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Riassunto
Attività cerebrale = correnti neurali localizzate
La corrente neurale produce un potenziale elettrico V secondo
e quindi delle correnti di volume (in rosso)
pJ
)())( )(( rJrVr p
La EEG misura V sulla superficie della testa
Correnti neurali e correnti di volume producono campo magnetico secondo
'|)'(|
)'()]'()'()'([4)(
3
0 rdrr
rrrVrrJrB p
La MEG misura B all’esterno della testa
www.fisica.unige.it/~sorrentino/teaching
)())( )(( rJrVr p
'|)'(|
)'()]'()'()'([4)(
3
0 rdrr
rrrVrrJrB p
Problema diretto: date e calcolare ePer la linearità, è sufficiente saper calcolare i campi di una corrente concentrata in un punto (dipolo di corrente)
RiassuntopJ
BV
In generale, il problema diretto EEG è contenuto nel problema diretto MEG
2. Calcolo il potenziale elettrico risolvendocon le opportune condizioni al contorno
1. Ottengo (da immagini MRI) o assumo di avere informazioni sulla conducibilità nel volume cerebrale
3. Calcolo il campo magnetico (solo MEG) da
NS
NN
S
S
fff
fff
fff
...
......
...
21
222
21
112
11
N sensori, S sorgenti
SJ
J
J
J
...
3
2
1
=
NB
B
B
...2
1
Set di basi ortonormali
BJF V,JF BV
Costruzione del problema discreto
Calcoliamo il prob diretto (in qlche modo)
0
...
0
0
1
Nf
f
f
1
21
11
...
0
...
1
0
1
NN ff
ff
ff
31
23
21
13
11
...F trasforma correnti in campi
NS
NN
S
S
fff
fff
fff
...
......
...
21
222
21
112
11
=
2
23
21
21
1
13
12
11
......tS
t
t
t
tS
t
t
t
J
J
J
J
J
J
J
J
2
22
21
1
12
11
......tN
t
t
tN
t
t
B
B
B
B
B
B
1
13
12
11
...tS
t
t
t
J
J
J
J
1
12
11
...tN
t
t
B
B
B
=
Il problema è dinamico: abbiamo una sequenza di correnti e di misure. Come si modifica?
La matrice F rimane sempre la stessa (naturalmente).
Risolvere il problema inverso vuol dire invertire F.Ma F è chiaramente non invertibile...
B-1FJ
Problema inverso
Inverse problems
X: sorgente, incognita
Y: quantità misurata
f(x): funzione nota, “problema diretto”, modello fisico
Matematica “vera”: spazi di Hilbert e operatori (compatti, lineari,…)
Modello semplicistico:
Patologie (mal posizione)
non-unicità
non-continuità
non-esistenza
Regolarizzazione
Soluzione con norma minima (informazione a
priori)
Problema di minimo associato2||)(||min xfy
x
Xx
x ||||min
Regolarizzazione: bilanciamento dei due
termini
Xx
xxfy ||||||)(||min 2
Il problema lineare 1 – Tichonov
FJB
)||||||(||min 22
LJJFJB
Sorgente simulata
BFIFFJ *1* )(
Funzionale di Tichonov, soluzione data da
Soluzione “inservibile”...
Inserendo una soglia otteniamo qualcosa di meglio, ma non troppo...
)||||||min(|| 12
LJFJB
L’arte dei problemi inversi... L’informazione a priori
)||||||min(|| 22
LJFJB
Sorgente simulata
La scelta della norma da minimizzare è fondamentale
L1 produce risultati più sparsi (tanti zeri)
Purtroppo produce risultati più sparsi anche quando la vera sorgente è più distribuita...
Possibilità di usare norme Lp, 1<p<2
In generale, stiamo ancora scontrandoci con la mal posizione del problema...
Modelli di Sorgente (M/EEG)La corrente neurale è una distribuzione continua
Le corrente neurale è una somma di POCHI dipoli
Lineare
Generale
Automatico
Ricostruzione molto distribuitaDifficile interpretazione
Ricostruzione puntiformeInterpretazione semplice
Non-lineare
Approssimato
Manuale
dVrr
rrrJ
rr
rrrJrB v
i i
ii
p
33 |)'(|
)'()'(
||
)()()(
Linearità/non-linearità del problema
i i
ii
p
rr
rrrJrB
3||
)()()(
Ignoriamo le correnti di
volume (non cambia la struttura delle equazioni)
Se le posizioni sono fissate a priori, le incognite sono solo J p(ri) Problema lineare (la misura dipende linearmente dalle incognite)
Se le posizioni non sono date, le incognite sono J p(ri) E le stesse ri Problema non-lineare(la misura dipende non-linearmente da una parte delle incognite)Problemi collegati: • presenza di minimi locali• QUANTE sorgenti utilizzare?
Analizzare dati EEG/MEG con questa approssimazione è piuttosto complesso...
Using the Equivalent Current Dipole
Guardare la misura
Seleziono i sensori interessanti
Avvio fit non-lineare solo su quei sensori
Controllo che la posizione del dipolo ottenuto sia ragionevole
Ripeto la procedura fino a che ho trovato tutte le sorgenti (che MI sembra ci siano)
Il problema non-lineare 1 – Ottimizzazione
In questo spazio si cerca il minimo del funzionale
Ci sono molti algoritmi che “esplorano” lo spazio degli stati per cercare il minimo del funzionale:
“Gradient Descent”
“Conjugate Gradient”
“Levenberg-Marquardt”
“RAP-MUSIC”
Sia non-linearità che rumore producono minimi locali che possono impedire la convergenza
i i
ii
p
rr
rrrJKrB
3||
)()()(
||||
)()(||
3
i i
ii
pmisurato rr
rrrJKB
Supponiamo ci siano S sorgenti. Lo spazio dei parametri è lo spazio di coordinate
)(,),...,(, 11 Sp
Sp rJrrJr
Il problema non-lineare 2 – Approccio Bayesiano
)(
)()|()|(
b
jjbbj prior
post
NON cerchiamo LA soluzione ottimale.
Consideriamo tutte le variabili in gioco come Variabili Casuali
La soluzione del problema è la densità di probabilità per l’incognita, condizionata sulla misura
Teorema di Bayes
Informazione a priori
Funzione di verosimiglianza
Densità “a posteriori”, soluzione del problema
Come dire... Studiamo l’intero funzionale e non i minimi...
Approccio Bayesiano – densità a priori
Contiene tutte le informazioni che abbiamo sulla soluzione PRIMA di ricevere la misura. )(
)()|()|(
b
jjbbj prior
post
Esempio: stimoli visivi regione occipitale più probabile densità a priori più grande nella regione occipitale
Non abbiamo nessuna informazione a priori? Usiamo delle densità non-informative, ad esempio uniforme (se in un volume finito)
Approccio Bayesiano – funzione di verosimiglianza
)(
)()|()|(
b
jjbbj prior
post
Probabilità di misurare b quando la corrente è j
Ma non è “deterministico”????
i i
ii
p
rr
rrrJKrB
3||
)()()(
Sì ma c’è sempre il rumore che è statistico... njbbmisurato )(
La funzione di verosimiglianza “contiene” il problema diretto + la statistica del rumore.
rumore
)())(( njbbmisurato
Approccio Bayesiano – densità a posteriori
)(
)()|()|(
b
jjbbj prior
post
La soluzione del problema inverso:combina informazione a priori e informazione del dato
Difficile da visualizzare: per una singola corrente puntiforme, è una funzione da R^6 in R^+...
Si possono calcolare delle stime, le più comuni:Il Massimo a Posteriori: il punto di massimo della densità
Il Valor Medio Condizionato: l’integrale
djbjjj post )|(ˆ
))|(max(argˆ bjj post
Approccio Bayesiano
Distribuzione rumore
Likelihood function
(funzione di verosimiglianza
)
Informazione a priori
Densità a posteriori
STIMA
)()|()|( 11 xxyyx priorpost
Approccio Bayesiano dinamico
)(
)|()|()|( 1:1
:1t
ttpriorttttpost b
bjjbbj
tttpostttttprior djbjjjbj )|()|()|( :11:11
In MEG/EEG abbiamo una sequenza di misure... Serve una densità a priori ad ogni istante...
Inseriamo una seconda equazione
Modello probabilistico per l’evoluzione della corrente...
)( 1jpr )|( 12 bjpr )|( 1:1 ttpr bj
)|( 11 bjpost )|( 2:12 bjpost )|( :1 ttpost bj
…
…
Monte Carlo sampling
Densità a priori
N
i
iprior xx
Nx
1111 )(
1)(
Likelihood function
Densità a posteriori
)()|()|( 111111ii
post xxxyyx
111122 )|()|()( dxyxxxpx postpr
)|( 11 xy
Numericamente, per problemi non-lineari, si ricorre a metodi Monte Carlo (si provano tantissime possibili soluzioni, a ciascuna si assegna un peso in base a quanto bene spiega il dato misurato… Teorema del Limite Centrale, Legge dei Grandi Numeri…)
MEG bidimensionale
2D con 2 sorgenti
La risoluzione spaziale Quanto possiamo essere precisi nel localizzare le correnti?
Dipende da tantissime cose!!!
Cosa influisce sulla precisione?
- Lo strumento (MEG/EEG, ma anche MEG diverse)
- Il metodo di inversione
- Il rapporto segnale/rumore, stabilito da:
- quantità di rumore
- intensità della sorgente
- profondità della sorgente (distanza dai sensori)
- orientazione della sorgente
Nei casi buoni (sorgente dipolare, metodo dipolare, buon rapporto segnale/rumore) si sbaglia al massimo di qualche millimetro
mappature su pezzi di corteccia
La coregistrazione
E’ un problema “tecnico” che infastidisce: cosa abbiamo trovato? La localizzazione della corrente rispetto ai sensori!
Immagine anatomica da Risonanza Magnetica
La coregistrazione - MEG
La coregistrazione passa attraverso la definizione di un sistema di coordinate “della testa”, indipendente dallo strumento: tre punti di facile individuazione determinano i tre assi coordinati.
I punti chiave vengono rilevati in MEG per mezzo di appositi “coils”, dove viene fatta passare corrente
Gli stessi punti chiave sono facilmente individuabili in un’immagine di Risonanza Magnetica… il resto son conti
Caso EEG analogo
Applicazioni
•Identificazione di regioni sane prima di un intervento
•Localizzazione degli spikes epilettici
•Identificazione dell’emisfero dominante per il linguaggio
•Diagnosi quantitativa di degradazione funzionale
•Diagnosi di plasticità
•…
•Localizzazione degli spikes epilettici
•Monitoraggio per anestesie
•Test per morte cerebrale
•…
•…
•…
EEG MEG
Neuroscienze di base: studio delle funzioni evolute, dell’interazione tra regioni cerebrali, della temporizzazione delle attivazioni…
Ramachandran et al. (1993)
Arti fantasma e MEG
Neuroscienze
EEG vs MEGChi vince?
MEG più sensibile all’orientazione delle sorgenti
EEG più sensibile alla conducibilità
MEG più costosa
MEG richiede meno tempo di preparazione ma soggetto fermo
EEG permette di misurare in condizioni ambientali più generali
Trends
Utilizzo di vincoli corticali per ridurre la malposizione
Integrazione MEG-EEG (sono complementari?)
Integrazione MEG-fMRI
Integrazione integrazione integrazione
Introduzione di informazione a priori di carattere anatomicoVincolo di volumeVincolo di superficieVincolo di superficie, con orientazione normale
Introduzione di vincoli
TMSSapevate che si può fare il “contrario”?
Transcranial Magnetic Stimulation
(sviluppata negli anni 80 da Barker)
www.fisica.unige.it/~sorrentino/teaching
