Rezistenta materialelor

Traian BOLFA

REPROGRAFIA UNIVERSITĂŢII “TRANSILVANIA” DIN BRAŞOV

- 1 -

Introducere

Cursul intitulat Rezistenţa materialelor, parte componentă a mecanicii corpului solid

deformabil, este una dintre disciplinele de baza în formarea viitorului inginer proiectant de

structuri. Studiile teoretice şi cercetările experimentale de rezistenţa materialelor, contribuie la

stabilirea formei constructive optime a produselor şi la garantarea siguranţei în exploatare.

Folosirea tehnicii moderne de calcul permite rezolvarea problemelor cu un mare volum

de calcule, într-un timp scurt şi precizie ridicată, dar pentru aceasta problemele de verificare,

dimensionare, sau calcul a sarcinilor capabile trebuiesc puse corect din punctul de vedere al

rezistenţei materialelor.

Îmbinarea informaţiei constructive sau fenomenologice cu partea de proiectare

concretă, diagrame, recomandări, programe de calcul, dar şi cu analize critice ale

posibilităţilor de sporire a fiabilităţii şi capacităţii portante a structurilor sporeşte utilitatea, dar

şi accesibilitatea cursului.

Cursul intitulat Rezistenţa materialelor, face o incursiune privitoare la proiectarea

structurilor care este indisolubil legată de cerinţele de rezistenţă, performantă, dar şi de

economicitate, aceste criterii aparent contradictorii găsindu-se într-o corelaţie firească.

Obiectivele cursului

Multe discipline de specialitate se bazează pe metodele de calcul ale cursului de

Rezistenţa materialelor, rezultând importanţa ce trebuie acordata însuşirii

cunoştintelor la aceasta disciplină.

Cursul intitulat Rezistenta materialelor, are ca obiectiv principal introducerea in

calcule a proprietatilor de deformabilitate si rezistenta ale corpurilor solide.Asadar

Rezistenta materialelor, studiaza comportarea corpurilor solide sub actiunea

fortelor si determina materialul si dimensiunile structurii astfel incat aceasta sa

reziste, la un consum de material minim, lucru care conduce la îmbogăţirea

cunoştinţelor din sfera disciplinelor cu caracter economic, ale studenţilor

Programului de studii Inginerie Economică Industrială, forma de învăţământ ID. În

acest sens, la sfârşitul acestui curs, studenţii vor fi capabili să:

opereze cu noţiuni precum economia de material, dupa care orice structura

proiectata trebuie realizata cu solutia cea mai economica posibila, in privinta

consumului de material si de manopera;

identifice solutiile referitoare la buna functionare, ceea ce se obtine daca

structura proiectata respecta conditiile de rezistenta, rigiditate si stabilitate, impuse.

Conditiile de rezistenta au in vedere valorile tensiunilor din structura solicitata,

conditiile de rigiditate se refera la valorile deformatiilor produse, iar conditiile de

stabilitate statica si dinamica, considera posibilitatea mentinerii formei de

echilibru pentru o anumita stare de incarcare.

- 2 -

Pe baza interpretarii rezultatelor experimentale, Rezistenta materialelor admite

ipoteze simplificatoare, stabilind relatii de calcul care exprima destul de fidel

marimea solicitarilor, gradul de rigiditate si de stabilitate al organelor de masini si

al elementelor de constructii aflate sub actiunea fortelor.

Cerinţe preliminare

Deducerea relatiilor de calcul ale Rezistentei materialelor, necesita utilizarea unor

cunostinte de matematica superioara. Pentru rezolvarea completa si corecta a

problemelor, calculul numeric are o importanta majora.

Resurse

Parcurgerea unităţilor de învăţare necesită utilizarea unui calculator având instalat

pachetul software SPSS for Windows pentru rezolvarea problemelor cu un mare

volum de calcule, intr-un timp scurt si cu o precizie dorita din punct de vedere

practic.

Structura cursului

Cursul de Rezistenta materialelor, este structurat în opt module, cuprinzand mai

multe unităţi de învăţare. La rândul său, fiecare unitate de învăţare cuprinde:

obiective, aspecte teoretice privind tematica unităţii de învăţare respective,

exemple, teste de autoevaluare precum şi probleme propuse spre discuţie şi

rezolvare.

Durata medie de studiu individual

Parcurgerea de către studenţi a unităţilor de învăţare ale cursului de Rezistenta

materialelor (atât aspectele teoretice cât şi rezolvarea testelor de autoevaluare şi

rezolvarea problemelor propuse) se poate face în 3-4 ore pentru fiecare unitate.

Evaluarea

La sfârşitul semestrului, fiecare student va primi o notă, care va

cuprinde:raspunsuri la un numar de intrebari teoretice din materia prezentată în

cadrul acestui material, ce va deţine o pondere de 40% în nota finală şi notele

aferente celor două probleme practice de rezolvat cu o pondere fiecare de 30%.

Spor la treaba !

Modulul 1. Noţiuni de baza in Rezistenta materialelor

- 3 -

Cuprins

U1.1 Obiectul si problemele Rezistentei materialelor........................ ......................... ...3

U1.2 Tensiuni, deformatii si deplasari................................................ ........................ ....7

U1.3 Ipoteze de baza ale Rezistentei materialelor............................. ............................1 0

Introducere

U1.1 Obiectul si problemele Rezistentei materialelor.

Pentru actualitate şi mai ales pentru perspectivă construcţia de maşini în mod direct

şi prin intervenţiile şi implicaţiile în toate sectoarele vieţii economice, are o importanţă

deosebită. Deci proiectarea raţională, cu o fiabilitate complexă cât mai ridicată, constituie o

preocupare centrală, nu numai pentru cei care învaţă să proiecteze, dar şi pentru toţi cei

care participă într-un fel sau altul la realizarea modernizărilor tehnice.

Rezistenţa materialelor este o disciplină de cultură tehnică generală, care face

trecerea dintre Mecanica teoretică şi Organe de maşini, propunându-şi să determine sau să

verifice pe bază de calcul, dimensiunile pieselor componente ale unui ansamblu pe baza a

două criterii aparent contradictorii; - economie de material; - siguranţă în funcţionare sub

acţiunea încărcării exterioare.

Uneori, în proiectare, se dovedeşte economică o subdimensionare a unor repere şi

chiar ansambluri finite, acest lucru însă trebuie corelat cu înlocuirea lor periodică, după un

anumit interval de timp, în acest caz realizându-se o construcţie cât mai uşoară (de exemplu

în aviaţie). Importantă pentru proiectare şi, în general, pentru practică a fost depăşirea

conceptului de siguranţă absolută în funcţionare, garantată firesc de un coeficient de

siguranţă supraunitar (uneori fără semnificaţie fizică adecvată).

Construcţiile mecanice cu durată infinită, aşa cum rezultă din vechea reprezentare a

coeficientului de siguranţă, de multe ori în domeniile de vârf (industria aerospaţială) nu mai

sunt de actualitate în principal datorită supradimensionării, cu consum exagerat de

materiale şi energie, cu uzură morală din ce în ce mai rapidă. Din acest motiv proiectarea

prin calcul a organelor de maşini, a maşinilor pe baze probabilistice capătă o argumentare

şi obligă la cercetări specifice pe un front larg. Calculul clasic se va corela cu noile cerinţe,

astfel încât să conducă treptat la introducerea unor metale care să evidenţieze garantarea

funcţionării fără defecte o durată cuprinsă în timp sau un număr de cicluri, cu o anumită

probabilitate.

Cele două probleme majore ale Rezistenţei materialelor sunt:

- stabilirea relaţiilor de calcul pentru determinarea dimensiunilor transversale

minime ale elementelor de rezistenţă care să le asigure satisfacerea condiţiei de rezistenţă.

- stabilirea relaţiilor de calcul ale deplasărilor elementelor de rezistenţă, produse de

forţele aplicate. Cu ajutorul relaţiilor deduse se verifică dacă dimensiunile stabilite din

prima condiţie, satisfac condiţia a doua, deci cea de rigiditate; în caz contrar dimensiunile

se vor determina cu relaţiile de calcul ale deplasărilor. Uneori pe lângă rezolvarea celor

două probleme, este necesară şi îndeplinirea condiţiei de stabilitate, deci determinarea

relaţiilor de calcul la stabilirea acelor elemente de rezistenţă la care forţele aplicate ar putea

- 4 -

provoca fenomenul de pierdere a stabilităţii formei iniţiale de echilibru.

Rezistenţa materialelor rezolvă, stabilind relaţii proprii tipurilor de solicitare, trei

categorii de probleme:

- probleme de dimensionare, stabilind dimensiunile optime ale pieselor proiectate;

- probleme de verificare, stabilind dacă piesele de diferite dimensiuni respectă sau nu,

sub acţiunea încărcării, condiţiile de rezistenţă, rigiditate şi stabilitate;

- probleme de calcul a sarcinii admisibile, cunoscându-se în acest caz materialul,

dimensiunile şi modul de solicitare.

Rezistenţa materialelor este o ştiinţă inginerească bazată pe experienţe şi încercări. În

cadrul ei se fac o serie de ipoteze simplificatoare, cu scopul reducerii volumului de calcule.

Astfel corpurile (piesele) studiate de rezistenţa materialelor se împart în trei categorii:

A. Elemente de rezistenţă care au dimensiunile transversale mici în raport cu

lungimea lor. Din această categorie fac parte:

- fibrele, cablurile, funiile şi benzile subţiri, acestea putând suporta numai forţe de

întindere, fiind flexibile.

- barele, care pot suporta atât forţe de întindere, cât şi forţe de compresiune, precum

şi forţe transversale.

Barele pot fi drepte sau curbe, purtând diferite denumiri în funcţie de solicitarea la care sunt

supuse: fire, tije, tiranţi care rezistă la tracţiune; stâlpi care rezistă la compresiune, grinzi

supuse la încovoiere, arbori care preiau răsucirea. (fig.1.1)

Fig. 1.1

B. Elemente de rezistenţă care au două dimensiuni mari în raport cu a treia

(grosimea) (fig.1.2). Din această categorie fac parte:

- membranele, care au grosime foarte mică, neglijabilă, putând suporta numai forţe de

întindere distribuite, tangente la suprafaţa mediană.

- plăcile, care au grosimea mică în com-paraţie cu suprafaţa me-diană, dar neneglijabilă

deci pot prelua atât forţe tangente la suprafaţa mediană, cât şi forţe normale pe aceasta. În

figura 1.2 se prezintă exemple de plăci ca, de exemplu, un rezervor

- 5 -

Fig. 1.2

umplut cu lichid de greutate specifică ν [N/m3].

C. Elemente de rezistenţă care au cele trei dimensiuni principale de acelaşi ordin de

mărime (fig.1.3). Din această categorie fac parte: fundaţia unei maşini, blocul motor, bilele

şi rolele rulmenţilor, tuburile cu pereţi groşi, etc.

Fig.1.3

Clasificarea anterioară, făcută pe criterii pur geome-trice, este valabilă în general şi

pentru determinarea gradului de complexitate al calculelor de rezistenţă. Astfel pentru

grupa A de care ne ocupăm în esenţă în acest volum, calculele sunt mai simple decât pentru

grupele B şi C, care fac obiectul volumului doi al acestui curs.

În cursul exploatării, elementele unei structuri de rezistenţă se află sub acţiunea unor

sarcini exterioare, care pot fi forţe sau cupluri de f orţe (momente).

Astfel, după mărimea suprafeţei pe care se aplică, sarcinile pot fi (fig.1.4):

sarcini concentrate;

sarcini repartizate, uniform sau cu intensitate variabilă în lungul barei, sau

pe o suprafaţă.

Fig. 1.4

În figura1.5,a este prezentată o forţă distribuită, a cărei intensitate este o funcţie

cunoscută p(x). Rezultanta forţei distribuite se calculează cu relaţia:

- 6 -

xxpR

x

x

2

1

(1.1)

iar poziţia rezultantei este dată de relaţia:

,

2

1

0R

xxpx

x

x

x

(1.2)

Intensitatea forţei distribuite are dimensiuni de forţă pe lungime, deci în sistemul de

unităţi SI, se măsoară în N/m. În prezentul curs forţele se vor indica în general în N, iar

lungimile în mm, aşa cum apar ele pe desenele tehnice.

În figura 1.5,b este prezentată o forţă distribuită pe un domeniu plan . Rezultanta

acestei forţe este:

,,

yxpR (1.3)

iar poziţia rezultantei este dată de relaţiile:

R

yxpy

yR

yxpx

x

,

;

,

00 (1.4)

În acest caz, intensitatea forţei distribuite (ex. presiunea unui fluid) se măsoară în SI

în 1N/m2 = 1Pa, sau 1N/mm2 = 106N/m2 = 106Pa = 1MPa.

Fig. 1.5

După modul de acţiune în timp, sarcinile pot fi:

- sarcini statice, care sunt constante în timp, după ce au crescut lent de la zero la

valoarea nominală (fig.1.6,a).

- sarcini dinamice, care se aplică cu viteză relativ mare; sarcinile dinamice pot fi:

- sarcini aplicate în mod brusc, prin şoc (fig.1.6,b);

- sarcini variabile, acestea putând fi la rândul lor:

- sarcini variabile periodic între o valoare minimă şi una maximă (fig.1.6,c), sau

- sarcini variabile aleatoare (fig.1.6,d).

Solicitările aleatoare sunt importante într-o serie de domenii ale tehnicii, fiind cele

- 7 -

mai dificil de modelat matematic apărând de exemplu la suspensiile automobilelor, aviaţie,

roboţi, etc.

O problemă importantă în cazul solicitărilor cu şoc o constituie deducerea variaţiei

forţei în timp.

În funcţie de cum se poate considera încărcarea, statică sau variabilă, se va face şi

calculul de rezistenţă. Solicitările statice sunt caracteristice construcţiilor, pe când

solicitările variabile se întâlnesc mai ales la organele de maşini.

Forţele exterioare se împart după natura lor în:

- forţe date sau active, denumite şi sarcini sau încărcări;

- forţe de legătură, denumite şi reacţiuni.

Rezistenţa materialelor, spre deosebire de Mecanica teoretică consideră corpul

deformabil, drept urmare forţele nu se mai pot considera ca nişte vectori alunecători, ci

trebuie considerate ca fiind vectori legaţi.

Fig. 1.

U1.2 Tensiuni, deformaţii şi deplasări

Încărcarea exterioară a corpurilor trebuie limitată, căci dacă aceasta depăşeşte

anumite valori, corpul solicitat se poate distruge fie prin rupere, fie pot apărea deformaţii

permanente foarte mari care îl fac impropriu scopului pentru care a fost construit. Stabilirea

funcţionării corecte este indisolubil legată de dimensiunile corpului, natura materialului

folosit şi mărimea încărcării exterioare.

Folosind metoda secţiunilor (imaginare), corpul solid în repaus, încărcat cu forţe

- 8 -

exterioare, aflat în echilibru (fig.1.7), se separă în cele două părţi I şi II. Pentru

echilibrarea forţelor exterioare situate pe una din cele două regiuni este necesar ca în

secţiunea A, să existe eforturi interioare, repartizate pe suprafaţa secţiunii, astfel încât

starea de încărcare a părţilor fictiv izolate să rămână şi după secţionare identică cu cea

iniţială.

Intensitatea forţelor distribuite pe suprafaţa secţiunii, se numeşte TENSIUNE :

.mm

N2

Ad

Pdp (1.5)

Tensiunea p se descompune în două componente:

- o componentă normală pe secţiune, notată cu σ, numită tensiune normală;

- o componentă în planul secţiunii, notată cu τ, numită tensiune tangenţială (de

direcţie oarecare în planul secţiunii).

Este evidentă legătura dintre aceste tensiuni:

.222 p (1.6)

Se consideră că tensiunea σeste pozitivă când trage (întinde) partea pe care se aplică

(de sens contrar axei x), iar tensiunile τ sunt pozitive când sunt de sens contrar axelor din

secţiune cu care sunt paralele (fig.1.8). Indicii atribuiţi tensiunilor normale arată axa cu care

tensiunea este paralelă iar în cazul tensiunilor tangenţiale primul indice se referă la

orientarea normalei planului pe care se află tensiunea.

Unitatea de măsură pentru tensiuni rezultă din relaţia (1.5) fiind unitate de forţă pe

unitate de suprafaţă. De multe ori forţa dându-se în N şi lungimile în mm, rezultă că pentru

tensiuni, se va folosi ca unitate de măsură MPa: 1N/mm2 = 1MPa.

Totalitatea tensiunilor din jurul unui punct (fig.1.9) [21] formează starea de tensiune,

aceasta reflectând gradul de solicitare al corpului solid în locul respectiv, deci apreciind

rezistenţa organelor de maşini şi a elementelor de construcţii. Starea de tensiune este o

mărime tensorială:

zzyzx

yzyyx

xzxyx

T

. (1.7)

O tensiune prea mare σr sau τr cauzează distrugerea corpului prin rupere, pentru σ

respectiv τ admiţându-se valori admisibile (σa, τa) mult mai mici decât cele de rupere

(σr,τr).

Rezultă că tensiunea, depinzând şi de încărcarea piesei şi de dimensiunile ei, este un

bun indicator al pericolului solicitării.

În rezistenţa materialelor, corpurile se studiază ţinând seama că ele se deformează

sub acţiunea sarcinilor, iar punctele acestora se deplasează. Deformaţiile şi respectiv

deplasările sunt produse de tensiuni, corpul solid schimbându-şi forma şi dimensiunile

iniţiale într-o măsură relativ mică, deci deformaţiile putând fi considerate elastice,

dispărând odată cu dispariţia forţelor aplicate.

Se consideră corpul din figura 1.10 [25] care nu poate efectua deplasări cinematice

(legăturile nu permit mişcări mecanice). Sistemul de forţe P1, P2,....Pn deformează corpul,

iar punctele oarecare ale acestuia A, B, C se deplasează, ajungând în poziţiile A’, B’, C’.

- 9 -

Fig. 1.10

VectorulΔ, cu originea într-un punct al corpului solid nedeformat şi vârful în acelaşi

punct al corpului deformat, reprezintă deplasarea totală a punctului, sau săgeată, iar

proiecţiile u, v, w pe axele sistemului triortogonal, reprezintă componentele deplasării,

unde:

222 wvu (1.8)

Alături de deplasările liniare Δ, apar şi deplasări unghiulare, astfel unghiul φ cu care

se roteşte un segment oarecare AB, în poziţia finală A’B’ poartă denumirea de rotaţie.

Datorită deplasării inegale a punctelor corpului solid, se schimbă distanţa l dintre două

puncte oarecare A şi B.

Astfel:

ABBA l (1.9)

unde l poartă denumirea de lungire daca l> 0, sau scurtare dacă l< 0.

Raportul dintre lungire şi lungimea care s-a alungit se numeşte lungire specifică

medie:

l

lm . (1.10)

Dacă lungimea segmentului AB este infinit mică, atunci se obţine lungirea specifică

din dreptul punctului A, pe direcţia AB:

l

llim

0l

. (1.11)

Lungirea şi scurtarea constituie deformaţii liniare, lungirea fiind o deformaţie liniară

pozitivă ((ε > 0), iar scurtarea negativă (ε< 0).

Prin deformarea corpului solid, iau naştere şi deformaţii unghiulare. Se numeşte

lunecare, unghiulΔα cu care variază un unghi oarecare BAC.

)(lim0;0

CABBACACAB

(1.12)

Unghiul Δα cu care se modifică un unghi drept, se numeşte lunecare specifică, notată

cu ν. Aceasta este pozitivă atunci când corespunde micşorării unghiului drept.

Ansamblul lungirilor specifice εx,εy,εz şi cel al lunecărilor specifice νxy, νyz, νzx,

dintr-un punct al unui element de rezistenţă solicitat definesc starea de deformaţie în

punctul respectiv, aceasta fiind o mărime tensorială.

Atât deformaţia liniară, cât şi cea unghiulară sunt mărimi adimensionale.

- 10 -

Pentru majoritatea materialelor utilizate în tehnică, între tensiuni şi deformaţii există

relaţii liniare, valabile atâta timp cât tensiunile sunt relativ mici. Astfel:

GE ; (1.13)

unde: E este o caracteristică de material, numită modul de elasticitate longitudinal,

iar

G - modul de elasticitate transversal.

Proporţionalitatea dintre deplasările elastice ale corpurilor solide şi forţele aplicate,

exprimă legea lui Robert Hooke.

După cum rezultă din relaţiile (1.13), modulele de elasticitate se măsoară în pascali în

sistemul SI ca şi tensiunile. În tabelul 1.1 se dau valorile modulelor de elasticitate pentru

câteva materiale mai des utilizate.

În figura 1.11,a se consideră un element de corp solicitat numai de tensiuni normale

σ, iar în figura 1.11,b, un alt element solicitat numai de tensiuni tangenţiale τ. Tensiunile

normale σ sunt însoţite numai de lungiri specifice ε, iar tensiunile tangenţiale τ de lunecări

specifice ν. În cazul figurii 1.11,a pe lângă deformaţia longitudinală, ia naştere şi o

deformaţie transversală εt, unde:

.xt (1.14)

unde εx este deformaţia specifică longitudinală, iar ν este un coeficient de proporţionalitate

adimensional, denumit coeficient de contracţie transversală sau coeficientul lui Poisson.

Valoarea acestui coeficient este dependentă de natura materialului. Drept urmare, o bară

supusă la tracţiune îşi micşorează secţiunea, iar una comprimată şi-o măreşte.

Tabelul1.1

Fig. 1.11

U1.3. Ipotezele de bază ale Rezistenţei materialelor

Din cele spuse se poate observa că orice calcul de rezistenţă prezintă două mari părţi:

a. determinarea tensiunilor şi a deplasărilor; acest calcul ţine de mecanica

corpului deformabil. Tensiunile şi deplasările trebuiesc calculate în funcţie de :

- forma piesei - aspectul geometric al problemei;

- proprietăţile materialului din care se execută piesa - aspectul fizic al problemei

- încărcarea piesei - aspectul static al problemei.

b. analiza deplasărilor, care nu trebuie să depăşească o anumită limită; calculul de

rigiditate. Această parte a calculului, cea mai delicată, dă verdictul dacă dimensiunile piesei

Material E [MPa] G [MPa]

Oţel (2…2,2).105

081. 105

Fontă (1,2…1,6).105 045. 10

5

Aluminiu (0,7…0,75).105 (0,26…0,27) . 10

5

- 11 -

sunt sau nu corespunzătoare.

Primul volum al cursului se axează pe determinarea tensiunilor şi a deplasărilor, iar

volumul doi al cursului, pe calculele de rigiditate.

În rezistenţa materialelor, pentru stabilirea unor relaţii şi rezolvarea expeditivă a

problemelor concrete, se fac mai multe ipoteze, atât asupra comportării materialului

corpului studiat, cât şi asupra solicitării acestuia. Aceste ipoteze reflectă cu aproximaţie

bună realitatea, trebuiesc verificate de experienţă, introducând erori de calcul admisibile în

practica inginerească.

Principalele ipoteze sunt următoarele:

A) Ipoteza mediului continuu - materialul corpului este continuu şi umple tot

spaţiul definit de volumul teoretic al corpului.

B) Ipoteza omogenităţii şi izotropiei - materialele au aceleaşi proprietăţi în toate

punctele şi pe toate direcţiile. Oţelul, fonta, aluminiul, sticla etc. sunt exemple de materiale

care pot fi considerate omogene şi izotrope. Exemple de materiale anizotrope sunt: lemnul,

masele plastice etc.

C) Ipoteza elasticităţii perfecte - consideră că dacă nu se depăşesc anumite limite,

după descărcarea corpului de forţele ce îl solicită, el revine complet la forma iniţială.

D) Ipoteza identităţii proprietăţilor mecanice ale elementului infinit mic cu

cele ale corpului solid întreg - permite discretizări suficient de fine, iar rezultatele analizei

de pe aceste elemente vor putea fi generalizate pe întregul corp.

E) Ipoteza proporţionalităţii dintre tensiuni şi deformaţii - admite că materialele

utilizate satisfac legea lui Hooke, dacă tensiunile nu depăşesc o anumită valoare, adică

tensiunile sunt proporţionale cu deformaţiile. Această simplificare dată de ipoteză, face ca

ea să fie aplicată chiar şi pentru unele materiale neliniare de tip fontă sau duraluminiu.

F) Ipoteza micilor deplasări - deplasările cauzate de încărcarea corpului sunt mult

mai mici decât dimensiunile corpului. Se poate neglija modificarea formei corpului ca

urmare a încărcării şi deci ecuaţiile de echilibru se pot scrie pentru corpul nedeformat.

Calculele bazate pe această ipoteză se numesc de ordinul I. În urma acestei ipoteze

deplasările vor fi tratate ca nişte infiniţi mici.

G) Ipoteza micilor deformaţii - corpul îşi modifică în mică măsură configuraţia

iniţială. Pentru piese metalice se poate considera că deformaţiile sunt mult mai mici decât

unitatea, ε << 1, ν << 1, în calcule putând fi neglijate comparativ cu unitatea.

Ca o consecinţă a celor arătate anterior este posibilă aplicarea principiului

suprapunerii efectelor.

În general, se poate scrie că deplasările (ca de altfel şi tensiunile) privite ca funcţii de

încărcare, satisfac relaţiile:

,

;2121

PvPv

PvPvPPv

(1.15)

unde α este un număr.

H) Ipoteza lui BARRÉ DE SAINT VENANT - consideră că la distanţe relativ

mari de locul de aplicare a forţelor, distribuţia tensiunilor, a deplasărilor şi a deformaţiilor,

nu depinde de modul efectiv de aşezare a forţelor (fig.1.12). În încastrare, distribuţia

tensiunilor este aceeaşi pentru cele trei exemple din figură, diferenţele constatându-se

numai local, în apropierea locului de aplicare a forţei.

Ipotezele enunţate anterior, permit determinarea câmpului de deplasări şi de tensiuni

cu ajutorul calculului diferenţial şi folosirea teoriei elasticităţii.

- 12 -

Fig.1.12

I) Ipoteza lui BERNOULLI (a secţiunilor plane) - consideră că la solicitarea

barelor se constată că o secţiune plană şi perpendiculară pe axa longitudinală înainte de

deformaţie, rămâne plană şi normală şi după deformaţie (fig.1.13).

Consideraţiile geometrice clădite pe această ipoteză simplifică problema determinării

legii de distribuţie a tensiunilor în secţiunile normale ale barelor solicitate la întindere,

compresiune sau încovoiere, comparativ cu rezolvarea mai precisă, dar mult mai laborioasă

din teoria elasticităţii, care nu acceptă ipoteza secţiunilor plane.

În cazul plăcilor, ipoteza lui Bernoulli se înlocuieşte cu ipoteza normalelor drepte,

după care, o dreaptă normală pe suprafaţa mediană a plăcii nedeformate, rămâne dreaptă şi

normală pe suprafaţa mediană şi după deformarea plăcii - ipoteza lui Kirchhoff.

Fig. 1.13

Competenţe

La sfârşitul acestui modul studenţii vor fi capabili să:

stabileasca principalele problematici ale disciplinei Rezistenta materialelor;

să înţeleagă elementele de bază privitoare la tensiuni, deformatii si deplasari;

să identifice pricipalele ipoteze de baza in diferitele calcule ale Rezistentei

materialelor.

Bibliografie

BOLFA, T. -Rezistenţa materialelor, Ed. LUX LIBRIS, Braşov, 1996

BUZDUGAN, Gh. -Rezistenţa materialelor, Ed. Academiei R.S.R., Bucureşti, 1986.

CURTU, I. -Rezistenţa materialelor, Vol. I, 1976, Vol. II, 1977, Reprografia

Universităţii din Braşov

GOIA, I. -Rezistenţa materialelor, I(1978), I şi II (1981), Editura

Universitătii din Braşov.

RADU Gh. -Munteanu M.- Rezistenţa materialelor şi elemente de teoria

elasticităţii, vol. 1, 1994, Ed. “Macarie”, Târgovişte.

RADU Gh.. -Munteanu M.- Rezistenţa materialelor şi elemente de teoria


- 13 -

Modulul 2. Eforturi sectionale in bare si sisteme de bare static

determinate

Cuprins

U2.1 Determinarea eforturilor sectionale ............................. .............................. .........13

U2.2 Relatii diferentiale dintre sarcini si eforturi.................... ............................... .....16

U2.3 Constructia diagramelor de eforturi sectionale.................. ......................... .........18

U2.4 Diagrame ale fortelor axiale............................................... ............................. .....19

U2.5 Diagrame ale momentului de torsiune................................ ............................ .....20

U2.6 Diagrame ale fortelor taietoare si ale momentelor incovoietoare.................... ....21

U2.7 Sisteme de bare static determinate....................................... ............................ ....39

U2.8 Forte concentrate mobile............... ..................................... ............................. .....35

U2.9 Diagrame de eforturi la bare curbe plane............................... ............................ ..36

U2.10. Test de evaluare a cunoştinţelor............................................. ........................... 39

U2.1 Determinarea eforturilor sectionale

Problemele de bază ale rezistenţei materialelor, respectiv calculele de rezistenţă,

rigiditate şi stabilitate presupun cunoaşterea eforturilor interioare care se dezvoltă în

secţiunile transversale ale fiecărei bare. Se consideră bara ca fiind static determinată deci

ecuaţiile de echilibru static (3 în plan şi 6 în spaţiu) din mecanica corpului rigid sunt

suficiente pentru aflarea reacţiunilor. Deoarece corpul este în stare de echilibru atunci şi

părţile detaşate I, respectiv II vor fi în stare de echilibru sub acţiunea forţelor (cuplurilor)

exterioare şi a forţelor de legătură (fig.2.1). Secţionând bara cu un plan perpen-dicular pe

axa longitudinală, se obţin cele două tronsoane I şi II.

- 14 -

Fig. 2.1

Condiţia de echilibru a forţelor de pe bară presupune scrierea următoarelor două

ecuaţii vectoriale:

,0 ;0,,,

i

III

i

III

i

III

i PrCP (2.1)

unde rk este vectorul de poziţie al unei forţe oarecare faţă de centrul de greutate al secţiunii

A considerate.

Dacă bara se taie în două părţi ca în figura 2.1. atât pe un tronson cât şi pe celălalt

apar eforturile interioare care menţin echilibrul forţelor de pe tronsoane.

.0 ;0

;0 ;0

K

II

kII

II

KII

K

I

kI

I

KI

PrCPR

PrCPR

(2.2)

Întrucât forţele aplicate pe cele două tronsoane ale barei se află în echilibru, conform

relaţiilor (2.1), din aceste ecuaţii vectoriale se obţine:

.

;

I

Kk

II

kkIII

I

K

II

KIII

PrPrCC

PPRR

(2.3 )

Deci eforturile , care se dezvoltă prin încărcare pe cele două suprafeţe A, sunt egale şi

de sens contrar (metoda secţionării). Torsorul II CR , reprezintă acţiunea părţii de bară II

care a fost detaşată prin secţionare, asupra părţii I; torsorul IIII CR , reprezintă acţiunea

părţii I asupra părţii II.

De asemenea relaţiile vectoriale (2.3) arată că eforturile secţionale CRº se obţin prin

reducerea în centrul de greutate al secţiunii transversale a sistemului de forţe existent fie pe

tronsonul I, fie pe tronsonul II.

- 15 -

Fig. 2.2

Dacă raportăm tronsonul II la sistemul de referinţă triortogonal Cxyz localizat în

centrul de greutate al secţiunii (fig.2.2), eforturile secţionale CRº se pot descompune

pentru cazul general de solicitare în câte trei componente fiecare, rezultând conform relaţiei

(2.3):

- o forţă axială N, egală cu suma proiecţiilor pe axa longitudinală Cx a barei a

tuturor forţelor situate la stânga sau la dreapta, cu semn schimbat, secţiunii considerate.

; II

i

I

ix XXRN (2.4)

- două forţe tăietoare Ty şi Tz, egale cu suma proiecţiilor pe axa Cy, respectiv Cz,

din planul secţiunii, a tuturor forţelor situate la stânga sau la dreapta, cu semn schimbat,

secţiunii considerate.

.

;

II

i

I

izz

II

i

I

iyy

ZZRT

YYRT

(2.5)

- un moment de torsiune Mt, egal cu suma momentelor în raport cu axa

longitudinală Cx a barei, a tuturor forţelor şi cuplurilor de forţe situate la stânga sau

dreapta, cu semn schimbat, secţiunii considerate:

; II

x

I

xxt MMCM (2.6)

- două momente încovoietoare Miy şi Miz egale cu suma momentelor în raport cu

axa Cy, respectiv Cz, din planul secţiunii a tuturor forţelor şi cuplurilor de forţe situate la

stânga sau la dreapta, cu semn schimbat, secţiunii considerate:

.

;=

IIiz

M

Iiz

Mz

Ciz

M

IIiy

M

Iiy

My

Ciy

M

(2.7)

Eforturile din secţiune RCR iº se dezvoltă pe suprafaţa secţiunii prin tensiuni de direcţie

oarecare (fig. 2.1) care se pot descompune în componente rezultând:

- o tensiune normală σx paralelă cu axa Cx ;

- o tensiune tangenţială τxy paralelă cu axa Cy ;

- o tensiune tangenţială τxz paralelă cu axa Cz.

Componentele torsorului de reducere RCR iº se pot exprima şi în funcţie de

tensiunile generate pe suprafaţa secţiunii transversale, folosind relaţiile de echivalenţă

statică dintre eforturi şi tensiuni, respectiv:

- 16 -

A Ayiz

Axiyxzxyt

Axzz

Axyy

Ax

dAyMdAzMdAyzM

dATdATdAN

.;;)(

.;;

(2.8)

Frecvent se întâlneşte cazul particular al grinzilor solicitate numai de forţe coplanare

(fig. 2.3) [21], la care numărul componentelor torsorului de reducer e este de trei:

- forţa axială: ;

IIi

X

Ii

Xx

N

- forţa tăietoare: ;

IIi

Y

Ii

Yy

T

- momentul încovoietor: .

IIiz

M

Iiz

Miz

M

Pentru aceste eforturi se admite, convenţional, pentru calcule următoarea convenţie

de semne:

- Forţa axială N este considerată pozitivă dacă vectorul N este dinspre interiorul

către exteriorul torsorului, în acest caz ea poartă denumirea de forţă axială de tracţiune

(întindere), în caz contrar numindu-se forţă axială de compresiune, deci privind spre stânga,

forţa axială N pozitivă are sens opus axei Cy (fig.2.4);

- Forţa tăietoare T este considerată pozitivă atunci când suma proiecţiilor tuturor

forţelor situate în stânga secţiunii considerate este indreptată în sus (deci are sens opus axei

Cy), sau când cea din dreapta este orientată în jos (fig. 2.4).

- Momentul încovoietor Mi este considerat pozitiv atunci când suma momentelor

forţelor şi cuplurilor din partea stângă a secţiunii are sensul orar (vectorul moment este de

acelaşi sens cu axa Cz), sau când cea din dreapta are sensul antiorar.

Conform figurii 2.4 se poate observa că forţa axială şi momentul încovoietor prezintă

caracter simetric, pe când forţa tăietoare caracter antisimetric. Prin reprezentarea eforturilor

secţionale N,T, Mi în lungul barei se obţin diagramele de eforturi secţionale. Pentru forţa

axială şi momentul încovoietor, pentru grinzi simetrice şi simetric încărcate diagramele N

şi Mi vor avea caracter simetric, iar pentru T caracter antisimetric.

Fig. 2.3 Fig. 2.4

U2.2. Relaţii diferenţiale dintre sarcini şi eforturi

Se consideră bara dreaptă AB din figura 2.5 cu încărcarea exterioară formată din forţe

acţionând în planul XY, deci în secţiunile barei se dezvoltă: un efort axial, un efort tăietor

şi un moment încovoietor. Relaţiile diferenţiale de echilibru fac legătura între eforturile

secţionale şi încărcare (forţele exterioare).

Din bară se izolează elementul de lungime elementară dx (fig. 2.5, b şi c) încărcat cu

sarcina distribuită p cu componentele px şi py, care pe lungimea elementară pot fi admise

ca fiind uniform distribuite. Elementul detaşat trebuie să fie şi el în stare de echilibru sub

acţiunea incărcării, dar şi al forţelor de legătură considerate, pe ambele secţiuni, pozitive şi

variabile.

Din ecuaţiile de echilibru, scrise pentru elementul din figura 2.5, c, rezultă:

- 17 -

.0=)(2

;0

;0)(;0

;0)(;0

iiyiiz

yi

xi

dMMdx

dxpMTdxM

dTTdxpTY

dNNdxpNX

Dacă neglijăm termenul

2

2dx

py care este un infinit mic de ordin superior şi

reducem termenii asemenea, rezultă:

.;;dx

idM

Tdx

dT

yp

dx

dN

xp (2.9)

Relaţiile ( 2.9 ) sunt generale la barele drepte şi sunt valabile şi pentru orice structură

formată din bare drepte.

Analizând relaţiile diferenţiale obţinute, se pot trage următoarele concluzii:

Fig. 2. 5

- intensitatea px sau py a sarcinii uniforme este egală cu derivata cu semn schimbat

a forţei axiale N, respectiv tăietoare T.

- forţa tăietoare T este egală cu derivata funcţiei momentului încovoietor în raport cu

abscisa secţiunii.

Relaţiile ( 2.9 ) permit determinarea expresiilor eforturilor secţionale prin operaţii

de integrare sau de derivare. Astfel:

.322

2

;2

;1

kxkx

yp

iM

kxy

pT

kxx

pN

(2.10)

unde k1,k2 şi k3 sunt constantele de integrare, (care se determină impunându-se condiţii

referitoare la valorile componentelor eforturilor secţionale în dreptul diverselor secţiuni).

Expresiile (2.10) arată că:

- în lungul porţiunii de grindă încărcată cu o forţă transversală uniform repartizată,

forţa tăietoare se distribuie liniar, iar momentul încovoietor parabolic.

- dacă p = 0, deci în lungul porţiunilor de grindă fără sarcină distribuită, forţele

axiale şi tăietoare sunt constante, iar momentul încovoietor se distribuie lini ar.

- pe orice interval al barei, funcţia forţei tăietoare sau axiale este cu un grad

superioară funcţiei sarcinii, iar cea a momentului cu un grad superioară celei a forţei

tăietoare.

- momentul încovoietor are valori extreme, acolo unde forţa tăietoare (derivata

momentului) se anulează şi reciproc.

- 18 -

- dacă forţa tăietoare este pozitivă, atunci momentul încovoietor este crescător, iar

pentru forţa tăietoare negativă momentul încovoietor este descrescător şi reciproc.

U2.3. Construcţia diagramelor de eforturi secţionale

Având în vedere faptul că în general eforturile sunt variabile pe deschiderea barei, la

efectuarea calculelor de rezistenţă şi rigiditate, prezintă interes determinarea variaţiei

eforturilor precum şi stabilirea valorilor maxime ale acestora (determinarea secţiunii

periculoase).

Construcţia diagramelor arată reprezentarea funcţiilor de variaţie ale forţei axiale,

tăietoare sau a momentelor de încovoiere, torsiune pe deschiderea barei.

Trasarea diagramelor este precedată de obicei de calculul reacţiunilor, iar ca linie de

referinţă pentru reprezentarea valorilor eforturilor secţionale se folosesc linii de forma axei

barei. De obicei forţele axiale şi forţele tăietoare pozitive se reprezintă deasupra liniei de

referinţă, iar momentele încovoietoare pozitive sub linia de referinţă (diagrama de momente

încovoietoare devine asemănătoare cu grinda deformată sub acţiunea forţelor aplicate).

Uneori, diagramele de variaţie se trasează fără a calcula reacţiunile, pornind de la relaţiile

diferenţiale şi stabilind relaţiile de recurenţă pentru determinarea mărimii efective a valorii

eforturilor din diversele secţiuni (vezi aplicaţia 2.1).

Aplicaţia 2.1 Cu ajutorul relaţiilor diferenţiale dintre eforturi, se cere să se afle

expresia forţei tăietoare şi a momentului încovoietor pentru grinda din figura 2.6:

Fig. 2.6

Rezolvare: Intensitatea forţei distribuite la o distanţă oarecare x, se exprimă în funcţie

de intensitatea maximă p0, rezultând:

.l

0 xp

xp

Conform relaţiilor (2.9) se obţine:

.+6l

+=

;2l

+-=

32

3

03

2

2

02

kxkxp

kTdxM

kxp

kpdxT

i

Cu ajutorul a două condiţii referitoare la valoarea momentului încovoietor, se pot

determina constantele de integrare, observându-se că momentul încovoietor este nul în

punctele A şi B, adică Mi=0 pentru x=0 şi x=l. Din expresia momentului încovoietor

rezultă:

.0 6

l3

02 k

pk

Astfel, expresiile forţei tăietoare şi momentului încovoietor devin:

- 19 -

.6

l

l6 ;

6

l

l2

0

3

00

2

0 xpxp

Mpxp

T i

Funcţie de aceste expresii se pot calcula eforturile produse în oricare secţiune

transversală.

U2.4. Diagrame ale forţelor axiale

Diagramele forţelor axiale arată în ce măsură secţiunile transversale ale barei sunt

solicitate la intindere sau la compresiune, precum şi mărimea forţelor din diferitele secţiuni.

Aplicaţia 2.2 Se cere să se reprezinte diagrama forţelor axiale pentru bara din fig . 2.7.

Fig. 2.7

Rezolvare: Se determină reacţiunea XA şi valoarea forţei axiale pe fiecare tronson al

barei.

.45 ;35

;2 ;

; ,045 ;0

4332

211

PPPPXNPPPXN

PPXNPXN

PXPPPPXX

AA

AAA

AAi

Prin reprezentarea acestor valori se obţine diagrama forţelor axiale (fig. 2.7).

Aplicaţia 2.3 Pentru bara verticală, având lungimea 4l, de secţiune constantă A şi

greutate specifică ν din figura 2.8 [21], solicitată de forţele concentrate P şi 3P, se cere să

se traseze diagrama de forţe axiale, ţinând cont şi de greutatea proprie a barei.

Rezolvare: Din suma de proiecţii pe verticală, se determină reacţiunea XA.

.l44 ;0l43 ;0 APXAPPXX AAi

Forţa axială din secţiunea curentă va fi:

.AgPNx

AgPNxxAgAgPN

AgPNx

PNxxAgPN

A

Apentru

pentru

pentru

pentru

l44l3

l;4''0 l4

l;'l

;0

2

2

2

1

21

Observaţii: Datorită greutăţii proprii, care este o sarcină uniform distribuită, pe cele

două zone 1-2, respectiv 2-A, forţa axială variază liniar, iar în punctele 1 şi 2 unde există

forţele concentrate P şi 3P, se produc salturi în diagrama N (fig. 2.8).

- 20 -

Fig. 2.8

U2.5. Diagrame ale momentului de torsiune

Valoarea momentelor de torsiune dintr-o secţiune a barei se calculează, fie în funcţie

de forţele aplicate şi braţele lor de pârghie faţă de axa longitudinală a barei, fie în funcţie de

puterea pe care o transmite bara în mişcarea ei de rotaţie în jurul axei longitudinale la o

anumită turaţie.

Dacă bara transmite o putere P în kW la turaţia n în rot/min, atunci momentul de

torsiune va fi:

].[ 55,9

30mkN

nntMPPP

(2.11)

Dacă puterea este măsurată în C.P., iar turaţia în rot/min:

].[02,7 mkNntMP

(2.12)

Aplicaţia 2.4. Pentru bara din figura 2.9 se cere să se traseze diagrama momentelor

de torsiune Mt.

Fig. 2. 9

Rezolvare: Bara fiind solicitată numai de cuplurile Mo şi 2Mo, orientate ca vectori în

lungul axei longitudinale x, secţiunea A a incastrării are o singură reacţiune M A.

Din ecuaţia de momente faţă de axa x se obţine:

;3 ;02 ;0 000 MMMMMM AAxi

Valorile momentelor de torsiune pe fiecare tronson vor fi:

.32 ; 0002021 MMMMMM A

Pe tronsoane, momentele de torsiune vor fi constante.

Aplicaţia 2.5 Se cere să se traseze diagrama cotată a momentelor de torsiune

pentru arborele drept, solicitat prin intermediul celor patru şaibe, ca în figura 2.10.

Momentele aplicate au valorile: M1=500 Nmm; M2=800 Nmm; M3=2000 Nmm, iar

randamentul se consideră unitar.

Rezolvare: Valoarea momentului de torsiune pentru fiecare tronson al barei este.

- 21 -

. 7002000800500

;1300800500

;500 ;0

43

32

2110

mmNM

mmNM

mmNMM

t

t

tt

Fig. 2. 10

U2.6. Diagrame ale forţelor tăietoare şi ale momentelor încovoietoare

După cum s-a arătat în paragraful 2.2, variaţia momentelor încovoietoare în lungul

unei bare este insoţită de existenţa unor forţe tăietoare. Dacă forţele sunt aplicate sub un

unghi oarecare faţă de axa longitudinală a barei, atunci iau naştere şi forţe axiale, bara

trebuind să fie articulată intr-un punct de sprijin.

În aplicaţiile ulterioare bara solicitată la încovoiere poartă denumirea de grindă.

Aplicaţia 2.6: Se consideră grinda incastrată solicitată de o forţa concentrată (fig.

2.11).

Fig. 2.11

Rezolvare: Scriind ecuaţiile de echilibru se găsesc reacţiunile:

. PlPM

PPYPPX

yA

yAxA

lsin

;sin ;cos

În secţiunea curentă x eforturile vor fi.

. sin)l(sinsin

; ;

xPlPxPMxYM

YTXN

AAi

AA

Deci forţele axiale şi tăietoare rezultă că sunt constante în lungul grinzii, iar

momentul încovoietor variază liniar.

Observaţii: Pentru trasarea diagramelor nu era necesar calculul reacţiunilor, ci

secţiunea curentă putea fi definită la distanţa x’ de capătul liber din B, deci făcând

secţionarea înspre dreapta.

- 22 -

Aplicaţia 2.7 Grinda rezemată la capete, solicitată de o forţă concentrată transversală

(fig. 2.12).

Fig. 2.12

Rezolvare: Scriind ecuaţiile de momente faţă de cele două reazeme, obţinem

reacţiunile.

.ll

PaY

PbY BA º

Definind secţiunile curente pe fiecare dintre cele două tronsoane, respectiv A-1 şi 1-

B, observăm că forţele tăietoare sunt constante în lungul fiecărei regiuni, astfel:

.ll

;l

11

aPP

bPPYT

bPYT ABAA

Observaţii: Mai uşor era de definit pe cel de al doilea tronson secţiunea curentă

pornind de la B către punctul 1 deci secţiunea x’.

Într-o secţiune curentă momentul încovoietor este.

. l

;l

11 xaP

xYMxbP

xYM BBAA

Deci momentul încovoietor este repartizat liniar în lungul porţiunilor din grindă.

Dacă a = b = l /2, 4

lmax

PM i

Observaţii: - În dreptul sarcinilor concentrate în diagrama T se produce un salt pe direcţia forţei

şi cu valoarea acesteia.

- Forţa tăietoare este constantă în intervalul dintre două forţe normale pe axa barei.

- În dreptul sarcinilor concentrate diagrama Mi îşi schimbă panta.

- Momentul încovoietor este maxim în secţiunea unde forţa tăietoare trece prin zero.

- Pe intervalul A-1 forţa tăietoare este pozitivă, deci momentul încovoietor este

crescător, iar pe intervalul 1-B, forţa tăietoare este negativă, deci momentul încovoietor

este descrescător.

Aplicaţia 2.8 Grinda rezemată la capete şi solicitată de un sistem de forţe

concentrate transversale (fig. 2.13).

- 23 -

Fig. 2.13

Rezolvare: Din ecuaţiile de echilibru, rezultă reacţiunile:

.l

1;)l(

l

1

11

n

iiB

n

iiA aPYaPY

Diagrama forţelor tăietoare constă din porţiuni de linii orizontale, întrerupte prin

salturi în dreptul forţelor concentrate, iar curba momentelor încovoietoare din linii drepte

care îsi schimbă panta în dreptul forţelor concentrate.

Expresiile forţelor tăietoare şi momentelor încovoietoare pe diversele tronsoane ale

grinzii vor fi:

i

iiiiAi

AAA

B

n

iABnAAA

aaPaYM

aaPaYMaYMM

YPYTPYTYT

111

1212211

11211

).(

);( ; ;0

; ;...;;

Observaţii. Momentul încovoietor este maxim în secţiunea unde forţa tăietoare trece

prin zero.

Aplicaţia 2.9: Grinda rezemată, solicitată de o forţă concentrată transversală situată

pe consolă (fig. 2.14).

Fig. 2.14

.l

0l ;0

;l

l)(l)(l ;0

)(

)(

aPYaPYM

aPYaPYM

AAB

BBA

Forţele tăietoare sunt constante pe regiuni, iar momentul încovoietor variază liniar, nul în

capătul liber şi punctul A, fiind maxim unde forţa tăietoare trece prin zero, deci în punctul

B, unde Mmax= -Pa.

- 24 -

Aplicaţia 2.10 Grinda incastrată, solicitată de o forţă transversală uniform repartizată

p (fig. 2.15).

Fig. 2.15

Rezolvare: În secţiunea curentă x faţă de capătul liber 1 eforturile sunt.

.2

;2

11

pxMxpT AA

Observaţii. - În cazul sarcinilor uniform repartizate diagrama forţelor tăietoare T variază liniar,

iar diagrama momentelor încovoietoare Mi variază parabolic.

- Derivata de ordinul doi a momentului încovoietor este negativă deci curba

momentului încovoietor este concavă (ţine apa) (axa pozitivă y pentru Mi este indreptată în

jos).

Aplicaţia 2.11 Grinda rezemată la capete, solicitată de o forţă uniform repartizată p

(fig. 2.16).

Fig. 2.16

Rezolvare: Din condiţii de simetrie, reacţiunile din cele două reazeme sunt egale

între ele şi egale cu: .2

lpYY BA

Într-o secţiune curentă x, expresiile forţei tăietoare şi ale momentului încovoietor vor fi:

.8

l

2

ll

2

l

2,

2

l 0

,l222

l

2 ;

2

l

2

max

22

pp

Ml

xT

xxpxp

xpxp

xYMxpxpYT ABAABA

Observaţii: - În punctele A şi B se produc salturi cu valoarea reacţiunilor în diagrama forţelor

tăietoare, iar între reazeme forţa tăietoare scade (mergând de la A către B, conform

convenţiei de semne) cu valoarea rezultantei forţei uniform distribuite care este p l.

- La simetrie constructivă şi simetrie de încărcare, diagrama T este antisimetrică iar

diagrama Mi este simetrică; în axa de simetrie T=0 şi

- 25 -

Aplicaţia 2.12 Grinda incastrată solicitată de un cuplu concentrat (fig. 2.17).

Fig. 2.17

Rezolvare: În secţiunile barei, atât forţa axială cât şi forţele tăietoare sunt nule, iar

momentul încovoietor este constant în lungul grinzii egal cu Co, grinda aflându-se într-o

stare de încovoiere pură.

Aplicaţia 2.13 Grinda rezemată la capete solicitată de un cuplu concentrat aplicat pe

deschiderea acesteia (fig. 2.18).

Fig. 2.18

Rezolvare:

.l

0l ;0

;l

0l ;0

00)(

00)(

CYCYM

CYCYM

BBA

AAB

Deci reacţiunile sunt egale şi de sens contrar, implicit forţa tăietoare este constantă în

lungul grinzii şi egală cu.

. l

0-

CYT ABA

Pe cele două porţiuni ale grinzii momentul încovoietor este repartizat liniar având

expresiile.

. l

;l

01

01 x

CxYMx

CxYM BBAA

Observaţii: În dreptul cuplului în diagrama de momente încovoietoare se produce un

salt egal cu valoarea cuplului.

Aplicaţia 2.14 Grinda rezemată solicitată de o forţă repartizată liniar (fig. 2.19).

- 26 -

Fig. 2.19

Rezolvare: Rezultanta sarcinilor repartizate (indiferent de forma repartiţiei) este dată

de aria suprafeţei de încărcare şi acţionează în centrul de greutate al acestei suprafeţe.

. 3

l 0l

3

2

2

ll ;0

; 6

l 0l

3

1

2

ll ;0

00

00

pY

pYM

pY

pYM

BBA

AAB

Intensitatea forţei distribuite, la distanţa x de reazemul A, este:

.l

;l

0

0

xpp

x

p

px

x

Expresia forţei tăietoare în secţiunea curentă x, este:

.l

316

l

2

1

6

l2

2

00

xpxp

pT xBA

Se observă că forţa tăietoare variază parabolic şi seanulează la o distanţă egală cu:

l577,03

l0 x

Momentul încovoietor, în secţiunea curentă, are expresia:

.l

-16

l

l66

l

32

12

2

0

3

00

xxpxpx

pxxpxYM xABA

Momentul încovoietor variază după o parabolă cubică, a cărei maxim, pentru

30

lx este:

. 39

l

l3

l1

3

l

6

l 2

0

2

2

0max

ppM

Aplicaţia 2.15 Grinda rezemată solicitată de o forţă repartizată parabolic (fig. 2.20):

- 27 -

Fig. 2.20

2

2

0l

xppx .

Rezolvare:

.12

l 0ll ;0

;4

l

l 0l ;0

0)(

0)(

pYxRYM

pxRYxRYM

AGAB

GBGBA

unde

l

0

l

0

0

2

2

0 .3

l

l

pdx

xpdxpR x iar

l4

3

3

l4

l

0

2

0

l

0

l

0

p

p

dxp

dxpx

x

x

x

G .

Utilizând relaţiile diferenţiale dintre eforturi, se obţine:

2

2

0l

xp

dx

Td x şi respectiv 2

2

0l

xp

dx

Td x .

Prin integrare se obţine: . .l12

;l3

212

4

012

3

0 KxKx

pMKx

pT ixx

Cele două constante de integrare se obţin din condiţiile de legătură, scrise pentru

reazemul din A pentru x=0 ; AA YT şi 0iAM ; deci 12

l01

pK şi .02 K

Expresiile forţei tăietoare şi momentului încovoietor, devin:

.l

112

l

12

l

l12;

l41

12

l

12

l

l3 3

3

00

2

4

0

3

3

00

2

3

0

xxpxpxpM

xppxpT ixx

Deci forţa tăietoare variază după o parabolă cubică, iar momentul încovoietor după o

parabolă de gradul patru.

.l 04,0416

l

l4

l1

4

l

12

l

l, 63,04

l0

2

03

2

0

3

3

3

0max

30

ppp

M

xT

i

x

- 28 -

Aplicaţia 2.16 Să se traseze diagramele de eforturi pentru bara din figura 2.21.

Fig. 2.21

Rezolvare:

070122022

22306

3

22640

2

189

2

2210 ;0

;kN 4002

2210

2

2230

BiA

AA

YM

XX

kN.50

012

22106

3

1640

2

16

2

22307072208 ;0

kN;90

A

AiB

B

Y

YM

Y

Forţele axiale sunt egale cu:

.N N A kN 10 kN;40 322

Forţele tăietoare sunt egale cu:

;kN 4030+=

;kN 104050;kN 50

22

2

sd

sA

TT

TT

kN; 8060402

12 dBs TT

.

3

20

640

kN; 10 kN; 1090 3-

xpxp

TTT

xx

BBsBd

Forţa tăietoare se anulează pe tronsonul 2-B:

,3

20

2

13040 2

2 xYT AB

de unde rezultă: .m 464,30 x

Se calculează următoarele valori ale momentelor încovoietoare:

- 29 -

m.kN 376,82464,33

1

3

20464,3

2

1464,33070464,4220464,5

m;kN 10;kNm 107012202; 3070

m;kN 402

11201

2

max

211

1

A

BAsd

As

YM

MYMkNmMM

YM

Observaţii: - Scopul diagramelor de eforturi este acela de a prezenta o imagine de ansamblu a

solicitării grinzilor (în majoritate prezintă interes secţiunile cu solicitare maximă, unde

urmează să se facă calculele de dimensionare sau verificare).

- Arcele de parabolă de pe porţiunile situate la stânga, respectiv dreapta, secţiunii

din punctul 2 nu se racordează, deoarece în acest punct efortul tăietor face un salt.

U2.7. Sisteme de bare static determinate

Sistemele de bare static determinate sunt formate din bare drepte sau curbe îmbinate

rigid prin articulaţii sau alte legături. Un sistem este static determinat dacă i se pot calcula

atât reacţiunile cât şi eforturile din fiecare bară cu ajutorul metodelor de calcul ale staticii.

Grinzile cu articulaţii interioare sunt cunoscute sub denumirea de grinzi Gerber.

Sistemele de bare pot fi: închise, deschise sau mixte (fig. 2.22) [21] după cum barele

sistemului sunt astfel legate între ele încât formează contururi închise, deschise sau mixte.

Astfel de sisteme de bare închise întâlnim la grinzile cu zăbrele, diferite cadre, inele cu

articulaţii, etc. Sisteme de bare deschise întâlnim sub forma de grinzi cotite, cadre deschise,

arbori cotiţi etc.

Toate aceste sisteme de bare le întâlnim în construcţiile de masini, implicit în

construcţiile roboţilor industriali, etc.

Liniile de referinţă, ce se utilizează la trasarea diagramelor de eforturi, au forma sistemului

de bare.

Fig. 2.22

Aplicatia 2.17 Se consideră grinda dreaptă cu articulaţii din figura 2.23.

- 30 -

Fig. 2.23

Rezolvare:Grinda este static determinată, deoarece în articulaţiile interioare din 2 şi 3

momentele încovoietoare sunt nule. Din scrierea ecuaţiilor:

.54 02442

23;0

;2

23 07

24

2

726;0

;26 02

72726

2

7 ;0

;2

7 0

2

32322;0

2

2

3

PaMaPMaPM

PYaa

PPPPYY

PYa

a

PaPaaPaYM

PYa

a

PaPaYaM

AAst

AAi

BBdr

CCdr

Cu aceste valori în figura 2.23 s-au trasat diagramele T şi Mi, neexistând diagrama N.

Aplicaţia 2.18 Se consideră grinda cotită plană prezentată în figura 2.24.

Rezolvare: Reacţiunile se determină scriind momentele în articulaţia din punctul 2 şi

ecuaţiile de echilibru static.

kN. 30;050420 ;0

kN; 50

;030442420240 ;0

;0 ;0102040 ;0

kN; 10;01202;0

2

2

AAi

B

Bdr

BBi

AAst

YYY

Y

YM

XXX

XXM

Se parcurge grinda cotită de la A la B prin 4:

- pentru forţa axială:

;kN 30 ;kN 30 44 BBAA XNYN

- 31 -

Fig. 2.24

- pentru forţa tăietoare:

;;k 304020

;kN 1020;kN 10

443

311

pxYTNXT

XTXT

ABA

AAA

- pentru momentul încovoietor:

.mkN 5,62;m 5,1

;2

4204;kNm 402405206

m;kN 203204;mkN 101;0

max0max

2

0044

31

MxM

xxYMXM

XMXMM

BBA

AAA

La aşezarea diagramelor de eforturi se păstrează convenţia de semne de la grinziile

drepte. În colţul unde se îmbină rigid două bare, în unghi drept, momentul încovoietor se

rabate de pe o porţiune pe cealaltă, în schimb forţa tăietoare trece în forţă axială şi invers.

Aplicaţia 2.19 Se consideră cadrul plan din figura 2.25 [21] pentru care se cer

diagramele de eforturi.

Rezolvare: Pentru calculul reacţiunilor se folosesc ecuaţiile de echilibru ale staticii:

kN. 55

;022026202304;0

kN.65Y

;025026204204;0

;kN 30;02050 ;0

B

A

AiB

BiA

AAi

Y

YM

YM

XXX

Pentru verificare se poate folosi 0 iY constatându-se corectitudinea rezultatelor.

Pe porţiunile cadrului, forţa axială are următoarele valori.

- 32 -

Fig. 2.25

;0 ;kN 2050 ;0 ;kN 55 4542232 NXNNYN AAA

Forţa tăietoare se repartizează liniar pe zona 3 -2-4-5.

kN; 4520 kN; 20 kN; 3520 kN; 20 4422 BstdrAdrst YTTYTT

Pe stâlpi forţa tăietoare are următoarele valori:

.TXTXT AAA kN 20kN; 2050 kN; 30 46211

Momentul încovoietor are trei valori în jurul nodurilor 2 şi 4:

- pe consolă: m.kN10

;mkN102

120

4

2

M

lM

- pe stâlp: m;kN 20120

m;kN 03505

4

2

M

XM A

- la dreapta nodului 2: m;kN 1035052

11202 AXM

- la stânga nodului 4: .mkN 301202

11204 M

Pe grinda orizontală în dreptul cotei xo momentul încovoietor prezintă un punct de maxim

(forţa tăietoare trece de la plus la minus). Prin asemănare:

m.kN 625,2025,2651202

25,320

m 75,1 4

4535

2

max

0

00

M

xxx

Aplicatia 2.20 Arbore cotit (fig. 2.26)

Arborii cotiţi (fig. 2.26) cu un cot sau mai multe, sunt structuri plane sau spaţiale care

execută mişcare de rotaţie în jurul axei A-B, fiind utilizaţi la mecanismele bielă-manivelă.

Forţele care acţionează pe arbore depind de mişcarea acestuia şi pentru determinarea

eforturilor maxime trebuiesc analizate, pe baza principiului lui D’Alembert mai multe

poziţii de echilibru dinamic în care pe lângă forţele aplicate se ţine cont şi de forţele de

inerţie. În cazul arborilor plani forţele ce solicită arborele dacă sunt de direcţie oarecare se

- 33 -

descompun în componente în planul arborelui (P2) şi componente normale pe planul

arborelui (P1). Cotul arborelui din fig. 2.26 este format din braţele de manivelă 2-3 şi 5-6,

legate rigid prin fusul de manivelă 3-5. Momentul forţei P care roteşte arborele este

echilibrat de momentul de torsiune exterior Mo al volantului de greutate G.

Fig. 2.26

Calculele se vor efectua pentru următoarele date: mmmmmmmmmmkN

Din ecuaţiile de echilibru static, rezultă valoarea reacţiunilor din cele două plane.

;kN 32,100=+ll

kN; 32,20=l

77

11

YsG+YM

YsG+YM

zA

zB

kN. 61,110=l++

kN; 39,80=l-+

77

11

ZZcaPM

ZZecPM

yA

yB

Momentul de torsiune exterior .mkN 2,30 rPM

Forţa axială NX este diferită de zero, numai în secţiunile braţelor de manivelă:

.YNYN kN 32,2kN; 32,2 156123

Forţa tăietoare TY:

kN. 8

;0kN; 32,2

7178

56231673512

YYT

TTYTTT

y

yyyyy

Forţa tăietoare TZ:

.0kN; 61,11

kN;39,8

781675645

1342312

zzzz

zzz

TPZTTT

ZTTT

Momentul de torsiune Mx = Mt

m;kN 342,1 m;kN 098,2 ;0 13512312 rZMaZMM ttt

- 34 -

m.kN 2,3 ;mkN 743,12 68156 rPMcPcaZM tt

Momentul încovoietor MY este nul pe porţiunea 7-8.

m;kN02,3= ;

;mkN342,1 ;0 ;;

m;kN 098,2 ;0

143134

13211122123

121

caZMxaZM

rZMMxZMxZM

aZMM

yy

yyyy

yy

;-

m;kN743,1=2);(

44156

1533145

xPxrZM

cPcaZMcxPxaZM

y

yy

.0

m;kN743,12;2

m;kN2,3 m;kN342,1

7

1655167

615

y

yy

yy

M

PccaZMxcPxcaZM

rPMrZM

Momentul încovoietor Mz.

Nm.k438,1 ;2

; m;kN09,12 ;

m;kN58,0 m;kN58,0;

75167

556153135

123121112

zz

zzzz

zzz

MxcaYM

MMcaYMxaYM

aYMaYMxYM

Diagramele cotate ale eforturilor sunt reprezentate în figura 2.26 d...i

Aplicaţia 2.21 Grindă cotită spaţială (fig. 2.27)

În cazul sistemelor de bare spaţiale se dezvoltă toate cele 6 componente ale

eforturilor respectiv N, Tz, Ty, Mx, Miy, Miz.

Eforturile - forţe sunt pozitive când sunt de sens contrar axelor respective, iar

eforturile - cupluri când au vectorii în sensurile pozitive ale axelor de coordonate.

Diagramele de eforturi ale grinzii cotite spatiale sunt prezentate în figura 2.27 b -e.

Fig. 2.27

- 35 -

U2.8. Forţe concentrate mobile

În numeroase cazuri întâlnite în practica inginerească, sarcinile nu au puncte fixe de

aplicaţie pe grinzi, ci se deplasează în lungul acestora (de exemplu sarcinile transmise de

roţile vehiculelor pe un pod, roţile unui pod rulant la grinda de rulare, etc.). O succesiune

de forţe concentrate sau repartizate de mărime constantă, care se deplasează pe o grindă

menţinând distanţa dintre ele constantă, se numeşte convoi de forţe mobile.

Atunci când forţele se deplasează, eforturile secţionale şi reacţiunile grinzii îşi

modifică valoarea şi ca urmare secţiunile în care apar eforturi maxime se schimbă.

Un interes practic major prezintă determinarea eforturilor secţionale cele mai mari

şi în special a momentului înconvoietor maxim, numit moment maxim maximorum Mi max

max . În cele ce urmează se prezintă calculul Mi max max pentru o grindă simplu rezemată,

solicitată de un convoi de sarcini concentrate mobile (fig. 2.28). Cu ajutorul teoremei

proiecţiilor şi a teoremelor momentelor se determină valoarea şi poziţia rezult antei R a

forţelor convoiului, astfel:

. ;1

1

1=

n

in

i

i

n

i

ii

Ri

P

aP

aPR (2.13)

Fig. 2.28

Pentru fiecare poziţie a convoiului se produce o forţa tăietoare maximă egală cu

reacţiunea din A sau B iarTmax max = Ymax se produce atunci când convoiul ocupă o

poziţie apropiată de reazemele în care se dezvoltă aceasta reacţiune. Momentul încovoietor

maxim maximorum are loc pentru o anumită poziţie a convoiului, în dreptul unei forţe

concentrate, pentru grinda rezemată la capete, de obicei în dreptul forţei apropiate de

rezultantă.

Pentru o poziţie oarecare a convoiului, reacţiunea din A este:

,)l(l

xaR

Y RA (2.14)

iar expresia momentului încovoietor din dreptul forţei oarecare Pi este:

. )l(l 1=

n

i

iiRi aPxxaR

M

(2.15)

Derivând expresia 2.15 şi anulând-o obţinem valoarea maximă.

.2

l,02l

l

RR

i axxa

R

dx

Md (2.16)

Deci în dreptul forţei Pi, momentul încovoietor atinge valoarea cea mai mare atunci

când forţa Pi şi rezultanta R a convoiului de forţe de pe grindă se află la aceeaşi distanţă de

mijlocul grinzii. Prin înlocuire în relaţia (2.15), se obţine expresia momentului încovoietor

maxim maximorum.

- 36 -

.2

l

l 1

2

maxmax

i

iir

i aPaR

M (2.17)

Se face precizarea că forţa Pi este situată în dreptul mijlocului rezultantei, dacă se

construieşte poligonul forţelor ce alcătuiesc convoiul.

În cazul particular al unui convoi format din două forţe concentrate P1=8 kN; P2=2

kN, între care distanţa a=2 m, iar grinda are deschiderea l =8 m (fig. 2.29), rezultanta R=

P1+ P2=10 kN şi distanţa ei la forţa P1 este m4021

R

Paa . Forţa tăietoare cea mai mare

este egală cu reacţiunea maximă din A (căci P1 > P2) când x = 0.

.kN 5,9l

l21maxmaxmax

a

PPYTA

Momentul încovoietor maxim are loc în dreptul forţei P1 pentru l

respectiv:

.mkN 05,182

l

l

2

1maxmax

aRM

Fig. 2.29

În cazul când cele două forţe sunt egale, P1 = P2 = P, se obţine

.8

)l2(

l4

l2

l

2

42

l

4

l2,2

22

maxmax21

aPaPM

aaxaaa

Dacă pe grindă este o singură forţă P1=P şi P2=0, se obţine

.l

4

l,, maxmaxmaxmax

PMiarPT

U2.9. Diagrame de eforturi la bare curbe plane

În practică se întâlnesc frecvent bare curbe, solicitate de forţe situate în planul

acestora producând în secţiunile transversale forţe axiale, forţe tăietoare şi momente

încovoietoare care se definesc la fel ca şi în cazul barelor drepte.

În cazul barelor curbe, secţiunea curentă se raportează, fie în coordonate carteziene

(pentru barele curbe de curbură mică de forma unor arce de parabolă) fie în coordonate

polare (pentru barele curbe având axa arce de cerc).

Forţa axială N, dintr-o secţiune curentă este dată de suma proiecţiilor pe tangenta la

bară a tuturor forţelor situate de o parte sau alta a secţiunii considerate, fiind pozitivă când

iese din secţiune şi negativă când intră în secţiune.

Forţa tăietoare T într-o secţiune curentă, este suma proiecţiilor pe raza de curbură a

barei, a tuturor forţelor situate de o parte sau alta a secţiunii considerate.

Momentul încovoietor Mi dintr-o secţiune curentă este suma momentelor sarcinilor

(forţe şi cupluri) din stânga sau dreapta secţiunii considerate faţă de secţiune.

Drept linie de referinţă pentru reprezentarea eforturilor N,T şi Mi se foloseşte chiar

axa barei curbe.

- 37 -

Aplicaţia 2.22 Să se traseze diagramele cotate N, T, Mi pentru bara curbă plană din

fig. 2.31 fibra medie a barei fiind un arc de cerc.

Rezolvare: Scriind ecuaţiile de echilibru static în punctul A obţinem.

.2

5;03

2;0

;;0

;3;0

222

RpMRpRp

MM

RpYY

RpXX

AAiA

Ai

Ai

Într-o secţiune curentă, pe intervalul A-1, prin descompunerea lui XA şi YA pe

direcţia tangenţială şi normală obţinem următoarele eforturi:

.sin)cos (32

5

;sin3cos

;cos3sin

22

1

'''

1

'''

1

RpRRRpRpM

RpRpTTT

RpRpNNN

A

A

A

Secţiunea curentă pe cel de al doilea interval o definim între punctele 2 şi 1, în acest

caz singura forţă care trebuie descompusă după cele două direcţii fiind rezultanta sarcinii

uniform reparizate pR.

.2

cos ;sin ,cos 12

'''

12

'''

12

RRRpMRpTTRpNN

Prin reprezentarea expresiilor deduse, se obţin diagramele de eforturi. Pentru

determinarea lui Tmax, se anulează derivata expresiei lui T pe intervalul A-1.

.4371 0)cos3sin(

Rpd

Td

Valoarea lui Tmax se obţine pentru. .4371

.16,3)4371sin34371(cosmax RpRpT

.8262=

,0)sincos332

5( 0 2

1

ã RpM A

Fig. 2.31

- 38 -

Aplicaţia 2.23 Să se traseze diagramele cotate N,T,Mi pentru bara din figura 2.32.

Rezolvare:

.kN5,2;0+125,4 ;0

;kN5,4;01425,1122;0

;kN4;0

BBi

AAAi

Bi

YYY

YYM

XX

- forţa axiala N:

kN;4kN;5,2;0kN;5,225,4;0 3211 BA NNNNN

- forţa tăietoare T:

;YT

TTTTxT

BB

drstdrAA

kN5,2

kN;4;0kN;5,2;0;25,4 3321

- momentul incovoietor Mi:

;0m;kN5,6m;kN4m;kN6

m;kN5,3;0;5,4=

322

1

2

1

Bdrst

AA

MMMM

MMxxM

.T

YXd

TdYXT

o

BBBBB

kN 72,4;58;0sin5,2cos4

;sincos;cossin

max

3

Fig. 2.32

Competente

Această unitate de învăţare îşi propune ca obiectiv principal initierea studenţilor în

problematica eforturilor sectionale in sistemele structurilor realizate din bare static

determinate.

La sfârşitul acestei unităţi de învăţare studenţii vor fi capabili să:

construiasca diagramele de eforturi sectionale pentru diferite structuri static determinate

realizate fie din bare drepte ,fie din bare curbe.

- 39 -

realizeze programe de calcul pentru trasarea diagramelor de eforturi sectionale.

Durata medie de parcurgere a unităţii de învăţare este de 6 ore.

U2.10 Test de evaluare a cunostintelor

U2.10.1 Precizati in ce consta metoda sectiunilor.

U2.10.2 Care sunt conventiile de semne pentru eforturile sectionale?

U2.10.3 Care sunt relatiile diferentiale intre sarcina de pe grinda si eforturile

sectionale?

U2.10.4 Cum se stabilesc sectiunile in care momentul incovoietor are valori extreme?

U2.10.5 Explicati in ce consta verificarea diagramelor T si M i.

U2.10.6 Ce se intelege prin moment maxim maximorum si cum se calculeaza acesta?

Tema de control trebuie să fie alcătuita din TO DO

Exemplificaţi constructia grafica a diagramelor de eforturi sectionale pentru

diferite stari de incarcare , cu referire la bare drepte, bare curbe si sisteme de

bare.

Biblografie











- 40 -

Modulul 3. Caracteristici geometrice ale sectiunilor plane

Cuprins

U3.1 Generalitati.................................................................. ............................... 40

U3.2 Momente statice............................................ ........... ......................... .........40

U3.3 Momente de inertie........................................... ...................... ........... ........42

U3.4 Variatia momentelor de inertie cu translatia axelor......... ..................... .....43

U3.5 Variatia momentelor de inertie cu rotatia axelor........ ............................. ..43

U3.6 Raze de inertie, elipsa de inertie............................. .................................. .47

U3.7 Module de rezistenta.................................. ............................................... .48

U3.8. Calculul momentelor de inertie........................ ........................................ .49

U3.9 Test de evaluare a cunostintelor.................. .............................................. .54

U3.1 Generalitati

În calculul pieselor supuse la solicitări axiale (întindere sau compresiune) şi a celor de

secţiune mică solicitate la forfecare, intervine caracteristica geometrică de tip arie, forma

secţiunii nejucând nici un rol. În cazul pieselor solicitate la încovoiere şi răsucire, intervin

caracteristici geometrice de ordin superior al secţiunilor transversale ca: momente statice,

module de rezistenţă sau momente de inerţie.

U3.2 Momente statice

Se consideră o suprafaţă plană oarecare, de arie A, raportată la un sistem de referinţă

rectangular zOy (fig.3.1) (axele z şi y cuprinse în planul secţiunii transversale, iar axa x

plecând de la privitor). Se numesc, prin definiţie, momente statice ale unei secţiuni plane

oarecare, în raport cu axele z şi y, expresiile:

.; A

y

A

zdAzSdAyS (3.1)

Fig. 3.1

- 41 -

Deci, momentele statice se definesc ca suma produselor dintre ariile dA ale elementelor

de suprafaţă şi distantele acestor elemente la axele considerate.

Momentele statice se măsoară în mm3, m3 etc. Valoarea momentelor statice depinde de

forma şi mărimea suprafeţei, precum şi de poziţia axei faţă de care se calculează.

Pentru a determina variaţia momentelor statice cu translaţia axelor, se consideră două

sisteme de referinţă ca în figura 3.2. Se presupun cunoscute Sz şi Sy şi ne propunem să

calculăm Sz1 şi Sy1 faţă de sistemul z1Oy1. Fie dA aria unei suprafeţe elementare din jurul

unui punct de coordonate z şi y, respectiv z1 şi y1, faţă de cele două sisteme de referinţă, între

care există relaţia:

.;0101

yyyzzz (3.2)

Faţă de noul sistem de referinţă momentele statice au expresiile:

.

;

001

001

1

1

AzSdAzzdAzS

AySdAyydAyS

y

AA

y

z

AA

z

(3.3)

Conform relaţiei (3.3) rezultă că variaţia momentelor statice, la trecerea de la o axă la alta

paralelă este egală cu produsul dintre aria suprafeţei şi distanţa dintre axe.

Momentele statice pot avea valori pozitive sau negative. Noile axe O1z1 şi O1y1 pot fi

astfel alese, încât faţă de ele momentul static al suprafetei să fie egal cu zero. Axele faţă de

care momentele statice sunt nule, se numesc axe centrale, iar punctul în care se intersectează,

se numeşte centru de greutate.

Dacă impunem condiţiile ca:

.011

yzSS (3.4)

din (3.3), rezultă:

A

Szz

A

Syy

y

G

z

G

00º (3.5)

sau ţinând cont de relaţia (3.1) se obţine:

;;

A

A

G

A

A

G

dA

dAz

zdA

dAy

y (3.6)

Fig. 3.2

Din relaţiile (3.5) rezultă că momentele statice ale suprafeţelor plane sunt egale şi cu

produsul dintre aria suprafeţei şi distanţa de la centrul de greutate până la axa considerată:

.;GyGz

zASyAS (3.7)

Din relaţiile (3.7) reiese că momentele statice calculate în raport cu axele centrale sunt

nule:

.0;0 GG yz

SS (3.8)

Dar axele de simetrie sunt axe centrale, deci momentul static al unei suprafeţe faţă de o

- 42 -

axă de simetrie este egal cu zero.

În cazul secţiunilor complexe, alcătuite din figuri simple de arie Ai, cu coordonatele

centrului de greutate (zi, yi), momentele statice în raport cu axele Oz şi Oy sunt:

n

i

iinny

n

i

iinnz

zAzAzAS

yAyAyAS

1

11

1

11

;

;

(3.9)

Astfel, poziţia centrului de greutate al secţiunii complexe, alcătuită din figuri simple,

pentru care se cunosc centrele de greutate, este dată de relaţiile:

;

1

1

n

i

i

n

i

ii

z

G

A

Ay

A

Sy .

1

1

n

i

i

n

i

iiy

G

A

Az

A

Sz (3.10)

U3.3 Momente de inerţie

Acestea reprezintă caracteristici geometrice ale suprafeţelor plane, la care însă distanţa

la elementul de suprafaţă apare la puterea a doua, sau apare produsul coordonatelor

elementului. Astfel, momentele de inerţie pot fi axiale, când se calculează în raport cu axa Oz,

respectiv cu axa Oy:

A

y

A

zdAzIdAyI 22 ; (3.11)

sau momentele de inerţie pot fi centrifugale, când se calculează în raport cu ambele axe Oz şi

Oy:

A

zydAzyI ; (3.12)

În cazul când una dintre axe trece prin centrul de greutate al suprafeţei, momentul de

inerţie corespunzător se numeşte central.

Integrala:

;2

0 A

pdArII (3.13)

în care r reprezintă lungimea razei vectoare (de la originea sistemului de referinţă la punctul

considerat), se numeşte moment de inerţie polar al suprafeţei date în raport cu polul O.

Dar, 222 yzr şi ca urmare:

A

yz

AA

PIIdAydAzdAyzII .2222

0 (3.14)

Momentele de inerţie ale suprafeţelor se exprimă în unităţi de lungime la puterea a patra

(mm4,m4). Momentele de inerţie axiale şi polare sunt întotdeauna mărimi pozitive, iar

momentul de inerţie centrifugal poate fi pozitiv, negativ sau nul. Valoarea acestuia este zero

dacă se calculează faţă de un sistem de referinţă în care cel puţin o axă este de simetrie. În

figura 3.3 este prezentată o secţune care are ca axă de simetrie axa y. Orice element de

suprafaţă dA are ca simetric un element similar, aparţinînd secţiunii. Aportul acestor două

elemente la calculul lui x este nul:

0 AA

dAzydAyz (3.15)

Semnul momentului de inerţie centrifugal depinde de poziţia suprafeţei faţă de sistemul

de referinţă adoptat. Astfel, elementele de suprafaţă din cadranele I şi III (fig.3.4) dau

momente de inerţie centrifugale pozitive, deoarece z şi y au acelasi semn, iar cele din

- 43 -

cadranele II şi IV dau momente centrifugale negative, deoarece z şi y au semne contrare.

Fig. 3.3 Fig.3.4

U3.4. Variaţia momentelor de inerţie cu translaţia axelor

Prezintă interes variaţia momentelor de inerţie cu translaţia axelor, respectiv cunoscând

momentele de inerţie faţă de axele sistemului de referinţă zOy, se cer să se determine, în

funcţie de ele, momentele raportate la reperul translatat z1O1y1 (fig. 3.2).

Plecând de la relaţiile de definiţie (3.11) şi ţinând cont de relaţiile (3.2), se pot calcula

momentele de inerţie faţă de axele sistemului de referinţăz1O1y1, respectiv:

.

;2

;2

00000011

2

00

2

0

2

1

2

00

2

0

2

1

11

1

1

AyzSySzIdAyyzzdAyzI

AzSzIdAzzdAzI

AySyIdAyydAyI

zyzy

AA

yz

yy

AA

y

zz

AA

z

(3.16)

Dacă originea vechiului sistem de axe zOy coincide cu centrul de greutate al suprafeţei

plane, respectiv dacă axele Oz şi Oy sunt centrale, atunci conform relaţiilor (3.8), relaţiile

(3.16) devin:

.

;

;

00

2

0

2

0

11

1

1

AyzII

AzII

AyII

zyGyz

yGy

zGz

(3.17)

unde s-a atribuit indicele G momentelor de inerţie calculate faţă de axele centrale. Aceste

relaţii sunt cunoscute sub numele de formulele lui J. Steiner. Conform relaţiilor (3.17) rezultă

că momentul de inerţie calculat faţă de o axă oarecare este egal cu momentul de inerţie

calculat în raport cu o axă paralelă, care trece prin centrul de greutate, la care se adaugă

produsul dintre aria suprafeţei şi pătratul distanţei dintre axe, iar in cazul momentului de

inerţie centrifugal se adaugă produsul distanţelor dintre axe şi aria suprafeţei.

Examinând relaţiile lui Steiner se observă că indiferent cum se translatează un reper faţă

de reperul central, momentele de inerţie axiale cresc. Deci dintre toate reperele paralele cu un

reper dat, cele mai mici momente de inerţie axiale se obţin faţă de reperul central. Se observă

de asemenea că momentul de inerţie centrifugal nu-şi schimbă valoarea în cazul translaţiei

numai a uneia dintre axele ce trec prin centrul de greutate al suprafeţei.

U3.5 Variaţia momentelor de inerţie cu rotaţia axelor

Se presupun cunoscute momentele de inerţie axiale şi momentul centrifugal al unei

suprafeţe oarecare în raport cu axele rectangulare zOy (fig.3.5), interesând ca în funcţie de

acestea să se calculeze momentele de inerţie faţă de reperul rotit cu unghiul α în sens

trigonometric, z1O1y1 respectiv:

- 44 -

A

yz

A

y

A

zdAyzIdAzIdAyI .;;

11

2

1

2

1 1111 (3.18)

Fig. 3.5

Un element de arie dA este poziţionat de coordonatele z şi y faţă de reperul vechi şi de

coordonatele z1 şi y1 faţă de reperul rotit cu unghiul α. Între ele există relaţiile de recurenţă:

.sincos

;cossin

1

1

zyy

zyz (3.19)

Cu ajutorul relaţiilor (3.19) momentele de inerţie (3.18) calculate faţă de sistemul de axe

rotit, devin:

.2sin2cos2

1

2

12sin

2

2cos1

2

2cos12sin

sincossincos 222

2

11

zyyz

yzzyyzzy

yz

A A

z

III

IIIIII

IIdAzydAyI

3.20,a)

.2sin2cos2

1

2

12sin

2

2cos1

2

2cos12sin

cossincossin 222

2

11

zyyz

yzzyyzzy

yz

A A

y

III

IIIIII

IIdAzydAzI

3.20,b)

2cos2sin2

1

cossin2sin2

2sin2

sincoscossin

22

1111

zyyz

zyzy

yz

A A

yz

III

IIII

dAzyzydAyzI

(3.20,c)

Prin adunarea primelor două relaţii din 3.20 a) şi 3.20 b) se obţine:

pyzyz

IIIII11

(invariant de ordinul I) (3.21)

Deci, suma momentelor de inerţie axiale calculate faţă de două axe ortogonale nu

depinde de unghiul α şi prin rotirea axelor ea rămâne o mărime constantă, egală cu

momentul de inerţie polar al suprafeţei respective. Din relaţiile (3.20) rezultă că prin variaţia unghiului α momentele de inerţie faţă de

axele rotite îşi schimbă valoarea, în foarte multe cazuri practice prezentând interes

cunoaşterea acelor axe, faţă de care momentele de inerţie prezintă valori extreme.

Faţă de o axă momentul de inerţie axial va fi maxim, iar faţă de axa perpendiculară

minim pentru a satisface relaţia (3.20,a,b şi c).

Axele faţă de care momentele de inerţie axiale prezintă valori maxime sau minime se

numesc axe principale de inerţie, iar momentele de inerţie axiale calculate faţă de aceste

axe momente principale de inerţie.

- 45 -

Pentru aflarea valorii maxime a expresiei momentului axial se anulează derivata ei în

raport cu unghiul 2α:

.02cos2sin

2

1

2 11

1 yzzyyz

zIIII

d

dI

(3.22)

Conform relaţiei (3.22) rezultă că momentul de inerţie centrifugal calculat în raport cu

axele principale de inerţie este egal cu zero. Tot din relaţia (3.22) rezultă:

.2

22,1

zy

zy

II

Itg

(3.23)

Relaţia (3.23) exprimă înclinarea axelor principale de inerţie. Relaţia are două soluţii,

una corespunzătoare unghiului 2α1, iar alta pentru 2α2 =2α1 + 180o, rezultând că sunt două

axe principale de inerţie, una corespunzătoare unghiului α1 şi alta perpendiculară, înclinată cu

unghiul 9012 .

Faţă de una dintre axe momentul de inerţie axial este maxim, faţă de cealaltă, înclinată

cu 90° în raport cu prima, el este minim.

Valorile momentelor principale de inerţie se obţin prin înlocuirea expresiei (3.23) în

(3.20), calculându-se 2,12,1

2cos2sin º în funcţie de 2,1

2tg :

22

2

2

2,1

22,1

22

2

2

2,1

2

2,1

2,1

441

1

21

12cos

4

2

41

2

21

22sin

zyzy

zy

zy

zy

zyzy

zy

zy

zy

zy

zy

III

II

II

Itg

III

I

II

I

II

I

tg

tg

(3.24)

Aceste valori se introduc în 3.20 a) care devine:

.42

1

2

1 22

1,2 zyyzyzIIIIII (3.25)

Cu semnul plus se obţine momentul de inerţie maxim iar cu semnul minus momentul de

inerţie minim. Ecuaţia (3.23) poate fi interpretată grafic ca în figura 3.6 a şi b.

În relaţia (3.25) semnul plus se referă la cazul din figura 3.6,a, iar semnul minus la cazul

din figura 3.6,b.

Dacă suprafaţa are o axă de simetrie, aceasta va fi totodată şi axă principală de inerţie,

căci momentul de inerţie centrifugal în raport cu un sistem de referinţă în care cel puţin o axă

este de simetrie este nul.

Fig. 3.6

Ţinând cont de invariantul liniar pyzIII şi observând că valorile lui

21II nu

depind de alegerea sistemului de axe, rezultă că şi expresia de sub radicalul relaţiei (3.25) este

invariantă, ea putându-se exprima sub forma:

- 46 -

.4

1

4

1

4

222

4

1 22222

22

22

zyyzpzyyzyzzy

yzyzyzyz

zyyzIIIIIIIIII

IIIIIIIIIII

Deci diferenţa 2

zyyzIII este independentă de alegerea sistemului de axe, ea constituind

invariantul pătratic al ansamblului de mărimi zyyzIII , , sau exprimând acest al doilea

invariant cu ajutorul momentelor de inerţie principale, rezultă că:

.21

2 IIIIIzyyz (3.26)

cu observaţia că: .21

IIIIyz

Pentru aflarea direcţiei faţă de care momentul de inerţie este maxim se foloseşte relaţia

(3.22):

2sin2sin

2

2cos

2sin2cos2sin2cos2

1

22

1

2

zy

zy

zy

yz

zyzyyz

z

I

tgI

I

IIIIII

d

Id

(3.27)

Pentru ca semnul derivatei a doua să depindă numai de semnul lui Izy, trebuie ca

2,0

,

interval în care sin2α este pozitiv.

Se obţine astfel:

- pentru

02

,2

,002

2

1

d

IdI

z

zy deci axa care face unghiul α cu axa z este de

minim, axa de maxim trecând prin cadranele II şi IV;

- pentru

02

,2

,002

2

1

d

IdI

z

zy deci axa care face unghiul α cu axa z este de

minim, axa de maxim trecând prin cadranele I şi III.

Totodată rezultă că se poate stabili semnul momentului de inerţie centrifugal, dacă se

cunoaşte cadranul prin care trece axa principală faţă de care momentul de inerţie prezintă o

valoare maximă (respectiv minimă). Astfel momentul de inerţie centrifugal este negativ, dacă

momentul de inerţie faţă de axa principală din primul cadran are o valoare maximă şi invers,

momentul de inerţie centrifugal este pozitiv, dacă momentul de inerţie faţă de axa principală

din primul cadran este minim.

Planele longitudinale care conţin axele principale centrale se numesc plane principale

centrale de inerţie.

Utilizând relaţia (3.20), cunoscând momentele principale de inerţie, se pot calcula

momentele de inerţie în raport cu axe înclinate cu unghiul α:

;2cos2

1

;2cos2

1

2

1

;2cos2

1

2

1

21

2121

2121

III

IIIII

IIIII

zy

z

z

(3.28)

unde α este format de axa z cu axa principală (1) măsurat în sens antiorar. Aceste relaţii se pot

reprezenta într-un sistem de referintă .zzy

IfI

Se înlocuiesc 21

22sin

II

Izy

şi

221

2412cos

II

Izy

în prima relaţie din (3.28)

obţinând:

- 47 -

.22

2

212

2

21

III

III

zyz (3.29)

adică un cerc de rază 2

21II

R

şi coordonatele centrului .02

21

zyz

III

I

Locul geometric astfel construit poartă denumirea de cerc al lui Mohr (fig.3.7) şi arată

valoarea momentelor axiale şi centrifugale de inerţie, calculate în raport cu toate axele

concurente.

22

; ;2

;; tgII

ItgDCAABADIAD

IIOCIOBICA

zy

zy

zy

yz

yz

Fig. 3.7

.42

1

2

1

;42

1

2

1

;42

1

2

22

2

22

1

222

2

zyyzyz

zyyzyz

zyzyzy

zy

IIIIIIOE

IIIIIIOF

IIIIII

CD

(3.30)

Direcţiile axelor principale de inerţie sunt DE şi DF. Orice punct de pe cercul lui Mohr

reprezintă un cuplu de axe ortogonale pentru care se pot calcula la scară .,zyyz

III

U3.6 Raze de inerţie, elipsă de inerţie

În cazul multor probleme este convenabil ca momentele de inerţie axiale să fie

exprimate printr-un produs dintre aria suprafeţei şi pătratul unei distanţe fictive, unde s-ar

putea considera concentrată suprafaţa:

.22 AiIAiIyyzz

º (3.31)

unde distanţele fictive iz şi iy, se numesc raze de inerţie sau raze de giraţie, definite:

.;A

Ii

A

Ii

y

y

z

z

Razele principale de inerţie, definite în funcţie de momentele principale de inerţie vor fi:

.; 2

2

1

1A

Ii

A

Ii

Variaţia momentelor de inerţie în raport cu axele concurente, se poate reprezenta şi cu ajutorul

razelor principale de inerţie. Se consideră o suprafaţă oarecare A (fig.3.8,c), [21]

- 48 -

Fig. 3.8

raportată la cele două axe principale de inerţie (1) şi (2), se calculează i1 şi i2 şi se

reprezintă la scară i1 perpendicular pe axa (1), iar i2 perpendicular pe axa (2).

Punctele obţinute se unesc cu ajutorul unei elipse, numită elipsă de inerţie. Elipsa de

inerţie ne arată variaţia momen-telor de inerţie în raport cu diferite axe concurente. Sensul

alungirii acesteia, corespunde cu cel al împrăştierii suprafeţei.

U3.7 Module de rezistenţă

Se consideră o suprafaţă oarecare (fig.3.9) şi axele ei centrale y şi z. Mărimea

geometrică:

Fig. 3.9

.max

y

IW z

z (3.32)

unde max

y reprezintă coordonata y a celui mai îndepărtat punct de axa Oz, este denumită

modul de rezistenţă axial faţă de axa Oz.

Când punctele cele mai depărtate de axa Oz sunt B sau C cu yB şi yC se pot calcula

modulele de rezistenţă:

.,

,

CB

z

CBzy

IW (3.33)

Modulele de rezistenţă se exprimă în L3 (deci lungimi la puterea a treia).

Faţă de axa Oy:

.max

z

IW

y

y (3.34)

Modulul de rezistenţă polar, se defineşte ca:

.max

R

IW

p

p (3.35)

unde Ip este momentul de inerţie polar, iar Rmax este raza celui mai depărtat punct de pe

conturul exterior al secţiunii faţă de pol.

Modulele de rezistenţă ale unei secţiuni compuse nu se pot calcula prin însumarea

modulelor de rezistenţă ale figurilor componente, ci momentele de inerţie se calculează prin

- 49 -

însumarea momentelor secţiunilor componente cu relaţiile lui Steiner si apoi acestea se

raportează la distanţele ymax ,zmax care se referă la punctele de pe conturul exterior al

secţiunii.

U3.8. Calculul momentelor de inerţie

Expresiile momentelor de inerţie pentru suprafeţele plane simple se pot deduce pornind

de la relaţiile (3.11). Pentru suprafeţele plane cele mai des întâlnite, se dau expresiile

momentelor de inerţie tabelar în memoratoarele inginereşti (câteva din acestea sunt prezentate

în anexă).

În cazul suprafeţelor complexe, utilizând expresiile momentelor de inerţie ale

suprafeţelor simple şi relaţiile lui Steiner, prin însumare, se obţin momentele de inerţie ale

suprafeţei de formă complexă.

Aplicaţia 3.1 Să se determine expresiile momentelor de inerţie pentru dreptunghiul de

laturi b şi h (fig. 3.10).

Rezolvare: Se consideră elementul de arie dA = b dy,

.123

32

2

32

2

22 bhybdyybdAyI

h

h

h

hA

z

(3.36)

În acelaşi mod, se determină momentul de inerţie faţă de axa Oy:

.12

3hbI

y (3.37)

Momentul de inerţie polar este egal cu:

.12121212

2222

33

bhA

bhhbhbbh

IIIyzp

(3.38)

Modulele de rezistenţă au expresiile:

6

2

12 ;6

2

122

3

2

3

max

hb

b

hb

Wbh

h

bh

y

IW y

zz

Fig 3.10

Considerând relaţiile lui Steiner: AyIIGzz

2

0 , rezultă:

3

3112212

3323

1

bhbhbh

hbhI

z

În cazul particular al secţiunii pătrate rămân valabile formulele stabilite anterior, unde b

= h = a = latura pătratului, adică:

- 50 -

.4

,3

,3

,6

0;12

4444

4

1111

aI

aI

aI

aI

Ia

III

yzyzp

zyyzp

Aplicaţia 3.2 Pentru triunghiul din fig.3.11 se cer să se calculeze momentele de inerţie

faţă de axele Oz şi Gz

G .

Fig. 3.11

Rezolvare: Se consideră elementul de arie dA = z dy şi raportul:

.12

.

3

0

3

0

2

0

22 bhdyydyyh

h

bdyyyh

h

bdAyI

h

yh

hhh

A

z

(3.39)

.3618

1

12

1

2312

3

3

23

2

0

bhbh

bhhbhAyII

zzG

(3.40)

Aplicaţia 3.3 Se cere să se determine expresiile momentelor de inerţie pentru suprafaţa

circulară de rază R = D/2 din figura 3.12.

Fig. 3.12

Rezolvare: Considerând y = ρsinθ şi dA = ρdθdr rezultă

.644

sin44

sinsin422

0

2

4

0

22

0

2

2

0 0

22 Drd

rdddI

rr

z

(3.41)

Datorită simetriei în raport cu orice direcţie centrală, momentele de inerţie axiale

centrale Iz şi Iy sunt egale.

.32

4DIII

yzp

(3.42)

Pentru o suprafaţă circulară cu diametrul exterior D şi diametrul interior d:

.6432

4444 dDIIdDIyzp

(3.43)

Razele de inerţie sunt:

- 51 -

.4

D

A

Iii z

yz (3.44)

În cazul secţiunii circulare, orice axă ce trece prin centrul de greutate este şi axă

principală centrală de inerţie, iar elipsa centrală de inerţie este un cerc.

Aplicaţia 3.4 Se cer să se calculeze momentele de inerţie Iz şi Iy în raport cu axele care

trec prin centrul de greutate pentru suprafaţa din figura 3.13.

Rezolvare: Faţă de sistemul arbitrar de axe ales z1Oy1 rezultă:

mm.ImmI

mmA

Ayymmz

yz

i

ii

GG

67,9012

82

12

82 ;67,290165,2

12

82165,2

12

28

;5,6162

169164;4

332

32

3

Fig. 3.13

Aplicaţia 3.5 Pentru suprafaţa plană din figura 3.14 se cer să se determine axele

principale centrale de inerţie, momentele de inerţie faţă de aceste axe şi elipsa centrală de

inerţie.

Rezolvare: Împărţind suprafaţa dată în două suprafeţe dreptunghice şi , faţă de

sistemul arbitrar ales z1Oy1 se obţin:

;mm5,4242

241248 ;mm5,3

242

246241

i

ii

G

i

ii

GA

Azz

A

Ayy

Fig. 3.14

.mm420245,35,20245,35,20

;mm884245,312

122245,3

12

122

;mm596245,212

122245,2

12

122

4

423

2

3

42

32

3

zy

y

z

I

I

I

Semnul negativ al lui Izy ne arată că axa de maxim trece prin cadranele I şi III.

- 52 -

;916,2

596884

420222

zy

zy

II

Itg

.'30144º'3054;10971180271916,2221 iarctg

.mm296 mm1184

42048845962

1

2

8845964

2

1

24

21

2222

2,1

II

IIIII

I zyyz

yz

Pentru verificarea rezultatelor de până acum, folosim relaţia de control: ,2

21 zyyzIIIII

care se verifică pentru rezultatele obţinute.

mm.A

Iiiarmm

A

Ii 48,2

48

296 97,4

48

1184 22

11

Împrăştierea materialului este după axa 2, deci elipsa este alungită după această axă.

Având trasată elipsa la scară, putem măsura razele de inerţie după oricare două direcţii

perpendiculare în centrul de greutate.

Aplicaţia 3.6 Se cer să se calculeze momentele de inerţie Iz şi Iy pentru suprafaţa din

figura 3.15.

Fig. 3.15

Rezolvare: Pentru elementul detaşat de lăţime dz, conform relaţiei:

.3

1 3ydzdIz (3.38)

Deci: ;mm10197,325

643

2

3

1 46

40

0

3240

40

3

z

z

z

z

zzdz

zdzydII

.mm10092,125

642; 46

40

0

2

2

40

40

22

z

z

z

z

yyydz

zzydzzdIIdAzdI

Pentru determinarea razelor de inerţie, este necesar calculul ariei de sub curbă:

.mm341325

642 2

40

0

2

dzz

dzyA

z

z

.mm9,173413

10092,1 ;mm6,30

3413

10197,3 66

A

Ii

A

Ii

y

yz

z

Aplicaţia 3.7 Să se calculeze momentul de inerţie Gz

I pentru suprafaţa din figura 3.16.

Rezolvare: Este necesar să se determine aria triunghiului DFE cu BE = 60 mm şi unghiul

de 30o între BE şi BA.

;08,96866,0

21,83;21,83603030cos200

i

ii

GA

AyyiarmmDFmmh

- 53 -

.1074,71

2

3

21,833021,8308,96

36

21,8308,96

12

30cos200200

;72,57

21,8380,962

130cos200200

2

1

3

21,833021,8308,96

2

130cos

3

20030cos200200

2

1

46

2

33

mmI

mmy

z

G

Considerând AyIIGzz

2

0 se obţine:

.mm1035,27 ;72,5721,8308,962

130cos200200

2

11074,71 4626

GG zzII

Fig. 3.16 Fig 3.17

Aplicaţia 3.8 Pentru suprafaţa plană din figura 3.17 formată dintr-un profil U 30 şi unul

I 20 se cere să se calculeze axele centrale principale de inerţie, momentele de inerţie faţă de

aceste axe şi elipsa centrală de inerţie.

Rezolvare:

.mm9,111 ;33505880

3350455880150

;mm1,19 ;33505880

335010058807,2

G

i

ii

G

G

i

ii

G

zA

Azz

yA

Ayy

;mm105,103350459,1111011758809,111150108030

;mm10077,633501,191001021405880271,1910495

472424

472424

y

z

I

I

.47 mm108455,23350459,1111,19100058809,111150271,190 zy

I

'4262866,122866,1077,65,10

8455,2222

arctgdeci

II

Itg

zy

zy

;mm10685,4ºmm10892,11

1028455410077,65,102

110

2

5,10077,6

42

1

2

47

2

47

1

72727

22

2,1

IiI

IIIII

Izyyz

yz

mm.2,719230

10685,4ºmm5,113

9230

10892,11 7

2

2

7

1

1

A

Iii

A

Ii

- 54 -

Competente


problematica determinarii caracteristicilor geometrice de rang superior ale suprafetelor plane.


construiasca elipsele principale centrale de inertie pentru diferite suprafete plane de forma

complexa;

realizeze programe de calcul pentru trasarea elipselor principale centrale de inertie.



U3.9.1 Ce se intelege prin moment de inertie axial, polar si axial central al sectiunii?

U3.9.2 Ce efect are schimbarea sistemului de referinta asupra semnului momentului

de inertie centrifugal?

U3.9.3 Care din cele doua momente de inertie ale triunghiului este mai mare:

- cel raportat la o axa ce trece prin baza?

- cel raportat la o axa ce trece prin varf si este paralela cu baza?

U3.9.4 Se modifica suma momentelor de inertie axiale la rotatia axelor?

U3.9 .5 Care este definitia axelor principale de inertie?

U3.9.6 Ce sunt razele de inertie?

U3.9.7 Cum se traseaza elipsa principala centrala de inertie?


Exemplificaţi constructia grafica a elipsei principale centrale de inertie pentru

forme complexe de suprafete.

Bibliografie







RADU Gh. -Munteanu M.- Rezistenţa materialelor şi elemente de teoria elasticităţii, vol. 1, 1994, Ed. “Macarie”, Târgovişte.

- 55 -

Modulul 4. Tractiune- Compresiune

Cuprins

U4.1 Forta axiala, tensiuni,.deformatii.................... ................................................. ..55

U4.2 Tipuri de probleme................................... ........................................................ .58

U4.3 Contractia transversala............................................. .................................... ......59

U4.4 Bare cu variatie de sectiune................................................................... ............ .60

U4.5 Calculul barelor verticale luand in considerare greutatea proprie.................... .64.

U4.6 Probleme static nedeterminate............................................................. ............. ..69

U.4.6.1 Piese cu sectiune neomogena.................................................... ..................69

U 4.6.2 Bara articulata ( incastrata) la ambele capete................................ .............70

U 4.6.3 Sisteme de bare paralele si grinda de rigiditate foarte mare........... ............71

U 4.6.3.1 Sistem de bare paralele si grinda articulata la un capat..... ...................71

U 4.6.3.2 Sistem de bare paralele si grinda nearticulata la capete... .....................72

U 4.6.4 Sistem simetric de bare articulate concurente...................... ........................72

U 4.6.5 Sistem de bare articulate concurente...................................... ......................73

U 4.6.6 Tensiuni aparute in urma variatiilor de temperatura................. ...................74

U 4.6.7 Tensiuni aparute ca urmare a unor imperfectiuni de montaj... .....................76

U4.7 Aspecte ale calculului la compresiune............................................. ...................77

U 4.7.1 Ruperea............................................................. ..................... ......................77

U 4.7.2 Strivirea............................................................................... .........................78

U4.8 Incercari de rezistenta ale materialelor la tractiune- compresiune

Curba caracteristica............................................................................. .................81

U 4.8.1 Generalitati.................................................................................... ...............81

U 4.8.2 Incercarea de tractiune................................................................ .................83

U 4.8.2.1 Epruvete. Conditii generale de prelevare a epruvetelor....... ................83

U 4.8.2.2 Incercarea la tractiune.................. .................................... .....................83

U 4.8.2.3 Curba caracteristica............................................................. .................84

U 4.8.3 Tensiunea admisibila............................................... ...................... ............. .88

U 4.8.4 Incercarea de compresiune.............................................................. ............88

U 4.9 Test de evaluare a cunostintelor................................................................. ......94

U4.1 Forta axiala, tensiuni,.deformatii

Se consideră o bară de secţiune constantă A (dreptunghiulară, circulară sau pătrată)

având lungimea l. Asupra barei se aplică un sistem de forţe egale şi de sens contrar P,

orientate de-a lungul axei normale pe secţiune (Fig. 4.1,a şi b). În primul caz (Fig.4.1,a), când

se trage de material, se spune despre acesta că este întins, solicitarea fiind de tracţiune. În al

doilea caz (Fig.4.1,b), când materialul este apăsat cu forţa F, se spune că acesta este

comprimat, solicitarea fiind de compresiune. Tracţiunea este uşor de sesizat, aceasta având

- 56 -

ca efect direct mărirea lungimii iniţiale (ex: cablurile unui ascensor îşi măresc lungimea

iniţială sub acţiunea greutăţii propri şi a greutăţii pasagerilor; o gumă sau o bandă de cauciuc

îşi poate mări lungimea, prin tragere, de până la două ori comparativ cu cea iniţială; cablurile

unui pod suspendat, sub acţiunea greutăţii de rulare şi a greutăţii maşinilor din trafic, îşi pot

mări lungimea cu până la 1/300 din cea iniţială etc.). Compresiunea are ca efect direct

micşorarea lungimii initiale (sub acţiunea forţei) (ex: stâlpii de susţinere ai unui zgârie-nori,

confecţionaţi din oţel sau din beton, sub acţiunea greutăţilor, planşeelor şi a încărcării fiecărui

nivel se pot scurta cu până la 20 mm la 300 metri înălţime).

Făcând o secţiune în bară, într-un loc ales oriunde de-a lungul acesteia, forţa axială N,

în secţiunea respectivă, este egală cu suma proiecţiilor pe axa barei a tuturor forţelor care

se găsesc de o parte a secţiunii. În cazul compresiunii, calculul se face în ipoteza, restrictivă, că bara nu este prea zveltă

(secţiunea mică comparativ cu lungimea) şi astfel, nu are loc o pierdere a stabilităţii

(flambajul, ca fenomen se va studia, separat, într-un capitol ulterior).

În practică, există situaţii în care piesele componenete ale diferitelor ansambluri, nu sunt

supuse la forţe constante de întindere şi/sau compresiune ci, de-a lungul lor au loc variaţii ale

acestora. Ca urmare, pentru determinarea stării de solicitare este necesară trasarea diagramei

forţelor axiale de-a lungul axei piesei (Fig. 4.2).

Studiul tracţiunii şi/sau compresiunii se poate realiza luând în considerare trei aspecte:

geometric, fizic şi static. Pentru aceasta se consideră o bară realizată dintr-un material

omogen şi izotrop şi care se supune legii lui Hooke. Bara studiată (Fig.4.3) are o secţiune

transversală constantă, de formă dreptunghiulară, fiind încastrată la unul din capete şi liberă la

celălalt. La capătul liber acţionează forţa P, solicitarea având loc static, în domeniul elastic.

Studiul aspectului geometric urmăreşte punerea în avidenţă a modului de deformare a barei

supusă la solicitarea de tracţiune.

Fig. 4.1 Fig. 4.2

Pe suprafeţele laterale ale barei se va trasa o reţea de linii (Fig.4.3) în modul următor:

paralel cu axa longitudinală OO’ se marchează o serie de generatoare GG’ egal distanţate

între ele; perpendicular pe generatoare se marchează o serie de directoare DD’ care, la rândul

lor, sunt egal distanţate între ele. Ca urmare, va rezulta o reţea constituită din dreptunghiuri

egale între ele. Supunând bara la tracţiune, în domeniul elastic, după încetarea acţiunii forţei

P, la analiza suprafeţelor laterale se vor constata următoarele:

1 - lungimea iniţială a barei s-a modificat în sensul măririi ei;

2 - dreptunghiurile, care în faza nesolicitării barei erau paralele cu axa ei longitudinală,

rămân şi după solicitare, paralele cu axa longitudinală;

3 - analizând liniile generatoare şi cele directoare se observă o comportare diferită a

lor: distanţa între generatoare nu a suferit nici o modificare, rămânând la valoarea iniţială, iar

poziţia lor raportată la axa longitudinală a rămas aceeaşi adică, şi după acţiunea forţei,

generatoarele rămân paralele cu axa longitudinală; distanţa între directoare a suferit

modificări în sensul îndepărtării directoarelor faţă de pozitia iniţială (linia punctată în Fig.4.3)

- 57 -

dar, comparativ cu poziţia lor iniţială în raport cu generatoarele, rămân normale pe acestea.

Analizând cele de mai sus, se pot trage următoarele concluzii:

a) pe suprafeţele laterale nu apar deformaţii unghiulare γ şi, ca urmare, tensiunile

tangenţiale τ sunt nule (acelaşi lucru se întâmplă şi în interiorul materialului);

b) confirmarea ipotezei lui Bernoulli, secţiunile plane şi perpendiculare pe axa

longitudinală a barei, înainte de deformaţie, rămânând plane şi normale pe axă şi după

deformaţie.

Fig. 4.3

Aspectul fizic al solicitării se referă la aplicabilitatea legii lui Hooke, pe baza căreia, se

poate scrie relaţia de legătură dintre tensiunea normală σ, care apare ca urmare a acţiunii

forţei axiale, lungirea specifică ε şi modulul de elasticitate longitudinal E:

σ = E ε, (4.1)

Pe baza celor arătate anterior, la discutarea aspectului geometric, pentru o forţă axială

constantă, lungirea specifică este constantă şi ca urmare, pe baza relaţiei (4.1), tensiunea

normală σ, într-o secţiune, este constantă, ceea ce exprimă legea repartiţiei uniforme a

tensiunii (Fig. 4.4 a şi b).

Aspectul static rezultă din relatia de echivalentă referitoare la tensiunile normale şi forţa

axială: rezultanta tensiunilor normale σ într-o secţiune transversală de aria A este tocmai

efortul axial N (Fig. 4.4,a):

AdAdANAA

(4.2)

Observaţie: - relaţia (4.2) este considerată a fi relaţia fundamentală a solicitării de

tracţiune - compresiune.

Calculul deformaţiilor se face pornind de la relaţiile (4.1) şi (4.2). Astfel, din relaţia

(4.1), se poate obţine:

E

(4.3)

iar din (4.2):

A

N (4.4)

Fig. 4.4

- 58 -

Combinând relaţiile (4.3) şi (4.4) se va obţine o nouă relaţie, de data aceasta o relaţie de

legătură între ε, N, E şi A:

AE

N (4.5)

Produsul EA poartă denumirea de modul de rigiditate la întindere-compresiune. Se

poate defini rigiditatea axială k a unei bare ca fiind forţa axială necesară pentru

producerea unei alungiri egale cu unitatea:

l

AEk (4.6)

Lungirea totală este dată de relaţia:

AE

Nll (4.7)

În cazul în care forţa axială şi secţiunea sunt variabile în lungul axei barei, un element

oarecare de bară de lungime Δx se deformează cu cantitatea:

.dxAE

Ndx

Edxdx

Prin integrare se obţine:

l

0

l

0

.1

l dxA

N

Edx

În cazul în care, separat, forţa axială N, pe o anumită porţiune, nu este constantă având

o valoare dată de o lege de variaţie oarecare N = N(x) sau secţiunea A, la rândul ei, nu este

constantă sau sunt atât forţa cât şi secţiunea variabile după două legi de variaţie diferite, în

acelaşi timp, lungirea totală se calculează prin una din relaţiile:

.l;l;llll

dxxAE

xNdx

xAE

Ndx

AE

xN (4.8)

Observaţie: - în cazul în care bara are mai multe tronsoane, deformaţia totală este dată

de: ,ll1

n

i

itot unde "n" reprezintă numărul de tronsoane.

4.2. Tipuri de probleme

În practică, în cazul pieselor solicitate la tracţiune-compresiune, pot să apară

următoarele trei tipuri de probleme:

a) Probleme de dimensionare: - sunt probleme în care este necesară determinarea

mărimii secţiunii transversale A a piesei, cunoscându-se nivelul de solicitare (valoarea forţei

axiale N în zona de interes), natura materialului (valoarea modulului de elasticitate

longitudinal E şi valoarea tensiunii admisibile σa). Pe baza relaţiei (4.4), se poate calcula aria

necesară Anec:

a

nec

NA

(4.9)

Uneori, din punct de vedere constructiv, sunt impuse restricţii legate de valoarea

limită a lungirii totale Δl, aceasta neputând să depăşească o anumită valoare admisibilă Δla.

Din relaţia (4.7) se poate calcula aria necesară sub forma:

a

necE

NA

l

l

(4.10)

b) Probleme de calcul a forţei capabile: - sunt probleme în care se determină

valoarea forţei axiale N pe care o poate suporta o piesă într-o secţiune a sa cunoscându-se

natura materialului (valoarea modulului de elasticitate longitudinal E şi valoarea tensiunii

- 59 -

admisibile σa) şi forma secţiunii transversale a piesei (valoarea ariei secţiunii considerate A).

Folosind relaţia (4.2), rezultă:

ANacap

(4.11)

Dacă, aşa cum s-a specificat şi la punctul a), există situaţii de constrângere geometrică

legate de impunerea unei anumite valori pentru lungirea totală admisibilă Δla, se obţine:

EAN a

capl

l (4.12)

c) Probleme de verificare: - sunt probleme în care se determină nivelul tensiunii

efective, într-o secţiune, pentru a putea fi comparat cu cel admisibil σa (valoarea maximă la

care poate ajunge tensiunea normală σ într-o secţiune). În acest caz, se cunosc valorile

efective ale secţiunii Aef şi forţei axiale Nef din secţiunea considerată. Calculul se face cu

ajutorul relaţie (4.4):

ef

ef

efA

N (4.13)

Se disting două situaţii:

I) aef , caz în care piesa rezistă;

II) aef , caz în care piesa nu rezistă.

Pe lângă verificarea tensiunii normale σ, în unele cazuri impuse de practică, se mai

poate realiza şi verificarea lungirii totale Δl. Pentru aceasta se foloseşte relaţia (4.7).

4.3. Contracţia transversală

Unul din efectele geometrice, pe lângă cel legat de lungirea totală, este micşorarea

dimensiunilor transversale ale piesei. Fenomenul poartă denumirea de contracţie

transversală. Contracţia transversală este proporţională cu lungirea specifică a barei putând fi

exprimată sub forma:

, t

(4.14)

Se consideră o bară prismatică având dimensiunile: lungimea l, înălţimea h şi lăţimea b

(Fig. 4.5). Asupra ei se actionează cu o pereche de forţe axiale N. Sub acţiunea acestor forţe,

forma barei rămâne neschimbată dar, dimensiunile se modifică cu cantităţile: Δl, Δh şi Δb

(forma punctată din Fig. 4.5). Valorile variaţiilor dimensiunilor sunt date de relaţiile:

.;;lll111

bbbhhh (4.15)

Fig. 4.5

În acelaşi timp, pentru variaţiile dimensionale, se mai pot scrie relaţiile:

,

.;;ll

t

zyxbbhh

(4.16)

Pe baza relaţiilor (4.15), în care se introduc coeficienţii contracţiei trans-versale,

variaţiile dimensionale pot fi exprimate:

- 60 -

.

;

;ll

bbb

hhh

xz

xy

x

(4.17)

În faza iniţială, când nu acţionează forţa axială N, mărimea secţiunii transversale este

egală cu: A0 = bh. Sub acţiunea forţei axiale N, dimensiunile modificându-se, aria va avea o

nouă valoare:

.1122

11

xix

xx

Ahb

hhbbhhbbhbA

(4.18)

Prin rezolvarea parantezei şi neglijând termenii infinitezimali rezultă:

x

AA 210

(4.19)

Modificarea mărimii secţiunii transversale în acelaşi timp cu modificarea lungimii barei

considerate, fac ca şi volumul să sufere, la rândul său, o modificare. a mărimii sale. Astfel, în

faza iniţială, volumul este: . În faza finală, după acţiunea forţei N, volumul final va avea

valoarea:

ll hhbbVf (4.20)

variaţia volumului fiind: ifVVV .

Raportând variaţia volumului ΔV la valoarea sa iniţială Vi se obţine deformaţia

specifică de volum:

i

vV

V (4.21)

Introducând expresia volumului iniţial şi relaţia (4.20) în (4.21) rezultă:

l

l

h

h

b

bv (4.22)

Având în vedere relaţiile (4.8), deformaţia specifică de volum se poate scrie sub noua

formă:

zyxv (4.23)

În relaţia (4.23) dacă se înlocuiesc εy şi εz cu relaţiile (4.16) se obţine:

21xv (4.24)

Pentru oţel valoarea coeficientului lui Poisson este ν = 0,3 şi din relaţia (4.24) se obţine

o creştere a volumului dată de: xv

4,0 .

Observaţie: - din punct de vedere fizic, la solicitarea de tracţiune, modificarea

volumului este în sensul măririi sale şi ca urmare, deformarea specifică volumică este

pozitivă: εx > 0. Având în vedere că de-a lungul axei x are loc o lungire a materialului (de la

valoarea iniţială l la cea finală l1),εx > 0, şi ca urmare, din (4.24) rezultă că: 1-2ν >0. Din

această inegalitate se poate trage concluzia că valoarea coeficientului νν este limitată la 0,5 (

ν < 0,5 ).

4.4. Bare cu variaţie de secţiune

În practică, piesele folosite în diferite ansamble constructive pot avea secţiuni

transversale constante sau variabile. Variaţia secţiunii poate fi pe toată lungimea piesei după o

anumită lege (fie dată de existenţa unor găuri de uşurare, prindere etc. fig. 4.6 secţ. B - B şi D

- D) sau poate fi dată de existenţa unor elemente de prindere (nituri, buloane, scoabe, pene

- 61 -

etc.) pentru montarea cărora este necesară practicarea unor găuri (fig. 4.7).

Fig 4.6

Prin definiţie, secţiunea curentă, neslăbită prin practicarea diferitelor decupări, poartă

denumirea de secţiune brută iar secţiunea cea mai mică (cea slăbită) se numeşte secţiune

netă. Aceasta este adesea secţiunea în care se dezvoltă tensiunile normale maxime şi de aceea

se numeşte secţiune periculoasă.

Pentru pârghia prezentată în figura 4.6 s-au pus în evidenţă trei zone (B - B, B1 - B1 şi D -

D) care în secţiunile transversale au practicate diverse decupări, suprafeţele care trebuiesc

luate în calcul fiind cele haşurate. În lungul pârghiei, secţiunea rămâne constantă ca formă dar

variabilă ca valoare pentru suprafaţa efectivă care preia forţa axială, modificându -se lăţimea

tălpii superioare bx .

Un alt exemplu de pie-să cu concentrator este cel al platbandei nituite din figura 4.7.

Fig. 4.7

În cazul pieselor care au o variaţie de secţiune continuă, tensiunea se poate considera că

prezintă o repar-tiţie uniformă în orice secţiune.

Dacă piesele au vari-aţii bruşte de secţiune, repartiţia tensiunii nu mai este uniformă,

putând să apară salturi foarte mari.

Aceste salturi pot fi în unele cazuri de câteva ori mai mari ca tensiunea din zona plină.

Pentru platbanda din figura 4.8, de lăţime b şi grosime h, valoarea tensiunii într-un

punct oarecare la o distanţă y de centrul găurii este dată de relaţia:

.32

3

81

4

4

2

2

y

d

y

d

bh

Ny

(4.25)

Considerând un punct B de pe marginea găurii şi calculând valoarea tensiunii în punctul

- 62 -

respectiv, pentru 2/dy rezultă: hb

Nb

3 , unde hb

N reprezintă tensiunea din zona plină a

platbandei.

Observaţii: Variaţia bruscă de secţiune, care dă naştere unui fenomen de concentrare

a eforturilor, poartă numele de concentrator. Fenomenul care are ca efect perturbarea

repartizării tensiunilor normale de-a lungul secţiunii transversale poartă denumirea de

concentrator de tensiuni.

Raportând tensiunea maximă, dată de existenţa concentratorului, la tensiunea normală

din secţiunea plină, se obţine coeficientul teoretic de concentrare sau coeficientul de formă

αk:

.max

n

k

(4.26)

Valoarea coeficientului αk este supraunitară:αk > 1. Studiile cele mai complete întreprinse

asupra coeficienţilor de concentrare au fost realizate în regim elastic şi sub încărcări statice.

Ca urmare, o primă concluzie care s-a tras a fost aceea că: există o dependenţă a

coeficientului de concentrare faţă de material existând în acelaşi timp o puternică legătură

faţă de parametrii geometrici ai secţiunii.

Determinarea coeficienţilor de concentrare a tensiunilor a fost realizată experimental iar

valorile obţinute au fost transpuse în grafice.

Exemple de concentratori pentru diferite cazuri întâlnite frecvent în tehnică se prezintă

în:

- figura 4.9 - Bare de secţiune circulară în trepte;

- figura 4.10 - Bare de secţiune circulară cu gaură transversală;

- figurile 4.11, 4.12 şi 4.13 - Platbenzi cu variaţie de lăţime cu racordare circulară;

- figurile 4.14 şi 4.15 - Platbenzi cu crestături laterale, pe aşbele părţi;

- figura 4.16 - Platbandă cu crestătură laterală pe o singură parte;

- figura 4.17 - Platbandă cu gaură centrică;

- figura 4.18 - Platbandă cu gaură excentrică.

Fig. 4.9. Fig. 4.10.

- 63 -

Fig. 4.11. Fig.4.12

Zonele în care există aceşti concentratori de tensiune sunt deosebit de periculoase, mai ales în

construcţia de maşini. Ca urmare, este necesară evitarea lor, care poate fi r ealizată prin măsuri

constructive care să diminueze efectul de concentrare ca de exemplu: racordări cu raze,

mărirea secţiunilor etc. În cazul folosirii metodei rezis -tenţelor admisibile, pentru solicitări

statice, este suficient să se ţină cont de calcule de secţiunea netă a piesei neintroducându-se în

calcule αk. Din punct de vedere al calităţilor materialelor, deosebit de periculoşi sunt

concentratorii de tensiune pentru materiale fragile.

Fig. 4.13 Fig. 4.14

Fig. 4.15 Fig. 4.16

- 64 -

Fig. 4.17 Fig. 4.18

4.5. Calculul barelor verticale luând în considerare greutatea proprie

Se consideră o bară de lungime l foarte mare, de secţiune constantă A şi având

greutatea specifică γ (Fig.4.19). La unul din capete bara este încastrată. Pentru generalizare,

se consideră că la capătul liber acţionează o forţă P. Materialul din care este confecţionată

bara are modulul de elasticitate E ( EA = const.) fiind izotrop, omogen şi se respectă legea lui

Hooke.

Fig.4.19

Într-o secţiune oarecare, situată la distanta X faţă de capătul liber, forţa axială N ce se

dezvoltă în secţiunea transversală este egală cu:

.xAPNx

(4.27)

Având în vedere că forţa P şi secţiunea A sunt constante rezultă că forţa axială, din

punct de vedere matematic, se poate reprezenta printr-o funcţie liniară de variabilă x. Valorile

extreme ale forţei sunt date pentru:

x = 0 - forţa axială este minimă N = P;

x = l - forţa axială este maximă

- 65 -

N = P + γ A l = P + Q,

unde: Q este greutatea barei.

Pentru determinarea tensiunii normale x

în secţiunea considerată, la distanţa x faţă

de capătul liber, se raportează forţa din secţiune la valoarea secţiunii, conform relaţiei (4.4):

.xA

P

A

xAP

A

Nx

x

(4.28)

Ca şi în cazul forţei, se constată că tensiunea are o variaţie liniară având valorile

extreme pentru:

x = 0 - tensiunea normală minimă A

P ;

x = l - tensiunea normală maximă .l A

P

Condiţia de rezistenţă impusă este de a limita valoarea tensiunii maxime (σmax) la

valoarea tensiunii admisibile (σa), respectiv:

.lmax a

A

P (4.29)

de unde rezultă:

.l

a

PA (4.30)

Fără forţa concentrată (P = 0), deci numai sub acţiunea greutăţii proprii, tensiunea

maximă este egală cu:

,lmax

(4.31)

Relaţie cu ajutorul căreia se poate determina o caracteristică de material, numită lungimea de

rupere lr , adică acea lungime pentru care se produce ruperea barei numai sub acţiunea

greutăţii proprii:

.l

r

r (4.32)

Lungimea de rupere reprezintă un coeficient de calitate al materialului fiind cu atât mai

mare cu cât materialul este mai rezistent dar totodată şi mai uşor.

În tabelele 4.1 şi 4.2 sunt prezentate câteva valori ale lungimii de rupere pentru diferite

materiale întâlnite mai des în practica inginerească. Probleme deosebite legate de acest aspect

al solicitării se întâlnesc în industria aeronautică, în industria petrolieră (la sapele de foraj)

etc.

- 66 -

Tabelul 4.1

Tabelul 4.2

- 67 -

Fig.4.20

Realizarea unei secţiuni cu valoarea determinată pe baza relaţiei (4.30), secţiune constantă de

la un capăt la celălat al barei, nu este avantajoasă din punct de vedere al utilizării materialului.

Valoarea determinată este necesară în capătul încastrat al barei, acolo unde tensiunea normală

este maximă, în rest nefiind necesară aceeaşi valoare deoarece, aşa cum rezultă şi din formula

(4.28), între cele două capete tensiunea obţinută prin raportarea forţei axiale Nx la secţiunea

determinată cu relaţia (4.30) este mai mică decât cea admisibilă. Deci, este necesară o

utilizare cât mai bună a materialului. Cu alte cuvinte, materialul trebuie să suporte, în toate

secţiunile sale, tensiuni egale a căror valori nu pot depăşi pe cea admisibilă sa. Se consideră o

bară supusă la întindere sau compresiune (Fig.4.20,a şi b). La distanţa x faţă de capătul liber

suprafaţa secţiunii este Ax iar la o distantă dx de cea considerată anterior aria suprafeţei este

Ax + dAx. Punând conditîţia de echilibru a forţelor de pe cele două suprafeţe de bară şi ţinând

cont că tensiunile trebuie să fie egale cu cea admisibilă, rezultă:

.dxAdAAaxxa

(4.32)

sau: .dxA

dA

ax

x

(4.33)

de unde: .ln CxAa

x

(4.34)

Determinarea constantei C se face punându-se condiţia: pentru x = 0 .0

AAx Pe

baza acestei condiţii se obţine: C = ln A0. Ca urmare, relaţia (4.34) va avea forma

0lnln AxA

a

x

, sau ţinând seama de proprietăţile logaritmilor:

.ln0

xA

A

a

x

(4.35)

Efectuând calculele în relaţia (4.35) se va obţine:

x

xaeAA

0 (4.36)

Relaţia (4.36) exprimă legea de variaţie a secţiunii pentru o grindă de egală rezistenţă

funcţie de aria iniţială A0. Dacă în secţiunea situată la capătul liber acţionează o forţă P,

relaţia (4.36) devine:

x

a

xae

PA

(4.37)

Din punct de vedere matematic, variaţia secţiunii este dată de o funcţie exponenţială.

Această variaţie este foarte greu de realizat practic (în bune condiţii tehnologice) şi de aceea

s-a recurs la realizarea secţiunilor în trepte cu valori constante pe intervale delimitate

- 68 -

(Fig.4.21).

Fig.4.21

Pentru dimensionarea primului tronson se porneşte de la formula (4.30) obţinându-se:

.lll1

11

1

0

1

1

a

a

a

a

a

PPPA

Pe tronsonul al doilea sarcina axială maximă se găseşte în sectiunea 1 - 1 şi este:

11

1

1111ll

ll

a

a

a

PPPAPN

Aplicând, din nou relaţia (4.30) se obţine mărimea secţiunii celui de-al doilea tronson:

.

lll212

11

2

aa

a

a

PNA

În mod asemănător, pentru cel de-al treilea tronson se obţine:

.

lll321

2

3

aaa

aP

A

Prin recurenţă, la o bară care are n tronsoane, aria celui de-al n - lea tronson se obţine ca

fiind egală cu:

.

l...lll321

1

naaaa

n

a

n

PA

(4.38)

Pe lângă determinarea mărimii secţiunii, o importanţă deosebită în cazul acestor bare

prezintă şi calcularea lungirii lor. Pentru aceasta, se consideră un element de bară de lungime

dx (Fig.4.22) la o distanţă x de capătul liber. Forţa axială în secţiunea considerată este:

xAPNx

. Lungirea elementului considerat este egală cu:

AE

dxxAPdx

Fig. 4. 22

Lungirea barei rezultă din însumarea lungirilor existente de-a lungul întregii bare:

- 69 -

l

0

2

l

02

11l

xAxP

AEdx

AE

xAP

sau: .

2

lll

AP

AE

Având în vedere că produsul ( γAx ) reprezintă greutatea întregii bare Q, alungirea va

avea forma:

.2

ll

QP

AE (4.39)

Lungirea Δl a barei, numai sub acţiunea greutăţii proprii, este conform relaţiei (4.39), în

care P = 0:

.2

l

2

ll

2

EAE

Q (4.40)

Pentru bara confecţionată din tronsoane, lungimea totală Δl se obţine însumând lungirile

fiecărui tronson în parte:

.2

l

2

ll

2

EAE

Q (4.41)

valoarea totală fiind: .ll1

n

i

itot

4.6. Probleme static nedeterminate

În practica inginerească curentă se întâlnesc numeroase cazuri în care valoarea forţei

axiale din dreptul diverselor secţiuni transversale ale barei nu poate fi determinată numai cu

ajutorul ecuaţiilor cunoscute din statică. Astfel de probleme se numesc static nedeterminate.

Pentru rezolvarea acestora se utilizează condiţii suplimentare de deformabilitate pe care

trebuie să le satisfacă bara sau sistemul de bare.

4.6.1 Piese cu secţiune neomogenă

Astfel de piese sunt realizate din două sau mai multe componente, componente

confecţionate din materiale diferite şi având în acelaşi timp şi secţiunile diferite: cabluri din

cupru sau aluminiu cu inimă din oţel, corpuri din lemn şi oţel, stâlpi de beton armat etc.

Pentru uşurinţă în calcul, se consideră cazul simplu al unei ţevi de oţel în care se introduce o

bară de cupru. Cele două componente au aceeaşi lungime l şi sunt solidarizate la capete cu

două flanşe (fig.4.23) astfel încât să lucreze împreună. Asupra lor se acţionează cu un sistem

de forţe P. Cele două elemente au următoarele caracteristici: - ţeava din oţel: modulul de

elasticitate longitudinal E1 (EOl = 2,1 •105 MPa) şi secţiunea A1; - bara de cupru: modulul

de elasticitate longitudinal E2 (ECu = 105 MPa) şi sectiunea A2. Oţelul şi cuprul vor prelua,

fiecare, câte o parte din forţa totală P, astfel încât se poate scrie relaţia de legătură:

.21

NNP (4.43)

unde N1 este forţa prelaută de ţeava de oţel iar N2 este forţa prelaută de bara de cupru. Relaţia

(4.43) conţine două necunoscute N1 şi N2. Pentru rezolvarea problemei este necesară

precizarea condiţiilor de deformare. Astfel, se admite că lungirile celor două materiale,

solidarizate, sunt egale :ll21

- 70 -

Fig. 4. 23

.2121

21

2

2

1

1

AEAE

P

AEAE

NN

AE

N

AE

N

CuOlCuOlCuOl

(4.44)

Din relaţia (4.44) se determină:

.;21

2

2

21

1

1P

AEAE

AENNP

AEAE

AENN

CuOl

Cu

Cu

CuOl

Ol

Ol

(4.45)

Generalzând, pentru n componente se vor obţine:

- forţa axială din fiecare bară: ;

1

P

AE

AEN

n

k

kk

kk

k

(4.46)

- tensiunea normală din fiecare bară: ;

1

PAE

En

k

kk

k

k

(4.47)

- lungirea fiecărei bare: ;l

lkk

k

kAE

N (4.48)

unde

n

kkk

AE1

= modulul de rigiditate la tracţiune al secţiunii neomogene.

O problemă deosebită în cazul acestor piese o constituie realizarea condiţiei de egală

rezistenţă. Această condiţie impune ca în toate elementele constitutive să se atingă simultan

tensiunea admisibilă, bara lucrând în condiţiile cele mai economice. Condiţia de

deformabilitate rezultă din:

....

1

3

3

2

2

1

1

n

kkk

n

anaaa

AE

P

EEEE

(4.49)

Această condiţie de egalitate (4.49) nu poate fi satisfăcută, de aceea, la dimensionarea

unei bare cu secţiune neomogenă, se va realiza tensiunea admisibilă într-unul din elemente,

celelalte urmând să fie solicitate la tensiuni mai mici.

4.6.2 Bară articulată (încastrată) la ambele capete

Se consideră o bară de lungime l (fig.4.24) având modulul de rigiditate constant EA =

const. şi asupra căreia, în punctul acţionează o forţă de intensitate P.

Aplicând singura ecuaţie de echilibru static utilizabilă în acest caz, rezultă:

.;0 PXXXBAi (4.50)

- 71 -

Fig. 4.24

Deci problema este simplu static nedeterminată. Studiind deformabilitatea sistemului

(având în vedere că punctele A şi B sunt nedeplasabile) rezultă că punctul de aplicaţie al

forţei P se deplasează axial, porţiunea A-1 lungindu-se cu cantitatea cu care se scurtează

porţiunea B-1. Deci lungirea totală este egală cu zero:

.0lll

11

EA

PX

EA

aXAA

BABA (4.51)

Astfel, din condiţia de deformabilitate, se obţine ,l

bPX

A iar din ecuaţia (4.50):

.l

aPX

B

Metoda de calcul rămâne valabilă şi pentru cazul complex de încărcare când în lungul

barei se aplică mai multe forţe iar rigiditatea este variabilă.

4.6.3 Sisteme de bare paralele şi grindă de rigiditate foarte mare

Cosiderându-se grinda de rigiditate foarte mare (E I ∞) în studiul sistemului

deformaţiilor acesteia vor fi considerate nule. Cu alte cuvinte, linia şediană a grinzii este

dreaptă atât înainte cât şi după aplicarea statică a sistemului de forţe.

4.6.3.1 Sistem de bare paralele şi grindă articulată la un capăt (fig.4.25)

În figură este prezentată grinda OB, articulată în O, susţinută de trei bare (tije) care au

fiecare modulele de rigiditate 2211

, AEAE şi 33

AE . Asupra sistemului acţionează forţele P şi 2P

în punctele B şi G.

Indiferent de tipul problemei (verificare, dimensionare sau calculul forţei capabile),

prima dată trebuiesc determinate forţele ce apar în cele trei bare 1, 2 şi 3. Pentru

determinarea componentelor se poate scrie numai ecuaţia de echilibru:

.0261012sin95;0321

FaFaNaNaNaMO

(4.52)

Fig. 4.25

- 72 -

Observaţie: sumele proiecţiilor pe verticală şi orizontală nu sunt convenabil de utilizat

deoarece introduc cele două reacţiuni X0 şi Y0 din articulaţia O.

Admiţând bara orizontală nedeformabilă, rezultă că sub acţiunea forţelor se deformează

numai barele 1, 2 şi 3 şi grinda orizontală OB rotindu-se dar rămânând dreaptă.

Din asemănarea triunghiurilor corespunzătoare stării deformate (fig. 4.25,b) rezultă

relaţiile de proporţionalitate:

.12

l

95

l 311

aa

DD

a

(4.53)

Exprimând lungirile în funcţie de eforturile din fiecare bară, rezultă ecuaţia:

,12

l

9

cos

l

5

l

33

3

2

22

2

11

1

a

AE

N

a

AE

N

a

AE

N

(4.54)

care se ataşează ecuaţiei de echilibru (4.52).

Rezolvând sistemul se pot determina valorile numerice ale necunoscutelor N1, N2 şi N3.

4.6.3.2 Sistem de bare paralele şi grindă nearticulată la capete

Se consideră sistemul din fig.4.26 format din trei bare (tiranţi) , şi care au fiecare

modulele de rigiditate 332211

, AsiEAEAE şi care susţin grinda BD de rigiditate foarte mare.

Asupra sistemului acţionează în punctul K forţa P. În cele trei bare apar forţele axiale

.321

s, NiNN

Fig. 4.26

Din statică se pot scrie două ecuaţii de echilibru:

.0563;0

;0;0

32

321

PaNaNaM

PNNNY

B

(4.55)

Sub acţiunea forţei P se deformează numai barele verticale, bara orizontală deplasându-

se şi totodată se roteşte rămânând dreaptă.

Din asemănarea triunghiurilor rezultă relaţia:

,2

1

6

3

ll

ll

13

12

a

a (4.56)

care se ataşează ecuaţiilor de echilibru static (4.55) determinându-se valorile necunoscutelor

N1, N2 şi N3.

4.6.4 Sistem simetric de bare articulate concurente

Se consideră sistemul format din trei bare drepte articulate în nodul H solicitate de forţa

P, bare având acelaşi modul de rigiditate.

- 73 -

Calculul se face în ipoteza micilor deformaţii, unghiul α de înclinare al barelor 1 şi 2

putând fi considerat şi în poziţia deformată.

Folosind ecuaţiile de echilibru static ale nodului H rezultă:

.0coscos;0

;sinsin;0

321

31

PNNNY

NNX

(4.57)

Fig. 4.27

Între deformaţiile barelor se poate scrie relaţia de legătură:

,l

lcos

2

1

(4.58)

sau: .coslcos

l

2

1

EA

N

EA

N

(4.59)

de unde rezultă ecuaţia de legătură dintre forţele din bare:

,cos2

231NNN (4.60)

sau: .cos21

;cos21

cos323

2

31

PN

PNN (4.61)

Din expresiile de mai sus rezultă că bara cea mai solicitată este cea verticală, deci nu

este justificat economic ca ele să fie confecţionate cu aceeaşi secţiune, impunându-se pentru

bara a doua o secţiune mai mare.

4.6.5. Sistem de bare articulate concurente

În fig.4.28,a este prezentat un sistem format dintr-un număr de n bare concurente în

articulaţia B. Asupra sistemului acţionează o forţă în articulaţia B. Fiecare bară are lungimea

li , modulul de rigiditate EiAi şi face cu orizontala un unghi de înclinare αi (măsurat în sens

orar).

Fig. 4.28

- 74 -

Pe baza relaţiilor de echilibru cunoscute din mecanică se pot scrie ecuaţiile:

n

iii

n

iii

PN

N

1

1

..sin

;0cos

(4.62)

unde Ni sunt forţele care se manifestă în fiecare bară a sistemului considerat ca urmare a

acţiunii forţei P.

Rezultă că sistemul (4.62) este de (n -2) ori static nedeterminat fiind necesară examinarea

stării deformate a acestuia. Articulaţia B sub acţiunea încărcării se deplasează atât pe

orizontală cu cantitatea u cât şi pe verticală cu cantitatea v. Capătul fiecărei bare parcurge

deformaţia BB’ putându-se scrie, conform figurii 4.28 b, între lungirea barei şi deplasarea

punctului B, relaţia:

.sinvcosul111

(4.63)

În mod asemănător, pentru fiecare bară ”i” a sistemului, rezultă:

.sinvcosuliii

(4.64)

Ţinând cont de relaţia de calcul a alungirii barei rezultă:

.sinvcosul

ll

ii

i

ii

i

i

ii

i

AEAEN (4.65)

Cu această expresiile, din ecuaţiile de echilibru rezultă deplasările u şi v de forma:

.

sinl

cosl

cossinl

cosl

v

;

sinl

cosl

cossinl

cossinl

u

1

2

1

2

2

1

1

2

1

2

1

2

2

1

1

PAEAEAE

AE

PAEAEAE

AE

n

ii

i

iin

ii

i

iin

iii

i

ii

n

ii

i

ii

n

ii

i

iin

ii

i

iin

iii

i

ii

n

iii

i

ii

(4.66)

În continuare, cu valorile lui u şi v, pe baza relaţiei (4.66) se determină valorile forţelor

axiale Ni din fiecare bară.

4.6.6 Tensiuni apărute în urma variaţiilor de temperatură

Se cosideră o bară, articulată la ambele capete (fig.4.29), încălzită uniform având

modulul de elasticitate al materialului E, coeficientul de dilatare termică α, lungimea barei l

iar creşterea de temperatură Δt. Ca urmare, lungirea barei va fi egală cu:

.ll t (4.67)

Fig. 4.29

Pentru sistemul de bare static determinat această lungire se poate produce nestingherit,

dar pentru sistemul static nedeterminat dilataţia termică este împiedicată, în barele sistemului

apărând tensiuni ce pot atinge valori remarcabile. Astfel, bara din figura 4.29 devine

comprimată cu o forţă axială N (dilataţia termică fiind împiedicată).

Considerând articulaţia din 1 ca fiind mobilă, ea se alungeşte cu o cantitate dată de

(4.67). Articulaţia fiind însă fixă, se poate considera că există o forţă axială N care produce

- 75 -

scurtarea barei cu cantitatea:

.l

lAE

N (4.68)

Prin egalarea celor două deformaţii date de (4.67) şi (4.68) se obţine:

.tAEN (4.69)

şi deci tensiunea de compresiune va fi:

.tEA

N (4.70)

Ca urmare a analizei relaţiei (4.70), se poate afirma că, tensiunea normală în cazul

variaţiei de temperatură depinde de natura materialului din care este confecţionată bara (prin

E şi α) cât şi de mărimea variaţiei de temperatură.

Un alt caz care merită a fi studiat este acela a două (sau mai multe) materiale care

compun o unică piesă ce este supusă unei variaţii de temperatură (Δt > 0).

Se consideră sistemul din figura 4.30 format din două materiale avănd ca date

iniţiale:lungimile l1 şi l2, ariile secţiunilor transversale A1 şi A2, modulele de elasticitate

longitudinală E1 şi E2 şi coeficienţii de dilatare termică liniari α1 şi α2.

Fig. 4.30

În acest caz, deformaţia totală a sistemului este:

.ll

ll22

2

11

1

2211AE

N

AE

Ntt (4.71)

Din (4.71)se poate determina valoarea forţei axiale totale:

.

ll

ll

22

2

11

1

1122

AEAE

tN

(4.72)

Raportând forţa axială N dată de (4.72) la cele două arii A1 şi A2 se obţin tensiunile σ1

şi σ2 din cele două tronsoane:

.

ll

ll;

ll

ll

2

2

1

1

1

2

1122

2

2

2

2

1

1

1

1122

1

EEA

A

t

EA

A

E

t

(4.73)

Observaţie: dacă se consideră αα = α1 = α2 şi E1 = E2 = E se găsesc relaţiile

corespunzătoare unei bare omogene cu variaţie de secţiune.

În practică însă se întâlnesc situaţii în care cele două componente crează un ansamblu

prin introducerea uneia în cealaltă (fig. 4.31). Piesa 2‚ este cilindrică având caracteristicile:α2,

A2, E

1 şi l

1 iar piesa 1 este de secţiune pătrată şi introdusă în piesa 2 ‚ având, la rândul ei,

caracteristicile α1, A1, E

1 şi l

1. Lungimile celor două componente sunt egale: l

1 = l

2 = l.

Lungirile celor două componente, având în vedere prinderea lor de aceeaşi flanşă, sunt egale.

Se consideră α2 > α1 şi Δt > 0 cele două componente lucrând împreună (nu se ia în

considerare dilatarea flenşei).

Având în vedere că α1 α2 ambele piese se dilată diferit cantitativ. Cele două piese 1 şi

2‚ fiind solidarizate prin flanşa de capăt, dilataţia este însoţită şi de o solicitare axială

suplimentară de tracţiune într-o piesă 1 respectiv de compresiune în cealaltă.

- 76 -

Fig. 4.31

Rezultă:

.l

ll

l22

2

11

1AE

Nt

AE

Nt (4.74)

Din relaţia (4.74) rezultă valoarea forţei axiale ce acţionează în fiecare din cele două

piese:

.

2211

122211

AEAE

tAEAEN

(4.75)

Pornind de la (4.75) se pot determina tensiune σ1 şi σ2 din fiecare componentă:

.;

2

1

12

2211

12221

1A

A

AEAE

tAEE

(4.78)

iar lungirile Δl vor fi: .lllll1

1

121E

t

(4.77)

Fenomenul de dilatare termică, în special în cazul unor structuri metalice mari, poate

avea urmări deosebit de grave prin cumularea valorilor lungirilor de pe fiecare porţiune în

parte. Ca urmare, pentru împiedicarea lor, se aplică diferite soluţii tehnice, cum ar fi:

poziţionarea (în special la poduri) a unuia din capete pe role, realizarea unor zone curbe (mai

ales la conducte prin care se transportă fluide încălzite), practicarea de elemente

compensatoare (rosturi de dilatare) etc.

4.6.7 Tensiuni apărute ca urmare a unor imperfecţiuni de montaj

În cazul sistemelor de bare static nedeterminate este posibil să apară, la montaj, tensiuni

cauzate de imprecizia dimensiunilor barelor chiar în absenţa forţelor exterioare. Aceste

tensiuni sunt dependente atât de configuraţia geometrică cât şi de proprietăţile mecanice ale

materialelor.

Pentru sistemul prezentat în figura 4.32, la care bara verticală 1 este mai mare cu

cantitatea Δl, pentru realizarea îmbinării în nodul din O este necesară comprimarea ei

simultan cu întinderea barelor 2 şi 3.

Fig. 4.32

Astfel, în bara verticală apare un efort de compresiune N1, în timp ce, în barele înclinate

apar eforturile de întindere N2 = N

3.

Pentru rezolvarea problemei static nedeterminate (găsirea forţelor N1 şi N

2 = N

3) este

necesară stabilirea unor relaţii între deformaţiile sistemului:

- 77 -

Bara 1: prin comprimarea ei, bara va rămâne cu o scurtare egală cu σ':

.

ll'

11

1

AE

N (4.78)

Barele 2 şi 3: prin tracţiune vor suferi o lungire egală cu σ1 şi σ

3 (se consideră

EEEAAA 3131

º ):

.cos

l

cos

l;

33

3

22

2

32

AE

N

AE

N (4.79)

Din analiza figurii rezultă: .cos

l

cos"

2

22

AE

N (4.80)

Scriind echilibrul nodului în punctul O2 se obţine ecuaţia:sau:

.cos2

1

2

NN (4.81)

Prin introducerea relaţiei (4.81) în (4.80) se obţine:

.cos2

l"

2

1

AE

N (4.82)

Pentru a realiza îmbinarea este necesar ca suma dintre deplasarea verticală a capătului

barei 2 şi 3 să fie egală cu abaterea Δl de la dimensiunea proiectată. Deci:

.

cos2

lll"'l

2

1

11

1

AE

N

AE

N

(4.83)

de unde se poate determina valoarea forţei axiale N1 şi apoi pe baza relaţiei (4.81) a forţelor

N2.= N

3.

4.7. Aspecte ale calculului la compresiune

Din punct de vedere al distribuţiei tensiunilor şi la compresiune, ca şi la întindere,

aceasta este uniformă pe secţiune. Secţiunile plane şi normale pe axa longitudinală, înainte de

deformamare, rămân plane şi normale pe aceeaşi axă şi după deformare (ipoteza lui

Bernoulli) astfel încât relaţiile deduse le întindere rămân valabile şi la compresiune.

Există materiale, ca de exemplu: fonta, betonul, sticla, care prezintă valori diferite ale

tensiunilor admisibile la întindere comparativ cu cele de compresiune (valorile tensiunilor

admisibile de compresiune sunt mult mai mari, aproximativ de trei ori).

Dacă la solicitarea de tracţiune se constată o contracţie transversală, la solicitarea de

compresiune se poate observa o umflare în sens transversal. În acest mod, secţiunea

transversală devine, după solicitare, mai mare decât cea iniţială A f > Ai..

Deşi există o identitate clară a relaţiilor de la compresiune cu cele de la întindere, totuşi

la compresiune, din punct de vedere al comportării materialului în ansamblul său, apar şi o

serie de aspecte distincte.

4.7.1 Ruperea

Ruperea este influenţată foarte mult de proprietăţile mecanice ale materialelor. În

funcţie de aceste proprietăţi se disting:

- materiale casante: (ex : fonta, sticla, betonul, piatra etc.) - la începutul solicitării

apar simultan scurtarea materialului şi umflarea lui, caracteristice ca valori fiecăruia în parte

(fig.4.33,a); în faza a doua se constată apariţia, la o anumită tensiune σc , pe feţele laterale ale

cubului sau pe suprafaţa generatoare a cilindrului, o serie de fisuri (fig.4.33,b). În felul acesta

- 78 -

este marcat momentul în care materialul cedează, momentul apariţiei unor deformaţii mari.

Continuând încercarea, fenomenul de propagare a fisurilor se accentuează, făcând ca la un

moment dat să sară bucăţi laterale din material. Fenomenul se poate asemui cu o explozie la o

scară mai mică.

Între bacurile maşinii de încercat ramân, pentru un moment, două piramide aşezate

vârf la vârf care, la rândul lor, se distrug (fig. 4.33, c). Ca urmare, se poate trage concluzia că

în cazul materialelor casante, la rupere, are loc o distrugere bruscă .

Fig. 4.33

Fig. 4.34 Fig. 4.35

- materiale ductile: (ex: fier, oţel, cupru etc.) - încercarea are loc în aceleaşi condiţii

epruveta este un cub de aceleaşi dimensiuni ca în cazul precedent. Până la atingerea valorii

critice, comportamentul materialului este ca şi în cazul precedent. Astfel, au loc o scurtare şi o

umflare a materialului corespunzătoare relaţiei lui Poisson (fig. 4.34,a). În momentul atingerii

valorii σc se constată că apare o turtire bruscă a cubului (fig. 4.33,b). Ca urmare, se poate

spune despre σc că reprezintă limita de curgere sau limita deformaţiilor mari. Continuarea

încercării conduce la deformarea continuă a materialului (turtirea sa), cubul lăţindu-se în toate

direcţiile, tensiunile în loc să crească scad.

- materiale fibroase: (ex: lemnul) - considerând cubul făcut din lemn distrugerea prin

compresiune se face funcţie de direcţia după care acţionează forţa în raport cu direcţia

fibrelor.

Astfel, se pot discuta următoarele cazuri:

a) rezistenţa lemnului la compresiune paralelă cu fibrele (fig.4.35,a) - pentru piesele

de lungime mică;

b) rezistenţa lemnului la compresiune perpendiculară pe fibre (fig.4.35,b). În

practică apar trei tipuri de compresiune perpendiculară pe fibre:

- compresiune pe întrega suprafaţă a piesei;

- compresiune pe toată lăţimea piesei;

- compresiune prin poansonare.

4.7.2 Strivirea

Pe suprafeţele aflate în contact se dezvoltă presiuni de contact care sunt sub forma

tensiunilor normale, strivirea fiind un fenomen de compresiune locală.

De multe ori în practică, există piese care se află în contact şi care sunt confecţionate

din materiale diferite. În acest caz, în calcul se va ţine cont de tensiunea admisibilă cea mai

mică.

În construcţia de maşini, piesele care sunt supuse unor solicitări de presiune de contact

pot avea suprafeţe geometrice de contact de diferite forme cum ar fi:plană, cilindrică,

- 79 -

punctiformă etc. Trebuie menţionat faptul că pentru cazurile enumerate mai sus există

formule de calcul a presiunii maxime.

Pentru trei cazuri sunt prezentate în continuare aspecte legate de calculul presiunii de

contact:

a) Suprafaţă plană de contact (fig.4.36)

Fig. 4.36

Se consideră construcţia din figură formată din trei piese (1, 2, 3) cu secţiunile A1, A2

şi A3 şi confecţionate din materiale diferite: 1 - fontă, 2 - oţel şi 3 - beton.

Condiţia de rezistenţă a fiecărei piese în parte la strivire este dată de:

.ass

A

P (4.84)

unde σa este presiunea admisibilă la strivire (se mai notează cu pas).

Fiecare material se caracterizează printr-o anumită valoare a presiunii de contact. Pe

baza relaţiei (4.84) şi ţinând cont de greutatea proprie a fiecărei componente în parte se pot

determina valorile ariilor secţiunilor transversale ale fiecărei piese în parte.

Astfel, se pot calcula:

- pentru fontă: ,1

1h

PA

FcFcas

unde γFc este greutatea specifică a fontei;

- pentru oţel: ,1

2

Betas

QPA

unde Q1 este greutatea însumată a pieselor de fontă (1) şi a celei de oţel;

Observaţie: s-a considerat în calcul presiunea de contact admisibilă a betonului σaBet

deoarece aceasta este mai mică comparativ cu cea a oţelului iar suprafaţa care se striveşte este

cea delimitată de A2;

- pentru beton: .2

2

3h

QPA

BetPãmas

unde σaPăm este presiunea admisibilă de contact a pământului iar γBet este greutatea

specifică a betonului, unde Q2 este greutatea însumată a pieselor de fontă şi oţel.

b) Suprafaţă cilindrică de contact

În practica inginerească se întâlnesc des cazuri în care suprafaţa de contact este

cilindrică. Un astfel de exemplu este cazul niturilor unde corpul nitului vine în contact cu

suprafaţa găurilor practicate în piesele care sunt asamblate prin nituire.

În figura 4.37 este schematizat contactul dintr-o piesă cilindrică (1) a cărei suprafaţă

transversală (secţiune transversală) are diametrul D. Lungimea totală de sprijin a celor două

piese (1 şi 2) este egală cu l iar forţa care acţionează este de intensitate P.

- 80 -

Fig. 4.37

În urma contactului pe un element de suprafaţă apare o presiune de contact σ. Ca

urmare a principiului acţiunii şi reacţiunii, în dreptul elementului se va dezvolta o forţă

elementară dN, perpendiculară pe suprafaţa de contact. Această forţă elementară este egală

cu: ,2

l dD

dN (4.85)

Prin însumarea tuturor forţelor elementare se obţine relaţia de echilibru:

,coslcos2

2

0

2

0

dDddNP (4.86)

Admiţând că repartiţia presiunii este uniformă pe suprafaţa de contact, rezultă:

P = σ·D•l (4.87)

sau: lD

P (4.88)

Concluzie: valoarea presiunii de contact este dată de raportul dintre forţa aplicată şi

proiecţia suprafeţei de contact pe planul longitudinal de simetrie al piesei cilindrice.

c) Suprafeţe mici de contact (cazul rulmenţilor cu bile sau role)

Contactul dintre bilele sau rolele de rulment şi calea de rulare, profilată pe inelele

rulmentului se realizează pe o zonă foarte mică. Ca urmare, în funcţionare se dezvoltă forţe de

compresiune mari care conduc la deformarea bilelor (rolelor). Deformările mari, combin ate

cu o serie de factori funcţionali, duc în timp la apariţia unor fisuri care, la rândul lor,

generează fenomenul de pitting (ciupirea bilelor sau rolelor) rezultând distrugerea acestor

organe de maşini.

Se consideră două bile aflate în contact şi încărcate cu forţa P (fig. 4.38). Bilele au

diametrele d1 şi d2. Sub acţiunea forţei P acestea se deformează astfel încât zona punctiformă

de contact iniţială se transformă într-o suprafaţă circulară de diametru d = 2a.

Fig. 4.38

Calculul se realizează pe baza următoarelor ipoteze:

- diametrul 2a este mic în comparaţie cu diametrele bilelor;

- materialul este liniar-elastic şi nu se depăşeşte limita de proporţionalitate; ca urmare,

pot fi aplicate ecuaţiile din teoria elasticităţii;

- pe suprafaţa de contact apar numai forţe normale şi nu şi forţe tangenţiale.

Primele relaţii de calcul au fost realizate de H. HERTZ, principalele rezultate fiind:

- presiunea maximă care se dezvoltă pe axa centrelor bilelor este repartizată după o

- 81 -

lege eliptică fiind egală cu:

.2

32max

a

P

(4.89)

- raza cercului de contact se poate calcula cu relaţia:

.7,021

21

21

21 Pdd

dd

EE

EEa

(4.90)

unde E1 şi E

2 sunt modulele de elasticitate ale materialelor celor două bile;

- dacă bila apasă pe suprafaţă concavă, presiunea maximă este dată de relaţia:

.62,0 3

2

21

122

max

dd

ddEP (4.91)

- în cazul în care bila apasă pe o suprafaţă plană presiunea este:

.62,0 32

1

2

maxd

EP (4.92)

4.8 Încercările de rezistenţă ale materialelor la tracţiune - compresiune.

Curba caracteristică.

4.8.1 Generalităţi

Tehnologiile actuale de fabricaţie impun un riguros control al calităţii materialelor din

care sunt realizate produsele. Controlul, care este bazat pe diferite încercări, se extinde în

toate fazele de fabricaţie. Ca scop principal, încercarea materialelor stabileşte proprietăţile

acestora în dependenţă de factori de influenţă exteriori, temperatură, condiţii de solicitare,

aspect geometric etc. Aceste proprietăţi ale materialelor se pot clasifica în patru grupe :

a) - proprietăţi mecanice - determină modul de comportare al materialelor la diferite

acţiuni mecanice (rezistenţa, elasticitatea, plasticitatea, tenacitatea, fragilitatea, fluajul,

rezistenţa la uzură, rezilienţă, duritatea, rezistenţa la oboseală etc.);

b) - proprietăţi chimice - se referă la capacitatea materialelor de a reacţiona sau de a

rezista la acţiunea diferitţlor agenţi chimici;

c) - proprietăţi fizice - determină relaţiile materialelor cu fenomenele fizice care se

petrec în natură (densitatea, greutatea specifică, absorbţia acustică etc.);

d) - proprietăţi tehnologice - arată modul de comportare al materialelor la diferite

procedee de prelucrare.

Proprietăţile materialelor se determină pe baza unor metode şi procedee de încercare.

Încercările materialelor pot fi grupate în :

a) - încercări mecanice de: rezistenţă, duritate, rezilientă, fluaj, relaxare, oboseală;

b) - încercări tehnologice de: sudabilitate, îndoire, refulare, ambutisare,

prelucrabilitate prin aşchiere etc.;

c) - încercări fizice de: densitate aparentă, higroscopicitate,

conductibilitate termică, permeabilitate la aer sau vapori, absorbţia zgomotelor etc.;

d) - încercări chimice: coroziune, descompunere etc.

Metodele şi procedeele de încercare a materialelor se împart în două grupe mari :

A) Metodele distructive: constau în încercarea până la rupere a unor corpuri de probă

care sunt extrase din materialul ce trebuie încercat. Se urmăreşte comportarea materialului pe

tot parcursul încercării până la rupere şi aspectul ruperii. Modul de comportare şi indicii

caracteristici care apar în cursul încercării pot fi urmărite şi înregistrate grafic prin curbe

caracteristice. Curbele caracteristice exprimă legătura care există între tensiunile aplicate şi

deformaţiile specifice pe tot parcursul încercării, până la ruperea epruvetelor. Din acest grup

- 82 -

fac parte, în special, încercările referitoare la comportarea materialelor din punct de vedere al

rezistenţei, deformaţiei şi mecanicii ruperii.

B) Metodele nedistructive: se bazează pe acţiunea reciprocă dintre diferitele forme de

energie şi materie servind la indicarea naturii, mărimii şi frecvenţei discontinuităţilor (defecte

interioare şi de suprafaţă) în materiale. Se aplică la semifabricate şi la componente ale

utilajelor şi construcţiilor care sunt supuse la solicitări importante în exploatare.

În vederea comparării modului de comportare a materialelor la diverse acţiuni au fost

introduse o serie de standarde. Acestea prevăd toate condiţiile care trebuiesc respectate la

încercarea şi controlul materialelor cu privire la: extragerea corpurilor de probă (epruvetele),

forma, mărimea şi modul de prelucrare al acestora, condiţii de încercare propriu-zise,

interpretarea şi prezentarea rezultatelor.

Pentru unificarea standardelor, a fost constituită Organizatia Internatională de

Standardizare (I. S. O.) care a întocmit recomandări şi proiecte de standarde. În 1948 a fost

creată Uniunea Internatională de Încercări şi Cercetări asupra Materialelor şi

Construcţiilor (R. I. L. E. M.) avându-şi sediul la Geneva.

Metodele actuale de încercare îşi au originea în Evul mediu, primul care a realizat astfel d e

activităţi a fost Leonardo de Vinci (1452 - 1510). El a conceput o maşină folosită la

determinarea rezistenţei la tracţiune a sârmelor. Mai târziu, maşina a fost dezvoltată de

Galilei (1564 - 1642). Primele observaţii de comportare mecanică a materialelor au fost

făcute, în 1678, de către Hooke (1635 - 1703). Aceste prime observaţii aveau să capete

denumirea, atât de cunoscută astăzi, de legea lui Hooke sau legea elasticităţii. Forma actuală

a prins contur în 1807 prin definirea modului de elasticitate a lui Young. Preocupări în

domeniul încercărilor epruvetelor de lemn şi metal au mai avut: R. de Reaumur (1683 -

1757),P. van Musschenbrock (1662 - 1716) iar primele studii care au avut ca scop

determinarea durităţii metalelor au fost făcute de către M. V. Lomonosov (1711 - 1765).

Primul laborator public, care avea drept scop principal determinarea calităţii

materialelelor prin încercări, a fost realizat în 1858 în Angla şi a fost o urmare firească a

primei revoluţii industriale. Astfel de laboratoare au mai fost create la München şi Stuttgart.

Primele cercetări asupra oţelurilor care sunt supuse la solicitări variabile au fost realizate de

A. Wöhler între anii 1860 şi 1870. Aceste cercetări au fost necesare ca urmare a apariţiei

ruperilor frecvente ale osiilor de la vagoanele de tren, Wöhler fiind inginer angajat al căilor

ferate germane. În anul 1884 au fost efectuate, pentru prima dată, încercări la şoc de către

Tetmajer la grinzi în T cu crestătură. Mai târziu, plecând de la aceste încercări, au fost create

încercări de rezilienţă, în ambele forme cunoscute (Charpy şi Izod).

Anul 1900 a însemnat şi Expoziţia Universală de la Paris unde Brinell a prezentat

pentru prima dată o metodă tehnică pentru determinarea durităţii. Această metodă este des

utilizată şi în zilele noastre împreună cu metodele Rockwell şi Vickers. În paralel cu

dezvoltarea metodelor de încercare au fost construite şi instalaţiile necesare.

Primele maşini au fost realizate în 1758 în Franţa de către J. Peronet (1708 - 1784)

fiind urmat de către L. Werder (1808 - 1885) şi A. Gagarin. Primele laboratoare având ca

activitate încercarea materialelor au fost construite la sfârşitul secolului trecut pe lângă marile

întreprinderi constructoare de maşini. În Europa, în anul 1904, este înfiinţat primul Institut de

încercarea materialelor de către Martens în Germania.

Metodele nedistructive au fost dezvoltate, mai ales, după descoperirea razelor Röntgen

(1895) şi a razelor gama (1896). Saxby, în anul 1868, aplică pentru prima dată câmpul

magnetic în vederea descoperirii defectelor superficiale. Alte metode nedistructive, care au

fost introduse la începutul acestui secol, au fost : procedeul cu pulbere magnetică (introdus în

1919 de Hoke); controlul magneto-inductiv (curenti turbionari - realizat de Förster);

determinarea imperfecţiunilor interioare cu ajutorul ultrasunetelor şi mai mai târziu cu laser.

- 83 -

4.8.2 Încercarea de tracţiune

La baza studiilor teoretice efectuate în Rezistenţa materialelor stau o serie de ipoteze

simplificatoare: materialul se consideră continuu, omogen şi izotrop, între tensiuni şi

deformaţiile specifice există o dependenţă liniară etc. Aceste ipoteze trebuie verificate prin

diferite experimente. Tensiunea la care are loc ruperea, dată de calculul teoretic, este de multe

ori mai mare decât cea reală.

Ca urmare, trebuie verificate tensiunile de rupere în condiţii cât mai apropiate de

realitate. Prin încercări mecanice ale materialelor se înţeleg toate determinările privind

comportarea metalelor, în anumite condiţii de solicitare mecanică, stabilite conventional. În

alegerea criteriilor de clasificare a încercărilor se au în vedere următoarele aspecte: solicitarea

este considerată a fi statică în cazul în care viteza de solicitare este cel mult egală cu 100

N/mm s; solicitarea statică poate fi progresivă, regresivă sau oscilantă. O solicitare este

considerată a fi dinamică dacă viteza de solicitare este mai mare de 100 N/mm s. Orice

solicitare dinamică poate fi produsă fie într-un singur ciclu fie în cicluri repetate.

4.8.2.1 Epruvete. Condiţii generale de prelevare a epruvetelor

Orice încercare, fie că este de tracţiune sau altfel de încercare, impune folosirea unei

anumite piese, care are o formă şi dimensiuni bine determinate, denumită epruvetă.

Epruvetele sunt realizate din probe care nu sunt altceva decât bucăţi de metal extras din

produsul ce urmează a fi examinat.

O importanţă deosebită prezintă alegerea locului de prelevare a probelor. Pentru aceasta

se alege locul în aşa fel încât caracteristicile mecanice rezultate să nu exprime particularităţile

unei anumite zone, ci să fie reprezentative pentru valori medii. Câteva exemple de alegere a

locului de extragere a epruvetei din probă sunt prezentate în fig.4.39. Reglementarea zonelor

de prelevare a probelor este realizată prin STAS-uri (7324-75; 436-80; 8394-69).

Fig. 4.39

4.8.2.2 Încercarea la tracţiune

De multe ori se pune întrebarea: de ce se acordă o aşa mare importanţă încercării la

tracţiune ? Răspunsul se găseşte în Teoria stărilor de tensiune limită (teorii de rupere). O

stare de tensiune oarecare este echivalată cu starea de tensiune de la solicitarea de întindere

- 84 -

monoaxială sau cu starea de deformaţii de la aceiaşi solicitare.

Din punct de vedere tehnologic, încercarea la tracţiune se realizează prin aplicarea unei

forţe axiale unei epruvete, în mod crescător, făcându-se în paralel înregistrarea variaţiilor de

lungime. Încercarea durează în timp până în momentul ruperii materialului.

Modelul de evaluare al deformaţiei epruvetei se poate realiza în două feluri:

a) se foloseşte un aparat, extensometru, care se fixează pe epruvetă între două secţiuni

determinate şi situate la o distantă L0 una de cealaltă. Citirea indicaţiilor extensometrului se

face la intervale de timp determinate. În felul acesta se poate trasa prin puncte, pe măsură ce

creşte intensitatea forţei, o curbă ce reprezintă dependenţa dintre forţa P şi variaţia Δl a

lungimii iniţiale L0 (Fig.4.40,a);

b) - alegerea (marcarea) a două puncte A şi B (fig. 4.41) situate la o distanţă L între ele

şi se poate determina astfel lungirea epruvetei Δl = L - L0. În acelaşi timp maşina de încercat

posedă un sistem care trasează automat o curbă (fig. 4.40,b) în care pe abscisă sunt

reprezentate variaţiile distanţei AB iar pe ordonată este prezentată creşterea forţei P aplicată

epruvetei.

Fig. 4.40 Fig. 4.41

4.8.2.3 Curba caracteristică

Definirea comportării materialului este făcută cu ajutorul curbei caracteristice a

materialului. Această curbă exprimă legătura care există între tensiunea σ şi deformaţia

specifică ε.

Aşa cum a fost definită anterior, la începutul acestui capitol, tensiunea normală într-o secţiune

oarecare este egală cu: A

N . În timpul încercării se constată că valoarea ariei secţiunii este

variabilă continuu şi măsurarea continuă a ei este dificilă, astfel că tensiunea σ se înlocuieşte

cu raportul convenţional 0

A

PR unde A0 este valoarea secţiunii iniţiale a epruvetei.

O comportare asemănătoare o are deformaţia specifică ε care nu este constantă pe

lungimea epruvetei în tot timpul încercării şi ca urmare, este înlocuită cu o altă mărime,

adimensională, care poartă denumirea de alungire totală A t dată de relaţia:

.%10010000

0

L

L

L

LLA

f

t

(4.93)

unde L0 este distanţa între repere iar Lf - este lungimea finală (lungimea epruvetei deformate,

măsurată între repere la aplicarea unei sarcini sau după rupere).

În cazul în care alungirea totală At se măsoară după ruperea epruvetei poartă denumirea

de lungire de rupere. În mod convenţional, curbele caracteristice pot fi obţinute în coordona te

R şi A t.

- 85 -

În figura 4.42 este prezentată curba caracteristică pentru oţel. Curba convenţională se

raportează în permanenţă la aria iniţială a epruvetei pe când cea reală la aria instantanee

(dificil de mâsurat).

Curba OABCDR reprezintă curba caracteristică convenţională care este, de obicei,

înregistrată, cu linie punctată fiind reprezentată curba reală. Curba caracteristică prezintă o

primă porţiune liniară determinată de segmentul OA. Pe această porţiune lungirea epruvetei

este proporţională cu forţa aplicată. Pe porţiunea OA este valabilă legea lui Hooke, panta

dreptei reprezentând modulul de elasticitate convenţional al materialului E = tg . Abscisa At

şi ordonata R, pe porţiunea OA, pot fi înlocuite cu σ şi respectiv ε deoarece, în această fază de

solicitare starea de tensiune şi starea de deformare din epruvetă, pe toată lungimea L0 iniţială,

sunt omogene. Tensiunea care corespunde punctului A poartă denumirea de limită de

proporţionalitate.

Fig. 4.42

Punctul următor de pe curbă, care prezintă o importanţă deosebită, este punctul B. În întreaga

zonă cuprinsă între O şi B, la îndepărtarea sarcinii, epruveta îşi recapătă lungimea iniţială L0.

Ca urmare, lungirea epruvetei este elastică şi tensiunea corespunzătoare punctului B poartă

denumirea de limită de elasticitate. Punctul B reprezintă limita comportării elastice a

materialului iar depăşirea lui face ca materialul să capete deformaţii remanente (plastice).

Există însă şi cazuri în care deformaţiile remanente pot să apară şi în zona elastică (cazul unei

orientări nefavorabile a cristalelor). La numite materiale - oţeluri, cupru, alamă - se pot nrglija

deformaţiile plastice, care se produc chiar la sarcini mici, considerându-se numai zonele de

elasticitate şi cea de proporţionalitate.

Pentru unele materiale (fonta cenuşie) exprimarea modulului de elasticitate se poate

face în mai multe feluri : modul de elasticitate tangent, modul de elasticitate secant, modul de

elasticitate de coardă, modul de elasticitate convenţional.

Conform STAS 10290-75 se definesc următoarele componente :

a) Limita de proporţionalitate convenţională: σp [N/mm2]- reprezintă tensiunea la

care modulul de elasticitate curent Eσ (fig. 4.43) atinge o abatere prescrisă faţă de modulul de

elasticitate iniţial E0 : .%1000

0

E

EE (4.94)

Această abatere, exprimată în procente şi înscrisă ca indice, la oţeluri atinge valoarea de

10% , limita de proporţionalitate convenţională notându-se σ10.

Fig. 4.43

- 86 -

b) Limita de elasticitate convenţională (pentru o lungire proporţională prescrisă) σp

[N/mm2] - reprezintă tensiunea la care abaterea de la variaţia proporţinală dintre tensiune şi

lungire atinge o valoare prescrisă care se menţionează ca indice la notaţia tensiunii. La oţeluri

este admisă o abatere de 0,01% iar limita de elasticitate convenţională se notează cu σp 0,01.

c) Limita de elasticitate tehnică (pentru o lungire remanentă prescrisă) σe [N/mm2] -

este tensiunea la care lungirea specifică remanentă atinge o valoare prescrisă care este înscrisă

ca indice. La oţeluri, în mod uzual, lungirea specifică remanentă este stabilită la valoarea de

0,01% şi ca urmare, limita de elasticitate tehnică este notată cu σe 0,01. Prin raportarea

lungirii transversale εtr la lungirea specifică longitudinală ε se obţine coeficientul de

contracţie transversală notat cu ν.

Caracteristicile definite până acum, modulul de elasticitate longitudinal, limita de

proporţionalitate convenţională, limita de elasticitate convenţională, limita de elasticitate

tehnică şi coeficientul de contracţie transversală poartă denumirea de caracteristici elastice

ale materialului şi nu sunt considerate caracteristici mecanice uzuale.

Revenind la curba caracteristică din (fig.4.42), pentru zona deformaţiilor plastice

pronunţate, zona situată după punctul B, alura curbei are aspecte diferite, funcţie de natura

materialului. Pentru oţeluri, în special pentru cele cu conţinut redus de carbon, se constată

apariţia unei zone în care deformaţiile plastice sunt foarte mari producându-se la o forţă

exterioară constantă sau chiar descrescătoare. Este vorba de zona de curbă situată după

punctul C. Acest punct se numeste limita de curgere corespunzându-i o tensiune de curgere

ce este notată cu σc. În această fază a încercării materialului curge, adică se deformează, deşi

sarcina nu mai creşte. Pe curbă, după punctul C, se constată existenţa unui palier de curgere.

Există unele materiale la care acest palier de curgere lipseşte, stabilirea limitei de curgere

fiind dificilă. A fost definită drept limita de curgere tehnică punctul de pe curba caracteristică

căruia îi corespunde după descărcarea epruvetei o lungire specifică remanentă de 0,2%. Ca

urmare, tensiunea normală se notează cu σ0, 2

.

Raportând sarcina constantă, la care are loc continuarea deformaţiei, la aria secţiunii

transversale iniţiale a epruvetei se obţine limita de curgere aparentă şi este notată cu Re.

Pentru materialele care nu au limită de curgere aparentă, stabilirea ei se face convenţional,

definindu-se conform STAS 200-75:

a) Limita de curgere convenţională (pentru o alungire neproporţională prescrisă), fiind

raportul dintre sarcina corespunzătoare unei alungiri neproporţionale prescrise şi aria secţiunii

transversale iniţiale a epruvetei fiind notată cu Rp (la oţeluri Rp O,2).

b) Limita de curgere remanentă (pentru o alungire remanentă prescrisă) - notată cu Rr şi reprezintă raportul între sarcina corespunzătoare unei alungiri remanente (la descărcarea

epruvetei) prescrise şi aria sectiunii transversale initiale a epruvetei. Alungirea remanentă

prescrisă este mentionată ca indice. La oţeluri, în mod uzual, alungirea remanentă este 0,2% şi

curgerea este notată cu Rr 0,2. Atât limita de curgere convenţională cât şi limita de curgere

remanentă se măsoară în [N/mm2].

Cu creşterea gradului de deformare plastică din zona de curgere, metalul suferă un

fenomen de ecruisare şi din această cauză este necesară mărirea forţei de deformare. Curba

prezintă o nouă zonă de creştere a cărui punct de maxim este D. Prin convenţie, tensiunea

corespunzătoare punctului D este tensiunea de rupere :

.N/mm2

0

max

A

Nr

deşi ruperea reală are loc în dreptul punctului R.

Zona de curbură dinaintea punctului D se numeşte zonă de ecruisare sau întârziere. În

- 87 -

timpul încercării, în această zonă de solicitare, au loc variaţii uniforme de lungime ale

epruvetei în timpul creşterii sarcinii (creştere care raportată la creşterea lungimii este cu mult

mai mare decât cea care are loc în zona elastică).

Următoarea fază a deformării este “gâtuirea”. Acest fenomen apare într-o zonă a

epruvetei şi constă într-o subţiere care se produce continuu şi rapid până la ruperea finală.

Practic, deformarea epruvetei în această fază are loc numai în zona de gâtuire. Forţa

corespunzătoare momentului ruperii epruvetei este denumită sarcină ultimă (Pu) şi

corespunde punctului R de pe diagramă. Zona de curbă cuprinsă între punctele D şi R este

denumită zona de curgere locală. Înaintea momentului ruperii se mai poate observa un

fenomen de exfoliere, când bucăţi mici de material (mici aschii) sar de pe suprafaţa epruvetei.

Comportarea descrisă la încercarea de tracţiune este aceea a unui material ductil.

Ductilitatea este proprietatea unui material de a se rupe prin deformaţii plastice mari.

În figura 4.44,a este prezentată curba caracteristică pentru un material ductil dar fără

palier de curgere (ex: cupru, aluminiu, plumb). În figura 4.44,b este prezentată curba

caracteristică a unor materiale fragile, la care ruperea epruvetei se face brusc, cu producerea

unei gâtuiri neânsemnate (ex: oţel de arc, unele oţeluri călite, fonta). Alungirea la rupere a

materialelor fragile este redusă (sub 2% şi uneori sub 1%). Caracteristic pentru aceste

materiale este faptul că forţa maximă şi forţa ultimă din epruvetă sunt aceleaşi.

Fig. 4.44

Dacă materialele prezintă o fragilitate pronunţată, rezistenţa la rupere este practic

aceeaşi cu limita de curgere.

Pe lângă proprietăţile de fragilitate şi ductilitate mai poate fi definită şi o a treia,

tenacitatea, care reprezintă proprietatea unui material de a absorbi energie în domeniul

deformaţiilor plastice. În mod obişnuit, tenacitatea este pusă în legătură cu valoarea suprafeţei

totale care se găseşte sub curba caracteristică, suprafaţă care reprezintă de fapt lucrul mecanic

specific de deformaţie înmagazinat până la rupere. Despre un material se spune că este tenace

dacă suportă, fără a se rupe, tensiuni accidentale care depăşesc limita de rupere .

Aşezând cap la cap cele două bucăţi care rezultă în urma ruperii materialului se poate

detrmina lungimea de rupere Lr. Comparând lungimea initială L0 cu cea finală Lr se poate

calcula lungirea specifică de rupere, sub formă procentuală:

.%1001000

0

r

r

L

LL

(4.95)

După cum s-a specificat, în momentul ruperii are loc o gâtuire numită gâtuire la rupere

în zona de rupere. Această mărime se poate exprima în procente, prin raportarea ariilor

iniţială A0 şi finală A

r de rupere:

.%1000

0

A

AAZ r (4.96)

În cazul în care deformaţiile epruvetei sunt foarte mari se utilizează noţiunea de lungire

specifică naturală (sau: efectivă; longitudinală) ce este dată de relaţia:

.ln00

L

L

L

dLL

L

nat (4.97)

- 88 -

unde L0 este lungimea iniţială a epruvetei şi L este lungimea efectivă momentană.

4.8.3 Tensiunea admisibilă

Prin definiţie, tensiunea admisibilă sau rezistenţa admisibilă este acea valoare

convenţională aleasă în calcul, în urma rezultatelor practice, pentru tensiunea maximă din

punctul cel mai solicitat al unei piese (organ de maşină) în condiţile concrete date de

solicitare şi de material.

În activitatea de proiectare a unor piese/organe de maşini, ca dată de intrare, se găseşte

şi natura materialului ce urmează a fi folosit. Ca urmare, cunoscându -se materialul implicit

este cunoscută şi curba sa caracteristică la tracţiune, cunoscându-se de fapt valorile maxime

admisibile pe care le suportă materialul piesei. Tensiunile ce se dezvoltă în piesă, în timpul

funcţionării sale, trebuie să fie limitate la valori mai mici ca cele corespunzătoare limitelor de

elasticitate sau curgere.

Funcţionarea piesei într-un ansamblu, limita ei practică de rezistenţă, este influenţată de

o serie de factori care ţin de: omogenitatea materialului din care este confecţionată piesa,

coincidenţa între valorile reale ale forţelor în exploatare cu cele luate în calcul pentru

proiectarea piesei, schematizarea corectă a încercărilor pe baza luării în considerare a

tuturor solicitărilor ce apar în funcţionarea piesei, diferiţi factori aleatori care pot apare în

timpul funcţionării (suprasolicitări, agenţi corozivi, imperfecţiuni de execuţie şi/sau monatj

etc).

Pentru a exista o posibilitate de protecţie faţă de situaţiile limită s-a introdus un

coeficient de siguranţă. Se defineşte drept tensiune admisibilă pentru bare solicitate static la

temperatură normală:

,21

cc

r

a

c

a

(4.98)

unde prima egalitate din (4.98) este folosită în cazul în care materialul barei are o comportare

ductilă iar a doua în cazul în care acesta are o comportare fragilă.

Deci c1 este coeficientul de siguranţă în raport cu limita de curgere iar c2 este

coeficientul de siguranţă în raport cu rezistenţa la rupere statică a materialului prescris pentru

elemente de rezistenţă.

Alegerea tensiunii admisibile şi a coeficientului de siguranţă se face ţinându-se cont de:

felul materialelor, procesul tehnologic de prelucrare al piselor, natura solicitării, modul de

acţionare a sarcinilor în timp, condiţiile de lucru, modelele de calcul etc.

Valorile orientative ale coeficienţilor de siguranţă la solicitări statice, raportat la σr ,

funcţie de natura materialului piesei realizate, pot fi:

- pentru materiale tenace: c = 2 ÷ 3;

- pentru materiale fragile: c = 3 ÷ 4;

- pentru materiale foarte frragile: c = 4 ÷ 6.

4.8.4 Încercarea de compresiune

Acest gen de încercare se aplică cu precădere materialelor care funcţionează într-un

regim continuu de compresiune: beton, cărămidă, ciment, lemn, deci materiale de construcţie.

Problema importantă care apare este legată de realizarea în epruvetă a unei tensiuni omogene

în epruvetă.

În cazul folosirii unei epruvete cilindrice (fig. 4.45), ca urmare a frecărilor dintre

suprafeţele de contact dintre epruvetă şi suprafeţele de aşezare, starea de tensiune monoaxială

suferă modificări. Punctele A - A rămân, în timpul solicitării, în contact permanent cu placa

- 89 -

de apăsare în timp ce, punctele B - B, ca urmare a răsfrângerii materialului, ajung şi ele în

contact cu placa de apăsare B’ - B’, iar punctele C - C , aflate la jumătatea înălţimii

cilindrului, vor suferi o puternică deplasare pe direcţie radială. Funcţie de condiţiile de

încercare (neomogenităţi ale materialului, neparalelism între cele două suprafeţe frontale,

aplicarea excentrică a sarcinilor) pot să apară şi solicitări de încovoiere. O particularitate

deosebită o prezintă materialele tenace la care nu se poate realiza ruperea. Deformarea lor are

loc continuu, ajungându-se în domeniul plastic pe măsură ce sarcina creşte.

Fig. 4.45

În realizarea epruvetelor s-au considerat diferite valori ale raportului între diametrul

său şi lungimea ei, rezultatele obţinute extrapolându-se la valoarea zero, în modul acesta

determinându-se rezistenţa la compresiune a unei epruvete a cărei lungime este infinită.

Pentru a se obţine o deformare plastică cât mai omogenă testele de compresiune au fost

efectuate pe epruvete a căror feţe frontale au fost lubrificate sau pe epruvete ce aveau

executate pe feţele frontale o cavitate cu adâncimea de câteva zecimi de milimetru. Prin

cavitatea executată se realizează o apăsare numai pe o suprafaţă circulară centrală şi pe o

coroană ciculară marginală cu lăţimea mică.

În standarde şi în literatura de specialitate se recomandă, pentru păstrarea formei

epruvetei în timpul încercărilor, ca dimensiunile să se încadreze în anumite valori: l = (1...

1,5)D;

- pentru evitarea curburii; d = 3D; unghiul conurilor de apăsare α să fie ales egal cu unghiul

de frecare dintre cele două suprafeţe (tgα = μ, unde μ este coeficientul de frecare). Un model

al epruvetei şi al feţelor de apăsare este prezentat în figura 4.46. Totuşi, şi în acest caz apare

un fenomen nedorit şi anume deformarea neomogenă mai mare la interior. Ca recomandare

generală, când standardele de produs nu specifică expres forma epruvetei, aceasta trebuie să

fie cilindrică.

Fig. 4.46

O altă componentă deosebit de importantă a încercării de compresiune este maşina de

încercat. Aceasta, la rândul ei, trebuie să asigure în mod special o serie de condiţii de fixare a

epruvetei, platourile să fie plane (abaterea să fie de max. 0,01 mm /100 mm), să fie dure (min

60 HRC), netede (Ra= 0,8... 1,6), platoul inferior să fie prevăzut cu cercuri concentrice pentru

centrarea epruvetei iar platoul superior să aibă practicată o calotă sferică cu raza R de

minimum 150 mm pentru a se putea corecta abaterile de paralelism ale platourilor (fig.4. 47).

- 90 -

Fig.4.47

Aplicaţia 4.1: Se consideră bara formată din două sectoare de secţiuni 2A şi A (fig.

4.48). Bara este confecţionată din oţel (E = 2•105 MPa) cele două tronsoane având lungimile

indicate în figură.

Fig. 4.48

Cunoscând că

a = 300 mm, forţa P = 60 kN, iar σa = 120 MPa, se cer să se precizeze următoarele:

a) diagrama de forţe axiale;

b) mărimea ariei necesare Anec din condiţia de rezistenţă a

max

c) lungirea totală Δl.

Rezolvare: a) diagrama este prezentată în figura 4. 48,b.

b) După trasarea diagramei de forţe axiale, se poate observa că în lungul barei aceasta

este solicitată diferit. Astfel, pe porţiunea de la 1 la 3 intensitatea solicitării este egală cu P în

timp ce pe porţiunea 3 - 4 intensitatea solicitării este 4P.

Valorile tensiunilor vor fi:

- pe porţiunea 1 -2: 2

4

21max,mm500120

106

A

AA

P

-pe porţiunea 2 – 3 ;mm2501202

106

2

2

4

32max,

A

AA

P

-porţiunea 3 – 4 ;mm10001202

1024 2

4

43max,

A

AA

P

Dintre cele trei valori determinate mai sus, valoarea aleasă pentru aria necesară este

cea de 1000 mm2.

c) lungirea totală este egală cu: .mm495,02

112

2

3

2

4ll

AE

aP

AE

aP

AE

aP

AE

aPitot

Aplicaţia 4.2: Se consideră o bară de lungime l = 1 m şi de secţiune dreptunghiulară

variabilă prezentată în figura 4.49. Variaţia secţiunii este realizată numai pe înălţime (la

distanţa x faţă de încastrare aceasta are valoarea hx) de la 200 mm la 100 mm în timp ce

lăţimea ei rămâne constantă şi egală cu 50 mm (secţiunea B-B). Cunoscând P = 50 kN, se

cere: a) să se verifice bara ştiind că σa = 150 MPa;

b) să se determine lungirea barei Δl.

- 91 -

Fig. 4.49

Rezolvare: a) din modul de încărcare al barei se poate observa că de-a lungul ei solicitarea axială

este constantă având valoarea P = 5.104 N. Ca urmare, ţinând cont de faptul că secţiunea

transversală este variabilă, verificarea se va face în zona în care aria transversală este cea mai

mică:

,

4

maxMPa10

10050

105a

deci bara rezistă.

b) Pentru determinarea lungirii barei, având în vedere faptul că secţiunea este

variabilă, calculul se va face pe baza relaţiei de calcul:

l

0

.l dxAE

N

x

l

0

.l dxAE

N

x

unde Ax este aria la distanţa x.

Valoarea acestei arii este, conform secţiunii B-B egală cu: Ax = 50hx.

Determinarea înălţimii hx se poate realiza prin două moduri: prin asemănare sau

pornind de la observaţia că variaţia ei este liniară. Pe baza acestei observaţii se poate scrie:

hx = C x + D ,

unde C şi D sunt două constante care pot fi determinate din condiţiile de graniţă:

- pentru x = 0 rezultă: hx = 200 = D;

- pentru x = l rezultă: .l

100C200lC100h

x

Pe baza celor calculate mai sus, secţiunea la distanţa x va fi:

.20001,0l2l

100200

l

100xxxA

x

Ca urmare, lungirea este:

mm.732,11021,0

105693,0693,0

1,02000ln

1,0

2000

11

1,020001,0

11l

5

41000l

0

l

0

l

0

l

0

l

0

E

Px

E

P

dxxE

Pdx

xE

Pdx

AE

Pdx

EA

P

xx

Aplicaţia 4.3: O bară dreaptă foarte rigidă (fig. 4.50) este articulată la un capăt (în B) şi

susţinută cu două tije care au următoarele caracteristici:

- pentru bara 1: secţiunea A = 250 mm2, modulul de elasticitate longitudinal E = 2

•105 MPa;

- pentru bara 2: secţiunea 2A = 500 mm2, modulul de elsticitate longitudinal E = 2•105

MPa. Se cere să se determine:

a) valoarea forţei capabile P având în vedere că σa = 120 MPa iar l = 0,8 m;

b) lungirile celor două bare;

c) deplasarea pe verticală a punctului D (vD).

- 92 -

Fig. 4.50

Rezolvare: a) Ca urmare a acţiunii forţei P în cele două bare se dezvoltă reacţiunile N 1

şi N2. Pe baza ecuaţiei de echilibru:

,55,340530sin74;02121)(

PNNPaNaNaMB

rezultă că problema este static nedeterminată o singură dată.

Pentru ridicarea nedeterminării este necesară considerarea aspectului geometric. Astfel,

din asemănarea triunghiurilor ΔBCC1 şi ΔBFF1 rezultă următoarea egalitate:

.7

4

7

4

1

1 a

a

BF

BC

FF

CC Segmentul CC1 reprezintă lungirea barei 1 fiind: ,

ll 1

11EA

NCC în timp

ce segmentul FF1 poate fi determinat din triunghiul ΔFF1F2:

.60cos2

l

60cos30sin2

l

cos60

ll60cos

2

222

1

1

2

1

12

AE

N

AE

NFF

FFFF

FF,

Deci .875,07

45,060cos2

60cos2

l

l

12

2

1

2

2

1

2

2

1

1

1 NNN

N

N

N

AE

NEA

N

FF

CC

Înlocuind relaţia de legătură dintre cele două forţe din bare în ecuaţia de echilibru se

obţine: .707,05875,05,34111

PNPNN Ca urmare, forţa din cea de-a doua bară va fi

N2 = 0,62.P. Pentru determinarea valorii forţei capabile P se vor pune pe rând condiţiile de

rezistenţă pentru fiecare bară în parte:

).N(2,96774120500

62,0

2

62,0

),N(8,42432120250

707,0707,0

2

1

PP

A

P

PP

A

P

Forţa P cu care poate fi încărcat sistemul este de 42432,8 N.

b) Lungirile celor două bare vor fi:

.mm42,0500102

16008,4243262,0ll

;mm48,0250102

8008,42432707,0ll

5

2

22

2

5

1

11

1

AE

N

AE

N

c) Deplasarea pe verticală a punctului D este obţinută din asemănarea dintre

triunghiurile ΔBCC1 şi ΔBDD1 : .mm6,05

448,0l1

1

1

D

DD

vvvDD

CC

Aplicaţia 4.4: Se consideră sistemul format din trei bare articulate la un capăt în C, D

şi G şi prinse împreună în articulaţia B (fig. 4.51). Bara BD este verticală iar barele CB şi GB

formează cu aceasta unghiuri egale cu α = 30°. În articulaţia B este aplicată forţa P = 50 kN.

Cunoscând valoarea secţiunii A = 100 mm2 şi a modulului de elasticitate longitudinal E =

2•105 MPa, se cer să se precizeze:

- 93 -

a) eforturile secţionale şi tensiunile care se dezvoltă în cele trei bare;

b) deplasările punctului B pe orizontală (uB) şi deplasarea totală ΔB.

Fig. 4.51

Rezolvare:

a) Sub acţiunea forţei P în cele trei bare se vor dezvolta eforturile secţionale N1, N2 şi

N3. În nodul B pot fi scrise ecuaţiile de echilibru cunoscute din statică:

.coscos;0

;sinsin;0

231

3131

PNNNY

NNNNX

Sistemul de două ecuaţii conţine un număr de trei necunoscute N1, N2 şi N3. Ca

urmare, sistemul de trei bare considerat este o dată static nedeterminat. Pentru determinarea

necunoscutelor este necesară găsirea unei noi relaţii de legătură între necunoscute.

Între deplasările punctului B pe orizontală şi verticală şi alungirile fiecărei bare:

.866,05,0l

30cos5,1

,l

2 ;866,05,0

l

30cos

3

21

BB

BBB

vuAE

N

vAE

NvuAE

N

Din relaţia lui N2 rezultă:

AE

Nv

B2

l2 iar din egalitatea N

1 = N

3 se obţine:

,866,05,05,1866,05,0BBBB

vuvu de unde rezultă: uB = 0,3464 v

B.

Înlocuind expresia lui vB rezultă: .

l1732,0 2

AE

Nu

B

Cu valorile de mai sus, expresiile eforturilor secţionale din barele BC şi BG vor fi date de:

.45,0l

866,0l

1732,05,030cosl

2

22

31N

EA

N

EA

NAENN

Înlocuind valorile lui N1 şi N

3 în cea de-a doua ecuaţie de echilibru static rezultă:

,N28050561,01866,845,0222

PNPN

iar valorile celorlalte două sunt: .N12600252,021

PNN

Tensiunile care se dezvoltă în fiecare bară vor fi egale cu :

MPa84mm150

N60012

;MPa25,140mm200

N05028 ;MPa126

mm100

N60012

2

3

3

3

2

2

222

1

11

A

N

A

N

A

N

b) Deplasarea pe orizontală a punctului B este egală cu:

.mm291,0100102

1200050281732,0

l1732,0

5

2

EA

Nu

B

Deplasarea pe verticală a punctului B este dată de:

- 94 -

.mm841,01001022

120005028l5

2

EA

Nv

B

Competente


problematica determinarii tipului de solicitare de tractiune- compresiune , stabilind forta

axiala, tensiunile si deformatiile care apar.


rezolve tipurile de probleme static determinate, cat si mai ales cele static nedeterminate;

determine caracteristicile materialelor analizate prin prisma incercarilor specifice.



U4.9.1 Stabiliti expresia lungirii la o bara dreapta, de sectiune constanta solicitata de

o forta axiala centrica.

U4.9.2 Ce se intelege prin modul de ri giditate al sectiunii la intindere(compresiune)?

U4.9.3 Ce se intelege prin coeficientul contractiei transversale si intre ce limite

variaza valorile lui?

U4 .9.4 Explicati ce se intelege prin curba caracteristica conventionala si prin curba

caracteristica reala.

U4.9.5 Care este definitia coeficientului de siguranta si de care factori depinde

valoarea sa ?

U4.9.6 Ce masu ri se iau pentru micsorarea concentrarii tensiunilor?

U4.9.7 Precizati ce reprezinta ecuatiile de echilibru elastic?

U4.9.8 Ce tensiuni se produc datorita temperaturii si cum se determina ele?

U4.9.9 Comparati tensiunile datorate variatiei de temperatura in cazul unei bare

incastrata la capete, cu sectiunea constanta, fata de o bara cu sectiunea

variabila.


Exemplificaţi tipurile de probleme static nedeterminate de tractiune- compresiune

pe diverse exemple numerice.

Bibliografie




elasticităţii, vol. 2, 1995, Ed. “Macarie”, Târgovişte

- 95 -

Modulul 5. Calculul conventional al bare lor la forfecare

Cuprins

U5.1 Tensiuni si deformatii................................................... .............................. ..95

U5.2 Probleme de calcul al imbinarilor................................................................. 96

U5.2.1 Calculul imbinarilor cu suruburi, buloane....................................... .......97

U5.2.2 Calculul imbinarilor nituite................................................................. ...98

U5.2.3 Calculul imbinarilor sudate..................... ............................................. ...99

U 5.3 Test de evaluare a cunostintelor..................................... .......................... .107

U5.1 Tensiuni si deformatii

O bară este solicitată la forfecare (tăiere), atunci când asupra acesteia acţionează două

forţe transversale T, egale şi de sens contrar, perpendiculare pe axa longitudinală a barei,

lucrând similar unei foarfeci (fig. 5.1). Cele două forţe tăietoare vor fi situate la distanţa "a",

apărând suplimentar şi o solicitare de încovoiere, care poate fi neglijată datorită valorii mici a

distanţei "a".

Fig. 5.1

Sub acţiunea forţelor aplicate în secţiunea transversală se dezvoltă un efort situat în

planul secţiunii, numit forţă tăietoare T. Bara se deformează, apărând lunecări γ, iar în planul

de forfecare (în secţiunea transversală a barei) se vor dezvolta tensiunile tangenţiale τ. Se

admite ipoteza simplificatoare conform căreia tensiunile τ au aceeaşi valoare pe tot cuprinsul

secţiunii, deci sunt repartizate uniform. Această ipoteză simplificatoare poate fi utilizată cu

succes mai ales la forfecarea secţiunilor transversale mici care apar în general la elementele de

îmbinare (buloane, nituri, pene, cordoane de sudură etc .).

Expresia tensiunii tangenţiale în funcţie de forţa tăietoare şi aria secţiunii transversale va

fi: .A

TAdAT

A

(5.1)

Forma curentă a relaţiei (5.1) este: A

Tk unde k este un coeficient de formă,

dependent de forma secţiunii transversale a barei. Valorile lui k vor fi deduse în capitolul de

încovoiere la particularizarea relaţiei lui Juravski.

Relaţia (5.1) se poate scrie sub una din următoarele trei forme:

pentru dimensionare: .a

nec

TA

(5.2)

- 96 -

unde se admite τa = (0,5... 0,8) σa în cazul materialelor izotrope şi omogene;

pentru verificare: .a

ef

efA

T (5.3)

pentru determinarea fortei capabile: Tcap = A •.τa. (5.4)

Se admite τa = 90 MPa pentru oţelul OL 37, τa = 110 MPa pentru OL 44, τa = 130 MPa

pentru OL 52.

Pentru determinarea forţei de rupere prin tăiere se poate utiliza relaţia:

,rrup

AT (5.5)

unde τr este tensiunea tangenţială de rupere a materialului (vezi tab .5.1).

Tabelul 5.1

Nr.c

rt.

Materialul τr [MPa]

1 Oţel 250 ÷ 800

2 Alamă 250 ÷ 380

3 Cupru 200 ÷ 280

4 Duraluminiu 220 ÷ 380

5 Carton 30 ÷ 60

6 Carton presat 70 ÷ 80

7 Cauciuc 1 ÷ 10

8 Piele ~ 54

Deformaţia de forfecare constă dintr-o deplasare relativă v a unei secţiuni faţă de alta

situată la distanţa "a" (fig. 5.1). Dacă materialul barei ascultă de legea lui Hooke, se obţine:

,AG

aT

G

a

A

Ta

Gav

(5.6)

unde produsul G A dintre modulul de elasticitate transversal G şi aria secţiunii transversale A,

reprezintă modulul de rigiditate la forfecare al secţiunii transversale.

Observaţii: 1°- În cazul secţiunilor transversale mari se va ţine seama de distribuţia reală a tensiunii

tangenţiale (vezi relaţia lui Juravski, Cap. 9);

2°- În cazul materialelor anizotrope, rezistenţele la forfecare sunt diferite în funcţie de

direcţie. Spre exemplu, în cazul pieselor de lemn se disting şase stări particulare de forfecare

în funcţie de orientarea forţei tăietoare faţă de direcţia fibrajului (fig. 5.2). Pentru calculul de

rezistenţă se admit valori diferite pentru tensiunea admisibilă în funcţie de orientarea forţei

faţă de direcţia fibrelor.

Fig. 5.2

U5.2. Probleme de calcul ale îmbinărilor

Construcţiile sau maşinile ca ansamble finite sunt formate din subansamble îmbinate cu

- 97 -

ajutorul unor piese de legătură.

După felul în care se realizează îmbinarea cât şi al pieselor de legătură utilizate,

îmbinările se clasifică în două mari categorii:

- îmbinări demontabile, ca îmbinările cu şuruburi, buloane, cuie, pene, chertări în cazul

lemnului, scoabe etc.;

- îmbinări nedemontabile, ca nituirea, sudura, încleierea etc.

Elementele componente ale îmbinărilor sunt solicitate în general la forfecare, întindere

sau compresiune locală (strivire).

U5.2.1. Calculul îmbinărilor cu şuruburi, buloane

Asamblările prin filet au răspândire foarte largă în tehnică, peste 60% din piesele

componente ale unei maşini având filet.

Şuruburile pentru întrebuinţări uzuale se execută din OL 37, OL 42, pentru solicitări

medii se utilizează OL 50, OL 60, OLC 35 şi OLC 45, iar pentru condiţii severe de solicitare

se folosesc oţelurile aliate. Pe lângă oţeluri, la confecţionarea şuruburilor se utilizează şi o

serie de metale şi aliaje neferoase.

Fig. 5.3

În figura 5.3 se prezintă un exemplu de îmbinare a unor table cu ajutorul unui bulon (un

şurub de dimensiuni mari). Bulonul transmite efortul de întindere P de la tabla la perechea

de table , devenind solicitat la forfecare în secţiunea lui transversală, cât şi la strivire

(compresiune locală, la care materialul nu are unde refula) în secţiunea semicilindrică de

contact (vezi şi fig. 5.4).

Bulonul rezistă la forfecare, dacă:

,4

2 afefid

P

A

T

(5.7)

unde i reprezintă numărul secţiunilor de forfecare, respectiv pentru cazul prezentat i = 2.

Strivirea suprafeţelor de contact dintre bulon şi tablă nu se produce, dacă:

,min

asefhd

P

A

P (5.8)

unde s-a aproximat secţiunea semicilindrică de contact, cu secţiunea mai mică cea

longitudinală, deci de formă dreptunghiulară d.hmin. Prin hmin se întelege grosimea tablei

celei mai subţiri a îmbinării, respectiv h1, dacă h

1 < 2h, sau 2h dacă h

1 > 2h.

Presiunea admisibilă de strivire pas

= σas

se recomandă să fie cuprinsă între (1,5... 2) σac.

La dimensionare, din relaţia (5.7) se poate determina diametrul bulonului iar din relaţia

(5.8) grosimea minimă a tablei.

Dimensiunile minime ale tablelor se pot determina impunându-se condiţiile de rezistenţă

la forfecarea tablei în lung, în dreptul marginii bulonului respectiv la tracţiune în secţiunea

transversală slăbită:

- 98 -

,2

min

afefhe

P

(5.9)

.

2min1min

aefhe

P

hdb

P

(5.10)

Din relaţiile (5.9) şi (5.10) rezultă dimensiunile e şi e 1 ale tablei.

În calculele prezentate d reprezintă diametrul minim din zona de calcul, care adeseori

reprezintă diametrul de fund al zonei filetate.

U5.2.2. Calculul îmbinărilor nituite

Atât niturile de rezistenţă, cât şi cele de rezistenţă şi etanşare sunt normalizate printr-o

serie de standarde. În stare nemontată nitul are două părţi, capul nitului şi tija nitului (fig. 5.4).

Operaţia de nituire constă din găurirea tablelor (găuri ce se execută cu 1 mm mai mari decât

diametrul nitului) şi apoi urmează nituirea şi baterea niturilor, astfel încât în stare montată se

poate considera că diametrul tijei este egal cu diametrul găurii de nit.

Fig. 5.4

La calculul unei îmbinări nituite se admit următoarele ipoteze: toate niturile îmbinării au

acelaşi diametru, forţa repartizându-se uniform pe nituri, eforturile se repartizează uniform în

secţiunile functionale. Dimensionarea unei îmbinări nituite presupune stabilirea diametrului

niturilor precum şi a numărului de nituri.

Diametrul niturilor se alege funcţie de grosimea tablelor care se îmbină, folosind relaţia:

,mm50min

ahd (5.11)

unde hmin reprezintă grosimea celei mai subţiri table din îmbinare în [mm], iar a se va

considera de 2 mm pentru îmbinările de rezistenţă, de 4 mm pentru îmbinările de rezistenţă-

etanşare şi de 6 mm pentru îmbinările de rezistenţă-etanşare realizate cu eclise. Valoarea

diametrului d, se rotunjeşte în ordine crescătoare la diametrul standardizat (tab. 5.2).

Tabelul 5.2

În tabelul 5.3 se prezintă concis diametrele maxime de nituri recomandate pentru

îmbinarea tablelor şi profilelor laminate.

Tabelul 5.3

Stabilirea numărului de nituri se face în funcţie de cele două solicitări care apar în nit

respectiv forfecarea secţiunii transversale şi strivirea secţiunii longitudinale. Se determină

forţa capabilă a unui nit la forfecare şi la strivire (fig. 5.5) [21]:

- 99 -

.σhdP

;τ4

dπiP

asmin1s

af

2

1f

strivirela

forfecarela (5.12)

unde i reprezintă numărul secţiunilor de forfecare ale unui nit, iar hmin reprezintă grosimea

tablei celei mai subţiri din îmbinare.

Numărul de nituri este egal cu:

.

,min11 sf

PP

Pn (5.13)

Valoarea obţinută din calcul se majorează cu 20% pentru a ţine cont de faptul că niturile nu

sunt identic solicitate.

Există recomandări pentru dispunerea niturilor cât şi pentru stabilirea distanţelor dintre

ele. Astfel, distanţa dintre nituri se va lua egală cu (fig. 5.5):

Fig. 5.5

;45,1 ;42 ;103 ;103 321 dededede

În final, datorită slăbirii secţiunilor elementare care se îmbină prin practi-carea găurilor

de nit, acestea se vor verifica la tracţiune, compresiune sau forfecare.

U5.2.3 Calculul îmbinărilor sudate

Îmbinările sudate sunt îmbinări nedemontabile, bazate pe forţele de coeziune

intermoleculară dintre materialele pieselor de îmbinat.

Sudarea este utilizată în principal ca mijloc de asamblare a părţilor componente ale unei

piese sau subansamblu, precum şi ca procedeu de fabricaţie, prin combinare cu alte operaţii

tehnologice, pentru obţinerea unor subansamble care în mod obişnuit se obţin mai greu şi cu

cost mai ridicat prin metodele tehnologiei clasice, cât şi ca mijloc de executare a

recondiţionărilor şi reparaţiilor de organe de maşini, instalaţii uzate sau rupte accidental.

Construcţiile sudate prezintă, faţă de cele nituite o serie de avantaje care conduc la

economii de material şi manoperă (economia de metal la construcţiile sudate este de 15... 25%

faţă de construcţiile nituite).

În cazul asamblărilor sudate este impus însă un control al calităţii mult mai se ver decât

la alte feluri de asamblări, atât asupra calităţii asamblării cât şi asupra metalului de bază şi a

metalului de adaos. Aceasta datorită faptului că şocul termic, ce caracterizează principalele

procedee industriale de sudare, modifică compoziţia chimică, respectiv structura metalografică

a asamblării, provocând tensiuni remanente, elemente care favorizează ruperea fragilă. La

efectuarea calculelor de rezistenţă trebuie avut în vedere, pe lângă mărimea şi dimensiunile

sudurii şi felul acesteia, respectiv natura solicitării (fig. 5.6).

- 100 -

Fig. 5.6

Sudurile pot fi suduri cap la cap, suduri la colţ, suduri frontale, suduri pe flanc etc .

Solicitările care apar frecvent în suduri sunt cele de forfecare, tracţiune sau compresiune,

prezentând unele particularităţi:

- tensiunea admisibilă a sudurii se deter-mină în funcţie de tensiunea admisibilă σa a

tablelor de oţel care se îmbină astfel;

- la întindere: σats

= 0,8 σa;

- la compresiune: σacs

= σa;

- la forfecare: τafs

= 0,65 σa;

- la încovoiere: σais

= 0,85 σa.

Ca urmare a imperfecţiunilor tehnologice ale capetelor cusăturii, datorate amorsării şi

stingerii arcului electric, lungimea cordonului se ia mai mare decât lungimea rezultată din

calcul cu două grosimi a de sudură (fig. 5 .7):

.2ll acs (5.14)

Fig. 5.7

Grosimea cusăturii, practic, se consideră egală cu grosimea pieselor de sudat, cu toate

că, de obicei, feţele sudurii sunt usor convexe;

- se admite că tensiunea se distribuie uniform în lungul cordonului de sudură.

Sudura cap la cap din punct de vedere al dimensiunilor este caracterizată prin grosimea

a şi lungimea ls (fig. 5.7), fiind supusă la întindere sau la compresiune (fig. 5.10) [21].

Prelucrarea pieselor la locul de asamblare depinde de grosimea acestora, precum şi de

procedeul de sudare utilizat. În cazul sudării manuale cu arc electric, dacă elementele ce se

îmbină au grosimea sub 5 mm, nu mai este necesară prelucrarea capetelor (fig. 5.8). Pentru

elemente cu o grosime mai mare de 5 mm este necesară o prelucrare a feţelor ce se

- 101 -

asamblează, astfel încât acestea să formeze între ele un unghi a = 60°... 70° (cusătură în V,

vezi fig. 5.7). În cazul elementelor cu grosimea de 15 mm este recomandată cusătura în X (fig.

5.9,a), iar pentru cele cu grosimea peste 25 mm, cusătura în U (fig. 5.9,b).

Fig. 5.8

Fig. 5.9 Fig. 5.10

Fig. 5.11 Fig. 5.12

Fig. 5.13

În cazul asamblării pieselor cu grosimi diferite, majoritatea prescripţiilor prevăd ca

piesele cu grosime mai mare să fie subţiate spre marginile care se asamblează cu o pantă de

cca. 1 : 5, pentru a se evita schimbări bruşte de secţiune (fig. 5.11,a). Dacă diferenţa de

grosime nu trece de 50%, dacă nu se realizează panta menţionată, cusătura trebuie să se

realizeze cu faţa înclinată (fig. 5.11,b). În ambele cazuri grosimea sudurii ce va fi considerată

în calcul este grosimea elementului mai subţire.

Grosimea sudurii se admite egală cu grosimea tablei, deci a = t, iar lungimea cordonului

de sudură l = b-2t. Condiţia de rezistenţă a sudurii cap la cap, este:

.8,0

2aef

aba

P

(5.15)

În cazul sudurii frontale a două table (fig. 5.12) solicitate la întindere forţa P se

descarcă în două cordoane de sudură, efortul dintr-o sudură P/2 se descompune într-o

componentă de tracţiune Pt şi una de forfecare Pf:

.22

45cos2

PPPP

tf

Apare deci o stare de solicitare compusă, însă convenţional calculul se efectuează doar

la forfecare funcţie de forţa P/2. Condiţia de rezistenţă a sudurii este:

- 102 -

.65,0

22aef

aba

Ps

(5.16)

unde a reprezintă grosimea de calcul a cusăturii, considerată egală cu înălţimea triunghiului

isoscel înscris în secţiunea transversală a cusăturii a 0,7 hmin.

Nu este indicată folosirea cusăturii cu concavitate prea mare (tensiunile remanente în aceste

cusături sunt mai pronunţate), iar dacă unghiul a dintre elemen-tele ce se îmbină este mai mic

de 90° (fig. 5.13,d), executarea sudurii în bune condiţii este dificilă.

Sudurile paralele cu direcţia sarcinii se numesc cusături laterale sau de flanc. În figura

5.14 se prezintă atât variaţia tensiunii tangenţiale τx de-a lungul cusăturilor longitudinale, cât

şi variaţia tensiunilor normale σx din secţiunea elementului ce se imbină. Se consideră sudura

de flanc a unei corniere de un guseu (fig. 5.15) [28]. Forţa P nu se descompune identic la

nivelul celor două cordoane de sudură, astfel centrul de greutate al cornierei fiind mai aproape

de talpă e1 < e2, în mod firesc 21

PP , unde e

ePP 2

1 şi respectiv .1

2e

ePP

Fig. 5. 14 Fig. 5. 15

Fiecare sudură este supusă la forfecare şi pentru ca să reziste este necesar ca:

.65,02l

;65,02l

2

1

1

1

2

1

aef

aef

aa

P

aa

P

(5.17)

În problemele de dimensionare, din aceste relaţii poate rezulta lungimea cordoanelor de

sudură.

Sudura de colţ reprezintă un important concentrator de eforturi. Valoarea efortului unitar

admisibil se limitează la valoarea rezistenţei admisibile de forfecare, indiferent de tipul

cusăturii de colţ şi de solicitare. La sudurile combinate, pentru simplificarea calculelor, se

admite că sarcina se repartizează proporţional cu lungimea cordoanelor, deşi sudura frontală,

mai rigidă, este solicitată mai mult.

O îmbinare cu pene (fig. 5.16) este solicitată în secţiunea longitudinală la forfecare, iar

în secţiunea transversală la strivire. Pentru ca să reziste este necesar ca:

.

;

as

p

ef

aef

hbi

P

cbi

P

s

(5. 18)

Fig. 5.16

- 103 -

unde i reprezintă numărul penelor iar b este lăţimea acestora.

Aplicaţia 5.1 Se cere să se verifice îmbinarea nituită din figura 5.17 cunoscând σa = 150

MPa şi adoptând nituri cu diametrul de 20 mm, grosimea tablei minime fiind de 9 mm, lăţimea

de 120 mm iar forţa care solicită asamblarea de 120 kN.

Fig. 5.17

Rezolvare: Presupunând că forţa P este preluată în mod egal de cele patru nituri, se

calculează forţa pe nit:

.N000.304

000.1201

n

PP

Se efectuează verificarea niturilor la forfecare şi respectiv strivire:

,MPa6,95

4

201

000.30

4

22

1

d

i

Pef

iar ;MPa5,9715065,065,0 aa

,MPa167920

000.30

min

1

td

Psef

iar .MPa2251505,15,1 aas

Se observă că sunt îndeplinite ambele condiţii, deci niturile rezistă încărcării propuse. În

continuare se verifică rezistenţa tablei în secţiunile slăbite prin practicarea găurilor de nit.

Aplicaţia 5.2. Se cere să se realizeze îmbinarea sudată a unei corniere (90 × 90 × 11) pe

o tablă de aceeasi grosime dacă se admite σa = 150 MPa (fig. 5.18).

- 104 -

Fig. 5.18

Rezolvare: Se admite că forţa actionează în lungul axei longitudinale a cornierei, adică

în dreptul centrului de greutate al secţiunii transversale. Forţa capabilă se determină din

condiţia de tracţiune, impusă pentru cornieră: N500.2801870150 APacap

Sudurile solicitate la forfecare, adoptând grosimea cordonului de sudură funcţie de

grosimea h a aripii cornierei: a = 0,7 h = 0,7.11 = 7,7 mm, vor avea lungimea totală:

.mm374l15065,07,7

500.280l;l

ss

af

sa

P

Lungimea reală a cordonului de sudură va fi: .mm4057,743744ll

, a

sreals Se adoptă ls,real = 410 mm.

Cordoanele de sudură nu sunt solicitate în mod identic, ele preluând următoarele

componente ale forţei: .; 1

2

2

1P

c

cPP

c

cP

Dar lungimile cordoanelor sunt proporţionale cu forţele ce le revin, putându-se efectua

defalcarea lor. Astfel:

.44,22,26

8,63

l

l

;410ll

1

2

2

1

21

c

c

Din rezolvarea sistemului, vom avea l1 = 290 mm iar l2 = 120 mm.

Aplicaţia 5.3 Îmbinarea din figura 5.19 este solicitată de o forţă P = 175 kN. Elementele

îmbinării sunt din OL 37 cu σa= 120 MPa, σas = 150 MPa şi τa = 90 MPa. Se cere să se

verifice îmbinarea.

Rezolvare: Tija este solicitată la:

Fig. 5.19

întindere:

;MPa3,83256060

000.175aef

A

P

forfecare: ;MPa167,2960502

000.175a

f

efAi

P

strivire: ;MPa673,1166025

000.175as

s

efsA

P

Pana este solicitată la:

forfecare: ;MPa5,8740252

000.175a

f

efAi

P

- 105 -

strivire:

.MPa706016025

000.175as

s

sefA

P

.

Se observă că îmbinarea rezistă, cotele fiind supradimensionate ele putându-se optimiza

astfel încât tensiunile efective să fie de valoare apropiată cu tensiunile admisibile.

Aplicaţia 5.4: Să se stabilească dimensiunile minime ale îmbinării din figura 5.20 pentru

o forţă de tracţiune P = 40 kN.

Se cunosc: σat || =10 MPa, σas || = 8 MPa, τaf || = 1 MPa.

Fig. 5.20

Rezolvare: Dimensiunile a, b, c se deduc din condiţiile de rezistenţă la tracţiune,

forfecare şi strivire.

Astfel pentru:

tracţiune: ;IIatef

ha

P

strivire: ;IIassef

hb

P

forfecare: .IIafef

hc

P

.

Impunând şi condiţia geometrică h = 2a + b şi rezolvând sistemul de patru ecuaţii,

rezultă: a = 35 mm; b = 44 mm; h = 114 mm; c = 350 mm.

Aplicaţia 5.5 Două tije de oţel (1) sunt îmbinate cu ajutorul unui cuplaj de fontă (2)

format din două piese ca în figura 5.21 [3]. Îmbinarea este solicitată la întindere de o forţă P =

85 kN. Se cer dimensiunile indicate pe figură dacă se admite σaOL

=120 MPa, σat Fo = 30 MPa

şi σas

= 80 MPa. În calculul la întindere se va admite atât pentru tijă, cât şi pentru cuplaj, un

coeficient de concentrare a tensiunilor αk = 1,6. Manşonul (3) menţine cuplajul în stare

îmbinată.

Fig. 5.21

Rezolvare: Dacă d este prea mic se produce ruperea tijei la întindere:

.4

2 OLakefd

P

de unde rezultă

;120

000856,14

d mm38d

Dacă D este prea mic se produce strivirea suprafeţei de contact dintre tija de oţel şi

- 106 -

cuplajul de fontă:

,4

22 asdD

P

sef

de unde rezultă:

.53;80

00085438 mm

2

DD

.

Dacă D1 este prea mic se produce ruperea cuplajului la întindere:

,

4

022

1FatDD

P

ef k

de unde rezultă:

;30

000856,14532

1

D .92mm

1D

Dacă a este prea mic se produce ruperea prin forfecare a cuplajului:

,65,00Fatef

Da

P

de unde rezultă:

.mm2,26;3065,053

00085

aa

Dacă b este prea mic se produce ruperea prin forfecare a capătului tijei:

,65,0OLaef

bd

P

de unde rezultă: .mm1,9;

12065,038

00085

bb

.

Aplicaţia 5.6: O barcă de salvare de pe o navă maritimă este fixată la fiecare capăt de un

cablu din oţel care trece peste un scripete ancorat de punte. Cablul este încărcat la capete cu

forţe de 4000 N (fig. 5.22). Scripetele se poate roti liber în jurul axei orizontale. Se cere să se

determine diametrul axului, dacă se admite τa = 50 MPa.

Fig. 5.22

Rezolvare: Datorită tensiunilor din cablu, în ax apar rezultantele RH în planul orizontal

si RV în planul vertical:

.N6000;060cos40004000

;N3464;060sin4000

VVV

HHH

RdeciRF

RdeciRF

Rezultanta lor N930600064643 22 R este orientată după unghiul θ:

.604643

0006 arctg

Dacă admitem că rezultanta este uniform distribuită pe sectiunea axului, tensiunea

tangentială τ are distribuţia din fig. 5.25, c:

- 107 -

.mm28,13,50

4

93062

ddA

R

Se adoptă d =14 mm.

Competente


problematica determinarii si calcularii diverselor tipuri de elemente de imbinare folosite curent

in tehnica.


rezolve tipurile de probleme specifice fiecarui tip de imbinare folosita tehnic;

determine caracteristicile diverselor tipuri de imbinari.



U5.3.1 Care este conditia de rezistenta la forfecare?

U5.3.2 Stabiliti expresia deplasarii la forfecare.

U5.3.3 Determinati relatia de calcul a unei imbinari nituite cu mai multe sectiuni de

forfecare.

U5.3.4 Stabiliti r elatia de calcul la strivire a unui nit.

U5.3.5 Cum se calculeaza numarul necesar de nituri?

U5.3.6 Care este clasificarea imbinarilor sudate?


Exemplificaţi tipurile de imbinari pe diverse exemple numerice.

Bibliografie











- 108 -

Modulul 6. Torsiunea

Cuprins

U6.1 Torsiunea barelor de sectiune circulara....................... ................................109

U6.2 Deformatia la torsiune..................................................... ............................111

U6.3 Probleme static nedeterminate la torsiune..................... ..............................113

U6.4 Torsiunea barelor de sectiune dreptunghiulara.............. ..............................114

U6.5 Torsiunea barelor tubulare cu pereti subtiri............................................... ..117

U6.6 Generalizarea relatiilor de calcul...................................... ...........................119

U6.7 Test de evaluare a cunostintelor........................................................ ...........122

Torsiunea

În practica inginerească apare foarte frecvent problema transmiterii puterii de la un

punct la altul în cadrul unui sistem mecanic: de la o turbină cu aburi la un generator electric,

de la un motor electric la o sculă aşchietoare, de la un motor cu ardere internă la roţile

automobilului, etc. Acest lucru se realizează de cele mai multe ori prin intermediul unor arbori

de secţiune circulară, inelară sau de alte forme (fig. 6.1).

Fig. 6.1

Puterea se transmite de la turbina (4) la generatorul electric (1) prin intermediul

arborelui (2) şi cuplajelor (3). Dacă se “extrage” din figura 6.1 elementul (2) atunci se poate

spune că acesta este solicitat la capete de două cupluri (momente de torsiune) Mt de sens

contrar, un cuplu motor şi un cuplu rezistent (fig. 6.2).

Fig. 6.2 Fig. 6.3

Dacă se notează cu P puterea transmisă prin intermediul arborelui (exprimată în [CP]) şi

cu n turaţia arborelui [rot/min], atunci momentul de torsiune Mt va fi dat de relaţia:

.mNk02,7 n

Mt

P (6.1)

Dacă P este exprimată în [kW] şi n [rot/min] atunci momentul de torsiune Mt va fi dat

de relaţia:

.mNk55,9 n

Mt

P (6.2)

Torsiunea (răsucirea) poate fi produsă şi prin acţiunea a două forţe de sens contrar (fig. 6.3).

- 109 -

U6.1. Torsiunea barelor de secţiune circulară

Aşa după cum se va vedea în cele ce urmează, forma secţiunii transversale a elementului

supus torsiunii va influenţa în mod fundamental starea de tensiune şi de deformaţie. Pentru

început se va prezenta torsiunea barelor de secţiune circulară sau inelară. În acest scop se

consideră o bară de secţiune circulară supusă acţiunii unui moment de torsiune M t (fig. 6.4).

Fig. 6.4

Dacă Mt este variabil de-a lungul barei, pentru calculul de rezistenţă şi rigiditate în

prealabil se construieşte diagrama momentelor de torsiune. Momentul de torsiune este

orientat, în reprezentare vectorială, în lungul axei longitudinale a barei. Se consideră o bară

dreaptă, de secţiune circulară, constantă în lungul acesteia, realizată dintr-un materialul

omogen, izotrop, cu caracteristică liniară şi care satisface legea lui Hooke.

Una dintre proprietăţile importante ale barei de secţiune circulară este aceea că, în urma

răsucirii, o secţiune plană şi perpendiculară pe axa barei înainte de solicitare rămâne plană şi

perpendiculară pe axa barei şi în timpul solicitării (fig. 6.5,a) spre deosebire de o bară cu

secţiunea dreptunghiulară, de exemplu (fig. 6.5,b) la care are loc deplanarea secţiunilor în

timpul deformării.

La bara de secţiune circulară, distanţa e dintre două secţiuni perpendiculare pe axa barei

rămâne nemodificată în urma acţiunii momentului de torsiune. Ca urmare:

;0;0 xxx

E

Se consideră o bară de lungime l, de secţiune circulară cu raza R, care a fost rotită cu un

unghi φ prin acţiunea unui moment de torsiune Mt (fig. 6.6,a).

Se numeşte unghi de torsiune, unghiul cu care se roteşte o secţiune transversală faţă de

alta. Dacă distanţa între secţiuni este infinit mică unghiul de torsiune este elementar dφ, iar

dacă distanţa este egală cu unitatea unghiul de torsiune se numeşte specific θ. Unghiul cu care

se roteşte o secţiune marginală faţă de alta se numeşte unghi de torsiune total φ.

Se detaşează din această bară un cilindru de rază r pe care se consideră un element de

formă pătrată cuprins între două secţiuni adiacente (perpendiculare pe axa barei) şi două linii

drepte (paralele cu axa barei) - (fig. 6.6,b) - înainte de acţiunea momentului Mt. În urma

răsucirii însă, elementul considerat devine romb (fig. 6.6,c). Cum cele două secţiuni circulare

care mărginesc elementul rămân neschimbate în urma solicitării, deformaţia unghiulară g

pentru acest element va fi egală cu unghiul dintre liniile AB şi A’B. Pentru valori mici ale lui γ

se poate scrie: .lll

'

rrAAtg (6.3)

Dacă în locul barei de lungime l se consideră un element de bară de lungime dx, se poate

scrie: .dx

dr

(6.4)

Din legea lui Hooke: . rGrGG (6.5)

Pentru a determina orientarea acestor tensiuni se consideră o secţiune oarecare a barei

supuse răsucirii (fig. 6.7).

- 110 -

Fig. 6.7

Se presupune că într-un punct oarecare {A}, de pe conturul secţiunii circulare, apare o

tensiune tangenţială τ cu o orientare oarecare în cadrul secţiunii. Se poate descompune

tensiunea τ în două componente, una după direcţia razei (τ’) şi alta după o direcţie tangentă la

contur (τ”). Din legea dualităţii tensiunilor tangenţiale ar trebui însă ca lui τ’ să-i corespundă o

tensiune de aceeaşi valoare τ’” pe suprafaţa exterioară a barei. Cum însă suprafaţa exterioară

este neîncărcată, va rezulta că τ’” = 0 deci şi că τ’ = 0. Rezultă de aici că tensiunea τ în punctul

A este orientată perpendicular pe raza OA. Se admite aceiaşi distribuţie a tensiunii tangenţiale

şi pentru punctele din interiorul secţiunii.

,22

p

AAA

tIGdArGdArGdArM

de unde rezultă că: .p

t

IG

M

(6.6)

Înlocuind (6.6) în (6.5) se obţine: .rI

Mr

I

M

IG

MrGrG

p

t

p

t

p

t (6.7)

În relaţia (6.7), Ip reprezintă momentul de inerţie polar al secţiunii barei, Mt este

momentul de torsiune aplicat iar r este distanţa de la punctul considerat (în care apare

tensiunea τ) şi centrul secţiunii. Se poate observa că tensiunile tangenţiale τ variază liniar

(după r).

Se poate spune că tensiunile tangenţiale rezultate în urma solicitării de torsiune au pe

secţiune distribuţia din figura 6.8.

Fig. 6.8

Tensiunea tangenţială maximă apare deci în punctele de pe contur (pentru r = R).

.max

p

t

p

t

p

t

W

M

R

I

MR

I

M (6.8)

unde s-a notat:

Wp = Ip/R - modulul de rezistenţă polar, acesta reprezentând o caracteristică

dimensională măsurată în mm3.

Pentru secţiunea circulară cu diametrul d:

.16

2

323

4

d

d

R

IW

p

p (6.9)

- 111 -

Pentru secţiunea inelară :

.16

2

32 44

44

dDDD

dD

Wp

(6.10)

Tipurile de probleme care se pun şi în cadrul capitolului de torsiune sunt:

a) Probleme de dimensionare: ;a

t

necp

MW

τa - reprezintă tensiunea admisibilă la torsiune, τa OL=50...90 MPa.

b) Probleme de calcul al momentului torsional capabil: ;azefpcapt

WM

c) Probleme de verificare: .a

p

t

efW

M

Relaţia (6.8) se poate folosi şi pentru bare cu secţiune variabilă în lungul lor. Dacă însă

trecerea de la o secţiune la alta are loc brusc va apare un efect de concentrare a tensiunilor,

valoarea maximă a tensiunii corespunzând zonei A, (fig. 6.9).

Pentru un astfel de caz tensiunea tangenţială maximă va avea expresia :

.max

p

t

kW

M (6.11)

unde raportul Mt/Wp se referă la zona de diametru d a barei, iar αk este factorul de

concentrare a tensiunilor.

Valoarea factorului de concentrare a tensiunii depinde atât de raportul dintre cele două

diametre (D/d) cât şi de raportul dintre raza de racordare şi valoarea diametrului mic (r/d),

(fig. 6.10).

De notat că diagrama din figura 6.10 este valabilă atât timp cât tensiunile calculate cu

relaţia (6.8) nu depăşesc limita de proporţionalitate a materialului. În cazul în care apar şi

deformaţii plastice atunci valorile tensiunii tangenţiale maxime vor fi mai scăzute decât cele

date de relaţia (6.8).

Fig. 6.9 Fig. 6.10

U6.2. Deformaţia la torsiune

Din relaţiile anterioare s-a văzut că, sub acţiunea unui moment de torsiune, secţiunile

transversale ale barei circulare se rotesc cu anumite unghiuri. Unghiul cu care se roteşte o

secţiune faţă de altă secţiune situată la distanţa l (unghiul de torsiune φ) se calculează pornind

de la relaţia definită anterior θ = dφ/dx.

.

l

0

dxIG

M

IG

M

dx

d

IG

M

p

t

p

t

p

t

(6.12)

- 112 -

Produsul GIp poartă numele de modul de rigiditate la torsiune.

Relaţia (6.12) este valabilă pe porţiunea de lungime l numai dacă pe această porţiune

mărimile Mt, G, Ip nu îşi schimbă legea de variaţie. În caz contrar va trebui să se realizeze o

însumare a unghiurilor de torsiune corespunzătoare porţiunilor din bară pe care Mt, G şi Ip îşi

păstrează legea de variaţie.

În numeroase cazuri practice, în special la calculul arborilor supuşi la torsiune, pe lângă

condiţia de rezistenţă impusă de relaţia:

,max a

p

t

W

M

este necesară şi limitarea valorilor deformaţiilor. O valoare prea ridicată a acestora poate

afecta buna funcţionare a arborilor şi a sistemelor din care aceştia fac parte. Condiţia de

limitare a deformaţiilor este de forma: ,max a

în care φa reprezintă unghiul de torsiune

admisibil.

Cum însă unghiul de torsiune φ variază în lungul barei, acesta nu poate în general să

caracterizeze deformaţia barei şi, ca urmare, se utilizează ca mărime de limitare a

deformaţiilor unghiul specific de torsiune θ, sub forma:

,max a

p

t

IG

M

unde valorile admisibile ale unghiului de torsiune specific θa se iau în funcţie de regimul de

lucru al arborelui. În general θa = ( 0,15°... 0,3°) / m, [28].

Pentru o reducere a greutăţii proprii a barelor solicitate la torsiune, în scopul unei

utilizări judicioase a materialului, secţiunea se face inelară (fig. 6.11).

Fig. 6.11

Pentru acest caz va rezulta:

.1

32

;1

16

44

43max

eDG

M

eD

M

W

M

t

t

p

t

(6.13)

unde e = d / D.

Se consideră în continuare două elemente infinit mici a şi b (fig. 6.12) de pe suprafaţa unei

bare de secţiune circulară supusă la torsiune. Cum laturile elementului a sunt paralele

respectiv perpendiculare pe axa barei, singura tensiune care apare pe feţele elementului este

cea tangenţială (tangenţială maximă dacă elementul se găseşte pe suprafaţa laterală a barei,

pentru care r = R).

Pentru elementul b ale cărui laturi fac unghiuri oarecare cu axa barei, pe feţele lui vor

apare şi tensiuni σ şi tensiuni τ (fig. 6.12).

Pe elementul a se creează deci o stare de forfecare pură. Această stare este echivalentă

cu o stare de întindere şi compresiune după direcţii orientate la 45o. După aceste direcţii

tensiunile tangenţiale devin nule iar tensiunile normale devin tensiuni principale (fig. 6.13).

Acest lucru explică de ce unele materiale care rezistă diferit la întindere faţă de

- 113 -

compresiune (cum ar fi de exemplu fonta) se rup la torsiune după suprafeţe orientate la 45o

faţă de axă (după o direcţie perpendiculară pe tensiunea principală σ1 - de întindere - pentru

fontă) - (fig. 6.14).

Prezenţa tensiunilor tangenţiale într-un plan perpendicular pe axa barei implică (conform

legii dualităţii tensiunilor tangenţiale) apariţia tensiunilor tangenţiale şi în plane orientate

paralel cu axa (fig. 6.15).

Apariţia tensiunilor tangenţiale în plane orientate după axă explică unele ruperi ce au loc

în anumite materiale după direcţii paralele cu axa barei supusă la torsiune.

Fig. 6.12 Fig. 6.13

Fig. 6.14 Fig. 6.15

U6.3. Probleme static nedeterminate la torsiune

Se pot întâlni adeseori în practică bare solicitate la torsiune care să reprezinte sisteme

static nedeterminate. Se consideră spre exemplu cazul unei bare de secţiune circulară variabilă

în trepte, aflată sub acţiunea unui moment de torsiune Mo, (fig. 6.16).

Acţiunea momentului de torsiune MO conduce la apariţia reacţiunilor din încastrările A

şi B, reprezentate de momentele de torsiune MA respectiv MB. Singura ecuaţie de echilibru

static care se poate scrie este:

,00BOA

MMMM

rezultând că MA+ MB = MO.

Fig. 6.16

Se dispune în felul acesta de o singură ecuaţie, insuficientă însă pentru determinarea

necunoscutelor MA şi MB. Problema este deci simplu static nedeterminată şi pentru

rezolvarea ei va trebui să se facă apel la condiţia de deformare a barei. Încastrările din A şi B

nu vor permite rotirea relativă a secţiunilor A şi B, şi deci :

- 114 -

:00

11

p

OA

p

A

BABAIG

bMM

IG

aM

Se obţine în felul acesta un sistem de două ecuaţii cu două necunoscute, MA şi M

B:

.0

;

21

4

p

OA

p

A

OBA

IkG

bMM

IG

aM

MMM

Admiţând un raport de valoarea k între cele două diametre, , se obţine:

.3232

;32 121

4

444

pppIk

dkDI

dI

Sistemul devine:

.0

;

.0

;

44

11 k

bMMaM

MMM

IkG

bMM

IG

aM

MMM

OA

A

OBA

p

OA

p

A

OBA

.1

;

4

4

44

4

4

4

44

bka

kaM

bka

bM

bka

bMMM

bka

bM

k

bak

bMM

k

bM

k

baM

MMM

O

O

O

OB

OO

A

O

A

OBA

Cunoscând valorile momentelor de torsiune MA şi MB se poate trasa diagrama de

momente de torsiune, (fig. 6.16), şi se pot determina valorile tensiunilor tangenţiale şi ale

deformaţiilor unghiulare în orice secţiune a barei.

U6.4. Torsiunea barelor de secţiune dreptunghiulară

Ipoteza secţiunilor plane pentru barele de secţiune circulară nu mai rămâne valabilă în

cazul secţiunii de formă oarecare. Acest lucru se poate deduce uşor dacă se analizează modul

în care se deformează o bară de secţiune dreptunghiulară supusă la torsiune (fig. 6.17).

Datorită acestui fapt studiul torsiunii unei bare de secţiune dreptunghiulară este mult mai

complex.

Când deplanarea secţiunilor se poate produce neîmpiedicat în timpul torsiunii (în felul

acesta neapărând tensiuni de tip σ orientate în lungul barei) torsiunea se numeşte liberă. În caz

contrar torsiunea se numeşte împiedicată.

În cazul barei de secţiune pătratică, diagonalele pătratului şi liniile ce unesc mijloacele

laturilor într-o secţiune făcută perpendicular pe axa barei înainte de deformare, rămân tot linii

drepte după deformare (fig. 6.17).

Fig. 6.17

Totuşi, orice altă linie dreaptă trasată în secţiunea respectivă înainte de deformare nu va

mai rămâne dreaptă după deformare. Chiar întreaga secţiune îşi va pierde planeitatea.

Pentru torsiunea barelor de secţiune dreptunghiulară ar fi greşit să se presupună că

tensiunea tangenţială în secţiunea curentă variază liniar cu distanţa până la centrul secţiunii.

- 115 -

Dacă această ultimă condiţie ar fi îndeplinită, ar însemna că tensiunile tangenţiale maxime vor

apare în punctele din colţurile secţiunii (cele mai depărtate de centru).

Se consideră un element cubic situat în colţul unei bare de secţiune dreptunghiulară (fig.

6.18, a).

În urma aplicării momentului de torsiune se poate constata experimental că elementul de

volum considerat rămâne nedeformat (fig. 6.18, b). Acest lucru este o consecinţă a legii

dualităţii tensiunilor tangenţiale şi a faptului că suprafeţele libere ale elementului considerat

(ABCD şi ABEF) rămân neîncărcate (fig. 6.19).

Fig. 6.18 Fig. 6.19

Cum faţa ABCD este o parte a suprafeţei libere a barei, toate tensiunile pe această faţă

trebuie să fie nule, adică: .00 yzyx

Din aceleaşi motive pe faţa ABEF există:

.00 zyzx

Din legea dualităţii tensiunilor tangenţiale va rezulta că:

0 ;0 xz zxyxxy

Rezultă că în punctele din colţurile secţiunii tensiunea tangenţială este nulă (figura 6.20 -

bară de cauciuc de secţiune dreptunghiulară supusă la torsiune).

Tot printr-o experienţă ca cea din figura 6.20 se poate constata că deformaţiile maxime

unghiulare ale unui element au loc în punctele situate la mijlocul feţelor.

Fig. 6.20

Soluţia exactă a răsucirii barelor de secţiune dreptun-ghiulară a fost dată de Saint-

Venant utilizând metode ale teoriei elasticităţii. Conform acesteia, tensiunea tangenţială

maximă are loc în secţiunea transversală în punctul situat la mijlocul laturii mari a

dreptunghiului. La mijlocul laturii mici a dreptunghiului se dezvoltă o tensiune tangenţială τ1

mai mică, iar în colţurile secţiunii, tensiunile tangenţiale sunt nule. În figura 6.21 sunt

reprezentate distribuţiile tensiunilor tangenţiale în punctele situate pe contur, pe axele

principale de inerţie şi pe diagonalele dreptunghiului.

Fig. 6.21

- 116 -

În urma teoriei lui Saint Venant, tensiunile tangenţiale maxime şi unghiul de torsiune

specific au expresiile:

.

;

;

3

1

max21

2max

bhGk

M

rk

bhk

M

t

t

(6.14)

Coeficienţii lui Saint-Venant k, k1 şi k2 au valori ce depind de raportul h / b al laturilor

secţiunii (b este întotdeauna latura mică).

Valorile acestor coeficienţi sunt date în tabelul 6.1.

Tabelul 6.1

Din relaţiile (6.14) se poate observa că momentul de inerţie polar (ce apărea în expresia

unghiului de torsiune specific în cazul secţiunii circulare) a fost înlocuit de expresia:

.3

11bhkI (6.15)

care se numeşte moment de inerţie convenţional la torsiune, iar modulul de rezistenţă polar

Wp a fost înlocuit de:

.2

1bhkW

t (6.16)

Cu relaţiile (6.15) şi (6.16), tensiunea tangenţială maximă şi unghiul de torsiune specific,

în cazul secţiunii dreptunghiulare se pot scrie sub forma:

.

max;

a

t

t

a

t

t

IG

M

W

M

(6.17)

Din tabelul 6.1 se poate observa că, pentru valori mari ale raportului h / b, valoarea

coeficienţilor k şi k1 tinde către 1 / 3. În felul acesta, relaţiile (6.17) devin:

.3

;3

3

2max

bhG

M

bh

M

t

t

(6.18)

Relaţiile (6.18) se pot folosi cu succes pentru cazul torsiunii unor bare cu secţiuni

transversale de tipul celor arătate în figura 6.22.

Fig. 6.22

- 117 -

Modul de distribuţie al tensiunilor tangenţiale pe secţiunea necirculară a unei bare

solicitate la torsiune poate fi vizualizat utilizând analogia cu membrană. O membrană uniform

elastică ataşată unui cadru fix (al cărui contur coincide cu cel al secţiunii barei supusă

torsiunii) şi supusă acţiunii unei presiuni uniforme de o parte a ei (fig. 6.23) reprezintă

elementul ce realizează această analogie. Funcţia ce descrie modul de deformaţie a membranei

este de fapt soluţia ecuaţiei cu derivate parţiale care modelează distribuţia tensiunilor

tangenţiale pe secţiunea studiată.

Fig. 6.23

În figura 6.23 s-a reprezentat cazul unei secţiuni dreptunghiulare a unei bare supuse la

torsiune de momentul Mt. Unui punct Q al acestei secţiuni îi corespunde un punct Q’ pe

membrană. Tensiunea tangenţială în punctul Q, τ, va avea aceeaşi direcţie cu tangenta

orizontală dusă în punctul Q’ la membrana deformată, iar mărimea tensiunii tangenţiale în Q

va fi proporţională cu panta maximă a tangentei în Q’. Mai mult decât atât, momentul de

torsiune aplicat, Mt, va fi proporţional cu volumul delimitat de planul şi suprafaţa deformată a

membranei. Pentru cazul de faţă se verifică faptul că panta cea mai abruptă a suprafeţei

membranei deformate apare în punctul N’ (analog lui N - situat la mijlocul laturii mari a

dreptunghiului).

U6.5. Torsiunea barelor tubulare cu pereţi subţiri

Determinarea tensiunilor în bare cu secţiuni necirculare supuse la torsiune, necesită în

general metode matematice destul de sofisticate. În cazul barelor tubulare cu pereţi subţiri

însă, se pot obţine rezultate cu o aproximaţie destul de bună utilizând o metodologie de calcul

suficient de simplă.

Se consideră cazul unei bare tubulare cu perete subţire solicitată la torsiune (fig. 6.24).

Fig. 6.24

Se presupune că grosimea t a peretelui variază de-a lungul conturului secţiunii

transversale, dar rămâne constantă după direcţia x şi are mărimea neglijabilă în raport cu

dimensiunile barei tubulare. Se izolează din bara tubulară un element delimitat de două plane

perpendiculare pe axa barei x situate la distanţa dx unul faţă de celălalt şi de alte două plane

perpendiculare pe suprafaţa exterioară a barei tubulare (fig. 6.25).

- 118 -

Fig. 6.25

Sub acţiunea momentului de torsiune în secţiunea transversală apar tensiuni tangenţiale

paralele cu tangentele la linia mediană. Deoarece grosimea peretelui este mică se poate

considera că tensiunile tangenţiale sunt repartizate uniform pe grosimea peretelui.

Scriind echilibrul forţelor ce acţionează după direcţia x se obţine:

.

ttt

dxtdxt

BBAA

BBAA

(6.19)

Produsul τ × t poartă numele de fluxul tensiunilor tangenţiale. Din relaţia (6.19) rezultă

că acest flux este constant (punctele A şi B au fost alese la întâmplare).

Se poate face o analogie între distribuţia tensiunilor tangenţiale într-o secţiune

transversală a barei tubulare cu perete subţire supusă la torsiune şi distribuţia vitezelor unui

curent de apă ce curge printr-un canal închis de adâncime egală cu unitatea şi lăţime variabilă.

Şi în acest caz produsul dintre viteza v a lichidului într-o anumită zonă şi lăţimea canalului în

zona respectivă t este constant (v•t = constant).

Pentru a determina relaţia dintre tensiunea tangenţială t într-un anumit punct al secţiunii

transversale şi momentul de torsiune aplicat barei, se consideră un element de lungime ds al

secţiunii transversale (fig. 6.26). Aria acestui element este dA = t •ds iar forţa elementară

corespunzătoare elementului este dP.

Fig. 6.26

.dstdstdAA

dP ( 6.20)

Momentul acestei forţe faţă de un punct arbitrar O din interiorul barei este:

.dsrtrdPdMO

Notând aria triunghiului OO1O2 cu dΩ, se poate observa că r • ds = 2 dΩ, rezultând că:

.2 dtdMO

(6.21)

Deci:

.2

2

;222

t

MdecisitM

tdtdtdMM

t

t

ot

(6.22)

În formula (6.22) - prima relaţie a lui Bredt - Ω reprezintă aria suprafeţei delimitate de

curba medie a secţiunii transversale a barei (fig. 6.27).

Expresia unghiului de torsiune specific, θ, poate fi dedusă aplicând legea conservării

- 119 -

energiei respectiv lucrul mecanic exterior produs prin acţiunea momentului de torsiune M t este

egal cu energia de deformaţie elastică acumulată de bară.

Aplicând acest principiu unui element de bară obţinut prin secţionare cu două plane

perpendiculare pe axa barei şi situate la distanţa dx, (fig. 6.27), rezultă:

.22

1 2

V

tdV

GdM

(6.23)

Fig. 6.27

unde dφ este unghiul de torsiune al elementului de lungime dx; τ2 / 2G - energia specifică de

deformaţie elastică, iar dV - volumul elementului considerat.

În conformitate cu cele prezentate anterior, se poate scrie:

.44

,2

1

2

122

2

t

ttt

V

tIG

M

t

dsG

M

t

ds

G

M

dx

ddsdxt

GdM

(6.24)

Relaţia (6.24) reprezintă formula a doua a lui Bredt. S-a ajuns astfel la aceiaşi formă a

expresiei unghiului specific de torsiune, adică:

.,4

,max

2

t

t

t

t

t

W

M

t

dsI

IG

M

unde momentul de inerţie convenţional la torsiune are expresia: ,4 2

t

dsI

t

Integrala pe contur se referă la toată lungimea s a liniei medii.

Rezultatele obţinute se pot extinde la cazul unei secţiuni complexe având mai multe

contururi închise (de exemplu batiuri de maşini).

U6.6. Generalizarea relaţiilor de calcul

În concluzie, tensiunea tangenţială maximă şi unghiul specific de torsiune în cazul

barelor de secţiune oarecare acţionate de un moment de torsiune M t, au expresiile generale:

.max

t

t

t

t

IG

M

W

M (6.25)

Valorile modulului de rezistenţă convenţional la torsiune, Wt, şi ale momentului de

inerţie convenţional It, sunt prezentate în manualele inginereşti pentru secţiunile mai des

întâlnite în activitatea practică.

Pentru cazul secţiunii circulare sau inelare:

Wt devine Wp ; It devine Ip.

Secţiunea transversală are o formă raţională, economică la torsiune dacă ea prezintă Wt

cât mai mare la un consum de material cât mai mic. Astfel, pentru o secţiune circulară

- 120 -

, iar pentru o secţiune inelară cu acelaşi diametru exterior şi grosimea peretelui t =

d/6,

. Din acest punct de vedere sunt raţionale barele tubulare,

soluţia ideală reprezentând-o bara de secţiune inelară cu perete subţire, căci pentru aceasta

materialul barei se află dispus în locul unde se dezvoltă tensiunile cele mai mari la solicitarea

de torsiune.

Aplicaţia 6.1 Se consideră o bară de secţiune inelară (fig. 6.28,a) cu diametrul mediu D

şi grosimea peretelui t. Se cere să se arate de câte ori scade rezistenţa şi rigiditatea barei la

torsiune prin tăierea ei de-a lungul unei generatoare în cazul când D = 6t. (fig. 6.28,b).

Fig. 6.28

În cazul secţiunii inelare: .2

2

4

2

2tDtD

ttW

În cazul secţiunii cu tăietură: .3

22

3

1 tDtstW

Deci 92

3

2

1 t

D

W

WK

t

t

deci rezistenţa barei scade de 9 ori.

.274

3,

33,

4

442

2

1

33

2

222

1

t

D

I

IK

tDtsI

tD

D

t

t

dsI

t

t

tt

Deci bara se deformează de 27 ori mai uşor la torsiune în cazul prezentat în figura 6.28,b

Observaţie: Profilele cu contur închis prezintă rigiditate mare la torsiune comparativ cu

cele cu contur deschis. În tehnică uneori este avantajos de a avea rigiditate mare (cazul

batiurilor de maşini-unelte, care se confecţionează din contururi închise) iar alteori rigiditate

mică (cazul ramelor de şasiuri auto, acestea confecţionându-se din contururi deschise).

Aplicaţia 6.2 Să se calculeze unghiul de torsiune al secţiunii (1) faţă de încastrare,

pentru bara din figura 6.29.

Fig. 6.29

,43322141

;;;

3

3

2

21

l

0

321

43

l

0

21

32

l

0

1

21

dxIG

MMMdx

IG

MMdx

IG

M

PPP

;

lll

321

332122111

41

PPPIG

MMM

IG

MM

IG

M

de unde

- 121 -

:32

;32

44

231

DII

dI

PPP

Aplicatia 6.3. Porţiunea AB a barei din figura 6.30 este confecţionată din oţel cu τat=90

MPa, iar porţiunea BC este din aluminiu cu τat=60 MPa. Cunoscând că diametrul barei pe

porţiunea BC este dB-C=50 mm şi neglijând efectul de concentrare a tensiunii:

a) să se determine valoarea maximă a momentului de torsiune M0 ce poate fi aplicat în

punctul A în aşa fel încât valoarea tensiunii tangenţiale maxime corespunzătoare porţiunii BC

să nu depăşească valoarea admisibilă;

b) să se calculeze diametrul necesar porţiunii AB (dA-B) pentru momentul M0 calculat

la punctul a).

Fig. 6.30

Rezolvare a) Condiţia necesară determinării momentului de torsiune capabil se scrie sub

forma:

.mmN6,147262116

5060

16

33

max

CB

aPaOa

P

td

WMW

MCBCBCBCB

CB

CB

Valoarea momentului de torsiune capabil este deci M0 = 1,4726 kNm.

b) Pentru valoarea lui M0 calculată, diametrul porţiunii AB se determină din condiţia:

;16

16

33max BA

BA

BA

BA a

BA

O

BA

O

P

t

d

M

d

M

W

M

Rezultă: .mm67,4390

104726,116163

3

3

BA

O

BA

Md

Se adoptă diametrul arborelui dA-B= 44 mm.

Competente


problematica determinarii si calcularii diverselor structuri cu diferite forme de sectiuni supuse

solicitarii de torsiune.


rezolve tipurile de probleme specifice solicitarii de torsiune;

proiecteze structuri de diferite forme care pot pre lua solicitarile de torsiune.


- 122 -


U6.7.1 Cum se calculeaza momentul de torsiune M t ce poate fi transmis la o putere

(P) data si un numar de rotatii pe minut(n) cunoscut?

U6.7.2 Enuntati ipotezele ce stau la baza demonstratiei relatiei tensiunii tangentiale

la torsiunea barelor de sectiune circulara.

U6.7.3 In ce puncte ale unei bare de se ctiune circulara solicitata la torsiune se

se dezvolta cele mai mari tensiuni? Care este legea de distributie a

tensiunilor tangentiale la torsiunea barelor de sectiune circulara?

U6.7.4 Cum se explica faptul ca sectiunea inelara este mai economica la solicitarea

de torsiune?

U6.7.5 Ce particularitati prezinta barele de sectiune oarecare solicitate la torsiune?

U6.7.6 Care sunt expres iile tensiunilor tangentiale maxime pentru barele de sectiune

dreptunghiulara solicitate la torsiune?

U6.7.7 Trasati diagramele tensiunilor tangentiale pentru o bara de sectiune

dreptunghiulara.

U6.7.8 Care sunt criteriile de calcul la torsiune pentru o bara de sectiune oarecare?


Rezolvati exemple numerice de bare solicitate la torsiune, bare ce au diverse

forme de sectiuni.

Bibliografie










elasticităţii, vol. 2, 1995, Ed. “Macarie”, Târgovişte

- 123 -

Modulul 7. Tensiuni in grinzi drepte solicitate la incovoiere

Cuprins

U7.1 Definitii. Ipoteze........................................................... ............................... ...123

U7.2 Tensiuni la incovoierea plana pura a barelor drepte......................... ............ ..124

U7.3 Incovoierea grinzilor neomogene alcatuite din materiale diferite..................128

U7.4 Concentratori de tensiune....................... ............................. ...........................130

U7.5 Forme rationale de sectiuni pentru incovoiere.................... ........... ................131

U7.6 Incovoierea oblica........................................................ ...................................131

U7.7 Incovoierea stramba............................................................. ...........................134

U7.8 Expresia generala a tensiunii de incovoiere pura................. ........................... 135

U7.9 Incovoierea simpla plana..................................................... ....................... ...136

U7.10 Starea de tensiune a grinzilor drepte solicitate la incovoiere simpla............ .140

U7.11 Lunecarea longitudinala............... .................................... ...............................142

U7.12 Grinzi de egala rezistenta la incovoiere........................... ................................143

U7.13 Test de evaluare a cunostintelor...................................... ................................149

U7.1 Definitii. Ipoteze

O grindă dreaptă este solicitată la încovoiere dacă în secţiunile ei transversale se

dezvoltă momente încovoietoare Mi (suportul forţelor trece prin centrul de greutate pentru a

nu apărea solicitarea de torsiune). În funcţie de poziţia în spaţiu a forţelor încovoierea poate fi:

încovoiere plană, cazul în care toate sarcinile se află într-un plan

longitudinal care conţine una dintre axele principale centrale de inerţie ale

secţiunii transversale.

încovoiere oblică, dacă toate sarcinile se află într-un plan longitudinal care

însă nu conţine niciuna dintre axele principale centrale de inerţie.

încovoiere strîmbă, când suportul fiecărei forţe în parte trece prin centrul de

greutate al secţiunii dar forţele sunt situate în plane diferite.

În dependenţă de natura tensiunilor din secţiune solicitarea de încovoiere poate fi:

încovoiere pură, când în secţiunea transversală acţionează numai Mi,

momente încovoietoare ce produc tensiunile σ (fig. 7.1,a).

încovoiere simplă, când în secţiunea transversală acţionează simultan atât

momentele încovoietoare Mi cât şi forţele tăietoare T apărând atât tensiuni

σ cât şi τ (fig. 7.1,b).

Fig. 7.1

- 124 -

U7.2. Tensiuni la încovoierea plană pură a barelor drepte

Se consideră grinda dreaptă de secţiune constantă supusă la încovoiere pură (fig. 7.2).

Sub acţiunea momentului încovoietor în fiecare secţiune se dezvoltă tensiunile normale σ

variabile. Pentru determinarea acestora se fac următoarele ipoteze:

grinda este confecţionată dintr-un material omogen şi izotrop cu

caracteristică liniar-elastică deci admite legea lui Hooke;

secţiunea barei este constantă în lungul axei;

este valabilă ipoteza lui Bernoulli respectiv secţiunile plane şI normale pe

axa longitudinală a grinzii rămîn plane şi normale şi după deformaţie (fig.

7.5).

Sub acţiunea încărcării grinda se deformează, ca urmare curba AB conţinută în planul de

simetrie al grinzii va fi de curbură constantă. Prin deformabilitate linia AB iniţial dreaptă se

transformă într-un arc de cerc cu centrul în C (fig. 7.3). Acelaşi lucru este valabil şi pentru

A’B’ situată în partea de jos a grinzii. De remarcat este faptul că în urma încovoierii fibra AB

se scurtează pe când A’B’ se lungeşte.

Dacă se secţionează bara AB cu un plan perpendicular pe axa acesteia condiţia de echilibru a

unei porţiuni din bară este ca pe suprafaţa secţiunii să se dezvolte forţe interioare care să

echilibreze momentul încovoietor Mi. Datorită alungirii zonei

Fig. 7.2 Fig.7.3

inferioare pe aceasta ele vor fi de tracţiune iar pe zona superioară de compresiune (fig. 7.4).

Fig. 7.4

Se presupune că pe grindă este trasată o reţea de linii paralele cu cele trei axe de

coordonate, reţea ce va da naştere la mici elemente cubice ale căror feţe sunt paralele cu cele

trei plane de coordonate. Valabilitatea ipotezei lui Bernoulli conduce în urma solicitării de

încovoiere pură la starea deformată reprezentată în figura 7.5.

Fig. 7.5

Se observă că liniile reţelei rămân perpendiculare şi după deformare şi deci deformaţiile

unghiulare: .00 yzxzyzxz

Neexistând o anume interacţie între elementele unei

anumite secţiuni transversale, se poate afirma şi că σy = σz = τyz = 0, pe întreaga grindă.

Acest lucru s-a verificat atât experimental cât şi teoretic - prin teoria elasticităţii aplicată

barelor zvelte cu deformaţii mici.

Deci singura ten-siune ce acţionează asu-pra unui element cubic din figura 7.5 este

- 125 -

componenta normală σx. Deci în orice punct al grinzii solicitată la încovoiere pură va exista

doar o stare de tensiune uniaxială. Tot din analiza reţelei deformate din figura 7.5 se observă

că fibrele din partea superioară a grinzii se scurtează pe cănd cele din partea inferioară se

lungesc. Va exista deci şi o suprafaţă paralelă cu faţa superioară şi cea inferioară a grinzii -

numită suprafaţă neutră - în care deformaţiile după direcţia x sunt nule. Suprafaţa neutră

intersectează planul de simetrie după arcul de cerc DE (fig. 7.6).

Fig. 7.6

Se notează cu ρ raza arcului de cerc DE şi cu θ unghiul la centru corespunzător acestui

arc: L = ρ•θ, unde L este lungimea iniţială a grinzii.

Lungimea arcului JK situat la distanţa y de arcul DE va fi: L' = (ρ y)θ

Deformaţia specifică longitudinală a fibrei JK se va putea deci scrie sub forma:

;)(

yyy

L

JKDx

(7.1)

Din relaţia (7.1) se poate observa că valoarea absolută maximă a deformaţiei este:

.max

max

y

(7.2)

Se pot deci calcula deformaţiile specifice longitudinale la nivel de punct dacă se cunoaşte

distanţa de la acel punct la axa neutră. Apare deci necesară poziţionarea suprafeţei neutre. În

acest scop se utilizează legea lui Hooke şi relaţiile de echivalenţă dintre eforturi şi tensiuni.

Pentru un material omogen cu modulul de elasticitate longitudinal E se poate scrie:

;max

max

y

iary

EExx

(7.3)

unde prin σmaxam notat valoarea maximă absolută a tensiunii. Rezultă deci că tensiunea

normală variază liniar cu distanţa faţă de suprafaţa neutră (fig. 7.7).

Necunoscând nici poziţia suprafeţei neutre şi nici valoarea maximă a tensiunii normale

σmax, se va ataşa unei secţiuni curente a grinzii (fig. 7.7,a) un sistem de axe de coordonate

Oxyz la care axa Oz să fie conţinută în planul neutru. Cum în această secţiune singurul efort

prezent este momentul încovoietor M, relaţiile de echivalenţă între eforturi şi tensiuni se pot

scrie sub forma:

;00 dAydANx

(7.4)

.0 zA

SdAy (7.5)

Din relaţia (7.4) rezultă deci că momentul static al secţiunii transversale faţă de axa Oz este

nul. Ca urmare, axa Oz este axă centrală.

;00;0 AAxty

dAyzdAzM (7.6)

sistemul de axe zOy este un sistem central principal (lucru echivalent de fapt dacă axa Oy este

şi axă de simetrie).

- 126 -

;02 AAxiz

dAyE

dAyMM

(7.7)

Rezultă ;max

yI

M

z

iz

x (7.8)

Adică ). (. NavierluirelatiayI

M

z

iz

x (7.9)

Fig. 7.7

Semnificaţia relaţiei (7.9) este aceea că tensiunea normală variază liniar pe secţiunea

transversală a grinzii, valoarea maximă fiind în punctele cele mai depărtate de axa Oz (adică

pentru valoarea maximă a lui y).

Raportul max

y

Iz se notează cu Wz şi se numeşte modulul de rezistenţă axial faţă de axa Oz. Cu

această notaţie, relaţia (7.8) se poate scrie sub forma: ,max

z

iz

W

M (7.10)

unde cu Miz s-a notat momentul încovoietor după axa z (în cazul acesta).

Cu relaţia (7.10), condiţia de rezistenţă devine: ,max aî

z

iz

W

M (7.11)

unde σaî

reprezintă rezistenţa admisibilă la încovoiere pentru materialul grinzii.

Formula lui Navier se poate utiliza în rezolvarea a trei cate gorii de probleme:

a) Probleme de verificare: se cunoaşte valoarea momentului încovoietor pe grindă

Miz, modulul de rezistenţă axial Wz, valoarea tensiunii admisibilă la încovoiere pentru

materialul grinzii şi se verifică dacă este sau nu satisfăcută condi ţia: ,max aî

z

iz

W

M

b) Determinarea momentului capabil pe care îl poate suporta grinda: se cunoaşte

modulul de rezistenţă axial - Wz, valoarea admisibilă a tensiunii de încovoiere, şi se

calculează valoarea momentului de încovoiere capabil cu relaţia: .aizcapi

WM

c) Probleme de dimensionare: se cunosc Miz şi se determină valoarea necesară a

modulului de rezistenţă axial care să conducă la satisfacerea condiţiei de rezistenţă

;ai

iz

necz

MW

Modulul de rezistenţă axial faţă de axa Oz, Wz, definit cu relaţia: ;max

y

IW z

z

este dependent de mărimea dar şi de forma secţiunii transversale.

1. Pentru secţiune dreptunghiulară (fig. 7.8): punctele cele mai îndepărtate de axa Oz

se găsesc pe laturile AB şi DC. Ca urmare:

.6

2

12;6

2

122

3

max

2

3

max

bh

b

bh

z

IW

hb

h

hb

y

IW

y

y

z

z

2. Pentru secţiune circulară (fig. 7.9):

- 127 -

În acest caz .32

2

643

4

max

d

d

d

y

IW z

z

Fig. 7.8 Fig. 7.9

3. Pentru secţiunea inelară (fig. 7.10):

.132

1

2

64434

4

max

D

dD

D

d

d

D

y

IW z

z

Fig. 7.10

OBSERVAŢIE: modulul de rezistenţă în cazul secţiunilor compuse nu se poate calcula

prin însumarea modulelor de rezistenţă ale suprafeţelor simple componente.

În urma solicitării de încovoiere pură o secţiune transversală rămâne plană însă se

deformează în planul ei. Astfel de deformaţii trebuie să existe dacă se ţine seama că un anumit

element al grinzii se găseşte într-o stare uniaxială de tensiune (σx = 0,σy = σz = 0), deci că au

loc deformaţii ale acestuia atât după direcţia y cât şi după direcţia z:

xz

xy

(7.12)

unde ν este coeficientul lui Poisson.

Cu relaţia (7.1), relaţia (7.12) devine:

.

;

y

y

z

y

(7.13)

Relaţiile (7.12) şi (7.13) demonstrează că elementele de volum situate deasupra

suprafeţei neutre (y < 0) îşi măresc dimensiunile după direcţiile y şi z iar cele situate sub

nivelul suprafeţei neutre (y > 0) işi micşorează aceste dimensiuni. Liniile iniţial drepte (înainte

de încovoiere) se transformă în arce de cerc (fig. 7.11).

Comparând relaţiile (7.13) cu relaţia (7.1) se poate concluziona că axa neutră a secţiunii

transversale se transformă într-un arc de cerc cu raza:

.'

(7.14)

Dacă momentul încovoietor M>0 atunci centrul de curbură C’ al axei neutre se va găsi

sub nivelul suprafeţei neutre (fig. 7.11).

- 128 -

Fig. 7.11

U7.3. Încovoierea grinzilor neomogene alcătuite din materiale diferite

Grinzile studiate anterior au fost alcătuite dintr-un material omogen având o anumită

valoare a modulului de elasticitate longitudinal E. Dacă însă grinda supusă încovoierii pure

este alcătuită din două sau mai multe materiale cu diferite valori ale modulelor de elasticitate

longitudinale atunci expresia tensiunilor normale σ prezintă unele particularităţi. Considerănd

spre exemplu o grindă formată din două materiale diferite, solidarizate (fig. 7. 12),

Fig. 7.12

aceasta se va deforma similar grinzii de secţiune omogenă supusă la încovoiere pură,

grindă studiată la paragraful anterior. Acest lucru se explică prin faptul că, grinda neomogenă

este tot de secţiune constantă în lungul ei. Ca urmare, deformaţiile specifice longitudinale x

vor avea o variaţie liniară funcţie de distanţa y faţă de axa neutră (fig. 7.13,a şi 7.13,b):

Fig. 7.13

.

y

x (7.15)

Este de presupus însă că axa neutră nu va mai trece prin centrul de greutate al secţiunii

neomogene şi deci va trebui în primul rând să se determine poziţia acestei axe. Cum modulele

de elasticitate longitudinale E1 şi E2 sunt diferite, expresiile tensiunilor normale în cele două

materiale vor fi:

.

;

222

111

yEE

yEE

x

x

(7.16)

Variaţia tensiunilor σ1 şi σ2 este reprezentată în figura 7.13, c.

- 129 -

Forţa elementară ce va acţiona asupra unui element de suprafaţă dA a materialului (1) va

fi: dAy

EdAdF

111

(7.17)

şi analog .222

dAy

EdAdF

(7.18)

Făcând notaţia ,1

2 nE

E se poate scrie: .1

12dAn

yEdA

yEndF

(7.19)

Comparând ecuaţiile (7.17) şi (7.19) se observă că forţa dF2 se exercită pe o suprafaţă de

arie n dA din primul material. Cu alte cuvinte, comportamentul grinzii neomogene este acelaşi

cu al unei grinzi omogene (realizată de exemplu din materialul (1) ) cu condiţia că lăţimea

elementului (2) să fie multiplicată cu factorul n. De notat că lărgirea sau îngustarea secţiunii

corespunzătoare materialului (2) (n > 1 sau n < 1) trebuie făcută doar după o direcţie paralelă

cu axa neutră (coordonatele y ale punctelor secţiunii trebuie să rămână neschimbate). În

figura 7.14 s-a reprezentat grafic modul în care se poate realiza echivalenţa descrisă mai sus.

Fig. 7.14

Se obţine în felul acesta o grindă de secţiune omogenă confecţionată dintr-un material ce are

modulul de elasticitate longitudinal E1. Ca urmare, cele discutate în paragraful anterior

referitor la încovoierea pură a grinzilor din material omogen, vor fi valabile şi pentru grinda

obţinută prin transformarea de mai sus. Axa neutră va trece deci prin centrul de greutate al

secţiunii obţinute (fig. 7.14) iar tensiunile normale vor fi date de relaţia:

,yI

M

z

iz

x (7.20)

Deformaţiile unei grinzi cu secţi-une neomogenă supusă la încovoiere pură se pot

calcula utilizând aceleaşi principii de transformare a secţiunii.

Distribuţia tensiunilor σ pe secţiunea transformată este reprezentată în figura 7.15.

Fig. 7.15

Secţiunea neomogenă se poate transforma într-o secţiune omogenă cu aceeaşi valoare a

modului de elasticitate longitudinal în orice punct al ei (Et), grinda omogenă transformată

deformându-se în acelaşi fel ca şi cea iniţială neomogenă. Ca urmare se poate scrie curbura

unei grinzi compozite (alcătuită din mai multe materiale diferite) în cazul încovoierii pure cu

relaţia:

.1

z

iz

IE

M

(7.21)

unde Iz este momentul de inerţie al secţiunii transversale calculat faţă de axa neutră, axă care

trece prin centrul de greutate al secţiunii transformate.

- 130 -

U7.4. Concentratori de tensiune

Relaţia tensiunilor normale dedusă pentru încovoierea pură:

,yI

M

z

iz

x (7.22)

este valabilă doar în cadrul ipotezelor descrise la începutul capitolului. În plus, momentele de

încovoiere de la capetele grinzii trebuiesc aplicate prin intermediul unor plăci după modelul

din figura 7.16. Pentru alte situaţii de aplicare a încărcării vor apare anumite efecte de

concentrare a tensiunilor în punctele în care acţionează forţele exterioare, relaţia (7.22)

pierzându-şi valabilitatea. Modul de aplicare a momentelor de încovoiere M la capetele grinzii

(prin intermediul plăcilor A şi B) pentru ca relaţia (7.22) să-şi menţină valabilitatea este arătat

in figura 7.16 unde în cazul a) se prezintă grinda înainte de deformaţie iar în cazul b) se

prezintă grinda deformată.

Pentru alte tipuri de aplicare a sarcinilor exterioare dar în zone suficient depărtate de

locul de acţiune al acestora, relaţia (7.22) se poate însă utiliza (principiul lui Saint-Venant).

Fig. 7.16

Acelaşi efect de concentrare a tensiunilor apare şi în cazul variaţiilor bruşte de secţiune.

La acest nivel, tensiunea maximă se calculează prin înmulţirea membrului drept al relaţiei

(7.22) printr-un coeficient numit factor de concentrare al tensiunilor:

,maxmax

z

iz

k

z

iz

kW

My

I

M (7.23)

unde Wz se referă la secţiunea periculoasă a grinzii.

Valoarea factorului depinde de parametrii geometrici ce definesc trecerea de la o

secţiune la alta. În figurile 7.17 şi 7.18 s-au reprezentat două tipuri de grinzi cu variaţie de

secţiune, grinzi supuse la încovoiere pură, şi modul în care factorul depinde de parametrii

geometrici de trecere de la o secţiune la altă secţiune.

Alte tipuri de concentratori frecvent întâlniţi în practică sunt cele prezentate în figurile

7.19 şi 7.20.

Prezenţa efectului de concentrare a tensiunilor în punctele de aplicaţie ale sarcinilor

exterioare sau la nivelul variaţiilor de secţiune poate fi uşor pus în evidenţă prin metode

experimentale (fotoelasticitatea, tehnica Moire etc.).

Din analiza reprezentărilor grafice din figurile 7.17, 7.18, 7.19 şi 7.20 se poate

concluziona că valoarea factorului de concentrare a tensiunilor este cu atât mai mică cu cât

raza r de trecere de la o secţiune la alta este mai mare. De aici se poate desprinde importanţa

utilizării în practică a unor raze de racordare de valori mari, evitând în felul acesta o creştere

peste nivelurile periculoase a tensiunilor prin efectul menţionat mai sus.

Fig.7.17

- 131 -

Fig. 7.18 Fig. 7.19 Fig. 7.20

U7.5 Forme raţionale de secţiune pentru încovoiere

Din relaţiile de calcul la încovoiere se desprinde concluzia că o grindă rezistă cu atât mai

bine cu cât modulul de rezistenţă axial Wz are o valoare mai mare. Dar Wz depinde nu numai

de mărimea ci şi de forma secţiunii transversale a grinzii (tabelul 7.1).

Din acest punct de vedere utilizarea profilelor laminate U şi I în construcţiile metalice

este mai avantajoasă decât utilizarea grinzilor cu secţiunea circulară sau cea dreptunghiulară.

Observaţie: Profilele trebuie să fie astfel aşezate încăt axa Oy să coincidă cu planul

forţelor, faţă de alte direcţii decât Oz modulul de rezistenţă prezentând valori foarte mici.

În cazul solicitării de încovoiere a grinzilor tensiunile prezintă valori mari pe fibrele extreme

profilele fiind acelea la care materialul se află dispus acolo unde tensiunile sunt mai mari.

Dacă direcţia de încovoiere este variabilă, la piesele aflate în mişcare (de exemplu pentru

arbori) secţiunea avantajoasă devine secţiunea circulară deoarece aceasta prezintă aceeaşi

valoare a modulului de rezistenţă după toate direcţiile. Raţională pentru piesele aflate în

mişcare prin prisma raportului Wz/A este şI secţiunea inelară, secţiune la care materialul se

află dispus pe fibrele extreme.

Dacă materialul rezistă la fel de bine la tracţiune şi la compresiune (exemplu cazul

oţelului) axa neutră este indicat să fie axă de simetrie. Pentru materialele care rezistă bine la

compresiune şi mai puţin la întindere (cazul fontei, betonului, sticlei) se recomandă secţiunile

care nu prezintă simetrie faţă de axa neutră. Pentru cazul prezentat în figura 7.21 trebuie

determinate tensiunile maxime s1, respectiv minime s2, unde:

; ;2211

yI

My

I

M

z

iz

z

iz

Pentru ca secţiunea să fie optimă este deci necesar ca raportul distanţelor y1/y2 să fie

egal cu raportul tensiunilor admisibile prezentate de materialul respectiv.

.1

2

ac

at

y

y

(7.24)

Tabelul 7.1

Fig. 7.21

U7.6. Încovoierea oblică

Studiul încovoierii realizat în paragrafele anterioare s-a concentrat asupra grinzilor ce

prezentau cel puţin un plan de simetrie şi care erau supuse acţiunii unor momente conţinute în

acest plan (fig.7.22,a şi b).

- 132 -

Fig. 7.22

Se consideră în continuare cazul în care momentele încovoietoare nu acţionează într-un

plan de simetrie al grinzii, fie pentru că ele sunt altfel orientate faţă de un astfel de plan (fig.

7.23 a, b) fie pentru că un astfel de plan nu există (fig. 7.23, c).

Încovoierea de acest tip (fig. 7.23) poartă numele de încovoiere oblică. În acest caz

relaţia lui Navier nu poate fi aplicată pentru calculul tensiunilor în mod direct faţă de

momentul încovoietor, acesta nefiind orientat în lungul unei direcţii principale de inerţie.

Fig. 7.23

Pentru astfel de situaţii încovoierea grinzii nu va mai avea loc în planul în care

acţionează momentele încovoietoare şi deci axa neutră a secţiunii nu va mai coincide cu axa

după care este orientat vectorul moment încovoietor. În acest caz trebuie determinate

condiţiile în care axa neutră a unei secţiuni transversale de formă arbitrară va coincide cu axa

după care este orientat vectorul moment încovoietor (fig. 7.24).

Fig. 7.24

Scriind relaţiile de echivalenţă dintre eforturi şi tensiuni se obţin:

; ;0 ;0iz

A

x

A

x

A

xMydAzdAdA (7. 25)

Presupunând că tensiunile rămân în limitele de proporţionalitate ale materialului se poate

substitui C

ymx

(vezi încovoierea pură plană) în a II-a relaţie obţinând:

;0= 0zy

AA

xIdAyzdAz (7.26)

Ca urmare axele z şi y vor fi axe principale de inerţie. Cu alte cuvinte se poate

concluziona că vectorul moment încovoietor va avea aceeaşi orientare cu axa neutră dacă şi

numai dacă vectorul moment acţionează de-a lungul unei axe principale de inerţie. Dacă

această ultimă condiţie este îndeplinită (fig. 7.25) ecuaţiile deduse în paragrafele anterioare

pentru cazul grinzilor cu un plan de simetrie rămân valabile.

- 133 -

Fig.7.25

Aplicând principiul suprapunerii de efecte se poate determina expresia tensiunilor pentru

cel mai general caz de încovoiere oblică. Pentru aceasta se consideră o grindă cu un plan de

simetrie vertical, grinda aflată sub acţiunea a două momente Mi situate într-un plan ce

formează unghiul θ cu planul vertical (fig. 7.26).

Fig. 7.26

Vectorul moment încovoietor Mi (fig. 7.27) va face acelaşi unghi q cu axa z şi se poate

descompune în două componente Miz şi Miy după cele două axe de coordonate:

.sin

;cos

MM

MM

y

z (7.27)

Fig. 7.27

Cum axele z şi y sunt axe principale de inerţie, tensiunea normală σx într-un punct

oarecare de coordonate (z,y) al secţiunii se poate calcula cu relaţia (7.2) prin însumarea

efectelor lui My şi Mz la nivelul punctului considerat (fig. 7.28 a şi b) . Va rezulta că:

.zI

My

I

M

y

iy

z

iz

x (7.28)

Conform relaţiei (7.28), aplicând principiul suprapunerii efectelor, tensiunile σ produse

de Miz respectiv σ‘ produse de Miy pot fi calculate separat, conform relaţiei lui Navier,

obţinând în final tensiunea normală σ =σ‘ +σ‘’ produsă de momentul încovoietor Mi. Semnul

acestor tensiuni depinde de cadranul în care se află punctul în care se calculează tensiunile.

Astfel, dacă momentul încovoietor este pozitiv, fibrele de jos ale grinzii sunt întinse.

Componenta Miz a momentului încovoietor produce tensiuni normale pozitive în cadranele de

jos iar componenta Miy produce tensiuni negative în cadranele din stânga, stabilite cu relaţia:

.y

iy

z

iz

xW

M

W

M (7.29)

De notat că expresiile (7.28) şi (7.29) se pot utiliza şi pentru secţiuni ce nu prezintă plan

de simetrie. (în figura 7.29 sistemul zGy este sistem central principal).

- 134 -

Pe de altă parte trebuie reamintit faptul că relaţiile (7.28) şi (7.29) se pot utiliza numai în

cazul în care este valabil principiul suprapunerii de efecte. Dacă tensiunea într-un anumit

punct depăşeste limita de proporţionalitate sau dacă deformaţiile cauzate de unul dintre

momentele aplicate (Miz sau Miy) conduc la modificări ale distribuţiei tensiunilor cauzate de

acţiunea celuilalt moment atunci expresiile (7.28) şi (7.29) nu mai pot fi utilizate.

Egalând cu zero expresia tensiunii normale (7.28) se obţine locul geometric al punctelor

în care σx=0 adică ecuaţia axei neutre:

.0 0 zI

My

I

Mz

I

My

I

M

y

iy

z

iz

y

iy

z

iz

x (7.30)

Ţinând cont de (7.27) rezultă că:

.0sincos

ztgI

Iyz

I

My

I

M

y

z

y

i

z

i

º (7.31)

Ecuaţia astfel obţinută reprezintă o linie dreaptă de pantă tgI

Im

y

z . În felul acesta

Fig. 7.28 Fig. 7.29

unghiul θ pe care-l formează axa neutră cu axa z (fig. 7.30) este dat de relaţia:

. tgI

Itg

y

z (7.32)

Fig. 7.30

θ reprezintă unghiul format de vectorul Mi cu axa z. Cum Iz şi Iy sunt pozitive va rezulta că Φ

şi θ vor avea acelaşi semn. De notat că Φ > θ când Iz > Iy şi Φ < θ când Iz < Iy. În acest caz

tensiunile normale externe σmax, σmin se găsesc în punctele cele mai depărtate de axa neutră.

U7.7. Încovoierea strâmbă. Se consideră cazul, destul de frecvent în practică, în care asupra unei grinzi acţionează

momente încovoietoare necoplanare, fiind deci solicitată de forţe situate în plane diferite, deşi

suportul fiecărei forţe trece prin centrul de greutate al secţiunii transversale respective.(fig. 7.

31)

Fig. 7.31

- 135 -

În acest caz încovoierea poartă numele de încovoiere strâmbă.

În cazul încovoierii strâmbe calculul se face pe baza descompunerii forţelor aplicate în

componente situate în două plane perpendiculare care sunt de obicei cele două plane

principale centrale de inerţie zOx si yOx. Se pot determina apoi componentele Mix şi Miy ale

momentului încovoietor în secţiunea respectivă şi se aplică principiul însumării efectelor ca şi

în cazul încovoierii oblice. Astfel calculul se face similar cu cel de la încovoierea oblică

conform relaţiilor (7.28) şi (7.29).

În cazul grinzilor ale căror secţiuni au acelaşi moment de inerţie în toate direcţiile

centrale, respectiv Iz = Iy, (de exemplu secţiunea circulară), nu poate avea loc încovoierea

oblică, dar poate avea loc încovoierea strâmbă. Întrucât la acestea suportul momentului

încovoietor coincide cu axa neutră, calculul poate fi efectuat cu formula lui Navier, ca şi la

încovoierea simplă.

U7.8. Expresia generală a tensiunii de încovoiere pură.

Se consideră cazul unei bare drepte dintr-un material liniar - elastic cu secţiunea de

formă oarecare raportată la un sistem de referinţă rectangular central oarecare zGy (fig. 7.32).

Se admite că, în general, momentul încovoietor din secţiunea barei are o direcţie oarecare,

diferită de direcţiile principale centrale de inerţie ale secţiunii transversale. Acesta se poate

descompune în componente conform relaţiei (7.27).

Fig. 7.32

Datorită încovoierii, secţiunile barei se rotesc, dar rămân plane, pe baza ipotezei lui

Bernoulli, iar deformaţia specifică va fi deci o funcţie liniară în planul secţiunii:

ε = az + by + c. (7.33)

Fibrele îşi modifică lungimea datorită solicitării şi într-un punct al planului secţiunii

apare tensiunea:

σ =Eε = E(az + by + c). (7.34)

conform legii lui Hooke.

Între eforturile elementare de pe suprafaţa secţiunii şi momentul încovoietor aplicat se pot scrie relaţiile de

echivalenţă: .= ;-= ;0iziy

MdAyMdAzdA (7.35)

Cu expresia (7.34) din relaţiile (7.35) se obţine:

A A A

iz

A A A

iy

A A A

E

MdAycdAybdAzya

E

MdAzcdAzybdAza

dAcdAybdAza

.

;

;0

2

2 (7.36)

Întrucât originea sistemului de referinţă coincide cu centrul de greutate al secţiunii, momentele statice

A

dAy şi A

dAz sunt nule. Cu această observaţie, din rezolvarea sistemului (7.36), se obţine:

- 136 -

.0= ;)(

= ;)(

22c

IIIE

MIMIb

IIIE

MIMIa

zyyz

iyzyizy

zyyz

izzyiyz

(7.37)

Cu relaţia (7.37), din relaţia (7.34), rezultă expresia generală a tensiunii de încovoiere:

.)()(

2

zyyz

iyzyzizzyy

III

MIyIzMIzIy

(7.38)

Aceasta poate fi utilizată atât în cazul încovoierii pure plane, cât şi în cazul celei oblice

sau strâmbe. Pentru cazul încovoierii plane şi dacă, se obţine formula lui Navier:

U7.9. Încovoierea simplă plană.

Încovoierea simplă este acel tip de încovoiere la care, într-o secţiune oarecare a grinzii,

este prezent atât efortul moment încovoietor Mi cât şi forţa tăietoare T. Cel mai simplu

exemplu din această categorie este cel în care o grindă orizontală este încărcată cu sarcini

concentrate sau distribuite (fig. 7.33 a şi b).

Fig. 7.33

Fie o grindă încastrată la un capăt şi încărcată la celălalt capăt cu o for ţă concentrată P (fig.

7.34). Se consideră grinda confecţionată dintr-un material omogen şi izotrop care satisface

legea lui Hooke secţiunea

acesteia fiind constantă pe o distanţă dx. Grinda prezintă un plan de simetrie vertical iar forţa

P acţionează în acest plan. În secţiunea C, situată la distanţa x de capătul A al grinzii, vor fi

prezente atât efortul tăietor T=P, cât şi cel de încovoiere Mi = Px. Se spune că grinda AB este

solicitată la încovoiere simplă în orice secţiune a sa.

Fig. 7.34

Relaţiile de echivalenţă dintre eforturi şi tensiuni (fig. 7.35) se concretizează prin 6

ecuaţii de tipul:

Fig. 7.35

A

xzxy

A

xdAyzdA ;0)( ;0

A

x

A

xydAzTdA ;0 ;

A

ix

A

xzMdAydA ; ;0 (7.39)

Cea de-a doua ecuaţie dintre relaţiile (7.39) arată că în orice secţiune transversală a

grinzii considerate trebuie să existe tensiuni tangenţiale τxy orientate în sensul forţei tăietoare

T. Cea de-a treia ecuaţie din relaţiile (7.39) indică faptul că valoarea globală a tensiunilor

tangenţiale τxz dintr-o anumită secţiune transversală este nulă. Aceasta nu înseamnă însă că

- 137 -

valoarea lui τxz la nivelul oricărui element este nulă.

Fig. 7.36

Se consideră un element cubic infinit mic situat în planul de simetrie vertical al grinzii

(acolo unde τxz este nul) şi se examinează tensiunile ce apar pe feţele sale, (fig. 7.36). Din

legea dualităţii tensiunilor tangenţiale, apariţia tensiunilor τxy într-o secţiune transversală a

grinzii conduce la apariţia unor tensiuni tangenţiale şi într-un plan perpendicular, la fel

orientate faţă de muchia comună, (fig. 7.36). Ca urmare într-o grindă încărcată cu sarcini

transversale vor exista şi tensiuni tangenţiale orientate în lungul ei. Acest lucru poate fi

verificat prin experimentul din figura 7.37: mai multe grinzi suprapuse încastrate la un capăt

iar la celălalt capăt acţionate fie de o forţă concentrată P, (fig. 7.37,b), fie de un moment

încovoietor M, (fig. 7.37,c). Pentru cazul din figura 7.37,b, tensiunile ce se dezvoltă în lungul

grinzii neomogene conduc la lunecări reciproce ale elementelor. Acest fenomen nu se

întâmplă însă dacă solicitarea este de încovoiere pură, (fig. 7.37,c), caz în care grinzile se vor

deforma după arcuri concentrice, fără ca să apară lunecările prezente la figura 7.37,b.

Fig. 7.37

Fie o secţiune transversală simetrică a unei grinzi solicitate la încovoiere simplă, (fig.

7.38). La nivelul unui element de suprafaţă dA vor acţiona, pe lîngă tensiunea normală σx şi

tensiunile tangenţiale τxy şi τxz. Direcţia tensiunii tangenţiale rezultante nu se poate preciza

decât pentru puncte particulare din secţiune. Fie spre exemplu un punct A de pe conturul

secţiunii. Tensiunea tangenţială corespunzătoare τ, de direcţie necunoscută, se poate

descompune după două direcţii: una tangenţială la contur (τt) şi cealaltă normală pe aceasta

(τn). Conform legii dualităţii tensiunilor tangenţiale, prezenţa tensiunii τn va conduce la

apariţia tensiunii τ'n după o direcţie perpendiculară pe cea a lui τn şi care să acţioneze pe

suprafaţa exterioară a grinzii.

Fig. 7.38 Fig. 7.39

Cum suprafaţa exterioară a grinzii nu este încărcată rezultă că τ'n=0 şi deci τn=0. În felul

acesta putem concluziona că, în punctele de pe conturul secţiunii unei grinzi solicitate la

încovoiere simplă plană, tensiunile tangenţiale sunt orientate după tangenta la contur. De

- 138 -

remarcat că această condiţie este valabilă şi în cazul secţiunilor de formă arbitrară. Fie acum

secţiunea din figura 7.39 având ca axă de simetrie axa Oy. Aşa după cum s-a arătat mai sus,

tensiunea tangenţială în punctul m al secţiunii, punct situat la distanţa z de Oz, este orientată

după tangenta la secţiune, tangentă ce intersectează axa Oy în punctul B. Din motive de

simetrie şi tangenta la contur în punctul n (mn este paralelă cu Oz) va trece tot prin punctul B.

Se presupune ca o primă ipoteză faptul că suportul tensiunilor tangenţiale τ din orice punct al

dreptei mn trece prin B. Fie C un astfel de punct. τC se poate descompune în cele două

componente τxy şi τxz.

Cea de-a doua ipoteză admite că de-a lungul dreptei mn tensiunile tangenţiale τxy sunt

constante (această ipoteză nu conduce la o îndepărtare prea mare de realitatea fizică).

Tensiunile τxz pot fi exprimate funcţie de tensiunile τxy cu relaţia: τxz = τxytg α

În figura 7.39 s-a reprezentat atât distribuţia tensiunilor τxy cât şi cea a tensiunilor τxz în

punctele situate pe dreapta mn.

În scopul determinării expresiei lui τxy se consideră cazul unei grinzi încastrate la un

capăt şi solicitate la încovoiere simplă de forţa P (cazul considerat nu afectează generalitatea

problemei), (fig. 7.40).

Se detaşează tronsonul elementar obţinut prin secţionarea grinzii la distanţa x cu două

plane perpendiculare pe axa acesteia (planele 1; 2 din figura 7.41) şi printr-un alt plan

orizontal situat la distanţa y de axa Oz (planul din figura 7.40). Elementul a fost reprezentat

în figura 7.41.

Fig. 7.40 Fig. 7.41

Pe feţele elementului considerat EFMNGH vor acţiona tensiunile:

- τyx din planul EFGH, tensiuni egale cu τxy din planul EFM;

- tensiunile normale ce acţionează perpendicular pe feţele EFM respectiv HGN.

Unui element de arie dA de pe faţa EFM îi va corespunde o tensiune s pe când unui

element corespunzător de pe faţa HGN o tensiune s + ds. Creşterea de tensiune s pe distanţa dx

(cu cantitatea ds) se datorează variaţiei momentului încovoietor de la valoarea M i (în secţiunea

p1) la Mi+dMi (în secţiunea p2). Cu notaţiile din figura 7.41 echilibrul elementului EFMNGH

se scrie sub forma:

AdAddxxbdAA

yx

A

.0)()(

11

(7.40)

Va rezulta: ;0)(

111

AA

yx

A

dAddAdxxbdA (7.41)

obţinând deci:

,)(

;)( ;)(

1

11

11

z

z

i

Az

i

A z

i

yx

A

yx

A

yx

SI

M

dx

ddAy

I

M

dx

ddAy

I

M

dx

dxb

dAdx

dxbdxxbdAd

(7.42)

unde Sz1 este momentul static al suprafeţei de arie A1 (EFM). Rezultă: .

- 139 -

;)( 11

z

zi

z

z

yxI

ST

dx

Md

I

Sxb

Expresia tensiunii tangenţiale τyx= τxy devine pentru cazul general:

z

z

xyIb

ST (relaţia lui Juravski). (7.43)

Expresia tensiunilor tangenţiale corespunzătoare punctelor din secţiune situate la

distanţa y faţă de axa Oz, (fig. 7.42) se calculează cu relaţia lui Juravski.

Fig. 7.42

Mărimile ce intervin în relaţia lui Juravski au următoarea semnificaţie:

T - forţa tăietoare de la nivelul secţiunii considerate;

Sz - momentul static faţă de axa Oz (axele Oz şi Oy fiind axe principale de inserţie) a

suprafeţei situate deasupra sau dedesubtul punctelor la nivelul cărora se calculează τxy, numit

şi momentul static al suprafeţei care lunecă.

b - lăţimea secţiunii la nivelul căreia se calculează τxy.

Iz - momentul de inerţie axial faţă de axa Oz al întregii suprafeţe a secţiunii

considerate.

Expresia tensiunii tangenţiale pentru câteva forme de secţiuni frecvent întâlnite în

practică se prezintă în cele ce urmează:

a) Secţiune dreptunghiulară În cazul secţiunii dreptunghiulare, tensiunea tangenţială τxy pentru punctele situate la

distanţa y de axa Oz, (fig. 7.43), se calculează pornind de la relaţia lui Juravski.

Fig. 7.43

Momentul static al secţiunii Ay care tinde să lunece este:

.4222

1

2

2

2

y

hby

hy

hbyAS

Gyz

iar valoarea tensiunii tangenţiale la distanţa y de axa neutră va fi

.4

14

6

4

6

12

422

2

3

2

2

2

33

22

h

y

hb

hTy

h

hb

T

hbb

yhb

T

Ib

ST

z

z

xy

Simplificând rezultă

.4

12

32

2

h

y

A

Txy

(7.44)

- 140 -

Relaţia (7.44) arată că secţiunea tangenţială este repartizată pe înălţimea grinzii

dreptunghiulare după o funcţie parabolică prezentând valoarea maximă în punctele axei neutre

deci pentru y=0.

.2

3max

A

Txy

(7.45)

b) Secţiune circulară În cazul secţiunii circulare se consideră linia BC la distanţă oarecare y de axa neutră (fig.

7.44). Pentru această secţiune pe suprafaţa ei apar atât tensiunile tangenţiale τxy cât şi τxz.

Lungimea liniei BC este egală cu .2 22 yrBC

Fig. 7.44

Momentul static Sz al suprafeţei Ay este egal cu:

.3

2

2

322

2

322

2

32

1

2

2

1

2'2

1

2

1

2

1

2

11

2

1

2

1

yr

yrdyyryrdyyrydyyrydAyS

r

y

r

y

r

yAA

z

yy

Deci .13

42

2

r

y

A

T

Ib

ST

z

z

xy (7.46)

Se observă că şi în cazul secţiunii circulare componenta τxy variază după o lege

parabolică pe înălţimea secţiunii prezentând valoare maximă în axa neutră pentru y =0.

.3

4max

A

Txy

(7.47)

În cazul în care se admite o variaţie liniară de-a lungul liniei BC a componentei τxz :

;22

xy

xz

yr

ytg

.

3

4

3

42222

22

r

zy

A

T

yr

y

r

yr

A

Ttg

xyxz

Se poate concluziona că tensiunile τxz <τxy.

U7.10 Starea de tensiune a grinzilor drepte solicitate la încovoiere simplă.

Dimensionarea secţiunii transversale a unei grinzi se face astfel încât în nici un punct al

acesteia, tensiunile normale cât şi cele tangenţiale să nu depăşească valorile admisibile.

În zone suficient de îndepărtate de locul de aplicare al forţelor, tensiunile normale σx şi

cele tangenţiale τxy se determină cu relaţiile stabilite anterior, relaţia lui Navier, respectiv

relaţia lui Juravski.

Un element D situat între extremitatea grinzii şi axa neutră este solicitat de tensiunile

normale ce scad pe măsura apropierii de axa neutră, dar şi de tensiunile tangenţiale

- 141 -

crescătoare, elementul respectiv găsindu-se într-o stare plană de tensiuni (fig. 7.45,c).

Tensiunile tangenţiale se dezvoltă atât în secţiunile transversale, cât şi, conform legii dualităţii

şi în secţiunile longitudinale ale grinzii.

Fig. 7.45

Conform celor stabilite la studiul stării plane de tensiune, valorile extreme ale tensiunii

sunt date de relaţia:

,2

1 22

minmax, xyxx (7.48)

iar direcţiile tensiunilor principale, se obţin din relaţia:

.2

2 2,1

x

xytg

(7.49)

Din relaţia (7.48) se observă că întotdeauna cele două tensiuni principale au semne

contrare, adică una este de tracţiune, iar cealaltă de compresiune (fig. 7.45).

Conform relaţiei (7.49), rezultă că în cazul grinzilor solicitate la încovoiere simplă,

direcţiile principale de solicitare au înclinări variabile.

Se pot trasa două familii de curbe, numite izostatice, curbe tangente la direcţiile

tensiunilor principale de tracţiune şi de compresiune (fig. 7.46). Cele două familii de curbe vor

fi evident ortogonale între ele. Cunoaşterea formelor liniilor izostatice prezintă interes practic,

de exemplu la confecţionarea grinzilor de beton armat, datorită proprietăţii betonului de a

prelua foarte bine tensiunile de compresiune. Pentru preluarea celor de tracţiune, se introduc

armături de oţel, care, la mijlocul deschiderii, trebuie aşezate orizontal la partea inferioară a

grinzii, iar în apropierea reazemelor trebuiesc ridicate la 45°, pentru a prelua tensiunile

normale de tracţiune din axa neutră, datorate forţelor tăietoare mari (fig. 7.46).

Fig. 7.46

U7.11 Lunecarea longitudinală

Aşa cum s-a arătat în subcapitolul 7.9, pe baza dualităţii tensiunilor tangenţiale, într-o

grindă supusă la încovoiere apar şi tensiuni tangenţiale orientate în lungul acesteia. Acestea au

ca efect apariţia unor forţe longitudinale care duc la fenomenul de lunecare longitudinală.

Pentru punerea în evidenţă a fenomenului de lunecare longitudinală şi a implicaţiilor lui

se consideră cazul a două grinzi identice suprapuse, rezemate la capete, încărcate cu o forţă

oarecare P, supuse la încovoiere ca în figura 7.47. Sunt de remarcat două variante distincte de

- 142 -

solicitare în acest caz.

Dacă deplasarea relativă între cele două grinzi nu este împiedicată printr-o îmbinare iar

forţa de frecare intre ele este neînsemnată, acestea se vor deforma independent. Suprafeţele de

contact vor aluneca una faţă de alta, având loc fenomenul de lunecare longitudinală (fig.

7.47,b).

Se constată conform figurii 7.47,b că fibra de jos a grinzii superioare se alungeşte iar

fibra de sus a grinzii inferioare se scurtează apărând deci fenomenul de lunecare longitudinală.

Dacă grinzile sunt îmbinate (fig. 7.47,c) ele lucrează împreună la încovoiere ca o singură

grindă compusă. Îmbinarea realizată prin şuruburi, nituri, pene, sudură, etc, împiedicând

lunecarea longitudinală devine astfel solicitată.

Considerând că cele două grinzi se deformează identic momentul încovoietor capabil al

ansamblului format din cele două grinzi neîmbinate este

.36

2233

1

aaWM

aazacapi

Fig. 7.47

Dacă cele două grinzi sunt solidarizate, ansamblul se comportă ca şi cum ar fi alcătuit

dintr-o singură piesă de înălţimea 2a. În acest caz:

.3

26

2 32 aaaWM

aatotzacapi (7.50)

Deci grinda compusă obţinută prin îmbinare are capacitatea portantă de două ori mai

rezistentă decât în varianta fără îmbinare.

Utilizarea acestui tip de grindă necesită, pe lângă calculul de rezistenţă la încovoiere a

grinzii compuse, şi calculul îmbinării folosite aşa încât aceasta să poată prelua forţa de

lunecare longitudinală.

Se consideră în continuare calculul pentru o grindă de profil I, compusă dintr-o inimă şi

două tălpi solidarizate prin sudare, ca în figura 7.48, cu secţiunea cordonului de sudură în

formă de triunghi isoscel (fig. 7.48,c).

Fig. 7.48

Se admite ca sudura s-ar putea rupe prin forfecare în planul de simetrie CEC’E al

cordonului de lungime c şi grosime a. Deci pe suprafaţa CEC’E, se produc tensiuni de

- 143 -

forfecare τf, considerate uniform distribuite: ,l

ca

Nf

(7.51)

unde Nl este forţa de lunecare longitudinală.

Considerând pe lungimea c a cordonului forţa tăietoare T=ct, pe baza celor arătate în

subcapitolul anterior (vezi relaţiile (7.40...7.43) şi figurile 7.40 şi 7.41) rezultă

,dxbIb

STdxbdN

z

z

xy

l (7.52)

respectiv, .l

cI

STxTd

I

SN

z

z

cx

xz

z

(7.53)

Sudura se aplică pe două cordoane situate de o parte şi de alta a inimii, care pot fi

continue (fig. 7.48,a) sau intermitente (fig. 7.48,b).

În cazul sudurii continue calculul se face pentru o lungime egală cu unitatea

determinându-se grosimea a a sudurii. Pentru ca sudura de pe un cordon cu lungimea egală cu

unitatea să reziste este necesar ca: ,2

afs

z

z

efsT

Ia

S (7.54)

rezultă grosimea sudurii: .2

zafs

z

I

TSa

(7.55)

unde Sz este momentul static al secţiunii tălpii, calculat faţă de axa neutră, T- este forţa

tăietoare considerată constantă pe lungimea c şi τafs - tensiunea admisibilă la forfecare a

cordonului de sudură.

Dacă sudura continuă nu este necesară aceasta se poate înlocui cu sudura discontinuă.

Forţa de lunecare ce revine unei perechi de suduri ce leagă talpa de inimă este egală cu:

.l

z

z

I

eSTN

Considerând distanţa e între două cordoane succesive rezultă condiţia de rezistenţă:

,2 caeTI

Safs

z

z (7.56) din care

.2

TS

Ia

c

e

z

zafs

(7.57)

Deci se poate alege e şi calcula c, sau invers.

U7.12. Grinzi de egală rezistenţă la încovoiere

Grinda având secţiune constantă pe toată lungimea nu este o soluţie economică, din

punct de vedere al solicitării la încovoiere simplă, deoarece materialul este folosit în mod

economic doar în secţiunea periculoasă, unde din proiectare tensiunea maximă va putea fi cel

mult egală cu cea admisibilă. În celelalte secţiuni tensiunea maximă efectivă va fi sensibil mai

mică. Din acest motiv în practică se caută soluţii economice de grinzi cu secţiune variabilă.

Cea mai potrivită soluţie este grinda de egală rezistenţă, în lungul căreia tensiunea normală

σmax are aceeaşi valoare în orice secţiune. Considerând σmax= σa, ecuaţia generală a

grinziilor de egală rezistenţă este:

.max

ctW

Ma

z

sau

,a

z

xMxW

(7.58)

adică modulul de rezistenţă variază după aceeaşi lege ca şi momentul încovoietor. În relaţia

(7.58) s-a notat cu Wz(x) şi M(x) valorile lui Wz şi M într-o secţiune oarecare x, iar prin σa

valoarea tensiunii admisibile.

- 144 -

Ecuaţia (7.58) permite stabilirea formei grinzii de egală rezistenţă în funcţie de modul de

rezemare, de modul de aplicare a sarcinii şi de forma secţiunii.

În continuare se vor analiza două cazuri privind grinda încastrată la un capăt, cu sarcina

P concentrată la capătul liber, de secţiune dreptunghiulară.

- Cazul grinzii cu lăţimea b = const. (fig. 7.49).

In acest caz trebuie să varieze înălţimea y, y [o,h]. Într-o secţiune x

.6

2maxconst

yb

xP

W

Ma

z

(7.59)

de unde rezultă ,6

ab

xPy

(7.60)

deci înălţimea grinzii prezintă pe lungimea acesteia o variaţie parabolică.

Bara se poate realiza fie nesimetric ca în figura 7.49,a sau simetric ca în figura 7.49,b. În

încastrare înălţimea maximă ymax= h, va avea valoarea :

.l6

ab

Ph

(7.61)

Fig. 7.49

Conform relaţiei 7.60 rezultă că în capătul liber, deci pentru x = 0, înălţimea y = 0.

Pentru a putea prelua sarcina P în această zonă dimensionarea se face din condiţia de

forfecare, astfel:

,2

3

0

max ayb

P

A

T deci

.8

3

6 x

2

3=y

2

2

00

a

aa

a b

P

P

yb

b

P

- Cazul grinzii cu înălţimea h = const. (fig. 7.50).

Fig. 7.50

În acest caz, variabilă va fi lăţimea z,, aşa încât ecuaţia (7.58) devine

- 145 -

,6

)(2hzxP

xWa

z

(7.62)

din care rezultă: .6

2h

xPz

a

(7. 63)

Deci lăţimea variază liniar, z = z(x). La fel ca în cazul grinzii precedente în capătul liber

dimensionarea se va face din condiţia de forfecare astfel:

,2

3

2

3

0

max ahz

P

A

T deci .

4

4x lungimea pe

42

300

a

a

a

Pz

Forma obţinută (fig. 7.50) este forma teoretică care stă la baza proiectării arcului cu foi.

În general se realizează doar forme imperfecte matematic, în practică fiind proiectate

soluţii constructive cu variaţie discontinuă a secţiunii care să respecte suficient de bine valorile

teoretice.

În figura 7.50 se redă forma constructivă a unui arbore pe două reazeme, formă stabilită

prin aproximarea formei teoretice determinată pentru o grindă de egală rezistenţă, la care s-au

adăugat şi considerentele tehnologice.

Aplicaţia 7.1 Să se dimensioneze consola de fontă din figura 7.52 încărcată cu o forţă concentrată

P=50 kN. Lungimea consolei este l = 400 mm. Secţiunea are forma în T cu grosimea t = b / 9.

Rezistenţele admisibile sunt egale cu σat = 25 MPa şi σac = 75 MPa.

Fig. 7.52

Rezolvare:

ac

z

i

at

z

i yI

My

I

M

221 1

;)(18

92)

29(

18)

2(

222

2

1hb

hhbb

hb

hbh

b

thtb

htth

ttb

y

;)(18

189922)

2(

222

2

2hb

bbhh

bh

bbbh

h

tbth

thtb

hth

y

;3

1

918

9222

22

2

1

2

1

ac

at

hhbb

hhbb

y

y

,27h6bh3b9h18bhb deci 2222 018h12bh2bsau 22

096

2

h

b

h

b 3993

h

b deci ;3= ;9= thtb

;3)39(18

8148681 ;

)39(18

815481 222

2

222

1t

tt

tttyt

tt

ttty

- 146 -

;212212

2

2

323

thh

yth

tbt

tbt

Iz

;3

2

3327

129

412

9 2

2

3

24

tt

ttt

tttt

Iz

;124

27

12

27

4

9

12

9 44 ttIz

;12mm 000800250

40000050==

;43

12 ;12

12

33max

1

3

4

2

2

3

4

1

1

ts

MW

tt

t

y

yWt

t

t

y

yW

at

i

necz

z

z

z

z

.W

tdeci

ts

MW

Wt

z

ac

i

necz

z

mm 5,404

660266

4=

;4mm 66026675

40000050

mm. 5,4012

000800

12 deci

33 2

33max

2

33 1

Aplicaţia 7.2 Grinda dreaptă din figura 7.53 are secţiunea dreptunghiulară şi este alcătuită din

aluminiu şi oţel , având dimensiunile din figură. Dacă momentul încovoietor ce o solicită este

Mi = 10 kNm, se cer calculate tensiunile normale maxime din fiecare material.

Fig. 7.53

Rezolvare: - distanţa la axa neutră:

mm. 74,66501401075030101,2

10050140107155030101,245

45

2

1

2

1

kk

kkk

AE

eAE

e

- momentele de inerţie ale fiecărui material sunt:

.mm 1013,4503074,5112

5030

;mm 1092,15014026,3312

50140

462

3

2

472

3

1

I

I

- distanţele de la axa neutră la fibrele externe sunt:

y1 max

= 103,26 mm şi y2 max = 66,74 mm.

- tensiunile maxime au valorile:

MPa. 4,6374,661013,431092,1

31010

MPa 7,3226,1031013,431092,1

1010

67

6

max2

21

max2

67

6

max1

21

max1

yII

M

,yII

M

i

i

- 147 -

Aplicaţia 7.3 Secţiunea unei grinzi are forma şi dimensiunile din figura 7.54. Ştiind că

T = 80kN se cere să se traseze diagramele tensiunilor tangenţiale.

Fig. 7.54

Rezolvare: Conform formulei lui Jurawschi tensiunile tangenţiale τz1 în punctul 1 sunt egale cu:

;bmmS

,Ib

TS

z

z

z

z

mm 60 ; 502060

MPa 5,111093,660

106108

1

3

1

5

44

1

1

1

deci .mm 1093,612

8040

12

12060 45

33

z

I

În punctul 2, tensiunile tangenţiale sunt:

MPa, 6,341093,620

1061085

44

2

2

2

z

z

zIb

TS .bcaci mm 20

2

Tensiunile tangenţiale maxime sunt:

MPa, 85,431093,620

10671085

44

max

z

z

zIb

TS

.mm107,62040102SS că 3 4

z1z ci

În figura 7.54 este trasată diagrama tensiunilor τz.

Aplicaţia 7.4 Se dă grinda cu inimă plină simplu rezemată, din figura 7.55,a şi se cere să

se dimensioneze. Se cunosc m = 1; σa = 220 MPa şi τafs = 150 MPa [50].

Fig. 7.55

Rezolvare: În figura 7.55,b s-au trasat diagramele de forţe tăietoare şi momente

încovoietoare reacţiunile din reazeme rezultând din ecuaţiile de echilibru static:

.0510681206120150310 ;0

;0510621204120715010 ;0

),(

),(

BiA

AiB

YM

YM

rezultând YA=207 kN şi Y

B=243 kN .

Grinda cu inimă plină are momentul de inerţie al secţiunii transversale:

- 148 -

,71031460)46(12

)2(302

12

)90( 422

33

ttttttt

Ig

iar modulul de rezistenţă . 6696 47

710314 3

4

max

tt

t

y

IW z

z

Dimensiunile secţiunii se determină din condiţia de rezistenţă: ,max

max a

zW

M

rezultând: . M

ta

mm7,72206696

10684

66963

6

3max

Se adoptă t = 8 mm.

În ipoteza sudării tălpilor de inimă prin cordoane de sudură continuă, grosimea

cordoanelor de sudură este dată de relaţia: ,I

STa

afsz

z

necmm 89,0

150183147102

1041110243

2 4

63

max

.mm 101,413 t276060t46tSunde 3632

z

Deoarece în varianta sudurii continue rezultă un cordon de dimensiuni prea mici în

comparaţie cu grosimea minimă indicată, se adoptă soluţia sudurii discontinue alegând o

grosime a = 4 mm. Raportul între lungimea cordonului de sudură şi zona aferentă acestuia va

fi: .2225,0831471022042

10413110243

2 4

63

max

zafs

z

Ima

ST

e

c

Alegând c = 80 mm, rezultă e = 360 mm.

Aplicaţia 7.5 O consolă confecţionată prin sudură dintr-o grindă cu inimă plină este

solicitată de P=33 kN. Cunoscând sa =150 MPa, se cere să se verifice grinda (fig. 7.56).

Fig. 7.56

Rezolvare:

Momentul de inerţie al secţiunii este: .mm 103138,212009512

101202

12

1803 472

33

zI

Tensiunea normală maximă are valoarea:

MPa 4,128103138,2

901033

MPa 6,142103138,2

1001033

7

6

max

7

6

max

z

B

B

z

A

A

I

yM

I

yM

< 150

MPa;iar tensiunea tangenţială: MPa. 2,54103138,23

12009510337

3

z

zB

zBIb

ST

Tensiunile principale sunt:

MPa. 8,192,5444,1282

1

2

4,1284

2

1

2

;0MPa 150MPa 2,1482,5444,1282

1

2

4,1284

2

1

2

2222

3

2

2222

1

zBBB

B

BzBBB

B ;<

Se constată că solicitarea din B este mai mare decât cea din A.

- 149 -

Competente


problematica determinarii si calcularii diverselor structuri cu diferite forme de sectiuni supuse

solicitarii de incovoiere plana cat si simpla.


rezolve tipurile de probleme specifice solicitarii de incovoiere plana, oblica sau stramba;

proiecteze structuri de diferite forme care pot prelua solicitarile de incovoiere.



U7.13.1 Enuntati ipotezele ce stau la baza demonstratiei relatiei tensiunilor normale

la incovoierea pura plana.

U7.13.2 La ce este folosita relatia lui Navier?

U7.13.3 Ce particularitati prezinta calculul la incovoiere pentru o grinda

confectionata din fonta? Exemplu.

U7.13.4 Care este metodologia de calcul a tensiunii la incovoierea oblica?

U7.13.5 Enuntati ipotezele lui Juravski.

U7.1 3.6 Demonstrati relatia lui Juravski.

U7.13.7 Explicati termenii din relatia lui Juravski.

U7.1 3.8 Care este distributia tensiunii tangentiale pe inaltimea unei sectiuni

dreptunghiulare? Dar a uneia circulare?

U7.1 3.9 Trasati diagrama tensiunilor tangentiale pe inaltimea unui profil I.


Rezolvati exemple numerice de grinzi solicitate la incovoiere pura cat si simpla,

grinzi ce au diverse forme de sectiuni complexe.

Bibliografie











- 150 -

Modulul 8. Solicitari compuse

Cuprins

U8.1 Generalitati.................................................... ........................ ...................... ... .150

U8.2 Solicitarea compusa de tip σ-σ, ( intindere sau compresiune cu incovoiere). ..151

U8.2.1 Grinda dreapta solicitata de o forta inclinata aplicata intr -un plan principal

ce ntral de inertie................................................................. ..................... . ..151

U8.2.2 Fir sau banda infasurate pe un disc si solicitate la tractiu ne................... ....151

U8.2.3 Compresiunea excentrica a barelor de inaltime mica......... .................... ....152

U8.3 Solicitarea compusa de tip τ-τ, ( forfecare cu torsiune)........... ....................... . .157

U8.4 Solicitarea compusa de tip σ-τ ( intindere, compresiune cu forfecare, incovoiere

cu torsiune)....................................................................... .................... ..............159

U8.4.1 Solicitari compuse cu tensiuni normale si tangentiale la arbori de sectiune

circulara............ ................................................................ ........................... ..159

U8.4.2 Solicitari compuse cu tensiuni normale si tangentiale la bare cu sectiune

dreptunghiulara.................................... ......................................................... .162

U8.5 Test de evaluare a cunostintelor...................................... ...................................169

U8.1 Generalitati

În practică de cele mai multe ori în secţiunea unei bare apar simultan mai multe

componente ale eforturilor secţionale (fig. 8.1).

Astfel dacă efortul din secţiunea transversală a unei bare, are o singură componentă,

orientată în lungul axei longitudinale a barei sau a uneia dintre axele principale centrale de

inerţie ale secţiunii transversale, atunci bara se află într-o stare de solicitare simplă. Dacă

efortul din secţiunea transversală are mai multe componente, rezultă o stare compusă de

solicitare.

Componentele eforturilor secţionale: forţa axială N, forţele tăietoare Ty şi Tz ,

momentele încovoietoare Miy şi Miz , momentul torsional Mt , dezvoltă tensiuni de tip σ

sau τ , repartizate pe suprafaţa secţiunii în conformitate cu legile de distribuţie stabilite în

cadrul solicitărilor simple.

În funcţie de tipul tensiunilor dezvoltate, solicitările compuse se grupează în

următoarele categorii:

a)- solicitări ce produc în secţiunile transversale ale barelor numai tensiuni normale σ (N şi Mi);

b)- solicitări ce produc în secţiunile transversale ale barelor numai tensiuni

tangenţiale τ (T şi Mt);

c)- solicitări ce produc în secţiunile transversale ale barelor atât tensiuni normale σ

cât şi tensiuni tangenţiale τ (N şi T şi mai ales Mi şi Mt prin prisma valorilor mari ale

tensiunilor).

Solicitările de tipul a şi b produc deci tensiuni de acelaşi tip, pe când solicitările de tipul

c, produc tensiuni diferite.

- 151 -

Pentru solicitările generatoare de tensiuni de acelaşi tip, metoda de calcul constă din

însumarea algebrică a componente-lor tensiunilor, iar pentru solicitările generatoare de

tensiuni normale σ cât şi tangenţiale τ, calculul se bazează pe folosirea teoriilor de rezistenţă.

Fig. 8.1

U8.2. Solicitarea compusă de tip σ-σ (întindere sau compresiune cu încovoiere)

Având în vedere că tensiunile normale σ = σx , coincid ca direcţie, putând fi de acelaşi

sens sau de sensuri contrare, metoda de calcul are la bază principiul suprapunerii de efecte şi

compararea valorii obţinute cu rezistenţa admisibilă a materialului.

Astfel, pentru tracţiune sau compresiune ,A

Nt , iar pentru solicitarea de încovoiere

.I

zMσs

I

yMσ

y

iy

M

z

izM yz

i

U8.2.1. Grindă dreaptă solicitată de o forţă înclinată,

aplicată într-un plan principal central de inerţie (fig. 8.2)

Dacă forţa de încărcare P formează unghiul α cu axa longitudinală a grinzii, pentru

aprecierea valorii solicitărilor produse în secţiunile transversale, se reprezintă diagramele de

eforturi N, T şi Mi. În figura 8.3 se prezintă distribuţia tensiunilor pe înălţimea secţiunii

transversale a grinzii. Dacă efectele forţei tăietoare se neglijează, întrucât valorile tensiunilor

tangenţiale sunt mici, tensiunea normală σ va fi dată de:

.z

i

I

yM

A

N (8.1)

Tensiunile cele mai mari se produc în dreptul fibrelor marginale 1 şi 2:

.0

;0

2

max

1

max

2

1

z

i

z

i

I

yM

A

N

I

yM

A

N

(8.2)

Datorită existenţei forţei axiale în secţiunea transversală, axa neutră nu mai coincide

cu axa centrală, ci este decalată faţă de aceasta cu cota y0.

Axa neutră este locul geometric al punctelor în care σ = 0.

Ecuaţia acesteia rezultă deci prin anularea tensiunii σ:

.0

z

i

I

yM

A

N (8.3)

Distanţa la axa neutră este:

.2

0 z

i

iM

Ny (8.4)

Axa neutră intersectează suprafaţa secţiunii transversale numai dacă σ1,2 > σt.

- 152 -

Fig. 8.2 Fig. 8.3

U8.2.2. Fir sau bandă înfăşurate pe un disc şi solicitate la tracţiune

În cazul cablurilor trecute peste scripeţi sau ale benzilor (curele late, pânze panglică),

trecute peste roţi (fig. 8.4), dacă se notează cu d diametrul cablurilor sau grosimea benzii şi cu

D diametrul roţii, raza de curbură ρ va fi 22

DdD

întrucât d << D.

Fig. 8.4

Prin înfăşurare pe disc, firul devine solicitat şi la încovoiere, eforturile din secţiunile

periculoase 1 şi 2 ‚ fiind egale cu: N = P şi .,1

z

i

z

i IEM

IE

M

Tensiunea normală maximă este egală cu:

.4 max

2max

yE

d

P

W

IE

A

P

W

M

A

N

z

z

z

i (8.5)

sau: .4

2

2422max p

D

dE

d

P

dD

dE

d

P

(8.6)

Ecuaţia (8.6), dedusă pe baza legii lui Hooke, este aplicabilă numai dacă tensiunea

normală maximă nu o depăşeşte pe cea corespunzătoare limitei de proporţionalitate.

Din ecuaţia (8.6) rezultă raportul d / D până la care firele sau benzile se pot folosi fără

depăşirea limitei de proporţionalitate:

.AE

P

ED

d p

(8.7)

U8.2.3. Compresiunea excentrică a barelor de înălţime mică

Dacă forţa de compresiune este aplicată într-un punct B care nu coincide cu centrul de

greutate O al secţiunii, atunci compresiunea se numeşte compresiune excentrică. Dacă axele

principale centrale de inerţie sunt Oz şi Oy (fig. 8.5) [21], iar forţa P este aplicată într-un

punct B (z0, y

0), atunci pe lângă forţa axială N, apar şi momentele de încovoiere Mz = - y

0P şi

- 153 -

My = z0P.

În practica inginerească se întâlnesc stâlpi de înălţime mică solicitaţi la compresiune

excentrică, de exemplu în cazul fundaţiilor de maşini.

După cum materialul barei poate sau nu poate să preia şi tensiunile σ pozitive, în

continuare se prezintă calculul la compresiune excentrică în cele două variante.

a) Calculul la compresiune excentrică în cazul în care materialul stâlpului poate

prelua şi tensiuni de tracţiune În calcule se neglijează efectul greutătii proprii, care se consideră mult mai mică comparativ

cu forţa de încărcare P. Secţiunea stâlpului din figura 8.5 de formă oarecare, se consideră

constantă pe înălţime, iar în dreptul unui punct oarecare C (z, y) din primul cadran, toate

eforturile

Fig. 8.5

secţionale se dezvoltă prin tensiuni de compresiune, tensiunea normală totală fiind

suma tensiunilor normale produse de fiecare efort secţional:

.12

0

2

0

yzy

y

z

z

i

zz

i

yy

A

Pz

I

My

I

M

A

P (8.8)

unde iz si iy sunt razele principale centrale de inerţie, rezultând din relaţiile

.22AiIAiI

yyzz .

Pentru σ = 0 rezultă ecuaţia axei neutre: .012

0

2

0 yz

i

zz

i

yy (8.9)

Relaţia (8.9) reprezintă ecuaţia unei drepte, care intersectează axele de coordonate în

punctele de coordonate

0;

0

2

z

iy

şi .;00

2

y

iz adică trece prin cadranul opus celui în care se

găseşte punctul de aplicaţie al forţei.

Axa neutră împarte suprafaţa secţiunii în două zone, una în care se dezvoltă tensiuni

normale negative de arie mare şi una în care se dezvoltă tensiuni normale pozitive de arie mai

mică. Ca şi în cazul încovoierii oblice, valoarea tensiunii normale σ este proporţională cu

distanţa punctului considerat la axa neutră. Dacă axa neutră nu intersectează secţiunea,

tensiunile vor fi doar de compresiune, iar tensiunile normale cele mai mari apar în dreptul

celor mai depărtate puncte de axa neutră, adică în 1 (z1 , y

1) şi 2 (z

2 , y

2):

.12

2,10

2

2,10

2,1

yz i

zz

i

yy

A

P (8.10)

- 154 -

Examinând relaţiile 8.8 - 8.10 se desprind următoarele proprietăţi ale axei neutre:

1) - Axa neutră trece prin cadranul opus celui în care se află aplicată forţa de

compresiune.

2) - Dacă se neglijează greutatea proprie a stâlpului, poziţia axei neutre nu depinde de

mărimea ci doar de locul de aplicare a forţei.

3) - Axa neutră se îndepărtează de centrul de greutate al secţiunii (zD şi y

E cresc),

atunci forţa se apropie (z0 şi y

0 scad) şi invers.

4) - Dacă punctul de aplicaţie al forţei se deplasează pe o axă principală centrală de

inerţie atunci axa neutră se deplasează paralel cu cealaltă axă. Dacă y0 = 0 (forţa se află pe

axa Oz), expresia axei neutre devine: ,012

0 y

i

zz deci devine o dreaptă paralelă cu Oy.

5) - Dacă punctul de aplicaţie al forţei se deplasează pe o dreaptă Δ1 (fig. 8.6) care

trece prin origine, atunci axa neutră (dreapta Δ2) se deplasează paralel cu ea însăşi.

Fig. 8.6

Pentru demonstraţie se exprimă coeficientul unghiular al axei neutre prin derivarea

expresiei axei neutre:

. 02

2

0

0

22

0

2

0

y

z

yzi

i

y

z

dz

dym

i

z

dz

dy

i

y (8,11)

unde m2 reprezintă coeficientul unghiular al axei neutre. Dacă forţa P se deplasează pe

dreapta Δ1, atunci:

. 1

2

1

21

0

0

y

z

i

i

mmm

z

y

6) - Tensiunea într-un punct C (z , y) produsă de către o forţă de compresiune aplicată

într-un punct B (z0,y

0) este egală cu tensiunea în punctul B (z

0, y

0) produsă de aceeaşi forţă

aplicată în C (z, y); din observarea relaţiei (8.10) reiese că, coordonatele punctelor B şi C se

pot înlocui reciproc, fără ca tensiunea normală σ să se modifice.

7) - Dacă punctul de aplicaţie al forţei se deplasează pe o dreaptă ce nu trece prin

centrul de greutate al secţiunii, tensiunea într-un punct din secţiune rămâne nulă, adică axa

neutră se roteşte în jurul unui punct.

Astfel, conform proprietăţii exprimate la punctul anterior, dacă punctul de aplicaţie al

forţei se deplasează pe dreapta care reprezintă axa neutră când forţa era aplicată în punctul B

(z0, y0), atunci, în punctul B, tensiunea va fi nulă, adică axa neutră se roteşte în jurul acestui

punct.

Totalitatea poziţiilor pe care le poate ocupa punctul de aplicaţie al forţei de compre-

siune, astfel încât în întreaga secţiune să se dezvolte numai tensiuni de compresiune,

formează o figură închisă în jurul centrului de greutate al secţiunii numită sâmbure central.

Conturul acestuia este locul geometric al punctelor de aplicaţie ale forţei atunci când axa

neutră rămâne mereu tangentă la conturul secţiunii.

Se exemplifică modul de determinare al conturului sâmburelui central cu referire la un

stâlp de secţiune dreptunghiulară (fig. 8.7). Pentru ca axa neutră să coincidă cu dreapta (1) -

- 155 -

(1), trebuie ca 2

hy deci ecuaţia dreptei (1) - (1) este ,0

21

h

y deci:

.6

h

h12b

hb

h

2

h

2iys 0z

32

z

pp i (8.12)

Fig. 8.7

Dacă axa neutră coincide cu dreapta (2) - (2), analog rezultă coordonatele punctului 2,

respectiv: .0º6

pp

yib

z (8.13)

Astfel s-au găsit două puncte de pe conturul sâmburelui central. Ele se unesc printr-o

dreaptă, căci rotirii axei neutre în jurul colţului dreptunghiului, din poziţia (1) - (1) în poziţia

(2) - (2), îi corespunde deplasarea forţei pe o dreaptă. În cazul de faţă, pe baza simetriei se

obţine conturul complet al sâmburelui central care va fi rombic.

În figura 8.8 se prezintă cazurile posibile de compresiune excentrică ale unui stâlp de

secţiune dreptunghiulară solicitat de o forţă de compresiune situată pe o axă principală

centrală de inerţie a secţiunii transversale, precum şi diagramele de distribuţie ale tensiunii

normale σ în dependenţă de poziţia forţei.

Fig. 8.8

În figura 8.9 se prezintă determinarea conturului sâmburelui central în cazul secţiunii

circulare. Presupunând axa neutră tangentă la contur în punctul de intersecţie cu axa Oy

respectiv dreapta (1) - (1): .012 2

0 z

i

yyDy deci, după înlocuirea ,

16

22 D

iz rezultă:

.8

0

Dy (8.14)

Fig. 8.9

Sâmburele central va fi tot o suprafaţă circulară de diametrul d = D/4.

Importanţa sâmburelui central constă în faptul că la materialele care nu rezistă la

tracţiune (pământ, zidărie, beton etc.) forţele de compresiune trebuie aplicate în interiorul

- 156 -

sâmburelui central, pentru ca în toată secţiunea să se dezvolte numai tensiuni de compresiune.

b) Calculul la compresiune excentrică în cazul în care materialul stâlpului nu

poate prelua tensiuni de tracţiune Zidăria, betonul, pământul etc. rezistă numai la tensiuni de compresiune, neputând

prelua tensiuni de tracţiune. Ca urmare, dacă punctul de aplicaţie al forţei se află în afara

sâmburelui central, se admite că secţiunea transversală este împărţită într-o zonă activă (fig.

8.10) de arie A1 în care se dezvoltă tensiuni de compresiune şi o zonă pasivă de arie A2, care

s-ar fisura, pe care tensiunile de tracţiune nu se pot dezvolta [25].

Fig. 8.10

Se consideră un stâlp dintr-un astfel de material, asupra căruia forţa acţionează în afara

sâmburelui central, la distanţa c de marginea secţiunii, admiţându-se că în zona activă

tensiunile normale de compresiune sunt proporţionale cu distanţa la axa neutră, iar în zona

pasivă tensiunile sunt nule (fig. 8.10).

În ipoteza că se neglijează greutatea proprie a stâlpului se cere să se găsească expresia

tensiunii maxime: .0º2max1

i

ce

z (8.15)

Scriindu-se ecuaţiile de echivalenţă:

.1

maxmax

1

11

Sce

dAzce

dAPAA

(8.16)

.1

max2max

1

11

Ice

dAzce

dAzePAA

(8.17)

unde S1 şi I1 reprezintă momentul static, respectiv de inerţie al suprafeţei zonei active faţă de

axa neutră a secţiunii transversale.

Din relaţiile (8.16 şi 8.17), rezultă poziţia axei neutre, respectiv valoarea tensiunii

maxime:

.º1

max

1

1

S

cePi

S

Ie

(8.18)

În cazul particular al sectiunii dreptunghiulare:

.2,

3

2

2

32

3

cececeh

ceh

e

(8.19)

.3

22

2

2maxch

P

ceh

P

ceh

ceP

(8.20)

Relaţia (8.20) se foloseşte la calculul presiunilor de contact dintre stâlp şi teren, stâlpul

neputînd prelua tensiuni de tracţiune.

- 157 -

U8.3 Solicitarea compusă de tip τ-τ, forfecare cu torsiune

Se consideră secţiunea oarecare din figura 8.11, în care apar simultan o forţă T şi un

moment de torsiune Mt. Forţa tăietoare T, care poate fi descompusă în componentele Ty şi

Tz, împreună cu momentul torsional Mt se dezvoltă prin tensiunile tangenţiale τf şi τt, în

dreptul unui punct oarecare din secţiune, unde τf este dispusă după direcţia lui T, iar τt este

perpendiculară pe rază. Însumarea tensiunilor se face după regulile calculului vectorial,

respectiv:

.cos2; 22 tftfft

(8.21)

în care α este unghiul dintre direcţiile celor două tensiuni.

Dacă tensiunile tangenţiale τf şi τt sunt coliniare , α = 0°, în funcţie de sensurile lor,

însumarea se face algebric τ = τf ± τt , însumarea făcându-se de obicei în dreptul celui mai

solicitat punct al secţiunii periculoase.

Fig. 8.11

Calculul arcurilor elicoidale cilindrice cu spire strânse (solicitate prin compresiune

sau întindere)

Calculul arcurilor elicoidale cu spire strânse, reprezintă una din aplicaţiile solicitărilor

compuse de forfecare cu torsiune. Forma geometrică şi dimensiunile unui arc elicoidal sunt

caracterizate de forma şi dimensiunile secţiunii transversale, raza de înfăşurare, numărul de

spire, unghiul de înfăşurare şi pasul. De obicei, arcurile elicoidale se confecţionează din

sârmă de secţiune circulară, însă se întâlnesc şi altfel de forme (pătrată, dreptunghiulară etc.),

raza de înfăşurare poate fi constantă (în cazul arcurilor cilindrice) sau variabilă (în cazul

arcurilor conice, hiperbolice, parabolice etc.). În cazul arcurilor elicoidale cu spire strânse,

unghiul de înfăşurare α are în general o valoare mică α ≈ 10°.

Fie arcul din figura 8.12 [6] confecţionat dintr-o sârmă de secţiune circulară, de

diametru d, a cărui axă geometrică este o elice înfăşurată pe un cilindru circular de rază R.

Arcul este comprimat (întins) prin forţele P, aplicate la extremităţile axei sale. Valorile

eforturilor din secţiune vor fi:

.cos;0sin

;cos;0sin

RPRPMRPM

PPTPN

ti

(8.22)

Fig. 8.12

- 158 -

În relaţia (8.22) considerându-se sin α ≈ 0 iar cos α ≈ 1, datorită valorilor mici ale

unghiului α, rezultă că solicitările majore sunt cele de forfecare şi torsiune, ambele

generatoare de tensiuni tangenţiale τ (fig. 8.13). În punctul B al secţiunii, aceste tensiuni au

aceeaşi direcţie şi acelaşi sens, deci condiţia de rezistenţă a arcului va fi:

.3

116

;16

4

3

4;

16

3max

32max3max

aft

f

p

t

t

R

d

d

PR

d

P

d

P

A

Tk

d

RP

W

M

(8.23)

Relaţia (8.23) mai poate fi scrisă si sub forma:

.16

3maxd

RPf

(8.24)

Fig. 8.13

avându-se în vedere că raportul d/3R este adimensonal, coeficientul f numindu-se factor de

formă.

Pentru dimensionări se consideră că rezistenţa admisibilă pentru oţelul de arc este

cuprinsă între (400-800) MPa.

Comprimarea arcului are ca efect apropierea capetelor cu deplasarea f (fig. 8.14)

denumită săgeata arcului. Aceasta poate fi determinată aplicând teorema energiei - afirmând

că lucrul mecanic al forţelor exterioare este egal cu lucrul mecanic al forţelor interioare, deci

Ue = Ui.

Fig. 8.14

Înlocuind expresiile celor două energii se obţin:

.22

0 fPHHPU

e

(8.25)

- 159 -

.2

2

2

;2

1

2

1

322

0

22

2

2

2

2

p

Rn

p

i

p

t

V

i

IG

nRPds

IG

RPU

dsdArI

M

GdV

GU

(8.26)

deci: .64

322

2

2 4

3

4

32

dG

nRPf

dG

nRPfP

(8.27)

Din relaţia (8.27) se observă că săgeata este proporţională cu sarcina aplicată,

proprietate care stă la baza costrucţiei dinamometrelor. Se poate scrie:

.64 3

4

nRP

dGkfkP unde (8.28)

k reprezentând constanta elastică a arcului.

Pentru aflarea numărului de spire active ale arcului trebuie să se adopte sau deplasarea

sub o forţă dată, sau diferenţa dintre săgeata la o forţă maximă şi săgeata la forţa minimă, cu

care se poate calcula constanta elastică.

U8.4 Solicitarea compusă de tip σ-τ

(întindere, compresiune cu forfecare, încovoiere cu torsiune)

Solicitarea compusă de tip στ, este solicitarea cea mai răspândită la calculul pieselor din

construcţia de maşini. În această categorie de piese intră arborii drepţi (piese de secţiune

circulară solicitate la încovoiere strâmbă şi torsiune), arbori cotiţi (piese de secţiune circulară

cotită în spaţiu sau plan şi care conţin porţiuni de secţiune dreptunghiulară, eliptică etc.), sau

barele cotite spaţiale (pârghiile unor dispozitive) cu altă secţiune decât cea circulară (de

obicei de secţiune dreptunghiulară).

Într-un element dintr-o astfel de piesă apare o stare de tensiuni, cu tensiuni normale pe

direcţia axei barei (σx) şi tensiuni tangenţiale în planul secţiunii (τxy şi τxz), datorate primele

forţelor axiale şi momentelor încovoietoare, respectiv secundele forţelor tăietoare şi

momentului torsional.

Calculul de rezistenţă, în acest caz, se rezumă la compararea unor tensiuni de tip σ cu

unele de tip τ, lucru posibil de realizat dacă se utilizează una dintre cele cinci ipoteze (teorii)

de rezistenţă. În practică, se lucrează curent fie cu ipoteza tensiunilor tangenţiale maxime

(ipoteza a-III-ia) conform căreia ,4 22 ech

fie cu ipoteza energiei de deformaţie

modificatoare de formă (ipoteza a-V-a), conform căreia .3 22 ech

U8.4.1 Solicitări compuse cu tensiuni normale şi tangenţiale

la arbori de secţiune circulară

Dacă în secţiunea arborelui presupunem că se cunosc toate cele şase componente ale

eforturilor secţionale N, Ty, Tz, Miz, Miy şi Mt (fig. 8.15) [6], putem considera că efectul

forţelor tăietoare se poate neglija, datorită valorilor mici ale tensiunilor tangenţiale de

forfecare. Întrucât orice diametru este şi axă principală de inerţie se calculează momentul

încovoietor rezultant ,22

iyiziMMM acesta făcând cu axa Oz unghiul α = arctg My/Mz

(fig. 8.15 b). Tensiunile normale maximă şi minimă din solicitarea de încovoiere apar în

- 160 -

punctele ,sin2

;cos2

ddA respectiv 2,0,sin

2;cos

2

ddB

de pe diametrul perpendicular pe direcţia momentului încovoietor rezultant (axa neutră la

încovoiere), iar tensiunile normale generate de forţa axială sunt constante în toate punctele

din secţiune.

Fig. 8.15

Aşadar:

dacă: .8

132324

,0332max

i

ii

AM

Nd

d

M

d

M

d

NN

dacă: .,0min AB

N

Tensiunile tangenţiale maxime (fig. 8.16) [6] produse de momentul de torsiune apar în

punctele de pe circumferinţa secţiunii (în sensul momentului) având mărimea

.16

3maxd

M

W

Mt

p

t

Prin urmare, în punctele A (dacă N > 0) sau B (dacă N < 0) apar stări plane

de tensiuni, în care tensiunea echivalentă are relaţia:

.8

132 2

2

2

3max at

i

iechMk

M

NdM

d

(8.29)

unde k = 1 pentru ipoteza a III-ia şi k = 0,75 pentru ipoteza a V-a.

În cazul secţiunii inelare cu c = d/D relaţia (8.29) devine:

.

1

32 22

43 atiechivMkM

cD

(8.30)

În relaţia (8.30) s-a considerat forţa axială zero sau neglijabilă în raport cu efectul

încovoierii.

În cazul dimensionării relaţia de calcul a diametrului este:

.)1(

323

22

4 ti

a

MkMc

D

(8.31)

În relaţiile (8.30) şi (8.31) mărimea echivitiMkMM

,

22

poartă denumirea de moment

încovoietor echivalent Mi,echiv , acesta fiind diferit pentru cele cinci teorii de rezistenţă.

Fig. 8.16

- 161 -

Arborii drepţi de secţiune circulară folosiţi la transmisii cu curele sau cu roţi dinţate

cilindrice sau conice, transmit o putere P = Mtw, respectiv un moment de torsiune Mt la o

viteză unghiulară w = p×n / 30 [s-1]. Arborii sunt solicitaţi la torsiune şi încovoiere datorită

forţelor de transmisie.

Pentru calculul diametrului unui arbore de transmisie cu curele cu puterile P2, P3, P4

[W] (fig. 8.17) [21], cunoscând viteza unghiulară w [s-1] si considerând randamentul unitar,

se parcurg următoarele etape:

1o - se calculează momentele de torsiune pe baza cunoaşterii puterilor motorului şi

maşinilor Mtk = Pk /w ;

2o - se trasează diagramele momentelor de torsiune ;

3o - se determină forţele din curele folosind relaţia de echilibru SMtk = 0 sau relaţia

lui Euler Sk = Skeμα

(unde m este coeficientul de frecare, iar a este unghiul de înfăşurare) ;

4o - se reduc forţele din curele în centrul de greutate al secţiunii respective a arborilor,

obţinându-se o forţă Fk şi un moment de torsiune Mtk ;

5o - se descompun forţele Fk în componente după două plane perpendiculare şi se

trasează diagramele de momente încovoietoare respective;

6o - se stabileşte secţiunea cea mai solicitată, adică secţiunea în care momentul

încovoietor echivalent şi momentul torsional au valori extreme (prin moment încovoietor

rezultant se înţelege suma vectorială a momentelor încovoietoare dintr-o secţiune);

Fig. 8.17

7o - se calculează momentul încovoietor echivalent, folosind una din teoriile de

rupere,

,22

, tiechiviMMM sau a V-a: ;.75,0

22

,

tiechivi

MMM

8o - se scrie condiţia de rezistentă ,a

z

echivi

echivW

M de unde rezultă relaţia de

- 162 -

dimensionare a arborelui: .a

echivi

z

MW

În acelaşi mod se procedează şi la calculul arborilor pe care sunt montate roţi dinţate

care transmit mişcarea de la un arbore la altul, în cutiile de viteză sau în reductoare, apar forţe

tangenţiale, radiale şi axiale (la dantura înclinată) ale căror valori sunt calculabile în funcţie

de momentul de torsiune transmis şi de caracteristicile geometrice ale roţilor dinţate.

U8.4.2 Solicitări compuse cu tensiuni normale şi tangenţiale

la bare cu secţiune dreptunghiulară

Se consideră bara de secţiune dreptunghiulară din figura 8.18,a , pentru care se cunosc

toate cele şase eforturi secţionale (acestea se consideră pozitive). Eforturile secţionale

generează tensiuni σx, τxy, τxz, τt, σiy, σiz, ale căror variaţii sunt prezentate în fig. 8.18,b.

Scopul este determinarea punctului cel mai solicitat al secţiunii periculoase şi implicit

determinarea tensiunii maxime aferente. În colţuri se produc doar tensiuni normale, iar în

mijloacele laturilor se produc atât tensiuni normale cât şi tensiuni tangenţiale.

Astfel vom avea următoarele tensiuni:

.66

;66

;66

;66

224223

222221

43

21

hb

M

hb

M

hb

NA

hb

M

hb

M

hb

NA

hb

M

hb

M

hb

NA

hb

M

hb

M

hb

NA

yz

A

yz

A

yz

A

yz

A

(8.32)

Deci, dintre toate colţurile secţiunii, tensiunea normală maximă va fi cea aferentă

punctului A3, unde toate tensiunile normale vor fi de acelaşi semn.

Dacă se admite compunerea tensiunilor normale cu cele tangenţiale, conform ipotezei

a III-ia de rezistenţă, vom avea următoarele tensiuni:

;4;2

3;

6 22

1

21 11111 BBBechiv

yt

B

iy

Bhb

T

hbk

M

hb

M

hb

NB

;4;2

3;

6 22

2

1

22 22222 BBBechiv

yt

B

iy

Bhb

T

bhk

M

hb

M

hb

NB

Fig. 8.18

;4;2

3;

6 22

2

1

221 11111 CCCechiv

zt

C

iz

Chb

T

bhk

Mk

hb

M

hb

NC

- 163 -

.4;2

3;

6 22

2

1

222 22222 CCCechiv

zt

C

iz

Chb

T

bhk

Mk

hb

M

hb

NC (8.33)

Condiţia de rezistenţă este:

.,,,,max21213 aCechivCechivBechivBechivA

(8.34)

În cazul în care se cunosc dimensiunile se poate calcula forţa capabilă (toate eforturile

secţionale trebuie să fie funcţie de o singură variabilă adoptată). În cazul dimensionării

trebuie adoptată o legătură între mărimea laturilor h = ξ b şi exprimate tensiunile în funcţie de

variabila b.

Aplicaţia 8.1 O platbandă din oţel (fig. 8.19) cu dimensiunile 200 x 100 mm este

solicitată de o forţă de tracţiune centrică N = 320 kN. Se cere să se arate cum se modifică ten-

siunile în platbandă în dreptul găurii semicirculare de la periferia acesteia, de rază r = 30 mm.

Rezolvare: În cazul în care platbanda nu este slăbită, ea este solicitată la tracţiune

centrică, tensiunile fiind uniform distribuite în secţiune:

.MPa16010200

10320 3

brutãA

N

În zona slăbită, tracţiunea este excentrică, axa platbandei deplasându-se cu distanţa e =

15 mm.

M = N.e = 320.103 .15 = 4,8.106 Nmm.

Tensiunile extreme vor fi:

.170

1561

10170

1032061

3

minmax,

b

e

A

N

W

M

A

N

z

i

Rezultă: σmax = 287,89 MPa iar σmin = 88,58 MPa .

Se observă că tensiunea maximă este cu ≈ 81% mai mare decât cea în cazul în care

platbanda nu este slăbită.

Fig. 8.19

Aplicaţia 8.2 Stâlpul din figura 8.20 este solicitat de o forţă axială P = 220 kN şi un

moment Mi ce acţionează într-un plan perpendicular pe axa de simetrie a secţiunii sale

transversale în punctul C.

Dacă tensiunea admisibilă este de 180 MPa, se cere să se determine valoarea maximă a

cuplului Mi.

Fig. 8.20

- 164 -

Rezolvare: Forţa de compresiune P produce tensiunea uniform distribuită:

.MPa86,625070

10220 3

1

A

P

Momentul încovoietor Mi dă, după o axă paralelă cu axa y în punctul A, tensiunea σ2

de acelaşi semn cu σ1, unde:

,;10449,25070

621

5

22 ai

i

y

i MM

W

M

deci rezultă: .18010449,2 + 86,62 5

iM

Din rezolvarea ecuaţiei rezultă cuplul capabil Mcap = 4,78 kNm .

Aplicaţia 8.3 Se consideră tubul cilindric din figura 8.21 supus unei forţe de

compresiune axiale de 68 kN şi unui moment torsional de 35 kNm. Se cer să se determine

tensiunile principale cât şi tensiunea tangenţială maximă.

Fig. 8.21

Rezolvare: Forţa de compresiune produce tensiunile uniforme σ1 unde:

.MPa44,5

2502804

1068

22

3

1

A

P

Momentul torsional produce tensiunile tangenţiale τ, unde:

,MPa28,22

280

2501

16

280

1035

4

43

6

p

t

W

M

acestea având valoarea maximă de 22,28 MPa pe conturul exterior (fig. 8.21,b).

Tensiunile principale vor fi: ,28,224044,52

1

2

044,5 22

MPa. 22,445 = )σ - (σ0,5 = τiar MPa, -25,165= σ iº MPa 19,725σ minmaxmaxmin=max

Aplicaţia 8.4 În secţiunea periculoasă a unei bare circulare (fig. 8.22) având diametrul

d = 84 mm, se dezvoltă o forţă axială N = - 100 kN, un moment încovoietor Miz = 2,5 kNm şi

un moment torsional Mt = 4,5 kNm. Se cere să se determine valoarea tensiunii echivalente cu

teoria a III-ia şi a V-a, precum şi calculul diametrului cu teoria cea mai restrictivă, cunoscând

că σa = 190 MPa.

Fig. 8.22

- 165 -

Rezolvare: Din distribuţia tensiunilor generate de cele trei solicitări, rezultă că punctul

B este cel mai solicitat (fig. 8.22):

;MPa43

32

384

6105,2

încov B

zW

zM

.MPa18

4

284

310100compr B

A

N

Deci în punctul B: σB = -43 - 18 = - 61 MPa ; τ

B = 38,67 MPa.

După teoria tensiunii tangenţiale maxime (ipoteza a III-ia)

.MPa5,9867,384614 2222

zx

III

echiv

După teoria energiei specifice modificatoare de formă (ipoteza a V-a):

.MPa6,9067,383613 2222 zx

V

echiv

Se observă că ipoteza cea mai restrictivă este ipoteza a III-a.

a

p

t

z

iIII

echivW

M

W

M

A

N

22

4 sau: ,16

4324 2

2

3

2

32 a

ti

d

M

d

M

d

N

respectiv: ;102432426222

atzdMMdN

din rezolvarea ecuatiei rezultă d 67 mm .

Aplicaţia 8.5 Un resort elicoidal cilindric cu raza de înfăşurare R = 80 mm, diametrul

sârmei d = 16 mm, numărul de spire active n = 9, este încastrat la capete şi încărcat cu forţa P

= 3600 N aplicată la şase spire de capătul superior.

Materialul din care este confectionat resortul este un oţel de arc cu G = 0,85.105 MPa

şi τa = 400 MPa.[3].

Se cer să se determine reacţiunile din resort, deformaţiile celor două porţiuni precum

şi tensiunea maximă.

Fig. 8.23

Rezolvare: Săgeţile în cele două porţiuni trebuie să fie egale în modul, deci 21

ff ,

unde: 4

1

3

1

1

64

dG

nRPf iar ;

644

2

3

2

2dG

nRPf rezultă:

22

11

2

1 1nP

nP

f

f iar .2

2

1

22

1P

n

PnP

Scriind ecuaţia de echilibru static, avem: P1 + P2 = P , rezultă: 3P2 = P sau:

,N12003

3600

32

P

P iar P1 = 2400 N . .mm35,42161085,0

3802400646445

3

4

1

3

1

21

dG

nRPff

Resortul este solicitat la torsiune şi forfecare, deci:

,3

116

3

43max

R

d

d

RP

A

T

W

M

p

t

ft

sau .MPa65,254803

161

16

802400163max a

- 166 -

Rezultă că resortul poate fi încărcat cu forţa P = 3600 N deoarece amax

.

Aplicaţia 8.6 Un arbore de oţel de secţiune circulară, rezemat în două lagăre A şi B,

este antrenat într-o mişcare de rotaţie prin intermediul roţii 1, a cărei curea de transmisie are

ramurile orizontale şi pune în mişcare o maşină unealtă prin intermediul roţii 2, a cărei curea

are ramurile verticale (fig. 8.24).

Dacă se consideră diametrele celor două roţi egale D = 1500 mm, S1 = 7 kN, S2 = 2 kN,

S3 = 7 kN, S4 = 2 kN, σa = 80 MPa, se cere să se dimensioneze arborele (în calcule se va

utiliza ipoteza a III-ia de rupere şi nu se ţine cont de greutatea proprie a arborelui).

Fig. 8.24

Rezolvare: Reducând forţele S1 şi S2 (S3 şi S4) la axa arborelui rezultă:

'.0009

mmN00075032

150020007000

2

21

21

1

PNSSP

DSSMM

tt

Diagramele momentelor de torsiune şi încovoiere sunt redate în figura 8.24. Pentru a

observa secţiunea periculoasă trebuie să calculăm:

.Nmm000250200080010003501 2222

ViHizrezi

MMM

Deci secţiunea periculoasă este în punctul A unde Mi = 2,7 kNm iar Mt= 3,75 kNm.

Aplicând teoria a III-a , vom avea:

ati

zp

t

z

i

echivMM

WW

M

W

M 22

2

2

2

2

22 144

deci: ,1

32

22

3

ti

a

zMM

dW

sau: .00075030007002

323

22 a

d

Calculând rezultă pentru diametru o valoare d ≥ 83,8 mm. În continuare, diametrul se

standardizează în ordine crescătoare.

Aplicaţia 8.7 Se cere să se verifice pârghia unui dispozitiv (fig. 8.25), încărcată cu

forţele P1 = 1600 N, P2 = 1400 N şi P3 = 1000 N, ştiind că este de secţiune pătrată cu latura a

= 60 mm, are lungimea bratelor l1 = 400 mm, l2 = 800 mm, l3 = 300 mm, iar σa = 120 MPa.

(În calcule se va folosi ipoteza a III-ia de rupere).

- 167 -

Fig. 8.25

Rezolvare: Se observă că secţiunea periculoasă este cea din încastrare. Eforturile din

încastrare sunt date în tabelul de mai jos:

Tensiunile generate de aceste eforturi sunt:

;MPa44,03600

1600

A

Nt

MPa;58,03600

1400

2

3

2

3max A

Ty

xy

;MPa42,03600

1000

2

3

2

3max A

Tz

xz MPa;48

6

60

1028,173

5max

min

z

z

zW

M

;MPa06,20

6

60

1022,73

5max

min

y

y

yW

M ;MPa35,7

60208,0

103,33

5

2

1

max,

bhk

Mt

t

lk 2

deci , τt,max este acelaşi pe oricare dintre laturi (secţiunea fiind pătrată).

Reprezentarea tensiunilor pe secţiunea periculoasă din încastrare, este redată în figura

8.25 b.

În punctul A: σ = 0,44 + 48 + 20,06 = 68,5 MPa ; τ = 0

.MPa5,684 22

aAechiv

În punctul B: σ = 0,44 + 48 = 48,44 MPa; τ =7,35 + 0,42 = 7,77 MPa;

.MPa87,5077,7444,484 2222

aBechiv

Se observă că punctul cel mai solicitat este colţul A.

Aplicaţia 8.8 Bara cotită de secţiune circulară cu diametrul d = 60 mm şi cota a = 0,5

mm din figura 8.26 este solicitată de forţa distribuită P / 2a. Se cer să se traseze diagramele de

solicitare şi apoi să se determine P capabil folosind atât ipoteza a III -a cât şi ipoteza a V -a,

considerând σa = 150 MPa.

Fig. 8.26 a

- 168 -

Rezolvare: Pentru determinarea secţiunii periculoase s-au trasat diagramele de variaţie

ale eforturilor secţionale (fig. 8.26 b). Făcând un calcul aproximativ, respectiv neglijând

efectul eforturilor N, Ty, Tz şi tinând cont numai de Miz, Miy şi Mtx rezultă că secţiunea cu

eforturile cele mai mari este cea din încastrare.

Conform ipotezei a III-a: PaPaMMMtiechivi

6142,3324

1 22

2

22

,

calculând: ,mm75,205.2132

60

32

3

33

d

Wz

se obţine: N.2,17605006142,3

15075,20521,

max

capa

z

echiviP

W

M

Fig. 8.26 b

Conform ipotezei a V-a: ;612,34

175,03275,0

2

2222

,PaPaMMM

tiechivi

N.27,1761500612,3

15075,20521,

max

capa

z

echiviP

W

M

Competente


problematica determinarii si calcularii diverselor structuri cu diferite forme de sectiuni

supuse solicitarilor compuse de tip σ-σ, τ-τ sau σ-τ.


rezolve tipurile de probleme specifice solicitarilor compuse σ-σ, τ-τ sau σ-τ;

proiecteze structuri de diferite forme care pot prelua diversele solicitari c ompuse.


- 169 -


U8.5.1 Definiti solicitarea compusa.

U8.5.2 Ce este compresiunea excentrica? Cu cine este echivalenta?

U8.5.3 Care sunt proprietatile axei neutre la compresiunea excentrica?

U8.5.4 Definiti samburele central. Cum se defineste conturul samburelui central?

U 8.5.5 Care sunt elementele caracteristice ale unui resort elicoidal cilindric?

U8.5.6 La ce solicitari este supusa spra resortului?

U8.5.7 Care este punctul cel mai solicitat al sectiunii spirei resortului elicoidal

cilindric cu spire stranse?

U8.5.8 Care este expresia constantei elastice a unui resort elicoidal cilindric cu spire

stranse?

U8.5.9 Care sunt etapele de calcul la dimensoinarea arborilor drepti supusi la

incovoiere cu torsiune?


Rezolvati exemple numerice de diverse structuri supuse la diferite solicitari

compuse.

Bibliografie











Să ne reamintim..

Mecanica solidelor deformabile contribuie atat la cunoasterea realitatii fizice

inconjuratoare, dinpunct de vedere teoretic, cat si la determinarea starilor de

solicitare simple sau compuse ce se dezvolta in diferitele elemente de constructii.

Rezistenta materialelor introduce notiuni fundamentale ca eforturi sectionale,

deplasari si deformatii, tensiuni,etc. strict necesare pentru calculul de dimensionare,

verificare sau calculul incarcarii capabile pe care structura o poate prelua.

- 170 -

Rezumat

Calculele de rezistenta a structurilor mecanice sunt bazate pe o serie de cunostinte

privind proprietatile fizico-mecanice ale materialelor, de mecanica teoretica si de

elasticitate.

Elementele de bază ca ecuatiile de echilibru ale sarcinilor date si ale celor din

legaturile structurilor, deformatiile specifice liniare si unghiulare, tensiunile si

eforturile sectionale specifice solicitarilor simple sau compuse sunt prezentate

gradual cu interdependenta acestora.

Pe parcursul lucrarii plecand de la ipotezele simplificatoare, se stabilesc relatii de

calcul care exprima cat mai fidel marimea solicitarilor, gradul de rigiditate si de

stabilitate al organelor de masini si al elementelor de constructii aflate sub actiunea

fortelor.

In rezolvarea problemelor, disciplina Rezistenta materialelor are in vedere doua

criterii fundamentale, respectiv: economia de material,dupa care orice structura

proiectata trebuie realizata cu solutia cea mai economica posibila,in privinta

consumului de material si de manopera; buna functionare,ceea ce se obtine daca

structura proiectata respecta conditiile de rezistenta, rigiditate si stabilitate,

contribuind astfel la asigurarea functionarii ansamblului din care face parte.

Temă de control

Trasarea diagramelor de solicitare pentru niste incarcari propuse pentru bare

drepte, bare curbe si sisteme de bare.

Rezolvarea unor probleme propuse static determinate si static nedeterminate

pentru niste bare solicitate axial cu diverse incarcari.

Rezolvarea unor probleme propuse pentru structuri solicitate la torsiune si

incovoiere.

Rezolvarea unor probleme de solicitari compuse cu aplicabilitate la arborii

drepti si parghile de dispozitive.

- 171 -

- 172 -

- 173 -

- 174 -

- 175 -

- 176 -

- 177 -

- 178 -

- 179 -

- 180 -

Documents

Rezistenta materialelor