Click here to load reader
Upload
filipe-farias
View
78
Download
6
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Lista de questões avançada para revisão de gravitação. Contem algumas questões de livros usados nos cursos de física e seletivas de física.
Citation preview
Lista 6: Gravitação.
Professor: Carlos Eduardo
1. (ITA - 1989) Comentando as leis de Kepler para o
movimento planetário, um estudante escreveu:
I- Os planetas do sistema solar descrevem elipses em
torno do Sol que ocupa o centro dessas elipses.
II- Como o dia (do nascer ao pôr-do-Sol) é mais curto no
inverno e mais longo no verão, conclui-se que o vetor
posição da Terra (linha que une esta ao Sol) varre uma
área do espaço menor no inverno do que no verão para
o mesmo período de 24 horas.
III- Como a distância média da Terra ao Sol é de
1,50.108 km e a de Urano ao Sol é de 3,00.109km, pela 3a
lei de Kepler conclui-se que o “ano” de Urano é igual a
20 vezes o ano da Terra.
IV- As leis de Kepler não fazem referência à força de
interação entre o Sol e os planetas.
Verifique quais as afirmações que estão corretas e
assinale a opção correspondente.
a) I e IV estão corretas.
b) Só a I está correta.
c) II e IV estão corretas.
d) Só a IV está correta.
e) II e III estão corretas.
2. (ITA - 2000). Uma casca esférica tem raio interno R1,
raio externo R2 e massa M distribuída uniformemente.
Uma massa puntiforme m está localizada no interior
dessa casca, a uma distância d de seu centro ( R1 < d <
R2). O módulo da força gravitacional entre as massas é:
a) 0
b) GMm / d2
c) GMm / (R3- d3)
d) GMm / (d3- R31)
e) GMm (d3- R31) / d2 (R3
2 -R31)
3. (ITA - 1999) Suponha um cenário de ficção científica
em que a Terra é atingida por um imenso meteoro. Em
conseqüência do impacto, somente o módulo da
velocidade da Terra é alterado, sendo V0 seu valor
imediatamente após o impacto, como mostra a figura
abaixo. O meteoro colide com a Terra exatamente na
posição onde a distância entre a Terra e o Sol é mínima
(distância AO = R na figura). Considere a atração
gravitacional exercida pelo Sol, tido como referencial
inercial, como a única força de interação que atua sobre
a Terra após a colisão, e designe por M a massa do Sol e
por G a constante de gravitação universal. Considere
ainda que o momento angular da Terra seja conservado,
isto é, a quantidade de módulo m sen ( )
permanece constante ao longo da nova rajetória elíptica
da Terra em torno do sol (nessa expressão, m é a massa
da Terra, r é o módulo do vetor posição da Terra em
relação ao Sol, o módulo da velocidade da Terra e o
ângulo entre r e ). A distância (OB), do apogeu ao
centro do Sol, da trajetória que a Terra passa a percorrer
após o choque com o meteoro, é dada pela relação:
a)
b)
c)
d)
e) ( ) R
4. (ITA - 2003) Sabe-se que a atração gravitacional da lua
sobre a camada de água é a principal responsável pelo
aparecimento de marés oceânicas na Terra,
supostamente esférica, homogeneamente recoberta por
uma camada de água.
Nessas condições, considere as seguintes afirmativas:
I. As massas de água próximas das regiões A e B
experimentam marés altas simultaneamente.
II. As massas de água próximas das regiões A e B
experimentam marés opostas, isto é, quando A tem maré
alta, B tem maré baixa e vice-versa.
III. Durante o intervalo de tempo de um dia ocorrem
duas marés altas e duas marés baixas.
Então está(ão) correta(s), apenas:
a) a afirmativa I
b) a afirmativa II
c) a afirmativa III
d) as afirmativas I e II
e) as afirmativas I e III
5. (ITA - 2005) Suponha que na Lua, cujo raio é R, exista
uma cratera de profundidade R/100, do fundo da qual
um projétil é lançado verticalmente para cima com
velocidade inicial v igual à de escape da cratera.
Determine literalmente a altura máxima alcançada pelo
projétil, caso ele fosse lançado da superfície da Lua com
aquela mesma velocidade inicial v.
6. (ITA-2009) Desde os idos de 1930, observações
astronômicas indicam a existência da chamada matéria
escura. Tal matéria não emite luz, mas a sua presença é
inferida pela influência gravitacional que ela exerce
sobre o movimento de estrelas no interior de galáxias.
Suponha que, numa galáxia, possa ser removida sua
matéria escura de massa específica ρ > 0, que se encontra
uniformemente distribuída. Suponha também que no
centro dessa galáxia haja um buraco negro de massa M,
em volta do qual uma estrela de massa m descreve uma
órbita circular. Considerando órbitas de mesmo raio na
presença e na ausência de matéria escura, a respeito da
força gravitacional resultante exercida sobre a estrela
e seu efeito sobre o movimento desta, pode-se afirmar
que:
a) é atrativa e a velocidade orbital de m não se altera
na presença da matéria escura.
b) é atrativa e a velocidade orbital de m é menor na
presença da matéria escura.
c) é atrativa e a velocidade orbital de m é maior na
presença da matéria escura.
d) é repulsiva e a velocidade orbital de m é maior na
presença da matéria escura.
e) é repulsiva e a velocidade orbital de m é menor na
presença da matéria escura.
7. (ITA-2009) Lua e Sol são os principais responsáveis
pelas forças de maré. Estas são produzidas devido às
diferenças na aceleração gravitacional sofrida por
massas distribuídas na Terra em razão das respectivas
diferenças de suas distâncias em relação a esses astros. A
figura mostra duas massas iguais, m1 = m2 = m,
dispostas sobre a superfície da Terra em posições
diametralmente opostas e alinhadas em relação à Lua,
bem como uma massa m0 = m situada no centro da
Terra. Considere G a constante de gravitação universal,
M a massa da Lua, r o raio da Terra e R a distância entre
os centros da Terra e da Lua. Considere,
também, as forças produzidas pela Lua
respectivamente sobre as massas m0, m1, e m2.
Determine as diferenças
sabendo que deverá usar a aproximação
, quando < < < 1.
8. Calcule a energia potencial gravitacional total
associada a uma esfera homogênea de raio R e massa M.
Sugestão: imagine a esfera como sendo construída por
agregação de camadas sucessivas, como cascas de
cebola. Considere a variação de energia potencial
quando uma camada de espessura dr infinitesimal é
agregada a uma esfera de raio r, e integre sobre r.
9. Uma bolinha presa a um fio de massa desprezível gira
em torno de um eixo vertical com velocidade escalar
constante, mantendo-se a uma distância d=0,5m do eixo;
o ângulo 𝜃 é igual a 30°. O fio passa sem atrito através
de um orifício O numa placa, e é puxado lentamente
para cima até que o ângulo 𝜃 passa a 60°.
a) Que comprimento do fio foi puxado?
b)De que fator variou a velocidade de rotação?
10. Um pequeno corpo de massa m, ligado a um cordão
inextensível, se move sobre um plano horizontal liso. A
outra extremidade do fio está sendo arrastado para um
buraco O com uma velocidade constante. Encontre a
tensão da linha em função da distância r entre o corpo e
se o buraco se quando R = Ro a velocidade angular do
segmento é 𝜔0.
11. Use conservação de energia para mostrar que a
velocidade de um objeto em uma órbita elíptica satisfaz
a relação
𝑣2 = 𝐺𝑀(2
𝑟−
1
𝑎)
Onde r é a distância entre o corpo em órbita e o corpo
central de massa M.
12. Dois corpos (de massas m e M) interagindo através
de suas forças gravitacionais mútuas orbitam com a
mesma velocidade angular w em torno do seu centro de
massa C.
Mostre que neste caso, a lei de períodos de Kepler se
torna
𝑇2 =4𝜋2
𝐺𝑀𝑟3(1 +
𝑅
𝑟)2
13. Um satélite artificial se move ao redor da terra em
uma órbita circular de raio R. Como resultado de uma
ação de curta duração de um dispositivo de freio, a
velocidade do satélite diminui de tal forma que este
passa a se mover em uma órbita elíptica tangente a
superfície da terra. Calcule o tempo que o satélite leva
para pousar na superfície.
14. Calcule a velocidade de escape para um corpo de
massa m que parte do centro de um planeta de massa M
e raio R.
15. Duas partículas pontuais, cada um de massa m, estão
originalmente em repouso e separadas por uma
distancia d. Calcule o tempo necessário para que elas se
encontrem devido à influencia da gravidade.
16. (ITA) Uma estação espacial em forma de um toróide,
de raio interno R1, e externo R2, gira, com período P, em
torno do seu eixo central, numa região de gravidade
nula. O astronauta sente que seu “peso” aumenta de
20%, quando corre com velocidade constante v no
interior desta estação, ao longo de sua maior
circunferência, conforme mostra a figura. Assinale a
expressão que indica o módulo dessa velocidade.
17. (ITA) Uma estrela mantém presos, por meio de sua
atração gravitacional, os planetas Alfa, Beta e Gama.
Todos descrevem órbitas elípticas, em cujo foco comum
se encontra a estrela, conforme a primeira lei de Kepler.
Sabe-se que o semi-eixo maior da órbita de Beta é o
dobro daquele da órbita de Gama.
Sabe-se também que o período de Alfa é √2 vezes maior
que o período de Beta. Nestas condições, pode-se
afirmar que a razão entre o período de Alfa e o de Gama
é
18. Um escritor de ficção científica idealizou, em seu
primeiro livro do gênero, um planeta formado por um
líquido de densidade 𝜌 e raio R. Para que Rox 11-87, um
ser alienígena que adora explorar lugares diferentes,
possa “mergulhar” com sua nave espacial no planeta, ele
deseja saber como varia a pressão dentro do planeta.
a) Calcule a pressão a uma distancia r do centro do
planeta.
b) Calcule a pressão no centro do planeta.
Dados: G - constante gravitacional.
19. Desde o infinito até a terra se move um fluxo
homogêneo de meteoritos, que contém 𝜂 partículas por
volume. A massa de cada meteorito vale m e a
velocidade no infinito vale 𝑣0. Achar a massa total da
substancia (meteórica) que se precipitará sobre a terra
durante um intervalo de tempo t. O raio da terra vale R
e a aceleração na superfície vale g.
20. Determine o tempo de queda da terra sobre o sol se
esta parasse derrepende.
21. Suponha que um satélite de comunicações
geossíncrono esteja em órbita na longitude de Chicago.
Você está em chicago e deseja capatar os sinais por ele
emitido. Em que direção deve-se apontar o eixo de sua
antena parabólica? A latitude de Chicago é 47,5°.
22. Considere um segmento de reta que liga o centro de
qualquer planeta do sistema solar ao centro do Sol. De
acordo com a 2º Lei de Kepler, tal segmento percorre
áreas iguais em tempos iguais.Considere, então, que em
dado instante deixasse
de existir o efeito da gravitação entre o Sol e o planeta.
Assinale a alternativa correta.
a) O segmento de reta em questão continuaria a
percorrer áreas iguais em tempos iguais.
b) A órbita do planeta continuaria a ser elíptica, porém
com focos diferentes e a 2ª Lei de Kepler continuaria
válida.
c) A órbita do planeta deixaria de ser elíptica e a 2ª Lei
de Kepler não seria mais válida.
d) A 2ª Lei de Kepler só é válida quando se considera
uma força que depende do inverso do quadrado das
distâncias entre
os corpos e, portanto, deixaria de ser válida.
e) O planeta iria se dirigir em direção ao Sol.
23. Um satélite é projetado no espaço com velocidade V0
a uma distancia r0 do centro da Terra pelo último
estágio de seu foguete de lançamento. A velocidade V0
foi projetada para colocar o satélite numa órbita circular
de raio r0. No entanteo, devido ao mau funcionamento
do controle, o satélite não é projetado horizontalmente,
mas num ângulo qualquer 𝛼 com a horizontal, e como
resultado é impelido numa órbita elíptica. Determine os
valores máximo e mínimo da distância do centro da
Terra ao satélite.
24. Um míssil é disparado do solo com velocidade v0,
formando um ângulo 𝛼 com a vertical. Se o míssil deve
atingir uma altitude máxima igual ao raio da Terra:
a) Mostre que o ângulo necessário 𝛼 é definido pela
relação
sin 𝛼 = 2√1 −1
2(𝑉𝑒𝑠𝑐
𝑉0
)2
b) Determinar os valores máximos e mínimos de V0.
25. Uma nave espacial tripulada por marcianos chega à
vizinhança da Terra (de massa 𝑀) seguindo uma órbita
hiperbólica cuja assíntota dista 𝑏 do centro da Terra.
Quando a nave se esncontrava a uma distância muito
grande da Terra, sua velocidade era 𝑣0 Qual a relação
entre 𝑣0, 𝑏 e a distância de perigeu 𝑎?
Resp: 𝑣02 (
𝑏2
𝑎2 − 1) =2𝐺𝑀
𝑎
26. Numa esfera de chumbo de raio 𝑅, faz-se uma
cavidade esférica de tal modo a sua superfície toca a
superfície externa da esfera de chumbo e passa pelo
centro desta. A massa da esfera antes que a cavidade
fosse feita era 𝑀. Com que força, de acordo com a lei da
gravitação universal, a esfera de chumbo irá agora atrair
uma pequena esfera de massa 𝑚, que está à distância 𝑑
do centro da esfera de chumbo, sobre uma linha reta que
une os centros das esferas e da cavidade?
Resp: 𝐹 =𝐺𝑚𝑀
𝑑2 [1 −1
8(1−𝑅
2𝑑)
2]
27. A distância entre duas estrelas é igual a 10𝑎. As
massas das estrelas são iguais a 𝑀 e 16𝑀 e seus raios
iguais a 𝑎 e 2𝑎, respectivamente. Um corpo de massa 𝑚
é atirado da superfície da estrela maior em direção à
enor ao longo da reta que une os seus centros.
Determine a velocidade mínima necessária que deve ser
dada ao corpo para que ele atinja a superfície da estrela
menor.
𝑅𝑒𝑠𝑝: 𝑣𝑚í𝑛 =3√5
2(√
𝐺𝑀
𝑎)
28. Uma partícula é projetada da superfície da Terra com
uma velocidade igual Pa velocidade de escape do
planeta formando umângulo de 45° com a horizontal.
Determine o ângulo formado entre a velocidade e a
horizontal quando o objeto atinge uma altura em relação
Pa superfície da Terra igual a 𝑅.
Resp: 60°
29. Determine a força sobre uma massa m (ver figura abaixo) em função dos parâmetros em questão.
30. Na configuração abaixo, termine o potencial no centro da cavidade menor (de raio a). O centro da cavidade está a uma distancia d do centro da esfera de densidade homogenia e raio R.
31. Prove que se um veículo espacial viaja ao longo de uma trajetória parabólica com a Terra (ou algum outro planeta), em seu foco, a energia mecânica total do veículo é zero. 32. Uma nave espacial está circundando a Terra E ao longo de uma órbita elíptica. Como deve variar a velocidade da nave espacial no perigeu P para que no apogeu A a nave siga uma órbita circular?(aumentar ou diminuir)? Relacione os parâmetros que precisar.
32. Um foguete espacial com massa M = 12t está se movendo em torno da lua ao longo da órbita circular à altura de h = 100 km da superfície. Um mecanismo é ativado por um tempo curto para passar para a órbita de pouso lunar. A velocidade dos gases ejetados u = 104 m/s. O raio da lua RL = 1, 7·103 km, a aceleração da gravidade perto da gL de superfície de Lua = 1,7 m/s2
No ponto A, é dado ao foguete um impulso dirigido em direção ao centro da Lua, para colocar o foguete para a órbita de encontro à superfície da Lua no ponto C. Que quantidade de combustível é necessária nesse caso?
Gabarito:
1.d
2.e
3.a
4.e
6.c
5. O corpo escapa da lua.
7. 𝐹1 =𝐺𝑚𝑀2𝑟
𝑅3 , 𝐹2 = −𝐺𝑚𝑀2𝑟
𝑅3 .
8. −3𝐺𝑀2
5𝑅
9.
10. 𝐹 =𝑚𝑤0
2𝑟04
𝑟3
15. 𝑡𝑒𝑛𝑐 =𝜋
4√
𝑑3
𝐺𝑀.
16. a
17. c
18. Resp: 𝑃 = (2
3) 𝐺𝜋𝜌2(𝑅2 − 𝑟2).
19. 𝜋𝑚𝑅2𝑣0𝑛(1 +2𝑔𝑅
𝑣02 )𝑡
20. Aproximadamente 65 dias.
21. 35,4°
22.a
23. 𝑟𝑚𝑖𝑛 = 𝑟0(1 − sin 𝛼), 𝑟𝑚𝑎𝑥 = 𝑟0(1 + sin 𝛼)
24. Demonstração