Resposta de circuitos RC e RL

Prof. Luis S. B. Marques

MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO SECRETARIA DE EDUCAÇÃO PROFISSIONAL E TECNOLÓGICA INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DE SANTA CATARINA CAMPUS JOINVILLE

DEPARTAMENTO DO DESENVOLVIMENTO DO ENSINO COORDENAÇÃO ACADÊMICA EletroEletronica

Introdução• Inicialmente estudaremos circuitos RL e RC livres

de fontes. Veremos que as respostas resultam das energias armazenadas nos elementos dinâmicos. Esta resposta é conhecida como resposta natural.

• Prosseguindo, iremos considerar os circuitos RL e RC nos quais as funções de alimentação são fontes independentes constante que são aplicadas repentinamente. A resposta consiste de duas partes: uma resposta natural e uma resposta forçada.

Circuito RC sem fontes

0=+Rv

dtdvC

• Aplicando LKC ao nó superior:

0=+CRv

dtdv

vCRdt

dv⋅−=

1dt

CRvdv

⋅−=1

oVv =)0(

•Integrando.......

• Equação diferencial autônoma

Circuito RC sem fontes

KRCtv +−=ln

∫∫ −= dtCRv

dv 1

KVv o == ln)0(ln

• A constante K deve ser escolhida de tal forma que a condição inicial v(0)=Vo seja satisfeita. Portanto, em t=0 tem-se que:

Circuito RC sem fontes

oVRCt

v lnln +−=

RCt

Vv o −=− lnln

RCt

Vv

o

−=ln

• Substituindo o valor para a constante K:

RCt

o eVtv−

⋅=)(

Circuito RC sem fontes

A tensão varia Exponencialmente

Constantes de tempo

• Em redes que contêm elementos armazenadores de energia é útil caracterizar a velocidade com a qual a resposta natural decresce.

• Percebe-se, em circuitos RC, que quanto menor o produto RC mais rapidamente a resposta natural decresce.

Constantes de tempo

Constante de tempo• O tempo para que

a resposta natural decresça de um fator 1/e é definido como constante de tempo do circuito, denominada

• A resposta, ao final de uma constante de tempo, fica reduzida a 0,368 do seu valor inicial.

• Ao final de cinco constantes de tempo a resposta é multiplicada pelo fator , ou seja, pode-se considerar a resposta igual a zero.

Constante de tempo• Ao final de duas

constantes de tempo a resposta é multiplicada pelo fator: 2−e

5−e

Circuito RL sem fontes

0=+ RidtdiL

• Aplicando LKT:

0=+ iLR

dtdi

iLR

dtdi

⋅−= dtLR

idi

⋅−=

Circuito RL sem fontes

KLRti +−=ln

∫∫ −= dtLR

idi

KIi o == ln)0(ln

Circuito RL sem fontes

oILRt

i lnln +−=

LRt

Ii o −=− lnln

LRt

Ii

o

−=ln

• Substituindo o valor para a constante K:

tLR

o eIti−

⋅=)(

Circuito RL sem fontes

RL

=τ

• Visto que a resposta natural também é uma função exponencial, como no circuito RC, essa resposta também possui uma constante de tempo. De forma análoga, a constate de tempo para o circuito RL é:

Resposta a uma função de excitação constante

•Até então temos estudado a resposta somente devida à energia armazenada em capacitores e indutores. Iremos agora estudar circuitos que, além da energia armazenada, são excitados por fontes de tensão ou corrente constantes, ou ainda, funções de excitação.

• Para estes circuitos as respostas serão compostas de duas partes, sendo uma delas constante.

Rede RC excitada

oVv =− )0(

0=++−dtdv

CRv

Io

•Considere que a tensão inicial sobre o capacitor é:

•Escrevendo a equação nodal

CI

dtdv

RCv o=+

RCRIv

dtdv o )( −

−=

RCdt

RIvdv

o

−=− )(

•Integrando.......

Rede RC excitada

∫∫ −=−

dtRCRIv

dv

o

1)(

oRIvu −=

∫∫ −= dtRCu

du 1

dvdu =Kt

RCu +−=

1ln

KtRC

RIv o +−=−1)ln(

o

KRCt

RIev +=+−

KeA =

oRCt

RIAev +=−

Rede RC excitada

oRCt

RIAev +=−

Resposta naturalResposta forçada

•Iremos agora avaliar a constate A

oVvv == +− )0()0(

oRIAev += 0)0(

• Substituindo em t=0+

oo RIAV +=

oo RIVA −=

oRCt

oo RIeRIVv +⋅−=−

)(

Rede RC excitada

Resporta natural

Resporta forçadaResporta completa

A função Degrau unitário•A função degrau unitário é uma função que é igual a zero para todos os valores negativos de seu argumento, e um para todos os valores positivos de seu argumento.

• A função degrau unitário pode ser usada para representar tensões ou correntes com descontinuidades finitas. Por exemplo, um degrau de V volts pode ser representado pelo produto Vu(t).

⎩⎨⎧

>

<=

0,10,0

)(tt

tu

Circuito RC com degrau de tensão

0)(=+

−

dtdvC

Rtuv

RCtu

RCv

dtdv )(

=+

0=+RCv

dtdv

RCt

Aev−

= •Para t<0 a equação torna-se:

•Cuja solução é:

•Inicialmente a energia armazenada no capacitor é zero.

0,0)( <⎯→⎯= ttv se

00)0( =⇒=− Av

Circuito RC com degrau de tensão

RCdtdv

RCv 1

=+

forçadanatural vvv +=

•Para t>0 a equação torna-se:

•Sabe-se que:

1=fv

RCt

n Aev−

=

0)(=+

−

dtdvC

Rtuv

RCtu

RCv

dtdv )(

=+

(por inspeção)

Circuito RC com degrau de tensão

1+=−RCt

Aev

•Portanto:

0,1)( >−=−

tetv RCt

10)0( −=⇒=+ Av•Escrevendo a solução encontrada de forma mais elegante:

)(1)( tuetv RCt

⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

−

Circuito RL com degrau de tensão•Inicialmente a energia armazenada no indutor não é nula.

Circuito RL com degrau de tensão

Chaveamento sequencial•Sempre que o chaveamento ocorre mais de uma vez em um circuito temos o chaveamento sequencial.

•O processo de solução desse tipo de problema envolve a determinação de expressões para v(t) e i(t) para uma dada posição da chave e então utiliza-se essas expressões para determinação das condições iniciais para a próxima posição da chave.

Amplificador-integrador

Amplificador-integrador

•A tensão de saída de um amplificador integrador é igual à tensão inicial no capacitor mais a integral da tensão de entrada multiplicada por um fator igual a -1/RsCf.