Rezonance

Nejprve několik fyzikálních analogií úvodem…

Rezonance je fyzikálním jevem, kdy má systém tendenci kmitat s velkou amplitudou na určité frekvenci, kdy malá budící síla může vyvolat vibrace s velkou amplitudou.

Důvodem je akumulace energie, kdy zdroj postupně dodává další a další energii a tlumení systému je malé; ke vzniku kmitů musí být v systému dva různé druhy energie, např. potenciální a kinetická (kyvadlo, houpačka), nebo elektrická a magnetická – v elektrických obvodech.

Rezonance je podstatou většiny hudebních nástrojů.

Někdy může mít rezonance destruktivní účinky – známé je rozbití sklenice zvukem určité frekvence.

Zásadním pojmem je rezonance v architektuře. Nesprávně navržené stavby se mohou zhroutit. Příkladem může být např. Angerský most, který se zhroutil v roce 1850, kdy ho rozkmitali pochodující francouzští vojáci. Jiným příkladem je zhroucení amerického Tacoma Narrows Bridge (1940), kde byl most rozkmitán větrem vanoucím konstantní rychlostí (!!!) – iniciátorem kmitů byly větrné víry (aeroelastický flutter).

Autentický záběr z filmu „The Tacoma Narrows Bridge Collapse“

V elektrických obvodech se s rezonancí setkáme např. ve filtrech, nebo u kompenzace účiníku (účiník 100%)

© Cze

ch Tec

hnica

l Univ

ersity

in P

rague

Facult

y of E

lectric

al Eng

ineeri

ng

© Č

eské

vyso

ké uč

ení te

chnic

ké v

Praze

Fakult

a elek

trotec

hnick

á

V následujícím budeme studovat sériový RLC obvod, kde R = 10 Ω, L = 1 H, C = 1 µF, pokud nebude uvedeno jinak.

Impedance obvodu je:

Amplituda impedance je:

R

L

C

U1

101

102

103

104

105

101

102

103

104

105

ω [rad s-1]

Z [Ω

]

Amplituda impedance je frekvenčně závislá (stejně, jako fáze), s ostrým minimem na frekvenci 1000 s-1.

Pro toto minimum platí podmínka:

Impedance je na této frekvenci reálná

© Cze

ch Tec

hnica

l Univ

ersity

in P

rague

Facult

y of E

lectric

al Eng

ineeri

ng

© Č

eské

vyso

ké uč

ení te

chnic

ké v

Praze

Fakult

a elek

trotec

hnick

á

Z této podmínky (a nebo derivací impedance podle frekvence) můžeme určit podmínku:

Thomsonův vzorec:

Tento vzorec určuje rezonanční frekvenci sériového RLC obvodu (pozor, není univerzální pro libovolný obvod!)Porovnejme frekvenční závislost amplitudy proudu, a napětí:

101

102

103

104

105

10-5

10-4

10-3

10-2

10-1

ω [rad s-1]

I [A

]

Zeleně je napětí na kapacitoru.Červeně napětí na induktoru.Modře napětí na rezistoru.

Obě osy jsou logaritmické, jednotky na vertikální ose jsou dB, tedy

Je-li U1 = 1 V, pak 40 dB ≈ 100 V.

© Cze

ch Tec

hnica

l Univ

ersity

in P

rague

Facult

y of E

lectric

al Eng

ineeri

ng

© Č

eské

vyso

ké uč

ení te

chnic

ké v

Praze

Fakult

a elek

trotec

hnick

á

Jak je možné, že napětí na kapacitoru a induktoru je větší, nežli napětí zdroje?

Napětí na kapacitoru a na induktoru kmitá v protifázi, takže se vzájemně odečtou – napětí na rezistoru je tak stejné, jako napětí zdroje

Tento typ rezonance se nazývá napěťová rezonanceAmplituda napětí na kapacitoru a induktoru může být mnohonásobně větší, nežli amplituda napětí zdroje

Podmínka napěťové rezonance:Aby obvod rezonoval, musí obsahovat alespoň dva reaktanční prvky – ale ne 2 kapacitory, nebo 2 induktory; k vzájemné výměně energie to musí být L i CFázorové diagramy:

ÛRÎ

ÛL

ÛCÛÛR=ÛÎ

ÛL ÛC

ÛR

Î

ÛL ÛC

Û

© Cze

ch Tec

hnica

l Univ

ersity

in P

rague

Facult

y of E

lectric

al Eng

ineeri

ng

© Č

eské

vyso

ké uč

ení te

chnic

ké v

Praze

Fakult

a elek

trotec

hnick

á

Obvod ale není v ustáleném stavu okamžitě – amplituda roste postupně, doba ustálení je nepřímo úměrnáČím menší je odpor, tím déle trvá ustálení obvodu. Vzpomeňte na první přednášku – pokud ideální induktor připojíme k ideálnímu zdroji napětí, měl by jím (v ustáleném stavu!) protékat nekonečně velký proud. Proud induktorem, podle indukčního zákona, roste lineárně. Proud (a tedy i napětí) nemohou proto dosáhnout své maximální hodnoty (kterou určuje odpor) okamžitě.

Protože je impedance sériového RLC obvodu v rezonanci reálná, rovna odporu R, odpor je prvkem, který omezuje proud, tekoucí obvodem – napětí na kapacitoru a induktoru jsou dány jejich reaktancí ⇒ menší R znamená větší napětí na C a L.

© Cze

ch Tec

hnica

l Univ

ersity

in P

rague

Facult

y of E

lectric

al Eng

ineeri

ng

© Č

eské

vyso

ké uč

ení te

chnic

ké v

Praze

Fakult

a elek

trotec

hnick

á

Ne každý sériový RLC obvod je rezonanční. Kromě přítomnosti reaktančních prvků obou typů je druhou nutnou podmínkou vzniku rezonančních kmitů „dostatečně“ malé tlumení – tedy elektrický odpor.Rezonanční RLC obvod poznáme také tak, že po připojení stejnosměrného zdroje kmitá kvaziperiodickými (exponenciálně tlumenými) kmity – je opět ovlivněno velikostí tlumení – elektrického odporu.

Činitel jakostiMezi nejdůležitější aplikace rezonančních obvodů patří frekvenční filtry. Například v ladících jednotkách rozhlasových přijímačů a TV musí být filtr – pásmová propust, která propustí pouze frekvenci naladěné stanice a ostatní zadrží. Takový filtr musí mít co nejužší a nejstrmější frekvenční charakteristiku, aby dále nepronikaly frekvence ostatních stanic. V případě rezonančního LC filtru tedy co největší napětí UL, UC. Čím vyšší je toto napětí, tím je filtr „kvalitnější“.

Tak je definován činitel jakosti pro napěťovou rezonanci jako:

Protože napětí v rezonanci můžeme vyjádřit:

Můžeme činitel jakosti definovat jedním ze vzorců: Maximální (kritický) odpor, se kterým se obvod ještě chová jako rezonanční:

© Cze

ch Tec

hnica

l Univ

ersity

in P

rague

Facult

y of E

lectric

al Eng

ineeri

ng

© Č

eské

vyso

ké uč

ení te

chnic

ké v

Praze

Fakult

a elek

trotec

hnick

á

Rezonanční křivkaPokud normalizujeme proud, tekoucí obvodem, bude:

Vzhledem k tomu, že frekvence v rovnici může být libovolná, nejenom rezonanční, zavedeme relativní frekvenci

0.1 1 10-40

-20

0

s1 s

2 s

Pokles o 3 dB

© Cze

ch Tec

hnica

l Univ

ersity

in P

rague

Facult

y of E

lectric

al Eng

ineeri

ng

© Č

eské

vyso

ké uč

ení te

chnic

ké v

Praze

Fakult

a elek

trotec

hnick

á

Rezonanční křivka je tím užší (a vyšší), čím je větší činitel jakosti. Matematicky můžeme šířku rezonanční křivky vyjádřit:

Na následujícím obrázku jsou zobrazeny rezonanční křivky pro Q = 10, Q = 50 a Q = 100

0.1 1 10-60

-40

-20

0

s

Q=10

Q=50

Q=100

© Cze

ch Tec

hnica

l Univ

ersity

in P

rague

Facult

y of E

lectric

al Eng

ineeri

ng

© Č

eské

vyso

ké uč

ení te

chnic

ké v

Praze

Fakult

a elek

trotec

hnick

á

Paralelní rezonanční obvod – proudová rezonance

V sériovém RLC obvodu jsme studovali tzv. napěťovou rezonanci.

Proudová rezonance se nejlépe vysvětluje na ideálním (bohužel ale fyzikálně nerealizovatelném) paralelním RLC obvodu, viz obrázek:

Napětí na všech obvodových prvcích je stejné; proudy, tekoucí jednotlivými prvku se ale mohou lišit.

Pokud jsou v obvodu přítomny reaktanční prvky obou druhů (elektrické i magnetické pole – C i L), mohou si opět vzájemně vyměňovat energii –poroste elektrický proud, který jimi teče (a akumulovaná energie).

Vztah mezi jednotlivými proudy popisují fázorové diagramy:

ÎR Û

ÎL

ÎCÎÎR=Î Û

ÎL ÎC

ÎR Û

ÎL ÎC

Î

Platí tedy: , oba proudy jsou ale vzájemně posunuty o 180º, takže se vzájemně odečtou.Jelikož:

…a rezonanční frekvence ideálního paralelního RLC obvodu bude:

I 1

© Cze

ch Tec

hnica

l Univ

ersity

in P

rague

Facult

y of E

lectric

al Eng

ineeri

ng

© Č

eské

vyso

ké uč

ení te

chnic

ké v

Praze

Fakult

a elek

trotec

hnick

á

V rezonanci tedy platí pro admitanci:

Činitel jakosti je v tomto případě definován poměrem proudů:

K proudové rezonanci dochází v obvodu, který je napájený z proudového zdrojeNa rozdíl od napěťové rezonance, činitel jakosti je tím vyšší, čím větší je odpor rezistoru

Při napájení ze zdroje napětí k žádnému efektu akumulace energie nedochází (zdroj napětí to nedovolí):

Napájení ze zdroje napětí Napájení ze zdroje proudu

© Cze

ch Tec

hnica

l Univ

ersity

in P

rague

Facult

y of E

lectric

al Eng

ineeri

ng

© Č

eské

vyso

ké uč

ení te

chnic

ké v

Praze

Fakult

a elek

trotec

hnick

á

Ve skutečnosti je ale takový ideální obvod nerealizovatelný. Skutečný paralelní rezonanční obvod je na obrázku:

Fázový posun mezi proudy, které tečou induktorem a kapacitorem je menší, nežli 180º.

Admitance (a tedy impedance) je reálná (podmínka rezonance)

Rezonanční frekvence již není určena Thomsonovým vztahem:

Odpor rezistoru by na rozdíl od ideálního paralelního RLC rezonančního obvodu měl být co možná nejmenší

Thomsonův vztah je pouze specielní případ, u složitějších obvodů je potřeba rezonanční frekvence odvodit z podmínky rezonance

Obvod, který má více reaktančních prvků může mít více různých rezonančních frekvencí

Definice činitele jakosti jako poměru napětí nebo proudů u složitějších obvodů selhává (již u reálného paralelního RLC obvodu nejsou proudy, tekoucí kapacitorem a induktorem stejné), univerzální je energetická definice:

© Cze

ch Tec

hnica

l Univ

ersity

in P

rague

Facult

y of E

lectric

al Eng

ineeri

ng

© Č

eské

vyso

ké uč

ení te

chnic

ké v

Praze

Fakult

a elek

trotec

hnick

á