Résolution dun programme linéaire Plan Méthode graphique Méthode du Simplexe Exercices dapplication

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  • Rsolution dun programme linaire Plan Mthode graphique Mthode du Simplexe Exercices dapplication
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  • PROGRAMME LINAIRE FONCTION OBJECTIF FONCTION OBJECTIF Maximiser ou minimiser z = c 1 x 1 + + c n x n Maximiser ou minimiser z = c 1 x 1 + + c n x n Contraintes Contraintes a 11 x 1 + + a 1n x n (, =, ) b 1 a 11 x 1 + + a 1n x n (, =, ) b 1 a 21 x 1 + + a 2n x n (, =, ) b 2 a 21 x 1 + + a 2n x n (, =, ) b 2 a m1 x 1 + + a mn x n (, =, ) b m a m1 x 1 + + a mn x n (, =, ) b m Contraintes de non-ngativit Contraintes de non-ngativit x j 0 ; j = 1, 2, 3, n x j 0 ; j = 1, 2, 3, n avec avec x j variables de dcision (inconnues) x j variables de dcision (inconnues) a ij, b i, c j paramtres du programme linaire a ij, b i, c j paramtres du programme linaire
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  • Mthode Graphique Valable si 2 variables de dcision seulement. Valable si 2 variables de dcision seulement. Le nombre de contraintes est quelconque. Le nombre de contraintes est quelconque. Repose sur une reprsentation des contraintes dans un plan. Repose sur une reprsentation des contraintes dans un plan.
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  • Contrainte =ingalit 2 variables a 1 x 1 + a 2 x 2 0, a 1 >0, a 2 > 0 a 1 x 1 + a 2 x 2 0, a 1 >0, a 2 > 0 x1x1x1x1 x2x2x2x2 b/a 1 b/a 2 b Demi-espaceadmissible
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  • Maximisation sous contraintes x1x1x1x1 x2x2x2x2 Zone ralisable Fonction objectif
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  • x1x1x1x1 x2x2x2x2 loptimum est un des points extrmes loptimum est un des points extrmes
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  • Exemple 1 Maximisation du profit Maximisation du profit Contrainte de raret dune ressource Contrainte de raret dune ressource Contraintes de demande Contraintes de demande
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  • Solution graphique de lexemple 1 1500 3000 4500 6000 1500 30004500 60007500 9000 0 0 Solutionoptimale xBxBxBxB xCxCxCxC x B = 6000 x C = 1400 P 192000 SR
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  • Exemple 2 MAXIMISER z = 3 x 1 + 5 x 2 MAXIMISER z = 3 x 1 + 5 x 2 Contraintes : Contraintes : x 1 4 x 1 4 2 x 2 12 2 x 2 12 3 x 1 + 2 x 2 18 3 x 1 + 2 x 2 18 x 1 0 ; x 2 0 x 1 0 ; x 2 0
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  • ZONE DE SOLUTION RALISABLE Zone limite par les contraintes du problme et par les limites des variables de dcision SR SR 2 46810 2 4 6 8 x2x2 x1x1 0
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  • FONCTION OBJECTIVE Dplacement de la fonction objective lintrieur de la zone de solution ralisable pour atteindre un extremum 246810 2 4 6 8 x2x2 x1x1 0 Solution optimale x 1 = 2 x 2 = 6 Max Z = 36 (2,6)
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  • Exemple 3 Maximiser Z = x 1 + 2x 2 Maximiser Z = x 1 + 2x 2 2x 1 + x 2 4 x 1 + x 2 8 -x 1 + x 2 4 -x 1 + x 2 4 x 1 5 x 1 5 x 1 0, x 2 0
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  • Exemple 3 (suite) 246810 2 4 6 8 x2x2 x1x1 0 2x 1 + x 2 = 4 x 1 = 5 x 1 + x 2 = 8 -x 1 + x 2 = 4 SR X 1 = 2 X 2 = 6 Z = 14
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  • Exemple de MINIMISATION Minimiser Minimiser Z = x 1 x 2 Sachant que : x 1 + x 2 8 -x 1 + 8x 2 40 -x 1 + 8x 2 40 x 1 8 x 1 8 x 2 8 x 2 8 x 1 0, x 2 0
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  • PROBLME DE MINIMISATION 246810 2 4 6 8 x2x2 x1x1 0 x 1 = 8 -x 1 + 8x 2 = 40 x 1 + x 2 = 8 X 1 = 8 X 2 = 6 Min Z = 2 12141618 x 2 = 8 20 SR
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  • Cas possibles La zone SR peut tre : Vide: Contraintes contradictoires Vide: Contraintes contradictoires (pas de solution optimale) (pas de solution optimale) born : le problme possde toujours au moins une solution optimale born : le problme possde toujours au moins une solution optimale non born : selon la fonction objectif non born : selon la fonction objectif Si MIN : il y a une solution finie Si MIN : il y a une solution finie Si MAX : Solution non borne Si MAX : Solution non borne
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  • Le nombre de solutions optimales ? Le nombre de solutions optimales ? - Une seule. - Une infinit : si deux sommts ralisent loptimum (tout le segment reliant les deux sommts optimaux)
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  • Mthode du simplexe Mthode algbrique Mthode algbrique Mthode itrative Mthode itrative
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  • Etapes Forme standard du PL Forme standard du PL Tableau de dpart du simplexe Tableau de dpart du simplexe Application de lalgorithme du simplexe Application de lalgorithme du simplexe
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  • Forme standard dun PL Maximiser Z = 7x1 + 5x2 Maximiser Z = 7x1 + 5x2 Sachant que : x1 300 x1 300 x2 400 x2 400 x1 + x2 500 x1 + x2 500 2x1 + x2 700 2x1 + x2 700 x1 0 x1 0 x2 0 x2 0
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  • Ingalits galits x1 300 x1 + e1 = 300 x1 300 x1 + e1 = 300 x2 400 x2 + e2 = 400 x2 400 x2 + e2 = 400 x1 + x2 500 x1 + x2 + e3 = 500 x1 + x2 500 x1 + x2 + e3 = 500 2x1 + x2 700 2x1 + x2 + e4 = 700 2x1 + x2 700 2x1 + x2 + e4 = 700 ei = Variable dcart. ei = Variable dcart.
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  • Maximiser Z = 7x1 + 5x2 Maximiser Z = 7x1 + 5x2 Sachant que : x1 + e1 =300 x1 + e1 =300 x2 + e2 = 400 x2 + e2 = 400 x1 + x2 + e3 = 500 x1 + x2 + e3 = 500 2x1 + x2 + e4 = 700 2x1 + x2 + e4 = 700 x1 0 ; x2 0 x1 0 ; x2 0 ei 0 ei 0
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  • Tableau de dpart du simplexe T1x1x2e1e2e3e4b e1101000300 e2010100400 e3110010500 e4210001700 Z7500000
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  • Changement de variable
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  • Deuxime tableau
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  • Changement de variable
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  • Troisime tableau
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  • Changement de variable
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  • Quatrime tableau
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  • Solution optimale En base : x1 = 200 x1 = 200 e2 = 100 e2 = 100 e1 = 100 e1 = 100 x2 = 300 e3 = e4 = 0 (hors base) e3 = e4 = 0 (hors base) Max Z = 2900