REVISO_2010_aula1 1 www.claudiamatematica.com.br1 Ufscar_reviso_nov_2009PROBABILIDADEE ANLISE COMBINATRIA 1)(Ufscar_2000)Umespaoamostralumconjuntocujoselementosrepresentamtodososresultadospossveisde algumexperimento.Chamamosdeeventoaoconjuntoderesultadosdoexperimentocorrespondenteaalgum subconjunto de um espao amostral. a) Descreva o espao amostral correspondente ao lanamento simultneo de um dado e de uma moeda. b) Determine a probabilidade que no experimento descrito ocorram os eventos: Evento A: resulte cara na moeda e um nmero par no dado. Evento B: resulte 1 ou 5 no dado. 2)(Ufscar_2004) Em uma comisso composta por 24 deputados e deputadas federais, 16 votaram a favor do encaminhamento de um projeto ao Congresso, e 8 votaram contra. Do total de membros da comisso, 25% so mulheres, e todas elas votaram a favor do encaminhamento do projeto. a) Do total de homens da comisso, calcule a porcentagem, aproximada, dos que votaram contra o encaminhamento do projeto. b) Se um jornalista sortear aleatoriamente para uma entrevista 6 membros da comisso, qual a probabilidade de que exatamente 4 dos sorteados tenham votado contra o encaminhamento do projeto ao Congresso? 3)(Ufscar_2005)NovolantedojogodaLOTECA,paracadaumdos14jogosdefutebolindicados,oapostadordever marcaroseupalpite,quepodesercoluna1,coluna2oucolunadomeio(vitriadotime1,vitriadotime2ou empate,respectivamente).Quandoojogadorassinalaapenasumadastrscolunasemumjogo,dizemosqueele assinalou palpite simples nesse jogo. Dependendo do valor disponvel para a aposta e de limites de aposta por volante, o jogador tambm poder marcar alguns palpites duplos e/ou triplos. Em um palpite duplo, como por exemplo, colunas 1edomeio,oapostadorserrarojogoseoresultadofinalforcoluna2.Emumpalpitetriplo(colunas1,2edo meio), o apostador sempre acertar o jogo. EmrelaoaumcartodaLOTECAcompalpiteduploemumdosjogosepalpitessimplesnosdemais,preenchido aleatoriamente, e supondo que as trs colunas so igualmente possveis em todos os jogos, pergunta-se: REVISO_2010_aula1 2 www.claudiamatematica.com.br2 a)Qualaprobabilidadedeessecartosercontempladocomoprmiomximo,quecorrespondeaoacertodos14 jogos? b) Qual a probabilidade de esse carto ser contemplado com o segundo prmio, que corresponde ao acerto de pelo menos 13 jogos? Dado: 4)(Ufscar_2006)Admitaquetodososconvidadosdeumjantartenhamsesentadoaleatoriamenteaoredordeuma mesa circular. a)SeaprobabilidadedequeAlbertotenhasesentadoaoladodeBreno10%,calculeonmerodeconvidadosdo jantar. b) Se n pessoas foram convidadas para o jantar, indique uma frmula que calcule, em funo de n, a probabilidade deAlberto,BrenoeCarlosteremsesentadoladoaladoaoredordamesa(admitaqueostrssoconvidadosdo jantar). REVISO_2010_aula1 3 www.claudiamatematica.com.br3 FUNO 5)(Ufscar_2000) Uma pesquisa ecolgica determinou que a populao (S) de sapos de uma determinada regio, medida em centenas, depende da populao (m) de insetos, medida em milhares, de acordo com a equao 865 ) (mm S + = . A populao de insetos, por sua vez, varia com a precipitao (p) de chuva em centmetros, de acordo com a equao m(p) = 43p + 7,5. a) Expresse a populao de sapos como funo da precipitao. b) Calcule a populao de sapos quando a precipitao de 1,5cm. 6)(Ufscar_2004) A Associao Brasileira de Normas Tcnicas (ABNT) indica o seguinte critrio para a construo dos degraus de uma escada: todos os degraus devem ser idnticos e seguir a condio >= +metros em d, e p com 90 , 064 , 0 2de p,onde e a altura, p a profundidade e d a largura de cada degrau. a)Determine o nmero n de degraus para que a escada descrita em perfil na figura 1 esteja em acordo com as normas da ABNT. b) A figura 2 representa 3 degraus de uma escada com um total de 24 degraus. REVISO_2010_aula1 4 www.claudiamatematica.com.br4 Se os degraus dessa escada seguem as normas da ABNT, calcule o volume mximo de concreto necessrio para constru-la de forma macia, sem perdas. REVISO_2010_aula1 5 www.claudiamatematica.com.br5 7)(Ufscar_2006) A frmula de converso da temperatura na escala Fahrenheit (tF) para a temperatura na escala Celsius (tC) ( ) 3295 =F Ct t . Dada a temperatura em Fahrenheit, pode-se obter um valor aproximado da temperatura na escala Celsius ( Ct ) atravs da frmula prtica( ) 3221 =F Ct t . Se o erro absoluto E, cometido pela frmula prtica, dado por C Ct t E =, pede-se: a) Determine o intervalo de variao de tF para que o erro absoluto seja menor que 50 Fahrenheit. b) Construa o grfico do erro absoluto E em funo da temperatura tF, em Fahrenheit. REVISO_2010_aula1 6 www.claudiamatematica.com.br6 EXPONENCIAIS E LOGARITMOS 8)(Ufscar_2000) Sejam p e q nmeros reais positivos e diferentes de 1. Sejam nmeros reais positivos a, b e c, tais que a = c= 1, b = 1. a) Verifique que pqqplog1log = . b) Se 2log(a + c)b . log(a c)b = log(a + c)b + log(a c)b, mostre que a, b e c so, respectivamente, a hipotenusa e os catetos de um tringulo retngulo. REVISO_2010_aula1 7 www.claudiamatematica.com.br7 9)(Ufscar_2004)Sobcertascondies,adiferenaentreamagnitudeaparentedeumaestrela(m)esuamagnitude absoluta(M)podesercalculadapelafrmulamM=5(1+logd),ondedadistnciaentreaestrelaeaTerra,na unidade de medida parsec (pc). a) Calcule a magnitude absoluta de uma estrela quando d = 200pc e m = 8,5. Adote nos clculos log5 = 0,7. b)Construanoplanocartesianoogrficodaregiodosparesordenados(M,m),taisqued_100pc.Admita,paraa construo, m 0 e M 0. GEOMETRIA ANALTICA 10)(Ufscar_2000) Considere a reta r: (a + 1)2 x + (a2 a)y 4a2 + a 1 = 0. a) Mostre que essa reta passa por um ponto cujas coordenadas no dependem do parmetro a. b) Determine a de modo que r seja perpendicular reta s: x 1 = 0. REVISO_2010_aula1 8 www.claudiamatematica.com.br8 11)(Ufscar_2004) Os pontos A(3, 6), B(1, 3) e C(xC, yC) so vrtices do tringulo ABC, sendo M(xM, yM) e N (4, 5) pontos mdios dos lados AB e AC, respectivamente. a) Calcule a distncia entre os pontos M e N. b) Determine a equao geral da reta suporte do lado BC do tringulo ABC. REVISO_2010_aula1 9 www.claudiamatematica.com.br9 12)(Ufscar_2005) Seja um ponto de interseco da reta (r) y = qx com a circunferncia de centro C = (0, 0), com p real e diferente de 0. a) Construa o grfico da reta r e determine seu ngulo de inclinao. b) Sendo R a coroa circular definida pelas circunferncias, com as caractersticas de , tais que 1 p 9, calcule a rea da regio formada pela interseco de R com {(x, y) | y qx}. MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS LINEARES 13)(Ufscar_2000) Seja ((

=d cb aA uma matriz 2x2 cujos coeficientes so nmeros reais. Vamos chamar de transposta de A matriz((

=d bc aAt . Dizemos que uma matriz A simtrica se A = At e dizemos que A anti-simtrica se A = At. a) Dada uma matriz A qualquer, verifique que) (tA A B + = uma matriz simtrica e que C=1/2(A At) uma matriz anti-simtrica. b) Mostre que toda matriz 2x2 a soma de uma matriz simtrica com uma matriz anti-simtrica. REVISO_2010_aula1 10 www.claudiamatematica.com.br10 TRIGONOMETRIA 14)(Ufscar_2004)Onmerodeturistasdeumacidadepodesermodeladopelafuno |.|

\|+ =6. 6 , 1 1 , 2 ) (xsen x ft,ondex representa oms do ano (1para janeiro, 2 parafevereiro, 3 paramaro, e assimsucessivamente)e f(x) o nmero de turistas no ms x (em milhares). a) Determine quais so os meses em que a cidade recebe um total de 1300 turistas. b)Construaogrficodafunof,paraxreal,talquexe[1,12],edetermineadiferenaentreomaioreomenor nmero de turistas da cidade em um ano. 15)(Ufscar_2005) As figuras indicam um tringulo acutngulo ABC e um tringulo obtusngulo DEF, sendo um ngulo obtuso. Sabe-se ainda que AB = AC = ED = EF = 1 e que + = 180o. REVISO_2010_aula1 11 www.claudiamatematica.com.br11 a) Denotando BC por x e DF por y, faa o grfico do lugar geomtrico dos pontos (x, y) no plano cartesiano. b) Calcule a razo do maior lado do tringulo DEF pelo menor lado do tringulo ABC quando = 20. Dado: REVISO_2010_aula1 12 www.claudiamatematica.com.br12 ARITMTICA BSICA 16)(Ufscar_2005) Ao iniciar uma viagem de So Paulo para o Rio de Janeiro, Pedro abasteceu o tanque de combustvel do carro, que estava totalmente vazio, at o limite mximo, pagando pelo abastecimento R$111,80. Aps percorrer 180 km da viagem, Pedro parou em outro posto para completar o combustvel do tanque at o limite mximo, gastando agora R$ 24,75. Sabe-se que a distncia do ponto de partida de Pedro, em So Paulo, at a cidade do Rio de Janeiro iguala480km,queotanquedecombustveldocarrodePedrotemcapacidadetotalde52litros,equeseucarro percorre na estrada, em mdia, 16 km por litro de combustvel. a) Qual o preo do litro de combustvel em cada um dos dois postos em que Pedro abasteceu o carro? b) Sem novos abastecimentos, quantos quilmetros, no mximo, o carro de Pedro poder percorrer na cidade do Rio de Janeiro, sabendo-se que em trecho de cidade seu carro faz, em mdia, 12 km por litro de combustvel? 17)(Ufscar_2005) No dia do pagamento, Rita e Lus compraram, cada um, x CDs e y DVDs em uma loja (x 0 e y 0). Cada CD comprado por Rita custou R$20,00, e cada DVD comprado por ela custou R$30,00. Cada CD comprado por Lus custou R$15,00, e cada DVD custou P reais (P 0). Sabe-se que essa foi a nica compra que Rita e Lus fizeram na loja, gastando R$150,00 e Q reais (Q 0), respectivamente. REVISO_2010_aula1 13 www.claudiamatematica.com.br13 a) Determine o par ordenado (x, y) da soluo do problema quando x y. b) Se o preo de cada DVD comprado por Lus corresponde a 20% do seu gasto total na loja, determine P e Q quando a soluo do problema x = y. GEOMETRIA ESPACIAL 18)(Ufscar_2006) A figura 1 indica a jarra de um espremedor de frutas, e a figura 2 sua vista superior (sem a ala). Sabe-se que a jarra cilndrica, com parte central na forma de um tronco de cone, e que as trs circunferncias indicadas na vista superior so concntricas. a) Qual a rea, em cm2, da superfcie lateral da parte externa da jarra? (Desconsidere a ala.) b) Qual o volume mximo de suco, em cm3, que a jarra pode conter? REVISO_2010_aula1 14 www.claudiamatematica.com.br14 19)(Ufscar_2006) Seja a soma Considerando cada parcela da soma como sendo a expresso entre parnteses: a) Determine o nmero complexo a + bi que resulta da soma das 10 primeiras parcelas de S, quando x = 2, y = 1 e z a unidade imaginria i. b) Escreva, na forma trigonomtrica, o nmero complexo que resulta da soma das duas primeiras parcelas de S, quando x = y = 0 e z = i, e represente-o no plano Argand-Gauss.