Resumen Nociones de Álgebra Abstracta

7/24/2019 Resumen Nociones de Álgebra Abstracta

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NOCIONES DE ÁLGEBRA ABSTRACTA

GRUPOS

Definición:

Sea G un conjunto no vacío y * una operación binaria definida en G. El par (G, *) recibe el

nombre de Grupo si se satisfacen las condiciones siguientes

a. ∀a,b ϵ G, a*b ϵ G. (!ierre de G respecto a *).

b. ∀a,b,c ϵ G, a* (b * c) " (a * b) * c. (#ropiedad asociativa).

c. ∃e G a * e " e * a " a, $ϵ ϶ a ϵ G. (E%istencia elemento neutro o identidad).

d. ∀a ϵ G, Ǝa&'ϵ G ϶ a * a&' " e (E%istencia de simtrico).

Si ∀a,b ϵ G se tiene ue a * b " b * a, al grupo G se le llama Grupo conmutatio o

a!e"iano#

E$emp"o:

Sea G " n, n ϵ y + la operación suma ordinaria. El conjunto G es un grupo abeliano con

respecto a +, como se puede comprobar en siguiente tabla para n "

+ - ' / 0

- - ' / 0

' ' / 0 -

/ 0 - '

/ / 0 - '

0 0 - ' /

Definición:

Sea (G, *) un grupo. Si G es un conjunto finito, a (G, *) se le llama Grupo finito. Si (G, *)

es un grupo finito al n1mero de elementos de G se le llama Or%en %e G y se representa por

2G2.

A"&una' propie%a%e' %e &rupo'

Sea G un grupo. Entonces

a. El elemento neutro (identidad) (e) en G es 1nico. b. Sea a ϵ G. El simtrico de a es 1nico.

c. Si a,b,c ϵ G y ab " ac, entonces b " c.

d. Si a,b,c ϵ G y ba " ca, entonces b " c.



e. Sean a,b ϵ G. G es abeliano, si y sólo si, (ab) " a b

f. ∀a ϵ G, (a&')&' " a.

g. Si a,b ϵ G, (ab)&' " b&' a&'

Sea a ϵ G y m ϵ +. Entonces definimos

a. am " aaa3a (m veces). b. a- " e (elemento neutro).

c. a&m " (a&')m " a&'a&'a&'3a&' (m veces)

Sean m, n ϵ . Entonces

a. aman " am+n

b. (am)n " amn

Definición

Sea (G,*) un grupo y sea G4 ⊆ G no vacío. Si (G4,*) es tambin un grupo, se le llamaSu!&rupo de (G,*). Es claro ue G4 " 5e6 y G son subgrupos de G y se les llama

subgrupos Triia"e' o impropio' de G. 7bserve ue todo subgrupo de G contiene a e como

elemento neutro.

E$emp"o:

El grupo (8,+) tiene como subgrupo el conjunto G4" 5-,,06 con respecto a la misma

operación de suma (+). Esto se puede observar en la siguiente tabla

+ - 0

- - 0

0 -

0 0 -

Teorema

Sea G4 un subconjunto no vacío de un grupo (G,*). G4 es un subgrupo de G, si y sólo si

a. G4 es cerrado con respecto a *.

b. ∀a ∈ G4, a&'∈G4.

Teorema

Sea G4 un subconjunto no vacío de un grupo (G,*). G4 es un subgrupo de G, si y sólo si,

∀a,b ∈ G4, a&'* b ∈G4.

GRUPOS C(CLICOS



Definición

9n grupo (G,*) se le llama C)c"ico, si e%iste un a ∈ G tal ue todo elemento % ∈ G es de la

forma % " am, m ∈ . :l elemento a se le llama un Genera%or de G. Es lógico pensar ue

todo grupo cíclico es abeliano.

E$emp"o

El grupo (,+) es cíclico con generador a " ', puesto ue ∀m ∈ , am " ma " m

*O+O+OR,IS+OS DE GRUPOS

Definición

Sean (G, o) y (G4, *) dos grupos. 9na función f G → G4 tal ue f(a o b) " f(a) * f(b),

∀ab ∈ G se le llama *omomorfi'mo %e G en G-. Se dice ue G y G4 son *omomorfo'#

Si tanto o como * son las operaciones de adición (+), se tiene ue f(a+b) " f(a) + f(b).

Si G " G4, al ;omomorfismo se le llama En%omorfi'mo. Si el ;omomorfismo es inyectivo,

se le llama +onomorfi'mo y si es sobreyectivo, se le llama Epimorfi'mo.

E$emp"o

Sean (G " 5'6, ⋅ ) y (G4 " 5-6, + ) grupos multiplicativo y aditivo, respectivamente. <a

función f G → G4 definida por f(%) " - es un ;omomorfismo de G en G4. =e igual forma,

la función f G4 → G definida por f(%) " 'es un ;omomorfismo de G4 en G. : estos se les

llama *omomorfi'mo' triia"e'.

Sea (G,*) un grupo. <a función > G → G, definida por >(%) " % es un ;omomorfismo y se le

llama *omomorfi'mo i%.ntico#

Teorema

Sean (G, o) y (G4, *) dos grupos con sus identidades e y e4, respectivamente. Si f G → G4

es un ;omomorfismo, entonces

a. f(e) " e4

b. f(a&') " ?f(a)@&', ∀a ∈G

c. ∀: subgrupo de G, f(:) es un subgrupo de G4

ISO+OR,IS+OS DE GRUPOS



Definición

Sean (G, o) y (G4, *) dos grupos. Se dice ue f G→G4 es un I'omorfi'mo, si f es un

;omomorfismo biyectivo. En tal caso se dice ue G y G4 son &rupo' I'omorfo'.

Sea (G, *) un grupo cíclico de orden /, donde G " 5e,a,a

6 y la operación viene definida por la siguiente tabla

* e a a

e e a a

a : a E

a a E a

<a función f G→ G, definida por f(e) " e, f(a) " a, f(a) " a es un isomorfismo de G en sí

mismo.

ANILLOS

Definición

9n conjunto no vacío : es un Ani""o respecto a las operaciones binarias de suma (+) y

multiplicación (⋅), si para todo a,b,c ∈:, se satisfacen las siguientes propiedades

a. a + b " b + a #rop. conm. de +.

b. : + (b + c) " (a + b) + c #rop. asoc. de +.

c. ∃A ∈: ∋ a + A " A + a " a, ∀a ∈: E%ist. ident.+.

d. ∀a ∈ :, ∃a4∈ : ∋ a + a4 " a4 + a " A E%ist. inv. en +.

e. a ⋅ (b ⋅ c) " (a ⋅ b) ⋅ c #rop. asoc. de ⋅

f. a ⋅ (b + c) " a ⋅ b + a ⋅ c #rop. dist. de respecto a +.

g. (b + c) ⋅ a " b ⋅ a + c ⋅ a #rop. dist. de respecto a +.

E$emp"o

Sea : " 5a, b6. Suponga ue las operaciones + y B se definen por las siguientes tablas

+ a b B a b

a a b a a a

b b a b a b

Definición



Sea (:, +, B) un anillo con elemento cero A. Entonces se dice ue un elemento a ∈ :, a C A

es un Dii'or %e cero, si e%iste un elemento b C A en :, tal ue a B b " A o b B a " A.

E$emp"o

<os anillos , D, F ! no tienen divisores de cero, puesto ue siempre ue ab " -, ocurre

ue a " - o b " -.

Sea (:, +, B) un anillo.

a. ∀ a, b ∈ :, si ab " ba, se dice ue : es un anillo conmutativo.

b. : no tiene divisores propios de cero, si ∀ a, b ∈ :, ab " A ⇒ a " A o b " A.

c# Si ∃u ∈ : / au " ua " a, ∀a ∈ :, a u se le llama Unitario o i%enti%a%mu"tip"icatia de :. : : se le llama Ani""o con unitario#

Sea : un anillo con unitario u. Sean a, b ∈ :. Si a b " b a " u, se dice ue b es el Iner'o

mu"tip"icatio %e a. : a se le llama Uni%a% de :.

Definición

Sea : un anillo con unitario. Entonces se dice ue

a. : es un Dominio entero, si : no tiene divisores propios de cero.

b. : es un Campo, si todo elemento de : diferente de cero es una unidad.

:tendiendo a esta definición podemos decir ue (, +, B) es un dominio entero, pero no un

campo. <os conjuntos D, , ! con las operaciones de suma y multiplicación ordinarias son

dominios enteros y campos.

SUBANILLOS

Definición

Sea (:, +, B) un anillo. 9n Subanillo de : es cualuier subconjunto no vacío S de : ue sea

a su veA anillo respecto a las operaciones binarias de :. Si S es un subanillo del anillo :,

entonces S es un subgrupo del grupo aditivo :.

Sea (:, +, B) un anillo. Sea un subconjunto propio de :. es un subanillo de :, si y sólo

si, se satisfacen las condiciones siguientes

a. ∀a, b ∈ (a + b) ∈ , y a B b∈ (!erradura)

b. ∀a ∈ Ha ∈

Definición



Sea (:, +, B) un anillo con elemento cero A. Suponga ue para todo a ∈ :, e%iste un entero

positivo I tal ue Ia " a + a + B B B + a " A. :l menor entero positivo I para el cual se cumple

la ecuación anterior se le llama !aracterística de :. Si el entero I no e%iste, se dice ue :

tiene característica cero.

E$emp"o

<os anillos , D, , ! tienen característica cero, puesto ue Ia " I B a.

*O+O+OR,IS+O E ISO+OR,IS+O DE ANILLOS

Definición

Sean (:, +, B) y (J, ⊕, ⊙) dos anillos. 9n *omomorfi'mo %e ani""o' es una función

f : K J tal ue para toda a, b ∈ : se satisface las siguientes condiciones

a. f(a + b) " f(a)⊕

f(b). b. f(a B b) " f(a)⊙ f(b).

Es decir ue esta función preserva las operaciones de anillos.

Definición

Sean (:, +, /) y (J, ⊕, ⊙) dos anillos. Suponga ue f : K J es un ;omomorfismos de

anillos. Si f es inyectiva y sobreyectiva, se le llama I'omorfi'mo %e ani""o' y se dice ue :

y J son anillos I'omorfo'.

E$emp"o

Sea : " 5a, b, c, d, e6 y definamos las operaciones + y B mediante las tablas

+ a b c d e / a b c d e

a a b c d e a a a a a a

b b c d e a b a b c d e

c c d e a b c a c e b d

d d e a b c d a d b e !

e e a b c d e a e d c b

Este conjunto junto a estas operaciones, es un anillo conmutativo finito con unitario y sin

divisores propios de cero. El elemento a es el cero de : y b es el unitario. odo elemento

distinto de cero tiene un inverso multiplicativo y %y " y% " b. c y d son inversos

multiplicativos recíprocos y b es su propio inverso, al igual ue e.

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