Teora de Relatividad RestringidaXavier AznarCurso 2010/2011ResumenEste documento contiene un resumen de los contenidos del libro SpecialRelativity de A.P.French.El resumen se hagenerado como parte del estudio de la asignatura(074150) Relatividad de la Licenciatura de Fsica de la UNED.Sonapuntespersonales, as queesperoquenadiemedemandeporincluir grcos e imgenes del libro (cuya autora no pretendo asignarmeen ningn caso). He realizado el resumen a partir de la versin inglesa dellibro, as que es probable que haya errores de interpretacin y traduccin,as como la utilizacin de algunos trminos que no coincidan con la versintraducida ocial del libro (la recomendada por la universidad). Tambines probable que haya -a mi pesar- errores ortogrcos y/o tipogrcos. Enresumen; son unos apuntes personales y no deben tomarse por otra cosa.Los apuntes los he creado utilizando LYX1.Espero que estos apuntes puedan ayudar a otros estudiantes a supe-rar la asignatura. Como he dicho, las imgenes y grcos pertenecen a suautor (que en la mayora de los casos es A.P.French, aunque recomiendoconsultar el libro para estar seguro). En cuanto al texto, es un resumen delcontenido del libro de French. En la medida que no vulnere la propiedadintelectual de A.P.French, los contenidos que puedan considerarse comopropios estn protegidos por la licencia Creative Commons2(Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 Unported (CC BY-NC-SA 3.0)). Es decir,que si utilizas la informacin contenida en este texto deberas comentarquin es el autor, no obtener un benecio a partir de este documento y silo modicas -creando tus propios apuntes, por ejemplo- deberas compar-tirlos del mismo modo...1Ms informacin en: http://www.lyx.org2Ms informacin en: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/11. Diferencias con respecto a la dinmica New-toniana1.1. NewtonLa mecnica clsica se basa en los conceptos de:EspacioTiempoMas inercialMomento linealEnergaLa mecnica de Newton trata sobre el movimiento de partculas sometidas a laaccin de fuerzas.Se asume que los conceptos de tiempo y espacio estn bien entendidos.Aunque el espacio y el tiempo son absolutos, la denicin de un cuerpo deberealizarse con respecto a otro (un sistema de referencia).La dinmica Newtoniana relaciona la aceleracin de un cuerpo con la fuerza

Fejercida por el entorno de una partcula.La relacin entre la aceleracin y la fuerza se realiza a travs de una nicapropiedad de la partcula: la masam.

F = ma (1.1)A partir de la ecuacin (1.1) obtenemos:Conservacin del momento linealEl momento de una partcula es p = mvLa masa es una constante asociada a la partcula.La cantidadp/v es una constante.Conservacin de la energa cinticaEl trabajorealizadosobreunapartculasereejaenuncambiodesuenerga cintica.21

F dr = 12m_v22v21_(1.2)2Figura 1.1: Velocidad v2respecto a la energa cintica para electrones. Se mues-tra la asntota parav = c1.2. La velocidad denitivaDe acuerdo con las ecuaciones de Newton, no hay ningn lmite a la velocidadmxima que puede adquirir una partcula.La experiencia muestra que no es posible acelerar una partcula indenida-mente (ver grca (1.1)).Como se observa en la grca (1.1) existe una velocidad lmite para cualquierobjeto: la velocidad de la luzc.Hay que revisar las leyes de adicin de las velocidades (en particular las leyesque describen el movimiento desde diferentes sistemas de referencia)1.3. FotonesLos fotones se mueven todos a la velocidad de la luz c, aunque pueden tenerenergas muy diferentes en funcin de su frecuencia.E = h1.4. La relacin energa momento para los fotonesLa energa de un fotn viene dada porE = h.El momento de un fotn esp.3Figura 1.2: Un experimento mental en el que una caja retrocede desde su posi-cin inicial como resultado de la emisin de radiacin desde un extremo de lacaja hasta el otro.La relacin energa momento es:E = cpLa relacin equivalente para partculas esK =12v pp es aproximadamente2Kvpara bajas energas.p es aproximadamenteKvpara altas energias.A medida que aumenta la energa de las partculas (y su velocidad se acerca ac) aumentan las discrepancias con las predicciones newtonianas.1.5. Materia y radiacin: la inercia de la energaEl experimento de la caja de Einstein (gura (1.2)) consiste en una caja enla que se emite radiacin desde un extremo de la misma.La radiacin que surge de un extremo de la caja lleva un momento deE/c.El momentototal del sistemadebeconservarse: lacajadebeadquirirunmomento igual a E/c. La caja retrocede con velocidadv = E/McDespus de un tiempot = L/c (teniendo en cuenta quev c), la radiacinalcanza el otro extremo, le traspasa su momento y la caja se detiene. La caja seha desplazadox = vt = ELMc2(1.3)Como el sistema completo est aislado, el centro de masas no puede haber-se movido. Suponemos que la energa ha llevado una masa equivalentem, demanera que se veriquemL +Mx = 0 (1.4)4A partir de las ecuaciones (1.3) y (1.4) obtenemosE = mc2(1.5)Es decir, la energa, en cualquier forma, es equivalente a masa.1.6. Energa, momento y masaHasta ahora tenemos:Para fotones:E = cp (1.6)m =Ec2(1.7)De las ecuaciones anteriores tenemosm =pc(1.8)que parece un caso particular del resultad newtoniano parav = c.En mecnica newtoniana:m =pvCombinando las ecuaciones para la masa (1.7) y (1.8) tenemosE =c2pv(1.9)Cuando vara la energa potencial de una partcula, cambia su energa cin-tica.En mecnica clsica slo nos preocupamos de cambios de energa (nunca deenergas absolutas). La base para analizar los cambios son las Leyes de Newton.El incremento de energa cintica se rebe a trabajo realizado sobre la partculapor fuerzas externasdE = Fdx =dpdtdx (1.10)dE = vdp (1.11)EdE = c2p dp (1.12)5Si ahora integramos (1.12), obtenemosE2= c2p2+E20(1.13)A partir de aqu utilizandocp = Ev/cE (v) =E0_1 v2c2_1/2(1.14)Para bajas velocidades, es decir,v cE (v) E0 + 12_E0c2_v2(1.15)Para harmonizar la ecuacin con la mecnica newtoniana, debemos identicarE/c2con la masa inercial de una partcula, lo que nos lleva a una expresinpara la variacin de la masa con la velocidadm(v) =m0_1 v2c2_1/2(1.16)Vemos que la masa inercial de un cuerpom0ahora se interpreta como lamasa en reposo (parav = 0). La masa inercial es mayor para cualquierotra velocidad.Las ecuaciones (1.14) y (1.16) son los fundamentos de la nueva dinmica.En general, podemos mantener la forma de las deniciones newtonianas in-troduciendo el facto (v) =1_1 v2c2_1/2(1.17)De esta maneraMasa m = m0(1.18)Momentop = m0v (1.19)Energa E = m0c2(1.20)1.7. Es correcta la nueva dinmica?Si comprobamos la variacin de la velocidad a medida que aadimos energaa la partcula vemos que las predicciones se cumplen con gran exactitud. Enrealidad, losaceleradoresapenascambiarlavelocidaddelaspartculas, sino6que lo nico que hacen es aadirles masa.1.8. Movimiento bajo la accin de una fuerza constanteEste es el problema ms sencillo en mecnica clsica.Analizamos el problema utilizando la nueva dinmica.Suponemos un movimiento unidimensional.Suponemos que el sistema est inicialmente en reposov = 0.Finalmente el sistema se mueve a velocidadv.Ft = mv =m0v_1 v2c2_1/2(1.21)Despejando, la frmula para la velocidad viene dada porv (t) =c_1 +_m0cFt_2_1/2(1.22)Analizamos dos casos lmites:Ft m0c: O lo que es lo mismo, (m0c/Ft)21, de manera quev (t) c(m0c/Ft) =Fm0t (1.23)Como vemos, este extremos corresponde a la mecnica newtoniana.Ft m0c: O lo que es lo mismo, (m0c/Ft)20, de manera quev (t) c (1.24)En este caso, obtenemos que la velocidad tiende a un valor lmite c (comocorresponde a la nueva dinmica).1.9. Desmontando la caja de EinsteinUna consecuencia del lmite superior para el movimiento es que el conceptode cuerpo rgido deja de tener sentido en relatividad.El experimento de la caja de Einstein (apartado (1.5)) en el que se ha basadola deduccin de la teora deja de tener sentido!7Figura 1.3: Reformulacin de la Caja de EinsteinReformularemos el experimento (esta vez sin caja): suponemos que tenemosuna masa emisora de radiacin y otra masa que la absorve.Rehaciendo los clculos, obtenemos de nuevo el principio de inercia de laenergam

2 = m

2m2 =Ec2= m

1(1.25)2. Perplejidades en la propagacin de la luz2.1. IntroLa velocidad de la luz tiene un valor universal (independiente del sistemade referenciaLa velocidad, en dinmica clsica, depende del sistema de referencia.Tenemos dos armaciones contradictorias, as que tenemos que solucionar esteproblema.2.2. La naturaleza de la luzLapropagacindelaluzimplicalaemisindeenergaporpartedeunafuente.Pitgoras, el ao 6 A.C. teoriz que la luz era el resultado de la propagacinde partculas emitidas por la fuente. Esto explicaba:La propagacin en lnea recta de la luz (lo que proporciona sombras de-nidas)que la luz pueda propagarse en el vaco.8El ao 1667 Robert Hooke teoriz que la luz es la propagacin de ondas en unmedio.Permite explicar los efectos observados que no son fcilmente explicablesutilizando una teora basada en partculas.Huygens en 1678 desarrolla explcitamente la teora de ondas y demuestraque explica la reexin y refraccin de la luz.Hasta el siglo XX estas dos teoras son los nicos modelos que describen la luzy su propagacin.Los dos modelos se consideran mutuamente exclusivos.No podemos renegar de lo que que puede explicar una teora por adhesin aotra teora que explica otro conjunto de observaciones igualmente vlidas.Las propiedades ondulatorias de la luz son incuestionables:DifraccinPolarizacinInterferenciaLas ondas ordinarias se propagan en un medio:1. Especicamos las caractersticas del medio necesario para que se pue-da propagar la luz.2. Diseamos experimentos para detectarlo.2.3. terSiglo XXI: Triunfo de la teora ondulatoria1804- Young - Estudios cuantitativos sobre el fenmeno de la interferencia.1818- Fresnel - Clculos que incluyen los efectos de la interferencia, la difrac-cin y la polarizacin. 0 y los atrasan si estn enx< 0, tal como indica la ecuacinparat (x).Para comprobar la autntica simetra de la relatividad, ahora suponemos quetenemos dos sistemas, S y S, cada uno de los cuales tiene (de acuerdo con suspropias medidas) un conjunto de relojes sincronizados separados uniformementea lo largo del eje x, tal y como se muestran en la gura 4.6.Para simplicar la explicacin, suponemos que los relojes estn separados demanera que su error progresivo es exactamente 1 segundo.49Figura4.7: Divisindel espacio-tiempoenfuturo, pasadoyalgnotrolugar en un diagrama de Minkowski.En un instante determinado, registramos la hora marcada por los relojes deS y S desde S.En la gura 4.6 se muestran las lecturas de tres posibles observaciones. Encada caso nos imaginamos subidos a cada uno de los sistemas de referencia ysentados junto a unos de los relojes. Observaramos que el reloj pierde tiempocon respecto a los relojes situados de forma adyacente.Analizando los resultados obtenidos tanto en las secciones 4.10.1 y 4.10.2,observamos que no hay asimetras y que la relatividad es realmente relativa.4.11. Intervalos espacio-temporales y causalidadPartimos del conocimiento de que(ct

)2(x

)2= (ct)2(x)2= s2(4.9)es un invariante.Si consideramos dos eventos y calculamos el invariante a partir de las dife-rencias entre sus coordenadas espacio-temporales, encontraramos que el valorseria el mismo para todos los sistemas inerciales.s tiene unidades de distancia, por lo que se denomina intervalo espacio-50Figura 4.8: Diagrama espacio-temporal de un mundo bidimensional, mostrandoel cono de luz.temporal.s = 0: Dos eventos con un intervalo espacio-temporal nulo estn unidospor una seal luminosa.s> 0 ct> x: Signica que podemos realizar transformaciones aun nuevo sistema de referencia de manera que el eject

sea paralelo a PQ(en la gura 4.7). Eso signica que P y Q son dos eventos que suceden enel mismo lugar en S y que estn separados nicamente por un intervalotemporal puro.s< 0 ct< x: En este caso podemos realizar una transformacina un nuevo sistema de referencia en el que P y Q sean sucesos simultneosque ocurren en lugares diferentes (ver gura 4.7). Por ello, decimos queestn separados por un intervalo espacial.Para conectar dos sucesos de este tipo seria utilizar una seal que viajarams rpido que la velocidad de la luz.Como vemos a partir de los puntos anteriores, el intervalo espacio-temporal sest relacionado con la clasicacin de los eventos y la causalidad.Si consideramos un espacio bidimensional el intervalo espacio-temporal vienedenido por(s)2= (ct)2(x)2(y)251Los sucesos que tienen un intervalo espacio-temporal 0 con respecto al origenvienen dados por:x2+y2= (ct)2Esta es la denicin de lo que se llama cono de luz (como se muestra en lagura 4.8).4.11.1. Siu > c fuera posible, alterara la idea de causalidad en fsicaSuponemos que P (x, t) fuera la causa de Q(x + x, t + t) a travs de unaseal de velodidadu > c.El intervalo temporal en otro sistema de referencia que se mueve con velo-cidadvcon respecto al primero vendra dado por t

=_t vx/c2_ =t_1 uv/c2_.Si u > c podramos encontrar un rango de velocidades de v (< c) de maneraque los intervalos temporales en los dos sistemas de referencia tuvieran signosopuestos.Todos los observadores inerciales con velocidades mayores quec2/u conclui-ran de sus observaciones que P fue causado por Q, en vez de al revs.Esto causara que las leyes de la fsica parecieran difentes a diferentes obser-vadores (ya que simpre podemos conocer la direccin en la que avanza el tiempoa travs de nuestro propio envejecimiento, por ejemplo).4.11.2. Velocidades superiores acPodemos tener velocidades geomtricas superiores a la velocidad de la luz c.Por ejemplo, un rayo de luz disparado sobre la Luna recorrera su superciea una velocidad superior a la velocidad de la luz c. Esto no es una contradiccindel segundo postulado de la relatividad, ya que la lnea sobre la que se mueve ellser no sera mas que un conjunto geomtrico de puntos: la velocidad individualde los fotones seguira siendoc.5. Cinemtica Relativista5.1. Transformacin de velocidadesUna vez tenemos las transformaciones de Lorentz para el tiempo y el espacio,podemos obtener de manera directa las derivadas temporales de los desplaza-mientos medios en dos sistemas de referencia inerciales.525.1.1. ConceptosAunque es un problema en 3D, en realidad se reduce a dos dimensiones, yaque nicamente hay una direccin denida: la direccin del movimiento relativode los dos sistemas de referencia.Esto dene un eje de simetra, de manera que cualquier movimiento puededescomponerse en una componente longitudinal y en una transversal al movi-miento.Aunque lo lgico sera utilizar coordenadas cilndricas, histricamente se hanutilizado coordenadas cartesianas (aunque no sean las ms adecuadas).5.1.2. Deduccin de las ecuaciones de transformacin de las veloci-dadesEmpezamos con las transformaciones de Lorentz:x

= (x vt) x = (x

+vt

)y

= y y = y

z

= z z = z

t

= _t vx/c2_t = _t

vx

/c2_donde, como siempre: = _1 v2/c2_1/2Suponemos que un objeto se mueve en el sistema S con velocidades u

x y u

y.Por denicin de velocidad:u

x=dx

dt

u

y=dy

dt

Qu relacin hay entre estas velocidades observadas en el sistema S, respeto alque S se mueve con velocidadv?Derivando las ecuaciones de transformacin de Lorentzdx = (u

x +v) dtdy = u

ydt

dt = _1 +vu

x/c2_dt

53As pues, obtenemosux=dxdt=u

x +v1 +vu

x/c2uy=dydt=u

y/1 +vu

x/c2u

x=uxv1 vux/c2u

y=uy/1 vux/c25.1.3. Composicin relativista de velocidadesComposicin de velocidades en la misma direccin:ux=dxdt=u

x +v1 +vu

x/c2u

x=uxv1 vux/c2Velocidades bajasSi tanto la velocidad del objeto como la velocidad relativa de un sistemacon respecto a otrov son pequeas comparadas conc, el trminovux/c2es un trmino de segundo orden y en la mayor parte de las circunstanciaspuede ignorarse frente a la unidad.En este caso, obtenemos de nuevo la ley de adiciones de velocidadesde Galileo.Velocidades comparables concSi la velocidad del objeto en movimiento, la velocidad relativa entre lossistemas de referencia (o ambas velocidades) son comparables con la ve-locidad de la luzc, obtenemos resultados diferentes a los que observamosen el da a da.Si las velocidades son fracciones de la velocidad de la luz (de manera que es menor que 1:v = 1cu

x= 2c54Figura 5.1: Experimento de Babcock y Bergman para comprobar la indepen-dencia de la velocidad de la luz con respecto a la de la fuente desde donde seemite.entonces la combinacin de velocidades tambin es menor que la unidad:uxc= =1 +21 +125.2. Radiacin de una fuente que se mueve rpidamenteCuando una de las velocidades implicadas en la adicin de velocidades esc,el resultado observado desde el otro sistema de referencia es siempre, tambinc para cualquier velocidad relativa entre los sistemas de referencia.Uno de los problemas experimentales para vericar la adicin relativista delas velocidades es debido al problema de la extincin.La propagacin de la luz a travs de un medio implica un continuo procesode absorcin y emisin como radiacin secundaria por parte del medio.Basta una mnima cantidad de grosor para que se pierda el registro de lavelocidad original de la luz con respecto a la fuente (0.01 mm de aire a presinatomosfrica o 105mm de cristal).En el experimento de 1964 de Babcock y Bergman (ver gura 5.1) no seencontr un desplazamiento de las franjas, conrmando la adicin relativista develocidades.55Figura 5.2: Diagrama esquemtico de anlisis de la luz proviniente de desinte-graciones de piones0En una primera medicin el aspa central est ja, mientras que en la segundagira.Otraformadeconrmarlaindependenciadelavelocidaddelaluzconrespectoaladelafuenteesatravsdeladesintegracindelosmesones neutros:01 +2Los mesones se obtienen a partir de la colisin de protones de 20GeV connucleones estacionarios.Los piones se crean con energas de 6GeV, de manera que 45v/c 0,99975Los piones tienen un tiempo medio de vida extremadamente corto, por loque pese a la importante dilatacin temporal, slo viajan unos micrones hastaque se desintegran.Los fotones salen a unos 6 con respecto a la direccin del haz, se coliman yse separan de las partculas cargadas mediante un imn. Finalmente se mide eltiempo de vuelo entre A y B (unos 30 metros), como muestra el diagrama de lagura 5.2.Los resultados del experimento demuestran que la variacin de la velocidad56de los fotones, si existe, debe ser inferior a la diezmilsima parte de la velocidadde la fuente, lo que conrma la ley de adicin relativista de las velocidades.5.3. Luz en un medio: el coeciente de arrastreNos planteamos ahora el caso de la adicin de velocidades para la luz via-jando a travs de un medio. As veremos que el coeciente de arrastre de Fizeaues una consecuencia de la ley de adicin de velocidades relativista.El paso de la luz a travs de un medio se caracteriza por el ndice de refraccinn. La velocidad de la luz relativa al medio esc/n.Qu velocidadVmide un observador estacionario?V=cn +v1 +vncSi v c y expandimos el resultado en potencias de v/c (despreciando todaslas potencias ms all de la primera)V =cn_1 +vnc__1 +vnc_1==cn_1 +vnc__1 vnc + _ =cn_1 +vncvnc_Es decir, nalmente tenemosV cn +_1 1n2_vEl resultado obtenido a partir de la combinacin de velocidades es el mismoque Fresnel y otros tericos del ter obtenan gracias al coeciente de arrastreparcial de la luz por el medio. La deduccin a partir de la ley de combinacinde velocidades de Einstein explica este resultado de forma natural y no comoun fenmeno misterioso y algo articial.57Figura 5.3: Aberracin estelara) Telescopio estacionario b) Telescopio en movimiento5.4. Movimientos transversales: aberracin estelar5.4.1. Movimiento transversalAhora estudiaremos la ley de composicin de velocidades en una direccinperpendicular al movimiento de dos sistemas de referencia inercialesu

y =uy/1 vux/c2Para el caso particular de que el movimiento del objeto sea puramente trans-versal, tenemos:ux = 0 u

y =uyLa aparente reduccin de velocidad transversal en este caso es una manifes-tacin de la dilatacin temporal.La combinacin de las frmulas para la adicin de velocidades -longitudinalesy transversales- nos proporciona una forma de comparar cmo se relacionan lasdirecciones de un movimiento rectilneo entre dos sistemas de referencia.Deestamanerapodemosexplicarel resultadodelaaberracinestelar-entendido como una l luvia de fotones- y calcular fcilmente el cambio aparentede direccin de un objeto lejano (como una estrella).585.4.2. Aberracin estelarSistema SS es el sistema de referencia del Sol y S es el sistema de referencia de laTierra, con velocidad orbitalv relativa a S.Suponemos que las direcciones relativas observadas son: S S

Las velocidades observadas de los fotones que llegan a S vienen dada porux= c cos uy= c sin Sistema SUsando las ecuaciones de adicin de velocidades tenemos:u

x=(c cos +v)1 +v cos cu

y=c sin _1 +v cos c_La direccin observada en S vendr dada por:cos

= u

xc=cos +vc1 +v cos cSi expresamos el resultado en fracciones dev/c, y teniendo en cuenta quelavelocidadorbital delaTierraalrededordel Sol esdeunos30Km/s,tenemos que 10459Podemos aproximar el resultado anterior comocos

(cos +) (1 cos )cos

cos + sin2Si introducimos el ngulo de aberracin estelar

= tenemoscos

= cos cos + sin sin Pero dado que el ngulo de aberracin es muy pequeo, podemos aproxi-marcos 1sin por lo que nalmentecos

cos +sin Este resultado nos proporciona un ngulo de aberracin que coincide conel resultado de las observaciones de Bradley sin 5.5. El efecto DopplerEl efecto Doppler consiste en la variacin de la frecuencia de la radiacinemitida en funcin del estado de movimiento relativo entre la fuente y el obser-vador.5.5.1. Efecto Doppler acsticoEn la gura 5.4 se muestra el diagrama que utilizaremos para analizar elefecto Doppler acstico.La fuente S y el receptor se mueven a lo largo de la misma lnea.Con respecto al aire, la velocidad de S esu1 y la de R esu2.Conocemos la frecuencia y el periodo de la seal emitida.60Figura 5.4: Efecto Doppler acsticoPara simplicar, suponemos que la seal se emite en pulsos cortos separadospor un tiempo igual al periodo de la seal.Suponemos que se emite un primer pulso P1 en t = 0 y un segundo pulso P2at = .Cada pulso viaja en el aire a la velocidad del sonidow.Transcurrido un intervalo de tiempo igual al periodo, el pulso y la fuenterecorren una distancia:P1 wS u1La distancia entreP1yP2-que llamaremos longitud de onda efectiva- vienedada por:

= (w u1) =w u1La velocidad del pulso relativa a R esw u2, de manera que el intervalo detiempo entre la llegada deP1 yP2 a R viene dada por:

=

w u1=w u1 (w u2)El inverso nos da la frecuencia efectiva

:

= w u2w u1= 1 u2/w1 u1/w61En el caso de que la fuente est esttica y el receptor en movimiento:(u1 = 0, u2 = v)

= (1 v/w) = (1 )Si el receptor est esttico y la fuente en movimiento:(u1 = v, u2 = 0)

=1 +v/w =1 +La fuente y el receptor se alejan, lo que provoca que la frecuencia observada seamenor que la emitida.Si reemplazamosv con v, obtenemos el resultado para la situacin en laque el receptor y la fuente se aproximan.5.5.2. Efecto Doppler en Relatividad EspecialEnestecasotenemosunradarqueemiteunaseal enreposodesdeunsistema S. Un observador S se mueve a velocidadv con respecto a S.El radar emite pulsos que se mueven a la velocidad de la luzc.El primer pulso se emite at = 0 cuando el observador est enx = 0.El pulson + 1 se emiten periodos despus.La frecuencia medida en S ser: = 1Para determinar lo que el observador registra, dibujamos un diagrama deMinkowski con la emisin y la llegada de los pulsos. Es decir, la intereseccinde las lneas de niverso del observador y la de los pulsos. La gura 5.5 muestrael diagrama de Mikowski.En S, estas intersecciones ocurren en (x1, t1) y en (x2, t2). Entoncesx1= ct1 = x0 +ct1x2= c (t2n) = x0 +vt262Figura 5.5: Diagrama de Minkowski para ilustrar el proceso de emisin y recep-cin de seales luminosas cuando el emisor y el receptor estn en movimientorelativo.Y por tantot2t1=cnc vx2x1=vcnc vPero al medir en S, utilizando las transformaciones de Lorentz:t

2t1= (t2t1) v(x2x1)c2== _cnc v vc2vcnc v_Dado que este intervalo cubre n periodos de la seal recibida, el periodo aparentees

=cc v_1 v2c2_ ==_1 2_1 == (1 +) 63Pero = _1 2_1/2de manera que, al nal del da

=_1 +1 _1/2O en trminos de la frecuencia

=_1 1 +_1/25.5.3. Conrmacin experimental: corrimiento al rojoObservando la luz que proviene de galaxias lejanas, los astrofsicos son capa-ces de observar unas lneas de absorcin caractersiticas incluso cuando el restode informacin se ha perdido: las llamadas lneas H y K del calcio ionizado.Estas lneas de absorcin se encuentran en el extremo violeta del espectroparaunafuenteenreposo, peroseobservandesplazadashacialaregindelongitudes de onda ms cortas para ciertas galaxias muy distantes (de 3940 a4750 angstroms). Este incremento supone un cambio en la longitud de onda dehasta un 25 %.

= c

=_1 +1 _1/2c =_1 +1 _1/2Utilizando la relacin del efecto Doppler para la longitud de onda observadaparacalcularlavelocidadalaquesemuevenestasgalaxiasobtenemosunavelocidad dev = 0,2c.Basndose en observaciones, Hubble estableci una relacin directa entre lavelocidad a la que se aleja una galaxia y la distancia a la que se encuentra, comomuestra la gura 5.6.5.6. Ms sobre el efecto Doppler: Las emisiones del Sput-nikA medida que el Sputnik orbitaba la Tierra, emita una serie de seales queeran recogidas en la Tierra por varias estaciones de seguimiento. En cada unade ellas, se observaba el cambio de frecuencia producido por el efecto Dopplera medida que el satlite se acercaba o se alejaba. Este cambio de frecuenciasno era instantneo, sino que segua una curva que proporcionaba informacinacerca de la velocidad y altura de la fuente en movimiento.64Figura5.6: LeydeHubble: las velocidades semuestransimplementecomoc/, sin tener en cuenta las modicaciones del efecto Doppler.Figura 5.7: Diagrama para considerar el efecto Doppler de las seales emitidaspor una fuente a un cierto ngulo con respecto a la direccin del movimiento.65Simplicaremos el ejemplo suponiendo que podemos aproximar la trayectoriadel satliteal pasarsobreel observadorcomounalneahorizontal (comosemuestra en la gura 5.7)x = vty = ht = 0 marca el instante en el que el satlite est directamente sobre el observador.En su propio sistema de referencia, el satlite emite pulsos de frecuencia.Consideramos dos pulsos consecutivos emitidos enx1 yx2, ent1 yt2.El intervalo entre dos pulsos parece mayor para el observador en la estacinde seguimiento debido a la dilatacin temporal.t2t1 = = /Cadaunodelospulsostardar1/cyr2/cenalcanzarO, demaneraquelaseparacin temporal

entre ellos es

= t2 +r2ct1r1c== (r1r2)cSi la distancia x2x1 es mucho menor que r1, es decir, si el satlite viaja a unavelocidad pequea entre la transmisin de seales, podemos aproximarr1r2 (x2x1) cos == v cos Al nal del da obtenemos que el periodo observado en O es

= _1 v cos c_con lo que obtenemos, para la frecuencia observada desde la Tierra

=v (1 cos )

= _1 2_1/21 cos 665.7. Efecto Doppler y dilatacin temporalEn 1907 Einstein sugiri medir la longitud de onda aparente de la luz emitidaen direcciones perpendiculares en tomos movindose rpidamente.

() = _1 2_1/21 cos

() = 1 cos (1 2)1/2= (1 cos )Si medimos la longitud de onda en direcciones perpendiculares, podemos medirel factor y as vericar la teora de la relatividad.A la prctica resulta muy difcil medir la radiacin exactamente a 90 (yuna pequea desviacin ocultara la contribucin del factor).En 1938 se publicaron los resultados de un experimento que eliminaba ladicultad del experimento propuesto por Einstein: se mide la radiacin emitidahacia adelante o hacia atrs por el tomo.

() = 1 +(1 2)1/2= _1 +1 _1/2

(0) = 1 (1 2)1/2= _1 1 +_1/2Desarrollando en potencias de:

() = _1 + + 122+ _

(0) = _1 + 122+ _Si despreciamos el segundo orden, cada una de estas longitudes de onda dieredel efecto Doppler de primer orden en un factor , es decir, unos 15 angstrom.Si tenemos en cuenta las contribuciones de segundo orden, la media de las doslongitudes de onda dieren precisamente en el factor de dilatacin temporal,es decir, una diferencia de longitudes de onda de( 1) Utilizando las aproximaciones segn nos convenga:67Primer orden:1 = =vcSegundo orden:2 = ( 1) 12v2c2 =12 (1)2Enausenciadedilatacintemporal estetrminoseracero, loquesir-ve como prueba experimental para ver si la cinemtica relativista existerealmente.5.8. Una nueva bsqueda del terCuando Maxwell escribi en 1879 la carta a Michelson que estimul la bs-queda del arrastre del ter no haba ningn experimento concebible que fueracapaz de medir efectos del orden dev/c. Esto era as porque cualquier experi-mento que pudiera llevarse a la prctica requera que el rayo de luz retornarasobre su camino, de manera que los efectos observables eran de _vc_2.La invencin del mser cambi esta situacin, dando lugar al experimentode Cedarholm y Townes.5.8.1. BasesEl experimentosebasaencompararlasfrecuenciasdedosmserscuyoshaces se mueven en direcciones opuestas.Unmseressimilaral reloj depulsosdeluzdenidoanteriormente. Sufrecuencia viene denida por el tiempo que tarda la radiacin en viajar de unlado a otro y rebotar (dentro de la cavidad resonante).La radiacin viene proporcionada por el haz de molculas excitadas que semueven de forma transversal a la cavidad con velocidadu.5.8.2. Mser en reposo con el terEnestecaso, lospulsosderadiacinviajandeformaperpendicularaladireccin de movimiento molecular.685.8.3. Mser en movimiento con el ter (a velocidadv paralela a ladireccin del movimiento molecular)Para que la radiacin permanezca en el interior de la cavidad resonante, debeemitirse a un ngulo relativo al haz molecular de/2 El ngulo debe ser dev/c.En este caso, tenemos un efecto aadido que no tenamos en el interfermetrode Michelson-Morley: dado que las molculas del haz tienen una cierta velocidadurelativaalacavidad, sonunafuentemovindoseaunavelocidaduconrespecto a la direccin de los haces. Esto provoca un efecto Doppler con valor=uc=uvc2Si tomamos dos msers similares con sus ejes paralelos, pero con los haces mole-culares movindose en direcciones opuestas (aunque paralelos a v), entonces unafrecuencia aumenta mientras que la otra disminuye. Mezclando las dos salidas,pordemos obtener un pulso con una frecuenciaf =_2uvc2_Girando todo el montaje 180, podemos doblar el cambio de frecuencia, llegandoa: _4uvc2_5.8.4. Resultado experimentalLa frecuencia resonante para un mser de amonaco es: 2,4 1010s1Una velocidad trmica tpica es de 600m/s.Con estos valores, obtenemosf 1,2 1032,4 10109 1016v s1 3 104v s1Si tomamos para la velocidad orbital de la Tierrav= 3 104m/s, tenemosun resultado para la frecuencia del pulso de unos 10 cps, lo que durante una69rotacin completa del aparato llegara a los 20 cps.El resultado a lo largo de diferentes medidas llevadas a cabo a lo largo detodo un ao revelaron un cambio en la frecuencia menor o igual a 0,02 cps, loqueequivalea30 m/scomovalormximoparav(o1/1000delavelocidadorbital de la Tierra).Este resultado se considera como el golpe de gracia denitivo a lateora del ter jo.5.9. Mirando relojes en movimiento y otros objetosCuando decimos que si miramos un reloj en movimiento lo vemos funcionarms despacio, en realidad lo que estamos diciendo es que estamos comparandolas medidas tomadas en un sistema de referencia jo con el objeto en movimientocon relojes en el sistema del observador. En esta situacin, observamos que elreloj en movimiento funciona ms lentamente justo en el factor =_1 v2c2_1/2Si en realidad miramos un reloj en movimiento, es decir, utilizando unosprismticos, porejemplo, entonceslasituacinesdiferente, yaqueloqueobservamos son las seales emitidas en un tiempo tr/c comparadas con nuestrotiempo actual t. Si pensamos que los ticsde un reloj son seales emitidas enintervalos, lo que veremos desde nuestro sistema es el efecto Doppler aplicadoa ese sistema (como en el caso del Sputnik, en el apartado 5.6).

=_1 +1 _1/2Si consideramos que el reloj se mueve a lo largo de una lnea recta que pasa pornuestra posicin como observadores, en realidad, cuando el reloj se aproxima loque vemos es que funciona ms rpido (ya que es negativa)

< LaconclusinseraqueenRelatividadEspecial esesencial sercomple-tamenteespeccoacercadequprocesoestamosdescribiendo. Debemossercautos a la hora de utilizar las palabras observar, ver y mirar, ya que enlos dos ltimos casos deberamos tener en cuenta el tiempo nito que tarda la70Figura 5.8: Mirando un objeto rectangular en movimiento a velocidadv pa-ralela al eje x.luz en llegar a nuestros ojos (o al dispositivo que ve).En general, al considerar los efectos pticos de la percepcin de un obje-toquesemueveavelocidadesrelativistasveramosquecuandocaptamoslaimagen del objeto en movimiento, estaramos captando la luz emitida desde elobjeto en diferentes instantes, ya que la luz ha tenido que viajar una distanciadiferente para cada punto del objeto (de forma que se capte la imagen de formasimultnea), por lo que el objeto aparecer deformado.5.9.1. Anlisis de un objeto en movimiento paralelo a sus ladosEnlasituacinqueilustralagura5.8, laluzprovinientedelaesquinaposteriorA0 tiene que recorrer una distanciaW0 extra comparada con la queproviene de la esquina frontalB0. Para poder llegar al ojo de forma simultneacon la luz emitida por A0, tiene que ser emitida un poco antes, un tiempo W0/c.Durante este intervalo, la tabla se ha movido una distanciavW0/c, de maneraque sus extremos estn ahora en las posiciones marcadas comoB1 yC1 en elmomento en el que la luz sale de las esquinas.Debido a la contraccin de Lorentz, el extremoB1C1 parece tener una dis-tanciaL0/(comosuponemosquelosdosextremosestnequidistantes, no71consideramos diferencias en los tiempos de transmisin hasta el observador; su-ponemos que la tabla est lo sucientemente lejana del observador como paraque los rayos de luz vengan paralelos).As, encualquierinstante, el observadorveunaversinencogidadelaparte trasera de la tablaAB, y una versin contrada por Lorentz del ladoBC.A

B

= vW0/cB

C

= L0_1 v2/c2_1/2Si consideramos ahora la tabla en reposo, pero girada un cierto ngulo (eldiagrama de la gura 5.8 c)), vemos que los valores que vemos para los ladosAB yBC son los que corresponderan a la relacinsin = v/cEsto no signica que la contraccin de Lorentz no sea cierta, sino que lo quevemos no es lo mismo que lo que observamos.Observaryvernoeslomismo: un reloj que se aproxima lo vemosfuncionar ms rpido debido al efecto Doppler, aunque observemos que funcionams lento debido a la dilatacin temporal, por ejemplo.5.10. Movimientos aceleradosPodemos considerar movimientos relativistas acelerados dentro del marco dela relatividad especial, pero los resultados son complicados y no tiene demasiadosentido recordarlos.Al igual que en el caso de las velocidades, es prctico considerar por separadolas aceleraciones transversales y las longitudinales.Partiendo de las leyes de transformacin de las velocidadesux=u

x +v1 +vu

xc2ux=u

y1 +vu

xc2t = _t

+vx

c2_725.10.1. Aceleracin longitudinalPor un lado tenemos:dux =du

x1 +vu

xc2__u

x +v_1 +vu

xc2_2v du

xc2__(consideramosv constante).dux =_1 v2c2_du

x_1 +vu

xc2_2=du

x_1 +vu

xc_2Por otro lado:dt = _dt

+v dx

c2_ = _1 +vu

xc2_dt

Por lo que al nal tenemos:ax=duxdt=du

xdt

3_1 +vu

xc2_3=ax=a

x3_1 +vu

xc2_3(5.1)5.10.2. Aceleracin TransversalPara la derivada de la velocidad transversalduy =du

y_1 +vu

xc2_ u

y_1 +vu

xc2_2v du

xc2Al nalay =duydt=du

ydt

2_1 +vu

xc2_2 u

y2_1 +vu

xc2_3v du

xdt

c2Por lo que al nal tenemos:ay =ay2_1 +vu

xc2_2 _vu

yc2_a

x2_1 +vu

xc2_3(5.2)73Slo en el caso en el queuy oa

x (o ambas) sean cero, la expresin para laaceleracin transversal 5.2 se simplica:ay =a

y2_1 +vu

xc2_2La conclusin es que la aceleracin es una cantidad de limitado ycuestionablevalorenrelatividadespecial; noslonoesinvariante,sinoqueademslasexpresionesparasuclculosoncomplicadasysuscomponentessetransformandeformadiferente. Supapel pre-dominanteenlamecnicaNewtoniananoesrelevanteenlanuevadinmica relativista.5.11. Los gemelos5.11.1. Descripcin de la paradojaDe todas las supuestas paradojas engendradas por la teora de la relatividad,la paradoja de los gemelos es la ms famosa y la que ha sido ms controvertida.Si un reloj permanece en reposo en un marco inercial y el otro, con el queinicialmente coincide, es llevado a lo largo de cualquier recorrido cerrado (quevuelva al punto inicial), el segundo reloj habr perdido tiempo con respectoal primero.La paradoja aparece debido a la asimetra que parece contradecir la relativi-dad de la teora, ya que ambos coinciden en que el viajero ha envejecido menosque el otro gemelo.5.11.2. Anlisis de la paradoja: Descripcin del viajeEl primer punto que debemos analizar es la descripcin del viaje en s mismo.Describimos el recorrido del viajero como compuesto por tres eventos sepa-rados por periodos de movimiento uniforme:1. El viajero A arranca, alcanzando una velocidad v constante en un intervalode tiempo negligiblemente corto.2. Despus de un tiempo, el viajero invierte repentinamente su velocidad.3. El viajero vuelve al punto de partida y se detiene.745.11.3. Anlisis de la paradoja: Mtodo 1Suponemos que el observador en la Tierra B registra el tiempo total T entrelos eventos 1 y 3.El observador deduce que el tiempo de ida y el tiempo de vuelta toma cadaunoT/2.Dado que el observador conoce el efecto de la dilatacin temporal, admiteque el viajeroA registra, para cada tramo del viaje, un tiempo deT/2.El viajeroA observa un tiempo total de viajeT/.Podemos reforzar esta conclusin a travs de la contraccin de Lorentz. Elevento 2 ocurre a una distancia L =vT2del punto inicial. Pero A, en el momentoen el que su aceleracin se completa hasta alcanzar la velocidad v, se encuentraen un marco de referencia en el que la distancia es sloL . De nuevo tenemos unvalor reducido para el tiempo del viaje. As que los dos clculos son correctos.Podemos tomar el observadorB como el viajero y elA como el observadoren reposo?No! No podemos hacerlo porque el sistema asimtrico.El evento 2 es el decisivo: durante el evento 2, A cambia de un sistema inerciala otro, mientras que no pasa nada para el observador B. En su giro, el observadorA experimenta una aceleracin que puede detectar de varias maneras: el viajerosiente las fuerzas inerciales actuando sobre l; ve estrellas, con lo que puede verun repentino corrimiento al rojo en la posicin aparente de las estrellas, etc.(Por supuesto, para arrancar y frenar durante los eventos 1 y 3, tambin sufreaceleraciones).Comovemos, nohayparadojayel envejecimientoasimtricoesreal.5.11.4. Anlisis de la paradoja: Mtodo 2Este mtodo se basa en el efecto Doppler y es ms convincente que el mtodo1 (descrito en 5.11.3).Suponemos que cada uno de los gemelos enva seales igualmente espaciadasen el tiempo(en su propio tiempo propio) al otro.Contamos el nmero acumulado de seales para el viaje completo y nal-mente los comparamos.Suponemos que cada gemelo est transmitiendo f pulsos por unidad de tiem-po.75A medida queA se aleja deB, cada observador recibe las seales del otro aun ritmo reducido:f

= f_1 1 +_1/2La clave es que, cuando el viajeroA invierte su velocidad (empieza a volver)durante el evento 2, empieza a recibir las seales procedentes deB a un ritmoincrementado:f

= f_1 +1 _1/2En el caso deB la situacin es diferente: la ltima seal que envaA antesde invertir su movimiento en el evento 2 no alcanza aB hasta un tiempoL/cdespus. Por tanto, durante mucho ms tiempo que la mitad del tiempo total, Best registrando las seales enviadas por A a un ritmo menor f

. Slo durante lasltimas fasesB recibe los pulsos a un ritmo incrementadof

. Cada observadorrecibe tantas seales como el otro enva entre el inicio y el nal del viaje.Ambos coinciden en que el tiempo total medido segn sus propiasmediciones es diferente del medido por el otro.Pese a stos anlisis puede parecer extrao que dos relojes -cada uno de loscuales ha estado marcando tiempo propio- puedan colocarse en el mismo lugary, an as, mostrar discrepancias en sus medidas. Al n y al cabo:1. La separacin en espacio-tiempo entre los puntos de inicio y nal del viajees un invariante.2. El invariante espacio-temporal uede ser vericado por ambos observadores.3. El invariante espacio-temporal es puramente temporal.Sin embargo, la suma de los intervalos elementales espacio-temporalesdsalolargodel recorridoesunacantidaddependientedelaruta.Siempre tenemos:ds2= c2dt2dx2= _c2dt2dx2_El problema es que la integral deds a lo largo de la lnea de universoOCFdelgemelo que se queda en la Tierra no da el mismo resultado que la integral a lolargo de la lnea de universo ODF del gemelo viajero (ambas vistas en el marcode referenciaB), como muestra la gura 5.9.76Figura 5.9: Lneas de universo del gemelo viajero (ODF) y su hermano (OCF) .A lo largo deOCF,dx = 0 en cada fase. Por tanto31 camino OCFds = c31 camino OCFdt = cTA lo largo deOD,dx = vdt. Por tanto21 camino ODds = _c2v2_1/221 camino ODdt =cT2A lo largo deDF,dx = vdt, de manera que32 camino DFds =cT2Por tanto31 camino ODFds =cTPara resumir el anlisis de la paradoja de los gemelos, incluimos la tabla35.1.6. Dinmicarelativista: colisiones yleyes deconservacin6.1. IntroAunque parecera que los resultados de la Relatividad Especial nos haranmodicar las leyes de la mecnica, lo cierto que es que el esquema newtoniano3Tabla 5-1 A.P. French77Cuadro 5.1: Tabla resumen con todos los resultados del anlisis de la paradojade los gemelosfunciona correctamente en el lmite de las velocidades pequeas. En condicionesordinarias las velocidades de objetos macroscpicos son minsculas comparadascon la velocidad de la luz.El nico caso en el que los problemas incluyen velocidades que no son com-parables con la velocidad de la luz es en el mundo de las partculas atmicas yde las partculas nucleares.6.1.1. Objetivos del captuloConservacin del momento linealLa conservacin del momento ser aplicable tanto a las coordenadasdeformaindependientecomoal momentototal tratadocomounnico vector.Conservacin de la energaLa conservacin de la energa se utiliza entendiendo que es la energatotal la que se conserva en todas sus formas, incluyendo la masa, lacantidad que se conserva.78Supondremos que estos dos principios bsicos son aplicables a cualquier sistemaautocontenido, y nos concentraremos en situaciones en la que la interaccin tienelugar a lo largo de un periodo reducido de tiempo.Esdecir, noscentraremosencolisionesyenprocesosanlogos, ytodonuestro inters se centrar en relacionar el antes con el despus.Antesdesercapacesdeaplicarestosprincipiosdeconservacindebemosconsiderar cmo formularlos y justicarlos en trminos relativistas.En el Captulo 1 desarrollamos las expresiones para:p = m0v (6.1)E = m0c2(6.2)m(v) = m0(6.3)En la deduccin de estas expresiones utilizamos la relacin entre la energa y elmomento para los fotones comop =E/c. De hecho, si miramos con detalle laargumentacin que hicimos para deducir las expresiones, veremos que utilizamosimplcitamente la conservacin tanto del momento como de la energa.En realidad no estamos descubriendo estos principios de conservacin, sinoque los estamos aseverando, basndonos en la extensiva justicacin que pro-viene de la dinmica clsica.En realidad, al pasar de la dinmica Newtoniana a la Einsteniana, lo nicoque estamos haciendo es extender el rango de problemas que pueden abordarseutilizandoestosconjuntosdereglas. Enel proceso, obtenemosnuevaspres-cripciones para calcular cantidades como el momento y la energa cintica entrminos de la velocidad y de un parmetro inercial (la masa).6.2. Dos puntos de vista para una colisin elsticaConsideraremos el tipo ms simple de colisin: la colisin elstica entre dospartculas idnticas.Todo el movimiento tiene lugar en un plano.6.2.1. Visin newtonianaLos objetos A y B, con velocidadesu1 yu2 chocan entre ellos.Tras la colisin, tienen velocidadesv1 yv2.79En una colisin de este tipo siempre es posible encontrar un conjunto decuatro multiplicadores escalares de manera que podemos escribir una ecuacinde la forma:1u1 +2u2 = 3v1 +4v2(6.4)Experimentos de todo tipo revelan que en cualquier colisin de este tipo,para dos objetos dados, podemos obtener un vector identidad haciendo que:1= 3 = mA(6.5)2= 4 = mB(6.6)TantomA comomB son una propiedad escalar del objeto.Esdecir, observacionespuramentecinticasnospermitenintroducirunosparmetros que llamaremos masa inercial de los cuerpos.Graciasaestosparmetrospodemosobtenerlaformadelaecuacindeconservacin del momento lineal.6.2.2. Visin einstenianaLos objetos A y B, con velocidadesu1 yu2 chocan entre ellos.Tras la colisin, tienen velocidadesv1 yv2.Cuando introducimos la cinemtica relativista ya no ser posible escribir larelacin entre la velocidad inicial y la nal de los objetos que colisionan de formatan simple como en la versin newtoniana (ecuacin 6.4)En cualquier caso, intentaremos obtener una frmula lo ms similar posible,preguntndonos cul debe ser la cinemtica implicada en una colisin de estetiposi queremosasegurarlaconservacindel momentolineal enel siguientesentido extendido:EnlacolisindedosobjetosAyBdescritaenel marcodeunsistemaparticulardereferencia, lasvelocidadesinicialesynalesestn relacionadas mediante la ecuacin:mA (u1) u1 +mB (u2) u2 = mA (v1) v1 +mB (v2) v2(6.7)A partir de la mecnica newtoniana sabemos que esta ecuacin la satisfacenvalores demA ymB independientes de la velocidad.Ahora vemos que la cinemtica relativista nos hace obtener las relaciones dem con la velocidad que obtuvimos en el Captulo 1.80Figura 6.1: Colisin inelstica en el sistema de referencia de momento total cero6.2.3. Experimento mentalTenemos dos observadores, uno en un sistema inercial de referencia S y otroen S. Ambos utilizan idnticos equipos para medir tiempos y distancias y acuer-dan producir colisiones completamente simtricas entre dos partculas idnticas.El experimentador en S lanza una partcula A a lo largo de su eje y conuna velocidad -medida en S- deu0El experimentador en S lanza una partcula B a lo largo de su eje y conuna velocidad -medida en S- de u0La velocidadu0 es pequea, pero S y S tienen una velocidad relativav en ladireccin x muy alta.Los experimentadores son tan hbiles que el choque se produce cuando loscentros de las dos partculas se encuentran en el origen del eje y.6.3. Dos puntos de vista para una colisin inelsticaEn este caso consideramos la colisin de dos partculas idnticas, pero estavez suponemos que la colisin es completamente inelstica.Consideramos que tenemos un sistema de referencia S en el que las partculasse aproximan la una a la otra siguiendo una trayectoria recta con velocidadesopuestas de magnitudu, tal como muestra la gura 6.1.Como se observa desde el sistema de referencia S, la colisin resulta en laformacin de una partcula compuesta.Tenemos un segundo sistema de referencia S, relativo al cual S tiene unavelocidadu, en el que una de las partculas est inicialmente en reposo (vergura 6.2)La partcula compuesta formada tras la colisin se observa en S movindosea velocidadu.La partcula inicialmente se est moviendo a velocidad U, relacionada con u81Figura 6.2: En este sistema de referencia, una de las partculas est inicialmenteen reposo.a travs de la frmula de adicin de velocidades:ux =u

x +v1 +vu

xc2(6.8)Si introducimosux = U,u

x = v = uU =2u1 +u2c2(6.9)Ahora escribimos las ecuaciones de conservacin del momento y de la masa (denuevo, suponemos que la masa es funcin de la velocidad).m(U) U = Mu (6.10)m(U) +m0= M (6.11)EliminandoM entre las dos ecuaciones:m(U)m0=uU u(6.12)A partir de la relacin entre U y u (ecuacin 6.9) podemos encontrar la relacinm(U) /m0 como una funcin explcita deUu22c2U u +c2= 0 (6.13)Entoncesu =c2U __c2U_2c2_1/2==c2U_1 _1 U2c2_1/2_(6.14)82Como debemos obteneru U2paraUc, sabemos que debemos elegir elresultado con el signo negativo:u =c2U_1 _1 U2c2_1/2_(6.15)Por tantoU u =c2U_U2c21 +_1 U2c2_1/2_(6.16)U u =c2U2__1 U2c2_1/2__1 _1 U2c2_1/2_(6.17)Introduciendo los resultados anteriores parau yU u obtenemos:m(U)m0=1_1 U2c2_1/2= (U) (6.18)Enestecasonecesitamosmsmanipulacinalgebraicaqueenlaseccinanterior para obtener la expresin de la masa en funcin de la velocidadm(v) = m0 =m0_1 v2c2_1/2(6.19)Sin embargo, este resultado es ms satisfactorio en varios sentidos:1. La colisin considerada es extremadamente simple, ya que todo el movi-miento se produce en una lnea recta.2. El clculo es exacto. Una de las partculas est, por denicin, completa-mente en reposo con respecto al sistema de referencia S antes de la colisin(no slo aproximadamente, como en el caso anterior).3. El uso explcito de la conservacin de la ecuacin de la masa conduce deforma natural a la equivalencia de masa y energa.Aunque ya obtuvimos esta relacin el captulo 1, se destaca de nuevo aqupara enfatizar la ntima relacin entre la cinemtica y la dinmica.m(U) = m0_1 U2/c2_1/2= m0 + 12m0U2c2+ (6.20)83Por tantom(U) c2= m0c2+ 12m0U2+ (6.21)El segundo trmino coincide exactamente con la energa cintica clsicade una partcula de masam0y velocidadU. Como vemos, volvemos aobtener la expresin para la energa total de una partcula de masam0 yvelocidadUE =m0c2_1 U2c2_1/2= m(U) c2(6.22)4. Considerando de nuevo la colisin podemos demostrar que el uso consis-tentedeunarelacinentrelamasaylavelocidadnoimplicaningunacontradiccin.A travs de la ecuacin tenemos una expresin que indica que la velocidad de lapartcula incidente, observada en el sistema de referencia S tiene velocidad U.Si lo expresamos en funcin deu tenemos:1 U2c2= 1 4u2c2_1 +u2c2_2= (6.23)=_1 u2c2_2_1 +u2c2_2Entoncesm(U) =_1 +u2c2_2_1 u2c2_2 m0(6.24)Sustituyendoestevalorenlaecuacin6.11encontramosquelamasadelapartcula compuesta, medida en el sistema de referencia S viene dada porM =2m01 u2c2(6.25)Pero en el sistema S la partcula compuesta tiene velocidadu. A partir de laecuacin 6.18 deducimos que su masa en reposo debe serM0, dondeM0 = M_1 u2c2_1/2(6.26)84Usando la ecuacin 6.25, esto nos lleva aM0 =2m0_1 u2c2_1/2(6.27)Si consideramoslacolisindesdeel sistemadereferenciaS, lapartculacompuesta est en reposo (formada por la colisin de dos partculas, cada unade masam0y velocidadu). Suponemos que toda la energa aportada por laspartculas se retiene en la partcula compuesta. No asumimos -y no debemoshacerlo- queM0 es igual a 2m0.Usando la conservacin de la masa en el sistema de referencia S, tenemosM0 = 2m(u) (6.28)Este resultado es idntico al obtenido anteriormente si aceptamos la depen-dencia de la masa con la velocidadm(u) = (u) m0(6.29)6.4. Ms consideraciones respecto a las leyes de conserva-cinLas leyes de conservacin no son sagradas, pero nunca se ha encontrado unmotivo para abandonarlas (no han fallado nunca).Vamos a dar como buenas las siguientes expresiones (para un sistema aislado)y vamos a ver hasta dnde nos llevan:Etotal= c2mtotal = constante (6.30) ptotal= constante (6.31)Tambin vamos a utilizar las relaciones dinmicas:E2= (cp)2+E20(6.32)(dondeE = mc2yE0 = m0c2) yv =pm =c2pE(6.33) =vc =pmc =cpE(6.34)85No consideramos ni fuerzas ni aceleraciones.6.5. Absorcin y emisin de fotones6.5.1. AbsorcinConsideramos que tenemos una partcula en reposo de masaM0 que es gol-peada por un fotn de energaQ que es completamente absorvido. El sistemacombinado tendr una masaM

y retroceder a una velocidadv.Conservacin de la energa:E = M0c2+Q = M

c2(6.35)Conservacin del momento lineal:p =Qc= M

v (6.36)Entonces:M

= M0 +Qc2(6.37) =vc =QM0c2+Q(6.38)Si laenergadel fotnincidenteesmuchomenorquelaenergadelapart-cula en reposo, obtenemos el resultado newtoniano, con el cuerpo que estabainicialmente en reposo obteniendo un impulsoQ/c del fotnQ M0c2 QM0c2(6.39)6.5.2. EmisinAhora suponemos que tenemos un tomo de masaM0 que emite un fotnde energaQ. En este caso, la situacin es ligeramente ms complicada porqueel tomo emisor adquiere cierto retroceso. Supondremos que la masa del tomoen retroceso esM

(con masa en reposoM

0) y velocidadv.Conservacin de la energa:E = M0c2= M

c2+Q = E

+Q (6.40)86Conservacin del momento lineal:p = 0 = M

v Qc= p

Qc(6.41)EntoncesE

= M0c2Q (6.42)cp

= Q (6.43)Solucionaremos estas ecuaciones paraQ aprovechando la relacin entreE

yp

para el tomo en retroceso:_M

0c2_2= (E

)2(cp

)2= _M0c2Q_2Q2(6.44)De donde_M

0c2_2= _M0c2_22M0c2Q (6.45)Ahora M0c2y M

0c2, las energas del tomo en su estado inicial y nal tienenciertos valores denidos, y la diferencia entre estos valores es una energa jacon un valor denido. AsM

0c2= M0c2Q0(6.46)Por tanto_M

0c2_ = _M0c2_22M0c2Q0 +Q20(6.47)Combinando las ecuaciones 6.45 y 6.47 obtenemosQ = Q0_1 Q02M0c2_(6.48)Dado que la energa del fotn es proporcional a la frecuencia, la frecuenciacorrespondiente disminuye y la longitud de onda aumenta.Solo si el retroceso del tomo pudiera, de alguna manera, evitarse, la energaliberadaQ0 podra transferirse ntegramente al fotn. Este resultado tiene im-portantes implicaciones fsicas, ya que impone limitaciones a las posibilidadesde que los tomos o sus ncleos reabsorvan sus propias emisiones caractersticas.87Figura 6.3: Esquema del montaje utilizado para demostrar la dispersin reso-nante por tomos libres en retroceso de198Hg.6.5.3. Implicacionesfsicasdelretrocesoenlaemisinyabsorcinpor ncleosCualquier elemento adecuadamente estimulado emite lneas espectrales ca-ractersticas (por ejemplo, las series de Balmer en el hidrgeno). Estas lneasson muy delgadas, por lo que representan un rango extremadamente pequeode diferentes longitudes de ondas alrededor de un cierto valor medio. Esta del-gadez es una expresin de que los tomos emisores no pueden existir en estadosde energa arbitraria, sino que estn limitados a una serie de niveles de energa.La emisin de un fotn corresponde a una cierta prdida de energa cuando eltomo pasa de un estado A a uno B. Al fotn, sin embargo, se le escatima unacierta cantidad de energa, que va a para al retroceso del tomo. Si este fotn seencuentra un tomo similar en un estado B, no tiene suciente energa como pararetornarlo al estado A (con el agravante de que la absorcin tambin implicaraun cierto retroceso). Por tanto, si los estados de energa fueran perfectamentedelgados, si los tomo emisores estuvieran inicialmente estacionarios, un vaporsera transparente a su propia radiacin.En realidad las cosas no son tan simples (los niveles de energa no son perfec-tamente estrechos y los tomos tienen velocidades trmicas que pueden enmas-carar los efectos del retroceso). De hecho, el movimiento trmico de los tomosoculta este efecto para la luz visible. Pero deberamos poder ver el efecto delretrocesopararayos emitidosporunncleo, yaqueel efectoseramuchomayor.El experimentorealizadoporP.B. Moondemostrel efectodel retroceso88para los fotones. Se mont una fuente de rayosde 412keV en el extremode un rotor (ver gura 6.3). Los fotones emitidos se recogan en un objetivoestacionario de mercurio, al ser dispersados hacia el contador y por tanto, serobservados. Tanto la dispersin como la absorcin se dan cuando la energa delfotn es la adecuada para hacer que el ncleo alcance un estado de mayor energa.El experimento demostr de que esta condicin se daba cuando la velocidad dela fuente era de unos 700 m/s para el Mercurio.Est claro que el retroceso nuclear representa una fraccin extremadamentepequea de la energa liberada, y que sta viene determinada por la fraccinQ02M0c2. En el experimento:Q0= 4,12 105eVM0= 198 uma = 3,28 1025KgM0c2= 2,95 108julios = 1,84 1011eVQ02M0c2 106Cada fotn est implicado en dos retrocesos; el de emisin y el absorcin. Elfactor 1 Q02M0c2debe aplicarse dos veces y la velocidad de la fuente debe ser lasuciente como para proporcionar la fraccinQ0M0c2de la energa de excitacinoriginal que no est disponible por los retrocesos.Podemos calcular esta energa recurriendo a la cinemtica del efecto Doppler.Dado que el retroceso nuclear es poco importante, la frecuencia -y por tanto laenerga de la radiacin- aumenta en una fraccin dev/c, ya que la velocidadde cualquier fuente que se mueva hacia el observador lo har a una velocidadmucho menor quec. Por tanto:vc Q0M0c2(6.49)Introduciendo los valores del experimento en esta frmula, obtenemosvc = 2,24 106v 670 m/sComo vemos, la velocidad calculada tericamente se ajusta con precisin al valorde 700 m/s obtenido experimentalmente.896.6. El efecto MossbauerPodra parecer que el retroceso atmico o nuclear fuera un hecho irremedia-blemente unido a la emisin de fotones. Sin embargo, no es as.La emisin de fotones por tomos de una red cristalina se realiza sin que seproduzca retroceso de los tomos de la red: Efecto Mossbauer.En algunas circunstancias, el momento asociado al retroceso que acompaala emisin o absorcin de un fotn gamma es proporcionado por el cristal, envez de por un slo ncleo.Aunque el cristal sea pequeo desde un punto de vista macroscpico, contienetantos tomos (1010tomos en un cubo de un micrn cbico) que la proporcinQ0/2M0c2resulta prcticamente nula.Anteriormente indicamos que la existencia de un retroceso nuclear no ga-rantizabaens mismoquelosfotonesemitidosnopudieranserreabsorvidospor tomos similares. Aunque podemos decir que la energaQ0caracteriza ladiferencia de energas del tomo entre su estado normal y sus estados excitados,en realidadQ0 es slo el valor ms probable. El tomo tiene una probabilidadnita de encontrarse en un estado de energa cercana aQ0 (y no exactamenteigual aQ0). Esta caracterstica amplitud de un estado nuclear es una cosa bas-tante particular. Si el ancho es extremadamente pequeo, entonces la absorcinestar precisamente anada. En estos casos en los que una pequea variacin deenerga hace la reabsorcin posible, el efecto Mossbauer resulta particularmenteespectacular.6.7. El cohete propulsado por fotonesLos entusiastas de los viajes espaciales han propuesto utilizar la radiacincomo propelente para una nave.6.7.1. Ventajas del uso de la radiacin como combustible para navesespacialesEl empuje de un cohete es proporcional a la velocidad del fuel expulsado,por lo que pasaramos de una velocidad de 104m/s (lmite de los combus-tibles qumicos) a la velocidad de la luz c ( 108m/s)Si la velocidad del cohete fuera cercana a c los astronautas se beneciarande la dilatacin temporal en viajes largos.90Suponemos que el cohete tiene una masam0 en reposo, con una capacidad decarga til que es una fraccin f de la masa en reposom0 del cohete.Del estadoinicial dereposo, pasamosatenerlacargaenmovimientoavelocidad v.Una cierta cantidad de energa emitidaEr viaja en direccin opuesta.Usando las ecuaciones de conservacin del momento y la energa tenemosEtotal = m0c2=fm0c2_1 v2c2_1/2 +Er(6.50)ptotal = 0 =fm0v_1 v2c2_1/2 Erc(6.51)EliminandoEr de las ecuaciones tenemos:m0c2=fm0c2_1 v2c2_1/2 +fm0vc_1 v2c2_1/2(6.52)Es decirf +f = 1 (6.53)donde =vc(6.54)y =_1 v2c2_1/2(6.55)Disearemos la nave espacial para obtener un valor dedado, de maneraque nuestra incgnita ser f (la fraccin de carga til). Dado que y estnrelacionadas por = _1 2_1/2(6.56)2= 1 12(6.57) = _21_1/2(6.58)De manera que la ecuacin para f quedar comof +_21_1/2f = 1 (6.59)91O lo que es lo mismo, reordenando:f22f + 1 = 0 (6.60)Si queremos que, por ejemplo = 10 (para que la dilatacin temporal seasignicativa), encontramos que f 0,05. El problema es que, desde un punto devista humanitario, queremos que los astronautas vuelvan a casa. Y esto signicaque tenemos que tener en cuenta tres fases ms como la que hemos considerado:el proceso de frenada cuando el cohete llegue a su destino, el despegue al iniciodelavueltaacasa, yel aterrizajenal. Estosignicaquelamasatil slopodra serf4de la masa original del cohetem0. En el caso que hemos elegido,105m0.As que, al nal, no parece que un cohete impulsado por fotones sea unabuena idea. . .6.8. Creacin de partculasUna de las posibilidades de la equivalencia entre masa y energa es la capa-cidad de crear nuevas partculas.Para crear una nueva partcula de masa en reposom0 habr que proporcio-nal, al menos,m0c2.A la prctica, hay que proporcionar mucha ms energa:1. Hay otras leyes de conservacin, adems de las de la energa y el momento,por lo que a veces es imposible crear slo una partcula en un proceso decolisin. Por ejemplo, debe conservarse la carga, como en la creacin deun electrn y un positrn a partir de un fotn: e +e+2. Si hacemoscolisionarunapartculaenmovimientoconunaenreposo,partedelaenergaseinvertirenlaenergacinticadel sistemaynoestar disponible para la creacin de la partcula.Podemos saltarnos esta segunda limitacin haciendo chocar dos par-tculas que se muevan a la misma velocidad en direcciones opuestas;as toda la energa cintica estar dispobible para la creacin de par-tculas.92Tcnicamente, hacer chocar partculas que se mueven en direccionesopuestas es ms complicado que hacer chocar una partcula en mo-vimiento contra un blanco esttico. Pero desde el punto de vista dela eciencia energtica referida a la creacin de partculas hace quevalga la pena.6.8.1. Creacin de pionesIndependientemente de si tenemos dos haces de partculas que colisionan,siempre podemos imaginarnos situados en un sistema de referencia en el que elmomento total es ceroptotal = 0Suponemos que tenemos dos protones con momentos iguales pero opuestosp con una energa total 2mc2.Es lgico imaginar que en el estado nal, en este sistema de referencia, todaslaspartculasestarnenreposo. Estaeslamejorsituacinposibledesdeelpunto de vista de eciencia energtica, ya que no se desperdicia nada en formade energa cintica:E = 2mc2= 2m0c2+mc2(6.61)dondem0 es la masa en reposo del nuclen, es decir, un protn o un neutrn,despreciando la ligera diferencia de masa entre ellos, y m es la masa de un pincargado.As, tenemosmm0= 1 +m2m0(6.62)Dadoque m=273me, m0=1873me, estonosdaque m/m0=1074, om0/m = 0,93. Podemos usar este valor dem0/m para jar la velocidaddecada protn en el sistema de momento total nulo, por lo que tenemos:m/m0 = = _1 2_1/2(6.63)2= 1 (m0/m)2= 0,135 (6.64) 0,37Si ahora consideramos que el protn P2 realmente est en reposo en el sistemadel laboratorio, el sistema de momento cero debe tener una velocidad relativaal sistema en reposo del laboratorio.93Por tanto, el protn P1, con una velocida en el sistema de referencia de mo-mento cero, tendr una velocidad1 en el sistema de referencia del laboratorioque vendr dada (gracias a la ley de adicin de velocidades) por1 = +1 +2=21 +2 0,65 (6.65)Lo que nos lleva a1 = _1 21_1/2 1,31 (6.66)Esto signica que el protn con el que bombardeamos debe tener una energacintica de(11) m0c2= 0,31m0c2(6.67)Laenergaenreposodel nueclenesde938MeV, demaneraquelaenergacintica es de unos 290MeV, o lo que es lo mismo, ms o menos el doble de laenerga en reposo del pin.La energa calculada es lo que se denomina energa umbral para el proceso;una energa menor sera insuciente. A la prctica, la energa a la que se bom-bardea el protn en reposo es mayor todava para aumentar la eciencia en laproduccin de piones.6.8.2. Produccin de antiprotonesNo es posible crear un antiprotn sin crear tambin un protn normal.Para crear un par protn-antiprotn a travs de una colisin tenemos:P1 +P2 P1 +P2 +P +P3(6.68)Antes de plantearnos siquiera la energa cintica disponible vemos que de-bemos proporcionar, como mnimo, el doble de la masa en reposo del protn.La manera ms efectiva de conseguirlo es a travs de colisiones en la que, enel estado nal, las partculas estn en reposo en algn sistema de referncia.El hecho de que al nal tengamos cuatro partculas en vez de tres como en elcaso anterior no hace que los clculos sean ms complicados. De hecho, al tenertodas las partculas la misma masa podemos simplicar bastante.La energa umbral debe ser igual a la energa en reposo de los cuatro nucleo-nes:E = 2mc2= 4m0c2(6.69)94Ahora podemos calcular la velocidad inicial necesaria: = _1 2_1/2=mm0= 2 2= 34(6.70)SiP2 suponemos que est en reposo en el sistema de referencia del laboratorio,entonces la velocidad requerida paraP1 (en el sistema de referencia de labora-torio) vendr dada por:1 =21 +2(6.71)Esta vez vamos a calcular directamente el valor de1:11= 1 21 =_1 +2_2(2)2(1 +2)2=_1 2_2(1 +2)2(6.72)1 = 1 +21 2= 1 + 3/41 3/4 = 7 (6.73)Esto signica que el protn debe poseer una energa total 7m0c2. O lo que es lomismo, debe poseer una energa cintica de 6m0c2(6 938 MeV= 5,62 GeV ).La primera fuente de antiprotones articiales (1955), el Bevatron de la Uni-versidad de California fue diseado para aportar 6 GeVa los protones.6.8.3. Produccin de pares a partir de fotonesUn fotn no puede crear de forma independiente un par electrn-positrn(debido a la necesidad de conservar el momento lineal):1. Para la pareja electrn-positrn siempre podemos encontrar un sistema dereferencia en el que el momento lineal total sea cero.2. No podemos hacer que el momento del fotn sea 0 (p = E/c)Por estos motivos, siempre debe participar una segunda partcula en la creacinde un par (un electrn o, normalmente, un ncleo atmico).Suponemos que la partcula que participa en la creacin del par es un ncleoatmico (lo que simplica los clculos). Dado que el ncleo es muy masivo, puedeaportar una gran cantidad de momento sin llevarse una cantidad apreciable deenerga cintica. De esta manera, podemos suponer que toda la energa del fotnva a parar al electrn y al positrn, mientras que el ncleo se encarga del balancede momento.95Figura 6.4: Produccin de un par electrn-positrn en una cmara de burbujasde hidrgeno lquido inmersa en un campo magntico.En la gura 6.4 se muestra la creacin de un pareye+en una cmarade burbujas. No observamos el retroceso de una partcula cargada, lo que noshace suponer que el balance de momento lo proprociona uno de los ncleos dehidrgeno del gas (en vez de un electrn).La produccin de pares de partcula-antipartcula no est limitada a electro-nes, pero cualquier energa umbral para cualquier cosa que no sean electroneses mucho mayor que los 1,06 MeVnecesarios para la energa umbral de parejasde electrn y positrn.Tambin podemos considerar el proceso inverso: la anihilacin de un par departcula-antipartcula para producir energa en forma de fotones.Es este caso, necesitaremos dos fotones para poder conservar el momento.Necesitamos dos fotones porque siempre podemos encontrar un sistema de re-ferenciaenel quelaparejadeelectrn-positrnseacero. Paramantenerelequilibrio de energa y momento, necesitamos dos fotones de la misma energaviajando en sentidos opuestos.6.8.4. Dispersin elstica de partculas idnticasLa dispersin de partculas es la principal herramienta para estudiar la es-tructura y las fuerzas a escalas atmicas.Endinmicanewtoniana, el choquedeunapartculaenreposoconotrapartcula idntica, siempre da como resultado que el ngulo de las trayectoriasnales de las dos partculas sea de 90.Debido al aumento de la masa inercial con la velocidad, en la regin relati-vista el resultado newtoniano deja de ser vlido: el ngulo se estrecha y pasa aser menor de 90.96Figura 6.5: Dispersin elstica relativista con una partcula idntica inicialmenteen reposo. El resultado nal se supone que es simtrico, con las partculas nalescon la misma velocidad y por tanto, el mismo ngulo con respecto a la direccinde la partcula incidente.Para simplicar, consideraremos el caso en el que las partculas, tras la co-lisin, viajan simtricamente con ngulos iguales con respecto a al direccin dela partcula incidente.Consideramos que la partcula inicial tiene una energaE1 y momento p1,mientras que las partculas nales tienen momento p2y un ngulo /2 conrespecto a p1, tal como muestra la gura 6.5.Por conservacin del momento y la energa, tenemos:E1 +E0= 2E2(6.74)p1= 2p2 cos 2(6.75)Tambin tenemosc2p21= E21 E20(6.76)c2p22= E22 E20(6.77)Es conveniente introducir la energa cinticaK1, de manera que las ecuacionesanteriores se convierten en:c2p21= (E0 +K1)2E20 = K1 (2E0 +K1) (6.78)c2p22= (E0 +K1/2)2E20 = K1 (E0 +K1/4) (6.79)97Figura6.6: EfectoCompton: Unfotnincidenteesdispersadoysuenergadisminuye como resultado de la colisin con un electrn inicialmente en reposo.Si substituimos en la ecuacin parap1cos22 = 2E0 +K14E0 +K1(6.80)Utilizandocos = 2 cos22 1 (6.81)Finalmente:cos =K14E0 +K1(6.82)Estafrmulademuestraclaramentecmovarael ngulotraslacolisinenfuncin de la energa de la partcula incidente:Bajas energasK1 E0:cos 0 /2Altas energasK1 E0:cos 1 06.8.5. Efecto ComptonEl efectoComptonesunadelaspruebasmsdirectasdelanaturalezacorpuscular de los fotones.98El efectoComptondescribelacolisindeunfotnconunelectrnlibre(aunque en realidad el electrn est ligeramente unido a un tomo), tal comomuestra la gura 6.6.La colisin es elstica en el sentido de que no se pierde energa en el choque.Dado que el electrn retrocede, el fotn dispersado tiene una energa menor (ypor tanto, una longitud de onda mayor) que el fotn incidente.Un fotn de energaQ0 impacta en un electrn estacionario, que retrocedeen la direccin. El fotn es dispersado en la direccin con energaQ.A partir de la conservacin de la energa y del momento, tenemos:Q0 +m0c2= E +Q (6.83)n0Q0c= nQc+p (6.84)(E y p son la energa y el momento del electrn que retrocede).Si estamos interesados en el fotn dispersado y no en el electrn, podemosproceder de la siguiente manera:(Q0Q) +m0c2= E (6.85)(nQ0nQ) = c p (6.86)En este cason0 yn son los vectores unitarios de las direcciones inicial y naldel fotn.Si elevamos al cuadrado las ecuaciones 6.85 y 6.86 y restamos la primera dela segunda(Q0Q)22 (Q0Q) m0c2+_m0c2_2= E2(6.87)Q202Q0Qcos +Q2= c2p2(6.88)tenemos2Q0Q(1 cos ) 2 (Q0Q) m0c2= 0 (6.89)Al nal, obtenemos1Q 1Q0=1m0c2 (1 cos ) (6.90)Si la energa del fotn esQ, la longitud de onda viene dada porQ = h =hc(6.91)99Figura 6.7: Emisin de un fotn desde una partcula en movimiento.Finalmente, el efecto Compton en funcin de la longitud de onda viene dadapor la siguiente ecuacin: 0 =hm0c (1 cos ) (6.92)6.9. El efecto Doppler revisitadoHasta ahora hemos revisado el efecto Doppler como una consecuencia pura-mente cinemtica. Ahora aplicaremos argumentos de energa-momento al pro-blema general de la emisin de fotones por parte de una partcula en movimiento.Suponemos que una partcula de masaMy momento p emite un fotn deenergaQ

en un ngulo con respecto a la direccin inicial del movimiento deM, como muestra la gura (6.7). La partcula, justo despus de la emisin, tieneuna masa diferente M

y un momentop

que diere tanto en magnitud como endireccin con respecto al momento inicial p. As, tenemos:Mc2= M

c2+Q

(6.93) p =p

+nQ

c(6.94)donde n es un vector unitario en la direccin de. Fijamos nuestra atencin enel fotn, de manera que reordenamos las ecuaciones para eliminar las cantidadesque no deseamos:Mc2Q

= M

c2(6.95)c p nQ

= c p (6.96)Elevamos al cuadrado la ecuacin (6.95) y formamos el producto escalar de cada100uno de los lados de (6.96) consigo mismo:_Mc2_22Mc2Q

+ (Q

)2= _M

c2_2(6.97)(c p nQ

) (c p nQ

) = (c p) (c p

) (6.98)de manera que(cp)22cQ

( p n) + (Q

)2= (cp

)2(cp)22cpQ

cos + (Q

)2= (cp

)2(6.99)Si restamos la ecuacin (6.99) de (6.99) tenemos__Mc2_2(cp)2_2Mc2Q

[1 (p/Mc) cos ] = _M

c2_2(cp

)2Pero_Mc2_2(cp)2= _M0c2_2_M

c2_2(cp

)2= _M

0c2_2yp/Mc = v/c = Por tanto,_M0c2_22Mc2Q

(1 cos ) = _M

0c2_2(6.100)Como en la discusin anterior de la emisin del fotn, llamamos al incrementode energa en reposo porQ0, de manera que:M

0c2= M0c2Q0Y por tanto:_M0c2_2_M

0c2_ = 2M0c2Q0Q20de donde la ecuacin (6.100) nos da2Mc2Q

(1 cos ) = 2M20c2Q0_1 Q0/2M0c2_101o lo que es lo mismoQ

=M0MQ0_1 Q0/2M0c2_1 cos AhoraM0/M = _1 2_1/2, de manera que, nalmente, tenemos:Q

(, ) = Q_1 2_1/21 cos (6.101)dondeQ es la energa del fotn parav = 0, tal y como se obtiene a partir de laecuacin (6.48).En la ecuacin (6.101) tenemos la frmula para la energa de un fotn emitidoen cualquier direccindesde una fuente en movimiento, con los efectos delretroceso incluidos. Como vemos, es idntica al resultado obtenido a partir deconsideraciones nicamente cineticas. La frecuencia recibida

con respecto ala frecuencia propia para una fuente en movimiento es:

= _1 2_1/21 cos 7. Ms acerca de la dinmica relativista7.1. IntroEnestecaptulodiscutiremosdostemas; el primeroserunanlisismsextenso del momento y la energa, haciendo especial nfasis en la transformacinde estas cantidades entre dos sistemas de referencia. El segundo tema ser elconcepto de fuerza en dinmica relativista: la manera en la que est denida,sus transformaciones y las limitaciones en su utilidad.Empezaremos con un importante invariante que puede construirse a partirde los valores del momento y la energa en un sistema de referencia dado.7.2. Un invariante energa-momento y su usoLa receta para todo lo que hemos hecho hasta ahora ha sido armar que laenerga y el momento linal son dos constantes separadas para cualquier sistemaautocontenido. Hemos dado por supuesto que nos mantenemos en un sistemade referencia dado a lo largo de todo el clculo. Lo que vamos a hacer ahora es102preguntarnos cmo estn relacionados los valores de la energa y el momento endos sistemas de referencia diferentes para las mismas partculas. La base parala respuesta a esta pregunta est contenida en las frmulas para el momento yla energa de una sola partcula: p = m0vE = m0c2Ya hemos visto cmo estas cantidades estn relacionadas a travs de la ecuacinE2= (cp)2+E20en la queE0 es la energa en reposo de la partcula.Podemos reescribir la masa en reposo de una partcula como combinacinde su energa total y su momento.E20 = E2(cp)2Pero como podemos medir tanto la energa como el momento en cualquier siste-ma de referencia, podemos deducir que sus medidas en dos sistemas de referenciacualqueiera estarn relacionados mediante:E2(cp)2= (E

)2(cp

)2= E20(7.1)dondeE20 juega el papel de una propiedad invariante de la partcula.De hecho, esta relacin es correcta no slo para partculas independientes,sino para cualquier cantidad de partculas. De hecho, en esta forma, la energaE0 no es, en general, la suma de las energas en reposo. La coleccin de partculasconsideradas puede tener toda clase de movimientos relativos entre ellas (y noes necesario que exista un sistema de referencia en el que todas las partculasestn en reposo).7.3. Transformaciones de Lorentz para la energa y el mo-mento.Consideramoslaenergayel momentodeunapartculamedidosendossistemas de referncia inerciales que estn relacionados mediante las transforma-103Figura 7.1:ciones de Lorentz habituales. Suponemos que la partcula tiene una velocidad umedida en S y u

medida en S

(ver gura 7.1). Entonces, por las ecuaciones detransformacin de la velocidad tenemosu

x=uxv1 vux/c2u

y=uy/ (v)1 vux/c2(7.2)donde (v) = _1 v2/c2_1/2. La energa y el momento de la partcula en losdos sistemas de referencia son los siguientes:En S :E = (u) m0c2px= (u) m0uxpy= (u) m0uy(7.3)donde (u) = _1 u2/c2_1/2.Mientras que enS

:E

= (u

) m0c2p

x= (u

) m0u

xp

y= (u

) m0u

y(7.4)donde (u

) = _1 u2/c2_1/2.104El paso importante que debemos dar es expresar (u) en trminos de can-tidades medidas enS

o (u

) en trminos de cantidades medidas enS. Vamosa hacer sto ltimo. Tenemos (u

) =_1 (u

)2/c2_1/2==_1 (u

x)2/c2_u

y_2/c2_1/2(7.5)Trataremos (7.5) en tres etapas. Primero consideramos lo siguiente:1 (u

x)2/c2= 1 (uxv)2c2(1 vux/c2)2==_1 vux/c2_2(uxv)2/c2(1 vux/c2)2==1 u2x/c2v2/c2+_vux/c2_2(1 vux/c2)2(7.6)Por tanto1 (u

x)2/c2=_1 u2x/c2_ _1 v2/c2_(1 vux/c2)2(7.7)Ahora nos jamos en que, a partir de la ecuacin (7.2) tenemos_u

y_2/c2=_u2y/c2_ _1 v2/c2_(1 vux/c2)2(7.8)Restando (7.8) de (7.7), obtenemos1 (u

)2/c2=_1 u2/c2_ _1 v2/c2_(1 vux/c2)2en donde reconocemos los cuadrados de los recprocos de (u

), (u) y (v).Tenemos, de hecho, (u

) = (v) (u)_1 vux/c2_(7.9)Ahora, tomando este resultado en junto con la primera ecuacin de (7.4), tene-mosE

= (v)_ (u) m0c2v (u) m0ux105que, por referencia a las ecuaciones (7.3), puede expresarse como:E

= (v) (E vpx) (7.10)De nuevo, tomando la ecuacin parap

x, tenemosp

x = (v) (u) m0 (uxv)es decirp

x = (v)_pxvE/c2_(7.11)Finalmente, tomando la ecuacin parap

y, tenemosp

y = (u) m0uyPor tantop

y = py(7.12)Si ahora recogemos las transformaciones de S a S expresadas por las ecua-ciones (7.10), (7.11) y (7.12), junto con las correspondientes transformacionesde S a S:p

x= _pxvE/c2_p

y= pyp

z= pzE

= (E vpx) (7.13)px= _p

x +vE

/c2_(7.14)py= pypz= pzE = (E

+vp

x)Una sorprendente cualidad de las ecuaciones (7.13) y (7.14) es que las compo-nentes del momento y la energa aparecen sloen combinaciones lineales; enmecnica Newtoniana no existe una conexin tan simple. Esta linealidad no essolamente interesante, sino que tiene importantes consecuencias. Por ejemplo,aunque hemos obtenido las ecuaciones en trminos de una sola partcula, nada106Figura 7.2: Diagramas de una colisin entre dos partculas elsticas desde unsistema de referencia en el que el momento total es cero y el sistema laboratorio(S) en el que una de las partculas inicialmente est en reposo.nos impide tomar E y p como la energa y momento lineal total de un conjuntode partculas no intereaccionantes con velocidades arbitrarias. Es tan simple co-mo escribir las ecuaciones (7.10), (7.11) y (7.12) para cada una de las partculasseparadas y despus sumarlas todas.Ejemplo: Dispersin de partculas idnticas.Vamos a ver cmo las ecuaciones de transformacin de la energay el momento pueden aplicarse a un problema como el de la colisinelstica de dos partculas idnticas, en este caso, dos protones. Lagura (7.2) nos muestra primero cmo se observa la colisicn desdeun sistema de referenciaS

de momento total cero y despus en elsistema laboratorioS (en el que una de las partculas se consideraque est en reposo, inicialmente).Como se observa enS

cada una de las partculas tiene un mo-mento de magnitudp

tanto antes como despus de la colisin, perola colisin hace que el vector momento gire 90. La velocidadv re-lativa entreS

yS viene denida por la ecuacin:v =c2p

E

(7.15)que expresa la relacin entre la velocidad, el momento y la energapara cualquier partcula. Podemos utilizarla aqu porque v no es slola velocidad relativa entreS yS

, sino que adems es la velocidad,medida enS

de la partcula que estaba inicialmente en reposo enS. A partir de la simetra del problema, tambin es la velocidad en107S

de la otra partcula.Consideramos a continuacin la situacin tras la colisin. Prime-ro, enS

p

x= 0p

y= p

E

= mc2= (v) m0c2(7.16)Usandolasecuacionesparatransformarlascomponentesdel mo-mento entre los diversos sistemas de referencia, tenemos (enS)px = (v)_p

x +vE

/c2_En esta expresin hemos consideradop

x = 0 (y usando la ecuacin(7.15) tenemos quevE

/c2= p

.) Por tantopx= (v) p

py= p

y = p

Entoncestan 2 =pypx=1 (v)(7.17)dondeesel nguloentrelasdireccionesdelosprotonestrasladispersin, tal y como es observada en el sistema laboratorio (gurab de (7.2))Claramente, tan () < 1, /2 < 45. Para obtener (v) en trmi-nos de la energa total inicialE1 del protn incidente (medida en elsistema laboratorio), podemos utilizar de nuevo la ecuacin para elinvariante energa-momento (ecuacin (7.1))_2mc2_2= _E1 +m0c2_2(cp1)2=_E21 (cp1)2_+ 2E1m0c2+_m0c2_2= _m0c2_2+ 2E1m0c2+_m0c2_2108Por tanto,_mm0_2=E1 +m0c22m0c2 (v) =_E1 +m0c22m0c2_1/2(7.18)7.4. CuadrivectoresEl conjunto de ecuaciones (7.13) y (7.14) guardan un enorme parecido conel conjuntodeecuacionesdetransformacinparael espacioyel tiempo. Sisuponemos que las componentes del momento juegan un papel anlogo a lascoodenadas espaciales, entonces la comparacin de las ecuaciones (7.13) y (7.14)con las transformaciones de Lorentz iniciales muestran que E/c2es una cantidadanloga at. Podemos decir, de hecho, que las tres componentes del momentolineal se transforman como las tres componenetes del vector posicin, y que laenerga total (una cantidad escalar) se transforma como el tiempo. La invarianciade la combinacin E2(cp)2es una consecuencia inmediata de sto. La energaen repososE0 es un invariante de las transformaciones de energa y momento,de la misma manera ques es un invariante de las transformaciones de Lorentz.El mecnica Newtoniana estamos acostumbrados a pensar en el espacio co-mo algo que puede denirse sin relacin con el tiempo (y viceversa). Del mismomodo, estamosacostumbradosapensarenel momentolineal yenlaener-ga como representantes de dos propiedades esencialmente diferentes -aunquerelacionadas-deunapartcula. Peroacabamosdevercmoestasdiferenciasquedan desdibujadas en relatividad especial. La especicacin del tiempo en unsistema implica la especicacin tanto de la posicin como del instante en otrosistema; la especicacin de la energa implica la especicacin de la energa ydel momento en otros sistemas. Por este motivo, lo ms adecuado es ampliarel marco de referencia formal que utilizamos para describir nuestros sistemas ypasar a utilizar un nico sistema cuatridimensional, en vez de pensar en un siste-ma tridimensional que toma diferentes aspectos en funcin del tiempo. Diremosque el estado cinemtico de una partcula puede expresarse mediante un nico4-vector cuyas componentes son (x, y, z, ict) y cuya longitud ess1 medidoen cualquier sistema de referencia:s2= x2+y2+z2(ict)2109Del mismo modo, el estado dinmico de una partcula puede expresarse median-te un 4-vector cuyas componentes son (px, py, pz, iE/c) y cuya longitud (enunidades de momento) esiE0/c medido en cualquier sistema de referencia:E20/c2= p2x +p2y +p2z + (iE/c)2Las transformaciones de Lorentz pueden entenderse como una receta para trans-formar las diferentes componentes de un 4-vector desde un sistema de referenciaa otro (lo que suele llamarse mapping). Esta manera de representar el esquemarelativista es atractivo desde un punto de vista formal, y es adems muy tilen cuanto se desarrolla la habilidad de explotarlo (bsicamente, desarrollandouidez con el lgebra de matrices).7.5. Fuerza en mecnica relativistaEn todas las discusiones sobre dinmica relativista hasta ahora hemos puestoel nfasis en la utilizacin las leyes de conservacin de la energa y del momen-to para un sistema aislado de partculas. Sin embargo, esta aproximacin noes simpre la mejor para todos los problemas. Muchos problemas en dinmicaes conveniente tratarlos (y quizs tambin es lo ms eciente) en trminos delmovimiento de partculas sometidas a la accin de un conjunto de fuerzas. Porejemplo, en el caso de la dispersin de Rutherford de partculas . Es ciertoque la fuerza se hace cada vez menor para distancias grandes, y que se puedenextraerse conclusiones correctas sobre la relacin entre la direccin nal de laspartculas y las velocidades de los ncleos impactados. Pero sto no nos dicela probabilidad de que una partcula vaya a ser dispersada un determinadongulo. Slo cuando especicamos la ley de fuerzas podemos responder pregun-tas como sta. El descubrimiento y la especicacin de las leyes de fuerza es unasunto central en Fsica. Por tanto, es importante conocer cmo se transformanlas fuerzas y las ecuaciones del movimiento para poder dar una descripcin des-de el punto de vista de diferentes sistemas inerciales. Dado que en relatividadla aceleracin no es un invariante, sabemos que no obtendremos unos resultadostan simples como en la mecnica Newtoniana.El punto de partida ser la ley de Newton

F =d pdt=ddt (mv) (7.19)110dondem = m0_1 v2/c2_1/2. Tomamos la ecuacin (7.19) como la denicinde

F. Es una extensin natural (y las ms sencilla) del resultado no relativista.No es una armacin que pueda ser probada de forma independiente. Por otrolado, si la forma analtica de

Fse conoce, en trminos de coordenadas, veloci-dades, etc, podemos tener la certeza que los dos lados de la ecuacin (7.19) setransformarn de acuerdo con las ecuaciones de Lorentz. Suponiendo que estacondicin necesaria se da, la transformacin de las componentes ded p/dt nosdice cmo se transforman las componentes de la fuerza en relatividad especial.Nuestra aproximacin al problema ser la siguiente: en cualquier instante, lapartcula tiene una velocidad bien denida v medida en el sistema de referenciadel laboratorio. Podemos imaginar que la partcula est instantneamente enreposo en un sistema de referencia que tiene velocidadv con respecto al labo-ratorio. Podemos imaginar que, medida en el sistema en reposo, una fuerza

F0xes aplicada paralela a v, causando una aceleracin a0x. La masa medida en estesistema de referencia es la masa en reposom0. Por tanto, tenemos:F0x = m0a0x(7.20)Ahora, en el sistema de referencia del laboratorio, tenemos un momento queviene dado porpx = m0v =m0v(1 v2/c2)1/2y por tanto, observamos una fuerzaFx que tiene que esFx =dpxdt=m0(1 v2/c2)1/2dvdt +m0vddt__1 v2/c2_1/2_Si hacemos que dv/dt = ax (la aceleracin observada en el laboratorio) tenemosFx =m0ax(1 v2/c2)1/2 +m0_v2/c2_ax(1 v2/c2)3/2que, cuando agrupamos los trminos, se simplica hastaFx = 3m0ax(7.21)Tenemos una conexin simple entre entreax ya0x:ax =13a0x(7.22)111Este es un caso particular para la transformacin de las aceleraciones a lo largodel ejex parau0x = 0. Por tanto, la ecuacin (7.21) puede escribirse comoFx = 3m0a0x3= m0a0xes decirFx = F0x(7.23)Este es un resultado sorprendente. A pesar de los cambios en las medidas delamasaylaaceleracinenlosdossistemasdereferencia, lamedidadelacomponentex de la fuerza resulta la misma.Cuando hacemos un clculo similar para la fuerza transversal, sin embargo,vemos que esta invariancia no se mantiene. En el sistema de reposo instantneotenemosF0y = m0a0y(7.24)En el sistema laboratorio, la fuerza Fy aplicada en la direccin perpendicular alvector momentomv, deja la magnitud de la velocidad inalterada; simplementecambia la direccin dev ligeramente, introduciendo una pequea componentetransversal. As, en una buena aproximacin (que es perfecta en el lmite t 0) la masa permanece inalterada en m0 y el impulso transversal puede escribirsecomoFyt = m0vyAs, en este caso tenemosFy = m0ay(7.25)De nuevo, tenemos una relacin simple entre las aceleraciones en los dos siste-mas, siempre y cuando uno de ellos sea un sistema en el que la partcula esten reposoay =12a0y(7.26)(de nuevo, esto es un caso especial). Por tanto tenemosFy = m0a0y2= 1m0a0yes decir,Fy = 1F0y(7.27)112Enlosresultadosanteriorespodemosobservarunapropiedadcuriosa: engeneral, la fuerza y la aceleracin no son vectores paralelos. Combinandolas ecuaciones (7.21) y (7.25) tenemosFyFx=12ayaxSloenel sistemadereferenciainstantneoenreposodel cuerpo(enel que = 1) se puede garantizar que

F, tal y como se ha denido, como derivada delmomento, se encuentra en la misma direccin que la aceleracin.Quizs es interesante destacar que los casos especiales representados por lasecuaciones (7.23) y (7.27) pueden derivarse de condiciones fsicas simples. Paralatransformacinenladireccinx, podemosconsiderarel trabajorealizadopor una fuerza y el consiguiente incremento de energa manifestado como unincremento de la masa:E = Fxx = c2mdondex = vtm = _m0(1 v2/c2)1/2_ =m0vv(1 v2/c2)3/2c2Directamente obtenemosFx = 3m0axque es el mismo resultado que (7.21).Para relacionar la aceleracin ax con la aceleracin a0x tal y como es medidaen el sistema instantneo en reposo de la partcula, tomamos las ecuaciones delmovimiento uniformemente acelerado; en el instantetx = x1mientras que un instante despus,t + t:x + x = x1 +vt + 12ax (t)2Las coordenadas espaciales y temporales (x, t) y (x + x, t + t) denen doseventosobservadosenS. Vamosaobtenerlascoordenadasdeestosmismoseventos tal y como son observados en el sistema en reposoS

de la partcula.113Para hacerlo, utilizamos las transformaciones de Lorentz:x0= (x vt)t0= _t vx/c2_Aplicando estas ecuaciones a los dos eventos, tenemos:Primer evento:x0= (x1vt)t0= _t vx1/c2_Segundo evento:x0 + x0= _x1 +vt + 12ax (t)2v (t + t)_= _x1 + 12ax (t)2vt_t0 + t0= _t + t _v/c2__x1 +vt + 12ax (t)2__Restandox0= _12ax (t)2_t0= __1 v2/c2_t 12_vax/c2_(t)2_(7.28)Si t es sucientemente corto, el segundo trmino de la ecuacin para t0 esdespreciable comparado con el primero, y entonces tenemost0 _1 v2/c2_t = t/Sustituyendo t = t0 en la ecuacin (7.28) obtenemosx0 = _12ax (t0)2_ox0 = 12_3ax_(t0)2Pero esta es la ecuacin de un movimiento uniformemente acelerado para una114partculaquepartedel reposo. As, laaceleracina0xtal ycomoesmedidaenel sistemadereferenciaenreposovienedadapor a0x=3ax, queeselmismo resultado que habamos obtenido en (7.22). As, hemos reproducido lasecuaciones (7.21) y (7.22) y las podemos combinar para demostrar la invarianciade Fx. Estedesarrollopuedeparecerlargoypesado, peroesporquehemosllevadoacabotodoel procesodelastransformaciones. Puededescribirsedeforma breve diciendo que la dilatacin temporal hace que el intervalo t0 en elsistema en reposo se convierta ent0en el sistemaS, y que la contraccinde Lorentz hace que x0, la distancia recorrida en el sistema de referencia enreposo, se convierta en x0/ enS. En base a esto, llegamos directamente a larelacinx0/ = 12ax (t0)2Sin embargo, en los clculos en los que hay medidas en sistemas no-propios, espreferible ser metdico y explcito.Para obtener la transformacin deFy, hemos obtenido la ecuacin(7.25)y despus discutido la transformacin de la aceleracin transversal desde dosarmaciones:y =12ay (t)2y

=12a0y (t

)2donde y = y

y t =t

. En este caso, como el movimiento tiene lugaren un lugar conx

constante en el sistema de referencia, podemos ap