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A pesquisa Operacional e os Recursos Renováveis4 a 7 de novembro de 2003, Natal-RN
MODELO DE PREVISÃO DE CARGA DE CURTO PRAZO UTILIZANDO INTELIGÊNCIA COMPUTACIONAL E ESTATÍSTICA
CLÁSSICA
Flávia C. Serrão Lessa1 Márcio Luiz Lessa1 Reinaldo Castro Souza1 [email protected] [email protected] [email protected]
Resumo
O presente artigo propõe um modelo de previsão de carga de curto prazo (séries horárias) utilizando um classificador e um previsor. O Classificador é implementado através de Redes neurais Artificiais utilizando a técnica de aprendizado não-supervisionado (SOM). Com relação ao previsor a técnica utilizada é a Lógica Fuzzy que usa as variáveis climáticas (temperaturas máximas e mínimas) para escolher um perfil apropriado criado pela SOM e eles são combinados para se obter a previsão. O modelo proposto utilizou dados coletados por dois anos de uma concessionária de energia elétrica do Brasil Neste artigo se propõe um modelo que combine as técnicas da Inteligência Computacional com as Técnicas Estatísticas. Introdução A previsão de carga de curto prazo é muito importante para as concessionárias e todo o sistema de operação. Muitos trabalhos vêm sendo desenvolvidos nesta área utilizando diferentes técnicas. Alguns trabalhos tratam de maneira direta a influência das variáveis climáticas na qualidade das previsões [1], [3], [4]. A influência é geralmente não-linear e muito difícil. No modelo proposto o classificador cria categorias reunindo dados com características semelhantes. As informações fornecidas por esses grupos são utilizadas pelo previsor para conseguir a previsão desejada. Rompendo assim a fronteira das estações do ano, levando em consideração o perfil da curva de carga. As previsões fornecidas serão horárias.
Redes neurais Artificiais
Redes Neurais Artificiais (RNAs), ou somente Redes Neurais, são redes inspiradas na estrutura do cérebro com o objetivo de apresentar características similares ao comportamento humano, tais como: aprendizado, associação, generalização e abstração. As Redes Neurais Artificiais são compostas por diversos elementos processadores (neurônios artificiais), altamente interconectados, que efetuam operações simples, transmitindo seus resultados aos processadores vizinhos [10]. Geralmente, o estudo das Redes Neurais artificiais são baseados no modelo de neurônio simplificado sugerido por McCulloch & Pits in 1943 (Figura 1). Segundo o modelo, cada sinal de entrada é multiplicado por um peso que indica sua influência na saída da unidade, é feita a soma ponderada dos sinais que produzem um nível de atividade, e se este nível excede um limite a unidade produz uma saída.
1 PUC-Rio
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A equação matemática do modelo é:
= ∑
=
n
jjiji zwgo
0
onde, oi – saída do neurônio i; zj - j-ésima entrada do neurônio i; wij – peso da entrada j para o neurônio i conectado. g(.) – função de ativação (normalmente não-linear).
Figura 1 – modelo do neurônio simplificado
A RNA é treinada através de um processo iterativo de modificação de pesos de interligação. O tipo de treinamento (aprendizado) é determinado pelo modo com que se promove a adaptação dos parâmetros e isso pode ser feito de dois modos: Aprendizado Supervisionado e Aprendizado Não Supervisionado. •Aprendizado Supervisionado É utilizado quando a rede objetiva modelar um sistema físico qualquer a partir de casos conhecidos. Para tanto, pares de amostras de sinais de entrada e de saída são fornecidos à rede para que, deles, ela extraia características relevantes que lhe permitam modelar matematicamente o comportamento de tal sistema físico. Um conjunto de pares entrada-saída conhecido é escolhido para que representem os dados, posteriormente se calcula o erro na saída da rede com relação à saída alvo, atualizam-se os pesos para minimizar esta diferença até um patamar de mínimo previamente estabelecido como aceitável. Neste artigo não será aprofundado, mas maiores informações podem ser obtidas em Haikin [6]. •Aprendizado Não-Supervisionado A rede está voltada para extrair características relevantes dos dados de entrada que recebe sem que para cada um se tenha o um par entrada-saída quando estes lhe forem apresentados. Deverá agrupá-los em sub-conjuntos similares, de tal forma que quando uma nova entrada lhe for apresentada, seja capaz de dizer com os quais dos grupos formados esta mais se assemelha (no caso deste trabalho as curvas de carga).Os dados de entrada são apresentados sucessivamente à rede, que deles vai extraindo médias de suas características. Essas “médias” servem como o ponto de concentração para agrupar os dados de entrada em subgrupos estáveis, isto é, sempre que dados semelhantes lhe forem apresentados, são associados ao mesmo grupo pela similaridade. Matematicamente similaridade pode ser traduzida como proximidade, ou seja, uma medida de distância pode ser encarada medida de similaridade. Sendo assim, quanto mais
hi Σ g oi
M
wi1
win
wi2
1
2
n
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distantes estão os dois elementos menos parecidos eles são. Neste caso de aprendizado não supervisionado a rede também é conhecida como Redes Auto-organizáveis. A rede está voltada para extrair características relevantes dos dados de entrada que recebe sem que para cada um se tenha o um par entrada-saída quando estes lhe forem apresentados. Deverá agrupá-los em sub-conjuntos similares, de tal forma que quando uma nova entrada lhe for apresentada, seja capaz de dizer com os quais dos grupos formados esta mais se assemelha. Os dados de entrada são apresentados sucessivamente à rede, que deles vai extraindo médias de suas características. Essas “médias” servem como o ponto de concentração para agrupar os dados de entrada em subgrupos estáveis, isto é, sempre que dados semelhantes lhe forem apresentados, são associados ao mesmo grupo pela similaridade. Matematicamente similaridade pode ser traduzida como proximidade, ou seja, uma medida de distância pode ser encarada medida de similaridade. Sendo assim, quanto mais distantes estão os dois elementos menos parecidos eles são. Neste caso de aprendizado não supervisionado a rede também é conhecida como Redes Auto-organizáveis. No presente artigo foi utilizado as Redes de Kohonen. Aprendizado competitivo: No aprendizado competitivo uma das camadas da rede é composta por neurônios totalmente conectados aos da camada anterior, funcionando como uma arena onde as células disputarão qual deverá responder a cada amostra de entrada. A disputa normalmente será vencida pela unidade que tiver o maior valor de excitação, ou seja, o maior valor resultante do somatório das entradas que recebe da camada anterior ponderado pelos pesos da conexão que interligam a ela. A essa unidade vencedora caberão:
•A atividade de produzir uma saída de valor igual a um, que servirá através das conexões intracamada, como um sinal inibidor às demais competidoras, que manterão um valor de saída igual a zero;
•Atualizar os pesos das suas conexões à camada anterior visando registrar o fato de que está mapeando a amostra de entrada que conduziu à vitória. Algumas das unidades perdedoras do processo competitivo pelo aprendizado de uma dada amostra de entrada também ajustarão os pesos de suas conexões à camada anterior. A camada onde se desenvolve o processo de aprendizado competitivo é normalmente conhecida como camada auto-organizável.
Figura 02 – Aprendizado não-supervisionado
O algoritmo padrão de treinamento é apresentado abaixo: 1. Inicialização e definições de parâmetros
• Inicialize os pesos wij. • Defina os parâmetros de vizinhança. • Defina os parâmetros de aprendizagem.
2. Enquanto a condição de parada é falsa, faça:
2.1. Para cada j calcule:
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2.1.1) D(j) = argmin { }ijxw −
2.1.2) Encontre o índice J tal que D(J) seja um mínimo. 2.1.3) ∀j ∈ Nc de J , e ∀i: Wij (novo) = Wij (antigo) + α [xi – wij(antigo)] 2.2) Atualize a taxa de aprendizagem 2.3) Reduza o raio de vizinhança (Nc).
Nc deve começar atingindo todos os neurônios da rede e gradualmente diminuir a vizinhança para incluir muitos poucos vizinhos na fase de ajuste.
O que distingui as Redes de Kohonen das demais é uma estrutura em duas camadas: uma de entrada e outra de processamento, onde se forma o mapa. A camada de processamento é formada por um grid de neurônios com o mesmo espaço entre si e conectados apenas aos seus vizinhos imediatos.
Figura 02 - Rede de Kohonen
Sistema de inferência Fuzzy A lógica Fuzzy é uma técnica inteligente que tem como objetivo modelar o modo
aproximado de raciocínio, imitando a habilidade humana de tomar decisões em um ambiente de incerteza e imprecisão. Permite que os sistemas inteligentes de controle e suporte a decisão lidem com informações imprecisas ou nebulosas. Ou seja, capturar informações imprecisas, descritas em linguagem natural, e converte-las para um formato numérico.
A Lógica Fuzzy é capaz de realizar mapeamentos entrada-saída não-lineares através de um processo de extração destas regras a partir dos dados disponíveis[12]. Mapeando um vetor de entrada em uma saída escalar é capaz de incorporar tanto o conhecimento objetivo (modelos matemáticos) quanto o conhecimento subjetivo (informação lingüística). A figura 4 exemplifica um sistema fuzzy.
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Figura 04: Sistema Fuzzy
O sistema fuzzy, como mostra a figura 4 , é composto por quatro componentes:
• Fuzzificador: Transforma uma entrada numérica x0 ∈ X no conjunto nebuloso
A={(x,µA(x)),∀x ∈ X}
• Regras: Fornecidas por especialistas ou extraídas de dados numéricos. Apresentam
variáveis lingüísticas, conexões lógicas e implicações.
• Inferência: Mapeia fuzzy sets (conjuntos nebulosos) em fuzzy sets e determina como
as regras são ativadas e combinadas
• Defuzzificador: Para fornecer resultado numérico de saída.
Um conjunto nebuloso A em X é expresso como um conjunto de pares ordenados:
A = { (x, µA(x))x ∈ X}
Onde :
A: conjunto nebuloso
µA(x): Função de pertinência
X: Universo de discurso
No eixo x tem-se os números reais que constituem o universo do conjunto.
No eixo y tem-se valores entre 0 e 1, que correspondem ao grau de pertinência do
conjunto.
Atribui-se a cada indivíduo no universo um valor que representa o Grau de Pertinência deste indivíduo ao conjunto nebuloso. Este conceito é muito mais flexível que os Conjuntos Crisp, onde os elementos de um dado universo são divididos em dois grupos distintos: os membros (aqueles que pertencem ao conjunto) e não-membros (aqueles que certamente não pertencem ao conjunto). Porém, existem conjuntos cujo limite entre membro e não-membro é vago, sendo assim a utilização do conjunto nebuloso é necessária, pois se precisa de uma transição gradual entre grupos
As regras fuzzy formam a parte fundamental da estrutura de conhecimento em um sistema fuzzy de inferência. Os modelos de regras fuzzy podem ser divididos em: Mandani, Takagi-Sugeno e Tsukamoto. A diferença básica entre os modelos recai no tipo de conseqüente e no procedimento de defuzzificação. Neste trabalho será utilizado o defuzzificador Takagi-Sugeno.
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Modelo Takagi-Sugeno:
Regra: Se x é A e y é B então z= f (x , y) Neste caso, a saída de cada regra é uma função das variáveis de entrada. Geralmente, a
função que mapea a entrada e saída para cada regra é uma combinação linear das entradas, isto é, z= px1 + qx2 + r. No caso em p=q=0, temos z =r, chamado modelo Takagi-Sugeno de ordem zero. A saída do sistema é obtida pela média ponderada (procedimento de defuzzificação) das saídas de cada regra, usando-se o grau de disparo destas regras como pesos de ponderação.
Figura 5 – Takagi-Sugeno Para o Takagi-Sugeno, a inferência da relação entrada-saída é dada por:
( )∑∑ ⋅
=
lA
l
lA
x
xy)(
yx
x
µ
µ
onde yl – saída para a regra l y – saída do modelo
Modelo proposto O modelo proposto utiliza a Rede neural e a Lógica Fuzzy para se ter a previsão. A Lógica
Fuzzy usa a previsão da variável climática (no caso deste trabalho só será utilizado a temperatura)para escolher o perfil apropriado criado pelas Rede Neural e então são combinados fornecem a previsão. A entrada do modelo são valores histórico da carga e as previsões de temperatura, como demonstrado na figura 5 abaixo:
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A partir de agora será possível descrever o procedimento proposto. Antes de realizar a previsão pretende-se classificar, utilizando-se o mapa auto-organizável
de Kohonen, curvas típicas de carga. Este tipo de procedimento ultrapassa as barreiras de classificação rígida por estação do ano, respeita as características do tipo de carga, ou seja, pode-se obter um dia de carga “típico de verão” estando-se no inverno.
Neste caso, a rede neural empregada usando aprendizado não supervisionado (neste caso Mapas auto-organizáveis de Kohonen) apresenta uma estrutura de malha com 12 neurônios (4x3). Foram testadas outras configurações com diferentes números de neurônios, porém, ou havia uma fragmentação muito grande de classes semelhantes, quando o número de neurônios aumentava muito em relação ao escolhido, ou havia concentração excessiva de padrões distintos, ao diminuir o número de neurônios.
Como entrada da rede, foram considerados os valores de carga das 24 horas de um mesmo dia, ou seja, o vetor de entrada representa a carga diária observada a cada hora. Este procedimento permite a identificação dos dias com características similares.
No sistema Fuzzy as entradas são os valores previstos de mínimo e máximo da temperatura diária e introduzido no modelo proposto baseado no modelo de Takagi-Sugeno da ordem-zero (Sugeno 1985).
A implementação do sistema Fuzzy se apresenta da seguinte forma: • conjuntos fuzzy são criados com o intervalo de domínio das entradas (temperaturas
mínima e máxima) • regras fuzzy são criadas. • o valor numérico estimado da saída aplicando-se o modelo de Takagi-Sugeno da ordem-
zero onde as constantes (r) da formulação original foram substituídas pelos perfis característicos da carga identificados pelo classificador. Isto permitiu a formação do modelo proposto de previsão de carga diária, como indicado pela equação:
( ) ( )
( )∑∑ ⋅
=
ii
iii
T,T
T,TPT,T)h,d(z
21
2121
ω
ω
onde,
d – dia para previsão h = 1,2, ... ,24 – instante de tempo do dia d T1 – temperatura mínima prevista T2 – temperatura máxima prevista
Zt
Zt-1 Zt-2
Zt-m
M
Temperatura Zt+k
Classificador
Previsor
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Pi(T1,T2) – perfil de carga selecionado pelas regras do sistema fuzzy ativadas pelas temperaturas T1 e T2 ωi(T1,T2) – peso do perfil Pi
Os pesos dos perfis são dados por:
( ) ( ) ( )( )K,1,2,k
J, 2, 1,j
L
L
=
== 2121 T,TvT,Tkj BAi µµω
onde J – número de conjuntos fuzzy para a temperatura mínima K – número de conjuntos fuzzy para a temperatura máxima A – conjunto fuzzy para temperatura de entrada Tmin B – conjunto fuzzy para temperatura de entrada Tmax µF (T) – grau de pertinência da temperatura T no conjunto fuzzy F
e v( , ) é geralmente definido pelo mínimo
( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]2121 ,min, TTTTvkjkj BABA µµµµ =
ou pelo produto
( ) ( )( ) ( ) ( )2121 TTT,Tvkjkj BABA µµµµ ⋅=
Cada classe (neurônio) tem, em geral, vários dias, é possível calcular a variância da carga e associar a ela ao perfil de carga classificado. A variância é calculada por:
( )( ) ( )( )
i
Ndi N
hzh,dzh i
∑∈
−=
2
2σ
onde Ni (i = 1,2, ...,M) – neurônio considerado d –dia que pertence ao neurônio Ni h – instante de tempo considerado z(d,h) – valor da carga no instante h do dia d |Ni| - total de dias que pertencem ao neurônio Ni σi
2(h) – variância do neurônio Ni
e
( )
i
Nd
N
h,dz)h(z i
∑∈= – carga média na hora h em todos os dias do neurônio Ni
A medida da incerteza das previsões é estimada por:
( )( ) ( )
( )∑∑ ⋅
=
ii
ii
i
T,T
hT,Th,dˆ
21
221
2
ω
σωσ
A atualização dos perfis de carga no modelo é feita da seguinte maneira: Ao se chegar um novo dia (vetor de 24 horas), optou-se por não reclassificar todos dados
e sim em fazer apenas um “ajuste fino”, pois como as regras fuzzy estão vinculadas a posição dos neurônios na malha (4x3) afetaria todo o modelo. Porém, cabe a observação que um novo algoritmo que permita uma reclassificação automática está sendo testado.
Quanto ao “ajuste fino” ele se desenvolve da seguinte maneira:
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⇒ ao chegar um novo dia apenas os parâmetros de Taxa de Aprendizado (utilizado para ajustar o neurônio vencedor) e Distância (utilizado para atualizar a vizinhança do neurônio vencedor) são alterados. Sendo assim, o modelo é preservado e os perfis permanecem com suas características iniciais.
Para verificação da performance do modelo, as seguintes estatísticas de erro foram testadas: Erro da previsão
( ) ( ) ( )h,dzh,dzh,de −= onde
z(d,h) – carga observada no instante h, no dia d ( )h,dz – carga prevista no instante h, no dia d
Erro Absoluto percentual
( ) ( )( ) ,
,,hdzhdehdape =
Erro Médio Absoluto Percentual (MAPE)
a) Diário
( ) ( )( )∑
=
=f
i
h
hh hdzhde
Hdmape
,,1
, H = hf – hi + 1 – número de horas (instantes) do dia d. No
caso desta dissertação H= 24.
b) Horário de “pico”
( ) ( )( )∑
∈
=pIhp h,dz
h,deT
dmapep 1
onde Ip – horário de pico (das 19:00 às 22:00h – ou das 18:00 às 21:00h).
Tp – número de horas utilizado em Ip
c) Fora do horário de pico
( ) ( )( )∑
∉
=pIhf h,dz
h,deT
dmapef 1
onde Tf é o número de horas em que não pertence a Ip
Dia 15/02/2001 Dia 03/10/2001 Hora
ape (d,h) ape (d,h)
01:00 11,95% 4,56%
02:00 11,11% 2,74%
03:00 12,84% 2,09%
04:00 16,15% 3,09%
05:00 19,07% 2,14%
06:00 13,45% 5,00%
07:00 12,75% 2,32%
08:00 12,38% 0,84%
746
09:00 6,54% 2,80%
10:00 4,31% 1,35%
11:00 12,96% 0,62%
12:00 9,09% 1,74%
13:00 8,74% 1,72%
14:00 2,08% 0,60%
15:00 1,18% 0,30%
16:00 3,53% 1,99%
17:00 1,22% 4,66%
18:00 8,56% 4,78%
19:00 22,62% 3,44%
20:00 16,13% 4,61%
21:00 4,32% 7,40%
22:00 3,88% 0,76%
23:00 7,11% 1,35%
24:00 11,38% 4,22%
Tabela 1 – tabelas com estatísticas de erros do modelo
MAPE
Dia 15/02/2001 Dia 03/10/2001
9,72% 2,71%
Tabela 2 – MAPE
MAPEP
Dia 15/02/2001 Dia 03/10/2001
11,74% 4,05%
Tabela 3 - MAPEP
MAPEF
Dia 15/02/2001 Dia 03/10/2001
9,32% 2,44%
Tabela 4 – MAPEF
Ao se analisar as estatísticas de erro dos referidos dias, pôde-se perceber que ocorreu o
mesmo problema em ambos. Apesar do modelo proposto ter fornecido previsões satisfatórias, na maior parte dos dias do ano a ser previsto, um fator gerou a necessidade de uma nova investigação dos dados fornecidos. O erro observado no dia 15/05/2001 é bastante elevado, porém no dia 03/10/2001 o erro é bem satisfatório. Ao se investigar com a concessionária fornecedora dos dados esta informou que os dados estavam “contaminados” pela carga industrial que era retirada do sistema a todo momento. Principalmente no “horário de pico” onde o modelo mostrava um desempenho não satisfatório.Como entrada do modelo proposto, a carga utilizada foi a carga total da empresa, porém, esta tem uma grande participação da carga industrial (A2 - tensão de fornecimento de 88 kV a 138 kV) que tem grande impacto na curva
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total ao ser retirada. Do exposto, foi observada a necessidade de uma nova formulação do modelo proposto, uma vez que o novo modelo deve levar em consideração esta variável (carga A2). Em se tratando de uma variável determinística o modelo deverá suportar as variações da mesma, mantendo a qualidade de fornecimento para o consumidor.
Conclusões Feitas as análises foi possível concluir que o modelo proposto é viável e de grande
eficácia, porém especificamente no caso dos dados utilizados há necessidade da criação de um modelo que “trate” em separado a carga vegetativa da carga A2, pois como esta é tratada de forma distinta no sistema da concessionária e sua presença na curva total de carga altera toda a curva, é de suma importância uma diferenciação do modelo. Quanto aos dados utilizados no modelo, devido estarem “contaminados” pela carga A2, inviabilizou uma melhor performance. O número de dados com essas informações em separado – carga A2 distinguida da carga vegetativa – impossibilita a formulação de um novo modelo, pois contém apenas onze meses de dados, o que é insuficiente.Como sugestão de trabalhos futuros, além do tratamento da carga industrial em separado, outras variáveis exógenas poderiam ser adicionadas ao modelo como, por exemplo, a variável Luminosidade. Porém, as concessionárias ainda não têm registro de dados desta variável.
Referências bibliográficas: [1] Bunn, D. W., Farmer, E. D., “Comparative Models For Electrical Load Forecasting”, Chichester, John Willey & Sons, 1985. [2] Irisarri, G. B., Widergren, S. E., Yehsakul, P. D., “Online load forecasting for energy control center application” IEEE Trans. on Power Apparatus and Systems, vol. 101, no 1, january 1982, pp. 71-78. [3] Lee, K. Y., Cha, Y. T., Park, J. H., “Short-Term Load Forecasting Using An Artificial Neural Network”, IEEE Trans. on Power Systems, vol. 7, no 1, feb. 1992, pp.124-132. [4] Chen, S.-T, Yu, D. C., Moghaddamjo, A. R., “Weather Sensitive Short-Term Load Forecasting Using Nonfully Connected Artificial Neural Network”, IEEE Trans. on Power Systems, vol. 7, no 3, aug. 1992, pp. 1098-1105. [5] Pelikán E., Matejka P., Sláma M., Vinkler K., “Interactive Forecasting Of The Electric Load Using Kohonen Self-Organizing Feature Maps”, Proc. of the World Congress of Neural Networks, San Diego, California, sep. 15-20, 1996. [6] Haykin, S., “Neural Network: A Comprehensive Fundation”, 2nd ed., New Jersey, Prentice Hall, 1999. [7] Hsu, Y.-Y., Yang, C.-C., “Design Of Artificial Neural Networks For Short-Term Load Forecasting. Part I: Self-Organizing Feature Maps For Day Type Identification”, IEE Proc.-C, Generation, Transmission and Distribution, vol. 138, no 5, sep. 1991, pp. 407-413. [8] Hsu, Y.-Y., Yang, C.-C., “Design Of Artificial Neural Networks For Short-Term Load Forecasting. Part II: Multilayer Feedforward Networks For Peak Load And Valley Load Forecasting”, IEE Proc.-C, Generation, Transmission and Distribution, vol. 138, no 5, sep. 1991, pp. 414-426.
748
[9] Djukanovic, M., Babic, B., Sobajic, D. J., Pao, Y.-H., “Unsupervised/Supervised Learning Concept For 24-hour Load Forecasting”, IEE Proc.-C, Generation, Transmission and Distribution, vol. 140, no 4, july 1993, pp. 311-318. [10] Wang,L-X., Mendel, J. M., “Generating Fuzzy Rules by Learning from Examples”, IEEE Trans. on Systems, Man and Cybernetics, vol. 22, no 6, nov/dec 1992, pp. 1414-1427. [11] Hertz, J., Krogh, A., Palmer, R.G., “Introduction To The Theory Of Neural Computation”, Lecture Notes Vol. 1, Addinson-Wesley Publishing Company, 1991. [12] Mendel, J. M., “Fuzzy Logic Systems for Engineering: A Tutorial”, IEEE Proc., vol. 83, no 3, mar 1995, pp. 345-377. [13] Tanscheit, R., “Controle Nebuloso”, Mini-curso do 9o Congresso Brasileiro de Automática, Vitória E. S., Brasil, 14 a 18 setembro 1992, pág. 82-95. [14] Dash, P. K., Ramakrishna, G., Liew, A. C., Rahman, S., “Fuzzy Neural Networks for Time-series Forecasting of Electric Load”, IEE Proc.-C, Generation, Transmission and Distribution, vol. 142, no 5, sep. 1995, pp. 535-544. [15] Takagi, T., Sugeno,M., "Fuzzy Identification of Systems and Its Applications to Modeling and Control", IEEE Tran. on Systems, Man and Cybernetics, vol. SMC-15, no 1, jan/feb 1985, pp. 116-132. [16] Sugeno, M., Kang, G. T., "Structure Identification of Fuzzy Model", Fuzzy Sets and Systems, 28 (1988), 15-33. [17] Sugeno, M., Takagi, T., "Multi-Dimensional Fuzzy reasoning", Fuzzy Sets and Systems, 9 (1983), 313-325. [18] Sugeno, M., Tanaka, K., "Sucessive identification of a fuzzy model and its apllications to prediction of a complex system", Fuzzy Sets and Systems, 42 (1991), 315-334.
