Résolution Résolution d’un programme linéaired’un programme linéaire

PlanPlan

Méthode graphiqueMéthode graphique

Méthode du SimplexeMéthode du Simplexe

Exercices d’applicationExercices d’application

PROGRAMME LINÉAIREPROGRAMME LINÉAIREFONCTION OBJECTIFFONCTION OBJECTIF

Maximiser ou minimiser Maximiser ou minimiser zz = c = c11xx11 +… + c +… + cnnxxnn ContraintesContraintes

aa1111xx11 + … + a + … + a1n1nxxnn ( (, =, , =, ) b) b11

aa2121xx11 + … + a + … + a2n2nxxnn ( (, =, , =, ) b) b22

aam1m1xx11 +… + a +… + amnmnxxnn ( (, =, , =, ) b) bmm

Contraintes de non-négativitéContraintes de non-négativitéxxjj 0 ; j = 1, 2, 3, … n 0 ; j = 1, 2, 3, … n

avecavecxxjj variables de décision (inconnues)variables de décision (inconnues)aaijij, b, bii, c, cjj paramètres du programme linéaireparamètres du programme linéaire

Méthode GraphiqueMéthode Graphique

Valable si 2 variables de décision Valable si 2 variables de décision seulement.seulement.

Le nombre de contraintes est Le nombre de contraintes est quelconque.quelconque.

Repose sur une représentation des Repose sur une représentation des contraintes dans un plan.contraintes dans un plan.

Contrainte =inégalité à 2 Contrainte =inégalité à 2 variablesvariablesaa11xx11 + a + a22xx22 <= b ; b > 0, a <= b ; b > 0, a1 1 >0, a>0, a2 2

> 0> 0

xx11

xx22

b/ab/a11

b/ab/a22

<= b<= b

> b> b

Demi-espaceDemi-espaceadmissibleadmissible

Maximisation sous contraintesMaximisation sous contraintes

xx11

xx22

Zone réalisableZone réalisable

Fonction objectifFonction objectif

xx11

xx22

l’optimum est un des points extrêmesl’optimum est un des points extrêmes

Exemple 1Exemple 1

25 30

. .1 1 40

200 140

0 6000

0 4000

Max x xB C

S C

x xB C

xB

xC

Maximisation du Maximisation du profitprofit

Contrainte de Contrainte de rareté d’une rareté d’une ressourceressource

Contraintes de Contraintes de demandedemande

Solution graphique de l’exemple 1Solution graphique de l’exemple 1

15001500

30003000

45004500

60006000

15001500 30003000 45004500 60006000 75007500 90009000

00

00

SolutionSolutionoptimaleoptimale

xxBB

xxCC

xxB B = 6000= 6000

xxC C = 1400= 1400

PP

192’000192’000

SRSR

Exemple 2Exemple 2

MAXIMISER MAXIMISER zz = 3 x = 3 x11 + 5 x + 5 x22

Contraintes :Contraintes :xx11 4 4

2 x2 x22 12 12

3 x3 x11 + 2 x + 2 x22 18 18

xx11 0 ; x 0 ; x2 2 0 0

ZONE DE SOLUTION ZONE DE SOLUTION RÉALISABLERÉALISABLE

Zone limitée par les contraintes du problème Zone limitée par les contraintes du problème et par les limites des variables de décisionet par les limites des variables de décision

SRSR

2 4 6 8 10

2

4

6

8

x2

x10

1 23 2 18x x

22 12x

1 4x

FONCTION OBJECTIVEFONCTION OBJECTIVEDéplacement de la fonction objective à Déplacement de la fonction objective à l’intérieur de la zone de solution réalisable l’intérieur de la zone de solution réalisable pour atteindre un extremumpour atteindre un extremum

2 4 6 8 10

2

4

6

8

x2

x10

1 236 3 5z x x

1 210 3 5z x x

1 220 3 5z x x

Solution optimale

x1 = 2x2 = 6

Max Z = 36

(2,6)

Exemple 3Exemple 3

Maximiser Maximiser Z Z = x= x11 + 2x + 2x22

2x2x11 + x + x22 4 4

xx11 + x + x22 8 8

-x-x11 + x + x22 4 4

xx11 5 5

xx11 0, x 0, x22 0 0

Exemple 3 (suite)Exemple 3 (suite)

2 4 6 8 10

2

4

6

8

x2

x102x1 + x2 = 4

x1 = 5

x1 + x2 = 8

-x1 + x2 = 4

SR

X1 = 2

X2 = 6

Z = 14

Exemple de MINIMISATIONExemple de MINIMISATION

MinimiserMinimiserZ = xZ = x11 – x – x22

Sachant que :Sachant que :

½ x½ x11 + x + x22 8 8

-x-x11 + 8x + 8x22 40 40

xx11 8 8

xx22 8 8

xx11 0, x 0, x22 0 0

PROBLÈME DE MINIMISATIONPROBLÈME DE MINIMISATION

2 4 6 8 10

2

4

6

8

x2

x10

x1 = 8

-x1 + 8x2 = 40

½x1 + x2 = 8

X1 = 8

X2 = 6

Min Z = 2

12 14 16 18

x2 = 8

20

SR

Cas possiblesCas possibles

La zone SR peut être :La zone SR peut être :VideVide: Contraintes contradictoires: Contraintes contradictoires

(pas de solution optimale)(pas de solution optimale)

borné borné : le problème possède toujours : le problème possède toujours au moins une solution optimaleau moins une solution optimale

non borné non borné : selon la fonction objectif : selon la fonction objectif Si MIN : il y a une solution finieSi MIN : il y a une solution finieSi MAX : Solution non bornéeSi MAX : Solution non bornée

Le nombre de solutions Le nombre de solutions optimales ? optimales ?

- Une seule.Une seule.

- Une infinité :Une infinité :

si deux sommêts réalisent si deux sommêts réalisent l’optimum (tout le l’optimum (tout le segmentsegment reliant reliant les deux sommêts optimaux)les deux sommêts optimaux)

Méthode du simplexeMéthode du simplexe

Méthode algébrique Méthode algébrique

Méthode itérative Méthode itérative

EtapesEtapes

Forme standard du PLForme standard du PL

Tableau de départ du simplexeTableau de départ du simplexe

Application de l’algorithme du Application de l’algorithme du simplexesimplexe

Forme standard d’un PLForme standard d’un PL

Maximiser Maximiser ZZ = 7 = 7xx1 + 51 + 5xx2 2 Sachant que :Sachant que :xx1 1 300 300xx2 2 400 400xx1 + 1 + xx2 2 500 50022xx1 + 1 + xx2 2 700 700xx1 1 0 0xx2 2 0 0

Inégalités Inégalités égalités égalités

xx1 1 300 300 xx1 + 1 + e1e1 = 300 = 300xx2 2 400 400 xx2 + 2 + e2e2 = 400 = 400xx1 + 1 + xx2 2 500 500 xx1 + 1 + xx2 + 2 + e3e3 = =

50050022xx1 + 1 + xx2 2 700 700 2 2xx1 + 1 + xx2 + 2 + e4e4 = =

700700

ei = Variable d’écart.ei = Variable d’écart.

Maximiser Maximiser Z Z = 7= 7xx1 + 51 + 5xx2 2

Sachant que :Sachant que :xx1 +1 + e1 =300e1 =300xx2 +2 + e2 = 400e2 = 400xx1 + 1 + xx2 +2 + e3 = 500e3 = 50022xx1 + 1 + xx2 +2 + e4 = 700e4 = 700xx1 1 0 ; 0 ; xx2 2 0 0ei ei 0  0 

x1 x2 e1 e2 e3 e4 b 1 0 1 0 0 0 300 0 1 0 1 0 0 400 1 1 0 0 1 0 500 2 1 0 0 0 1 700

Tableau de départ du Tableau de départ du simplexesimplexe

T1 x1 x2 e1 e2 e3 e4 b

e1 1 0 1 0 0 0 300

e2 0 1 0 1 0 0 400

e3 1 1 0 0 1 0 500

e4 2 1 0 0 0 1 700

Z 7 5 0 0 0 0 0

Changement de variableChangement de variable

T1 e1 e2 e3 e4 x1 x2 b Rapport

b/x1 e1 1 0 0 0 1 0 300 300 e2 0 1 0 0 0 1 400 infini e3 0 0 1 0 1 1 500 500 e4 0 0 0 1 2 1 700 350 Z 0 0 0 0 7 5 0

Deuxième tableauDeuxième tableau

T2 e1 e2 e3 e4 x1 x2 b

L1 L1 x1 1 0 0 0 1 0 300 L2 L2 e2 0 1 0 0 0 1 400

L3 L3 – L1 e3 -1 0 1 0 0 1 200 L4 L4 – 2 L1 e4 -2 0 0 1 0 1 100 L5 L5 – 7 L1 Z -7 0 0 0 0 5 -2100

Changement de variableChangement de variable

T2 e1 e2 e3 e4 x1 x2 b Rapport

b/x2 x1 1 0 0 0 1 0 300 infini e2 0 1 0 0 0 1 400 400 e3 -1 0 1 0 0 1 200 200 e4 -2 0 0 1 0 1 100 100 Z -7 0 0 0 0 5 -2100

Troisième tableauTroisième tableau

T3 e1 e2 e3 e4 x1 x2 b

L1 L1 x1 1 0 0 0 1 0 300 L2 L2 – L4 e2 2 1 0 -1 0 0 300 L3 L3 – L4 e3 1 0 1 -1 0 0 100

L4 L4 x2 -2 0 0 1 0 1 100 L5 L5 – 5 L4 Z 3 0 0 -5 0 0 -2600

Changement de variableChangement de variable

T3 e1 e2 e3 e4 x1 x2 b Rapport

b/e1 x1 1 0 0 0 1 0 300 300 e2 2 1 0 -1 0 0 300 150 e3 1 0 1 -1 0 0 100 100 x2 -2 0 0 1 0 1 100 -50 Z 3 0 0 -5 0 0 -2600

Quatrième tableauQuatrième tableau

T4 e1 e2 e3 e4 x1 x2 b

L1 L1 – L3 x1 0 0 -1 1 1 0 200 L2 L2 – 2 L3 e2 0 1 -2 1 0 0 100

L3 L3 e1 1 0 1 -1 0 0 100 L4 L4 + 2 L3 x2 0 0 2 -1 0 1 300 L5 L5 – 3 L3 Z 0 0 -3 -2 0 0 -2900

Solution optimaleSolution optimale

En base :En base :x1 = 200x1 = 200  e2 = 100 e2 = 100 e1 = 100 e1 = 100 x2 = 300x2 = 300

e3 = e4 = 0 (hors base)e3 = e4 = 0 (hors base)

Max Z = 2900Max Z = 2900