteúdo dessa célula. Assim a célula C10 tem acima dela o título y e à sua esquer-da TENTATIVA, indicando que nela está a 1ª hipótese para o valor de y. Do


mesmo modo, acima da célula F10 está Função Objetivo, indicando que na célula F10 está o cálculo da função objetivo a partir dos valores de x, y, z colocados nas células B10, C10 e D10.

Assim que der o ENTER, verá que o valor de F10 é 0,75. Quando encon-trarmos a solução ótima, esse valor será o mesmo? Será maior? Será menor? Por que?

Em seguida, vamos colocar na planilha o que se gasta de cada recurso ao produzir as quantidades indicadas de gasolina verde (x), azul (y) e comum (z) – no caso 1 l, de cada uma, mas, como dissemos antes, poderiam seroutros valores.

Para isso, na linha de cada restrição, na coluna F, vamos colocar o consumo em questão. Por exemplo, na célula F3 colocaremos o consumo total de gasolina pura (linha 3) ao produzir x unidades de gasolina ver-de, y de gasolina azul e z de gasolina comum. A fórmula matemática é 0,22x + 0,52 y +0,74z, concorda? (Lembre-se que tudo isso está descrito no


final da aula anterior). Precisamos traduzir isso para uma fórmula do Excel. Os coeficientes 0,22, 0,52 e 0,74 estão respectivamente nas células B3, C3 e D3. Os valores de x, y, e z, nas células B10, C10 e D10. Logo a fórmula no Excel será B3*B10+C3*C10+D3*D10. A Figura 13 mostra a planilha logo após digitarmos essa fórmula e antes de darmos o ENTER.

O mesmo que fizemos para a gasolina pura deverá ser feito para a octa-na, para o aditivo, para a relação entre gasolina verde e comum e para a demanda por gasolina azul. Sumarizamos isso na Tabela 3.

Descrição Fórmula Matemática Fórmula no Excel

Gasolina Pura 0,22x + 0,52 y +0,74z =B3*B10+C3*C10+D3*D10

Octana 0,5x + 0,34 y +0,2z =B4*B10+C4*C10+D4*D10

Aditivo 0,28x + 0,14 y +0,06z =B5*B10+C5*C10+D5*D10

Relação verde/comum -16x + 0y + z =B6*B10+C6*C10+D6*D10

Demanda por gasolina azul 0x + y + 0z =B7*B10+C7*C10+D7*D10

Margem de Contribuição 0,3x + 0,25y + 0,2z =B8*B10+C8*C10+D8*D10

Observe que as fórmulas matemáticas da Tabela 3 são ligeiramente dife-rentes das do modelo matemático original. A diferença é apenas formal, pois estamos somando zeros. Fizemos isso para que todas fiquem com a mesma cara: um número vezes x mais um número vezes y mais um número vezes z. Observe que todos esses números estão na tabela de dados unitários.

´ Tabela 3 – Tradução das fórmulas do modelo matemáti-co para o Excel


A 1ª fórmula da Tabela 3 e a última já estão colocadas na planilha, respec-tivamente nas células F3 e F10. Colocamos agora a 2ª, a 3ª, a 4ª, e a 5ª res-pectivamente nas células F4, F5, F6 e F7. O resultado aparece na Figura 14.

Para terminar a planilha, precisamos colocar os limites de cada restri-ção. Colocaremos isso ao lado da coluna de consumo, na coluna G. A plani-lha então fica como mostrado na Figura 15.

A planilha está pronta para o uso do Solver. Antes de passarmos a ele, observe que a solução x = 1, y -1 e z = 1 não respeita apenas uma das res-trições, a relação entre gasolina verde e comum. O resultado deveria ser no mínimo 0 e é -15, isto é, abaixo de 0. Lembra o que o texto do problema diz sobre essa restrição? A quantidade de gasolina comum deve ser no mínimo 16 vezes a quantidade de gasolina verde. De fato, na solução atual, não é. Ambas estão com 1 l. Faça um teste, coloque para z, por exemplo, 16, ou mais. Fazendo isso, o “consumo” calculado deverá ser maior ou igual a zero. Confere?


Uma última observação antes de entrarmos no Solver. Na planilha, co-locamos “consumo” entre aspas porque no caso da relação entre gasolina verde e comum, e no caso da demanda por gasolina azul, não se trata ver-dadeiramente de consumo, mas sim de quanto aquele plano de produção resulta naquela restrição. Como a lógica de cálculo é a mesma do consumo de recursos, utilizamos o termo entre aspas.

Vamos agora ao Solver. Ele aparece na aba Dados, como mostrado na Figura 16.

Ao clicar nessa opção, aparecerá uma janela com diversos campos. É nessa janela que você deverá inserir todas as informações relativas sobre a função objetivo, a localização das variáveis de decisão, e as restrições (inclusive as de não negatividade). A Figura 17 mostra os campos relativos à função objetivo.

Colocando o cursor no campo e depois clicando na planilha, o programa automaticamente coloca a localização da célula no campo. A Figura 17 mostra que nossa função objetivo está na célula F10 (não precisa se preo-cupar com os $) e que queremos que esse valor seja máximo.

Em seguida devemos informar onde estão as variáveis de decisão. O campo para isso é mostrado na Figura 18.

Aqui também, colocando o cursor no campo e depois selecionan-do as células na planilha, o programa automaticamente coloca a lo-calização da célula no campo. A Figura 18 mostra que as variáveis de decisão no nosso problema estão nas células B10 até D10 (os dois pon-tos representam o “até”), isto é, nas células B10, C10 e D10. Ago-ra devemos informar o Excel sobre cada uma das restrições. Para fa-zer isso devemos clicar no botão ADICIONAR indicado na Figura 19. Observe que há botões para eventualmente alterar ou excluir aquilo que for adicionado.


Ao clicar no botão ADICIONAR, surge uma outra janela mostrada na Fi-gura 20. Essa nova janela tem três campos. Aqui também, basta colocar o cursor no campo desejado e depois clicar na célula desejada na planilha.

O primeiro campo, Referência de Célula, corresponde ao valor calculado da restrição (no nosso caso, alguma das células da coluna F). Como estamos inserindo informações sobre a 1ª restrição, essa célula será a célula F3, que, relembramos, representa o consumo total de gasolina pura quando se produzem as quantidades de gasolina verde, azul e comum colocadas nas células B10, C10 e D10. O terceiro campo, Restrição, representa o limite dessa restrição. No nosso caso, são as células da coluna G. Como estamos inserindo a 1ª restrição é a célula G3. O segundo campo representa o tipo de restrição. Por padrão o programa propõe a restrição “<=”, ou seja, a cé-lula da esquerda deve ser menor ou igual à célula da direita, mas há outras opções que você pode escolher. Há a opção “>=” que você deverá escolher no caso da restrição relativa à relação gasolina verde/comum. Pode-se im-por também a igualdade entre as duas células (opção “=”), ou ainda, o que é útil muitas vezes, impor que alguma das variáveis de decisão (indicada no campo “Referência de célula”) tenha valor inteiro (ou seja, excluem-se soluções fracionárias).

Se você clicar em OK, o programa volta para a janela do Solver. (Se você quiser adicionar outras restrições, basta clicar em Adicionar.) Clicando no OK, o resultado obtido é mostrado na Figura 21.


Seguindo o mesmo processo para as outras restrições colocadas na plani-lha (octana, aditivo, relação verde/comum, e demanda de gasolina azul), o resultado deverá ser o mostrado na Figura 22. A seta vermelha chama aatenção para a quarta restrição que, ao contrário das outras, é uma restri-ção de mínimo. É preciso lembrar de informar corretamente isso.

Não se pode esquecer também de inserir as restrições de não negativi-dade. Queremos que x > 0, y > 0, e z > 0. Em termos do Excel, isso significa: B10 >= 0, C10 >= 0 e D10 >= 0. Seguimos o mesmo processo das anteriores, a única diferença é que em vez de selecionar alguma célula no campo Res-trição, basta digitar o valor 0, como exemplificado na Figura 23.


Inseridas todas as restrições de não negatividade, tudo estará pronto para executar o Solver. Basta clicar no botão Resolver indicado na Figura 24.

Executado o Solver, surge a janela mostrada na Figura 25. Ela mostra várias opções quanto a que resultados mostrar. Nas leituras indicadas você encontrará indicações de textos que falam de algumas dessas opções. Aqui basta verificar que a opção “Manter Solução do Solver” está selecionada e clicar no botão OK.


Ao clicar no OK, o programa volta para a planilha. Você verificará na Figura 26 que os valores das variáveis de decisão foram alterados.

A resposta está nas células B10, C10 e D10, Segundo o Solver a solução ótima, aquela que maximiza a margem de contribuição total é a seguinte: produzir 770 149 litros de gasolina verde, 600 000 litros de gasolina azul e 12 322 388,1 litros de gasolina comum. Essa produção resultará numa mar-gem total de contribuição de $ 2 845 522,39. Com esse plano de produção, toda a gasolina pura será consumida (célula F3 = G3); dos 4,8 milhões de litros de octana disponíveis serão consumidos 3 053 552,239 litros (célu-la F4); dos 2,2 milhões de litros de aditivo disponíveis serão consumidos 1 038 985,075 litros (célula F5); A relação entre a quantidade de gasoli-na verde e de gasolina comum produzidas é a especificada (a segunda é 16 vezes a primeira, a menos de diferenças de arredondamento). Toda a demanda por gasolina azul será atendida (célula F7=G7). Esses resultados permitem perceber também, por exemplo, que, caso se queira aumentar a produção de gasolina comum, o recurso limitante será a gasolina comum. Desse modo, completamos a solução do problema com o auxílio da ferra-menta Solver.


LEITURAS INDICADAS

BARBOSA, M.A. e ZANARDINI, R.A. Iniciação à pesquisa operacional no ambiente de gestão. Curitiba: Ibpex, 2010.

O capítulo 2 apresenta uma introdução em linguagem bem acessível aos problemas de programação linear e apresenta problemas resolvidos usando o método gráfico.

O capítulo 3 apresenta o método Simplex.

TAHA, H. Pesquisa operacional: uma visão geral. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2008.

Os itens 2.1 e 2.2 do capítulo 2 apresentam a solução de problemas de pesquisa operacional pelo método gráfico.

O item 2.4.1 apresenta a utilização do Solver.O capítulo 3 apresenta o método Simplex.

LACHTERMARCHER, Gerson. Pesquisa operacional na tomada de decisões. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2009.

O item 2.1 do capítulo 2 da obra apresenta a solução de problemas de pesquisa operacional pelo método gráfico.

O item 3.1 apresenta o uso do Solver.

DICA

Vídeo1. O link a seguir leva a um vídeo do Youtube do site

português EXPLICAMAT. Nesse vídeo um problema de programação linear é modelado e resolvido. A 1ª parte,da construção do modelo, que vai até o 5º minuto. Apartir daí o problema é resolvido pelo método gráfico.

<www.youtube.com/watch?v=OWUcGJsThY8>

2. Vídeo em 2 partes com a formulação de um problemade programação linear. Realizado pelo Prof. FelipeRodrigues, da Universidade Federal do Paraná.

Parte 1: <www.youtube.com/watch?v=JCIgdjLky8I>Parte 2: <www.youtube.com/watch?v=gZYWSVVleKU>

3. Vídeo sobre a utilização do Solver<www.youtube.com/watch?v=sA7rLiGP9WQ>


DICA

4. Os seguintes sites apresentam diferentessoftwares para resolução de problemas deprogramação linear:

ProLin – software português, da Escola Superior de Tecnologia de Setúbal

http://prolin.no.sapo.pt/ PO – site do Prof. Maurício Pereira dos Santos,

professor aposentado da UERJ. http://www.mpsantos.com.br/

SPLINT – software desenvolvido pela UFRJ http://www.cos.ufrj.br/splint/LINDO – conhecido software comercial http://www.lindo.com/OTIMIX – software comercial da Linear softwares

matemáticos http://www.linearsm.com.br/Produtos/otimix.aspx

5. O site a seguir apresenta um grande conjunto demateriais sobre programação linear inteira. Osite é da Universidade Federal de Ouro Preto.

http://www.decom.ufop.br/haroldo/proglinear/

6. Construção de gráfico de uma função linear(lembre-se que f(x) = y)

http://www.youtube.com/watch?v=uPx3CGfrT7chttp://www.youtube.com/watch?v=Cr1HpyXNkus

7. Determinação da intersecção de duas retas(material do Telecurso 2000):

http://www.cienciamao.usp.br/tudo/exibir.php?midia=t2k&cod=_matematica_2mat12-b

http://www.videoaulaestudante.com/ensino-medio-matematica/107-12-a-interseccao-de-retas-e-a-solucao-de-sistemas.html

8. Ativação do Solver (site da Microsoft):http://office.microsoft.com/pt-br/excel-help/

inicio-rapido-ativar-e-usar-um-suplemento-HA010370161.aspx


SÍNTESE

Esta aula deu continuidade à aula anterior. Na Aula 6 apresentamos os problemas de programação linear e mostramos como organizar os dados relevantes em uma tabela e construir um modelo matemático que os sintetize.

Nesta aula, mostramos dois caminhos para resolver esses problemas. O primeiro caminho foi o método gráfico. Esse método é aplicável a problemas que têm apenas duas variáveis de decisão. Inicialmente, cada uma das restrições é representada graficamente num plano cartesiano. Nesse plano cartesiano, cada ponto corresponde a um plano de produção. Com a representação das restrições no plano é possível determinar uma região que contém todas as soluções tecnicamente viáveis. Essa região é delimitada por segmentos de reta. A solução ótima estará num dos pontos em que dois desses segmentos se encontram.

Em seguida apresentamos a utilização de uma ferramenta do Excel, o Solver. Para usá-la é preciso construir uma planilha com os dadosdo problema. Em seguida é preciso definir um conjunto de células queconterão os valores das variáveis de decisão e fazer uma 1ª hipótese sobre esses valores. Finalmente é preciso construir fórmulas que calculemo valor resultante de cada restrição (o que chamamos de “consumo”)tomando como base os valores das variáveis de decisão, assim como ovalor da função objetivo. Montada essa planilha, executa-se o Solver.Esse suplemento do Excel permite trabalhar com problemas com maisde duas variáveis de decisão e com diferentes tipos de restrições.


ATIvIDADESUtilize o método gráfico para resolver os dois problemas da Atividade 2 da aula anterior, cujos

enunciados repetimos abaixo (retirado de TAHA, 2009, p. 9-10):a. A Alumco fabrica chapas e barras de alumínio. A capacidade máxima de produção estimada

são 800 chapas ou 600 barras por dia. A demanda diária são 550 chapas e 580 barras. O lucro por tonelada é $ 40 por chapa e $ 35 por barra. Determine o mix ótimo de produção diária. DICA: determine inicialmente quanto tempo demora a produção de 1 chapa e a produção de 1 barra.

b. Uma empresa fabrica dois produtos, A e B. O volume de vendas de A é de no mínimo 80%do volume de vendas de ambos (A e B). Contudo a empresa não pode vender mais do que 100 unidades de A por dia. Ambos os produtos usam uma matéria-prima cuja disponibilidade máxima diária é 240 lb. As taxas de utilização da matéria-prima são 2 lb por unidade de A e 4 lb por unidade de B. Os lucros unitários para A e B são $ 20 e $ 50, respectivamente. Determine o mix de produto ótimo para a empresa. DICA: A restrição sobre o volume de vendas de A pode ser traduzida por x > 0,8(x + y) (chamando de x a quantidade produzida de A e de y, a quantidade produzida de B. Abra os parênteses e, como dito no texto, coloque todos os termos com variáveis de um mesmo lado da expressão.

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Resolução de problemas de alocação de recursos