5-3 Teoras de fallaEventos como la deformacin permanente, el agrietamiento y la ruptura se encuentran entre las formas en que falla un elemento de mquina. Las mquinas de ensayo aparecieron en el siglo xviii y las piezas se jalaban, doblaban y torcan en procesos simples de carga. Si el mecanismo de falla es simple, entonces unos ensayos simples pueden dar pistas. Pero qu es simple? El ensayo de la tensin es uniaxial (eso es simple) y las elongaciones son mayores en la direccin axial, por lo cual las deformaciones se pueden medir y los esfuerzos se pueden inferir hasta que ocurre la falla. Entonces qu es importante: un esfuerzo crtico, una deformacin crtica, una energa crtica? El comportamiento del metal estructural se clasifica de manera tpica como dctil o frgil, aunque bajo situaciones especiales, un material considerado normalmente como dctil puede fallar de una manera frgil .Normalmente, los materiales se clasifican como dctiles cuando f 0.05 y cuando tienen una resistencia a la fluencia identificable que a menudo es la misma en compresin que en tensin (Syt = Syc = Sy). Los materiales frgiles, f < 0.05, no presentan una resistencia a la fluencia identificable y tpicamente se clasifican por resistencias ltimas a la tensin y la compresin, Sut y Suc, respectivamente (donde Suc se da como una cantidad positiva). Las teoras generalmente aceptadas son:

Materiales dctiles (criterios de fluencia) Esfuerzo cortante mximo (ECM) Energa de distorsin (ED) Mohr Coulomb dctil (CMD)

Materiales frgiles (criterios de fractura) Esfuerzo normal mximo (ENM) Mohr Coulomb frgil (CMF) Mohr modificada (MM)

Sera muy til tener una teora aceptada universalmente para cada tipo de material, pero por una razn u otra se utilizan todas las anteriores. Posteriormente se darn razones para seleccionar una teora particular. Primero, se describirn las bases de estas teoras y se aplicarn a algunos ejemplos.

5-4 Teora del esfuerzo cortante mximo para materiales dctiles

La teora del esfuerzo cortante mximo estipula que la fluencia comienza cuando el esfuerzo cortante mximo de cualquier elemento iguala al esfuerzo cortante mximo en una pieza de ensayo a tensin del mismo material cuando esa pieza comienza a fluir. La teora del ECM tambin se conoce como la teora de Tresca o Guest. Muchas teoras se postulan con base en las consecuencias vistas en las piezas sometidas a tensin. Cuando una tira de un material dctil se somete a tensin, se forman lneas de desplazamiento (llamadas lneas de Lder) aproximadamente a 45 de los ejes de la tira. Estas lneas de desplazamiento representan el inicio de la fluencia, y cuando se carga hasta la fractura, tambin se observan lneas de fractura en ngulos de aproximadamente 45 con los ejes de tensin. Como el esfuerzo cortante es mximo a 45 del eje de tensin, es lgico pensar que ste es el mecanismo de falla.Sin embargo, es evidente que la teora del ECM es un predictor aceptable pero conservador de la falla; y que como los ingenieros son conservadores por naturaleza, se usa con bastante frecuencia.Recuerde que para el esfuerzo en tensin simple, = P/A, y el esfuerzo cortante mximo ocurre a 45de la superficie en tensin con una magnitud de mx = /2. De manera que el esfuerzo cortante mximo en la fluencia es mx = Sy/2. Para un estado de esfuerzo general, pueden determinarse y ordenarse tres esfuerzos principales, de modo que 1 2 3. Entonces, el esfuerzo cortante mximo es mx = (1 3)/2 (vea la figura 3-12). Por lo tanto, para un estadogeneral de esfuerzo, la hiptesis del esfuerzo cortante mximo produce la fluencia cuando

(5-1)

Observe que esto implica que la resistencia a la fluencia en cortante est dada por Ssy = 0.5Sy (5-2) la cual, como se ver despus, es baja en alrededor de 15% (conservador).Para propsitos de diseo, la ecuacin (5-1) puede modificarse para incorporar un factor de seguridad, n. Por lo tanto, (5-3)Los problemas de esfuerzo plano son muy comunes cuando uno de los esfuerzos principales es cero, y los otros dos, A y B, se determinan a partir de la ecuacin (3-13). Si se supone que A B, existen tres casos a considerar cuando se usa la ecuacin (5-1) para el esfuerzo plano:

Caso 1: A B 0. En este caso, 1 = A y 3 = 0. La ecuacin (5-1) se reduce a una condicin de fluencia de A Sy (5-4)

Caso 2: A 0 B. Aqu, 1 = A y 3 = B, y la ecuacin (5-1) se convierte en A B Sy (5-5)

Caso 3: 0 A B. En este caso, 1 = 0 y 3 = B y la ecuacin (5-1) da B Sy (5-6)

Las ecuaciones (5-4), (5-5) y (5-6) se representan en la figura 5-7 mediante tres lneas indicadas en el plano A, B. Las lneas restantes no marcadas son casos para B A, que normalmente no se usan. Las ecuaciones que se mencionaron tambin pueden convertirse en ecuaciones de diseo mediante la sustitucin del signo de igualdad por el de mayor o igual que y dividiendo Sy entre n.Observe que la primera parte de la ecuacin (5.3), mx Sy /2n, es suficiente para propsitos de diseo siempre que el diseador tenga cuidado al determinar mx. Para el esfuerzo plano, la ecuacin (3-14) no siempre predice mx. Sin embargo, considere el caso especial cuando un esfuerzo normal es cero en el plano, digamos que x y xy tienen valores y y = 0.Puede mostrarse fcilmente que es un problema del tipo caso 2, y el esfuerzo cortante determinado por la ecuacin (3-14) es mx. De manera tpica, los problemas de diseo de ejes caen en esta categora donde existe un esfuerzo normal a partir de las cargas en flexin y/o axiales, y surge un esfuerzo cortante a partir de la torsin.

Figura 5-7Teora del esfuerzo cortantemximo (ECM) de esfuerzoplano, donde A y B son dosesfuerzos principales diferentesde cero.

5-5 Teora de la energa de distorsin para materiales dctilesLa teora de la energa de deformacin mxima predice que la falla por fluencia ocurre cuando la energa de deformacin total por unidad de volumen alcanza o excede la energa de deformacin por unidad de volumen correspondiente a la resistencia a la fluencia en tensin o en compresin del mismo material.La teora de la energa de distorsin se origin debido a que se comprob que los materiales dctiles sometidos a esfuerzos hidrostticos presentan resistencias a la fluencia que exceden en gran medida los valores que resultan del ensayo de tensin simple. Por lo tanto, se postul que la fluencia no era un fenmeno de tensin o compresin simples, sino ms bien, que estaba relacionada de alguna manera con la distorsin angular del elemento esforzado.Para desarrollar la teora, observe en la figura 5-8a, el volumen unitario sometido a cualquier estado de esfuerzos tridimensional, designado por los esfuerzos 1, 2 y 3. El estado de esfuerzos que se muestra en la figura 5-8b es de tensin hidrosttica debida a los esfuerzos prom que actan en cada una de las mismas direcciones principales, como en la figura 5-8a.

La frmula de prom es (a) De esta manera, el elemento de la figura 5-8b experimenta un cambio de volumen puro, es decir, sin distorsin angular. Si se considera prom como un componente de 1, 2 y 3 entonces

Figura 5-8a) Elemento con esfuerzos triaxiales; este elemento experimenta cambio de volumen y distorsin angular. b) Elemento sometido a tensin hidrosttica que slo experimenta cambio de volumen. c) Elemento con distorsin angular sin cambio de volumen.