Revision Simplexe

7/25/2019 Revision Simplexe

1/75

Rvisionde

lalgorithme du simplexe


2/75

Forme standard

Aprs avoir transform les contraintes dingalit en galits, nous

retrouvons le problme sous sa forme standard o certaines variablespeuvent tre des variables dcart:

min

Sujet

1 1 2 2 ... n nz cx c x c x= + + +

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

=+++

=+++

=+++

.......

....

......

2211

22222121

11212111

0...,,, 21 nxxx


3/75

min z

Sujet

0...,,, 21 nxxx

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

=+++

=+++

=+++

... ....

....

......

2211

22222121

11212111

0...2211 =+++ zxcxcxc nn


4/75

Simplexe forme avec tableauxItration typique

Dcrivons une itration typique pour rsoudre le problme gnral avec lesimplexe forme avec tableaux

Le systme

zzxcxcxc

bxaxaxax

bxaxaxax

bxaxaxax

bxaxaxax

nnssmm

mnmnsmsmmmm

rnrnsrsmrmr

nnssmm

nnssmm

=++++

=+++++

=++++++

=++++++

=++++++

++

++

++

++

++

......

..........

......

....

......

......

11

11

11

2221122

1111111


5/75

Itration typique

peut tre reprsenter dans le tableau suivant


6/75

tape 1: Choix de la variable dentre

En se rfrant la dernire ligne du tableau, soit jj

s cc01

min

=

Si 0, alors la solutioncourante est optimale etlalgorithme sarrte

sc

Si < 0, alorsxs est lavariable dentre

sc

Variable dentre


7/75

tape 2: Choix de la variable de sortie

Variable dentre

Si

le problme nest pasborn et lalgo. sarrte

mia is 10

Sialors la sol. demeure ralisable

La variable dentrexs prend la valeur

0isi tel que a >

0> isaqueteli

is

issisiiabxxabx = 0

>==

0:min1

is

is

i

mirs

r

s aa

b

a

bx

0i isi sx b a x=


8/75

tape 2: Choix de la variable de sortie

Variable dentre

Variable de sortie


9/75

tape 3: Pivot

rsa

Variable dentre

Variable de sortie

Llment de pivot est lintersection de laligne de la variable dentrexs et de la colonnede la variable de sortiex

r

rsa

rsa


10/75

tape 3: Pivot

rsa

Variable dentre

Variable de sortie

Divisons la ligne r par llmentde pivot afin dobtenir laligne rrsultante

rsa

rsa

1


11/75

tape 3: Pivot

rsa

Variable dentre

Variable de sortie

Divisons la ligne r par llmentde pivot afin dobtenir laligne rrsultante

rsa

11 1r m rn r

rs rs rs rs

a a b

a a a a

+


12/75

tape 3: Pivot

rsa

Variable dentre

Variable de sortie

Multiplions la ligne rrsultantepar pour la soustraire de laligne i du tableau. Ceci ramne le

coefficient de la variable dentrexs 0.

isa

11 1r m rn r

rs rs rs rs

a a b

a a a a

+


13/75

tape 3: Pivot

rsa

11 1r m rn r

rs rs rs rs

a a b

a a a a

+

Variable dentre

Variable de sortie



isa


14/75

tape 3: Pivot

rsa

Variable dentre

Variable de sortie



isa

11 1r m rn r

rs rs rs rs

a a b

a a a a

+


15/75

tape 3: Pivot

rsa

Variable dentre

Variable de sortie



isa

11 1r m rn r

rs rs rs rs

a a b

a a a a

+


16/75

Tableau rsultant

pouramorcer la prochaine itration


17/75

Problmes quivalents

min z = 8x 6y minz

Sujet Sujet

5x + 3y + u =30 5x + 3y + u =30

2x + 3y + p =24 2x + 3y + p =24

1x + 3y + h = 18 1x + 3y + h = 18

x,y, u,p, h 0 8x 6y z = 0x,y, u,p, h 0


18/75

Tableau quivalent au systme

min z = 8x 6y minz

Sujet Sujet

5x + 3y + u =30 5x + 3y + u =30

2x + 3y + p =24 2x + 3y + p =24

1x + 3y + h = 18 1x + 3y + h = 18

x,y, u,p, h 0 8x 6y z = 0x,y, u,p, h 0

u = 30 5x 3y

p = 24 2x 3yh = 18 1x 3y

z = 0 8x 6y


19/75

u = 30 5x 3yp = 24 2x 3y

h = 18 1x 3y

z = 0 8x 6y

tale 1: Critre dentre

Pour dterminer la variable dentre,

nous choisissons llment le plus

petit de la dernire ligne du tableaumin {8, 6, 0, 0, 0} = 8.

x est donc la variable dentre

{ }1mins jj nc c =


20/75

u = 30 5x 3y

p = 24 2x 3y

h = 18 1x 3y

z = 0 8x 6y

tape 2: critre de sortie variable dentre

Pour identifier la variable de sortie

dterminons le min des quotients des

termes de droite diviss par leslments correspondants dans la

colonne de la variable dentre

qui sont positifs:

>== 0:min1 isis

i

mirs

r

s aa

b

a

b

x


21/75

u = 30 5x 3y

p = 24 2x 3y

h = 18 1x 3y

z = 0 8x 6y

tape 2: critre de sortie variable dentre

min {30/5, 24/2, 18} = 30/5 = 6

La variable correspondante u

devient la variable de sortie

>==

0:min1 isis

i

mirs

r

s aa

b

a

b

x


22/75

u = 30 5x 3y

p = 24 2x 3y

h = 18 1x 3y

z = 0 8x 6y

Variable de sortie variable dentre

tape 3 : Pivot

Transformation du systme ou

du tableau


23/75

variable de sortie

variable dentre

Ceci est quivalent (5x + 3y + u =30) / 5 =>x + 3/5y + 1/5u = 6

En terme du tableau, ceci est quivalent diviser la ligne de la variable de

sortie par le coefficient de la variable dentre dans cette ligne


24/75

Divisons cette ligne par 5

variable de sortie

variable dentre

Ceci est quivalent (5x + 3y + u =30) / 5 =>x + 3/5y + 1/5u = 6

En terme du tableau, ceci est quivalent diviser la ligne de la variable de

sortie par le coefficient de la variable dentre dans cette ligne


25/75


variable de sortie

variable dentre

Le tableau qui en rsulte est le suivant

3/ 5 1/ 5 6x y u+ + =


26/75


variable de sortie

variable dentre

Le tableau qui en rsulte est le suivant

3/ 5 1/ 5 6x y u+ + =


27/75

Ceci est quivalent : p = 24 2(6 1/5u 3/5y) +2x 2x 3y 2x + 3y +p 2 (x +3/5y + 1/5u) = 24 2(6) 2x + 3y +p = 24

2 (x +3/5y + 1/5u = 6)0x + 9/5y 2/5u + p = 12

deuxime lignemoins2(la premire ligne)


28/75

Le tableau devient


0 9 / 5 2 / 5 12x y u p+ + =


29/75

Le tableau devient


0 9 / 5 2 / 5 12x y u p+ + =


30/75

En rptant le processus pour les autres lignes du tableau


31/75

Mthode du simplexe notation matricielle


32/75


Le problme de programmation linaire sous la forme standard

min

Sujet

peut aussi scrire

1 1 2 2 ... n nz c x c x c x= + + +

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

=+++

=+++

=+++

...

....

....

...

...

2211

22222121

11212111

0...,,, 21 nxxx

Tmin

Sujet

0

, ,

matrice

n m

z c x

Ax b

x

c x R b R

A m n

=

=


33/75

[ ]T

5 3 1 0 0

2 3 0 1 0

1 3 0

Problme du restaurat

0 1

8, 6,0,0,0

30

24

1

eur

8

:

x y u p h

A

c

b

=

=

=

min 8 6

Sujaet 5 3 30

2 3 24

1 3 18

, , , , 0

z x y

x y u

x y p

x y h

x y u p h

=

+ + =

+ + =

+ + =

T

5 3

min

Sujet

0

, ,

matrice 3 5

z c x

x b

x

c x R b R

A

=

=


34/75


min z

Sujet

0...,,, 21

nxxx

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxabxaxaxa

=+++

=+++

=+++

...

....

....

......

2211

2222212111212111

0...2211 =+++ zxcxcxc nn

T

min

Sujet

00

, ,

matrice

n m

z

x b

c x zx

c x R b R

A m n

=

=


35/75


Considrons le problme de programmation linaire sous sa formematricielle

Supposons que m n et que la matriceA est de plein rang (i.e., rang(A) =

m, ou que les lignes deA sont linairement indpendantes ) Une sous matriceB deA est une base deA si elle est mxm et non singulire(i.e,B-1 existe)

T

minSujet

0

0

z

Ax b

c x z

x

=

=


36/75


Une sous matriceB deA est une base deA si elle est mxm et non singulire(i.e,B-1 existe)

Pour faciliter la prsentation, supposons que la baseB que nousconsidrons est compose des m premires colonnes deA, et ainsi

Dnotons galement

Le problme original peut scrire

[ ]RBA =

=

R

B

x

xx

=

R

B

c

cc


37/75

T

minSujet

0

0

zAx b

c x z

x

=

=

[ ]

T T

min

Sujet

00

B

R

B

B RR

z

xB R bx

x

c c zx

x

=

=


38/75

[ ]

T T

min

Sujet

0

0

B

R

B

B R R

z

xB R bx

xc c z

x

x

=

=

T T

minSujet

0

, 0

B R

B B R R

B R

zBx Rx b

c x c x z

x x

+ =

+ =


39/75

ExprimonsxB en fonction dexR en utilisant les contraintes du problme

Ainsi

bRxBx RB =+

bBRxBxB RB11 )( =+

bBRxBBxB RB111

=+

bBRxBIx RB11

=+

bBRxBIx RB11

+=


40/75

En remplaantxB par sa valeur

en fonction dexR dans lquation

de la fonction conomique

T T

minSujet

0

, 0

B R

B B R R

B R

zBx Rx b

c x c x z

x x

+ =

+ =

1 1

T 1 1 T

min

Sujet

( ) 0

, 0

B R

B R R R

B R

z

Ix B Rx B b

c B Rx B b c x z

x x

+ =

+ + =

Notons que ces deux problmes sontquivalents car le deuxime est obtenudu premier laide doprations

lmentaires utilisant une matricenon singulireB-1


41/75

En regroupant les coefficients dexR

1 1

T 1 1 T

min

Sujet

( ) 0

, 0

B R

B R R R

B R

z

Ix B Rx B b

c B Rx B b c x z

x x

+ =

+ + =

1 1

T T 1 T 1

min

Sujet

0 ( )

, 0

B R

B R B R B

B R

z

Ix B Rx B b

x c c B R x z c B b

x x

+ =

+ =


42/75

Le problme se traduit dans le tableau suivant

0,

)(0

min

11

11

=+

=+

RB

TBR

TB

TRB

RB

xx

bBczxRBccx

bBRxBIxSujet

z


43/75


44/75

Les variables dexB (dnotesjusquici variables dpendantes)

qui sont associes aux colonnesde la baseB, sont dnotesvariables de base

Les variables dexR (dnotesjusquici variables

indpendantes) sont dnotesvariables hors base


45/75

Pour obtenir la solution de base associe la baseB,

posons xR = 0et alors xB =B-1b.

La solution de base est ralisable sixB 0


46/75

Puisque tout tableau du simplexe est associ une base deA constituedes colonnes associes aux variables de base (variables dpendantes),il sensuit que dans lalgorithme du simplexe, nous passons dunesolution de base ralisable une nouvelle solution de base ralisableayant une valeur plus petite ou gale.


47/75

Notion de multiplicateurs du simplexe

Considrons la dernire ligne du tableau du simplexe associ la baseBqui correspond aux vecteurs des cots relatifs des variables:

TBc

TRc

T T T T T 10B B B B Bc c c c c B B

= = =

T T T 1R R Bc c c B R

=

[ ]T T T T T 1 T 1, , T TB R B R B B

c c c c c c B B R c c B A

= = =


48/75


Dnotons le vecteur dfini par

Alors

Ou

o dnote lajime colonne de lamatrice de contrainteA

mR

T T 1Bc B

=

T T Tc c A=

Tj j jc c a =

ja

est le vecteur des multiplicateursdu simplexe associ la baseB.

T T T 1Bc c c B A

=

[ ] [ ] [ ]T1 1 1, , , , , ,n n nc c c c a a= i i


49/75


Le vecteur des multiplicateurs du simplexe permet de calculer

les cots relatifs directement partir des donnes originales duproblme.

Les composantes i (i=1,2,,m) du vecteur des multiplicateurs peuvent treconsidrs comme des poids associs aux lignes i du tableau (ou auxcontraintes i du problme) tel que la soustraction dune combinaison

linaire des lignes avec ces poids de la dernire ligne du tableau permetdannuler les cots relatifs des variables de base.

Tj j jc c a =

jc


50/75

Sensitivit de la valeur optimale aux

modifications des termes de droite Les multiplicateurs du simplexe associs une base optimale permettent de

mesurer leffet de modifier les termes de droite sur la valeur optimale dun

problme. Considrons le problme original et un autre o les termes de droite sont

modifis

T

minSujet

00

z

Ax b

c x z

x

=

=

T

minSujet

00

z

Ax b b

c x z

x

= +

=


51/75


modifications des termes de droite

Dnotons parB* une base optimale du problme original, et la solution debase optimale correspondante

dont la valeur (optimale pour le problme) est donne par

T

minSujet

00

z

x b

c x z

x

=

=

T

minSujet

00

z

Ax b b

c x z

x

= +

=

*

* * 1*

0

0R

B

x

x B b b=

= =

* T * T * T * 1 T* * * *R R

B B B Bz c x c x c B b c b

= + = =


52/75



Choisissons la valeur de de telle sorte que

DoncB* demeure une base ralisable pour le nouveau problme modifi

puisque la solution de base associe est

T

minSujet

00

z

Ax b

c x zx

=

=

T

minSujet

00

z

Ax b b

c x z

x

= +

=

b

0)( 1*1*1* +=+ bBbBbbB

0)(~0~

1**

*

* +=

=

bbBx

x

B

R


53/75



DoncB* demeure une base ralisable pour le nouveau problme modifipuisque la solution de base associe est

De plus, puisque ni les cots cj ni la matriceA nont t modifis, alors levecteur des multiplicateur * reste inchang. Par consquent les cotsrelatifs demeurent inchangs et donc non ngatifs pour le nouveauproblme.

DoncB* demeure donc une base optimale pour le nouveau problme.

0)(~0~

1**

*

* +=

=

bbBx

x

B

R

jc

*T T * 1*

Bc B

=

*T T *Tc c A=

S i i i i

jc


54/75



Une solution optimale pour le nouveau problme est donc:

valuons la valeur optimale du nouveau problme:

0)(~0

~

1**

*

* +=

=

bbBx

x

B

R

* T * T ** *

T * 1*

T * 1 T * 1* *

* *T

* *

1

( )R R

B B

B

B B

m

i i

i

z c x c x

c B b b

c B b c B b

z b

z b

=

= +

= +

= +

= +

= +

*T T * 1*

Bc B

=

* T * 1*

Bz c B b

=

S iti it d l l ti l


55/75



valuons la valeur optimale du nouveau problme:.

Ainsi, indique la taux de variationunitaire de la valeur optimale de lafonction conomique lorsque le termede droite bi de la contrainte i est modifidune quantit choisie de tellesorte que la base demeure ralisablepour le nouveau problme.

*i

ib

* T * T ** *

T * 1*

T * 1 T * 1* *

* *T

* *

1

( )R R

B B

B

B B

m

i i

i

z c x c x

c B b b

c B b c B b

z b

z b

=

= +

= +

= +

= +

= +


56/75

Problme du restaurateur transform en min

Transformons les contraintes dingalit du problme du restaurateur engalit avec les variables dcart u, p et h:

min z = 8x 6y min z = 8x 6y

Sujet Sujet

5x + 3y 30 5x + 3y + u =30

2x + 3y 24 2x + 3y + p =24

1x + 3y 18 1x + 3y + h = 18

x,y 0 x,y, u,p, h 0

*T T * 1*

Bc B

=

1 1

x y u p h z


57/75

B1 11 0 0 0 3

4 41 3

0 0 1 0 34 41 5

0 1 0 0 312 123 1

0 0 0 1 542 2

x

p

y

z

[ ]*T

1 104 41 3 3 1

8 0 6 1 04 4 2 21 5

012 12

= =

* * *

1

2 1 2 3

3

3 1 3 154 0 54 0

2 2 2 2

Tz z b

b

b b b b

b

= +

= + = +

* *1 1

30 0

2b b z z < > >


58/75

Mthode de rsolution graphique

Mthodes pour problme ne comportant que deux variables

Revenons au problme du restaurateur aprs lavoirtransformer en un problme de min:

min z = 8x 6y

Sujet 5x + 3y 30

2x + 3y 24

1x + 3y 18x,y0


59/75

Domaine ralisable

Traons la droite

5x + 3y = 30

Lensemble des points quisatisfont la contrainte

5x + 3y 30

sont sous cette droite car lorigine

satisfait cette relation


60/75

Domaine ralisable

Traons la droite

2x + 3y = 24


2x + 3y 24

sont sous cette droite car loriginesatisfait cette relation


61/75

Domaine ralisable

Traons la droite

1x + 3y = 18


1x + 3y 18

sont sous cette droite car loriginesatisfait cette relation


62/75

Domaine ralisable

Lensemble des points ralisablespour le systme

5x + 3y 302x + 3y 24

1x + 3y 18

x,y0

R l i


63/75

Rsolution

Considrons la fonctionconomique :

z = 8x 6y. Plus on sloigne de lorigine,

plus la valeur diminue:

x = 0 ety = 0 =>z = 0

8

6 68

droites de pente

6

zy x=

R l ti


64/75

Rsolution




x = 0 ety = 0 =>z = 0

x = 0 ety = 6 =>z = 36

8 030 61

x

x

y

y x =

= =+ =

3 18x y+ =

R l ti


65/75

Rsolution




x = 0 ety = 0 =>z = 0

x = 0 ety = 6 =>z = 36x = 6 ety = 0 =>z = 48

0 65 30 03

y

x

y

x y =

= =+ =

5 3 30x y+ =

R l ti


66/75

Rsolution




x = 0 ety = 0 =>z = 0

x = 0 ety = 6 =>z = 36x = 6 ety = 0 =>z = 48

x = 3 ety = 5 =>z = 54.

Impossible daller plus loin sans

sortir du domaine ralisable.

Solution optimale:

x = 3 ety = 5Valeur optimale:z = 54

3 3

3 3

3

18 5

5 3 30

1

18

4 2

xx y

xy

y yx

x

= =

+ =

+ = =

+

=

=

5 3 30x y+ =

3 18x y+ =

*T T * 1*

Bc B

=

1 11 0 0 0 3

x y u p h z


67/75

1 0 0 0 3

4 41 30 0 1 0 3

4 41 5

0 1 0 0 312 123 1

0 0 0 1 542 2

x

p

y

z

[ ]*T

1 104 41 3 3 1

8 0 6 1 04 4 2 21 5

012 12

= =

* * *

1

2 1 2 3

3

3 1 3 154 0 54 0

2 2 2 2

Tz z b

b

b b b b

b

= +

= + = +

* *1 1

30 0

2b b z z < > >

Domaine ralisable


68/75

Domaine ralisable

Lensemble des points ralisablespour le systme

5x + 3y 302x + 3y 24

1x + 3y 18

x,y0

Rsolution graphique


69/75

Rsolution graphique


z = 8x 6y. La solution optimale:

x = 3 ety = 5 =>z = 54.

Vecteur des multiplicateurs

optimaux:T = [ 3/2, 0, 1/2]

Si b1 = 30 devient b1+b1 avec

b1


70/75

4 41 3

0 0 1 0 34 41 5

0 1 0 0 3

12 123 10 0 0 1 54

2 2

p

y

z

[ ]*T

1 104 41 3 3 1

8 0 6 1 04 4 2 21 5

012 12

= =

* * *

1

2 1 2 3

3

3 1 3 154 0 54 0

2 2 2 2

Tz z b

b

b b b b

b

= +

= + = +

* *1 1

30 0

2b b z z > <


71/75

Rsolution graphique



x = 3 ety = 5 =>z = 54.


optimaux:T = [ 3/2, 0, 1/2]


b1>0domaine ralisable augmente

5x + 3y 30

2x + 3y 24

1x + 3y

18

*T T * 1*

Bc B

=

1 11 0 0 0 3

x y u p h z

x


72/75

1 0 0 0 3

4 41 30 0 1 0 3

4 41 5

0 1 0 0 312 123 1

0 0 0 1 542 2

x

p

y

z

[ ]*T

1 104 41 3 3 1

8 0 6 1 04 4 2 21 5

012 12

= =

* * *

1

2 1 2 3

3

3 1 3 154 0 54 0

2 2 2 2

Tz z b

b

b b b b

b

= +

= + = +

* *3 3

10 0

2b b z z < > >

Rsolution graphique


73/75

Rsolution graphique



x = 3 ety = 5 =>z = 54.


optimaux:T = [ 3/2, 0, 1/2]


b3


74/75

4 41 30 0 1 0 3

4 41 5

0 1 0 0 312 123 1

0 0 0 1 542 2

x

p

y

z

[ ]*T

1 104 41 3 3 1

8 0 6 1 04 4 2 21 5

012 12

= =

* * *

1

2 1 2 3

3

3 1 3 154 0 54 0

2 2 2 2

Tz z b

b

b b b b

b

= +

= + = +

* *2 20 0 0b b z z < = =

Rsolution graphique


75/75

so u o g ap que



x = 3 ety = 5 =>z = 54.


optimaux:T = [ 3/2, 0, 1/2]


b2

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