REVISTA INGENIERIA UC. Vol. 10, N 1, 57-66, 2003 ...servicio.bc.uc.edu.ve/ingenieria/revista/v10n1/10-1-8.pdf · Los sistemas neumáticos son muy utilizados en ... Sistema de control

Modelación del sistema clásico de viga y esfera utilizando accionamiento neumático

María A. Terán T., Onexi L. Mendoza M., José Gregorio Díaz P., Francisco J. Arteaga B.

Unidad de Investigación en Automatización Industrial, Escuela de Ingeniería Eléctrica, Facultad de Ingeniería, Universidad de Carabobo, Valencia, Venezuela

E-mail: [email protected], [email protected], [email protected]

Resumen

Esta investigación presenta el modelo matemático dinámico del sistema clásico de viga y esfera utilizando actuador neumático. Los sistemas neumáticos son muy utilizados en automatizaciones y mecanizaciones industriales, y especialmente en robótica. En este trabajo se desarrollan modelos para la planta, para el cilindro neumático de doble efecto y para la válvula proporcional. Estos modelos son obtenidos a partir de las ecuaciones de Lagrange, nociones de mecanismos, ley del gas ideal, ecuación de energía para un sistema abierto, ecuación de continuidad para el flujo másico, y de ecuación de la tobera. Para desarrollar las ecuaciones se toman en cuenta los efectos no-lineales producidos por la dinámica del flujo de aire comprimido y la fricción existente entre el pistón y las paredes del cilindro. El modelo basado en accionamiento neumático obtenido en este trabajo es matemáticamente más complejo y de mayor aplicabilidad industrial que el modelo tradicional basado en accionamiento eléctrico.

Palabras claves: Sistema viga y esfera, cilindro neumático de doble efecto, válvula proporcional, modelo matemático dinámico.

Modelling of the classic system of beam and sphere

using pneumatic actuator

Abstract This research presents the mathematical model of the classic system of beam and sphere using pneumatic

actuator. The pneumatic system are of great use in automations and industrial mechanizations, especially in robotics. In this work models are developed for the plant, for the pneumatic cylinder of double effect and for the proportional valve. These models are obtained from Lagrange equations, notions of mechanisms, law of the ideal gas, energy equation for an open system, equation of continuity for the mass flow rate, and from the equation of the nozzle. The non linear effects produced by the compressed air flow dynamics and the friction between the piston and the cylinder walls are considered to develop the model equations. The model based on pneumatic actuator obtained in this work is mathematically more complex and of greater industrial applicability than the traditional model based on electric actuator.

Key words: Beam and sphere system, pneumatic cylinder of double effect, proportional valve, dynamic mathematical model.

1. INTRODUCCION

Durante muchos años se ha utilizado el sistema de viga y esfera para estudiar en laboratorio la inestabili-dad de algunos sistemas, con los cuales es peligroso experimentar en situaciones reales [1]. Este sistema es un servomecanismo simple, seguro y tiene los rasgos dinámicos importantes de un sistema inestable.

La modelación dinámica del sistema de viga y esfera se ha realizado tradicionalmente con accionamiento eléctrico, debido a que las expresiones matemáticas, su simulación y control son más fáciles de obtener, razón por la que se presenta la inquietud de mo-delar dicho sistema pero con accionamiento neu-mático, sumado a esto el hecho que los sistemas de posicionamiento neumático son convenientes en

Rev. INGENIERIA UC. Vol. 10, No 1, Abril 2003 57

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en aplicaciones industriales y en robótica.

La modelación de los sistemas neumáticos ha sido tema de numerosos trabajos durante los últimos quince años. Los diversos modelos propuestos han tomado en consideración el comportamiento lineal de algunos de los elementos que intervienen en estos sistemas para simplificarlos y hacer más fácil su com-prensión, modelación y posterior simulación [2-5]. En esta investigación se estudia el sistema viga y esfe-ra con accionamiento neumático, tomando en cuenta sus características indeseables, como lo son las altas no-linealidades existentes (la dinámica del aire com-primido y la fricción en el cilindro).

2. SISTEMA VIGA Y ESFERA CON ACCIONAMIENTO ELECTRICO

El problema de control de viga y esfera ha sido

previamente desarrollado usando accionamiento eléc-trico por investigadores de la Universidad de Michi-gan [6].

Planteamiento del Problema: una esfera rueda con un grado de libertad a lo largo de una viga, ver Figura 1. Un extremo de la viga está fijo, mientras que el otro se encuentra fijo a un brazo de palanca, el cual es movido por un servo-engranaje (accionado eléctri-camente). Cuando el servo-engranaje gira un ángulo

δ, el brazo de palanca cambia la posición de la viga en un ángulo θ. De manera que la posición vertical de la viga cambia, originando que la esfera se mueva a lo largo de la viga por acción de la gravedad. La variable controlada es r y mientras que la variable manipulada δ. Se asume que la esfera rueda sin deslizar y se des-precia el rozamiento entre la esfera y la viga.

Modelo matemático del sistema: tomando en cuenta la ecuación de Lagrange [7], para el movi-miento de la esfera y linealizando para el ángulo θ, se obtiene la aproximación lineal:

La ecuación que relaciona δ y θ puede ser aproxi-

mada a una expresión lineal, como: Las ecuaciones (1) y (2) representan el modelo

matemático del sistema viga y esfera usando un ac-cionamiento rotatorio, tal como un motor eléctri-co (no se han incluido las ecuaciones propias del mo-tor eléctrico ni de su accionamiento). Este modelo matemático no considera aspectos dinámicos como la

Figura 1. Sistema de control de viga y esfera con accionamiento eléctrico.

θmgresfmRJ −=+

2

δθLd=

Modelación del Sistema Clásico de Viga y Esfera

58 Rev. INGENIERIA UC. Vol. 10, No 1, Abril 2003

(1)

(2)



la perturbación del torque en los motores eléctricos, la fricción y los efectos elásticos causados por el nivel de carga útil, entre otros. Sin embargo, aun tomándo-los en cuenta, el modelo de este sistema todavía sería mucho menos complejo que el modelo del sistema con actuador neumático.

3. SISTEMA VIGA Y ESFERA USANDO ACCIONAMIENTO NEUMATICO

Planteamiento del Problema: una esfera se coloca

sobre una viga, a un extremo de la misma se coloca un actuador, mientras el otro extremo se mantiene fijo, tal como se observa en la Figura 2. Cuando la viga cambia su posición en un ángulo θ, debido a la ac-ción del actuador, la esfera rueda sin deslizar y con dos grados de libertad a lo largo de dicha viga a causa de la gravedad, estabilizándose en una posición "r" diferente a la que tenía inicialmente.

Modelo matemático del sistema: el sistema viga y esfera con accionamiento neumático constituye un servomecanismo de posicionamiento neumático, cu-yos elementos son: la planta y el actuador (formado

por: el cilindro y la válvula). El modelo matemático de este sistema no es fácil de deducir, debido a que los instrumentos neumáticos, como es el caso del cilindro y la válvula, involucran desplazamiento de volúme-nes de aire comprimido, con variaciones en la presión a la que están sometidos. Esto implica retardos de transmisión y justifica el uso de modelos dinámicos.

4. MODELO MATEMÁTICO

DE LA PLANTA

El modelo matemático de la planta está constitui-do por dos elementos que representan: el sistema viga y esfera y el mecanismo deslizador-manivela.

4.1. Sistema Viga y Esfera

Posición de la esfera, r, con respecto a la posición

angular de la viga, θ: partiendo de la ecuación de la energía cinética de la partícula con la velocidad en coordenadas polares, como:

(3)

Aplicando Lagrange [6], con respecto a “r” y

manteniendo θ como variable independiente:

Sustituyendo la ecuación (3) en la anterior y desarrollando las derivadas respectivas:

Haciendo sumatoria de fuerzas en dirección de r y asumiendo que la esfera sube, ver Figura 3(a):

Sustituyendo la ecuación (5) en la ecuación (6),

resulta:


Figura 2. Sistema viga y esfera con accionamiento neumático.

[ ]222 )()(21 rrmE esfc && += θ

rcc F

rE

rE

dtd =

∂∂

−∂

∂

&

resfesf Frmrm =− 2)(θ&&&&

Terán, Mendoza, Díaz y Arteaga

(5)

(4)

(7)

senr esfreF f m g q= - -

( )2 senesf esf esfm r m r f m greq q- =- -&&&

(6)



Haciendo sumatoria de torque en la esfera, ver Fi-gura 3(b), queda la expresión:

(8)

Con las expresiones para α y el momento de iner-

cia con respecto al centro "C", son:

(9)

Sustituyendo las ecuaciones (9) y (10) en la ecua-

ción (6) y despejando fre, se obtiene:

(11)

Sustituyendo la ecuación (11) en la ecuación (7) y

simplificando, queda finalmente:

4.2. Mecanismo Deslizador - Manivela

Posición angular de la viga (θ) con respecto a la posición del pistón (yp): se analiza el desplazamiento del mecanismo deslizador - manivela que se observa en la Figura 4(a).

Dados los vectores de la Figura 4(b), en el plano complejo, y con el fin de hallar el desplazamiento "y", se escribe la ecuación vectorial correspondiente [8], y se obtiene:

Usando la identidad de Euler en la ecuación ante-

rior, resulta:

Separando la expresión anterior en parte real e

imaginaria, sustituyendo φ=90 y pasando todo lo que contenga β al lado derecho de la ecuación:

Elevando al cuadrado las expresiones anteriores,

sumándolas, relacionando el desplazamiento del punto B (y) con respecto a la posición del pistón (yp) y sim-plificando, tenemos que:

Fuerza de carga de la planta sobre el vástago del

cilindro (fl): tomando como referencia la posición del

αJRfre

=

Rr&&=α

252 RmJ esf=

rmf esfre&&

52=

Figura 3. (a) Diagrama de cuerpo libre de la esfera. (b) Sumatoria de Torque en la esfera.

( ) 0sen57 2

=−+ θθ &&& rgr

0=++ φβθ jjj yebeLe

0)sen(cos)sen(cos)sen(cos =+−+++ ββθθφφ jbjLjy

βθ

βθ

sensen

coscos

bLy

bL

=+

=

−−−−−=

)5.0(2)5.0(

sen222

1

p

p

yLyLb

θ



(10)

(13)

(14)

(15)

(16)

(12)



mecanismo deslizador-manivela de la Figura 4(a) y aplicando el método de fuerza equivalente [8], en la viga OA en el punto "A" de la viga, para luego apli-carlo en la manivela en el punto "B" y relacionando θ con respecto β, resulta: n

5. MODELO MATEMATICO DINAMICO DEL CILINDRO NEUMATICO DE DOBLE EFECTO

El cilindro de doble efecto posee la característica

particular de que dispone de dos tomas de presión, una a cada lado del émbolo, para producir un movi-miento rectilíneo, que consta de carrera de avance y carrera de retroceso, transformando la energía neumá-tica del aire comprimido en trabajo mecánico.

5.1. Cámaras del Cilindro

En esta sección se desarrolla un modelo matemáti-

co dinámico para cada cámara del cilindro, que vincu-la el cambio de presión con la tasa de flujo másico y la velocidad de traslación del pistón. En trabajos

previos [9-11], al

igual que en este trabajo, las ecuaciones se derivan bajo las siguientes consideraciones: 1. El aire comprimido es un gas perfecto. Debido a que las temperaturas que alcanza el aire comprimido en las cámaras del cilindro no son extremadamente bajas y las presiones no son muy elevadas. 2. La variación de presión de alimentación no es considerada. 3. La presión y la temperatura dentro de las cámaras son homogéneas. 4. La presión y la temperatura dentro de las cámaras son homogéneas. 5. El proceso se considera isotérmico, ya que la tem-peratura cambia muy poco y además se restaura en poco tiempo. 6. Las energías cinética y potencial son desprecia-das. 7. Los procesos de carga y descarga son adiabáticos. 8. No se consideran escapes de aire en las cámaras. El modelo más general para un volumen de gas [12] y [13], consta de tres ecuaciones: la ecuación de estado (Ley del gas ideal), la ecuación de la conservación de la masa (Ley de continuidad) y la ecuación de energía. Las ecuaciones son escritas para cada cámara, consi-derando los volúmenes de control V1 y V2 (ver Figura 5(a)). El análisis se hace para una cámara (la otra cá-mara tiene una expresión análoga). El flujo másico se define como en [14]:

( ) ( )[ ]

( )[ ] ( )[ ]θθ

θθθ

coscossencoscossen

coscossencos12

11

1

bL

bL

bL

Lr

gm

mmLF

ma

esfvi

−−

−

+

−−+=

Vmdtd ρ=&



Figura 4. (a) Mecanismo deslizador - manivela. (b) Vectores en el mecanismo deslizador- manivela.

(17)

(18)



La ecuación de continuidad para la tasa de flujo másico [14], es:

La ecuación de energía para un sistema abierto

[14], es: Con las siguientes expresiones:

Introduciendo las ecuaciones (21-24) en la ecua-

ción (20), queda: Por definición, como en [15]:

Introduciendo las ecuaciones (26-28) en la ecua-

ción (25) y despejando: Debido a que la transferencia de calor en el proce-

so de entrada y salida es diferente, se sustituye la rela-ción de calor especifico (k) por un coeficiente de ca-racterística térmica (α) [16], en el segundo término de la ecuación (29):

Si se escoge el origen del desplazamiento del pis-

tón a la mitad de la carrera del vástago, el volumen de cada cámara está dado por la siguiente ecuación:

VVkPmm

VRTkP salent

&&&& += − )(

VVPmm

VRTkP salent

&&&& α+−= )(

( )pcioii yLAVV ±+=21

Figura 5. (a) Volumen de control de las cámaras del cilindro. (b) Diagrama de cuerpo li-



VVmm salent&&&& ρρ +=− (19)

( )dtdEWhmhmQ salsalentent =−−+ &&&& (20)

UdtdE &=

TvkCh =

0=−= salent qqQ&

VPW && =

(Ec y la Ep son despreciadas) (21)

(Proceso isotérmico) (22)

(Proceso Adiabático) (23)

( Por definición) (24)

UVPTmTmvkC salent&&&& =−− )( (25)

RTP ρ= (ley del gas ideal) (26)

1−+=

KVPPVU&&& (Energía interna) (27)

( ) TkPCv ρ1−

= (Cv del gas ideal) (28)

(29)

(30)

(31)



Despejando en la ecuación (24) y sustituyen-do por queda:

Sustituyendo las ecuaciones (31) y (32) en la

ecuación (30) y además considerando que, para:

se obtienen las ecuaciones que describen el comporta-miento de las cámaras del cilindro:

5.2. Pistón del Cilindro

El comportamiento del pistón del cilindro puede ser modelado usando la segunda ley de Newton. En la Figura 5 (b) se muestra el diagrama de cuerpo libre para el pistón.

Sustituyendo la ecuación (36) en la ecuación (35) se obtiene la siguiente expresión:

La fuerza de fricción presenta un comportamiento impredecible, originado por diversos factores, como son: la condición de lubricación del aire, las condicio-nes de operación y principalmente de la velocidad. Sobre la fuerza de fricción, son muchos los investiga-dores que han realizado modelos dinámicos [17-18]. Con estos modelos dinámicos se ha desarrollado una descripción y representación más detallada y precisa del comportamiento de la fricción. Estos modelos van desde los más simples, pasando por otros más com-plejos como el Modelo de la fuerza de fricción de

Coulomb, el Modelo de fricción viscosa, hasta los más elaborados, como lo es el Modelo de LugGre, propuesto en [17], donde la fuerza de fricción, puede expresarse como:

El modelo de fuerza de fricción de Coulomb ha sido validado en [19-21], con la validación experi-mental de Kang [22]. Por consiguiente, éste es el mo-delo utilizado en este trabajo.

La fuerza de fricción de Coulomb (FC) y la fuerza de fricción viscosa (Fv) se expresan como:

Sustituyendo las ecuaciones (39) y (40) en la ecuación (38), se obtiene la siguiente expresión:

6. MODELO MATEMATICO DINAMICO DE LA VALVULA REGULADORA DE CAUDAL

Se utiliza una válvula de cinco vías y tres posicio-

nes (ver Figura 1). Dicha válvula es de funcionamien-to continuo, es decir detiene el vástago del cilindro neumático en posiciones diferentes a sus extremos (posicionamiento neumático).

Se desarrolla un modelo del flujo de aire que se desplaza a través de un orificio de área variable de una válvula proporcional en función de las presiones de las cámaras (Pu, Pd) y de la presión de alimentación (Ps) y sin tomar en cuenta los escapes de aire. Para este propósito se utiliza como ecuación básica la fór-mula de la tobera [23], la cual expresa el flujo másico ideal isentrópico (para un solo orificio) de la siguiente manera:

pfpvaL yMFyigngmFMgAPAP s &&& =−−−− − )(2211

VCfFFF +=

( ) dCpsCC FysignFSignF py )(12

&& +−=

(39)

pv yF &ϕ= (40)

( ) pdCpsCf yFysignFSignF py &&& ϕ++−=

)(1

2

(41)

)( /),,( 1 udTuefv PPkTRCPAm ψ=& (42)

[ ] 11

1 12

)1(2),,(

+

++=

k

kkRTkkTRC (43)

(C es una función constante)



pipi yA

P

yPA

PWV &

&&& ===

(32)

Proceso de carga è 0==

salient

mmm

&&&

y para el proceso de descarga è isal

entmm

m&&

&== 0

)(21

1

11

111

pCo

p

y

y

LAV

APmRTkP

++

−=

&&&

α

)(21

22

2222

pCo

p

y

y

LAV

APmRTkP

−+

−=

&&&

α

(33)

(34)

pfpLp yMFyignFMgAPAP s &&& =−−− − )(2211

gmFF vaLLp += (con FL, como la ecuación (17) (36)

(35)

(37)

(38)

V&

W&i pP A y&



Con respecto al área efectiva del orificio de la vál-vula, su modelación se hace con la ayuda de curvas obtenidas experimentalmente en el trabajo de Bashir [24], cuya expresión analítica es:

Para la función ψ, se identifican dos formas, cuali-tativamente iguales pero cuantitativamente diferentes, las cuales corresponden al proceso de carga (ψ C) y descarga (ψ d) respectivamente. Sus expresiones ana-líticas se derivan de curvas obtenidas experimental-mente [24] y son:

Durante el proceso de carga, la presión de alimen-

tación se considera presión aguas arriba y la presión en la cámara del cilindro es la presión aguas abajo; mientras que en el proceso de descarga, la presión en la cámara es la presión aguas arriba y la presión de la atmósfera es la presión aguas abajo.

7. CONCLUSIONES

El modelo matemático dinámico del sistema viga y esfera con accionamiento neumático esta formado por las ecuaciones (12), (16) y (17) (para la planta), las ecuaciones (33-34), (37) y (41) (para el cilindro) y las ecuaciones (44-48) (para la válvula). Comparando este modelo con el del modelo del sistema con accio-namiento eléctrico, se puede observar que es evidente

la mayor complejidad que presenta, puesto que esta formado por doce ecuaciones no-lineales, mientras el otro solo posee dos ecuaciones que pueden ser lineali-zada sin mayor dificultad.

La teoría desarrollada en esta investigación de-muestra que la clave para obtener un alto desempeño del sistema neumático es contar con un buen modelo matemático. En tal sentido, pueden aplicarse modifi-caciones al modelo presentado en este trabajo, reali-zando cambios a alguna o algunas de las consideracio-nes asumidas, y por consiguiente volver a escribir las ecuaciones que describen los elementos del sistema convirtiéndolo en un modelo más complejo o más sencillo.

Con las expresiones matemáticas de los elementos del sistema se observa que son altamente no-lineales, esto como consecuencia de la dinámica del aire com-primido (compresibilidad y expandibilidad) y a la fricción del cilindro.

Las principales desventajas de los sistemas de po-sicionamiento neumático son la dificultad de modelar, simular y controlar, debido, además de las no-linealidades, de los efectos variantes del tiempo y la dependencia de la posición.

Ahora se cuenta con un modelo matemático diná-mico del sistema de viga y esfera con accionamiento neumático; de manera tal que pueda ser simulado y controlado. Se recomienda simular ambos modelos y establecer comparaciones.

8. LISTA DE TÉRMINOS

J: momento de inercia para una esfera maciza R, mesf: radio y masa de la esfera. r, g : posición de la esfera y aceleración de gravedad, respectivamente. θ, L: ángulo de inclinación de la viga y longitud de la viga, respectivamente. δ : ángulo que forma un extremo del brazo de palanca con la horizontal. Ec: Energía cinética de la partícula.

Velocidad y aceleración de la esfera Velocidad y aceleración angular de la viga(OA) fre: fuerza de roce entre la esfera y la viga.

β: ángulo formado entre la manivela y la horizontal.

La ecuación 42 tiene dos expresiones, dependiendo del proceso que este realizando, ya sea de carga de aire del cilindro ( cm& ) o de descarga de aire al cilindro ( dm& ), y las expresiones son:

( ) [ ] )( /1

2)1(

21

1

udc

k

efc PPkkRT

kPAm u ψ+

++±=&

( ) [ ] )( /1

2)1(

21

1

udd

k

efd PPkkRT

kPAm u ψ+

++±=&

(47)

(48)



O

DC

o

smef A

uuuAA +−−=

1 (44)

γε

ψ

−=

u

dC P

P1

12

++−=

u

d

u

doD P

P

P

PAψ

Carga

Descarga

(45)

(46)

,r r& &&: ,q q a=& && :



y, b: desplazamiento del punto "B" y longitud de la manivela, respectivamente. FL: fuerza de carga en el punto B. mvi, mma: masa de la viga (OA) y de la manivela (AB).

: Flujo másico, densidad y volumen. : Flujo másico de entrada y de salida de la

cámara del cilindro. : derivada del volumen, de la densidad y del

calor. h, hent, hsal: Entalpía, entalpía de entrada y de salida de la cámara. E,W : Energía total en la cámara y tasa de cambio del trabajo realizado. k, Cv : Relación de calor especifico y calor específico a volumen constante T, P: Temperatura y presión. qent ,qsal: Calor que entra y calor que sale de la cámara.

: Cambio de la energía interna y constante del gas ideal

: derivada de la presión y coeficiente de carac-terística térmica. Vi, Voi: Volumen de la cámara i y volumen muerto de la cámara i. Ai, Lc:: Area efectiva de la cámara i y carrera máxima del vástago. i : Número de la cámara del cilindro (1,2). ∑Fy: sumatoria de todas las fuerzas aplicada al pistón en el eje y. M, yp , yp, ÿp, D: Masa, desplazamiento, velocidad, ace-leración y diámetro del pistón. Ff, FLp: Fuerza de Fricción y fuerza de carga sobre el pistón. mva ,dva: masa y diámetro del vástago. FC, FsC, FdC : Fuerza de fricción de Coulomb, estática de Coulomb y dinámica de Coulomb. Fv, ϕ: Fuerza de fricción viscosa y coeficiente de fric-ción viscosa. Pu , Pd: Presión absoluta aguas arriba del orificio y aguas abajo del orificio, respectivamente. Aef : Area efectiva del flujo del orificio.

Pcrit: Relación de presión crítica (Pcrit = 0.528 = b) k , ΨT: Constante isentrópica, función factor de flu-jo de aire. Tu : Temperatura absoluta aguas arriba. Am, C, D, ε, γ, Ao: Constantes. u : Voltaje de mando de la válvula proporcional. us : Voltajes de la válvula proporcional correspon-diente a Aef=0. uo: Voltajes de la zona muerta de la válvula propor-cional.

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, ,m Vr&

,ent salm m& &

, ,V Qr && &

,U R&

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