1

Curso de ELECTROMAGNETISMO Instituto de Física

Facultad de Ciencias.

CÁLCULO VECTORIAL (Revisión)

1. Campos escalares y vectoriales

Sea Oxyz un sistema cartesiano de coordenadas e (i,j,k) la base ortonormal (versores) que permite expresar cualquier punto del espacio mediante el vector posición:

r i j k! " "x y z . (1)

Si se rota el sistema de coordenadas manteniendo fijo el origen O, se efectúa un cambio de base a (i’,j’,k’) de un nuevo sistema Ox’y’z’. En esta base, la posición de un punto del espacio se expresa como

# ! # # " # # " # #r i j kx y z . (2)

Un mismo punto P del espacio queda indicado en ambos sistemas con la condición

r r i j k i j k! # $ " " ! # # " # # " # #x y z x y z . (3)

Como ambas bases son ortonormales, tenemos que los productos escalares entre los versores es # % # ! # % # ! # % # !i j i k j k 0 , y # % # ! # % # ! # % # !i i j j k k 1. Multiplicando (3) por i’, por j’ y por k’ obtenemos que las coordenadas x,y,z de un punto P cambian su valor a x’,y’,z’ ante la transformación lineal de rotación:

x x y zy x y zz x y z

' ,' ,' .

! " "! " "! " "

& & && & && & &

11 12 13

21 22 23

31 32 33

(4)

Donde & &11 12! # % ! # %i i i j, , ...etc. Los coeficientes & ij de la transformación lineal son los cosenos directores de los ángulos entre los ejes de los sistemas original y rotado. Un campo escalar ' 'rb g b g! x y z, , es una función ': R R3 ( cuyo valor no cambia ante una rotación arbitraria del sistema de coordenadas. Esto es, si un punto P de coordenadas x,y,z, pasa a tener las coordenadas x’,y’,z’ en el sistema rotado, el valor de la función ' en las nuevas coordenadas es igual al anterior:

# # ! $ # # # # !' ' ' 'r rb g b g b g b gx y z x y z, , , , . (5) Ejemplos: temperatura en un recinto, densidad de una nube de partículas, energía potencial de una partícula, etc.

2

Un campo vectorial F r Fb g b g! x y z, , es una función F: R R3 3( que se expresa mediante una terna ordenada de funciones F R Rk:

3 ( llamadas componentes del campo vectorial:

F r i r j r k rb g b g b g b g! " "F F Fx y z . (6) Ante una rotación arbitraria del sistema de coordenadas, cada una de las componentes cambia su valor de la misma forma que cambian las coordenadas. Esto es, de acuerdo con (4),

F F F F

F F F F

F F F F

x x y z

y x y z

z x y z

' ,

' ,

' .

# ! " "

# ! " "

# ! " "

r r r r

r r r r

r r r r

b g b g b g b gb g b g b g b gb g b g b g b g

& & &

& & &

& & &

11 12 13

21 22 23

31 32 33

(7)

Ejemplos de campos vectoriales son: el campo de velocidades de un fluido, el campo gravitatorio de fuerzas, campo eléctrico, campo magnético, etc. Un escalar también se llama tensor de orden 0 y a un vector también se le llama tensor de orden 1. Este comportamiento de las magnitudes físicas ante una rotación arbitraria del sistema de coordenadas se generaliza para campos tensoriales de mayor orden. Por ejemplo, un campo tensorial de orden 2 es un conjunto de nueve números ordenados Tij donde i,j=x,y,z, que ante una rotación se convierten en los nueve números

# # !!!))T Tij ik jl kllk

r rb g b g& &1

3

1

3

. (8)

Ejemplos de tensores de orden 2 son: el tensor de inercia de un rígido, el tensor de tensiones en el interior de un cuerpo, el tensor de deformaciones de un cuerpo, la permitividad eléctrica en los cristales, etc.

2. Representación geométrica de un campo vectorial Un vector F en el punto P(x,y,z) de un campo vectorial se puede representar geométricamente como un segmento orientado (flecha), cuyas proyecciones sobre los tres ejes de coordenadas son los componentes del vector (figura 1). Un simple cálculo muestra que, ante una rotación arbitraria de la terna de ejes, cada proyección cambia de acuerdo con las transformaciones lineales (7).

3

Figura 1

3. Operaciones básicas Entre los vectores están definidas las operaciones básicas que el estudiante conoce de la secundaria, y que definen un espacio vectorial:

F G

F 0 F 0

F

" ! " " "

" ! !

!

F G F G F G

a aF aF aF

x x y y z z

x y z

, , .

, , , .

, , .

donde 0 0 0 (9)

El número a es real para el caso que nos intereso en este curso (espacio vectorial real). Además se define un producto interno en la forma

F G% ! " "F G F G F Gx x y y z z . (10)

Se puede verificar que el número real resultado de (10) es un escalar (verifica la condición (5) ante las rotaciones), por lo que este producto interno se llama producto escalar. El producto escalar (10) permite definir el cuadrado de un vector

F2 2 2 2! " "F F Fx y z , (11)

y el módulo de un vector

F ! " "F F Fx y z2 2 2 . (12)

A partir de las relaciones (10) y (12) se puede probar que si los vectores F y G forman un ángulo * , el producto escalar también se puede calcular como (pruébelo)

4

F G F G% ! cos* . (13)

Además del producto interno (producto escalar), es útil la definición de un producto externo, llamado producto vectorial entre dos vectores, el cual es otro vector definido por

F G+ ! , , ,F G F G F G F G F G F Gy z z y z x x z x y y z, , . (14)

De esta expresión se prueba que

F G G F+ ! , + . (15)

La forma más útil de recordar el producto vectorial (14) es expresarlo como el determinante de una matriz, en la forma

F Gi j k

+ !

F

HGGG

I

KJJJ

det F F FG G G

x y z

x y z

, (16)

donde i,j,k son los versores sobre los ejes x,y,z respectivamente. Se puede probar (pruébelo) que el vector F G+ es perpendicular al plano formado por F y G, y su sentido es el de avance del tirabuzón cuando gira de F a G (regla del tirabuzón o de la mano derecha). Si los vectores F y G forman un ángulo * (medido siempre entre 0 y - ), entonces resulta que (pruébelo)

F G F G+ ! sin* . (17)

Es interesante observar que si F y G representan longitudes orientadas en el espacio, por lo que forman los dos lados adyacentes de un paralelogramo, el producto F G+ es normal a esta superficie y su módulo es igual al área del paralelogramo (pruébelo, es muy fácil). 4. Coordenadas cartesianas, cilíndricas y esféricas. En muchos problemas de electromagnetismo es útil la utilización de otros sistemas de coordenadas ortogonales, aparte del sistema cartesiano. En el sistema cartesiano, las superficies de coordenadas x=cste., y=cste., z=cste. son planos perpendiculares entre sí. Los intervalos de valores de cada coordenada son ,. / / .x y z, , , En el sistema de coordenadas cilíndricas, las superficies de coordenadas son: z=cste. (plano perpendicular al eje z), 0 ! cste. (cilindro de radio 0 concéntrico con el eje z), y 1 ! cste. (plano que contiene el eje z y forma un ángulo 1 con el plano xz). Los intervalos de variación de estas coordenadas son ,. / / .z , 0 2 / .0 , 0 22 /1 - . De acá se deduce que las relaciones entre las coordenadas cilíndricas y cartesianas es:

5

xyz z

!!!

0 10 1

cos ,sin , (18)

Las relaciones inversas de (18) son

0

1

! "

! FHGIKJ

!

,

x yyx

z z

2 2

1

,

tan , (19)

En el sistema de coordenadas esféricas, las superficies de coordenadas son: r=cste. (esfera de radio r concéntrica con el origen), 1 ! cste. (plano que contienen el eje z y forma un ángulo 1 con el plano xz), y 3 ! cste. (superficie cónica circular con vértice en el origen y que forma un ángulo 3 con el semieje z 4 0 ). Los intervalos de variación de estas coordenadas son 0 2 / .r , 0 22 /1 - , y 0 2 23 - . Las relaciones entre las coordenadas esféricas y las cartesianas son

x ry rz r

!!!

sin cos ,sin sin ,cos .

3 13 13

(20)

Las relaciones inversas de (20) son

r x y zyx

zx y z

! " "

! FHGIKJ

!" "

FHG

IKJ

,

,

2 2 2

1

12 2 2

,

tan ,

cos .

1

3

(21)

Para cada uno de los tres sistemas de coordenadas, dibuje las tres superficies de coordenadas que intersecten en algún punto. En el sistema cartesiano, los elementos infinitesimales de longitud tomados a lo largo de cada coordenada son iguales a los elementos de las coordenadas. Esto es

dl dx dl dy dl dzx y z! ! !, , . (22)

En coordenadas cilíndricas, los elementos infinitesimales de longitud a lo largo de cada coordenada son (pruébelo)

dl d dl d dl dzz0 10 0 1! ! !, , . (23)

En coordenadas esféricas, los elementos de longitud son (pruébelo)

6

dl dr dl r d dl r dr ! ! !, sin ,1 33 1 3 . (24)

Los elementos de área sobre cada superficie de coordenadas se caracterizan por la coordenada que resulta perpendicular al elemento. Así, en coordenadas cartesianas, el elemento de área perpendicular al eje x, que llamaremos dsx es el producto de los elementos de longitud dly y dlz . Entonces, utilizando (22), tenemos para los tres elementos de área en coordenadas cartesianas,

ds dl dl dy dzds dl dl dx dzds dl dl dx dy

x y z

y x z

z x y

! !

! !

! !

,, (25)

Los elementos de área sobre cada superficie del sistema de coordenadas cilíndricas serán, según (23),

ds dl dl d dzds dl dl d dzds dl dl d d

z

z

z

0 1

1 0

0 1

0 1

0

0 0 1

! !

! !

! !

,, (26)

Los elementos de área sobre cada superficie del sistema de coordenadas esféricas serán, según (24)

ds dl dl r d dds dl dl r dr dds dl dl r dr d

r

r

r

! !

! !

! !

1 3

1 3

3 1

3 1 3

3

3 1

2 sin ,,

sin (27)

Antes de seguir adelante, es importante que Ud. dibuje esquemas con los tres sistemas de coordenadas estudiados y represente, para cada uno de ellos, los tres elementos de área sobre cada superficie de coordenadas. Los elementos de volumen dV en cada sistema de coordenadas, se obtienen multiplicando los tres elementos de longitudes perpendiculares. Esto es, dV dl dl dl! 1 2 3 . Deduzca entonces las siguientes expresiones. En coordenadas cartesianas:

dV dx dy dz! . (28)

En coordenadas cilíndricas:

dV d d dz! 0 0 1 . (29)

En coordenadas esféricas:

dV r dr d d! 2 sin3 1 3 . (30)

7

Antes de seguir adelante, es importante que Ud. dibuje esquemas con los tres sistemas de coordenadas estudiados y represente, para cada uno de ellos, el elemento de volumen. 5. Integrales de campos escalares y vectoriales a) Integrales de línea Como Ud. ya sabe, una curva C en el espacio de coordenadas cartesianas se puede expresar como una terna de funciones de las coordenadas respecto a una abscisa curvilínea u definida a lo largo de la curva, desde un origen arbitrario (Figura 2),

r i j ku x u y u z ub g b g b g b g! " " . (31) El elemento dl de longitud de arco sobre la curva, es igual al módulo del elemento de desplazamiento dr. Esto es

dl d ddu

du! !r r , (32)

si elegimos que la abscisa u crezca en el sentido de recorrido de la curva. La integral de línea de un campo escalar ' rb g sobre la curva C desde un punto A hasta otro punto B es otro escalar, y se define como

' 'r r rb g b gc hdl u ddu

duC

u

u

A

Bz z! , (33)

donde la integración en el segundo miembro se puede hacer puesto que el integrando es solamente función de u. De la misma forma se define la integral de línea de un campo vectorial F rb g sobre la curva C desde A hasta B, lo que resulta en un vector

F r i r r j r r k r rb g b gc h b gc h b gc hdl F u ddu

du F u ddu

du F u ddu

duxu

u

Cyu

u

zu

u

A

B

A

B

A

B! " "zz z z . (34)

8

Figura 2

En particular, resulta útil la integral de línea del producto escalar del campo vectorial por el elemento vectorial de desplazamiento d dx dy dzr i j k! " " a lo largo de una curva C desde A hasta B. Esta integral se expresa como F r%z d

C

. Para calcularla, expresamos el elemento

vectorial de desplazamiento sobre la curva r(u) como

d ddu

dur r! . (35)

De forma que

F r F r r% ! %d u d

dudub gc h . (36)

Como la expresión del segundo miembro de (36) es solamente función de u, la integración se puede hacer,

F r F r r% ! %z zd u d

dudu

Cu

u

A

B b gc h . (37)

Ejemplos

i) Sea un campo escalar de la forma ' rr

b g ! 1 . Calcular la integral de línea de

este campo sobre la recta contenida en el plano xy, paralela al eje y y que pasa por x=a, desde y=0 hasta y=b.

9

Esta recta tiene las ecuaciones x a y u z! ! !, , 0 , que se pueden expresar en la ecuación vectorial r i ju a ub g ! " . El campo escalar restringido a esta recta es

' rr

uu a u

b gc h b g! !"

1 12 2

, siendo además ddur j! , por lo que la ecuación (33)

resulta

' 'r r rb g b gc hdl u ddu

dua u

du baC

u

u b

A

Bz z z! !"

! FHGIKJ

,12 20

1sinh .

ii) Sea un campo vectorial de la forma F r rr

b g ! 3 . Calcule la integral de

línea vector F rb gdlCz y la integral de línea escalar F r rb g %z d

C

sobre el

mismo segmento de recta del problema anterior.

Este campo vectorial restringido a la curva de integración es

F rrr

i juuu

a u

a ub gc h b gb g c h

! !"

"3

2 23

2.

De forma que la integral de línea vectorial será, de acuerdo con (34),

F r i r r j r r

i j

i j

b g b gc h b gc h

c h c h

dl F u ddu

du F u ddu

du

a

a udu u

a udu

ba a b a a b

Cxu

u

yu

u

b b

A

B

A

Bz z zz z

! "

!"

""

!"

" ,"

FHG

IKJ

2 23

20 2 23

20

2 2 2 2

1 1

La integral de línea escalar es, de acuerdo con (37),

F r F r r i j j% ! % !

" %

"

!"

! ,"

z z zz

d u ddu

dua u

a udu

u

a udu

a a b

Cu

u b

b

A

B b gc h b gc h

c h

2 23

20

2 23

20 2 2

1 1

b) Integrales de superficie Cada punto de una superficie S en el espacio se representa mediante un sistema de coordenadas curvilíneas u,v trazadas sobre la propia superficie. El vector posición r sobre S es una función de las coordenadas curvilíneas r r! u v,b g (Figura 3). Un elemento de desplazamiento dr tangente a S se expresa entonces como

du

duv

dvr r r!55

"55

. (38)

10

En la dirección de la coordenada u (manteniendo v constante) el elemento de desplazamiento sobre la superficie es

du

duur r!55

. (39)

En tanto que, en la dirección de la coordenada v (manteniendo u constante) el elemento de desplazamiento sobre la superficie es

dv

dvvr r!55

. (40)

Figura 3

De acuerdo a lo dicho sobre el producto vectorial, (ver el texto que sigue a la ecuación (17)), el elemento de área sobre la superficie S vale

dS d du v

dudvu v! + !55

+55

r r r r , (41)

eligiendo las direcciones crecientes para u y v. El vector unitario normal a la superficie en el punto r(u,v) es entonces

n

r r

r ru v u v

u v

,b g !55

+55

55

+55

, (42)

por lo cual, el elemento de área orientado según la normal en ese punto se expresa como

11

n r ru v dSu v

dudv,b g !55

+55

(43)

Se pueden definir integrales de campos escalares y vectoriales sobre una superficie S en el espacio. La que más nos interesa por ahora es la integral de área del producto escalar entre el campo vectorial y la normal en cada punto de la superficie. Esta magnitud es un escalar y se llama flujo del campo vectorial F a través de la superficie S, y es de fundamental importancia en el electromagnetismo y la mecánica de los fluidos. Se expresa como F n%z dS

S

, y se calcula utilizando las coordenadas

curvilíneas u,v sobre la superficie S. Evaluando F sobre la superficie r(u,v) tenemos, para el flujo,

F n F r r r% ! %

55

+55

FHG

IKJz zzdS u v

u vdudv

Sv

v

u

u,b gc h

1

2

1

2 . (44)

Los límites de integración de las coordenadas curvilíneas en (44) deben cubrir toda la superficie sobre la que interesa calcular el flujo. Por ello es importante elegir las coordenadas u,v sobre la superficie S de forma tal que la doble integral de (44) resulte lo más simple posible. Obsérvese que si el campo vectorial F fuese el campo de velocidades de un fluido, la aplicación de (44) proporciona el caudal de líquido o gas que atraviesa la superficie S (p. ej. en m3/s). De ahí el nombre de “flujo”. Ejemplo.

Sea un campo vectorial de la forma F r rr

b g ! 3 . Calcular el flujo de este campo a

través de la superficie lateral de un cilindro circular de radio a con su eje sobre el eje z de coordenadas y su altura entre , 2 2a z a .

Las coordenadas curvilíneas más convenientes sobre la superficie del cilindro son las propias coordenadas cilíndricas. Esto es, x a u y a u z v! ! !cos , sin , , donde u es el ángulo azimutal 1 definido antes para el sistema de coordenadas cilíndricas. La superficie en cuestión es entonces el conjunto de puntos

r i j ku v a u a u v, cos sinb g ! " " . Para cubrir toda la superficie lateral del cilindro, los intervalos de valores de las coordenadas son 0 22 / , 2 2u a v a- , . De acuerdo con (43), el elemento de área orientado (hacia afuera de la superficie cilíndrica, verifíquelo) es

n r r i j k

j i

u v dSu v

dudv a u a u dudv

a u a u dudv

, sin cos

sin cos

b g b gb g

!55

+55

! , " +

! "

El campo F restringido a la superficie del cilindro es

F r rr

i j ku v a u a u v

a v, cos sinb gc h

c h! !

" "

"3

2 23

2.

12

El integrando del flujo en el segundo miembro de (44) resulta entonces

F r r r i j k j iu v

u va u a u v a u a u

a v

a

a v,

cos sin sin cosb gc h b g b gc h c h

%55

+55

FHG

IKJ !

" " % "

"!

"2 23

2

2

2 23

2.

Véase lo simple que resulta el integrando al elegir las coordenadas cilíndricas. Sustituyendo este valor en el integrando del segundo miembro de (44), tenemos, para el flujo a través del cilindro,

F n% !"

XZYY

X

ZYY !z

!!,

dS a

a vdudv

S uv a

a2

2 23

20

2

2 2c h

-

- .

c) Integrales de volumen En una región cerrada de volumen V, se pueden calcular las integrales de un campo escalar ' o vectorial F, que se expresan simbólicamente como

6 ! z' rb gdVV

, (45)

y

G F r i r j r k r! ! " "z z z zb g b g b g b gdV F dV F dV F dVV

xV

yV

zV

, (46)

respectivamente. El elemento de volumen dV se expresa en el sistema de coordenadas más adecuado a la geometría del problema. En coordenadas cartesianas, cilíndricas o esféricas, tenemos los elementos de volumen dados en las ecuaciones (28), (29) y (30) respectivamente. La integral de volumen es una integral triple en las tres coordenadas. Ejemplos

i) La densidad de masa de un medio continuo que se extiende hasta el

infinito, varía con la posición en la forma 0 0rrb g ! ,FHGIKJ0

0

expr

. Calcular

la masa total del sistema. Como la densidad es la masa por unidad de volumen, la masa total del sistema será la integral escalar

M dVV

! z 0 rb g ,

donde la región de integración V ocupa todo el espacio. Como la función de la densidad tiene simetría esférica, el mejor sistema de coordenadas es el esférico. Para cubrir el espacio de integración, las coordenadas esféricas deben variar en todo su intervalo. Sea r ! r . Utilizando el elemento de volumen en coordenadas esféricas (30), tenemos

13

M rr r drd d

rr r dr r

r! ,FH IK! ,FH IK !

!!!

.

.

zzzz

0 3 1 3

-0 -0

1

-

3

-

00

2

0

2

00

00

2

0 0 034 8

exp sin

exp

ii) Existe una magnitud vectorial en electrostática llamada densidad de

polarización por unidad de volumen P(r) en el interior de los materiales dieléctricos. En una varilla cilíndrica de radio a y altura h, con su eje en el eje de coordenadas z, existe una densidad de polarización que varía con la distancia 0 al eje y con el ángulo azimutal 1, en la forma P r P ub g b g! !0 1 0 10, cosA 2 , donde u0 es un versor en la dirección radial 0. Calcular la polarización total p de la varilla (llamado momento dipolar).

El momento dipolar p es un vector que se obtiene integrando la densidad de polarización a todo el volumen V del material. Esto es

p P r! z b gdVV

.

Como la varilla tiene simetría cilíndrica, el sistema de coordenadas más adecuado es el cilíndrico, por lo que el elemento de volumen será dV d d dz! 0 0 1 , como se mostró en la ecuación (29). No obstante, antes de hacer la integración es necesario observar que el versor radial u0 varía con el ángulo 1 en la forma (hágase un dibujo para verlo)

u i j0 1 1! "cos sin . Sustituyendo este resultado en la expresión de P, la densidad de polarización resulta

P i j0 1 0 1 0 1 1, cos cos sinb g ! "A A3 2 De forma que el momento dipolar p resulta

p i j! "!!! !!!zzz zzzA d d dz A d d dz

z

ha

z

ha0 1 0 1 0 1 1 0 1

1

-

0 1

-

0

2 3

00

2

0

2 2

00

2

0cos cos sin

Se deja al estudiante la tarea de calcular estas integrales. 6. Derivación de campos escalares y vectoriales Sea un campo escalar '(r)='(x,y,z). Si la función ' es continua y diferenciable, el valor de la misma en un punto próximo r r" d se puede aproximar suficientemente con los primeros términos del desarrollo de Taylor,

' '' ' 'r r r" 7 "55

"55

"55

dx

dxy

dyz

dzb g b g . (47)

El segundo miembro de (47) se puede poner como un producto escalar de dos vectores, de la forma

' ' 'r r r r" 7 "8 %d db g b g , (48)

siendo d dx dy dzr i j k! " " , y donde se ha definido el vector

14

8 !55

"55

"55

'' ' 'i j kx y z

. (49)

Este vector, que contiene las tres derivadas parciales de un campo escalar, se llama gradiente del campo. Constituye un campo vectorial asociado al campo escalar. La expresión (49) permite definir un operador diferencial vectorial muy útil en el estudio de los campos, llamado operador nabla:

8 !55

"55

"55

i j kx y z

. (50)

La variación de la función ' en el espacio, al pasar del punto r al punto vecino r r" d es d d' ' '! " ,r r rb g b g . De forma que la ecuación (48) nos indica que esta variación, ante un desplazamiento dr, está dada por

d d' '! 8 % r . (51)

Si el vector gradiente y el vector desplazamiento elemental forman un ángulo *, el producto escalar de (51) se puede poner como

d d' ' *! 8 r cos , (52)

de donde se observa que la máxima variación en la función en torno al punto r se obtiene cuando el desplazamiento es en la misma dirección del gradiente (*=0). Esto prueba que el vector gradiente apunta en la dirección en que la función tiene el mayor aumento por unidad de longitud. Como el módulo del desplazamiento dr es la longitud dl, la expresión (52) establece que

ddl'

' *! 8 cos . (53)

Esto proporciona el valor de la derivada direccional del campo escalar, en una dirección arbitraria que forme un ángulo * con el gradiente del campo en ese punto. El operador diferencial vectorial nabla definido en (50) se aplica también para derivar campos vectoriales. Hay dos formas de aplicar el operador 8 a un campo vectorial F: mediante un producto escalar y mediante un producto vectorial. El producto escalar del operador con el campo vectorial define un campo escalar, asociado a F,

8% !55

"55

"55

FHG

IKJ % " " !

55

"5

5"55

F i j k i j kx y z

F F F Fx

Fy

Fzx y z

x y zd i , (54)

que se llama la divergencia del campo vectorial. El producto vectorial define otro campo vectorial asociado a F,

15

8+ !55

,55

FHG

IKJ "

55

,55

FHG

IKJ "

55

,55

FHG

IKJF i j k

Fz

Fy

Fz

Fx

Fx

Fy

y z x z y x , (55)

que se llama el rotor del campo vectorial F. Como todo producto vectorial, la expresión (55) es más fácil de recordar en forma del determinante

8+ ! 5 5 5 5 5 5

F

HGGG

I

KJJJ

Fi j k

det x y zF F Fx y z

. (56)

En los ejercicios prácticos Ud. tendrá ocasión de calcular gradientes, divergencias y rotores de diversos campos, así como de comprender sus significados físicos. 7. Teoremas fundamentales del cálculo vectorial

a) Teorema de Gauss Sea un campo vectorial F continuo y diferenciable en una región simplemente conexa del espacio. Sea S una superficie cerrada arbitraria dentro de esa región, que contiene un volumen V. Sean n(x,y,z) el conjunto de los versores normales a la superficie S, elegidas hacia afuera. El teorema de Gauss establece que

F n F% ! 8 %z zdS dVS V

. (57)

El símbolo z indica que la integral se extiende a toda la superficie cerrada.

El teorema de Gauss expresa que el flujo de un campo vectorial a través de una superficie cerrada, es igual a la integral de volumen de su divergencia dentro de la región encerrada. Para su demostración, tomemos un prisma elemental de aristas dx, dy, dz en la región donde el campo vectorial F verifica las condiciones de la hipótesis (figura 4). El flujo en la dirección x está dado por

6x x

x xx

x y z x dx y z dS

x y z x dx y z dy dz

F x dx y z F x y z dy dz Fx

dx dy dz

! % " % " !

! , % " % " !

! " , 755

n F n F

i F i F1 2, , , ,

, , , ,

, , , ,

b g b gb g b gb g b g

(58)

Por un razonamiento similar, tenemos, para el flujo en las direcciones y, z, los valores

6 6yy

zzF

ydx dy dz F

zdx dy dz7

55

755

, . (59)

16

Por consiguiente, el flujo total a través de la superficie cerrada del prisma elemental será

F n% ! " " !55

"55

"55

FHG

IKJz dS F

xFy

Fz

dx dy dzeS

x y zx y z

e

6 6 6 , (60)

donde Se indica que se trata de la superficie del prisma elemental de la figura 4.

Figura 4

Introduciendo en (60) la definición de la divergencia dada en (54), y el volumen del prisma dV dxdydze ! , tenemos

F n F% ! 8 %z dS dVeS

e

e

, (61)

para un prisma elemental de superficie total Se y volumen dVe. Un volumen arbitrario se puede descomponer en prismas elementales infinitesimales, como los de la figura 4. En la figura 5 se observa que los flujos correspondientes a las caras adyacentes de estos prismas elementales (superficies sombreadas) se anulan entre sí, por tener las normales opuestas. Por lo tanto, la suma de los flujos elementales dan como resultado el flujo total solamente sobre las caras externas de los primas, esto es, el flujo a través del área total S del volumen arbitrario,

F n F n% ! %z z)dS dSS

eSe e

. (62)

Introduciendo (61) en (62), obtenermos

F n F F% ! 8 % ! 8 %z ) zdS dV dVS

ee V

, (63)

lo cual prueba el teorema de Gauss (57).

17

Figura 5

b) Teorema de Stokes Sea un campo vectorial F continuo y diferenciable en una región simplemente conexa del espacio. Sea C un contorno cerrado que no se cruza a sí mismo, y sea S cualquier superficie delimitada por dicho contorno. El teorema de Stokes afirma que

F r F n% ! 8 + %z zd dSC S

b g , (64)

donde dr es el elemento vectorial de longitud sobre el contorno C, en el sentido elegido arbitrariamente para su recorrido. Los vectores normales n a la superficie S delimitada por el contorno se eligen de acuerdo a la regla de la mano derecha o del “tornillo”. Esto es, si el pulgar de la mano derecha apunta en el sentido de los vectores n, los demás dedos apuntan en el sentido de recorrido del contorno. Probaremos el teorema para un contorno plano, digamos, en el plano xy. Comenzamos por un contorno rectangular elemental Ce de lados dy, dy, por lo que su área será dS dxdye ! . En la figura 6 se muestra cómo calcular la circulación elemental para este rectángulo de lados infinitesimales. De acuerdo con la figura, tenemos

F r% ! " " , " , !

! " , , " ,

z d F x y z dx F x dx y z dy F x y dy z dx F x y z dy

F x dx y z F x y z dy F x y dy z F x y z dx

eC

x y x y

y y x x

e

, , , , , , , ,

, , , , , , , ,

b g b g b g b g

b g b g b g b g (65)

El sentido de la circulación en el rectángulo se eligió de forma que la normal a la superficie está según el eje z. Utilizando los desarrollos de Taylor hasta el primer orden en (65), tenemos que

18

F r% !55

,55

!55

,55

FHG

IKJz d

Fx

dxdy Fy

dxdyFx

Fy

dSeC

y x y xe

e

. (66)

Si observamos la definición de rotor de un campo vectorial, expresión (55), vemos que el segundo miembro de (66) es la componente del rotor en la dirección del eje z, esto es, de la normal al rectángulo de la figura 6. Por consiguiente, para el rectángulo elemental de la figura, tenemos que

F r F n% ! 8 + %z d dSeC

e

e

b g . (67)

Dado que la expresión (67) es una relación entre vectores, ya no es necesario que el rectángulo elemental esté en el plano xy, como se asumió al principio.

Figura 6

Cualquier superficie delimitada por un contorno cerrado arbitrario se puede descomponer en pequeños rectángulos elementales, como se muestra en la figura 7.

Figura 7

Los lados adyacentes de los contornos cancelan sus aportes a la circulación, porque sus sentidos de recorrido son opuestos. Por lo tanto la suma de las circulaciones elementales sobre todos los rectángulos, es igual a la circulación sobre el perímetro del gran contorno C. Esto es

F r F r% ! %z z)d dC

eCe e

. (68)

19

Sustituyendo la expresión (67) en (68), tenemos, para la circulación total sobre un contorno arbitrario C, el resultado

F r F n F n% ! 8 + % ! 8 + %z ) zd dS dSC

ee S

b g b g . (69)

Como cada contorno elemental puede tener cualquier orientación en el espacio, el resultado (69) es válido para cualquier superficie curva S limitada por el contorno C, el cual, tampoco tiene que ser plano. Constituye entonces el teorema de Stokes (64).