Aplicaciones de las integrales en coordenadas polares

a) Área de una región en coordenadas polares

Formula:

1. Ejemplo: Hallar el área de la figura limitada por la primera y segunda espiral de Arquímedes r = aθ.

r=aθ

A=12∫0

2π

(r22−r12) dθ

A=12∫0

2π

¿¿

A=a2

2∫0

2π

(θ2+4 θπ+4 π2−θ2 )dθ

A=a2

2∫0

2π

(4θπ+4 π 2)dθ

A=a2

2[2θ2π+4 π2θ ]0

2π

A=a2

2(8π3+8 π3)

A=8a2π 3u2

b) Volumen de un sólido de revolución en coordenadas polares

Formula:

1. Ejemplo: Hallar el volumen del cuerpo engendrado al girar la cardiode ρ=a (1+cosθ ); a>0 alrededor del eje x.

ρ=a (1+cosθ ); a>0

v=2π3∫0

π

ρ3 senθdθ

v=2π3∫0

π

(a3(1+cosθ)3)senθdθ

v=2a3π3 [−(1+cosθ)4

4 ]0

π

v=2a3π3 (−(1+cosπ )4

4+

(1+cos0)4

4 )v=2a

3π3 (0+(1+1)4

4 )v=2a

3π3 ( 164 )

v=8a3π3

u3