RévisionsRévisionsLogique combinatoireLogique combinatoire

Tuesday, April 11, 2023Tuesday, April 11, 2023

Fonctions logique de baseFonctions logique de base

Fonction ETFonction ET &e1

e2

Se1 e2

S

0

0

0

0

1

11

1• Pour que la sortie soit à 0 :Il suffit qu’une entrée soit à 0

• Pour que la sortie soit à 1 :Il faut que e1 ET e2 soient à 1

• La fonction réagit au niveau 01

0

0

0

S = e1 . e2

Fonctions logique de baseFonctions logique de base

Fonction NON-ET (NAND)Fonction NON-ET (NAND) &e1

e2

Se1 e2

S

0

0

0

0

1

11

1• Pour que la sortie soit à 1 :Il suffit qu’une entrée soit à 0

• Pour que la sortie soit à 0 :Il faut que e1 ET e2 soient à 1

• La fonction réagit au niveau 00

1

1

1

S = e1 . e2

Fonctions logique de baseFonctions logique de base

Fonction OUFonction OU >1

e1

e2

Se1 e2

S

0

0

0

0

1

11

1• Pour que la sortie soit à 0 :

Il suffit qu’une entrée e1 OU e2 soit à 1

• Pour que la sortie soit à 1 :

Il faut que toutes les entréessoient à 0

• La fonction réagit au niveau 1

1

1

1

0

S = e1 + e2

Fonctions logique de baseFonctions logique de base

Fonction NON-OU (NOR)Fonction NON-OU (NOR) >1

e1

e2

Se1 e2

S

0

0

0

0

1

11

1• Pour que la sortie soit à 1 :

Il suffit qu’une entrée e1 OU e2 soit à 1

• Pour que la sortie soit à 0 :

Il faut que toutes les entréessoient à 0

• La fonction réagit au niveau 1

0

0

0

1

S = e1 + e2

Fonctions logique de baseFonctions logique de base

Fonction OU ExclusifFonction OU Exclusif =1

e1

e2

Se1 e2

S

0

0

0

0

1

11

1• Pour que la sortie soit à 0 :

Il faut que e1 OU e2 soit à 1Mais pas les 2

• Pour que la sortie soit à 1 :

Il faut que les entréessoient au même niveau logique

1

1

0

S = e1 + e2

0

S = a.b + a.b

Fonctions logique de baseFonctions logique de base

Fonction NOR ExclusifFonction NOR Exclusif =1

e1

e2

Se1 e2

S

0

0

0

0

1

11

1• Pour que la sortie soit à 1 :

Il faut que e1 OU e2 soit à 1Mais pas les 2

• Pour que la sortie soit à 0 :

Il faut que les entréessoient au même niveau logique

0

0

1

S = e1 + e2

1

S = a.b + a.b

Algèbre logiqueAlgèbre logique

Boole, GeorgeBoole, George (1815-1864), (1815-1864), mathématicien et logicien anglais.mathématicien et logicien anglais.

Il décrit un système algébrique qui sera plus Il décrit un système algébrique qui sera plus tard connu sous le nom d’algèbre tard connu sous le nom d’algèbre booléenne. Dans ce système, les booléenne. Dans ce système, les propositions logiques sont indiquées par des propositions logiques sont indiquées par des symboles et peuvent être exécutées par des symboles et peuvent être exécutées par des opérateurs mathématiques abstraits qui opérateurs mathématiques abstraits qui correspondent aux lois de la logique. correspondent aux lois de la logique.

Algèbre logiqueAlgèbre logique

Relations particulièresRelations particulières

a . b = b . a

a + b = b + a

a + ( b + c ) = ( a + b ) + c = b + ( a + c )

a ( b + c ) = a . b + a . c

a . 0 = 0

a . a = a

a . 1 = a

a . a = 0

a + 0 = a

a + a = a

a + 1 = 1

a + a = 1

Algèbre logiqueAlgèbre logique

Théorème de de MorganThéorème de de Morgan

a . b = a + b

a + b = a . b

Application principale : Transformation d’une somme en produit et inversement

Algèbre logiqueAlgèbre logique

Exemple d’application : Exemple d’application : Recherche d’équation

&

a

b >1c & S

b.ca + b.c

= c.(a + b.c)

Simplification : S = a.c + b.c.c

S = a.c + b.c

S = c (a + b) S = c (a + b)

Algèbre logiqueAlgèbre logique

Exemple d’application : Exemple d’application : création d’un logigramme

Equation logique de départ :S = ( a + b.c ).d

&a + b.c

dS>1b.c

a

&c

b

a

d

Règle de construction : Toujours partir de la sortie, rechercherl’opérateur logique qui sépare l’équation

Algèbre logiqueAlgèbre logique

Tableau de Karnaugh : Tableau de Karnaugh : dd cc bb aa SS

00 00 00 00 00

00 00 00 11 00

00 00 11 00 11

00 00 11 11 11

00 11 00 00 00

00 11 00 11 11

00 11 11 00 11

00 11 11 11 00

11 00 00 00 11

11 00 00 11 11

Etude d’un exemple :définition d’une équation àpartir d’une table de vérité

Algèbre logiqueAlgèbre logique

Tableau de Karnaugh : Tableau de Karnaugh :

1 – Construire le tableau

dd cc bb aa SS

00 00 00 00 00

00 00 00 11 00

00 00 11 00 11

00 00 11 11 11

00 11 00 00 00

00 11 00 11 11

00 11 11 00 11

00 11 11 11 00

11 00 00 00 11

11 00 00 11 11

0000 0101 1111 1010

0000

0101

1111

1010

d.c

b.a

11

1 1

1 1

0 0

0 0

Algèbre logiqueAlgèbre logique

Tableau de Karnaugh : Tableau de Karnaugh :

2 – Compléter le tableau

dd cc bb aa SS

00 00 00 00 00

00 00 00 11 00

00 00 11 00 11

00 00 11 11 11

00 11 00 00 00

00 11 00 11 11

00 11 11 00 11

00 11 11 11 00

11 00 00 00 11

11 00 00 11 11

0000 0101 1111 1010

0000

0101

1111

1010

d.c

b.a

Ajouter des 1 ou 0 afin de pouvoir réaliser des regroupements maximums

1

1

1 1 1

1

11

1 1

1 1

0 0

0 0

Algèbre logiqueAlgèbre logique

Tableau de Karnaugh : Tableau de Karnaugh :

3 – Regrouper les cases (groupe de 2n)

dd cc bb aa SS

00 00 00 00 00

00 00 00 11 00

00 00 11 00 11

00 00 11 11 11

00 11 00 00 00

00 11 00 11 11

00 11 11 00 11

00 11 11 11 00

11 00 00 00 11

11 00 00 11 11

0000 0101 1111 1010

0000

0101

1111

1010

d.c

b.a

1

1

1 1 1

1

11

1 1

1 1

0 0

0 0

Algèbre logiqueAlgèbre logique

Tableau de Karnaugh : Tableau de Karnaugh :

4 – Etablir l’équation finale

dd cc bb aa SS

00 00 00 00 00

00 00 00 11 00

00 00 11 00 11

00 00 11 11 11

00 11 00 00 00

00 11 00 11 11

00 11 11 00 11

00 11 11 11 00

11 00 00 00 11

11 00 00 11 11

0000 0101 1111 1010

0000

0101

1111

1010

d.c

b.a

S = c.b+ d+ a.b+ a.b.c Recommencer

1

1

1 1 1

1

11

1

11 1

0 0

0 0

Algèbre logiqueAlgèbre logique

Tableau de Karnaugh : Tableau de Karnaugh : Etude d’un exemple :définition d’une équation à partir d’une équation logique

1 – Construire le tableau

0000 0101 1111 1010

0000

0101

1111

1010

a.b

c.d

S = a.b.c + a.b.c + a.b.c + a.b.d

1 1

11 1 1

Algèbre logiqueAlgèbre logique

Tableau de Karnaugh : Tableau de Karnaugh :

2 - Regrouper

0000 0101 1111 1010

0000

0101

1111

1010

a.b

c.d

S = a.b.c + a.b.c + a.b.c + a.b.d

1 1

11 1 1

Algèbre logiqueAlgèbre logique

Tableau de Karnaugh : Tableau de Karnaugh :

3 – Définir l’équation finale

0000 0101 1111 1010

0000

0101

1111

1010

a.b

c.d

S = a.b.c + a.b.c + a.b.c + a.b.d

1 1

11 1 1 S = a.b+ a.c S = a.(b + c)

Recommencer