RESUMEN INVESTIGACIÓN OPERATIVA

¿Qué es una función lineal?

Una función f (x1 , x2 ,…, xn ) dex1 , x2 ,…, xn es una función lineal si y solo si para algún conjunto de constantes c1 , c2 ,…,cn f (x1 , x2 ,…, xn ) = c1 x1+c2 x2+…cn xn.

Para cualquier función f (x1 , x2 ,…, xn ) y cualquier númerob de desigualdades f (x1 , x2 ,…, xn )≤b y f (x1 , x2 ,…, xn )≥b son desigualdades lineales.

¿Qué es un PL?

Un problema de programación lineal (PL) es un problema de optimización para el cual se efectúa lo siguiente:

1. Se intenta maximizar o minimizar una función lineal de las variables de decisión. La función que se desea maximizar o minimizar se llama función objetivo.

2. Los valores de las variables de decisión deben satisfacer un conjunto de restricciones. Cada restricción deber ser una ecuación lineal o una desigualdad lineal.

3. Se relaciona una restricción de signo con cada variable. Para cualquier variable x1 la restricción de signo especifica que x1 no debe ser negativa (x¿¿1≥0)¿ o no tener restricciones de signo.

¿Cuáles son las suposiciones necesarias que debe tener un PL?

Para que una programación lineal represente en forma adecuada una situación de la vida cotidiana, las variables de decisión deben satisfacer las suposiciones de proporcionalidad, aditividad, divisibilidad y certidumbre.

Suposición de proporcionalidad:

Significa que la contribución al valor de la función objetivo y el consumo o requerimiento de los recursos utilizados, son proporcionales al valor de cada variable de decisión. Así el término 2x1 es proporcional, porque contribuye al valor de la función z con 2, 4, 8, etc. para los valores 1, 2, 3, etc., respectivamente, de x1. Se puede observar el aumento constante y proporcional de 2 conforme crece el valor de x1.

Suposición de aditividad:

Significa que se puede valorar la función objetivo z, así como también los recursos utilizados, sumando las contribuciones de cada uno de los términos que intervienen en la función z y en las restricciones.

Suposición de divisibilidad:

Esta suposición requiere que todas las variables de decisión puedan asumir valores fraccionarios. Significa que las variables de decisión son continuas y por lo tanto son aceptados valores no enteros para ellas. La hipótesis de divisibilidad más la restricción de no negatividad, significa que las variables de decisión pueden tener cualquier valor que sea positivo o por lo

menos igual a cero. Un problema de PL en el cual alguna de las variables, o todas, debe ser un número entero no negativo, recibe el nombre de problema de programación entera. En situaciones donde la divisibilidad no está presente, el redondeo de las variables, en la solución óptima de PL, proporciona una solución razonable

Suposición de certidumbre:

Para esta suposición se requiere conocer con certeza todos los parámetros (Coeficiente de la función objetivo, segundo miembro y coeficientes tecnológicos). Significa que los parámetros o constantes son estimados con certeza, o sea, no interviene una función de probabilidad para obtenerlos

El modelo de programación lineal es un caso especial de la programación matemática, pues debe cumplir que, tanto la función objetivo como todas las funciones de restricción, sean lineales

¿Qué es la región factible?

La región factible para un PL es el conjunto de todos los puntos que satisfacen las limitaciones y las restricciones de signo del PL.

¿Qué es la solución óptima?

Para un problema de maximización, una solución óptima para un PL es un punto con el valor de la función objetivo más grande en la región factible. De igual manera, para un problema de minimización, una solución óptima es un punto con el valor de la función objetivo más pequeño en la región factible.

¿Cuándo una restricción es activa u obligatoria?

Una restricción es activa u obligatoria si tanto el primero como el segundo miembros de las restricción son iguales cuando los valores óptimos de las variables de decisión se sustituyen en la restricción.

Una restricción es inactiva si no son iguales el primero y el segundo miembros de la restricción cuando los valores óptimos de las variables de decisión se sustituyen en la restricción.

¿Que es un conjunto convexo?

Un conjunto de punto S es un conjunto convexo si el segmento de recta que une cualquier par de puntos en S está totalmente contenido en S.

¿Qué es un punto extremo?

Para cualquier conjunto convexo S, un punto P en S es un punto extremo si para cada segmento que está completamente en S y contiene al punto P, este es un punto terminal del segmento de recta.

¿Cuándo un PL es no factible?

PL no factible: es posible que una región factible de PL sea vacía (no contenga puntos) lo cual da como resultado un PL no factible, no posee soluciones óptimas.

¿Cuáles son los tipos de soluciones de PL?

Caso 1: PL con una solución óptima única.

Caso 2: PL con un número infinito de soluciones optimas (soluciones optimas alternativas o múltiples).

Caso 3: PL que no tiene soluciones factibles.

Caso 4: PL no acotados: Hay puntos en la región factible con valores de Z arbitrariamente grandes (PL de maximización) o con valores de Z arbitrariamente pequeños (PL de minimización).

Algoritmo SIMPLEX

Los problemas de programación lineal con 2 variables pueden ser resueltos con el método gráfico, pero en la vida cotidiana la mayor parte de los PL tienen varias variables por lo que es necesario un método para resolverlas. El algoritmo simplex se usa para resolver PL que tienen miles de restricciones y variables, y que se aplican a la industria.

¿Cuándo un PL esta en forma estándar?

Antes de poder utilizar el algoritmo simplex para resolver un PL, este se debe convertir en un problema equivalente en el cual todas las restricciones son ecuaciones y todas las variables son no negativas. Un PL en esta forma está en la forma estándar.

¿Cómo se estandariza un PL?

Para convertir un PL en la forma estándar, cada restricción de desigualdad se debe reemplazar por una restricción de igualdad.

Si la restriccióni-ésima de un PL es una restricción ≤, entonces se convierte en una restricción de igualdad al sumar una variable de holgura si a la restricción i-ésima y añadir la restricción de signo si≥0.

Si la restricción i-ésima de una PL es una restricción ≥, entonces se puede convertir en una restricción de igualdad al restar una variable de excesoe i de la restricción i-ésima y añadir la restricción de signo e i≥0.

Variables básicas y no básicas.

Considerando un sistema Ax = b de mecuaciones lineales y n variables (suponga n≥m).

Una solución básicapara Ax = b se obtiene haciendo n−m variables iguales a cero, y luego se determinan los valores de las m variables restantes. Así se asume que al hacer las n−m variables iguales a cero se llega a valores únicos para las m variables restantes.

Las n−m variables que se igualan a cero se llaman variables no básicas. Si las m variables restantes tienen una solución única, se llaman variables básicas y su solución (al resolver las m ecuaciones) se llamasolución básica.

Por ejemplo se tiene el siguiente programa lineal con dos variables:

Maximizar Z=2x1+3 x2

Sujeto a:

2 x1+x2≤4

x1+2x2≤5

x1 , x2≥0

Estandarizando:

Sujeto a:

2 x1+x2+s1=4

x1+2x2+s2=5

x1 , x2 , s1 , s2≥0

El sistema tiene m=2 ecuaciones y n=4 variables.Igualando a ceron−m=4−2=2 variables y resolviendo las ecuaciones para determinar las m=2 variables restantes podemos obtener las distintas soluciones básicas. Por ejemplo, si x1=0 y x2=0, las ecuaciones producen la solución:

s1=4, s2=5

De la misma manera se pueden obtener todas las soluciones básicas y no básicas para este problema:

Soluciones factibles.

Cualquier solución básica en la cual todas las variables son no negativas es una solución factible básica. Las soluciones no factibles no satisfacen todas las restricciones del problema y por lo tanto no son candidatos para el valor óptimo.

Tomando como ejemplo el problema anterior:

¿Porque se utiliza el Método SIMPLEX?

A medida que aumenta el tamaño del problema(esto es, a medida que m y n se hacen grandes), el problema de enumerar todos los puntos esquina (extremos) es demasiado complicado. Por ejemplo, para m=10n¿20sería necesario resolver conjuntos de 10 x 10 ecuaciones; es una tarea abrumadora en realidad, en especial cuando se sabe que un programa lineal de 10 x 20 es pequeño en una situación de la vida real en que no son raras cientos o hasta miles de variables yrestricciones. Sin embargo sólo se investigauna fracción de todas las posibles soluciones básicas factibles (puntos esquina) del espacio desoluciones. En esencia, en el método símplex se usa un procedimiento inteligente de búsqueda, diseñado para llegar al punto esquina óptimo en una forma eficiente.

Naturaleza iterativa del método símplex.

Normalmente, el método símplex comienza en el origen (punto A), donde x1=x2=0 .En este punto de inicio, el valor de la función objetivo Z es cero, y la pregunta lógica es si ese valor mejora con un aumento en x1 y/o x2 no básicas respecto a sus valores actuales de cero. Contestaremos esta pregunta investigando la función objetivo:

Maximizar Z=2x1+3 x2

La función indica que un aumento en x1 o x2 (o en ambas) respecto a sus valores actuales de cero aumentará el valor de Z (recuerde que estamos maximizando a Z). Sin embargo, en el diseño del método símplex se estipula aumentar las variables una por una.

Si aumenta x1 , entonces su valor debe aumentar para llegar al punto esquina B (recuerde que no se acepta detenerse antes de llegar a B, porque un candidato para el óptimo debe ser un punto esquina). Una vez en B, el método símplex aumentará el

valor de x2 para llegar al punto esquina mejorado C. El punto C es óptimo y se termina el proceso. La trayectoria asociada al algoritmo símplex es A→B→C.

Si aumenta x2 , el siguiente punto esquina será D, y a partir de D la solución se mueve hacia el punto óptimo C. El trayecto asociado con el algoritmo símplex es A→D→C.

Nótese que en ambas rutas,A→B→C y A→D→C, las iteraciones símplex se mueven por los bordes del espacio de soluciones, y eso quiere decir que el método no puede atravesar ese espacio para ir en forma directa de A a C.

¿Qué es el Método de la M-Grande?

Los programas lineales en los que todas las restricciones son (≤) con lados derechos no negativos ofrecen una cómoda solución factible básica deinicio con todas las holguras. Pero en un PL donde intervienen restricciones del tipo (=) o (≥)no sería tan evidente una SFB inicial. El Metodo de la M-Grande se podría aplicar para resolver el problema. Es una versión del algoritmo simplex que determina primero un SFB mediante la suma de variables “artificiales” al problema. Naturalmente la función objetivo del PL original se tiene que modificar para que las variables artificiales sean iguales a cero en la conclusión del algoritmo simplex.

El procedimiento para iniciar programas lineales “de mal comportamiento” con restricciones (=) y (≥)es permitir que variables artificiales desempeñen el trabajo de holguras en laprimera iteración, para después, en alguna iteración posterior, desecharlas en forma legítima.

El método M comienza con la programación lineal en forma de ecuación. Una ecuación i que no tenga una holgura (o una variable que pueda hacer el papel de una holgura) se aumenta con una variable artificial, R i , para formar una solución de inicio parecida a la solución básica con todas las holguras. Sin embargo, como las variables artificiales son ajenas al modelo de programación lineal, se usa un mecanismo de retroalimentación en el que el proceso de optimización trata en forma automática de hacer que esas variables tengan nivel cero. En otras palabras, la solución final será como si las variables artificiales nunca hubieran existido en primer lugar. El resultado deseado se obtiene penalizando las variables artificiales en la función objetivo.

Casos Especiales De La Aplicación Del Método Símplex.

Degeneración.

Al aplicar la condición de factibilidad del método símplex, se puede romper un empate en larazón mínima en forma arbitraria. Cuando se presenta un empate, al menos una variable básica será cero en la siguiente iteración, y se dice que la nueva solución es degenerada.

Desde el punto de vista práctico,la condición indica que el modelo tiene al menos una restricción redundante.

Desde el punto de vista teórico, la degeneración tiene dos implicaciones. La primera es elfenómeno de ciclos o círculos. Es posible que el procedimiento símplex repitauna serie de iteraciones sin mejorar el valor objetivo, y nunca terminar los cálculos. El segundo aspecto teórico surge cuando al observar dos iteraciones que, aunque difieren en la clasificación de las

variables en básica y no básica, producen valores idénticos. No es posible detener los cálculos Cuando aparece la degeneración por primera vez aun cuando no sea óptima ya que la solución puede ser temporalmente degenerada.

Óptimos alternativos.

Cuando la función objetivo es paralela a una restricción obligatoria (es decir, una restricción que se satisface como ecuación en la solución óptima), la función objetivo asumirá el mismo valor óptimo, que se llama óptimos alternativos, en más de un punto de solución.

Soluciones no acotadas.

En algunos modelos de programación lineal, los valores de las variables pueden aumentar en forma indefinida sin violar alguna de las restricciones, y eso significa que el espacio de soluciones es no acotado al menos en una dirección. El resultado es que el valor objetivo puede aumentar (en caso de maximización) o disminuir (si se trata de minimización) en forma indefinida. En ese caso, tanto el espacio de soluciones como el valor óptimo objetivo no están acotados.

La no acotación apunta hacia la posibilidad de que el modelo esté mal construido. Las irregulares más probables en esos modelos son que no se hayan tomado en cuenta una o más restricciones no redundantes, y que los parámetros (constantes) de algunas restricciones puedan no haberse estimado en forma correcta.

Soluciones inexistentes (o no factibles).

Los modelos de programación lineal con restricciones inconsistentes no tienen solución factible. Estos casos nunca suceden si todas las restricciones son del tipo ≤ (suponiendo lados derechos no negativos), porque las holguras permiten tener una solución factible. Para otros tipos de restricciones se usan variables artificiales. Aunque esas variables artificiales se penalizan en la función objetivo, para obligarlas a ser cero en el óptimo, eso sólo puede suceder si el modelo tiene un espacio factible. En caso contrario, al menos una variable artificial será positiva en la iteración óptima.

Desde el punto de vista práctico, un espacio no factible indica la posibilidad de que el modelo no esté bien formulado.

Análisis de sensibilidad

Un modelo de programación lineal es una foto instantánea de una situación real en la que los parámetros del modelo (coeficientes de la función objetivo y de las restricciones) asumen valores estáticos. Para aumentar la aplicación de la programación lineal en la práctica, se necesita agregar una dimensión dinámica que investigue el impacto que tiene hacer cambios en los parámetros del modelo (coeficientes de la función objetivo y de las restricciones) sobre la so- lución óptima. A este proceso se le llama análisis de sensibilidad, porque estudia la sensibilidad de la solución óptima respecto a los cambios que se hagan en el modelo.

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