RESP Stewart

8/17/2019 RESP Stewart

1/95


2/95


3/95


4/95

R4 Respuestas a ejercicios seleccionados y exámenes de capítulo

61. Punto de intersección x 1, 63. Punto de intersección x 0,

punto de intersección y 1, punto de intersección y 0,

simetría respecto al eje y simetría respecto al eje y

65. Punto de intersección x 3, 67. No hay intersección,

punto de intersección y simetría respecto al origen

simetría respecto al eje y

9,

69. Puntos de intersección x 2, 71. Punto de intersección x 4,

punto de intersección y 2, puntos de intersección y 2, 2,

simetría respecto al eje y simetría respecto al eje x

73. Puntos de intersección x 75. Puntos de intersección x 4,

punto de intersección y 16, punto de intersección y 4,

simetría respecto al eje y simetría respecto al eje y

77. Simetría respecto al eje y

79. Simetría respecto al origen

81. Simetría respecto al origen

.58.38

y

0 x4_4

1

2

_1

2

y

0 x4_4

_1

1

y

0 x

5

5

_5

_2

10

5

y

x

5−5 0

3

−3

y

x

y

0 x5

3

_5

y

0x

_4

4

_4

4

y

0 x6_6_2

2

y

0 x5

5

_5

y

0 x5_5

_5

1

21. Trapecio, área 9 23.

.72.52

.13.92

33. 35. 39. (b) 10 43.

45.

)b()a(.74

49. No, sí, sí 51. Sí, no, sí

53. Puntos de intersección x 0, 4; punto de intersección y 0

55. Puntos de intersección x 2, 2; puntos de intersección y 4, 4

57. Punto de intersección x 4, 59. Punto de intersección x 3,

punto de intersección y 4, punto de intersección y

no hay simetría no hay simetría

4−4

2

−4

y

0 x2

2

y

0 x

A52, 3B, A52, 3By

0 x_4 4

_4

4

A

B

C

D

y

0 x5

2

_5

P(_1, _ 4)

1 2, 3 2

1 0, 4 2 Q1 1, 3 2 A1 6, 7 2

y

0 x5

5

_5

_5

2−2

2

−2

y

0 x

y

0 x5

5

_5

_5

y

0 x1

1

y

0 x1

1

y

0 x3

5

_3

_5

D C

A B

6,

2,


5/95


6/95


7/95


8/95


20. (a) 3 x y 3 0 (b) 2 x 3 y 12 0

21. (a) 4 C (b)

(c) La pendiente es el cambio en temperatura, el punto de

intersección x es la profundidad a la cual la temperatura es 0 C,

y el punto de intersección T es la temperatura al nivel del suelo.

22. (a) M k „h2/ L (b) 400 (c) 12,000 lb

E NFO QU E S OB RE MO DE LA DO P ÁGIN A 1 35

1. (a)

(b) y 1.8807 x 82.65

(c) 191.7 cm

3. (a)

(b) y 6.451 x 0.1523

(c) 116 años

5. (a)

(b) y 4.857 x 220.97

(c) 265 chirridos/min

50 60 70 80 90

Temperatura (°F)

R a p i d e z d e c h i r r i d o s ( c h

i r r i d o s / m i n )

50

100

150

200

y

x0

Recta deregresión

y

0 x

Recta de regresión

Diámetro (pulg.)

E d a d ( a ñ o s )

100

80

60

40

20

161412108642

Recta de regresión

Longitud del fémur (cm)

A l t u r a ( c

m )

0

150

160

170

180

x

y

35 40 45 50 55

1

100100

T

x

)b()a(.51 18

)b()a(.61 Puntos de intersección 2, 2

punto de intersección y 4

(c) Simetría respecto

al eje y

17. (a)

(b) (c) (d) (e)

(f)

)b()a(.81

(c)

19.

pendiente ; punto de intersección y 523

2

20

y

x

y23 x 5

(−3, 1)

−5 0

3

y

x

1 3, 1 2 , 2

(2, −1)

0 4

2

y

x(0, 0)

−2

−2

2

2

y

x

1 2, 1 2 , 31 0, 0 2 , 5

1 x 1 2 2 A y 72B2 89

4

y 85 x

5110

58A1,

72B1 89

Q(5, 6)

P(−3, 1)

1

1

0

y

x

y

0 x1

_4

y

x0 1

1

Q

P

S

R

S 1 3, 6 2


9/95


10/95


.51.31

.91.71

.32.12

.72.52

)b()a(.92

)d()c(

La gráfica (c) es la más apropiada.

−100

100

−10 10

−5

20

−2 10

−10

10

−10 10

−5

5

−5 5

y

0 x5

5

_5

y

0 x5

5

_5

_5

y

0 x5

5

_5

_2

x

y

20

1

x

y

10

1

x

y

30

3

y

0 x4_4_4

4

y

x

5

0 1

75. (a) 8.66 m, 6.61 m, 4.36 m

(b) Parecerá acortarse.

77. (a) $90, $105, $100, $105

(b) Costo total de un pedido, incluyendo envío

79. (a)

(b) $150, $0, $150

(c)

81.

83.

SECCIÓN 2.2 PÁGINA 159

1. 2. 3 3. 3

4. (a) IV (b) II (c) I (d) III

.7.5

.11.9

y

2

_5

0

x5_5

y

x20

2

_2

_2

y

x40

4

_4

_4

y

x 40

4

−4

−2

f 1 x 2 , x 3 2, 10, 10Años

1990 00025891 1995

Población(× 1000)

700

750

800

850

900

t

P

T

t 0

F 1 x 2 •15140 x 2 si 0 x 400 si 40 x 6515

1 x 65

2si x 65

Infracciones por violar límites de velocidad


11/95

Respuestas a la Sección 2.2 R1

51. (a) Sí (b) No (c) Sí (d) No

53. Función, dominio 3 3, 24, rango 3 2, 24 55. No es una función57. Sí 59. No 61. No 63. Sí 65. Sí 67. Sí

)b()a(.96

(c) Sic 0, entonces la gráfica de es la misma que

la gráfica de y x 2 desplazada hacia arriba c unidades. Si c 0,

es la misma que la gráfica de

y x 2 desplazada hacia abajo c unidades.

)b()a(.17

(c) Sic 0, entonces la gráfica de es la misma

que la gráfica de y x 3 desplazada a la derecha c unidades. Si

c 0, entonces la gráfica de es la misma que la

y x 3 desplazada a la izquierda c unidades.

)b()a(.37

(c) Las gráficas de raíces pares son semejantes a ; las gráficas de

raíces impares son semejantes a . Cuando c aumenta, la gráfica

se hace más pronunciada cerca de 0 y más plana cuando

x 1. 75. , 2 x 4

77. , 3 x 3

79.

0

0.005

10 100

f 1 x 2 2 9 x 2f 1 x 2 76 x

43

y c1 x

1 3 x 1 x

2

2

3 3

c=15

c=13

c=1

1

3

1 4

c=12

c=14

c=16

x f 1 x 2 1 c 23f 1 x 2 1 x c 2 3

10

10_10

_10

c=0c=_2c=_4

c=_6

10

10_10

_10

c=0 c=2c=4

c=6

f 1 x 2 x 2 cf 1 x 2 x 2 c

10

5_5

_10

c=0 c=_2c=_4

c=_610

5_5

_10

c=6 c=4c=2

c=0

)b()a(.13

)d()c(

La gráfica (c) es la más apropiada.

.53.33

.93.73

.34.14

.74.54

49. f 1 x 2 • 2 si x 2 x si 2 x 22 si x 2

7

7_7

_7

y

0 x1

1

y

0 x5

5

_5

y

0 x5

5

_5

y

0 x

3

3

_3

_2

y

0 x3

3

_3

_3

y

0 x5

4

_5

y

0 x5

2

_5

_2

−10

10

−10 10

−10

5

−3 3

−10

10

−3 3

−2

2

−2 2

entonces la gráfica de

gráfica de

de


12/95


13/95


2 unidades, luego se desplaza hacia abajo 2 unidades

.32.12

.72.52

.13.92

.53.33

.93.73

.34.14

x

y

20

1

x

y

20

2

x

y

20

2

x

y

10

2

x

y

20

2

x

y

10

1

x

y

20

1x

y

10

5

x

y

20

4

x

y

10

1

x

y

10

1

x

y

10

1

49. El corredor A ganó la carrera. Todos los corredores terminaron.

El corredor B cayó pero se levantó otra vez para llegar en segundo

51. (a)

(b) Aumenta 53. 20 mi/h 55.

0.67 cm


1. 50 mi/h 2. 3.

4. (a) secante (b) 3 5. 7. 9. 3 11. 5 13. 60

15. 12 3

17. 19. 21. (a)

23. 0.25 pie/día 25. (a) 245 personas/año

(b) 328.5 personas/año (c) 1997–2001 (d) 2001–2006

27. (a) 7.2 unidades/año (b) 8 unidades/año (c) 55 unidades/año

(d) 2000–2001, 2001–2002 29. Primeros 20 minutos: 4.05°F/min,

siguientes 20 minutos: 1.5°F/min; primer intervalo


1. (a) arriba (b) izquierda 2. (a) abajo (b) derecha

3. (a) eje

(b) eje

4. (a) II (b) IV (c) I (d) III

hacia abajo 5 unidades (b) Se desplaza a la

7. (a) Se refleja en el eje

(b) Se refleja en

el eje

9. (a) Se refleja en el eje

, luego se desplaza hacia arriba

(b) Se estira verticalmente en un factor de 3, luego se

desplaza hacia abajo 5 unidades 11. (a) Se desplaza a la izquierda

1 unidad, se estira verticalmente en un factor de 2, luego se desplaza

se estira verticalmente en un factor de 2, luego se desplaza hacia(b) Se desplaza a la derecha 1 unidad,

arriba 3 unidades 13. (a) Se contrae horizontalmente en un factor

(b) Se estira horizontalmente en un factor de 4

15. (a) Se desplaza a la izquierda 2 unidades (b) Se desplaza

17. (a) Se desplaza a la izquierda

(b) Se desplaza

)b()a(.91

)d()c(

x

y

10

1x

y

20

1

x

y

10

1

x

y

10

2

14

12

2

1

2 1

45

23

25 1

5 16

f 1

2 f 1

2

100 millas

2 horas

lugar.

5. (a) Se desplaza

derecha 5 unidades

5 unidades

hacia abajo 3 unidades

de

hacia arriba 2 unidades

a la derecha 2 unidades, luego se desplaza hacia arriba 2 unidades


14/95


69. Para el inciso (b) desplace la

gráfica en (a) a la izquierda

5 unidades; para el inciso (c)

desplace la gráfica en (a) a la

izquierda 5 unidades y estire

verticalmente en un factor de 2;

para el inciso (d) desplace la

gráfica en (a) a la izquierda5 unidades, estire verticalmente en

71. Para el inciso (b) contraiga la

gráfica en (a) verticalmente en

un factor de

contraiga la gráfica en (a) verti-

calmente en un factor de

refleje en el eje

; para el inciso

(d) desplace la gráfica en (a) a la

derecha 4 unidades, contraiga

verticalmente en un factor de ,

73. La gráfica del inciso (b) está

contraída horizontalmente en

un factor de y la gráfica en

el inciso (c) está estirada por

un factor de 2.

75. Par 77. Ninguno

79. Impar 81. Ninguno

)b()a(.38

2−2

2

0

2−2

3

−2

0

y

0 x5

3

_5

_3

x

y

10

1

12

4

5_5

_4

1 2 4

(b) (a)(c)

13

4

6_4

_4

(a) (b)

(c) (d)

8

8_8

_2

(a)

(b)

(c)

(d)

45. 47.

49. 51.

.55.35

57. 59.

61. (a) 3 (b) 1 (c) 2 (d) 4

)b()a(.36

)d()c(

)f ()e(

)b()a(.56

67.

y

0 x3

3

_3

_3

y

x0 6

2

y

x0 6

2

x

y

1

1

0x

y

1

2

0

x

y

1

1

0x

y

1

1

0

x

y

1

1

0x

y

1

1

0

g1

2 1 2 g1 2 0 1 0 2 g1

2 1

2 2 2f 1

2 21

3 2 2 2f 1

2 2 4 1f 1 2 0 3 0 1f 1

2 1 2f 1 2 2 3

un factor de 2 y luego desplace

hacia arriba 4 unidades.

13; para el inciso (c)

y

13

y luego refleje en el eje .


15/95


16/95


17/95


18/95


19/95


20/95


.52.32

.92.72

.33.13

35.

37.

y

0 x2

5

16

_2

P1 x 2 1 x 2 2 21 x 2 2 x 4 2

y

0 x212

3

910

_2

_3

_20

P1 x 2 1 2 x 1 2 1 x 3 2 1 x 3 2

y

0 x1

1

_1

_1

y

x0 1 2

1

_1

_1

P1 x 2 1 x 1 2 21 x 1 2 P1 x 2 x 21 x 1 2 1 x 2 2

y

0 x1

410

_1_3

_10

y

0 x4

3

4

_4

_2_4

P1 x 2 x 1 x 3 2 1 x 4 2 P1 x 2 x 1 x 2 2 1 x 3 2

y

0 x1

10

_1

_30

3

y

0 x4

4

3

_4

71. 600 pies por 1200 pies 73. Ancho 8.40 pies, altura de la parte rec-

por 4.20 pies 75. (a) (b) 600 pies por

)b()a(.77 $9.50 (c) $19.00


1. II 2. (a) (ii) (b) (iv) 3. (a), (c) 4. (a)

)b()a(.5

)d()c(

)b()a(.7

)d()c(

9. III 11. V 13. VI

.71.51

.12.91 y

0 x1 3

1

_1

_3

y

0 x2_2 23

3

20

12

_1

_15

y

0 x

10

2 3−2

y

0 x

1

1−2

y

0 x1

4

_1

y

0 x1

4

_2

_8

y

0 x_3 _9

27

y

0 x2

4

_2

_8

y

0 x

8

_1 2

y

0 x

2

_1 1

_2

y

0 x4

16

_2

y

0 x2

2

_2

_4

R1 x 2 x 1 57,000 3000 x 2

f 1 x 2 x 1 1200 x 2 tangular600 pies


21/95


22/95


23/95


24/95


25/95

Respuestas al Capítulo 3 Repaso R2

13.

15. (a) 0 (multiplicidad 3), 2 (multiplicidad 2)

(b)

17. puntos de intersección x 2.1, 0.3,punto de intersección y 1

máximo local

mínimo local

y q cuando x q

y q cuando x q

19. puntos de intersección x 0.1, 2.1


mínimo local

y q cuando x q

y q cuando x q

)b()a(.12 0 x 10

)d()c( 5.8 pulg.

En las respuestas 23-29 el primer polinomio dado es el cociente,

y el segundo es el residuo.

23. x 1, 3 25. x 2 3 x 23, 94

27. x 3 5 x 2 17 x 83, 422 29. 2 x 3, 12

31. 3 35. 8 37. (a) 1, 2, 3, 6, 9, 18

(b) 2 o 0 positivo, 3 o 1 negativo

39. (a) 4, 0, 4 41. (a) 2, 0 (multiplicidad 2), 1

)b()b( y

x1

4

_2

_4

0

y

x4

30

_4 _30

0

6000

100

S 13.8 x 1 100 x 2 2

1 1.4, 14.5 2

30

_20

3_2

1 1.2, 2.1 2 1 1.2, 4.1 2

10

_10

3_3

x

y

10

1

y

x1_1

100

31

_100

0

79. vertical x 1

punto de intersección x 0


mínimo local

comportamiento final: y x 2

81. vertical x 3

puntos de intersección x 1.6, 2.7


máximos locales

mínimo local ,

comportamiento final y x 3

)b()a(.38 Se nivela en 3000.

85. (a) 2.50 mg/L (b) Disminuye a 0. (c) 16.61 h

87.

R EP AS O D EL CA PÍT UL O 3 P ÁG IN A 29 2)a(.3)a(.1

)b()b(

.7.5 68 pies

.11.9 y

x1

_30(_1, _32)

200

_3

_200

y

0 x4

64

300

_4

_300

Mínimo f 1 1 2 7

x

y

10

5

x

y

20

2

g1 x 2 1 x 4 2 2 17f 1 x 2 1 x 2 2 2 3

5000

4000

4000

300

1 3.4, 54.3 2 1 0.6, 2.3 2

1 2.4, 3.8 2 1 0.4, 1.8 2 ,

100

5_5

_100

1 1.4, 3.1 2

10

3_3

_5

Si la rapidez del tren se aproxima

a la rapidez del sonido, entonces

la frecuencia aumenta indefinida-

mente (un estampido sónico).


26/95


27/95


17.

19. 21. 23. II

.72.52

.13.92

.53.33

37. (a)

(b) La gráfica de g es más pronunciada que la de

y

0 x_2 2

2

˝=3(2˛)

Ï=2˛

(1, 2)

1

1

x

y

0

(0, 2)

1

1

x

y

0

, 1 q, 3 2 ,

3, 1 1, q 2 ,

1

y

0 x_2 2

(_3, 1)

1000

y

0 x5

1

_5

(_1, 6)

, 1 0, q 2 ,

0, 1 4, q 2 ,

4

y

0 x5

3

_5

_5

(1, _1)

y

0 x_2 2_1

(1, _3)

, 1 3, q 2 , 3, 1 q, 0 2 , 0f 1 2 A14B

f 1 2 3

y

0 x_2 2

1

2

y=7˛y=4˛

E NFO QUE SO BR E M OD ELA DO P ÁG IN A 29 8

1. (a)

0.275428

2 19.7485

273.5523

(b)

(c) 35.85 lb/pulg.2

3. (a)

0.00203708

3 0.104521

2 1.966206

1.45576

(b)

(c) 43 vegetales (d) 2.0 s

5. (a) Grado 2

(b) 16.0 2 51.8429 4.20714

(c) 0.3 s y 2.9 s (d) 46.2 pies

CAPÍTULO 4

SECCIÓN 4.1 PÁGINA 3071. 2. (a) III (b) I (c) II (d) IV

3. (a) hacia abajo (b) a la derecha 4. principal, tasa de interés

por año, número de veces que el interés se capitalice por año, núme-

ro de años, cantidad después de

años: $112.65 5. 2.000, 7.103,

7. 0.885, 0.606, 0.117, 1.837

.11.9

.51.31

0 2

1

−2

y=2

y=2_

(2, 5.07)

1

1 x0

y

y

0 x_2 2

3

(_2, 9)

1

y

0 x

1

_2 2

2

(2, 4)

5; 125, 1, 25, 15,625

48

3.10

0

22

300

82

462548

77.880, 1.587


28/95


.9.7

.31.11

15. (a) 17. (a)

(b) Cuanto mayor sea el valor de

a, más ancha es la gráfica.19. Mínimo local

21. (a) 13 kg (b) 6.6 kg

23. (a) 0 (b) 50.6 pies/s, 69.2 pies/s

)d()c( 80 pies/s

25. (a) 100 (b) 482, 999, 1168 (c) 1200

27. (a) 11.79 mil millones, 11.97 mil millones

)c()b( 12 mil millones

29. $7213.18, $7432.86, $7659.22, $7892.48, $8132.84, $8380.52

31. (a) $2145.02 (b) $2300.55 (c) $3043.92 33. (a) $768.05

(b) $769.22 (c) $769.82 (d) $770.42 35. (a) es el mejor.

0

14

500

100

1000

1 0.27, 1.75 2

5

3_3

_1

a=2

a=1

a=1.5

a=0.5y

0 x2

5

_2

(0, e _3)

(_1, _2)

1

1

x

yy

0 x1

1 (2, 1)

, 1 3, q 2 , y 3, 1 0, q 2 , y 0

y

0 x_1 2

1(_1, 1.72)

y

0 x_2 1_1

(1, _2.72)

, 1 1, q 2 , y 1, 1 q, 0 2 , y 039.

41. (a)

(b) 1.2, 22.4

43. Cuanto mayor sea el valor

de c, con más rapidez crece

la gráfica.

45. (a) Creciente sobre ; decreciente sobre

(b) 47. (a) 1500 2t (b) 25,165,824,000

49. $5203.71, $5415.71, $5636.36, $5865.99, $6104.98, $6353.71

51. (a) $11,605.41 (b) $13,468.55 (c) $15,630.80

53. (a) $519.02 (b) $538.75 (c) $726.23 55. $7678.96

57. 8.30%


1. natural; 2.71828 2. principal, tasa de interés por año, número

de años; cantidad después de t años; $112.75

3. 20.085, 1.259, 2.718, 0.135

5.

(0, 3)

1

1

x

y

0

1 0, 1.78 430.50, q 2 1 q, 0.50 4

5

3_3

_1

c=4 c=2

c=1

c=0.25

c=0.5

10(iii) •

500

˝=x∞

Ï=2˛

10¶

250

˝=x∞

Ï=2˛

(ii)20

50

˝=x∞ Ï=2˛

(i)

y g( x ) = 3

x

f ( x ) = x 3

0 x 2

200

x y

2 0.41

1 1.10

0.5 1.82

0 3

0.5 4.95

1 8.15

2 22.17

La gráfica de f por último aumenta

con mucha mayor rapidez que la de g.


29/95


30/95


31/95


32/95


33/95


34/95


59.

61. y x 2 sen x es una curva

senoidal que está entre las

gráficas de y x 2 y y x 2

63. es una curva

senoidal que está entre las grá-

y

65. y cos 3p x cos 21p x es

una curva senoidal que

está entre las gráficas de

y cos 3p x y

y cos 3p x

67. Valor máximo 1.76 cuando x 0.94, valor mínimo 1.76

cuando x 0.94 (Los mismos valores máximo y mínimo se

presentan en un número infinito de otros valores de x .)69. Valor máximo 3.0 cuando x 1.57, valor mínimo 1.00

cuando x 1.57 (Los mismos valores máximo y mínimo se pre-

sentan en un número infinito de otros valores de x .)

71. 1.16 73. 0.34, 2.80

75. (a) Impar (b) 0, 2p, 4p, 6p, . . .

)d()c( se aproxima a 0

(e) se aproxima a 0

77. (a) 20 s (b) 6 pies

79. (a) min (b) 80

)d()c( ; es más alto de

lo normal

14090y

x0

140

180

115

90

180

f 1 x 2 f 1 x 2 1

20_20

_1

1.5

0.5_0.5

_1.5

y 1 x y 1 x

y 1 x sen 5p x 2.8

7.5_0.5

_2.8

225

15_15

_225

7

6.28_6.28

_7

31. 2, 2p, p/ 6 33. 4, p, p/ 2

35. 5, 2p/ 3, p/ 12 37. , p, p/ 6

.14.93 1, 2p/ 3, p/ 3

43. (a) 4, 2p, 0 (b) y 4 sen x

45. (a) (b)

47. (a) (b)

49. (a) (b)

.35.15

.75.55 1.2

0.5_0.5

_0.2

3

0.2_0.2

_3

1.5

250_250

_1.5

1.5

0.1_0.1

_1.5

y 4 sen 4p3 A x 12B4, 32, 12 y

12 cos 2 1 x p/ 3 2 12, p, p3

y32 cos 3 x

32,

2p3 , 0

π3

y

0 x

1

_1

π3

_32

y

x0

3

_3

12

_

3, 2, 12

7π6

y

0

1

xπ6

3π4

y

x0

5

π12

_5

12

y

0xπ

4π4

_4

_

4

13π6

y

x0

2

π6

_2

ficas de


35/95


25. 2p 27. p/ 4

29. 4 31. p

33. p/ 2 35.

.93.73 p/ 2

41. p/ 2 43. p/ 2y

0 x

4

_π2

_4

π2

y

0 x

4

_π2

_4

π2

y

0 x

4

_π2

_4

π2

y

0 x

5

13

13

_

43

y

0 x

5

_ 11

3_5

3

2

y

_π2

π2

x

13

y

0 x

1

π2

_π2

_1

y

0 x4

1

_4

2

y

π8

x

y

0 xπ6

0.5 7π6

5π6

_


.2.1

3. II 5. VI 7. IV

9. p 11. p

13. p 15. 2p

17. 2p 19. p

21. 2p 23. p

y

0 x

_π4

π4

5

5π4

1

_5

y

0 x_π

1

π

y

x0_

π2

π2

2

y

0 x_π

3

π

y

0 x_π

2

π2

y

x0

_5

_π2

π2

5

y

x0 π

_5

_π

5

y

0 xπ

_5

_π

5

5

_5

x

y

ππ_

10

_10

x

y

_π2

π2

2p;

p,

un enterop; p2 p, un entero


36/95


3. (a) 2, 2p/ 3, 5. (a) 1, 20p/ 3,)b()b(

7. (a) , 4p/ 3,(b)

9. (a) 5, 3p,

(b)

11. 13.

15. 17.

19. (a)

2

1.5 cos 6p

(b)

21. (a)

(b) y

100

_100

8 16 t 0

100 0.05 cos p2

y

2

_2

1 2 t 0

2.4 cos11500p 2 60 cos14p 2 6 sen

110

2 10 sen

a2p

3

b

y

0

t

98

_

5

_5

98

3π-

1/ 13p 2

14π9

y

0.25

2π9

_0.25

t 0

3/ 14p 2 14

10π3

y

1

_1

20π3

0 t

y

2

π6

_2

t 0

3/ 120p 2 3/ 12p 2 45. 2 47. 2p/ 3

49. 3p/ 2 51. 2

53. p/ 2

57. (a) 1.53 mi, 3.00 mi, 18.94 mi

(b)

(c) se aproxima al q


1. (a)

.2)b(

3. (a) p/ 2 (b) p/ 3 (c) No está definida5. (a) p (b) p/ 3 (c) 5p/ 67. (a) p/ 4 (b) p/ 3 (c) p/ 69. (a) 2p/ 3 (b) p/ 4 (c) p/ 4 11. 0.7297313. 2.01371 15. 2.75876 17. 1.47113 19. 0.88998

21. 0.26005 23. 25. 5

27. No está definida 29. 5p/ 6 31. p/ 6 33. p/ 6 35. p/ 6

37. p/ 3 39. 41. 43.


1. (a) (b) cos v

2. (a)

sen v

(b)

cos v

sen v

2 2/ 2122 3/ 3

14

3 1, 1 4 ; 1b 2 30, p 4 ;

,

, p/ 3, p/ 3, 12

3 p/ 2, p/ 2 4 ,

,

, p/ 6, p/ 6, 12

1

2

y

0 x2

5

1

y

0 x

4

π6

2π3

_π3

y

0 x

3

0.5

_3

y

0 x

1

π4

7π4

_5π4

y

0 x

5

π6

_π3

y

x

2

56

116

_ 16


37/95


38/95


6. (a) 5, p/ 2, 0 7. (a) 2, 4p, p/ 3)b()b(

8. p 9. p/ 2

10. (a) p/ 4 (b) 5p/ 6 (c) 0 (d) 1/ 211.

)b()a(.21 Par

(c) Valor mínimo 0.11

cuando x 2.54, valor

máximo 1 cuando x 0

13.14. y 16e 0.1t cos 24pt

E NFO QUE SO BR E M OD EL AD O P ÁG IN A 43 0

1. (a) y (c)

(b)

)e()d( La fórmula de (d)

,)b(Igual que.se reduce a y

redondeada a un decimal.

cos10.50t 0.02 2 0.012.05 y 2.05 sen 10.50t 1.55 2 0.01 y 2.1 cos10.52t 2

2

y

0 t

_2

1 14

y=2.1 cos(0.52t)

18

10

_18

y 5 sen 14pt 2

1.2

9.42_9.42

_0.4

y 2 sen 2 1 x p/ 3 2

y

0 x

1

π4_1

y

x

1 π4

_1

3π4

0

13π3

y

x0

2

π3

_2

y

x0

5

_5

π2

π4

49. 51.

)a(.55)a(.35

(b) Período p (b) No periódica

(c) Par (c) Ninguna

57. (a)

(b) No periódica

(c) Par

59. y x sen x

senoidal cuya gráfica estáes una función

entre las de y x y y x

61. Las gráficas están relacionadas

por adición gráfica.

63. 1.76, 1.76 65. 0.30, 2.84

67. (a) Impar (b) 0, p, 2p, . . .

(c)

(d) se aproxima a 0

(e) se aproxima a 0

69.71.

E XA ME N D EL C AP ÍTU LO 5 P ÁG IN A 4 26

1. 2. (a) (b) (c) (d)

3. (a) (b) (c) (d) 1

.5.4 215tan t 1sen t 2 / 2 1 sen2t

1 31 2/ 212

53

43

35

45 y

56

y 4 cos 1p6 t 2 y 50 cos116pt 2 f

1 x

2

f 1 x 2

1

20_20

_1

3.5

3.1_3.14

_3.5

15

15_15

_15

5

5_5

_5

1.5

50_50

_1.5

1.5

6.28_6.28

_0.5

p

6p

2


39/95


40/95


41/95


42/95


43/95


44/95


45/95


46/95


47/95


59. (a) Elíptica

(b) p; 540 mi


1. real, imaginaria, 2. (a)

(b)

3. (a)

(b)

4. n; cuatro; 2, 2i, 2, 2i; 2

5. 4 7. 2

.11.9 2

13. 1 15.

.91.71 Im

0 Re1

i z⁄=2+i

z€=2-i4

z⁄+z€=4

z⁄z€=5

Im

0 Re2

i8+2i

8-2i

8

Im

0 Re1i

_10.5+0.5i1+i

2+2i

_1-i

Im

0 Re1

i0.6+0.8i

Im

0 Re1

i œ∑3+i

Im

0 Re1

i 5+2i

1 29

Im

0 Re

i

_2

Im

0 Re1

i

_1

4i

2i

2i

Re

Im

22 0

1 i, 2 2a cos p4

i senp

4b

2 2a cos 3p4

i sen3p

4b ; 2 3 i

r 1cos u i sen u 2 2 a2 b2, b/ a1a, b 2

7000

12000_9000

_7000

.13.92

.53.33

.93.73

.34.14 0 u 4p

45. 0 u 4p

47. La gráfica de r 1 sen nu tiene n lazos. 49. IV 51. III

.55.35

57. a a2

,

b

2b , 2 a2 b2

2

1

1

O 1

1

3

1.5_3.5

_3

1

1._1.25

_1

O 1

O 101O

1

1

O

3 , 3π2! @œ

3, π2! @œ

3 1, 0! @œ

3 1, π! @œ

21O

3 2, 3π2! @œ

3 2, π2! @œ

3, π! @œ 3, 0! @œ

1

1O 1


48/95


49/95


50/95


67. (b)

R EP ASO DE L C AP ÍT UL O 8 P ÁG IN A 57 2

)a(.3)a(.1

)b()b(

5. (a)

(b)

)b()a(.7

(c)

)b()a(.9

(c)

11. (a)(b)

(c)

)b()a(.31 y

x0

4

4

4

cos u sen u

a 21 3, p6

ba 21 3, 5p

6by

0 x3

1

_3

3Ô

a 12,

p

4b

a 12, 5p4 by0 x_8

_8Ó_6œ∑ 2Ô2, _6œ∑

a 81 2, 5p4

b

a 81 2, p4

by

x0 8

8

A21 3, 6B

!4 @

_5π3

_ 5π3

O

œ∑3,

a 31 22

,

31 2

2bA61 3, 6B

!_3, @

7π4

7π4

O

!12, @π6

π6

O

15

23_23

_15

.54.34

47.

49. (a)

2 / 12 cos

,

2 / 12 sen

(b)

51. (a)

(b)

53. III 55. II

)b(.95.75

2/ 3

2/ 3

2/ 3

61.

63. (a)

sec u, sen u

(b)

65.

cosa 2 2 2

b

3

10_10

_3

1sen u cos u cot u

2 ,

11 sen2 u

2

y

0 xa

a

20_20

_1

6

3

5_2

_3

4 cos

2 cos

,

4 sen

2 cos

2.5

2.5_2.5

_2.5

1.2

1_1

_1.2

6

3.5_3.5

_6

2.5

1.25_1.25

_2.5


51/95


52/95


53/95


54/95


55/95


56/95


57/95


58/95


59/95


.93.73

No limitado Limitado

.34.14

LimitadoLimitado

.74.54

Limitado

49.

51. x número de libros de ficción

y número de libros no

de ficciónc x y 10020 y, x y x 0, y 0

y

x50

50

0

(50, 50)

(80, 20)(20, 20)

10

−6

10−4

(0.6, 3.4)

(6.4, −2.4)

10

−4

13−5

(11, 8)(−1, 8)

y

0 x2

2

(0, 3)

,( )−3 223 2

2

x + y = 0

x2 + y2 = 9

y

x0 1

1

(2, 2)

x2 + y2 = 8x = 2

(2 2, 0)

y

0 x3

3 x + 1 = 0

x + 2 y = 12

y = x + 1

103

133

,( )132−1,( )

y

x0 11

x + y = 7

x = 5

(5, 2)

y

x2

2

x − y = 2

3x − y = 0

x + 2y = 14(6, 4)

(−1, −3)

15.

17. 19..32.12

No limitado No limitado

.72.52

LimitadoLimitado

.13.92

LimitadoLimitado .53.33

LimitadoLimitado

y

0 x1

5x2 − y = 0

2x2 + y = 12

(2, 4)(−2, 4)

y

0 x1

1

(− 2, − 2)

x2 + y2 = 4x − y = 0

( 2, 2)

y

0 x1

1

y = 9 − x2

y = x + 3

(2, 5)

(−3, 0)

x0 11

y

(3, 0)

(0, 9)

y=9-x2

y

x0 1

13x + 5y = 15

, 2

3x + 2y = 9

( )53x0 1

1

(0, 5) (2, 4)

(4, 0)

y=_2x+8

yy=_ x+512

y

0 x3

(4, 3)14

3 y =

y = 2

x− 5

x + 2

y

0 x3

3

x + y = 4

y = x

(2, 2)

x 2 y 2 4 y 12 x 1

y

0 x2

2

x2 + y2 = 25


60/95


61/95


)b()a(.4

5. III 7. II 9. VI

Orden de respuestas: foco; directriz; diámetro focal

.31.11

.71.51

.12.91

.52.32

27.

4

_4

1_2

1

_1

1_3

1

_0.5

3_3

y

x

2

_1

_2

0

y

0 x3_3 _1

F A 512, 0B; x 512; 53F A0, 32 B; y 32; 6

y

0 x

1

_10_1

y

0 x1

4

_1

F A 132, 0B; x 132; 18F A0, 120 B; y 120; 15

y

0 x1

2

_2

y

0 x21

_2

F 11, 0 2 ; x 1; 4F A0, 94 B; y 94; 9

0 1

3Vértice (0, 0)

Foco (3, 0)

Directrizx=_3

x

y

0 1

1

Foco (0, 3)

Vértice (0, 0)

Directrizy=_3

x

yE XA ME N D EL CA PÍ TU LO PÁGINA 71 4

1. (a) Lineal (b) 2. (a) No lineal

(b)

3.

4. Viento 60 km/h, avión 300 km/h

5. (a) Forma escalonada por renglones (b) Forma escalonada por(c) Ninguna 6. (a) (b) No hay

7.

8. Café $1.50, jugo $1.75, rosquilla $0.75

9. (a) Dimensiones incompatibles

(b) Dimensiones incompatibles

(c) (d) (e)

(f ) B no es cuadrada (g) B no es cuadrada (h) 3

)b()a(.01

11.

12.

)b()a(.31

)b()a(.41

E NF OQ UE SO BR E M OD EL AD O PÁGINA 72 01. 198, 195

3. máximo 161

mínimo 135

5. 3 mesas, 34 sillas 7. 30 cajas de toronjas, 30 cajas de naranjas

9. 15 Pasadena a Santa Mónica, 3 Pasadena a El Toro, 0 Long Beach

a Santa Mónica, 16 Long Beach a El Toro

11. 90 estándar, 40 de lujo 13. $7500 en bonos municipales,

$2500 en certificados bancarios, $2000 en bonos de alto riesgo

15. 4 juegos, 32 educacionales, 0 utilería

CAPÍTULO 11SECCIÓN 11. 1 PÁGINA 7301. foco, directriz 2.

3. F

1 p, 0

2, x p, F

13, 0

2, x 3

y p, F 10, 3 2 , y 3F 10, p 2 ,

y

x0 3

3

2x + y = 10

2x + 4y = 28

y

0 x1

1(_2, 1)

y = 2x + 5

x2 + y = 5

y

x0 11

(2, 4)2x + y = 8

x + 2y = 4

1

x

x 2

x 2 3

1

x 1

11 x 1 2 2 1 x 215, 5, 4 20 A 0 0, 0 B 0 2, B 1 £

1 2 0

0 12 0

3 6 1 §170, 90 2c4 3

3 2d c x

yd c 10

30d

c 2 321 1

d£ 36 580 318 28

§£ 6 103 23 9

§A 35 25 t , 15 15 t , t B A

52,

52, 0

B

1 0.55, 0.78 2 , 10.43, 0.29 2 , 12.12, 0.56 211, 2 2 , A53, 0B 1 2, 3 2renglones reducida

solución


62/95


63/95


64/95


13. Centro ;

focos ;

vértices ;

asíntotas

15. Centro ;

focos ;

vértices ;

asíntotas

17. 19.

21.

23. Parábola;

25. Hipérbola;

; asíntotas

27. Elipse;

;

eje mayor 10,

eje menor 4

29. Hipérbola;

;

asíntotas y 43 1 x 3 2V 13, 4 2F 13, 5 2 ;y

0 x1

1

C 13, 0 2 ;

V 11 2, 5 2 , V 118, 5 2F A3 1 21, 5B;y

x0 3

_5

C 13, 5 2 ;

y 121 x 1 2 2V A1 1 5, 2B

C 11, 2 2 ; F 1A 32, 2B, F 2A72, 2B;y

0 x4

4

x 5

F 1 3, 4 2 ;V 1 4, 4 2 ;y

x50

5

1 y 1 2 2 x 2 1 1 x 5

22

25

y2

16

1 x 2 14

1 y 4

2

y 12 1 x 1 2V 1 1, 1 2

F A 1, 1 5B yx2

2

C 1 1, 0 2

y 431 x 1 2 3V 11 4, 3 2 , V 212, 3 2F 11 6, 3 2 , F 214, 3 2

y

0 x1

1

C 1 1, 3 23.

4.

5. Centro ;

focos ;

vértices ;

eje mayor 6, eje menor 4

7. Centro ;

focos ;

vértices ;

eje mayor 10, eje menor 6

9. Vértice ;

foco ;directriz

11. Vértice ;

foco ;

directriz y 116

F A 12, 116 B y 0 x1_1_2

V A 12, 0B

y 3F 13, 1 2

y

x03

3

_2_3

V

13, 1

2

V 110, 0 2 , V 210, 10 2F 110, 1 2 , F 210, 9 2y0 x3_3

_5

C 10, 5 2

V 11 1, 1 2 , V 215, 1 2F A2 1 5, 1By

0x5

3

_1

C 12, 1 2

Foco

(_2, 1)Foco

(8, 1)

0 1

1Vértice (_1, 1) Vértice (7, 1)

x

y

Asíntota

Asíntota34y=_ x+

134 x-54

34y=

Foco (_5, 0) Foco (5, 0)

Vértice (_4, 0) Vértice (4, 0)

Asíntota Asíntota34y=_ x

34y= x

0 1

1

x

y

0 1

1Foco (6, 1)Foco ( 0, 1)


x

y

0 1

1 Foco (3, 0)Foco (_3, 0)


x

y


65/95


66/95


67/95

Respuestas al Capítulo 11 Repaso R6

23.

25. y2 8 x 27. 29.

31. Parábola;

33. Hipérbola;

35. Elipse; 37. Parábola;

39.Elipse;

V 113, 4 2 , V 213, 2 2F A3, 3 1/ 1 2B; y x0 3_3

y

0 x

5

_60_5

y

0 x3_3

3

F A 2554 , 8B; V 1 64, 8 2V A1, 4 2 1 5BF A1, 4 1 15B;

F A0, 12 1 2B; V 10, 12 2 y0 x18

18

_18

_18

y

0 x3

3

_3

_3

F 10, 2 2 ; V 10, 1 21 x 4 2 2

16

1 y 2 2 24

1 y2

16

x 2

91

y 13 x 2

asíntotas y 13 x ,

F A 3, 1 2 1 5B;V A 3, 1 1 2B; y0 x3

2

_3

_2

C 1 3, 1 2 ;.7.5

.11.9

.51.31

.91.71

21.

asíntotas y 1 x 4 2V 210, 0 2 ; F A 4 4 1 2, 0B; y0 x1

1

4

_4

C 1 4, 0 2 ; V 11 8, 0 2 ,

y

0 x3

3

_3

_3

y

x2

2

y 1

1 2 x

y 43 x

F A 2 1 6, 0B; asíntotasF 10, 5 2 ; asíntotas C 10, 0 2 ; V 1 4, 0 2 ;C 10, 0 2 ; V 10, 4 2 ;3_3

y

0 x

1

y

x1

_4

4

F A 1 5, 2B; ejes 6, 4F A3, 1 7B; ejes 8, 6 C 10, 2 2 ; V 1 3, 2 2 ;C 13, 0 2 ; V 13, 4 2 ;

y

0 x4

1

_4

y

0 x2_2_2

2

F A 2 1 3, 0B; ejes 8, 4ejes 10, 6 C 10, 0 2 ; V 1 4, 0 2 ;C 10, 0 2 ; V 10, 5 2 ; F 10, 4 2 ;

y

0 x_1

2

_2

y

0 x2

2

_2_2

y 4 x 94

V 1 2, 3 2 ; F 1 2, 2 2 ;V 1 2, 2 2 ; F A 74, 2B;


68/95


69/95


8. (a)

elipse

(b) hipérbola

9. 10.

CAPÍTULO 12SECCIÓN 12. 1 PÁGINA 792

1. los números naturales 2.

3. 2, 3, 4, 5; 101 5. 7.

9. 0, 2, 0, 2; 2 11. 1, 4, 27, 256; 100100 13. 3, 2, 0, 4, 12

15. 1, 3, 7, 15, 31 17. 1, 2, 3, 5, 819. (a) 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39, 43

(b)

21. (a)

(b)

23. (a)

(b) 3

110

2, 12, 2,12, 2,

12, 2,

12, 2,

12

14

110

12, 6, 4, 3, 125 , 2,127 ,

32,

43,

65

45

110

1, 14,19,

116;

110,000

12,

13,

14,

15;

1101

n; 12 22 32 42 30

X

11

1

1

22 0

1 2

Y

30

y

x

1 x 5 2 216

y2

91

F 110, 0 2 , F 218, p 2 ,2

2O

F 110, 3 1 5 2 , F 210, 3 1 5 2 ,y

0 x

3

2_2

13. (a) Elipse (b)

(c) f 27

(d)

14. (a)

(b) Elipse

E NF OQ UE S OB RE M OD EL AD O PÁGINA 7 78

5. (c)

discriminante

EXAMEN ACUMULATIVO DE REPASO PARA CAPÍTULOS 10 Y 11PÁGINA 780

1. (a) No lineal )c()b( Círculo,

parábola (d), (e)

2. (a) (b)

3. Javier 4, Yolanda 10, Zacarías 6

4. (a) A B imposible; C D

CB imposible;

det( B) imposible; det(C ) 2;

det( D) 0

)a(.5)b(

(b) (c) (d)

6. 7. x 2 12 y1

x

2

x 2 x 2

x 2 4

x 10, y 15 X c1015dc2 32

3 52d

c x yd c5

0dc5 3

6 4dC 1 £ 0 0 112 12 12

1 0 1

§

BD c 1 2 112 1 12 d ;C0 4 2

1 4 4

1 1 1

S; AB c 92 1 5

4 2 0d ;

x t 1, y t 2, z t 13, 0, 1 2

y

x

2

2_2 0

10, 0

2,

12, 2

2,

12, 2

2

m2 4ma 4a2 1m 2a 2 2, m 2a x 2 mx 1ma a2 2 0,

1

1

r 1

1 0.5 cos u

A 3 2 2/ 5, 6 2 2/ 5B, A3 2 2/ 5, 6 2 2/ 5B

y

x2

2

_2

_2

X

Y

X 2

3

Y 2

181


70/95


71/95


72/95


73/95


74/95


75/95


76/95


)i()b()a(.6 2 (ii) 3 (iii) 2(iv) 1 (v) 2

7. 8. (a) 10 (b) 4 (c) No existe9. (a) 3 x 2 (b) 27, 0, 3a2 (c)

)b()a(.01 A se encuentra entre el cuadra-do 1× 1 en el primer cuadrante,con esquina en el origen, que tieneárea 1, y el trapecio con esquinas1 0, 02 , 1 1, 02 , 1 1, 22 y 1 0, 12 , quetiene área(c) 78/ 64 (d) 4/ 3

32

1

1

2

x

y

0

y 12 x 16

12

1

1

x

y

0

2. (a) 1 (b) 1 (c) 1 (d) 0 (e) 0 (f ) 0 (g) 4 (h) 2(i) No existe 3. (a) 6 (b) 2 (c) No existe(d) No existe (e) (f ) 2 4. (a)(b) 4 , 0 , 2 5. 6. (a) 0 (b) No existe7. (a) (b)

E NF OQ UE SO BR E M OD EL AD O PÁGINA 88 6

1. 3. (b) Área bajo la gráfica deentre x 0 y x 4 (c) 3000 lb (d) 1500 lb5. (a) 1625.28 horas-grado de calentamiento (b) 70 F(c) 1488 horas-grado de calentamiento (d) 75 F(e) El día en el inciso (a)

EXAMEN ACUMULATIVO DE REPASO PARA LOSCAPÍTU LOS 12 Y 13 PÁGINA 888

1. (a) (b) (c) no hay límite

(d) (e) 0.64, 5242.88, no hay límite2. (a) 41.4 (b) 88.572 (c) 5115/512 (d) 93. $2658.15 4. Sugerencia: El paso de inducción es

.)b()a(.5 49516 x

432 x 5 40 x 4 20 x 3 5 x 2 58 x 132

an 1 an 21 n 1 2 1 n2 2n 1 1 n 1 2 2

12A56 B6, 12A56 B

19, 0

372 ,

1152 ,

99340,

8017984, 0

715,

2041,

12

p1 x 2 375 x 57,333 13 pies-lb

113

8925

y16 x

32

f ¿ 1 x 2 2 x 214

.


77/95

Í N D I C E

Abel, Niels Henrik, 263Acertijo de Eratóstenes, 787

Activos, división de, 796Adición

de desigualdades, 73de expresiones racionales, 37-38de matrices, 662-664de números complejos, 265de polinomios, 25de vectores, 580, 582, 583gráfica, de funciones, 192

Adición gráfica, 192Adleman, Leonard, 284Afelio, 740, 772Agnesi, Maria Gaetana, 565Agrupación, factorización por, 31-32Ahmes (escriba en papiros de Rhind), 694Alargamiento y contracción verticales,

gráficas, 183-184Algoritmo de división 247Altura vs. distancia en una pendiente, 106Amplitud, 389, 390

amortiguada, 395movimiento armónico y, 413período y, 391-393variable, 394-395

Análisis de Fourier, 30Analogía, usada para resolver problemas, P2Ángulo agudo, 608

Ángulo central de tetraedro, 609Ángulo de enlace, 609Ángulo de referencia, 454-456Ángulo obtuso, 608Ángulos. Vea también Funciones trigonomé-

tricas de ángulosagudo, 608central, de tetraedro, 609cuadrantales, 452de depresión, 446de elevación, 446de incidencia, 523de inclinación, 446

de referencia, 454-456de refracción, 523

definido, 434directores de un vector, 606-608ecuaciones con funciones trigonométricas

de múltiplos de, 526-528en triángulos rectos, despejar, 464-465obtusos, 608posición estándar de, 435-437suplemento de, 435-437, 471unión, 609vectores entre, 591, 606

Ángulos coterminales, 435-437Ángulos de cuadrante, 452Ángulos directores de un vector, 606-

608Ángulos múltiples, funciones trigonométri-

cas de, 526-528Anualidades

cálculo de cantidad de, 808-810en perpetuidad, 813-814valor presente de, 810-811

Aplicación de la ley, uso de matemáticaspara, 318

Apolunio, 740Arco circular, longitud de, 437-438Arco de entrada, 310Área

de sector circular, 438

de un paralelogramo, 613-614de un triángulo, 458-459, 479-480, 614,

689-690, 692Argumento de número complejo, 557Aristarco de Samos, 446Aristóteles, 219Arquímedes, 71, 383, 729, 859Arquitectura, cónicas en, 776-779Asíntotas, 277-279

de funciones racionales, 280-288de hipérbolas, 743, 746definidas, 279diagonales, 286-287

horizontales, 279, 281-287, 866-867verticales, 279, 280-288, 399-401, 844

Asíntotas diagonales, 286-287Asíntotas horizontales, 279, 281-287, 866-86Asíntotas oblicuas, 286-287Asíntotas verticales, 279, 280-288, 399-401

844Astroide, 570

Base, cambio de, 328-329Bell, E.T., 663Bernoulli, Johann, 567Bhaskara, 66Binomios, 24, 820Bits, cambiando palabras/sonido/imágenes

a, 30Brahe, Tycho, 754Brams, Steven, 796Bruja de (María) Agnesi (curva), 571

CAD (diseño asistido por computadora), 23Caja central, de hipérbolas, 743, 744Calculadoras

calculadoras graficadoras, 96-98, 167-168393-395, 551, 567-568, 842, 848, 880

cálculos y cifras significativas, 889como equipo de gráficas, 393evaluar funciones trigonométricas, 381,

400, 407

modo de radio, 381Calculadoras graficadoras, 154-155

aproximar área con, 880escoger rectángulo de vista, 393-394funciones de ZOOM y TRACE, 842inconvenientes de, 848para graficar ecuaciones polares con, 551para gráficas de curvas paramétricas, 567

568para gráficas trigonométricas, 393-395para valores extremos de funciones, 167-

168uso de, 96-98


78/95

I2 Índice

Cálculofórmulas de adición y sustracción en,

502vista previa de. Vea Límites

Campos vectorialesgravitacional, 626líneas de flujo (o laminar) de, 627

modelado de, 624-627Cancelación, simplificación de expresionesracionales por, 36

Cantidad constante de cambio, 176Cantidad de cambio

constante, 176instantánea, 174, 861-862pendiente como, 113-115, 173promedio, 172-179, 861

Cantidades dirigidas. Vea VectoresCapacidad de sostenimiento, 362Cardano, Gerolamo, 263, 274Cardioide, 549, 552Caso ambiguo, al resolver triángulos, 470-

473, 475Catenaria, 310Cayley, Arthur, 674Centro

de elipse, 734de esfera, 600de hipérbola, 742

Cero(s)complejo, 269-277de polinomiales, 236-241, 250-251identidad aditiva, 4multiplicidades y, 240-241, 271-273reales, 236, 253-263

Teorema de Ceros Racionales, 253-256,273Teorema del Factor y, 250-251

Ceros complejos, 269-277Ceros racionales. Vea Ceros reales, de poli-

nomialesCeros reales, de polinomiales, 236, 253-263Chevalier, Auguste, 254Chu Shikie, 822Cicloide

acortado (trocoide), 570alargado, 570ecuaciones paramétricas, 567

Ciclos, de vibración, 413

Cifras significativas, 889Círculo auxiliar de elipse, 740Círculos, 88-90, 723

área de, 147auxiliares, de elipse, 740como gráfica polar, 552ecuaciones de, 88, 89-90graficar, 88-89, 98involuta de un, 571

Circunferencia unitaria, 370-377números de referencia, 373-375, 380-381puntos en, 370puntos terminales, 370-373

Cocientes, 247de diferencia, 145, 174de funciones, 190, 191desigualdades y, 77en división, 5positivos/negativos, 74

Codificación, 284

Código RSA, 284Códigos indescifrables, 284Códigos para corregir errores, 38Coeficientes

de constante, 232de correlación, 134-135de binomios, 822-824iniciales, 232, 235

Cofactores, determinante de matriz, 682-683ComandoIntersect, en calculadoras, 101Comando TRACE, en calculadoras, 101,

167, 707, 842Comando minimum, en calculadoras, 167Comando maximum, en calculadoras, 167,

168Comando Logistic, en calculadoras,

362, 366Comando LnReg, en calculadoras, 366Comando SinReg, en calculadoras, 429Comando ref, en calculadoras, 653Comando rref, en calculadoras, 655, 659Comando Frac, en calculadoras, 676Comando TABLE, en calculadoras, 786Comando ZSquare, en calculadoras, 98Combinación de expresiones logarítmicas,

326-327Cometas, trayectorias de, 745

Completando el cuadrado, 48Comportamiento finalde funciones racionales, 287-288de polinomios, 234-236, 237

Comportamiento periódico, modelado, 412-418, 427-430

Compra a plazos, 811-812Compresión de imagen fractal, 804Computadoras

aplicaciones de, 182como equipo de gráficas, 393

Cónicas. Vea también por tipocon mismos focos, 749, 757degeneradas, 754-755

descripción equivalente de, 766desplazadas, 750-757ecuaciones polares de, 765-772en arquitectura, 776-779formas básicas de, 723graficar, giradas, 761-762identificar por discriminante, 763-764identificar y trazar, 768-769, 770simplificar ecuación general con, 759-762

Cónicas con mismos focosfamilia de, 757hipérbolas, 749parábolas, 757

Cónicas degeneradas, 754-755Cónicas desplazadas, 750-757Conjetura, inducción matemática y, 814Conjugados complejos, 265-266, 268, 269

Teorema de Ceros Conjugados, 274, 277Conjunto vacío , 7Conjuntos

como colección de objetos, 6uniones e intersecciones, 7Constante de amortiguamiento, 418Constante de resorte, 122, 421, 886Constante(s)

amortiguamiento de, 418de proporcionalidad, 119, 120resorte, 122, 421, 886

Contradicción, demostración por, P2Contraejemplo, 43-44Coordenada x , 83Coordenada y, 83Coordenadas polares, 541, 542-547

graficar ecuaciones polares, 547-554

relación entre coordenadas rectangularesy, 543-544

Coordenadas rectangulares, 541, 543-544Correlación, 134-135

causa vs., 135Corriente alterna, modelado de, 417-418Cosecante inversa, 411Coseno, director, de un vector, 606-607Coseno inverso, 408-409, 462-464Cosenos directores, 606-607Cotangente inversa, 411Crecimiento exponencial, 309

duplicando tiempo, 340-342

rapidez relativa de crecimiento, 342-344Crecimiento logístico de población, 837-838

Crecimiento poblacional, 301, 340-344, 357-358, 362

capacidad de sostenimiento y, 362logístico, 837-838

Criterio de invertibilidad, 685Cuadrado perfecto, 29, 30, 48Cuadrantes, de plano de coordenadas, 83Cuasi-período, 418nCuaterniones, 611Cúbica deprimida, 263Cuerpos en caída, velocidad instantánea de,

862Curva

área bajo, 877-879pendiente de una, 857

Curva de aprendizaje, 340Curva de arco largo, 570Curva paramétrica, graficar, 567-568Curvas cerradas, 568Curvas logísticas (o modelo logístico de

crecimiento), 312, 314, 362, 366Curvas planas, 564Curvas senoidales, 390, 398

ajustar a datos, 427-432


79/95

Índice

Datación por radiocarbono, 324, 333Datos

ajustar curvas seno a, 427-432linealizar, 359-360reglas para trabajar con, aproximados, 889

Datos aproximados, reglas para trabajar con,889

Datos de potencia, linealización, 360Datos exponenciales, linealizar, 360Decimal periódico, 2, 805Décimo problema de Hilbert, 663Demostración

inducción matemática y, 814-815por contradicción, P2

Denominadores, 5de fracciones parciales, 693-697racionalizar, 20-21, 40

Depreciación lineal, 117-118Depresión, ángulo de, 446Derivadas, 860-861

definidas, 860

estimación a partir de gráficas, 864hallar en un punto, 860

Descartes, René, 83, 181, 256Descomposición de fracciones parciales,

693-697Desechos radiactivos, 346Desigualdades, 73-82. Vea también Sistemas

de desigualdades, gráficas decon factores repetidos, 76demostración por inducción, 818-819equivalentes, 73gráfica de, 703-705graficar soluciones para, 102-103

lineales, 74, 706modelado con, 78-79no lineales, 74-77reglas para, 73valor absoluto, 78

Desigualdades con valor absoluto, 78Desigualdades cuadráticas, 75-76Desigualdades equivalentes, 73Desigualdades lineales, 74, 706

graficar sistemas de, 706-707Desigualdades no lineales, 74-77

graficar, 703-705guías para resolver, 75

Desplazamiento de fase, de curvas seno y

coseno, 391-393escala de pH, 348

Desplazamientos horizontales, de gráficas,180-182

Desplazamientos verticales, gráficas, 179-180, 182

Determinantes, 674, 682-693áreas de triángulos, 689-690, 692cero, matrices con, 692cofactores, 682-683criterio de invertibilidad, 685de orden dos, 610de orden tres, 611

expansión, alrededor de renglón ycolumna, 684

menores, 682-683puntos colineales y, 692transformaciones de renglón y columna,

685-686Diagonal principal, de matrices, 672

Diagrama de flecha, de funciones, 143Diámetro focal, de parábolas, 727, 728Diferencia

de cuadrados, 29-30de cubos, 29de funciones, 190, 191de matrices, 662

Diferencia común de sucesión, 795Diofanto, 20Directriz, 724, 726, 766, 767Discriminante

de fórmula cuadrática, 50identificar cónicas por, 763-764invariante bajo rotación, 763, 765

Diseño Asistido por Computadora (CAD), 238Diseño de automotores, 238Distancia vs. altura en una pendiente, 106Distancia, entre puntos en la recta real, 9Dividendos, 247División

de expresiones racionales, 36-37de números complejos, 265-266, 558-559de polinomios, 246-252larga, 246-248, 697repaso de, 5sintética, 248-249

División justa de activos, 796

División largade polinomios, 246-248fracciones parciales y, 697

Divisores, 5, 247Dominios

de expresión algebraica, 35de funciones, 143, 146-147de funciones combinadas, 191de funciones inversas, 201de funciones logarítmicas, 321de funciones racionales, 277de funciones trigonométricas, 380hallar, de gráficas, 163-164e (número), 310

expresar un modelo en términos de, 344logaritmo con base e (logaritmo natural),

320-321

Ebbinghaus, Hermann, 327, 364de órbitas planetarias, 738de una cónica, 766, 767, 770de una elipse, 736-738

Ecología, estudio matemático de, 679Economía, uso de matemáticas en, 810Ecuación de un lente, 56Ecuación general de cónicas, simplificación

de, 759-762

Ecuaciones, 1, 44-57. Vea también Sistemasde ecuaciones; Sistemas de ecuacioneslineales

con dos variables, 86-87con expresiones fraccionarias, 52con polinomios, 258-259con potencias fraccionarias, 53

con radicales, 52cuadráticas, 46-51de circunferencias, 88, 89-90de funciones, 158-159de rectas, 108-113de rectas en espacio tridimensional, 616-

618de rectas horizontales, 109-110de rectas verticales, 109-110de una cónica desplazada, 754-755de una elipse, 734de una hipérbola, 742de una parábola, 725del tipo cuadrático, 53

despejar funciones desconocidas, 198, 20equivalentes, 44exponenciales, 331-333falsas, 643familia de, 56forma de dos puntos de intersección de,

117gráfica de, 86-87lineales, 45-46, 110-111, 113-115logarítmicas, 334-336matriz, 667, 677-680modelado con. Vea Modelos matemáticosno lineales, 45

propiedades de igualdad y, 44raíces de, 236resolver, para trabajar a la inversa, P2resolver usando estrategia de analogía, P2soluciones gráficas para, 98-102valor absoluto, 54, 87

Ecuaciones con matrices, 667, 677-680Ecuaciones cuadráticas, 46-51

ecuación de cuarto grado de tipo cuadrá-tico, 53

ecuación exponencial de tipo cuadrático,333

ecuación trigonométrica de tipo cuadrá-tico, 521

forma de, 46raíces complejas de, 267-268, 269resolver al completar el cuadrado, 48resolver por factorización, 47resolver simple, 47trayectoria de proyectil modelada por,

50-51Ecuaciones equivalentes, 44Ecuaciones exponenciales, 331-333Ecuaciones falsas, 643Ecuaciones lineales, 110-111. Vea también

Sistemas de ecuaciones linealesaplicando a cantidad de cambio, 113-115


80/95

I4 Índice

forma de dos puntos de intersección de, 117gráfica de, 111resolviendo, 45-46

Ecuaciones logarítmicas, 334-336aplicaciones de, 337-338

Ecuaciones no lineales, 45sistemas de, 698-703

Ecuaciones paramétricas, 564-572curvas planas y, 564-565ecuaciones polares en forma paramétrica,

568eliminando parámetro, 565-566graficando curvas paramétricas, 567-568para cicloide, 567para trayectoria de un proyectil, 575-578para una gráfica, 566para una recta, 617-618

Ecuaciones polares, 544-545de cónicas, 765-772en forma paramétrica, 568familia de, 552

gráficas de, 547-554Ecuaciones trigonométricas, 493, 517-529

en un intervalo, resolver, 465Ecuaciones, trigonométricas, 493, 517-529

con funciones de múltiplos de ángulos,526-528

resolver, 517-522resolver, en un intervalo, 465

Efecto Doppler, 291, 422-423Einstein, Albert, P4, 575, 686Eje de simetría, parábolas, 724Eje imaginario, 555Eje polar, 542

Eje real, 555Eje x , 83, 90, 598Eje y, 83, 90, 598Eje z, 598Ejes. Vea también Rotación de ejes

de coordenadas, 598de elipses, 734, 735de hipérbolas, 742de parábolas, 725-727de una cónica, 767polar, 542reales e imaginarios, 555

Ejes de coordenadas, 598Ejes mayores, de elipses, 734, 735

Ejes menores, de elipses, 734, 735Ejes transversos, de hipérbolas, 742, 743-745Ejes verticales, de parábolas, 725-726Elementos radiactivos, vidas medias de, 344-

345Elementos, de conjuntos, 6Elevación, ángulo de, 446Eliminación de Gauss, 642, 651-654Eliminación de Gauss-Jordan, 654-655Elipses, 441, 723, 732-741

círculo auxiliar de, 740con centro en el origen, 734construcción de, 779

definición geométrica de, 732ecuación de, 734, 736, 737excentricidad de, 736-738focos de, 737giro de, 769-770graficar una, desplazada, 750-751lado recto de, 741

órbitas de planetas como, 738trazar, 735vértices de, 734, 735

Elongación, 451, 475Enteros, como tipo de número real, 2Entrada, en función como máquina, 143Envolvente de rectas, parábolas como, 777Epicicloide, 570Equipos de gráficas. Vea Calculadoras grafi-

cadorasEratóstenes, 441, 787Errores algebraicos

contraejemlos, 43-44evitar, 41

Escala de Richter, 348-349Escala en decibeles, 349-350Escalares, 580, 581Escalas logarítmicas, 347-350Escaneo de Tomografía Asistida por Compu-

tadora (CAT), 759Esfera

área de, 151ecuación de una, 600-601

Especies, estudio de sobrevivencia de, 672Espiral, como gráfica polar, 552Estiramiento y contracción horizontales, de

gráficas, 184-185

Estrellas, modelar brillo de, 415-437Euclides, 497Eudoxus, 859Euler, Leonhard, P1, 266, 310, 683Everest, Sir George, 472Expandir una expresión logarítmica, 326Expansión de binomios, 821-826Exponentes

enteros, 12-16enteros, exponentes cero y negativos, 13,

15-16enteros, notación exponencial, 12-13fraccionarios, 19, 31, 53Leyes de, 14-16, 19, 20, 302

negativos, 13, 15-16racionales, 19-20

Exponentes cero, 13Expresiones algebraicas, 24-34, 35

dominio de, 35multiplicar, 25-26

Expresiones fraccionarias, 35. Vea también Expresiones racionales

fracciones compuestas, 38-40resolver ecuaciones con, 52

Expresiones racionales, 35-44evitar errores comunes, 41fracciones compuestas, 38-40

multiplicar y dividir, 36-37racionalizar denominador o numerador,

40simplificar, 36suma y resta, 37-38

Extremos locales, de polinomios, 241-243,246

Factor cuadrático irreductible, 275, 695-697Factores cuadráticos, 275

irreductible, 275, 695-697Factores lineales, 275, 693-695Factorizar

ceros complejos y, 272completamente, 31desigualdades, 74-77diferencias de cuadrados, 29-30diferencias y sumas de cubos, 29, 30expresiones con exponentes fraccionarios,

31factores comunes, 27-29

hallar límite al cancelar factores comunes,852

polinomio de quinto grado, 257-258polinomios, 269-271, 272por agrupación, 31-32por prueba y error, 28, 29resolver ecuaciones trigonométricas al,

521-522Teorema de Factorización Completa, 270-

271trinomios, 28-29

Familiade ecuaciones, 56

de funciones exponenciales, 304de funciones logarítmicas, 317de funciones potencia, 154-155de polinomiales, 242-243de rectas, graficar, 113

Fechner, Gustav, 320Fermat, Pierre de, 20, 83, 266Ferrari, 263Fibonacci, Leonardo, 787Figura de Lissajous, 568Finanzas

matemáticas para, 808-814modelado usando sistemas lineales, 645-

646

Flujo laminar, ley de, 151Foco

de una cónica, 766de una elipse, 732, 735, 736de una hipérbola, 741, 745-746de una parábola, 724, 726, 732primo, 732

Forma compleja de un vector, 581-582,603

Forma de dos puntos de intersección de laecuación de una recta, 117

Forma de pendiente e intersección de laecuación de una recta, 109


81/95

Índice

Forma de punto pendiente de la ecuación deuna recta, 108-109

Forma escalonada por renglonesde una matriz, 652-654, 655-658reducida, 652, 654-655resolver ecuaciones lineales, 653, 655soluciones de un sistema lineal en, 655-

658Forma exponencial, 315-316Forma logarítmica, 315-316Forma normal, de la ecuación de una circun-

ferencia, 88Forma polar de números complejos, 556-559Forma reducida escalonada por renglones de

una matriz, 652, 654-655Forma triangular, de sistemas lineales, 641Fórmula cuadrática, 49-50

discriminante de, 50soluciones complejas y, 268usando Teorema de Ceros Racionales y,

255-256

Fórmula cúbica, 263cicloide acortado (trocoide), 570tiras curvadas cúbicas, 223, 234

Fórmula de Cambio de Base, 328-329Fórmula de Contracción de Lorentz, 856Fórmula de Herón, 479-480Fórmula de la distancia, 84-85, 547

en tres dimensiones, 599-600Fórmula de presión atmosférica, 33Fórmula del punto medio, 85Fórmula del triple ángulo, 509Fórmulas de adición y sustracción, 500-507Fórmulas de ángulo doble, 507, 508-509,

517, 760Fórmulas de productos notables, 26-7, 34Fórmulas de producto-suma, 507, 512-514Fórmulas de reducción, 386, 406Fórmulas de semiángulos, 507, 509-511Fórmulas de suma a producto, 513-514Fórmulas de sustracción y adición, 500-507Fórmulas para factorizar, 29Fourier, Jean Baptiste Joseph, 394, 501Fracciones

compuestas, 38-40escribir decimales repetidos como, 805mínimo común denominador y sumar, 5-6parciales, 693-698

propiedades de, 5Fractales, 563, 804Frecuencia, movimiento armónico y, 413Fuerza

descomponer en elementos, 592-593modelar una, 586

Fuerza resultante, 586Función arccoseno, 408, 463Función arcseno, 407, 463Función biunívoca, 199-200

hallar inversa de, 202-203Función circular. Vea Funciones trigonomé-

tricas

Función compuesta, 192-195Función constante, 153Función cosecante, 377

curvas cosecantes, 403-404fórmula para, 452graficar, 400-401, 403-404inversa, 411

propiedades periódicas, 399relaciones trigonométricas, 443valores especiales de, 378

Función coseno, 377coseno inverso, 408-409, 462-464curvas de coseno, 388-389, 390, 394-395,

428-429curvas desplazadas, 391, 392-393fórmula de ángulo doble para, 508, 760fórmula de semiángulo para, 510fórmula de suma a producto para, 513fórmula del producto a suma para, 513fórmula para, 452fórmulas de adición y sustracción para,

500-501graficar, 386-388Ley de Cosenos, 476-483propiedades periódicas de, 387relaciones trigonométricas, 443suma de senos y cosenos, 504-505transformaciones de gráficas de, 388-393valores especiales de, 378

Función coseno hiperbólica, 313Función cotangente, 377

curvas cotangentes, 402, 403fórmula para, 452gráfica de, 400, 401-403

inversa, 411propiedades periódicas, 399relaciones trigonométricas, 443valores especiales de, 378

Función cuadrática, 224-232forma normal de, 224-225graficar, 224-225modelar con, 228-229valor máximo/mínimo de, 225-227

Función de costo, 156-157Función de demanda, 206Función de elevar al cuadrado, 143Función de identidad, 207Función definida por tramos, 145, 846

gráfica de, 155límite de, 854

Función entera máxima, 156, 159Función ZOOM, en calculadoras, 842Función exponencial, 301, 302-15

comparada con función de potencia, 305-306

familia de, 304gráficas de, 303-306interés compuesto, 306naturales, 310-315transformaciones de, 305, 311

Función Heaviside, 843

Función objetivo, 716, 717, 718, 719Función par, 185-186, 190, 198Función polinomial, 223, 232-246

como modelos, 296-298de grado n, 224, 232definida, 232

Función secante, 377

curvas secantes, 403, 404graficar, 400, 401, 403-404inversa, 410propiedades periódicas, 399valores especiales de, 378

Función seno, 377aplicaciones, 398curvas desplazadas, 391-392graficar, 386-388graficar transformaciones de, 388-393inversa, 406-408, 463propiedades periódicas de, 387valores especiales de, 378

Función seno hiperbólica, 313

Función tangente, 377curvas tangentes, 401-403graficar, 399-403inversa, 409-410, 463propiedades periódicas, 399valores especiales de, 378

Función valor absoluto, 156, 159Funciones, 141-222

álgebra de, 191combinación de, 190-198composición de, 192-195crecientes/decrecientes, 164-166de demanda, 206

definidas, 143-144dominio de, 158-159ecuaciones de, 158-159ejemplos comunes de, 142-143evaluación de, 144-146exponencial, 301, 302-315gráficas de, 152-161, 282-288, 291, 303-

306hallar valores de, de gráficas, 163-164identidad, 207impares, 185-186, 190, 198inversas, 200-204límites de, 840-848lineales, cantidad constante de cambio, 17

logarítmicas, 301, 315-324, 347-350máximo entero, 156métodos para representar, 147-149modelado con, 213-222modelado con, guías para, 215objetivo, 716, 717, 718, 719par, 185-186, 190, 198polinomiales, 223, 232-246, 296-298potencia, 154-155, 159, 305-306, 358-36promedio de cantidad de cambio y, 172-

179racionales, 277-292transformaciones de, 179-190


82/95

I6 Índice

trigonométricas. Vea Funciones trigono-métricas

uno a uno, 199-200, 202-203valores de máximo y de mínimo locales

de, 166-168Funciones continuas, 157, 233, 851Funciones de escalón, 156-157, 162

Funciones de potenciacomparadas con funciones exponenciales,305-306

gráficas de, 154-155, 159modelado con, 358-361

Funciones de raíz, 159Funciones exponenciales naturales, 310-315Funciones impares, 185-186, 190, 198Funciones inversas, 200-204

definidas, 201funciones lineales convertidas en, 207graficar, 203-204hallar, 201-203propiedades de, 201

Funciones linealescantidad constante de cambio, 176componer, 198definidas, 153gráficas de, 159

Funciones logarítmicas, 301, 315-336aplicaciones de, 337-338, 347-350familia de, 317gráficas de, 317-319, 321logaritmos comunes (base 10), 319-320propiedades de, 316

Funciones periódicas, 387, 394, 398Funciones racionales, 277-292

asíntotas de, 280-288asíntotas diagonales y comportamientofinal, 286-288

graficar, 282-288, 291inversa de, hallar, 203simples, 277-278transformaciones, 279-280, 291-292

Funciones recíprocas, 159Funciones trigonométricas inversas, 406-

412, 462-469despejar ángulos en triángulos rectos

usando, 464-465evaluar expresiones con, 465-467, 502-

504

función cosecante, 411función coseno, 408-409, 462-464función cotangente, 411función secante, 410función seno, 406-408, 463función tangente, 409-410, 463

Funciones trigonométricas, de ángulos, 433-492

ángulo de referencia y, 454-456definidas, 452relación con funciones trigonométricas de

números reales, 379, 453signos de, 454

Funciones trigonométricas, de númerosreales, 369-432

circunferencia unitaria, 370-377definidas, 377dominios de, 380identidades trigonométricas, 381, 382-

384

propiedades par-impar, 382relación con funciones trigonométricas deángulos, 379, 453

signos de, 380valores de, 380-382, 400

Funciones trigonométricas, inversas, 406-412, 462-469

evaluación de expresiones con, 502-504,512

Galerías susurrantes, propiedad de lareflexión usada en, 738

Galileo Galilei, 575, 576Galois, Evariste, 254, 263

Gaudí, Antoni, 776Gauss, Carl Friedrich, 269, 272, 652, 796Geometría de coordenadas, 83-96

circunferencias, 88-90graficar ecuaciones, 86-87plano de coordenadas, 83-84puntos de intersección, 87-88simetría, 90-91tridimensional, 597-603

Geometría de coordenadas tridimensionales,597-603

campos vectoriales en el espacio, 625-626

ecuación de una esfera, 600-601ecuaciones de planos en, 618-619ecuaciones de rectas en, 616-618fórmula de la distancia en, 599-600sistema de coordenadas rectangulares tri-

dimensionales, 598-599vectores en, 603-610

Geometría, analítica. Vea Cónicas; Elipses;Hipérbolas, Parábolas; Ecuacionesparamétricas

Gibbs, Josiah Willard, 611GIMPS (Great Internet Mersenne Prime

Search), 786Googol, 324

Googolplex, 324Grado de calentamiento/hora, 887Grados

como medida de ángulos, 434comparados con radianes, 435

Grads, medir ángulos con, 443Gráfica log-log, 360Gráfica semilogarítmica, 360Graficar funciones, 152-161

con una calculadora graficadora,154-155

funciones exponenciales, 303-306funciones logarítmicas, 317-319, 321

funciones racionales, 282-288, 291obtener información de, 163-172

Gráficasde campos vectoriales, 624-625de desigualdades no lineales, 703-705de ecuaciones con dos variables, 86-87de ecuaciones polares, 547-554

de función inversa, 203-204de números complejos, 555-556de polinomiales, 233-243de sistemas de desigualdades, 705-710desplazadas, 750-754desplazamiento, horizontal, 180-182estirar y contraer, 183-185reflejadas, 182-183, 184

Gráficas de dispersión, 130-135, 296, 357-358, 360

ajustar curvas senoidales a datos, 427-432

Gráficas por computadoraaplicación de matrices para la generación

de, 668-669, 693giro de una imagen, 765

Gráficas trigonométricas, 386-406de funciones cosecante y secante, 399,

400-401, 403-404de funciones seno y coseno, 386-388de funciones tangente y cotangente,

399-403de suma de seno y coseno, 505equipo de gráficas usado para, 393-395

Gran Levantamiento Trigonométrico deIndia, 472, 492

Gravedad, Ley de Newton de la, 46, 121,

171, 359, 626Great Internet Mersenne Prime Search(GIMPS), 786

Halley, Edmund, 852Hamilton, William Rowan, 611Hamming, Richard, 38Hardy, G. H., 802Heaviside, Oliver, 843Hilbert, David, 100, 683Hiparco, 444Hipérbolas, 723, 741-749

con centro en el origen, 742con eje transverso, 743-745

confocales, 749conjugadas, 748construcción de, 778-779definición geométrica de, 741degeneradas, 755desplazadas, 752-754ecuación de, 745-746giro de, 759hallar recta tangente a, 858-859trazar, 743-744

Hipocicloide, 570Hipótesis de inducción, 816Huygens, Christian, 567


83/95

Índice

Identidad aditiva, 4Identidad multiplicativa, 5Identidades

de cofunción, 494, 502de Pitágoras, 382, 457, 494fórmulas de adición y sustracción para,

502

par-impar, 494recíprocas, 381, 382, 457, 494trigonométricas, 381, 382-384, 456-458,

493, 494-500, 524-526Identidades de cofunción, 494, 502Identidades de Pitágoras, 382, 457, 494Identidades fundamentales, 382-384, 457,

494Identidades par-impar, 494Identidades recíprocas, 381, 382, 457, 494Identidades trigonométricas, 493, 494-500

de ángulos, 456-458de números reales, 381, 382-384fundamentales, 382-384, 457, 494

prueba de, 495-498simplificación de expresiones trigonomé-

tricas, 494-495solución de ecuaciones trigonométricas

usando para ello, 524-526Igualdad

de matrices, 661-662de vectores, 580, 582propiedades de, 44

Imagen de x bajo f , 143Imágenes CAT (Tomografía Asistida por

Computadora), 759Imágenes de resonancia magnética (MRI),

759Imágenes digitales, 668-669, 671-672Incidencia, ángulo de, 523Inclinación, ángulo de, 446Índice de refracción, 523Índice de suma, 790Inducción, matemática, P2, 814-820

conjetura y demostración, 814-815paso de inducción, 815-816principio de, 816-819sumas de potencias y, 818

Infinitolímites en, 865-869símbolo, 7

Ingreso principal en forma escalonada porrenglones, 652

Interés compuesto, 306-307, 309, 339anualidades y, 808-810fórmula para, 306usando ecuaciones logarítmicas para, 337-

338, 339Interés compuesto continuamente, 312Interés, sobre inversión, 58-59Intersecciones

de conjuntos, 7de intervalos, 8hallar puntos de intersección, 525-526

Intervalode funciones, 143de un proyectil, 529de una función inversa, 201hallar a partir de gráficas, 163-164

Intervalos, 7-8abiertos y cerrados, 7, 8

funciones crecientes/decrecientes, 165-166graficar, 7resolver una ecuación en un intervalo,

101uniones e intersecciones, 8valores de prueba para, 75-76

Invariantes bajo rotación, 763, 765Inversas de matrices, 672-677, 678Involuta de un círculo, 571

Lado inicial, de ángulos, 434Lado recto, 727, 741Lado terminal, de ángulos, 434

Lemniscatas, como gráfica polar, 552Leontief, Wassily, 810Levantamiento topográfico, 489-492

usando triangulación para, 472Ley de Beer-Lambert, 336,364Ley de Boltzmann, 171Ley de Boyle, 120, 122Ley de Cosenos, 476-483Ley de Enfriamiento, de Newton, 346-347,

352Ley de flujo laminar, 151Ley de Gravedad, 46, 121, 171, 359, 626Ley de Hooke, 122, 127, 886

Ley de la Palanca, 70-71, 729Ley de Newton de la Gravedad, 46, 121,171, 359, 626

Ley de Newton del Enfriamiento, 346-347,352, 837

Ley de Olvido (Curva de Olvido), 327,364

Ley de Senos, 469-475Ley de Snell, 523Ley de Stefan Boltzmann, 171Ley de Torricelli, 151, 206, 300Ley de Weber-Fechner, 349Ley del cuadrado inverso para sonido, 353Ley del péndulo, 122

Leyes de exponentes, 14-16, 302para exponentes racionales, 19-20

Leyes de Límites, 848-853hallar límites usando, 852-853límites en el infinito y, 867

Leyes de Logaritmos, 325-331Leyes de proyección, 481Limaçon, 551, 552Límites, 839-888

cantidades instantáneas de cambio, 861-862

de una función, 840-848especiales, 850-851

hallar con uso de álgebra y Leyes deLímites, 852-853

hallar por sustitución directa, 851-852límites izquierdos y derechos, 853-854Newton en, 859problemas de derivadas, 860-861problemas de recta tangente, 856-859

Límites bilaterales, 845, 853Límites de mano derecha, 845, 853-854Límites de sucesiones, 869-870

definidos, 869hallar, 870recursivas, 872

Límites en el infinito, 865-869definidos, 865en el infinito negativo, 866, 868funciones sin límite en el infinito, 868-

869hallar, 867-868

Límites inferiores, 256-257, 259Límites izquierdos, 845, 853-854

Límites superiores, 256-257, 258Límites unilaterales, 844-846, 853-854Límites, problemas de área, 839, 872-880

área bajo una curva, 877-879área bajo una gráfica, 884-886área definida, 876-879estimar área usando rectángulos, 873-874límite de aproximar sumas, 874-875modelar con, 884-886

Línea de vista, 446Linealización, 359-360

datos de potencia, 360datos exponenciales, 360

Líneas de campo vectorial, 627Líneas de flujo de campo vectorial, 627Líneas o curvas polinomiales, 223, 234,

238Litotripsia, propiedad de reflexión empleada

en, 738loga, 315Logaritmo de base 10, 319-329Logaritmos comunes (de base 10), 319-320Logaritmos naturales, 320-321Logaritmos, Leyes de, 325-331Longitud focal, 732Longitud, vectores, 580, 582, 583LORAN (Long RAnge Navigation), 747

Lotka, Alfred J., 679Luz de día, modelado de horas de, 416-417

Magnitudde fuerza gravitacional, 626de un terremoto, 348-349de una estrella, 330de vectores, 580, 582, 604

Mandelbrot, Benoit, 804Máquina universal, 182Máquina, función como, 143Marea, modelar altura de, 427-430Matijasevic, Yuri, 663


84/95

I8 Índice

Matrices, álgebra de, 661-672. Vea también Determinantes

aplicadas a gráficas por computadora,668-669

cuadrada, 672, 682-686de transición, 672, 679determinantes, 674, 682-693

ecuaciones matriciales, 667, 677-680estocásticas, 668girar imágenes en un plano, 765identidad, 672-673igualdad de matrices, 661-662multiplicación, 664-668Propiedad de Producto sin Cero, 681raíces cuadradas de matriz, 672rotación de fórmulas de ejes, 765singular, 677suma, diferencia y producto escalar, 662-

663Matrices, para resolver ecuaciones lineales,

649-661

eliminación de Gauss, 651-654forma escalonada por renglones, 652-654,

655-658forma escalonada por renglones reducida,

652, 654-655matriz aumentada, 649, 650matriz definida, 649operaciones elementales de renglón, 650-

651Matriz aumentada, 649, 650Matriz coeficiente, 677Matriz cuadrada, 672, 682-686Matriz de transición, 672, 679

Matriz singular, 677Máximo local, 166-168, 241Mayor que (>), 6MCD. Vea Mínimo Común Denominador

(MCD)Media aritmética, 799-800Media armónica, 799Media geométrica, 806Mediana, 93Medida de ángulo, 434-443Medida en radianes, de ángulos, 434-435,

437Mejor ajuste

ajuste exacto vs., 648

hallar, 130-135, 296-298medir, 134-135polinomios de, 296-298

Menor que (


85/95

Índice

racional, 2real. Vea Números realesreferencia, 373-375representar funciones con, 147, 148

Números complejos, 264-269definidos, 264forma polar (trigonométrica) de, 556-559

graficación de, 555-556multiplicación y división de, 558-559operaciones aritméticas con, 265-266raíces complejas de ecuaciones cuadráti-

cas, 267-268, 269raíces cuadradas de números negativos,

266-267raíces de, 560-562Teorema de De Moivre, 559

Números de Fibonacci, 663, 787-788, 791,794

Números de Mersenne, 786Números de referencia, 373-375

hallar valor de funciones trigonométricas

con, 380-381Números digitales, 30Números negativos, 4

raíces cuadradas de, 266-267Números primos, 786, 787Números racionales, 2

Octantes, 598Olvidar, Ley de (Curva de Olvido), 327, 364Ondas

estacionarias, 534-535viajeras, 533-534

Ondas estacionarias, 534-535

Ondas viajeras, 533-534Operaciones elementales de renglón, 650-651

Órbitas planetariasdescripción de Kepler de, 24, 123, 754excentricidades de, 738modelo de potencia para períodos planeta-

rios, 358perihelio y afelio, 740, 772

Origen (O), 6, 83, 542hipérbola con centro en, 742simetría con respecto a, 90

Pagos de hipoteca, 811-812

amortización de una hipoteca, 814Palabras, representar funciones con, 147,

148Palanca, Ley de la, 70-71, 729Papiro de Rhind, 694Par ordenado, de números, 83Parábolas, 703, 723, 724-732

como función cuadrática, 224con eje horizontal, 726-727con eje vertical, 725-726confocales, 757construcción de, 725definición geométrica de, 724

diámetro focal de, 727, 728ecuación de, 725familia de, 728gráfica de, 86gráfica de una, desplazada, 751-752lado recto de, 727punto focal de, 729-730

trazado de, 727-728Paralaje, 451Paralelepípedo, volumen de, 614-615Paralelogramo, área de, 613-614Parámetros, 56, 564, 565-566, 645Pareto, Vilfredo, 330Parte imaginaria, de números complejos,

264Parte real, de números complejos, 264Pascal, Blaise, 567, 818Paulos, John Allen, 135Pendiente

de rectas, 106-108que indica rapidez de cambio, 113-115,

173Pendiente de la recta tangente a una curva,

857-858, 859Péndulo, ley del, 122Perihelio, 740, 772Perilunio, 740Período, 390

amplitud y, 391-393movimiento armónico y, 413

Período medio de elementos radiactivos,344-345

Pi (π), valor de, 383Pitágoras, 219

Plano cartesiano, 83-84, 181. Vea también Plano de coordenadasPlano complejo, 555Plano de coordenadas, 1, 83-84, 598

coordenadas como direcciones, 84vectores en, 581-584

Plano xy, 598Plano xz, 598Plano yz, 598Plano(s)

campos vectoriales en, 624-625como gráfica de ecuación lineal con tres

variables, 643complejo, 555

de coordenadas, 1, 83-84, 598ecuación vectorial de, 618-619regiones limitadas y no limitadas, 707

Polinomios, 24adición y sustracción, 25ceros de, 236-241, 250-251comportamiento final de, 234-236, 237de mejor ajuste, 296-298definidos, 232división de, 246-252extremos locales de, 241-243factorización de, 269-271, 272familia de, 242-243

forma anidada, 252grados de, 24-25gráficas de, 233-243guías para graficar, 237producto de, 25-26Tchebycheff, 516

Polo. Vea Origen (O)

Polya, George, P1Porcentaje anual de rendimiento, 307Posición normal, de ángulos, 435-437Potencias

fórmul

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