Resueltos

Tema 1

Ejercicios resueltos deMuestreo

Ejercicio 1 Sea una población �nita de 4 elementos: P = f3; 4; 1; 2g : Seconsideran muestras de 3 elementos que se suponen extraidos y no devueltos ala población y que el muestreo es aleatorio simple. Las muestras se considerandistintas si se diferencian en algún elemento. Se pide: 1) Escribir todas lasmuestras posibles 2) Calcular la probabilidad de cada muestra. 3) Calcula lamedia, �; la varianza, �2 de la población. 4) Calcula la media, x; la varianza,S2; y la cuasivarianza, s2c de cada muestra. 5) Describe las funciones deprobabilidad de estos estadísticos. 6) Calcula la esperanza E(x); y decidesi x es un estimador centrado o insesgado de la media de la población 7)Calcula la esperanza S2;y de s2c y decide si alguno de estos estadísticos sonestimadores centrados o insesgados de la varianza de la población. 8) Cálculala varianza de x: 9) Comprueba la concordancia de los valores obtenidos enlos anteriores apartados con los resultados teóricos.

1. Las muestras posibles son f3; 4; 1g ; f3; 4; 2g ; f3; 1; 2g ; f4; 1; 2g :

2. La probabilidad de extración de cada una de estas muestra es 14 =1

(43)=

0:25

3. La media de P = f3; 4; 1; 2g es � = 2:5 y su varianza es �2 = 1:25

4. Las medias varianzas y cuasivarianzas de cada una de estas muestrasestán dadas en la tabla siguiente:

muestra media,x Varianza, S2 cuasivarianza,s2cf3; 4; 1g 2:b6 1.b5 2.b3f3; 4; 2g 3 0.b6 1f3; 1; 2g 2 0.b6 1f4; 1; 2g 2:b3 1.b5 2.b3

1

2 TEMA 1. EJERCICIOS RESUELTOS DE MUESTREO

5. La función de probabilidad de la medias de la muestra es la siguiente:x Probabilidad2:b6 1/43 1/42 1/42:b3 1/4

La función de probabilidad de la varianza de la muestra es:S2 cuasivarianza1.b5 1/20.b6 1/2

La función de probabilidad de la cuasivarianza de la muestra es:s2c cuasivarianza2.b3 1/21 1/2

6. La esperanza de la media de las muestra, teniendo en cuenta su funciónde probabilidad es.

E(x) = 2:666667� 14 + 3�

14 + 2�

14 + 2:333333�

14 = 2: 5 = �:

por tanto x es un estimador insesgado de la media poblacional �:

7. La esperanza de la varianza de la muestra, teniendo en cuenta su funciónde probabilidad es.

E(S2) = 1:5555556� 12 + 0:6666667�

12 = 1: 111 1

La esperanza de la cuasivarianza de la muestra, teniendo en cuenta sufunción de probabilidad es.

E(s2c) = 2:3333333� 12 + 1�

12 = 1: 666 667

Ninguna de estas esperanzas coincide con la poblacional,�2 = 1:25;así que ninguno de estos estadísticos son estimadores centrados de lavarianza de la población.

8. La varianza de la media muestral es:

V ar(x) = E(x) = 2:6666672� 14+3

2� 14+2

2� 14+2:333333

2� 14�2:5

2 =0:138 89

9. En el caso del muestreo aleatorio simple sin reemplazamiento se cumple:

a) La esperanza de la media muestral es la media poblacional, tal comose ha puesto de mani�esto en el apartado 6)

b) E(s2c) = �2 NN�1 = 1:25 � 4

3 = 1: 666 7; así que ahora la cuasivari-anza de la muestra es un estimador insesgado de la cuasivarianza de lapoblación, coincidiendo con el resultado del apartado 7)

3

Por otra parte:

E(S2) = E(s2cn�1n ) = E(s2c)

n�1n = �2 N

N�1n�1n = 1: 666 7� 2

3 = 1: 111 1

coincidiendo con el valor obtenido en el primer cálculo del apartado 7).

c) V ar(x) = �2

n (1 �n�1N�1) =

1:253 (1 �

23) = 0:138 89 que es el valor

obtenido para la varianza de la media muestral en el apartado 8).

Ejercicio 2 Considerando en la población P = f3; 4; 1; 2g ya dada en elproblema 1, se realiza un cierto tipo de muestreo en el que las únicas mues-tras posibles son f3; 4; 1g y f4; 1; 2g ; con la distribución de probabilidad ycaracterísticas indicada en la siguiente tabla

muestra Probabilidad media,x Varianza, S2 cuasivarianza,s2cf3; 4; 1g 0.3 2:b6 1.b5 2.b3f4; 1; 2g 0.7 2:b3 1.b5 2.b3

1. Calcular la esperanza, la varianza, el sesgo y el error cuadrático mediodel estadístico x

2. ¿Es mejor este tipo de muestreo, o el aleatorio simple del problema 1,para estimar la media poblacional?.

1. E(x) = 2:6666667� 0:3 + 2:3333333� 0:7 = 2: 433 3V ar(x) = 2:66666672�0:3+2:33333332�0:7�2: 433 32 = 2: 349 5�10�2

Sesgo(x) = E(x)� � = 2:4333� 2:5 = �0:066 7ECM(x) = E(x��)2 = E

�x2 � 2x�+ �2

�= E

�x2��2�E (x)+�2 =�

2:66666672 � 0:3 + 2:33333332 � 0:7��2�2:5�2: 433 3+2:52 = 0:02:

794 4:

También podíamos haber empleado la expresión:

ECM(x) = V ar(x) + Sesgo2(x) = 0:023495 + (�0:0667)2 = 2: 794 4�10�2

Este estimador no es centrado como el del muestreo aleatorio simple,pero a cambio tiene menos varianza. Para decidir entre ambos com-paramos los errores cuadrático medio del estadístico x:

2. Calculamos el error cuadrático medio del primero, es decir, del muestreoaleatorio simple:

ECM(x) = V ar(x) + Sesgo2(x) = 0:138892 + 02 = 0:019 29:

Como el error cuadrático medio es mejor en el caso del muestreo aleato-rio simple, preferimos este tipo de muestreo.


Ejercicio 3 Para estimar la media de una cierta variable se ha dividido losdatos de la variable en 4 estratos. Cada uno de estos estratos contiene elnúmero de elementos que se indica:

Estrato 1 Estrato 2 Estrato 3 Estrato 4Tamaño del estrato 110 512 653 221

1. Si se desea extraer una muestra que globalmente contenga 150 elemen-tos, ¿Cuántos elementos han de asignarse han de seleccionarse de cadaestrato.

2. Una vez seleccionada esta muestra, se ha estimado la media y la var-ianza de cada estrato, usando los valores muestreados dentro de el,obteniéndose los valores siguientes.

Estrato 1 Estrato 2 Estrato 3 Estrato 4media de la muestra 48.3 151 62.5 321Cuasivarianza de la muestra 25.1 121.2 26.5 423.7

A partir de estos datos realizar un estimación para la media y de lavarianza de esta estimación

1. Para calcular el tamaño de la muestra de cada estrato en la a�jaciónproporcional usamos la siguiente relación:

n1N1

=n2N2

= � � � = nlNl=n

N) ni = Ni

n

N= n

NiN

El tamaño de la población es: N = N1 +N2 +N3 +N4 = 110 + 512 +653 + 221 = 1496: Por tanto:

n1 = nN1N = 150� 110

1496 = 11: 029 � 11n2 = n

N2N = 150� 512

1496 = 51: 337 � 51n3 = n

N3N = 150� 653

1496 = 65: 475 � 66n1 = n

N4N = 150� 221

1496 = 22: 159 � 22:Se ha redondeado por exceso el mayor de ellos para conseguir que elnúmero de elementos de la muestra global sea 150.

2. Resumiendo la información que tenemos hasta ahora:

Estrato 1 Estrato 2 Estrato 3 Estrato 4Tamaño del estrato 110 512 653 221Tamaño de la muestra 11 51 66 22media de la muestra 48.3 151 62.5 321Cuasivarianza de la muestra 25.1 121.2 26.5 423.7

5

X =Phi=1

NiN xi =

1101496 � 48:3+

5121496 � 151+

6531496 � 62:5+

2211496 � 321 =

129: 93;

V ar(X) =Phi=1

�NiN

�2 (sc)2ini

Ni�niNi

=�1101496

�2�25:111

110�11110 +

�5121496

�2 121:251

512�51512 +�

6531496

�2 26:566

653�66653 +

�2211496

�2 423:722

221�22221 = 0:708 96

Ejercicio 4 Con los mismos datos del ejercicio 3, realizar todos los aparta-dos del mismo, sustituyendo en el enunciado la a�jación proporcional por laóptima.

1. Para calcular el tamaño de la muestra de cada estrato en la a�jaciónóptima usamos la siguiente relación:

n1�1N1

=n2�2N2

= � � � = nl�lNl

=nPl1 �iNi

)

) ni = �iNinPl

j=1 �jNj= n

�iNiPlj=1 �jNj

Estimando la varianza de la población la cuasivarianza de la muestra.Plj=1 sjNj = s1N1 + s2N2 + s3N3 + s4N4 = 110

p25:1 + 512

p121:2 +

653p26:5 + 221

p423:7 =

551: 10 + 5636: 7 + 3361: 5 + 4549: 1 = 14098: Por tanto:

n1 = ns1N1Plj=1 sjNj

= 150� 551:1014098 = 5: 863 6 � 6


= 150� 5636:714098 = 59: 973 � 60


= 150� 3361:514098 = 35: 766 � 36


= 150� 4549:114098 = 48: 402 � 48

Resumiendo la información que tenemos hasta ahora:

Estrato 1 Estrato 2 Estrato 3 Estrato 4Tamaño del estrato 110 512 653 221Tamaño de la muestra 6 60 36 48media de la muestra 48.3 151 62.5 321Cuasivarianza de la muestra 25.1 121.2 26.5 423.7

2. X =Phi=1

NiN xi =

1101496 � 48:3+

5121496 � 151+

6531496 � 62:5+

2211496 � 321 =

129: 93;

V ar(X) =Phi=1

�NiN

�2 (sc)2ini

Ni�niNi

=�1101496

�2�25:16

110�6110 +

�5121496

�2 121:260

512�60512 +�

6531496

�2 26:536

653�36653 +

�2211496

�2 423:748

221�48221 = 0:513 58


Ejercicio 5 Considerando como población los número naturales impares del1 al 40 estima la media poblacional por medio de una muestra aleatoria de 8elementos usando las siguientas técnicas de muestreo:

1. Extrayendo la muestra por medio de un muestreo aleatorio simple consustitución.

2. Considerando la población en dos estratos: El primer estrato formadopor los números de 1 a 10 y el segundo por los números del 10 al 40.Usar asignación proporcional.

3. Considerando la población en dos estratos: El primer estrato formadopor los números de 1 a 10 y el segundo por los números del 10 al 40.Usar asignación óptima.

4. Usando un muestreo sistemático.

1. La población es P = f1; 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15; 17; 19; 21; 23; 25; 27; 29; 31; 33; 35; 37; 39g :con N = 20 Para seleccionar una muestra de 10 elementos usaremosel siguiente procedimiento: Tomamos una tabla de numeros aleatoriosy consideramos 20 grupos de dos cifras. Los números obtenidos poreste procedimiento en la tabla son 03 47 43 73 86, etc. Dividimos estosnúmeros por 100, para conseguír un número comprendido entre 0 y 1.A continuación los multiplicamos por 20 y elegimos la parte entera. +1para conseguir el orden del número que hay que seleccionar. Vamos aseleccionar detalladamente los tres primeros:

0:03�20+1 = 1: 6: El primer elemento de la muestra es el 1, que ocupael lugar correspondiente a la parte entera.

0:47 � 20 + 1 = 10: 4: El segundo elemento es el 19 (ocupa el lugardécimo)

0:43� 20 + 1 = 9: 6: El tercer elemento es el 17No obstante, como este método sería muy tedioso, por lo que se hausado un procedimiento de Excel para seleccionar muestras de unapoblación (seleccionar: herramientas ! análisis de datos ! muestra):Por este procedimiento se ha obtenido la muestra de 8 elementos sigu-iente

f7:3; 37; 29; 3; 19; 17; 19g cuya media resulto ser xalea = 16:75:

2. La asignación proporcional consiste en elegir 2 elementos del primerestrato y 6 del segundo estrato. Realizando este trabajo con excel sehan obtenido las muestras de los dos estratos siguientes: M1 = f7; 3g yM2 = f19; 11; 19; 37; 29; 17g :La media del primer estrato es 5 y la del

7

segundo estrato 22 estimando ahora la media de la muestra del globalresulta:

xprop =28 � 5 +

68 � 22 = 17: 75

3. Para estimar la desviación de los estratos usamos la cuasidesviación delos estratos extraidos en el apartado 2, cuyos valores son 2.83 y 9.36respectivamente.

N1s1 = 5� 2:83 = 14: 15N2s2 = 15� 9:38 = 140: 7N1s1 +N2s2 = 14:15 + 140:7 = 154: 85:

Así que la signación óptima se realiza de la siguiente forma:

n1 = 8� 14:15154:85 = 0:731 03

n2 = 8� 140:7154:85 = 7: 269 0

Redondeando a los enteros más cercanos seleccionamos 1 elemento delprimer estrato y 7 del segundo estrato. realizando de nuevo la seleccióncon Excel obtenemos las dos muestras de cada estrato M1 = f9g yM2 = f25; 35; 29; 15; 15; 21; 17g : La media de la primera muestra es 9y la media de la segunda es 22.43.

La estimación de la media poblacional usando la a�jación óptima haresultado ser:

xopt =28 � 9 +

68 � 22:43 = 19: 073:

Considerando que la media de la población total es 20 resulta que laa�jación óptima da mejor resultado que la a�jación proporcional. Elpeor resultado se consigue con el muestreo aleatorio. Este resultado noes sorprendente, ya que se demuestra que las varianzas de las estima-ciones de las medias en el muestreo aleatorio es mayor que la varianzade la estimación en el estrati�cado con asignación proporcional y estaa su vez mayor que la varianza de la estimación con a�jación óptima:

V ar(xalea) � V ar(xprop) � V ar(xopt)

4. Hemos sorteado el primer elemento que resultó ser 35 el primer. Paraseleccionar el intervalo del número de orden entre un elemento y otrohemos calculado 208 = 2: 5. Como no resulta exacto, podríamos elegir unnúmero cada dos elementos o un número cada seleccionado 3, elementos.Seleccionando un elemento para la muestra cada tres elementos de lapoblación y comenzando por 35 se ha obtenido la siguiente muestrasistemática:f35; 1; 7; 13; 19; 25; 31; 37g : La estimación de la media conesta muestra es: xsist = 35+1+7+13+19+25+31+37

8 = 21


Tema 2

Ejercicios resueltos deEstimación

Ejercicio 6 Consideremos la variable aleatoria cuya función de densidades f(x; �) = 1

�e� 1�x para x� 0 y � > 0: Supongamos que disponemos de

dos estimadores posible de �; basados en muestras aleatorias simples de treselementos:

�1 =x1+x2+x3

2 ; �2 =x1+x2+x3

4 :Se pide:

1. Deducir si estos estimadores son insesgados y, si procede calcular susesgo.

2. Deducir cuál de estos estimadores es más e�ciente.

3. Seleccionar cuál de ellos es mejor estimador.

4. Calcular el error cuadrático medio de ambos estimadores.

5. Si consideramos muestra de n elementos y los estimadores de � :

�1 =x1+x2+��+xn

n�1 ; �2 =x1+x2+��+xn

n+1 : ¿Son estos estimadores consis-tentes?

1. E(�1) = E�x1+x2+x3

2

�= 1

2 [E(x1) + E(x2) + E(x3)] =32E(x) =

32�; ya

que la variable x es exponencial

E(�2) = E�x1+x2+x3

4

�= 1

4 [E(x1) + E(x2) + E(x3)] =34E(x) =

34�

El sesgo del primero es�� 3

2�� = 1

2�

El sesgo del segundo es�� 3

4�� = 1

4�

Ninguno de los estimadores es insesgado, y el segundo es, en este as-pecto, mejor que el primero, porque tiene menos sesgo.

9

10 TEMA 2. EJERCICIOS RESUELTOS DE ESTIMACIÓN

2. V ar(�1) = V ar�x1+x2+x3

2

�= 1

4V ar (x1 + x2 + x3) =34V ar(x) =

34�2

ya que la varianza de la x es �2:

V ar(�2) = V ar�x1+x2+x3

4

�= 1

16V ar (x1 + x2 + x3) =316V ar(x) =

316�

2:

El segundo estimador tiene menor varianza, así que es más e�ciente queel primero.

3. Considerando estos dos aspectos es mejor el segundo, ya que ademásde tener menos sesgo, tiene menos dispersión.

4. ECM(�1) = V ar(�1) + sesgo2(�1) = 34�2 + 1

4�2 = �2

ECM(�2) = V ar(�2) + sesgo2(�2) =

316�

2 + 116�

2 = 14�2

5. Tiene que cumplirse: limn!1E(T ) = � y limn!1Var(T ) = 0

limn!1E(�1) = E�x1+x2+��+xn

n�1

�= limn!1

1n�1 [E(x1) + E(x2) + � � �+ E(xn)] =

limn!1nn�1E(x) = �:

Veamos si �1 cumple también la segunda propiedad:

limn!1Var(�1) = limn!1Var�x1+x2+��+xn

n�1

�= limn!1

1(n�1)2nV ar(x) =

limn!1n

(n�1)2 �2 = 0� �2 = 0:

Así que �1 es un estimador consistente de �. Por un razonamientoparecido puede comprobarse que también �2 es un estimador consistentede �:

Ejercicio 7 Dada una distribución binomial B(n,p) y sus muestras de treselementos fx1; x2; x3g, comprobar que el estimador de p conseguido por elmétodo de los momentos igualando la media muestral y la media poblacionales al mismo tiempo un estimador de máxima verosimilitud para p.

Calculamos la expresión del estimador. La media poblacional es, en elcaso de la binomial np la media muestral de las muestras de tres elementoses:

: Igualando ambas expresiones obtenemos:np = x = x1+x2+x3

2 : Despejando p; se obtiene bp = xn :

Hallamos ahora el estimador de máxima verosimilitud para p:La función de verosimilitud, sería ahora el producto de las probabilidades

correspondientes a los valores de la muestra:Como la función de probabilidad de la binomial es, llamando x a la vari-

able, P (X = b) =�nb

�pb(1� p)n�b; entonces la función de verosimilitud sería:

V (x1; x2; x3; p) =h�

nx1

�px1(1� p)n�x1

i h�nx2

�px2(1� p)n�x2

i h�nx3

�px3(1� p)n�x3

i=

px1+x2+x3(1� p)3n�(x1+x2+x3)

11

ln [V (x1; x2; x3; p)] = lnh�

nx1

��nx2

��nx3

�i+(x1+x2+x3) ln p+[3n� (x1 + x2 + x3)] ln(1�

p)Hallando ahora la derivada con respecto a p e igualando a 0 obtenemos

(x1 + x2 + x3)1p � [3n� (x1 + x2 + x3)]

��11�p

�= 0;

Ejercicio 8 x1+x2+x3p = 3n�(x1+x2+x3)

1�p ;

Despejando p obtenemos bp = x1+x2+x33n = x

n : Por lo tanto el estimador quese había obtenido por el método de los momentos es también el de máximaverosimilitud. Conviene sustituir este valor de p en la derivada segunda paraasegurarse que es un máximo y no un mínimo (La derivada segunda ha deser negativa). Como el intervalo de de�nición de p es cerrado se debe hallarla verosimilitud en los extremos de p que son 0 y 1. Pero se puede observarfácilmente que V (x1; x2; x3; 0) = 0 y V (x1; x2; x3; 1) = 0:

Ejercicio 9 La siguiente tabla es la tabla de frecuencias de la edad en mesesen la que empezaron a andar una m. a. s. de 240 niños.

Edad 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20frecuencia 13 35 44 69 36 24 7 3 2 5 1 1

1. Construir una Diagrama de Barras para la variable edad. A la vista deesta grá�ca decida si la variable edad parece ser normal y si el promediode la muestra se distribuirá como una normal.

2. Calcular la media, el error estándar y un intervalo de con�anza parala edad media en que estos niños han comenzado a andar.

3. Si se desea que el margen de error sea de sólo de 0.5 meses, ¿Cuán-tos niños debería contener la muestra manteniendo el mismo nivel decon�anza

1. El Diagrama de barras presenta este aspecto:La distribución de la edadno parece normal, pues no parece que la grá�ca sea simétrica. Noobstante, el promedio de edad, según el teorema central del límite seaproximará a una normal, ya que el tamaño de la muestra es amplio(n = 240 >> 30):

2. La media es:

x = 1N

PNn=1 nixi =

1240(13� 9 + 35� 10 + � � �+ 20� 1) = 12:08 meses

El error estándar de la muestra es scpn; Para calcular sc usamos la

expresión:


Diagrama de barras para edad

01020304050607080

9 11 13 15 17 19

edad

frecu

enci

as

frecuencias

s2c =NN�1S

2 = NN�1

�1N

PNn=1 nix

2i � x2

�=

= 240239

�1240(13� 9

2 + 35� 102 + � � �+ 1� 202)� 12:082�= 3:71

Error estándar = scpn=p3:71=

p240 = 0:124 33. Este valor es una

estimación de la deviación típica del promedio de edad para muestrascon 240 elementos.

Para calcular el intervalo de con�anza hay que considerar que la vari-anza es desconocida. Por tanto el intervalo de con�anza sería:

(x�tn�1;1��2

scpn; x+tn�1;1��

2

scpn): No obstante como la muestra es muy

grande puede sustituirse la t de Student por la normal estándar. Asíque este intervalo se obtendría:

(x � z1��2

scpn; x + z1��

2

scpn) = (12:08 � 1:96 � 0:124 33; 12:08 + 1:96 �

0:124 33) = (11: 836; 12: 324)

3. El error de precisión es z1��2

scpn

Asi que queremos que z1��2

scpn< 0:5

1:96 �p3:71pn

� 0:5: Despejando n � 57: 009: Por lo tanto la muestradebería contener al menos 58 niños.

13

Ejercicio 10 Calcular estimadores de máxima verosimilitud para los parámet-ros � y � de una distribución normal, suponiendo que ambos parámetros sondesconocidos. Considerar muestras de muestras con 3 elementos

En este caso la función de densidad es: 1�p2�e�

12(

x�� )

2

, así que la funciónde verosimilitud será:

L (x1; x2; ::::xn; �) = f (x1; �) f (x2; �) :::f (xn; �) =

= 1�p2�e� 12

�x1��

�21

�p2�e� 12

�x2��

�21

�p2�e� 12

�x3��

�2El logaritmo neperiano de esta función de verosimilitud es:

3 ln 1�p2�� 1

2

�x1��

�2 � 12

�x2��

�2 � 12

�x3��

�2Considerando las derivadas parciales con relación a � y a � e igualando

ambas a 0, se obtiene el sistema. La derivada con respecto a � igualada a 0es:

0� 22

�x1��

� �� 1�

�� 2

2

�x2��

� �� 1�

�� 2

2

�x3��

� �� 1�

�= 0

�3 1� ��x1��

�

�(x1 � �)

�� 1�2

��x2��

�

�(x2 � �)

�� 1�2

��x3��

�

�(x3 �

�)�� 1�2

�= 0

Despejando de la primera ecuación �, obtenemos su estimación máximo-verosímil:

�̂ = x1+x2+x33 = x

Sustituyendo esta expresión en la segunda ecuación del sistema obten-emos, trás multiplicar por � :

�3+ (x1�x)2 1�2 +(x2�x)2 1�2+(x3�x)2 1�2 = 0: despejando se obtiene:

c�2 = (x1 � x)2 + (x2 � x)2 + (x2 � x)23

Así que la varianza muestral es estimador de máxima verosimilitud de �2;que es una propiedad deseable para un estimador, teniendo sin embargo elinconveniente de no ser un estimador insesgado: El estimador de máximaverosimilitud para � es la desviación típica de la muestra.

b� =r(x1 � x)2 + (x2 � x)2 + (x2 � x)23

Ejercicio 11 Sea una variable aleatoria cuya función densidad viene dadapor f(x) = ax2; 0 � x � �::Se pide:

1. Calcular el valor de a en función de �:


2. Se ha extraido una muestra de 4 elementos de esta distribución, f2; 3; 3:5; 4g :Se pide calcular una estimación de máxima verosimilitud para el parámetro�

3. Usando la media anterior hallar una estimación para � por el métodode los momentos.

4. Considerando muestras de n elementos calcula un estimador de � porel método de los momentos calcula su media, su varianza, su sesgo, ysu consistencia.

5. Una muestra de 60 elementos de esta distribución tiene una media de24. Estima el valor de � y calcula un intervalo de con�anza al 90%(aproximadamente) para la media poblacional.

1.R �0

�ax2

�dx = 1

3a�3 = 1; a = 3

�3

2. La función de veromilitud para la muestra es:

V (2; 3; 3:5; 4;�) = 3�322� 3

�332� 3

�33:52� 3

�342 = 5: 715 4�105

�12:y 0 � x � �:

Esta última función nos indica que � ha de ser mayoro igual que losvalores de la muestra. Esta función es decreciente en el intervalo [0; �] ;y no está de�nida para � = 0; por lo que no tiene máximos relativosen este intervalo. Si hacemos su derivada observaremos que no puedeanularse. Así que habrá que usar otros recursos. Es obvio que mientrasmás pequeño sea �mayor será la función de verosimilitud,. pero ademásdebe ser mayor o igual que todos los valores de la muestra, el mejorvalor es el mayor valor de la muestra, y por tanto damos a � el valor 4,siendo este valor su estimación de máxima verosimilitud.

3. Igualamos la media muestral y la media poblacional. x = 2+3+3:5+44 =

3: 125:

La media poblacional es: � = E(x) =R �0 x

�3�3x2�dx = 3

4�: Igualando

ambas medias 3:125 = 34�; � = 4: 166 7:

4. 34� = x;

b� = 43x;

E(b�) = E(43x) =43E(

x1+x2+��+xnn ) = 4

3nnE(x) =43nn �

34� = �; asi

que es un estimador insesgado.

V ar(b�) = V ar �x1+x2+��+xnn

�= 1

n2nV ar(x) = V ar(x)

n :

Calculamos ahora la varianza de x:

V ar(x) =R �0 x

2�3�3x2�dx �

�34��2= 3

5�2 �

�34��2= 3

80�2: Por tanto

V ar(b�) = 3�2

80n

15

Como el estimador es insesgado y el límite de la varianza es 0 paran!1; :el estimador es consistente.b� = 4

3x =43 � 24 = 32:

5. Como la muestra es amplia podemos suponer que la media se distribuyeaproximadamente como una normal y que su intervalo de con�anzapuede aproximarse con la expresión:

(X � Scpntn�1;1��=2; X +

Scpntn�1;1��=2) (2.1)

Como no se conoce Sc; que es la cuasivarianza de la muestra, el únicorecurso disponible es estimar su valor por medio de la expresión:

V ar(x) = 380�

2; bSc = q380�

2 = �p0:037 5 = 0:193 65� = 0:193 65 �

32 = 6: 196 8:

El valor de � = 1 � 0:90; y t59;0:95 = TInv(0:95; 59) = 1: 671 1; así queel intervalo de con�anza resultará:

(24� 6:1968p60

t59;0:95; 24+6:1968p60

t59;0:95) = (24�6:1968p60

� 1:6711; 24+6:1968p60

1:6711) =

(24� 1: 336 9; 24 + 1: 336 9) = (22: 663; 25: 337):

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