Reti di TLC Esercitazione 3

University of PerugiaUniversity of Perugia

Reti di TLC

Esercitazione 3

Ing. Mauro [email protected]

http://conan.diei.unipg.it/Corso Reti/


Sistemi di servizio

» Il sistema viene descritto attraverso variabili aleatorie quali:» k = numero di utenti nel sistema» l = numero di utenti nella sola fila d’attesa» h = numero di serventi contemporaneamente occupati» x = tempo di servizio» s = tempo di permanenza nel sistema (tempo di coda o di ritardo)» w = tempo di permanenza nella fila d’attesa

sorgenti di traffico

12

n

.

.

.

serviziofila d’attesa

2

m

.

.

.L

1


Sistemi di servizio

· La variabile aleatoria k viene caratterizzata attraverso la sua probabilità limite

k= pk=probabilità che in un generico istante di

osservazione in regime permanentein regime permanente siano presenti k utenti all’interno del sistema


Parametri prestazionali» Probabilità di sistema bloccato (m serventi)

» Probabilità di rifiuto» r.s.o. richiesta di servizio offerto

» Probabilità di servizio bloccato (m serventi)

» Probabilità di ritardo» r.s.a. richiesta di servizio attesa

mLp pm+L=kPrS

0

ppp r.s.oPr

bloccato emar.s.o/sistPrS.s.obloccato/r sistemaPr

mkPrSr

s

srrr r.s.aPr

bloccato izior.s.a/servPrS.s.abloccato/r servizioPr


Sistemi a coda monoserverte (L=)· La richiesta in arrivo è servita se trova il servente

disponibile, altrimenti viene inserita in fila d’attesa.

· Tali sistemi hanno rilevante interesse nello studio delle reti a pacchetto.

12

n

.

.

.1

serviziosorgenti di traffico fila d’attesa


Sistema a coda M/M/1//· Ipotesi:

» tempi di interarrivo i.i.d. con distribuzione esponenziale negativa di parametro ingresso di Poisson;

» tempi di servizio i.i.d. con distribuzione esponenziale negativa di parametro ;

» processi di arrivo e di servizio statisticamente indipendenti.» singolo servente;» un numero comunque elevato di utenti possono trovare posto nella

fila d’attesa.

· Il processo di coda K(t) è descrivibile mediante un processo di Markov di nascita e morte con spazio di stato {0,1,…}

· Il processo di coda K(t) è ergodico se /µ<1


Evoluzione temporale

nascitemorti

01

t

23

k(t)

ingresso

servizio

4


Frequenze di transizione di stato

k

k per k 0

per k 1

frequenza di nascita

frequenza di morte

0 1 2 k. . .

k+1


1kk pp per k0

0

1k

1kk1k p...ppp

Probabilità limite di stato (1)

· Per l’equilibrio dei flussi si ha:

posto =/ per <1 si ha l’equazione di congruenza

0k 0k

0k

k 1pp 1p0

Già noto dal Teorema di Little


kk 1kKPrp

per k=0, 1, ...


· Quindi la probabilità di avere k utenti nel sistema è



· Il numero medio di utenti nel sistema è

· Il tempo di permanenza medio è (Teorema di Little)

111)1(

)1(k)1(k)1(

k)1()1(kpkk]K[E

0k

k

1k

1k

0k

1k

0k

k

0k

k

0kk

1)1(

/1)1(

kT



k

0.12Pr

obab

ilità

lim

ite d

i sta

to p

k

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0 1 2 3 4 5 6 7 8

=0.9

La distribuzione è di tipo geometrico con parametro


· In condizioni di equilibrio statistico l’intensità media di traffico smaltito As coincide con l’intensità di traffico offerto Ao

· La probabilità di servizio bloccato Sr coincide con la probabilità di ritardo r

Parametri prestazionali

orr AS

0os p1AA

= prob. che il servente sia occupato = la percentuale temporale di occupazione del servente = la prob. che una

richiesta in arrivo sia costretta ad attendere in coda


· l= lunghezza della fila d’attesa=numero di utenti nella fila d’attesa

· h=numero di serventi impegnati

· il numero medio di utenti all’interno del sistema è quindi

1j 1

0j 1)1()1(jlPr 1j

2

1j0j1

jhPr

1

l2

h

1

hlk

Distribuzioni in equilibrio statistico


· Si assume la disciplina di coda di tipo FIFO, la distribuzione del tempo di attesa e’:

· Detto inoltre wr l’ r-percentile del tempo di attesa (cioè quel valore che non è superato per una percentuale di tempo uguale a r)

t1w e1twPrtF

100

rwwPr r

r100100lnWwr

1

1W

Tempi di attesa


Tempi di coda (1)

· La distribuzione del tempo di coda è

· detto inoltresr il percentile r% del tempo di coda

t1s e1tsPrtF

100

rssPr r

1

100/r1lnTsr

1w1

11T


Tempi di coda (2)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0 2 4 6 8 10 12 14 16Tempo

Dis

trib

uzio

ne d

el te

mpo

di c

oda

=0.5 =0.6


Tempi di coda (3)

Al crescere dell’intensità di traffico il tempo di coda tende all’infinito

0

10

20

30

40

50

60

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1Intensità media di traffico (Erl)

Tem

po m

edio

di c

oda

=0.2

1/


Modellizzazione di un multiplatore a pacchetto · Ipotesi:

» I flussi di pacchetti prodotti dalle sorgenti sono rappresentabili mediante processi di Poisson

» I flussi di pacchetti emessi dalle sorgenti sono indipendenti tra loro;

» Le lunghezze dei pacchetti hanno distribuzione esponenziale negativa e sono indipendentiindipendenti tra loro;

» Il processo di ingresso complessivo è indipendente Il processo di ingresso complessivo è indipendente dal processo di serviziodal processo di servizio

Canale di uscita

12

k


Sistemi a coda multiservente

· La richiesta in arrivo è servita subito se trova almeno una risorsa (servente) disponibile, altrimenti è rifiutata.

· Tali sistemi hanno rilevante interesse nello studio delle reti telefoniche.

12

n

.

.

.

1

2

S

.

.

.sorgenti di

traffico


sorgenti di traffico telefonico

risorse del sistema di commutazione

Modelli per sistemi di commutazione telefonici

· Le sorgenti di traffico telefonico presentano richieste di connessione (tentativi di chiamata).

· Il servente del sistema di commutazione (indicato con il termine generico di giunzionegiunzione) esplica le funzioni necessarie a supportare la chiamata.

· Si indica con il termine congestione la condizione in cui si trova il sistema di commutazione quando, al presentarsi di un tentativo di chiamata, non è in grado di effettuare la connessione.


Sistema a coda M/M/m/0/· Ipotesi:

» tempi di interarrivo i.i.d. con distribuzione esponenziale negativa ();» tempi di servizio i.i.d. con distribuzione esponenziale negativa ();» processi di arrivo e di servizio statisticamente indipendenti.» m serventi, statisticamente identici ed indipendenti;» capacità nulla della fila d’attesa.

· Il processo di coda K(t) è descrivibile mediante un processo di Markov di nascita e morte con spazio di stato {0,…, m}.

· Il processo di coda K(t) è ergodico per ogni valore positivo di per ogni valore positivo di e µe µ (coda a perdita)


nascitemorti

01

t

23

123

K(t)

ingresso

servizio

Evoluzione temporale

· Il numero di utenti nel sistema coincide con il numero di serventi contemporaneamente occupati


Frequenze di transizione di stato

· k per 0k m-1 frequenza di nascita

· kk per 1 k m frequenza di morte

0 1 2 m-1. . .

m

m

(m-1)


Probabilità limite di stato· Per l’ equilibrio dei flussi si ha (come nel caso M/M/1):

» per 1 k m

» inoltre da cui

» posto A0= traffico offerto al sistema, risulta

kk1k1k pp

1k

0j0

1k

k2k

1k

2k

k

1k1k

k

1kk p...ppp

1pm

0jj

1p

!j1

pppm

1j0

j

0m

1jj0

0j

!j1A

1

!j1

1p

mj0 !j

1Ap

!j1

pp

pm

0j

jo

m

0j

j0

jo0

j

0j

k

m

0j

jo

ko

k

!j1A

!k1A

p


Probabilità di congestione di chiamata

· Nel caso di processo di ingresso di Poisson, dato che la probabilità di r.s.o. é indipendente dallo stato, si ha:

· Nel caso di sistema a coda M/M/m/

po

mpp SS

m

0j

jo

mo

pp

!j1A

!m1A

S FORMULA BDI ERLANG


Formula B di Erlang· L’espressione della probabilità di sistema bloccato e di

rifiuto per un sistema a coda M/M/m a perdita in senso stretto é denominata anche funzione di Erlang del 1° tipo di ordine m e di argomento Ao

· Gode inoltre della proprietà di calcolo di tipo ricorsivo, infatti:

» con il primo elemento pari a:

o1m,1o

o1m,1om

0j

jo

mo

om,1 AEAmAEA

!j1A

!m1A

AE

o

oo1,1 A1

AAE


Formula B di Erlang

· La grande importanza della formula B di Erlang risiede anche nel fatto che essa risulta valida qualsiasi sia la distribuzione dei tempi di servizio (ferma restando l’ipotesi di i.i.d).

· In condizioni di equilibrio statistico la distribuzione del numero di utenti nel sistema è funzione del solo tempo medio di servizio 1/m e non della distribuzione del tempo di servizio stesso


Parametri prestazionali

· Intensità media di traffico smaltito As, che rappresenta il numero medio di serventi contemporaneamente occupati, dipende da Ao e dal numero di serventi m:

· Intensità media di traffico rifiutato:

· Coefficiente di utilizzazione del servente:

om,1om

1kks AE1AkpA

om,1osop AEAAAA

om,1os AE1

mA

mA


Probabilità di rifiuto in funzione di m· La probabilità di rifiuto, a parità di A0, decresce al

crescere del numero di serventi m

0 5 10 15 20 25 3000.1

0.20.30.40.5

0.60.70.8

0.91

Ao=1Ao=10 Ao=20

Ao=30

Ao=40

Ao=50

Numero di serventi m

Pro

babi

lità

di ri

fiuto


Dimensionamento di m in funzione di p

· La probabilità di rifiuto è, a parità di m, una funzione monotona crescente di A0

Intensità media di traffico offerto A0 (Erl)

Num

ero

di s

erve

nti m

0 5 10 15 20 25 300

5

10

15

20

25

30

p=0.01

p=0. 1


0 2 4 6 8 10 12 14 160

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

m=1

m=2

m=3m=4

m=5m=6

m=7m=8

m=9

Numero serventi

Pro

babi

lità

di ri

fiuto

Intensità media di traffico offerto A0 (Erl)

Probabilità di rifiuto in funzione di A0


in funzione di A0 (1)

Probabilità di rifiuto p= 0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0 5 10 15 20 25 30Intensità media di traffico offerto Ao (Erl)

Coe

ffici

ente

di u

tiliz

zazi

one

0.1

1

10

100

Num

ero

di s

erve

nti

(sca

la lo

garit

mic

a)


in funzione di A0 (2)» A parità di congestione di chiamata, sistemi con elevato numero di

serventi presentano, in condizioni di equilibrio statisticoin condizioni di equilibrio statistico, un rendimento MIGLIOREMIGLIORE rispetto a sistemi con pochi serventi.

Probabilità di rifiuto p=0.01

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0 5 10 15 20 25Intensità media di traffico offerto Ao (Erl)

Coe

ffici

ente

di u

tiliz

zazi

one

1

10

100

Num

ero

serv

enti

(sca

la lo

garit

mic

a)

16

25


Esempio numerico 1» Traffico offerto ad una linea telefonica Ao=100 Erl» Tale traffico viene offerto ad un unico fascio di circuiti in modo tale

che la probabilità di rifiuto rimanga sotto l’1%

» Si supponga ora di ripartire tale traffico uniformemente su n fasci con n=2, 4, 10 ,25, 50, 100

» Si può notare come all’aumentare di n aumenta il numero di fasci necessari e diminuisce il di ogni singolo fascio

n Aoi=(Ao/n) mi m=mi*n peffettivo

1 100 117 117 0.0098 0.84632 50 64 128 0.0084 0.77474 25 36 144 0.0080 0.6889

10 10 18 180 0.0071 0.551625 4 10 250 0.0053 0.397950 2 7 350 0.0034 0.2847

100 1 5 500 0.0031 0.1994

01.0AE 0m,1 m=117


· Dimensionamento del sistema: stimato il traffico offerto A0 e fissato il valore massimo per la probabilità di congestione di chiamata max, determinare m:

» trovare il più piccolo valore di m tale per cui

» tale valore può essere facilmente determinato per tentativi a partire da m=1

» il valore effettivo della congestione di chiamata potrà risultare inferiore a max

maxom,1 AE

B di Erlang: dimensionamento del sistema


· Valutazione delle prestazioni: dato il numero dei serventi ed il traffico offerto, determinare la probabilità di di congestione di chiamata:

» Va notato che solitamente è noto il traffico smaltito As* e il

numero di serventi m da cui si può stimare A0 attraverso la relazione seguente

» Una volta calcolato A0 si calcola la probabilità di congestione di chiamata

*som,1o AAE1A

om,1p AE

B di Erlang: valutazione delle prestazioni


Esempio numerico 2 (1)» Si consideri un centralino telefonico automatico (PABX) di una grande

azienda. Il centralino è collegato alla rete telefonica nazionale (RTN) tramite un certo numero di linee bidirezionali.

» Si consideri inoltre che:» nell’ora di punta gli utenti attestati al centralino formulano mediamente 140 chiamate dirette verso la RTN;» nell’ora di punta il numero di chiamate provenienti dalla RTN e dirette verso gli utenti del PABX è mediamente

180;» il flusso delle chiamate sia entranti che uscenti è Poissoniano;» la distribuzione di probabilità delle durate delle conversazioni è di tipo esponenziale negativo con valor medio

pari a 3 minuti;» la modularità delle linee è pari a 4, ovvero si possono inserire linee solo a gruppi di 4;» il PABX è del tipo a perdita pura.

» Si determini il numero di linee necessario a garantire un servizio con congestione di chiamata non superiore all’1%.

» Calcolare inoltre la frequenza massima delle chiamate consentita nell’ora di punta.


Esempio numerico 2 (2)· Il PABX può essere modellato con un sistema a coda del

tipo M/M/m in cui m è il numero di linee tra PABX e RTN· Si calcola il traffico globale offerto. Questo è pari alla

somma del traffico uscente

· e del traffico entrante

· quindi

Erl7360

140Au

Erl9360180Ae

Erl16AAA euo


Esempio numerico 2 (3)· Per calcolare il numero di linee necessario a garantire

una probabilità di congestione di chiamata minore dello 0.01 va calcolato il più piccolo m tale per cui

· Si ottiene in tal caso m=25· A causa del vincolo sulla modularità il numero di linee

da inserire sarà pari quindi a m=28 · Dato tale numero di linee la congestione di chiamata

sarà notevolmente inferiore a quella richiesta infatti

01.0AE om,1

0019.016E 28,1effettivo,p


Esempio numerico 2 (4)

· Per determinare la frequenza massima delle chiamate consentita nell’ora di punta si calcola prima il valore di A0,max tale per cui

· da cui si ricava A0,max = 18.64

· per cui

01.0AE maxo28,1

ora/chiamate3733

60A maxomax


Esempio numerico 3 (1)

· Si consideri il PABX dell’esempio 1 dimensionato con 28 linee bidirezionali che lo connettono alla Rete Telefonica Nazionale.

· A distanza di tempo dalla sua installazione si vuole valutare la qualità di servizio offerta sapendo che a seguito di una campagna di misure si è riscontrato, nell’ora di punta, un valore di intensità media di traffico smaltito pari a circa 20.42 Erl.


Esempio numerico 3 (2)· Dato il traffico smaltito misurato si può ricavare il traffico offerto al

sistema risolvendo l’equazione

» da cui si ha

· Per quanto riguarda il valore di congestione di chiamata, si ha

· Il PABX non è più in grado di rispettare il vincolo sul grado di servizio. Le prestazioni sono variate, ad esempio, per un leggero incremento dell’utenza. Bisognerà quindi ridimensionare il numero di linee per riportare la probabilità di rifiuto sotto la soglia dello 0.01

42.20AE1A o28,1o

Erl21Ao

0277.021E 28,1

Documents

Reti di TLC Esercitazione 3