Review probabilitas

Tutun Juhanatutun@telecom.ee.itb.ac.id

2

Sample space, sample points, events

Sample space,, adalah sekumpulan semua sample points, yang mungkin; dimana

Contoh 1. Melemparkan satu buah koin:={Gambar,Angka} Contoh 2. Menggelindingkan dadu: ={1,2,3,4,5,6} Contoh 3. Jumlah pelanggan dalam antrian: ={0,1,2,…} Contoh 4. Waktu pendudukan panggilan (call holding time):

={xx>0} Events A,B,C,… adalah himpunan bagian dari sample space

Contoh 1. Angka genap pada sebuah dadu:A={2,4,6} Contoh 2. Tidak ada pelanggan yang mengantri : A={0} Contoh 3. Call holding time lebih dari 3 menit. A={xx>3}

Event yang pasti : sample space Event yang tidak mungkin : himpunan kosong ()

3

Kombinasi event Union (gabungan) :“A atau B” : AB={A atau

B} Irisan: “A dan B” : AB={A dan B} Komplemen : “bukan A”:Ac={A} Event A dan B disebut tidak beririsan (disjoint) bila :

AB= Sekumpulan event {B1,B2,…} merupakan partisi

dari event A jika (i) Bi Bj= untuk semua ij (ii) iBi =A

4

Probabilitas (peluang) Probabilitas suatu event dinyatakan oleh P(A) P(A)[0,1] Sifat-sifat peluang

Back to Six

5

Conditional Probability (Peluang bersyarat) Asumsikan bahwa P(B)>0 Definisi : Conditional probability dari

suatu event A bila diketahui event B terjadi didefinisikan sebagai berikut

Dengan demikian

6

Teorema Probabilitas Total Bila {Bi} merupakan partisi dari sample

space Lalu {ABi} merupakan partisi dari event

A, maka berdasarkan sifat probabilitas yang ketujuh pada slide nomor 4

Kemudian asumsikan bahwa P(Bi)>0 untuk semua i. Maka berdasarkan uraian pada slide nomor 5 dapat didefinisikan teorema probabilitas total sbb

7

Teorema Bayes Bila {Bi} merupakan partisi dari sample space Asumsikan bahwa P(A)>0 dan P(Bi)>0 untuk semua i. Maka

berdasarkan uraian pada slide nomor 5

Kemudian, berdasarkan teorema probabilitas total, kita peroleh

Ini merupakan teorema Bayes Peluang P(Bi) disebut peluang a priori dari event Bi Peluang P(BiA) disebut peluang a posteriori dari event Bi (bila

diketahui event A terjadi)

8

Kesalingbebasan statistik dari event (Statistical independence of event) Definisi : Event A dan B saling

bebas (independent) jika

Dengan demikian

Demikian pula

9

Peubah acak (random variables)

Definisi : Peubah acak X (yang merupakan bilangan riil [real-valued]) adalah fungsi bernilai riil dan dapat diukur yang didefinisikan pada sample space ;X: Setiap titik sample (sample points)

dihubungkan dengan sebuah bilangan riil X() Dengan kata lain : memetakan setiap titik

sample ke sebuah bilangan riil menggunakan peubah acak X

10

Sebuah koin dilempar tiga kali; setiap lemparan akan menghasilkan head (H) atau tail (T)

Sample space:

Misalnya peubah acak X merupakan jumlah total tail (T) dalam ketiga eksperimen pelemparan koin tersebut, maka :

Contoh

11

Probability Distribution Function (PDF)

Definisi : PDF dari suatu peubah acak X adalah fungsi FX: [0,1] yang didefinisikan sebagai berikut

PDF menentukan distribusi dari peubah acak Sifat

12

Kesalingbebasan statistik dari peubah acak (Statistical independence of random variables) Definisi : Peubah acak X dan Y saling

bebas jika untuk semua x dan y

Definisi : Peubah acak X1, …,Xn saling bebas jika untuk semua i dan xi

13

Peubah acak diskrit Definisi : himpunan A disebut diskrit bila

Terbatas : A={x1,…,xn}, atau Tak terbatas : A={x1,x2,…}

Definisi : peubah acak X disebut diskrit bila terdapat sebuah himpunan diskrit Sx sedemikian hingga

Maka P{X=x} 0 untuk semua x Sx P{X=x} = 0 untuk semua x Sx

Himpunan Sx disebut himpunan nilai (value set)

14

Misalkan X adalah peubah acak diskrit Distribusi X ditentukan oleh peluang titik pi

Definisi : probability mass function (pmf) dari X adalah merupakan fungsi pX: [0,1] yang didefinisikan sbb

Pada kasus ini, PDF merupakan fungsi step

Peluang titik (point probabilities)

15

Contoh

16

Kesalingbebasan peubah acak Peubah acak diskrit X dan Y

dikatakan saling bebas jika dan hanya jika untuk semua xiSX dan yjSy

17

Ekspektasi (harapan,rataan)

Definisi : Harga ekspektasi (rata-rata/mean value) dari X dinyatakan oleh

Sifat-sifat

18

Variance Definisi : Variance dari X didefinisikan

sbb

Rumus yang bermanfaat

Sifat-sifat

19

Covariance Definisi : Covariance antara X dan Y

didefinisikan sbb

Rumus yang bermanfaat

Sifat-sifat

20

Parameter lain yang berhubungan dengan distribusi

Deviasi standard dari X

Momen ke-k dari X

21

Distribusi BernoulliMenyatakan suatu eksperimen acak dengan dua keluaran yang mungkin

Sukses (1) Gagal (0)

Nilai 1 berpeluang p (nilai 0 berpeluang (1-p))

22

Distribusi binomialMenyatakan jumlah sukses dalam sejumlah eksperimen acak yang saling bebas (masing-masing eksperimen bersifat Bernoulli);

23

Distribusi geometrik

Menyatakan jumlah sukses yang terjadi sampai didapatkan kegagalan yang pertama dari sejumlah eksperimen acak yang saling bebas (masing-masing eksperimen bersifat Bernoulli)

p = peluang sukses dalam suatu eksperimen

24

Distribusi PoissonLimit dari distribusi binomial dimana n dan p 0, sedemikian hingga np a

25

Contoh Asumsikan

200 pelanggan terhubung ke sentral lokal Trafik setiap pelanggan adalah 0.01 Pelanggan saling bebas

Maka jumlah panggilan yang aktif X ~ Bin(200,0.01)

Pendekatan Poisson X Poisson(2,0) Peluang titik

26

Peubah acak kontinu Definisi : peubah acak X kontinu jika terdapat fungsi yang

dapat diintegralkan fX:+, sedemikian hingga untuk semua x

Fungsi fX disebut probability density function (pdf) Himpunan SX, dimana fX>0 disebut value set

Sifat-sifat

27

Contoh

28

Ekspektasi dan parameter lain

Ekspektasi (nilai rata-rata/mean value) dari X didefinisikan sbb

Note 2: Jika , maka Sifat sama dengan distribusi diskrit

Parameter distrubusi lainnya didefinisikan dan memiliki sifat yang sama seperti pada distribusi diskrit

29

Distribusi Uniform (X~U(a,b), a<b)

30

Distribusi Eksponensial (X~Exp(), >0)

Versi kontinu dari distribusi geometrik (peluang gagal dt)