Retângulo e Quadrado: Estudo de Áreas Por Meio de Resolução de Problemas

Vânia Regina Pignati Mendes1

Ana Maria Petraitis Liblik 2

Resumo

Este artigo teve como objetivo relatar o percurso metodológico para o desenvolvimento de conceitos de geometria plana. O trabalho foi desenvolvido com alunos da sexta série do 7o ano do Ensino Fundamental. O enfoque utilizado buscou relacionar o conteúdo de Geometria com o dia-a-dia, considerando a dificuldade que os alunos encontram em fazer essa articulação com o assunto. O conteúdo estudado de perímetros e áreas por meio da tendência da Resolução de Problemas como uma metodologia alternativa para amenizar o atual quadro crítico que se encontra o ensino e aprendizagem da Matemática no Brasil. Esta proposta apresenta uma maneira de ensinar Matemática de forma contextualizada fazendo com que os alunos passem a ser argumentadores e pesquisadores a fim de que possam procurar soluções para problemas que surgem no cotidiano. O estudo de Geometria deve possibilitar ao aluno visualizar, representar e compreender o mundo ao seu redor. O estudo de perímetro e área deve ocorrer a partir da exploração de objetos no mundo onde vive, e fazer com que o aluno seja estimulado a observar e perceber o que está a sua volta. Ao explorar metodologias que priorizem a resolução de problemas, a criação de estratégias, a comprovação, a justificativa, a argumentação, a Matemática pode dar sua contribuição ao constituir-se como instrumento a ser usado em outros campos do conhecimento, ao favorecer a criatividade, a iniciativa pessoal, o trabalho coletivo, o estimulo à autonomia, através do desenvolvimento da segurança na própria capacidade.

Palavras - chave: Educação Matemática; Geometria; Área; Perímetro; Quadrilátero.

1Professora da disciplina de Matemática da Rede Estadual de Ensino do Paraná, participante do Programa de Desenvolvimento Educacional(PDE).Email: vrpm@seed.pr.gov.br2Professora Doutora do Departamento de Teoria e Prática de Ensino - DTPEN – Universidade Federal do Paraná – UFPR. Email: ampliblik@ufpr.br

ABSTRACT

This article aimed to report the methodological approach for the develop concepts of plane geometry. The study was conducted with sixth graders from the seventh year of elementary school. The approach used sought to relate the content of geometry on day-to-day, considering the difficulty that students encounter in making that connection with the subject. The content of perimeters and areas studied by the tendency of Problem Solving as an alternative methodology to alleviate the current critical situation that is the teaching and learning of mathematics in Brazil. This proposal outlines a way to teach mathematics in context making students come to be argumentative and researchers to enable them to seek solutions to problems that arise in daily life. The study of geometry should enable the student to visualize, represent and understand the world around them. The study of perimeter and area should occur from the exploration of objects in the world where you live, and make the student is encouraged to observe and notice what is around you. By exploring methodologies that focus on problem solving, strategizing, evidence to justify the reasoning, mathematics can make a contribution to establish itself as an instrument to be used in other fields of knowledge, favored the creativity, personal initiative, collective work, the encouragement of autonomy through the development of security in one's ability.

Keywords: Mathematics Education; Geometry; Area; Perimeter; Quadrangle.

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1. Introdução

A Matemática, disciplina integrante do currículo escolar, está presente em

diversas atividades sociais e profissionais e contribui de forma decisiva para a

interpretação e intervenção em inúmeras situações do cotidiano. Frente a essa

questão, a Matemática no espaço escolar e educacional deve estar voltada a

formação integral do aluno a fim de formar cidadãos informados e conscientes

visando sempre o desenvolvimento de um pensamento crítico e reflexivo.

Nesse sentido, entende-se que a Matemática e realidade precisam estar

interligadas principalmente em sala de aula, para que se possa articular a escola

com o universo do trabalho e das questões sociais e acima de tudo fornecer

subsídios ao educando para que ele possa atuar como um ser transformador da

sociedade.

Neste contexto apresenta-se a resolução de problemas como uma proposta

pedagógica que busca aliar a Matemática com situações reais, onde problemas do

dia-a-dia podem ser explorados na sala de aula e assim fazer com que o estudante

desenvolva a sua capacidade de reflexão, além de tornar as aulas mais dinâmicas,

atrativas e interessantes. Ensinar Matemática de forma contextualizada faz com que

os alunos passem a ser argumentadores e pesquisadores a fim de que possam

procurar soluções para problemas que surgem no cotidiano. O presente trabalho

apresenta atividades sobre cálculo de área e perímetro por meio da tendência

Resolução de Problemas, foi aplicado com alunos da 6a série (7o ano), do Colégio

Estadual Professor Victor do Amaral – EFMP da cidade de Curitiba.

Ao explorar metodologias que priorizem a resolução de problemas, a criação

de estratégias, a comprovação, a justificativa, a argumentação, a Matemática pode

dar sua contribuição ao constituir-se como instrumento a ser usado em outros

campos do conhecimento, ao favorecer a criatividade, a iniciativa pessoal, o trabalho

coletivo, o estímulo à autonomia, através do desenvolvimento da segurança na

própria capacidade.

O crescimento individual e coletivo, o respeito mútuo, as formas diferenciadas

de abordar as situações que se apresentam, a compreensão e a tomada de

decisões diante de questões políticas e de problemas contemporâneos, enfim para

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que o indivíduo participe do processo de produção de conhecimentos e também

deles usufrua.

Para que o aprendizado seja mais eficiente, talvez se faça necessário

desenvolver atividades mais criativas, utilizando-se as múltiplas percepções do

aluno no processo e compreensão dos conteúdos, desta forma trabalhar Geometria

de maneira mais atrativa apresenta-se como uma das possibilidades de tentar

resgatar a Matemática do abstrato para o mundo concreto, assim o aluno talvez

venha a ter uma visão mais ampla e integra a outras áreas do conhecimento.

2. Desenvolvimento

A Geometria no Ensino Fundamental deve possibilitar ao aluno visualizar,

representar e compreender o mundo ao seu redor. O estudo de perímetro e área

deve ocorrer a partir da exploração de objetos presente no mundo onde vive, e fazer

com que o aluno seja estimulado a observar e perceber o que está ao seu redor.

A Matemática é analisada muitas vezes como um rol de definições, teoremas

e axiomas que surgem na mente de alguma pessoa e que são ensinadas por meio

de um emaranhado de técnicas sem nenhuma conexão com a realidade.

O ensino da Matemática tem sido alvo de muitas críticas em relação às

metodologias utilizadas em sala de aula, recaindo sobre as ações do professor na

sua prática diária. Muitas discussões no campo da Educação Matemática, no Brasil

e no mundo, mostram a necessidade de se adequar o trabalho escolar às novas

tendências que podem trazer melhoras ao processo de ensino e aprendizagem da

Matemática.

As Diretrizes Curriculares de Matemática (2008, p. 63), propõem que o ensino

desta disciplina seja abordado por meio das tendências metodológicas da Educação

Matemática: Resolução de Problemas; Investigação Matemática; Modelagem

Matemática; Mídias Tecnológicas; Etnomatemática e História da Matemática. Dentre

as tendências envolvidas na aprendizagem da Matemática, optamos pelo estudo da

Resolução de Problemas, com a expectativa de auxiliar na reflexão sobre a prática

do professor e na construção de modelos de ensino mais adequados à

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aprendizagem dentro da sala de aula.

Percebemos uma insatisfação com relação ao ensino e aprendizagem da

Matemática detectada tanto no aluno, como no professor, ao trabalhar com

Geometria dentro de áreas de figuras planas e perímetros, envolvendo retângulo e

quadrado. As ações apresentadas no presente trabalho visam apresentar uma

alternativa a esse quadro e assim formar indivíduos críticos, atuantes e livres, que

liberam energia em atitudes individuais e coletivas no pensar e no fazer.

Como atrair o aluno durante o ensino da Geometria para que ocorra uma

consistente aprendizagem?

Qual o nível de aprendizagem que os alunos apresentam, após a aplicação

das estratégias da metodologia de Resolução de Problemas?

Ao trabalhar com áreas, pretendemos oportunizar atividades criativas,

estimulantes e ligadas à realidade da vida do aluno, dentro das atuais tendências do

ensino da Matemática, proporcionando melhor conhecimento de conceitos

geométricos.

De acordo com Dante (1994, p.47), “um problema deve ser desafiador, mas

possível de ser resolvido; real, interessante e que propicie várias estratégias de

solução”.

Ensinar a resolver problemas é uma tarefa muito mais complexa do que ensinar algoritmos e equações. A postura do professor ao ensinar um algoritmo é, em geral, a de um orientador dando instruções passo a passo, de como fazer. Na resolução de problemas, ao contrário, o professor deve funcionar como incentivador e moderador de idéias geradas pelos próprios alunos. No chamado método heurístico, o professor encoraja o aluno a pensar por si mesmo, a levantar suas próprias hipóteses e a testá-las, a discutir com seus colegas como e por que aquela maneira de fazer funciona. Enfim, aqui o papel do professor é manter os alunos pensando, e gerando idéias produtivas. (DANTE, 1994, p.52).

O professor precisa buscar com seus alunos o interesse pela aprendizagem e

mantê-los pensando, assim fazendo é possível que venham gerar idéias produtivas.

Segundo Polya (2006, p. 4), “O professor que deseja desenvolver nos

estudantes as capacidades de resolver problemas deve incutir em suas mentes

algum interesse por problemas e proporcionar-lhes muitas oportunidades de imitar e

de praticar”. Assim, o processo onde se ensina Matemática por meio de resolução

de problemas deve ser encarado como complexo, devendo estabelecer mudanças

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nas práticas pedagógicas, exigindo planejamento, de modo que os alunos possam

aprender com compreensão e de forma significativa.

Uma grande descoberta resolve um grande problema, mas há sempre uma pitada de descoberta na resolução de qualquer problema. O problema pode ser modesto, mas se ele desafiar a curiosidade e puser em jogo as faculdades inventivas, quem o resolve por seus próprios meios experimentará a tensão e gozará o triunfo da descoberta. (Polya, 2006, p. V).

A Resolução de Problemas, como estratégia de ensino, pode se tornar um

importante diferencial nas aulas de Matemática, pois possibilita estimular o aluno a

interagir com o conhecimento matemático, proporcionando relações entre o prévio e

o novo conhecimento. Neste processo, os problemas são propostos de modo a

contribuir para a construção de novos conceitos e conteúdos, antes mesmo de sua

apresentação na linguagem matemática formal, tornando o ensino e aprendizagem

da Matemática mais significativa.

A tendência Resolução de Problemas se mostra na Educação Básica Pública

do Estado do Paraná eficaz e atrativa quanto a diversidade de atividades propostas

que foram trabalhadas no segundo semestre de 2011.

Para educadores como Krulik (1980), “a resolução de problemas é a própria

razão do ensino da Matemática”, devendo apresentar, portanto, diversos temas a

estudar, e devem partir sempre para a resolução de problemas. Porém,

tradicionalmente tem sido uma atividade desenvolvida após o ensino de um

conceito, e depois ocorrendo a apresentação do problema para avaliar, como forma

de verificar até que ponto o conteúdo foi aprendido, e para isso os problemas são

apresentados ao final de tópicos ou capítulos. Dessa forma, gera atitudes

inadequadas frente ao que significa aprender a pensar em Matemática, o aluno fica

mais preocupado com as operações que terá que usar para resolver o problema do

que com a interpretação da situação e com os processos envolvidos na sua solução.

Conforme as Diretrizes Curriculares de Matemática para Educação Básica do

Paraná:

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A aprendizagem da Matemática consiste em criar estratégias que possibilitem ao aluno atribuir sentido e construir significado às idéias Matemáticas de modo a tornar-se capaz de estabelecer relações, justificar, analisar, discutir e criar. Desse modo supera o ensino baseado apenas em desenvolver habilidades, como calcular problemas ou fixar conceitos pela memorização ou lista de exercícios. (Paraná, 2008, p.45).

Ao reportarmos ao livro didático encontramos vários exemplos que

possibilitam trabalhos práticos com a geometria através de problemas, como mostra

o livro Matemática Divertida e Curiosa (Malba Tahan, 2008). Já no livro Como

Encontrar a Medida Certa (Marcondes, 1996), encontramos exemplos de cálculos de

áreas contadas através de histórias, no livro trabalhando com geometria (CHAVES,

André Luiz et AL,1989), encontramos como trabalhar geometria na prática, através

de figuras.

Segundo Gerdes (1992, p. 8), há exemplos de conhecimentos antigos sobre

retângulos. A importância da construção de retângulos para a vida cotidiana de

muitos povos, para erguer suas casas, podia ter sido refletida na geometria “grega”.

Diz também que:

... alia uma sólida base teórica à vivência de anos de prática na construção de um sistema escolar integrado na realidade de seu país adotado. Ele busca justamente na geometria, a disciplina que representa a espinha dorsal do conhecimento científico moderno e normalmente identificada com a herança cultural grega, o elemento contestador da propalada hegemonia do modo de pensar ocidental no pensamento moderno. Mostrando que o pensamento geométrico está em todas as atividades do dia a dia da população, desde as atividades de sobrevivência, como colheita e caça, até aquelas que respondem ao impulso em direção à transcendência, como cultos, rituais. (Gerdes, 1992, p. 8).

Pesquisas realizadas por Polato (2008) retratam que o aprendizado

significativo sobre resolução de problemas, se revela como a expressão de

diferentes formas de raciocinar sobre um problema, que devem ser compreendidos e

levados em consideração pelo professor. O aluno como sujeito ativo na produção de

conhecimento, o docente tem o papel de mediador, ajudando a construir conceitos e

fazendo com que o estudante tenha consciência do que faz na hora de responder as

questões.

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Assim, ao despertar o interesse pela Geometria, que leva à aprendizagem

através dos conteúdos trabalhados, os alunos terão condições de aprimorar seus

conhecimentos, tornando-o significativos para sua vida, aplicando em seu cotidiano.

Nesse sentido, a Geometria pode ser um caminho para auxiliar os educadores

a desenvolverem um pensamento crítico, já que contribui de forma inegável para

análise de fatos e relações, e permite fazer ligações entre estes e a dedução.

2.1 IMPLEMENTAÇÃO

A turma envolvida foi a 6a série (70 ano), do período da tarde, sendo que as

atividades foram implementadas no período de agosto a novembro de 2011, no

Colégio Estadual Professor Victor do Amaral – EFMP. Muitos dos Alunos não

lembravam os conhecimentos básicos sobre o assunto, o que motivou a

necessidade de recordar conceitos elementares por ele esquecidos.

O projeto foi apresentado aos alunos, os quais relataram que a maioria gosta

da disciplina de Matemática, especificamente do conteúdo de Geometria; embora

reconheçam que é muito difícil; os que não gostam da disciplina não a entendem e

não vêem utilidade no seu estudo.

A necessidade de uma intervenção pedagógica nesta realidade foi evidente,

assim despertando nos alunos uma atitude de investigação, possibilitando enxergar

o emprego da Geometria no seu cotidiano.

Os trabalhos foram desenvolvidos com atividades que contemplaram o

conteúdo de perímetro e área de figuras planas envolvendo quadrado e retângulo.

Verificou-se que o desenvolvimento de atividades diferenciadas, tais como:

Fotografar uma parede azulejada, medir a quadra, pintar a malha quadriculada (ver

anexos) com os alunos, contribuiu para evidentes progressos: aprendizagem de

conceitos geométricos, aumento de motivação e estimulo à aprendizagem,

proporcionando o desenvolvimento dos mesmos de maneira intensa, o qual levou a

iniciativa, interesse, curiosidade, capacidade de análise de reflexão e assim de

melhor interação com o grupo de colegas.

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Devido a turma ter 34 alunos entre eles 16 meninas e 18 meninos, foi dividida

em grupos de 5 pessoas para trabalharem em equipe e interagir entre eles sobre os

seus conhecimentos.

Antes de começar a trabalhar o conteúdo proposto, foi aplicada uma

avaliação diagnóstica.

E no final, uma avaliação sobre os conhecimentos adquiridos.

Nesta última avaliação, uma das questões era: Qual (ou quais) foram as

atividades que ensinaram “melhor” o que é área e o que é perímetro?

As respostas de alguns alunos foram as seguintes:

“Na verdade todas as aulas ensinaram bem, mas nos últimos problemas em

sala, quando estávamos finalizando os exercícios, acho que foi desde ai que

aprendemos mais.” (Aluno A).

Outra aluna relatou que: “Medir as quadras e outros objetos.” (Aluna B).

Também foi relatado por outro aluno: “A atividade que saímos para medir a quadra e

quando fiz o mosaico.” (Aluno C). Mais uma aluna colocou que: “Eu gostei de medir

a sala com meus colegas e por isso achei divertido e foi um ensinamento que

estimulou meu jeito de pensar.” (Aluna D). Outros colocaram que: “Gostaram de

tirar fotos e achar a área da parede azulejada.”

Na implementação os alunos tiveram atividades diferenciadas relacionadas ao

conteúdo de perímetro e área de figuras planas, calcularam vários desenhos de

polígonos, trabalharam com a planta de casa, mediram vários objetos da sala e

também a quadra da escola, trabalharam com problemas relacionados ao cotidiano

dos alunos, entre eles pediam para fotografar paredes azulejadas para trabalhar o

conteúdo estudado, entre outros.

2.2 Material Didático

A elaboração do material didático era item obrigatório para a conclusão do

curso. Esse momento exigiu bastante criatividade, pois é um material que explora as

aplicações do conteúdo abordado. O material escolhido foi Unidade Didática que

contribuiu para o aprimoramento das práticas pedagógicas, por meio da

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disponibilização de conteúdos e recursos didáticos aos educadores na elaboração

de suas aulas.

A análise do conhecimento geométrico e de suas implicações no ensino

devem servir como referência para qualquer reflexão sobre a importância ou não de

sua abordagem em sala de aula, as possibilidades interdisciplinares poderão ser

aplicadas e ter continuidade a partir da implementação do projeto e as disciplinas do

currículo.

Os exercícios propostos no material didático despertaram o interesse dos

alunos, eles gostaram de trabalhar desta forma mais prática, participando e

interagindo nas atividades propostas.

Os exercícios apresentados foram elaborados para serem trabalhados em

grupos, pois assim eles interagem melhor e trocam idéias com seus colegas.

Foram feitas atividades com o objetivo de tentar despertar o interesse pelo

conteúdo proposto, desta forma talvez levando a uma melhor aprendizagem.

2.3 Grupo de Trabalho em Rede

Uma das atividades obrigatórias do Programa de Desenvolvimento

Educacional – PDE era trabalhar com Grupo de Trabalho em Rede, com o objetivo

de socializar o conhecimento produzido durante o curso com aqueles professores

que não faziam parte do programa, mas que estavam trabalhando na rede pública

de Ensino do Estado do Paraná. O grupo de trabalho se desenvolveu num ambiente

virtual, no qual foi utilizado a plataforma MOODLE. Num primeiro momento houve

orientações de como trabalhar na plataforma, através de curso com a equipe da

CRTE (Coordenação Regional de Tecnologia na Educação do Núcleo Regional de

Educação) os quais colocaram a maneira de como deveria ser formado o curso, os

encaminhamentos para cada módulo e como se comunicar com os integrantes da

rede. O grupo de trabalho em rede foi uma experiência interessante que possibilitou

a troca de conhecimentos entre professores de todo o Estado. Houve uma troca de

experiências que enriqueceu a prática docente de todos os cursistas.

Em princípio observou-se que os participantes apresentaram opiniões

formadas em relação a várias questões que envolvem o ensino da Matemática e

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situações do cotidiano, que dificultam a aprendizagem e outros problemas que

envolvem a profissão, os professores motivados tendem a aplicar e desenvolver

suas possibilidades.

Perceberam que de certa forma já realizavam muitas ações para tornar a

Matemática algo mais agradável ao aluno, e após aplicação do projeto, alguns

professores retornaram os resultados alcançados satisfeitos com o desempenho dos

alunos. Houve no decorrer do GTR a análise pelos cursistas do projeto de

implementação e do material didático. Os educadores consideram que existe

necessidade de uma metodologia que faça o estudante compreender e saber onde

aplicar o conhecimento que adquire na escola, relação esta que facilita a

compreensão do mundo, estabelecendo um elo entre a teoria e a prática. São

muitos os obstáculos encontrados, apesar disso os profissionais estão preocupados

em produzir melhor aula e melhorar a qualidade de ensino, cada um a seu modo,

construindo seu conhecimento.

O grupo de trabalho em rede GTR foi composto por três temáticas a serem

estudadas:

Temática 1.

Os professores analisaram o Projeto de Intervenção Pedagógica na Escola,

dando suas contribuições.

Temática 2.

Foi trabalhado sobre a Produção Didático Pedagógico. Uma das atividades foi

a sugestão para que eles aplicassem este material aos seus alunos, adaptando o

conteúdo, e dando sugestões de outras atividades.

Temática 3.

Discutimos sobre a implementação do Projeto na Escola.

O trabalho foi desenvolvido com quinze professores da disciplina de

Matemática, dos quais quatorze concluíram, apenas um deles não atingiu a

porcentagem de postagem e portanto não concluiu o curso.

O curso foi gratificante, pois todos expuseram suas idéias com clareza e não

mediram esforços para acrescentar suas contribuições ao meu projeto o qual foi

muito relevante.

3. Considerações Finais

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A Matemática foi criada para atender as necessidades do homem e sem ela,

situações cotidianas se tornariam muito difíceis de serem resolvidas. Essa

Matemática do dia - a - dia deve estar presente na escola de modo a atender o seu

objetivo e proporcionar ao aluno os conhecimentos básicos para o seu

desenvolvimento social. A metodologia Resolução de Problemas se mostrou

eficiente no que diz respeito a associação dos conteúdos curriculares com a

Matemática aplicada na vivência dos alunos.

O Programa de Desenvolvimento Educacional foi uma oportunidade de

aprimorar e aperfeiçoar o conhecimento; pois ao iniciar a implementação, verificou-

se, que muitos alunos consideravam a Geometria algo que não poderia ser

observado em muitos momentos de sua vida e sequer viam alguma aplicabilidade.

Para aqueles que já tinham base de que existia, não sabiam exatamente como

aplicá-la. Portanto, alguns alunos da turma não gostavam da disciplina. Ao final da

implementação houve uma mudança de comportamento de alguns alunos em

relação à ela, demonstraram mais gosto pelas atividades, apesar de encontrarem

dificuldades em alguns momentos, assim a necessidade de dar continuidade às

ações do projeto nesta série e estender também para outras, tornou-se evidente.

O trabalho foi de grande importância para a prática docente, principalmente

porque as atividades ocorreram através de uma sequência de acompanhamento, o

que permitiu uma avaliação mais detalhada das atividades. A importância das ações

desenvolvidas na reflexão da prática pedagógica poderá ser percebida no

desenvolvimento dos conteúdos de forma mais critica e participativa.

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Agradecimentos

Agradeço em primeiro lugar a Deus, que me deu forças para estudar e seguir em

frente, protegendo-me e iluminando minha vida; mesmo com pedras que surgiram

em meu caminho, consegui continuar meus estudos com fé e esperança.

Em segundo lugar pela minha família, pelo apoio e paciência, mesmo com algumas

divergências, deram-me força para vencer.

A minha orientadora que apoiou-me com idéias, transmitindo seus conhecimentos

com muito carinho. Uma pessoa que admiro muito.

E, por fim não poderia deixar de agradecer aos meus amigos que, além de serem

fonte de inspiração para minhas idéias, ajudaram-me com opiniões, correções

ortográficas, conhecimentos sobre informática, tradução e implementação.

Obrigada a todos que tiveram ao meu lado durante esta jornada.

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REFERÊNCIAS

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Brasília, 1985.

GERDES, Paulus. Sobre o despertar do Pensamento Geométrico. Curitiba:

Editora UFPR, 1992.

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Editora FTD, 1a Edição, São Paulo, 2009.

GUELLI, Oscar. Matemática uma Aventura do Pensamento. Editora Ática – 1997.

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Atividades realizadas pelos alunos

Anexo 01

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Anexo 02

19

Anexo 03

20

Anexo 04