Funcoes hiperbolicas

directas e

inversas

C. Funcoes hiperbolicas directas

Vamos agora introduzir as funcoes hiperbolicas, apresentar algumas das suas proprieda-

des e esbocar os seus graficos.

C1. Seno hiperbolico

O seno hiperbolico e a funcao

sh : R −→ R

x 7−→ex − e−x

2.

(15)

Trata-se de uma funcao contınua, ımpar e estritamente crescente, logo injectiva. Possui

um unico zero, a origem. Alem disso, limx→+∞

shx = +∞, limx→−∞

shx = −∞.

x

y

x

2

y

y = shx, x ∈ R, CDsh = R y = ch x, x ∈ R, CDch = [1,+∞[

C2. Cosseno hiperbolico

O cosseno hiperbolico e a funcao

ch : R −→ R

x 7−→ex + e−x

2.

(16)

Trata-se de uma funcao contınua e par. Logo, nao e injectiva. Nao possui zeros e atinge

um mınimo na origem, com valor ch 0 = 1. Alem disso, limx→+∞

ch x = limx→−∞

ch x = +∞.

C3. Tangente hiperbolica

A tangente hiperbolica e a funcao definida por

th : R −→ R

x 7−→sh x

ch x,

(17)

ou seja, por

th x =ex − e−x

ex + e−x, x ∈ R. (18)

4

Trata-se de uma funcao contınua, ımpar e estritamente crescente, logo injectiva. Possui

um unico zero, em 0. Alem disso,

limx→+∞

th x = limx→+∞

ex − e−x

ex + e−x= lim

x→+∞

e2x − 1

e2x + 1= lim

x→+∞

1 −1

e2x

1 +1

e2x

= 1, (19)

pelo que o grafico da th possui uma assımptota horizontal de equacao y = 1, para

x → +∞. Da imparidade da th, existe outra assımptota horizontal de equacao y = −1,

para x → −∞. Tem-se ainda CDth = ] − 1, 1[ .

x

y

1

-1

x

y

1

-1

y = th x, x ∈ R, CDth = ] − 1, 1[ y = coth x, x ∈ R\{0}, CDcoth = R\[−1, 1]

C4. Cotangente hiperbolica

A cotangente hiperbolica e a funcao definida por

coth : R\{0} −→ R

x 7−→ch x

shx,

(20)

ou seja, por

coth x =ex + e−x

ex − e−x, x ∈ R\{0}. (21)

Trata-se de uma funcao contınua, ımpar e sem zeros. Apesar de nao ser monotona, e

estritamente decrescente para x > 0, onde toma valores positivos, e para x < 0, onde

toma valores negativos. Logo e injectiva. Da definicao (21), sai que

limx→0+

coth x = +∞ , limx→+∞

coth x = 1, (22)

pelo que o grafico da coth possui uma assımptota horizontal de equacao y = 1, para

x→+∞, e uma assımptota vertical de equacao x = 0. Da imparidade da coth , existe

outra assımptota horizontal de equacao y = −1, para x→−∞. Tem-se ainda CDcoth =

R\[−1, 1] .

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C5. Algumas propriedades

A partir das definicoes (15), (16), (18) e (21) das funcoes hiperbolicas, com manipulacoes

algebricas simples, e facil verificar que estas funcoes verificam as seguintes propriedades:

(i) ch2x − sh2

x = 1 , ∀x ∈ R;

(ii) ch x + shx = ex , ∀x ∈ R;

(iii) sh(−x) = − sh x , ∀x ∈ R;

(iv) ch(−x) = ch x , ∀x ∈ R;

(v) th2x +

1

ch2x

= 1 , ∀x ∈ R;

(vi) coth2x −

1

sh2x

= 1 , ∀x ∈R\{0};

(vii) sh(x + y) = sh x ch y + ch x sh y , ∀x, y ∈ R;

(viii) ch(x + y) = ch x ch y + shx sh y , ∀x, y ∈ R;

(vii) sh(x − y) = sh x ch y − ch x sh y , ∀x, y ∈ R;

(viii) ch(x − y) = ch x ch y − shx sh y , ∀x, y ∈ R.

Demonstracao

(i) Seja x ∈ R, qualquer. Entao

ch2x − sh2

x =

(

ex + e−x

2

)2

−

(

ex − e−x

2

)2

=1

4

(

e2x + 2 + e

−2x − e2x + 2 − e

−2x)

= 1.

(viii) Sejam x, y ∈ R, quaisquer. Entao

chx ch y + sh x sh y =ex + e−x

2·

ey + e−y

2+

ex − e−x

2·

ey − e−y

2

=ex+y + ex−y + e−x+y + e−x−y

4+

ex+y − ex−y − e−x+y + e−x−y

4

=ex+y + e−x−y

2= ch(x + y).

As restantes alıneas demonstram-se de maneira semelhante.

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D. Funcoes hiperbolicas inversas

Vamos agora definir as funcoes hiperbolicas inversas. Como vimos na subseccao C, as

funcoes sh, th e coth sao injectivas, enquanto que a funcao ch nao e injectiva e, portanto,

nao sera invertıvel. Para esta ultima, iremos considerar uma restricao apropriada.

D1. Argumento do seno hiperbolico

A funcao sh definida em (15) e contınua, bijectiva e possui inversa contınua. Trata-se

da funcao argumento do seno hiperbolico, que se define por

argsh : R −→ R

y 7−→ argsh y,(23)

onde

x = argsh y , y ∈ R ⇐⇒ y = shx , x ∈ R. (24)

Mas, para x ∈ R , tem-se

y = sh x ⇐⇒ y =ex − e−x

2

⇐⇒ y =e2x − 1

2ex⇐⇒ e

2x − 2yex − 1 = 0. (25)

A ultima condicao em (25) traduz uma equacao do segundo grau na incognita ex.

Tratando-a com a formula resolvente, sai

ex = y ±

√

y2 + 1 ,

sendo a solucao com o sinal + a unica admissıvel, uma vez que

ex

> 0 , ∀x ∈ R e y −√

y2 + 1 < 0 , ∀y ∈ R.

Mas

ex = y +

√

y2 + 1 ⇐⇒ x = log(

y +√

y2 + 1)

,

donde

argsh y = log(

y +√

y2 + 1)

, ∀y ∈ R. (26)

As expressoes (23) e (26) definem completamente a funcao argsh.

D2. Argumento do cosseno hiperbolico

A funcao ch definida por (16) nao e injectiva, logo, nao e invertıvel. Como tal, definire-

mos a inversa da seguinte restricao bijectiva e contınua

ch : [0,+∞[ −→ [1,+∞[x 7−→ ch x,

(27)

7

x

y

1x

y

y = argsh x, x ∈ R, CDargsh = R y = argch x, x ∈ [1,+∞[ , CDargch = [0,+∞[

que se designa por argumento do cosseno hiperbolico e que e tambem uma funcao

contınua. Representa-se por

argch : [1,+∞[ −→ [0,+∞[y 7−→ argch y,

(28)

onde

x = argch y , y ∈ [1,+∞[ ⇐⇒ y = ch x , x ∈ [0,+∞[ . (29)

Mas, para x ≥ 0 , tem-se

y = ch x ⇐⇒ y =ex + e−x

2

⇐⇒ y =e2x + 1

2ex⇐⇒ e

2x − 2yex + 1 = 0. (30)

A ultima igualdade de (30) traduz uma equacao do segundo grau em ex, donde

ex = y ±

√

y2 − 1 .

Como x ≥ 0 =⇒ ex ≥ 1, a solucao com o sinal + e a unica admissıvel (a solucao com o

sinal − corresponderia a inversa da restricao do ch para x ≤ 0). Mas

ex = y +

√

y2 − 1 , x ≥ 0 , y ≥ 1 ⇐⇒ x = log(

y +√

y2 − 1)

, x ≥ 0 , y ≥ 1,

donde

argch y = log(

y +√

y2 − 1)

, y ∈ [1,+∞[ . (31)

A funcao argumento do cosseno hiperbolico fica completamente definida por (28) e (31).

D3. Argumento da tangente hiperbolica

A funcao tangente-hiperbolica definida em (17) e injectiva mas nao e sobrejectiva. Para

poder inverter, basta considerar

th : R −→ ] − 1, 1[x 7−→ th,

(32)

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que e bijectiva e, portanto, e invertıvel. Sendo contınua num intervalo, a sua inversa e

contınua. Trata-se da funcao argumento da tangente hiperbolica, que se define por

argth : ] − 1, 1[ −→ R

y 7−→ argth y,(33)

onde

x = argth y , y ∈ ] − 1, 1[ ⇐⇒ y = th x , x ∈ R. (34)

Para x ∈ R , y ∈ ] − 1, 1[ , tem-se

y = th x ⇐⇒ y =ex − e−x

ex + e−x⇐⇒ y =

e2x − 1

e2x + 1

⇐⇒ e2x (1 − y) = 1 + y ⇐⇒ x = log

(√

1 + y

1 − y

)

,

donde

argth y = log

(√

1 + y

1 − y

)

, y ∈ ] − 1, 1[ , (35)

completando-se a definicao do argumento da tangente hiperbolica com (33) e (35).

x

y

1

-1 x

y

1-1

y = argth x, x ∈] − 1, 1[, y = argcoth x, x∈R\[−1, 1] ,CDargth = R CDargcoth = R\{0}

D4. Argumento da cotangente hiperbolica

A funcao cotangente-hiperbolica definida em (20) e injectiva mas nao e sobrejectiva.

Consideremos entaocoth : R\{0} −→ R\ [−1, 1]

x 7−→ coth(36)

que e bijectiva e, portanto, e invertıvel. A sua inversa e contınua. Trata-se da funcao

argumento da cotangente hiperbolica, que se define por

argcoth : R\ [−1, 1] −→ R\{0}y 7−→ argcoth y

(37)

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onde

x = argcoth y , y ∈ R\ [−1, 1] ⇐⇒ y = coth x , x ∈ R\{0}. (38)

Para x ∈ R\{0} , y ∈ R\ [−1, 1] , tem-se

y = coth x ⇐⇒ x = log

(√

y + 1

y − 1

)

,

pelo que

argcoth y = log

(√

y + 1

y − 1

)

, y ∈ R \ [−1, 1], (39)

ficando assim completa a definicao da funcao argumento da cotangente hiperbolica,

atraves das expressoes (37) e (39).

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