Reti sociali

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Reti sociali

Cosa sono• Una rete sociale e’ un grafo G = (V, E)

dove– I nodi rappresentano entita’, spesso

persone o gruppi di persone– Gli archi (pesati o meno) rappresentano

relazioni tra i nodi della rete sociale• Esempio: grafo delle conoscenze

– Vertici: persone– Esiste arco tra a e b se a e b si conoscono

• Altri esempi nelle slide seguenti …

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Esempio - commercio mondiale

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Esempio - Internet

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Esempio - catena alimentare

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Cosa hanno in comune?

• Grandi e complesse• Regolarita’, ma soltanto a livello

macroscopico– Componente gigante connessa– Piccolo mondo: distanza media tra i nodi

bassa– Grafi sparsi: |E| = o(|V|2)– Aggregazione (v. piu’ avanti)– Invarianza di scala

• Distribuzione del grado secondo legge di potenza

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Perche’ studiarle

• Comprendere le loro proprieta’• Aspetti ingegneristici e algoritmici

– Estrazione di informazioni• Es.: motori di ricerca

– Progetto di algoritmi efficienti• Es.: Web Caching

– Tolleranza ai guasti o agli attacchi– …

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Componente connessa

• Nelle reti considerate, la maggior parte dei nodi appartiene a un’unica componente connessa– Es.: Web

• Matematicamente, una frazione costante dei nodi appartiene a un’unica componente connessa

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Proprieta’ di piccolo mondo

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Piccolo mondo• 1967 - studio di Milgram: lunghezza media

dei cammini in una rete di conoscenze– Esperimento: consegna di lettere a persone

negli Stati Uniti a mano, sfruttando soltanto la rete delle conoscenze

– Distanza media d = 6

• Numero di Erdös = distanza dal matematico Paul Erdös nella rete delle collaborazioni– 70975 matematici, 200000 archi– d < 8 per la maggior parte dei vertci a distanza

finita

• Molti altri esempi …

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Esperimento di Milgram

• Spedire 160 lettere a una persona residente a Boston

• Consegna a mano• Non si conosce indirizzo del

destinatario ma si hanno soltanto informazioni generiche (ad esempio la professione)

• Domanda: dopo quanti passaggi una lettera giunge a destinazione?

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Esperimento di Milgram/2

• Circa un terzo delle lettere giunse a destinazione– Si osservi che non si tratta di una bassa

percentuale

• La maggior parte delle lettere arrivate non aveva subito piu’ di 6 passaggi

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Reti piccolo mondo [WS98]

• Grandi dimensioni (n >> 1)• Sparse (grado medio k << n)

• Non esiste un nodo centrale (kmax << n)

• Coefficiente di aggregazione elevato• Distanza media tra i nodi bassa,

tipicamente O(log n)

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Esempi di reti piccolo mondo

• Internet– La rete dei router– La rete degli Autonomous Systems

• Il Web• La rete delle conoscenze• Tutti gli esempi visti all’inizio• Queste reti hanno altre proprieta’

oltre a quelle di piccolo mondo

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Clustering

• I miei conoscenti probabilmente si conoscono …

• … ma alcuni hanno contatti con gruppi “lontani”

Picture by T. Deckert - TU Dreseden

[Granovetter 73]: “la forza dei legami deboli“

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Clustering/2

• Si supponga che il nodo v abbia dv vicini. Il massimo numero di archi tra di essi si ha quando essi formano una clique --> dv(dv - 1)/2 archi.

• Si supponga che invece sia nv il numero di archi tra i vicini di v

• Il coefficiente di clustering (aggregazione) di v e’ Cv = 2nv/dv(dv- 1)

• C = (1/n)∑vCv

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Clustering/3

• C1 = C2 = C4 = C5 = 1

• C3 = 1/6

• C = (1/5)∑iCi = 5/6

• I nodi con un solo arco incidente hanno fattore di clustering 1

v1v2

v3

v4

v5

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Distanza media tra i nodi

• Assumiamo per il momento reti connesse

• La distanza media tra i vertici e’ O(log n), spesso sub-logaritmica

• Il coefficiente di clustering e’ alto ((1))

• Come spiegare tali proprieta’?

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Grafi casuali• Modello classico proposto da Erdös e Renyi• Modello probabilistico

– Si hanno n nodi– Per ogni coppia u e v di nodi, l’arco (u, v) esiste

con probabilita’ p indipendente da tutti gli altri

• Proprieta’– Per p sufficientemente grande, la maggior

parte dei nodi si trova in una componente gigante connessa

– Il diametro e’ logaritmico ma…– Il coefficiente di clustering e’ basso (O(1/n))

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Modello di Watts e Strogatz [WS98]

• Si inizia con un anello di n nodi. Ogni nodo connesso ad altri k nodi

• Con probabilita’ p, ogni arco e’ riconnesso a una destinazione scelta casualmente in modo uniforme.– Granovetter, “The strength of weak ties”

ordine caos

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Modello WS/cont.

• L’obiettivo era mostrare che con meccanismi semplici e’ possibile ottenere una rete di tipo piccolo mondo

• Risultati– Componente gigante connessa– Distanza media tra nodi connessi O(log n)– Coefficiente di clustering (1)

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Modello WS/clustering

• Quando p = 0 • C = 3(k-2)/4(k-1) ~ 3/4• L = n/k

Scala logaritmicain p

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Modello di Kleinberg [Kl. 99]

• Lattice bidimensionale– Si aggiungono q archi a ogni vertice u (shortcut)

• Il vertice v destinazione di uno shortcut e’ scelto con probabilita’ [d(u,v)]-r/ ∑wu[d(u,v)]-r

• se r = 0, si ha probabilita’ uniforme• Nel seguito q = 1

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Modello di Kleinberg/2• Data una sorgente s e una destinazione t, definire

un algoritmo per muovere un agente da s a t che1. conosce le posizioni dei nodi nella griglia2. conosce i vicini e gli shortcut del nodo in cui si

trova3. ricorda i vicini e gli shortcut di tutti i nodi

visitati4. Ad ogni passo diminuisce la distanza da t

Si tenta di riprodurre l’esperimento di Milgram

La griglia modella una distribuzione geografica dei nodi

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Algoritmo

• Nel generico nodo v– Scegli il vicino a distanza minima dalla

destinazione

• L’algoritmo usa soltanto un’informazione locale e la conoscenza della posizione dei nodi sul lattice

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Risultati • Per r=2, esiste un algoritmo locale che

raggiunge la destinazione in un numero atteso di passi O(log2n).

• Se r<2 un algoritmo locale richiede un numero atteso di passi (n(2-r)/3).

• Se r>2 un algoritmo locale richiede un numero atteso di passi (n(r-2)/(r-1)).

• Nota: numero atteso di passi sub-polinomiale soltanto per r=2– Risultato dovuto probabilmente ai limiti del

modello

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Prova per r = 2 e q = 1

• P[u --> v]: probabilita’ che u scelga v come shortcut• Per ogni w, la distanza da u e’ compresa tra 1 e 2n-2• Vi sono non piu’ di 4j nodi a distanza j da u

P[u --> v] = d(u, v)-2 / d(u, w)-2

wu

.

d(u, w)-2

wu

(4j)(j-2 )j=1

2n-2

= j-1

j=1

2n-2

4 + 4ln 2n-2 4ln(6n)

P[u --> v] 1/4ln(6n)d(u, v)2

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Prova per r = 2 e q = 1/cont.

• Fase j: insieme dei passi durante i quali l’agente si trova in nodi a distanza da t > 2j e <= 2j+1

– L’agente inizia al piu’ in fase log2n

– Ad ogni passo l’agente si avvicina a t

– Occorre calcolare il numero medio E[Xj] dei passi durante la j-esima fase

– Quando l’agente lascia la fase j-esima e’ per entrare in una fase i <= j-1

– E[lunghezza percorso] = ∑jE[Xj]

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Prova per r = 2 e q = 1 /cont.

• Se ci troviamo in un nodo u durante la fase j– P[si lascia la fase j] >= P[si entra in Bj]– Bj: insieme dei nodi a distanza <= 2j da t

Bj

u

t

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Prova per r = 2 e q = 1 /cont.

• Bj contiene almeno 22j-1 nodi• Ciascun nodo in Bj dista al piu’ 2j+2 da u

• Quindi P[si entra in Bj] >= 1/128ln(6n)

Bj

u

t

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Prova per r = 2 e q = 1 /cont.

• Poiche’ vi sono O(log n) fasi abbiamo O(log2n) passi in media

E X j = P X j i i=1

1-1

128ln(6n)

i

i=1

128ln(6n)

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Altre proprieta’ - grado

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Distribuzione del grado• # nodi con grado k:

P(k) ~ k-a

– P(k): % nodi con grado k– a circa 2.1 per il Web– [Broder et al. 2000]

• Regola dell’ 80/20:– Una modesta percentuale di

nodi ha quasi tutti i link --> Hub

– I ricchi diventano sempre piu’ ricchi

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Reti prive di scala

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Matematicamente…

• Non vi e’ una scala privilegiata per osservare le proprieta’ macroscopiche della rete

• Nelle reti sociali l’invarianza di scala si riferisce alla distribuzione del grado dei nodi– Legge di potenza per distribuzione del

grado entrante e/o uscente (es. il Web)

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Modelli di reti sociali

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Modelli di reti sociali

• Cosa sono– Modelli per la generazione di grafi casuali

• Es.: modello di Watts e Strogatz

– obiettivo: riprodurre le proprieta’ osservate in pratica

• I modelli di Watts e Strogatz e di Kleinberg spiegano il fenomeno di piccolo mondo ma non altre proprieta’– Es.: la distribuzione del grado dei nodi

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Meccanismi di base• Attaccamento preferenziale

– Un nuovo nodo ha maggiore probabilita’ di connettersi ai nodi esistenti di grado piu elevato

• Esempio [Chung et al. 2000] per il Web– Per t = 1, 2, …

• Con probabilita’ 1- si aggiunge un nuovo vertice con un link verso se stesso

• Con probabilita si aggiunge un nuovo arco. Se u e v sono due nodi della rete, P[Si genera (u, v)] = du·dv/ ∑w,z

dw·dz

– La rete risultante e’ di tipo piccolo mondo– La distribuzione del grado segue una legge di

potenza con esponente 1+1/ quando t e’ abbastanza grande

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Esempio

• Si consideri il modello precedente e si supponga che = 0.9 e che al tempo t la distribuzione del grado entrante sia approssimativamente una legge di potenza con parametro 1+1/

• Stimare la probabilita’ che a t+1 venga creato un nuovo link verso un nodo di grado x

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Esempio/cont.

• La distribuzione dipende anche da t, che stavolta e’ una variabile

• Se nuovo link verso un nodo di grado x allora A(x+1, t+1) = A(x+1, t) + 1

• S(x, t): insieme dei nodi di grado x a t• Si ricordi che si introduce nuvo link con prob.

A(x, t) = At

x , do ve = 1 + 1/.

P[A(x+1, t+1) = A(x+1, t) + 1] = dudv

vS(x,t)

u

dwdz

z

w

dv

vS(x,t)

dz

z

=

S(x, t)x

t = A(x, t)x

t

= Ax1- = Ax1/

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Riferimenti• M. E. Newman. The structure and function of complex

networks.– Buon lavoro di rassegna sulle reti sociali– Sezioni I, II, III e VI– http://citeseer.ist.psu.edu/newman03structure.html

• M. E. Newman. Models of the Small World– Lavoro di rassegna sul modello di Watts e Strogatz e sue

estensioni– http://citeseer.ist.psu.edu/487139.html

• D. Watts and S. H. Strogatz. Collective dynamics of ‘small-world’ networks. Nature, Vol. 393, pp. 440 – 442, 1998– Basta il lavoro di rassegna di Newman

• J. Kleinberg. The small-world phenomenon: An algorithmic perspective. – Il lavoro di Kleinberg sulla navigazione nelle reti sociali– http://www.cs.cornell.edu/home/kleinber/nips14.ps