Gua de Matemticas 4 Plan General 2011

GUA FUNCIONESConocimientos previos.Se llama funcin de A en B a una relacin f de A en B que cumple las siguientes propiedades.

Si f es una funcin de A en B se donota por:

El conjunto A se llama dominio de la funcin y B recorrido de la funcin. As mismo, si las coordenadas , diremos que:

Si de modo que:

se llama imagen de .

se llama preimagen de

En una funcin f de A en B, cada elemento de A tiene una y solo una imagen en B. Por comprensin, lo anterior se escribe:

En sntesis:El dominio de una funcin es el conjunto de valores para los cuales est definida la funcin, se escribe . El recorrido es el conjunto de las imgenes, esto es, el conjunto formado por los valores que toma , se escribe .

Ejemplo: determina el dominio de las siguientes funciones.a) , como es un polinomio no tiene puntos en el dominio donde esta se indetermine.

b) , si x es cero el denominador de la fraccin es cero, de modo tal que,

, que es una expresin indeterminada, as el dominio de la funcin es c) , para que sea un numero real, al valor de x debe ser positivo o cero, luego

d) , ninguno de los denominadores puede ser cero. Como para 3 y los denominadores de las fracciones son cero, decimos que el dominio de la funcin viene dada por

Algunas funciones importantes.

Funcin valor absoluto:

El valor absoluto de un nmero es la distancia

Entre este nmero y el cero en la recta numrica.

Desplazamientos:

Funcin parte entera

La parte entera de un nmeroes el mayor entero

Que es menor o igual que

Funcin cuadrtica

, La representacin grfica de esta funcin es

una parbola simtrica con respecto a la recta paralela al eje de ecuacin:

Si , la concavidad de la parbola est orientada hacia arriba,

si la concavidad est orientada hacia abajo.

Ceros de la funcin: Los ceros de la funcin son los valores de para los cuales .

La expresin se denomina discriminante.

Si , la funcin tiene 2 cerosSi , la funcin tiene 1 ceroSi , la funcin no tiene ceros en el conjunto de los nmeros reales

Funcin raz cuadrada

Funcin par e impar.1) FUNCIN PAR.

Si una funcin f satisface que para todo x en su dominio, entonces f es una funcin par.

Ejemplo. Comprobar que f(x) = x2 es par.

f (-x) = (-x)2 = x2 = f(x)

Como f (-x) = f(x), entonces la funcin es par!

La grfica de una funcin par es simtrica respecto al eje y.

2) FUNCIN IMPAR.

Si una funcin f satisface que para todo x en su dominio, entonces f es una funcin impar.

Ejemplo. Demostrar que f(x) = x3 es una funcin impar.

f(-x) = (-x)3 = - x3 = - f(x)

Como f(-x) = - f(x), entonces la funcin es impar!

La grfica de una funcin impar es simtrica respecto al origen.

Ejemplos.

a) Clasifica las siguientes funciones en par, impar o sin paridad.

b) Diga si cada funcin es par, impar o ninguno de estos tipos, sin trazar la grfica.(1)

Reemplazamos en la funcin (1) el valor de (-x), de modo que la funcin queda como:

Como es impar.

(2)

Reemplazamos en la funcin (2) el valor de (-x), de modo que la funcin queda como:

Como es par.

(3)

Reemplazamos en (3) el valor de (-x), de modo que la funcin queda como:

No se aplica el criterio.

Tipos de funciones.

a) funcin inyectiva.

Una funcin f se llama inyectiva o uno a uno si y solo si:

Ejemplo 1: Demostremos que inyectiva.

Demostracin: si

Realizando el producto cruzado se obtiene:

Hemos demostrado que: por lo tanto es inyectiva.

Ejemplo 2: Si y . Si las siguientes tablas describen

Funciones

x-2345

y124-3

Solucin: si observamos la tabla, observamos que cada elemento del dominio A tiene una nica imagen en B.

b) Funcin epiyectiva (sobreyectiva)

Una funcin f de A en B ( se llama epiyectiva o sobreyectiva si y solo si

Es decir, en toda funcin epiyectiva el recorrido coincide con el codominio. Escrito por comprensin, tenemos que:

Ejemplo 1: demostremos que por es epiyectiva.

Ejemplo 2: Los siguientes diagramas corresponden a funciones epiyectivas.

c) Funcin biyectiva.

Una funcin f de A en B ( se llama biyectiva si y solo si f es inyectiva y epiyectiva a la vez.

Ejemplo. d) Funcin inversa.

Una funcin f de A en B (tiene su correspondiente funcin inversa si y solo si (es biyectiva. Adems, en toda funcin ( que tiene su correspondiente funcin inversa, se cumple que:

e) Composicin de funciones.

Se tienen dos funciones:

Al aplicar en forma sucesiva las funciones (f en primer lugar y g en segundo lugar), se obtiene una nueva funcin de A en C que se llama composicin y se escribe:

Si f es funcin de A en B, y g es funcin de B en C, se llama composicin de f en g a la funcin, que se denota por

Definida por

Ejemplo 1:Para las siguientes funciones dadas y , determine:

1)

2)

3)

a) Para , calcular

=

Luego: =

b) Para , calcular

=

Luego: = 17. c) para , calcular

= . Luego = . EMBED Equation.3

f (-x)

f (x)

x

-x

f (x)

-x

x

f (-x)

Funcin par, pues es

Simtrica con respecto

Funcin impar, pues es simtrica respecto al origen.

Funcin par, pues es

Simtrica con respecto

Al eje EMBED Equation.3

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