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1
Preparação para o teste intermédio de
Matemática 8º ano
Conteúdos do 7º ano
Conteúdos do 8º ano
Conjuntos numéricos
IN
Q
Z
IN0
-3 -56
-12 -4
0
4
1
3
14
9
6
IN - Conjunto dos números Naturais
IN = {1;2;3;4;5;6…}
Z - Conjunto dos números Inteiros
relativos
Z= {… -3;-2;-1;0;1;2;3;…}
Q- Conjunto dos números racionais
Q = z U { números fracionários}
Completa com os símbolos ; ; ; -1 ….. IN 1,4 ….. Z -3 …… Z- 0 …… IN 3 …… IN 4 …… Z-
IN…… Z 2,3 …… Q
2
0,(3)
A raiz quadrada permite calcular o lado de
um quadrado sabendo a sua área.
´ 249A rea cm 49 7cmlado
Raiz quadrada
A raiz cúbica permite calcular a aresta
de um cubo sabendo o seu volume.
3343Volume cm
3 343 7cmaresta
Raiz cúbica
3
Mínimo múltiplo comum (m.m.c)
1º processo M12 = {0;12;24;36;48;60…} M30 = {0;30;60…}
m.m.c = {60}
Determina o m.m.c (12;30)
2º processo 12 2 30 2 6 2 15 3 3 3 5 5 1 1 12 = 22 x 3 30 = 2 x 3 x 5 m.m.c = 22 x 3 x5 = 60
Produto dos factores primos comuns e não comuns de maior expoente
4
Máximo divisor comum (m.d.c)
1º processo D12 = {1;2;3;4;6;12} D30 = {1;2;3;5;6;10;15;30}
M.d.c (12;30)= {6}
Determina o m.d.c (12;30)
2º processo 12 2 30 2 6 2 15 3 3 3 5 5 1 1 12 = 22 x 3 30 = 2 x 3 x 5 M.d.c (12;30) = 2 x 3 = 6
Produto dos factores primos comuns com menor expoente
5
mmc e mdc
Texto
«…de tanto em tanto…» mmc
«…dividir/repartir/agrupar…» mdc
6
Na sequência:
1 , 5 , 9 , 13 , 17,…
Termo de ordem 2? 1
Termo de ordem 5?
Ordem 10
Termo de ordem 14?
O termo geral da sequência é 4n-3.
53144 3
+4
Sequências Numéricas
+4
-3 4 , 8 , 12 , 16
+4
A ordem do termo 37? 40
4 3 37 104 37 34
nn n n 7
17
Qual é a expressão geradora de todos os termos de
cada uma das sequências?
5, 10, 15, 20, 25, 30, …
6, 11, 16, 21, 26, 31, …
5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, …
5n
5n+1
3n+2
Regra: somar cinco ao número anterior
Regra: somar três ao número anterior
Regra: somar cinco ao número anterior
8
Definição:
Duas grandezas x e y são diretamente proporcionais se a razão entre os seus
valores correspondentes, tomados pela mesma ordem, é constante.
Quando umas das grandezas é zero a outra também é zero.
A representação gráfica de uma situação de proporcionalidade direta é
uma recta que passa pela origem.
A expressão analítica de uma situação de proporcionalidade direta é
onde k é a constante de proporcionalidade direta.
y xk
Proporcionalidade direta
9
Quando uma das grandezas é zero a
outra também é zero.
2 4 6 82; 2; 2 e 2
1 2 3 4
Existe proporcionalidade direta,
porque a razão entre as grandezas é
constante.
A constante de proporcionalidade
direta é 2.
Não existe proporcionalidade
direta, porque a razão entre as
grandezas não é constante.
2,50 3,002,50 e 1,50
1 2
I II
xy 2 Expressão Analítica
10
I II
Representação gráfica de cada situação
Unindo os pontos obtém-se uma reta
que passa pela origem. Unindo os pontos obtém-se uma reta
que não passa pela origem.
Existe proporcionalidade direta, porque
a representação gráfica é uma reta que
passa pela origem.
Não existe proporcionalidade
direta, porque a representação
gráfica não é uma reta que passa pela
origem.
11
42
2
yy x
x Expressão Analítica
Percentagens
5 % de 120 chocolates são _______
5 x 120 = 6
100
6 chocolates em 50 são ___%
50------- 100% x = 6 x 100 =12%
6 -------- x 50
12
Resolução de problemas envolvendo Percentagens
1- O preço de um sofá é de 300€, sem IVA.
Sabendo que o IVA é 20%, quanto é o valor, em euros, do
IVA deste sofá? Qual é o preço final do sofá?
20% de 300 = 300 x 20 = 60 euros
100
300 + 60 = 360 O preço final do sofá é 360 euros.
2- Uma camisola custava 56 euros e a Ana que era amiga da dona da loja, comprou-a por 42 euros. Qual foi a percentagem de desconto? Euros % 56 ------------------ 100 42 ------------------- x x = 42 x 100 = 75% 56 100 – 75% = 25% O desconto foi de 25%.
13
- mesma forma
- mesma dimensão
- mesma forma
- menor dimensão
- mesma forma
- maior dimensão
Ampliação
Figuras Semelhantes
Redução Geometricamente iguais
Semelhança de Figuras
Dois Polígonos são Semelhantes quando têm os ângulos geometricamente iguais
e os lados correspondentes directamente proporcionais.
14
Semelhança de Figuras
medida do lado da figura final
medida do ladoRazão de Se
da figura melha
ininça
cial
Se a razão de semelhança for:
maior que 1, obtemos uma ampliação;
menor que 1, obtemos uma redução;
igual a 1, obtemos uma figura geometricamente igual à original.
15
Triângulos
Critérios de semelhança de triângulos
Dois triângulos são semelhantes se:
Tiverem dois ângulos geometricamente iguais (aa)
Tiverem os três lados correspondentes diretamente proporcionais (lll)
Tiverem dois lados diretamente proporcionais e o ângulo por eles formado for igual (lal)
16
A soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º.
Aplicação dos critérios de semelhança de triângulos
Semelhança de triângulos
1. Determina a altura da árvore.
• Serão os triângulos [ABE] e [CDE] semelhantes?
Sim, porque tem dois ângulos geometricamente iguais, o de 90º e o ângulo AEB.
• Determinação da altura da árvore.
sombra altura
5,2 = h
1,6 0,8
h = 5,2 x 0,8
1,6
h = 2,6 m
A altura da árvore é de 2,6 metros.
3,6 + 1,6 = 5,2 m
Semelhança de triângulos
17
Semelhança de triângulos
Relação entre perímetros e áreas de figuras semelhantes
Se dois polígonos A e B são semelhantes e a razão de semelhança de A para B é r, então:
• A razão entre os perímetros de A e B é r. • A Razão entre as áreas de A e B é r2.
PB = r x PA AB = r2 x AA
18
19
Classificação de Quadriláteros
Se dois ângulos têm o vértice em comum e os lados de cada um dos
ângulos estiverem no prolongamento dos lados do outro ângulo, então
chamam-se ângulos verticalmente opostos.
Ângulos opostos formados por duas rectas que se
cruzam.
Os ângulos AOB e COD são
verticalmente opostos.
Os ângulos AOC e BOD
também são verticalmente
opostos.
ˆˆ 60ºCOA DOB
Ângulos Verticalmente Opostos
20
60º
Na figura abaixo os dois ângulos têm os lados paralelos e são ambos
ângulos obtusos (a sua amplitude é maior do que 90º e menor do que
180º).
Os dois ângulos assinalados são geometricamente iguais.
Ângulos de Lados Paralelos
21
110º
110º
x=180º-110º=70º
EQUAÇÕES COM PARÊNTESES
• simplificação de expressões com parênteses:
•Sinal menos antes dos parênteses: Tiramos os parênteses
trocando os sinais dos
termos que estão dentro 53225322 xxxx
•Sinal mais antes dos parênteses: Tiramos os parênteses
mantendo os sinais que
estão dentro. 15231523 xxxx
•Número antes dos parênteses: Tiramos os parênteses,
aplicando a propriedade
distributiva. 22661332 xxxx
22
8625312 xxx
Como resolver uma equação com parênteses.
•Eliminar
parênteses. 8661512 xxx
•Agrupar os
termos com
incógnita.
8661152 xxx
•Efectuar as
operações
312 x
•Dividir ambos os membros pelo
coeficiente da incógnita
3
12x
4
1x •Determinar a solução, de forma
simplificada. C.S =
4
1
23
EQUAÇÕES COM DENOMINADORES
436 3
3
4
2
2
1 xx
•Começamos por reduzir todos os
termos ao mesmo denominador.
6 6 12 4
12 12 12 12
x x
6 6 12 4x x •Duas fracções com o mesmo
denominador são iguais se os
numeradores forem iguais.
•Podemos tirar os denominadores
desde que sejam todos iguais.
12646 xx
182 x
92
18x
24
Esta fração pode ser
apresentada da
seguinte forma 2
3
2
5
2
2
2
3
xx
Sinal menos antes de uma fração
2
3523
xx •O sinal menos que se encontra antes da fração
afeta todos os termos do numerador.
1 (2) (6) (3) (3)
22
18
3
21 xx
7
43
7
43437
348234
334842
xxx
xx
xx
2
18
3
21 xx
•Começamos por “desdobrar” a
fração que tem o sinal menos
antes.(atenção aos sinais!)
•Reduzimos ao mesmo
denominador e eliminamos os
denominadores.
25
EQUAÇÕES COM PARÊNTESES E DENOMINADORES
•Devemos começar por eliminar os parênteses e depois os denominadores
3
12
22
13
xxx
3
1
3
2
22
3
2
3
xxx
(3) (3) (3) (2) (2)
24399 xxx 29439 xxx
112 x 2
11
2
11
xx
C.S.=
2
11
26
Potências
Regras operatórias das potências
•Multiplicação
•Com a mesma base
2-2 x 27 = 25
•Com o mesmo expoente
(-2)3 x (-7)3 = 143
•Divisão
•Com a mesma base
2-2 : 27 = 2-9
•Com o mesmo expoente
(-24)3 : 63 = (-4)3
•Potencia de potência (23)5 = 215
•Potencia de expoente inteiro negativo
Potencia de expoente nulo (-8)0 = 1
27
2
2 1 15
5 25
Notação Científica
Definição: Diz-se que um número está escrito em notação
cientifica se está escrito na forma de um produto de um número a entre 1 e 10 e uma potência de base 10, e escreve-se: a x 10p , com 1≤a<10 e p um número inteiro
Escreve os seguintes números em notação cientifica
6769800 = 6,7698 x 106
0,0000008 = 8 x 10-7
0,0253 x 10-3 = 2,53 x 10-2 x 10-3 = 2,53 x 10-5
76,9 x 105 = 7,69 x 101 x 105 = 7,69 x 106
28
Funções
Definição: Uma função é uma correspondência entre dois conjuntos em que a cada elemento do conjunto de partida corresponde um e um só elemento do conjunto de chegada.
Formas de definir uma função:
•Por um diagrama
•Por uma tabela
•Por uma expressão analítica
•Por um gráfico
29
Funções definidas por um diagrama
Ex. Não são funções Ex. Funções
1 2 3 4
-1 -2 -3
1 2
-1 2
1
2
3
-1 -7 -2 -4 -3
A B
Df = {1;2,3} D’f = {-1;-2,-3} Objetos: 1;2,3 Imagens: -1;-2;-3
A – Conjunto de Partida B – Conjunto de chegada f ( 2 ) = -2 f ( x ) = -x
f
30
Noção de Função. Teste da reta vertical
x
y
Não representa um gráfico de
uma função
Representa o gráfico de uma
função.
x
y
31
Funções definidas por uma Tabela
Dg = {1;2,3;4} D’g = {4;8;12;16} Objectos: 1;2,3;4 Imagens: 4;8;12;16
Variável independente: Lado do quadrado Variável dependente: Perímetro do quadrado g ( 2 ) = 8 g (x) = 4x
Seja a função g definida pela tabela seguinte
Lado de um quadrado (L) 1 2 3 4
Perímetro do quadrado (P) 4 8 12 16
32
Funções definidas por uma expressão analítica
Seja a função h definida pela seguinte expressão analítica
h(x) = 2x -1
•Calcular a imagem sendo dado o objecto h(3) = 2x3 - 1 h(3) = 5 •Calcular o objecto sendo dada a imagem h(x) = 15 2x – 1 = 15 2x = 15 + 1 2x = 16 x = 8
(3;5) e (8;15) pertencem à recta que é gráfico da função h.
33
Funções definidas por um gráfico
•Variável independente: Peso
•Variável dependente: Custo
•j( … ) = 12
•j(1) = …..
•Tipo de função: Linear
•Expressão analítica: j(x) = 6x
34
Uma Função Afim é uma função do tipo
y ax b
O gráfico de uma função afim é uma reta não vertical.
5 32
1 0
B A
B A
y yax x
2 y x b
A a chamamos o declive da reta e b é a ordenada na origem.
30,A 51,B
3 02 b
30,A
3 b
2 3 y x
35
qualitativos
Representam a informação que não suscetível de ser medida, mas de ser classificada.
Exemplos:
-Cor dos olhos dos alunos de uma turma . Podem ser castanhos, azuis ou verdes.
Representam a informação que pode ser medida, apresentando-se com diferentes intensidades, que podem ser de natureza discreta ou contínua.
Exemplo
quantitativos
Notas de Matemática, do 7ºF, no final do 2º período.
Exemplo
Altura dos jogadores da equipa de futebol do FCP.
Estatística – Recolha de dados
Tipo de dados
36
Frequência absoluta (f)
Frequência relativa (fr)
Fr em percentagem
6 %
11 %
11 %
39 %
16 %
11 %
X 100%
1 : 18 = 0,06
2 : 18 = 0,11
2 : 18 = 0,11
7 : 18 = 0,39
3 : 18 = 0,16
1,00
36
37
38
39
40
Total
41
42
1
2
2
7
3
18
2
1
2 : 18 = 0,11
1 : 18 = 0,06 6 %
100 %
Estatística - Tabelas de frequências
Número do sapato
37
Estatística - Gráficos de barras
Número do sapato dos alunos de uma turma
12 2
7
32
1
0
2
4
6
8
36 37 38 39 40 41 42
nº do sapato
freq
uenc
ia a
bso
luta
38
Pictograma = 1 aluno
Estatística - Pictograma
39
Estatística - Gráficos circulares
Frequência absoluta (f)
Graus
20º
40º
40º
140º
60º
360º
x
18 360
1
360
18 x x 20º
36
37
38
39
40
Total
41
42
1
2
2
7
3
18
2
1
40º
20º
x
18 360
2
360x2
18 x x 40º
720
18 x
x
18 360
7
360x7
18 x x 140º
2520
18 x
x
18 360
3
360x3
18 x x 60º
1080
18 x
40
Estatística – Medidas de tendência central
Frequência absoluta (f)
36 1
37 2
38 2
39 7
40 3
41 2
42 1
Total 18
36 1 +37 2 +38 2 +39 7 +40 3+41 2+42 1
18X
36 +74 +76 +273 +120+82+42
18X
703
18X 39,1X
A média do número do sapato dos alunos é 39,1
41
A média (ou média aritmética) de um conjunto de valores é o quociente
entre a soma de todos os valores e o número total de elementos.
A média representa-se por .
X
Estatística – Medidas de tendência central
Frequência absoluta (f)
36 1
37 2
38 2
39 7
40 3
41 2
42 1
Total 18
Moda - É o valor que surge com mais
frequência se os dados são discretos.
Neste caso a moda é 39.
Mediana - Ordenados os elementos, a mediana é o valor que a divide ao meio, isto é, 50% dos elementos da amostra são menores ou iguais à mediana e os outros 50% são maiores ou iguais à mediana.
36;37;37;38;38;39;39;39;39;39;39;39;40;40;40;41;41;42
(39 + 39) : 2 = 39
42
Tabela de frequências
Classes
(Altura dos alunos) N.º de alunos
[145,151[ 5
[151,157[ 3
[157,163[ 3
[163,169[ 4
[169,175[ 8
Total 23
Para organizar estes dados vamos agrupá-los em classes. Tendo em conta o menor e
o maior valor da tabela e que cada classe tem que ter a mesma amplitude, ou seja,
a diferença entre o extremo superior e o extremo inferior da classe.
Na 1.ª classe estão incluídas as
alturas maiores ou iguais a 145 e
menores do que 151.
.
145 151 147 167 175 174 153 167 173 162 169 171
158 149 170 167 168 175 174 157 149 150 156
43
Os gráficos das distribuições usando dados contínuos têm um aspecto diferente dos gráficos de barras das distribuições de dados discretos. Neste caso chamam-se histogramas.
Histograma é um gráfico de barras formado por um conjunto de rectângulos adjacentes
(colados), tendo cada um deles por base um intervalo de classe e por altura a respectiva
frequência.
Histograma
44
Polígono de frequências
Se num histograma unires por segmentos de recta os pontos médios dos lados
superiores de cada rectângulo do histograma, como se fez em baixo, obténs uma outra
forma de apresentar a distribuição, que se chama polígono de frequências.
Nota: Para obtermos os pontos nos extremos da linha poligonal, devemos imaginar que
existe uma classe com a mesma amplitude das restantes e frequência zero, determinar o
ponto médio desta classe e uni-lo aos restantes.
45
3 5
5 0 7 9 9
6 3 6
7 1 3 5 8 9
8 2 3 6
9 4
Esta representação chama-se diagrama de caule-e-folhas.
O caule é a coluna com os números 3, 5, 6, 7, 8 e 9 que representam o
algarismo das dezenas e as folhas que representam o algarismo das unidades de
cada um dos dados.
Pode-se organizar este conjunto de dados utilizando uma representação
gráfica do tipo seguinte:
35, 78, 50, 63, 86, 73, 57, 82,
59, 75, 66, 79, 83, 71, 94, 59
46
Os quartis são valores da variável que dividem a
distribuição em 4 partes iguais, cada uma delas com
25% dos dados totais ordenados.
1.º Quartil 3.º Quartil 2.º Quartil
Diagrama de Extremos e Quartis
47
A amplitude e a amplitude interquartis são medidas indicadas
para estudar a dispersão dos dados.
A amplitude é a diferença entre o máximo e o mínimo do
conjunto de dados (os extremos).
Amplitude e Amplitude Interquartis
Amplitude = máximo mínimo
A amplitude interquartis é a diferença entre o 3.º quartil e o
1.º quartil.
Amplitude interquartis= Q3 Q1 48
Propriedades das isometrias: uma isometria conserva as medidas
dos lados e as amplitudes dos ângulos.
Translação
Rotação
Reflexão
Reflexão
deslizante
49