Ricerca Operativa (P.1) [modalità compatibilità] Operativa (P.1... · Ricerca Operativa 3 Definizione La Ricerca Operativa (RO) si configura come un approccio scientifico in grado

1Ricerca Operativa

Prima Parte

Introduzione

Problemi Decisionali (Formulazioni)

Richiami di Algebra Lineare

Programmazione Lineare

RisoluzioneGrafica

Forma Standard

Soluzioni di Base e Teorema

Fondamentale

Forma Canonica

Metodo del Simplesso

Regola di Bland

Metodo delle Due Fasi

2Ricerca Operativa

Testi consigliati

S. Martello, M.G. Speranza , Ricerca Operativa per lEconomia e lImpresa, Ed. Esculapio, 2012.

M. Caramia, S. Giordani, F. Guerriero, R. Musmanno, D. Pacciarelli, Ricerca Operativa, ISEDI, 2014.

F.S. Hillier, G.J. Lieberman, Introduction to Operations Research, 10/ed, McGraw-Hill, 2014.

H.A. Taha, Operations Research: An Introduction, 9/ed, Pearson Prentice Hall, 2010.

Introduzione




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Regola di Bland


3Ricerca Operativa

Definizione

La Ricerca Operativa (RO) si configura come un approccio scientifico in grado di orientare le decisioni di qualunque soggetto, chiamato a risolvere un problema di scelta, verso la linea pi razionale e conveniente.

Problema di riferimento: occorre svolgere un certo numero di attivit e si dispone di una quantit limitata di risorse, oppure si devono rispettare dei vincoli nelle assegnazioni delle risorse disponibili alle singole attivit. Le risorse possedute (siano esse scarse o meno) vanno distribuite tra le varie attivit in modo da ottimizzare lefficienza complessiva.

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4Ricerca Operativa

Origine

Durante la seconda guerra mondiale i Servizi Militari Britannici chiesero a ingegneri e matematici di applicare un criterio scientifico alla soluzione di problemi militari (posizionamento di radar e collocazione di mine marine per ostacolare lavanzata delle navi nemiche).

Alla fine della guerra, le tecniche di RO sperimentate con successo in ambito militare vennero trasferite in contesti civili per supportare le decisioni nella pianificazione, nella gestione e nel controllo di sistemi complessi.

Introduzione




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5Ricerca Operativa

Applicazioni

Pianificazione e controllo della produzione;Gestione delle scorte;Organizzazione delle attivit logistiche e di trasporto;Definizione dei turni del personale nelle grandi organizzazioni (es. ospedali, aeroporti);Gestione delle risorse idriche e protezione dellambiente;Gestione dei sistemi di energia elettrica;Pianificazione a medio e lungo periodo di attivit finanziarie (da parte di banche); Organizzazione dei servizi pubblici;

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6Ricerca Operativa

MetodologiaUno studio di RO si articola in 5 fasi fondamentali

ANALISI DEL PROBLEMA

COSTRUZIONE DEL MODELLO

ANALISI DEL MODELLO

DEFINIZIONE DI UN ALGORITMO

(SOLUZIONE NUMERICA)

VALIDAZIONE DEL MODELLO

Introduzione




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7Ricerca Operativa

Metodologia

1. La prima fase consiste nellindividuazione degli obiettivi che si vogliono perseguire e dei fattori che possono influenzare il raggiungimento degli obiettivi prefissati. Lanalisi del problema da risolvere un passo estremamente delicato che quasi sempre coinvolge il raggiungimento di un equilibrio fra interessi contrastanti. Ad esempio, nella pianificazione della produzione, una riduzione dei costi totali (costi di produzione + costi di inventario) si ottiene riducendo le scorte in magazzino. Tuttavia, la riduzione delle scorte pu nuocere alle vendite in quanto impedisce pronte consegne e non consente di far fronte a brusche variazioni della domanda.

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8Ricerca Operativa

Metodologia

2. Un modello (di Programmazione Matematica) pu essere visto come uno schema rappresentativo della realt in esame, volto a semplificare la stessa realt e consentire luso delle tecniche proprie della RO. Nella fase di costruzione del modello, il problema viene formulato mediante lutilizzo di variabili decisionali, funzione obiettivo, funzioni di vincolo. Le variabili decisionali quantificano le grandezze su cui il decisore pu direttamente intervenire (incognite del problema). La funzione obiettivo esprime una misura dellefficacia delle decisioni prese e deve essere massimizzata (rispettivamente minimizzata) se rappresenta un profitto (rispettivamente un costo).

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9Ricerca Operativa

Metodologia

Le funzioni di vincolo esprimono i legami fra le variabili decisionali e individuano limitazioni sul valore che esse possono assumere (limitazioni derivanti da considerazioni di carattere fisico, economico, ecc.). In sintesi, occorre esprimere, mediante relazioni matematiche, i legami di interdipendenza esistenti fra le grandezze in gioco.

3. Nella terza fase si prevede la deduzione di alcune propriet (in riferimento a determinate classi di problemi): lesistenza e lunicit della soluzione ottima, la condizione di ottimalit (caratterizzazione analitica della soluzione ottima), ecc.

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10Ricerca Operativa

Metodologia

4. Nella quarta fase, vengono definiti opportuni algoritmi di risoluzione. Un algoritmo una sequenza finita di operazioni elementari (aritmetiche, di confronto, ecc.) tale da fornire la soluzione corretta a ogni istanza del problema in esame (per istanza si intende ogni specifico caso del problema). La soluzione numerica ottenuta tramite lutilizzo di questi algoritmi deve essere poi interpretata dal punto di vista applicativo in modo da evitare che abbia scarso rilievo pratico.

5. Infine si verifica se il modello costruito rappresenta accuratamente la realt. In caso contrario, si esegue una fase di revisione.

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11Ricerca Operativa

Metodologia

In particolare, occorre verificare se sono stati commessi degli errori nella definizione degli obiettivi, nella scelta dei parametri, nella definizione delle relazioni di interdipendenza fra le variabili decisionali. Se il modello costruito rappresenta una fedele riproduzione del sistema reale, occorre sviluppare strumenti software di corredo necessari per il suo utilizzo nella pratica (fase di ingegnerizzazione).

una soluzione rimane valida fino a quando rimane valido il modello

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12Ricerca Operativa

=

Problema di ottimizzazione

Min (o Max) f(x1,x2,,xn)s.v.

gi(x1,x2,,xn) bi, i=1,,m

x1,x2,,xn: variabili decisionali (incognite del problema);f(): funzione obiettivo;gi(), i=1,,m: funzioni di vincolo.

Modello di Programmazione Matematica

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13Ricerca Operativa


Per illustrare gli aspetti fondamentali relativi ai problemi di ottimizzazione si consideri un problema monodimensionale nella forma

Min f(x)s.v.axb

x* x'a b x

f(x)

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14Ricerca Operativa


Una soluzione x* tale che f(x*)f(x) per ogni x[a,b] detta minimo globale della funzione f() nellintervallo chiuso [a,b].

Una soluzione x' tale che f(x')f(x) per ogni xI(x')[a,b] detta minimo locale della funzione f() in [a,b] (dove I(x') indica un intorno di x').

La difficolt a risolvere il problema, ossia a individuare il minimo globale, dipende dalle propriet della funzione f().

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15Ricerca Operativa


Se la funzione obiettivo lineare, la soluzione del problema estremamente semplice: sufficiente confrontare i valori di f(a) e f(b) e scegliere il minore.

a b=x* x

f(x)

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16Ricerca Operativa


Caso generale (pi dimensioni)

Min (o Max) f(x1,x2,,xn)s.v.gi(x1,x2,,xn) bi, i=1,,m

f(): linearegi(), i=1,,m: lineari

Modello di Programmazione Lineare

=

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17Ricerca Operativa

=

Problema di Programmazione Lineare

Min (o Max) c1x1+c2x2++cnxns.v.ai1x1+ai2x2++ainxn bi, i=1,,m

con cj e aij (i=1,,m; j=1,,n) costanti note.

In particolare:

se x1,x2,,xn possono assumere valori reali, si parla di problemi di Programmazione Lineare (PL);

se x1,x2,,xn possono assumere solo valori interi, si parla di problemi di Programmazione Lineare Intera (PLI).

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18Ricerca Operativa

Costruzione del modello

Formulazione di problemi di PL e PLI (esempi):problema di produzione;problema di miscelazione;problema di schedulazione;problema di trasporto;problema di investimento finanziario;problema di inventario;problema di assegnamento.

Passi fondamentali:individuazione delle variabili decisionali;identificazione dei vincoli e della funzione obiettivo e loro rappresentazione in termini di variabili decisionali.

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19Ricerca Operativa

Problema di produzione

Una industria automobilistica utilizza due differenti linee di montaggio (A e B) per l'assemblaggio di veicoli industriali e veicoli agricoli. Il settore marketing ha previsto una forte richiesta dei due tipi di veicoli per il mese successivo, per cui possibile vendere un qualsiasi quantitativo che l'industria in grado di assemblare. Nello stabilire il piano di produzione per il mese successivo gli elementi da considerare sono:

a) dalla vendita dei veicoli l'industria in grado di realizzare un profitto unitario pari a 6.000 per i veicoli industriali e a 2.000 per i veicoli agricoli;

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20Ricerca Operativa


b) nel mese successivo, per l'assemblaggio dei due tipi di veicoli, la linea A potr essere impegnata per un totale di 180 ore complessive, la linea B per 135 ore;

c) ciascun veicolo industriale richiede 20 ore per l'assemblaggio sulla linea A e 10 sulla linea B, mentre per un veicolo agricolo sono richieste 12 ore sulla linea A e 15 sulla linea B;

d) l'industria utilizza un ulteriore impianto per il controllo di qualit, specificatamente per i veicoli industriali e agricoli assemblati. A seguito di accordi sindacali l'impianto deve rimanere attivo per un numero di ore pari almeno al 25% della capacit a regime, calcolata in 100 ore mensili;

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21Ricerca Operativa

Problema di produzionee) sono richieste 20 ore per testare un veicolo industriale

e 10 ore per un veicolo agricolo; f) il settore gestione del personale ha individuato

che, per garantire una distribuzione ottimale del personale lungo le linee di montaggio, il numero di veicoli agricoli assemblati deve essere pari almeno alla met del numero di veicoli industriali assemblati;

g) il responsabile della distribuzione ha segnalato che la pi grande concessionaria di zona ha richiesto per il mese successivo almeno 4 veicoli, senza specificare il numero per ogni tipo.

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22Ricerca Operativa


Sulla base di tali considerazioni, il problema pianificare la produzione di veicoli industriali e agricoli per il mese successivo, ovvero, stabilire il mix ottimale di prodotti con l'obiettivo di massimizzare il profitto.

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23Ricerca Operativa

Problema di produzione: Formulazione

Si indichi con:x1= numero di veicoli industriali da assemblare nel mese successivo;x2= numero di veicoli agricoli da assemblare nel mese successivo.

Vincoli per le linee di assemblaggio. Il numero di ore per cui la linea A sar utilizzata per l'assemblaggio dei veicoli sar pari a 20x1+12x2. Tale numero non potr eccedere il monte orario disponibile sulla linea. Ci pu essere espresso formalmente dal vincolo 20x1+12x2180. Analogamente si ricava il vincolo per la linea B: 10x1+15x2135.

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24Ricerca Operativa


Vincoli per l'impianto per il controllo di qualit. Il 25% di 100 ore pari a 25. Pertanto, l'impianto per il controllo di qualit dei veicoli industriali e agricoli dovr essere attivato per almeno 25 ore e per non pi di 100 durante il mese successivo. Il numero di ore richieste per testare complessivamente i veicoli sar pari a 20x1+10x2. Si avranno allora i vincoli: 20x1+10x225; 20x1+10x2100.

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25Ricerca Operativa


Vincolo per il settore gestione del personale. Il numero di veicoli agricoli assemblati deve essere pari almeno alla met del numero di veicoli industriali assemblati. Formalmente ci significa che x12x20.

Vincolo per la distribuzione. Complessivamente necessario produrre almeno 4 veicoli nel mese successivo. Quindi dovr risultare x1+x24.

Dal momento che non avrebbe senso se le variabili x1 e x2 assumessero valori negativi (o frazionari), necessario considerare vincoli addizionali di non negativit (e interezza) delle variabili.

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26Ricerca Operativa


Funzione obiettivo. Il profitto totale z (in migliaia di euro) risultante dalla vendita dei veicoli sar pari a z=6x1+2x2.

E' evidente che dovranno essere presi in considerazione soltanto i piani di produzione ammissibili, cio i valori di x1 e x2 tali da soddisfare contemporaneamente i vincoli di produzione.

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27Ricerca Operativa


Il problema da risolvere pertanto il seguente:

Max zz = 6x1+ 2x2

s.v. 20 x1+12x2 18010 x1+15x2 13520 x1+10x2 2520 x1+10x2 100

x1 2x2 0x1+ x2 4x1, x2 0

(x1, x2 int.)

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28Ricerca Operativa

Problema di produzione: FormulazioneAmmissibilit e ottimalit giocano un ruolo fondamentale per i problemi di ottimizzazione. Ad esempio, la soluzione x1=3 e x2=2, con z=22, una soluzione ammissibile, dal momento che soddisfa tutti i vincoli del problema, ma a essa non corrisponde il profitto ottimo. Viceversa, la soluzione x1=5 e x2=3, pur realizzando un profitto migliore del caso precedente (z=36), non pu essere presa in considerazione giacch il vincolo sul massimo numero di ore disponibili per l'impianto per il controllo di qualit verrebbe violato. La soluzione ottima, a cui corrisponde un valore di profitto pari a z*=28, si raggiunge quando x1*=4 e x2*= 2. Il modo in cui si determina questa soluzione verr spiegato in seguito.

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29Ricerca Operativa

Problema di miscelazione

Una industria alimentare leader nella produzione di cibo per gatti ha deciso di lanciare sul mercato un nuovo prodotto in confezioni da gr. 500. Il controllo di qualit sul prodotto ha imposto che in ogni confezione devono essere contenuti almeno gr. 120 di proteine, gr. 115 di carboidrati e gr. 210 di grassi. Per questo nuovo prodotto l'industria intende utilizzare tre composti di base che verrebbero opportunamente miscelati.

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30Ricerca Operativa


Prezzo e contenuto di gr. 100 di composto sono riassunti nella seguente tabella:

Contenuto (gr.) e prezzo () di gr. 100 di composto(P = proteine; C = carboidrati; G = grassi; A = altro)

L'obiettivo dell'industria determinare il mix di composti in modo tale da soddisfare i vincoli sulla qualit del prodotto e minimizzare i costi.

Composto P C G A Prezzo

1 14 25 57 4 0,80

2 15 37 40 8 0,55

3 40 20 25 15 0,40

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31Ricerca Operativa

Problema di miscelazione: Formulazione

Si indichi con:xi= percentuale di composto i contenuto in gr. 100 di prodotto (i=1,2,3).Nota che la percentuale intesa come un numero che varia fra 0 e 1 (0,4 40%).

Il quantitativo di proteine contenuto in gr. 100 di prodotto ottenuto miscelando i tre composti sar dato da: 14x1+15x2+40x3. Il controllo di qualit ha imposto che in gr. 500 di prodotto devono essere contenuti almeno gr. 120 di proteine. Ci significa formalmente che14x1+15x2+40x324 (poich 120/5=24).

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32Ricerca Operativa


Analogamente si ricavano i vincoli sul quantitativo di carboidrati e grassi:25x1+37x2+20x32357x1+40x2+25x342.

necessario, inoltre, considerare che per il nuovo prodotto possono essere utilizzati soltanto i tre composti. Ci impone che:x1+x2+x3=1.

Infine, si impone il vincolo di non negativit delle variabili.

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33Ricerca Operativa


L'obiettivo minimizzare il costo di produzione che si pu esprimere come la minimizzazione del costo di gr. l00 di prodotto, espresso come z=0,80x1+0,55x2+0,40x3.Riassumendo si avr:

Min zz = 0,80 x1+0,55 x2+0,40 x3

s.v. 14x1+ 15 x2 + 40 x3 2425x1+ 37 x2 + 20 x3 2357x1+ 40 x2 + 25 x3 42

x1+ x2 + x3 = 1x1, x2 , x3 0

Soluzione ottima (spiegazione successiva): x1*=0,451; x2*=0,171; x3*=0,378 (z*=0,606).

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34Ricerca Operativa


Esercizio:Riformulare il modello di miscelazione modificando il significato delle variabili decisionali:xi= numero di etti del composto i contenuti in una confezione da gr. 500 (i=1,2,3).

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35Ricerca Operativa

Problema di schedulazione

Il responsabile della gestione del personale di un'azienda manifatturiera ha il compito di organizzare i turni di lavoro per una catena di montaggio a ciclo continuo. Sono previste sei fasce orarie per ognuna delle quali richiesto un numero minimo di unit lavorative, come riassunto dalla seguente tabella:

Fascia oraria Minimo numero di lavoratori

00.00 - 04.00 604.00 - 08.00 9

08.00 - 12.00 1412.00 - 16.00 916.00 - 20.00 1120.00 - 24.00 8

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36Ricerca Operativa

Problema di schedulazione

A seguito di accordi sindacali sono stati individuati sei turni di lavoro ciascuno dei quali di 8 ore lavorative:

Si vuole determinare il numero di unit lavorative da assegnare a ogni turno in modo tale da impiegare la minor forza lavoro complessiva.

Turno Orario di lavoro per turno

1 20.00 - 04.00 2 00.00 - 08.00

3 04.00 - 12.00 4 08.00 - 16.00 5 12.00 20.00 6 16.00 24.00

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37Ricerca Operativa

Problema di schedulazione: FormulazioneSi indichi con:xi = unit di personale da assegnare al turno i-esimo (i=1,..., 6).

evidente che la fascia oraria compresa tra le 00.00 e le 04.00 sar coperta dalle unit lavorative del primo e del secondo turno. Dovendo garantire una disponibilit di personale di almeno 6 unit, si impone il vincolo: x1+x26.Analogamente si ottiene per le altre fasce orarie:x2+x39; x3+x414; x4+x59; x5+x611; x6+x18.

Occorre, infine, imporre il vincolo di non negativit (e interezza) delle variabili decisionali.

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38Ricerca Operativa

Problema di schedulazione: Formulazione

L'obiettivo minimizzare il numero di unit impiegate, cio z =x1+ x2+ x3+ x4+ x5+ x6. Il problema risulta quindi:

Min zz =x1+x2+x3+x4+x5+x6

s.v.x1+x2 6

x2+x3 9x3+x4 14

x4+x5 9x5+x611

x1+ x6 8x1, x2, x3, x4, x5, x6 0(x1, x2, x3, x4, x5, x6 int.)

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39Ricerca Operativa

Problema di schedulazione: Formulazione

La soluzione ottimale prevede: x1*=6, x2*=0, x3*=9, x4*=5, x5*=9, x6*=2,per un numero complessivo di unit lavorative utilizzate pari a: z* = 31 (spiegazione successiva).

Da notare che soltanto per la fascia oraria compresa tra le 12.00 e le 16.00 saranno utilizzate unit di personale in un numero superiore rispetto al minimo richiesto.

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40Ricerca Operativa

Problema di trasporto

Un'azienda possiede due centri di distribuzione e tre punti vendita dislocati sul territorio. Di un prodotto sono disponibili al pi 250 unit presso il primo centro di distribuzione e al pi 400 presso il secondo. Alla direzione centrale risulta una richiesta di rifornimento dai tre punti vendita pari ad almeno 120, 270, 130 unit rispettivamente. Presso i punti vendita ciascuna unit di prodotto viene venduta a 14, 17 e 16. I costi unitari di trasporto (in ), legati alla distanza tra i centri di distribuzione e i punti vendita, sono cos riassumibili:

Costo2 4 1 3 6 5

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41Ricerca Operativa

Problema di trasporto

Presso i punti vendita possibile vendere qualsiasi quantit di prodotto disponibile. Occorre determinare la quantit di prodotto da trasportare dai centri di distribuzione ai punti vendita, con l'obiettivo di massimizzare il profitto.

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42Ricerca Operativa

Problema di trasporto: Formulazione

Si definiscono le seguenti variabili decisionali:xij = unit di prodotto inviate dal centro di distribuzione i (i=1,2) al punto di vendita j (j=1,2,3).

La quantit di prodotto inviata dal primo centro di distribuzione verso i punti vendita sar pertanto pari a x11+ x12+ x13. Tale quantit non pu eccedere la disponibilit complessiva pari a 250 unit.Si avr quindi: x11+ x12+ x13250.

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43Ricerca Operativa


Analogamente, per il secondo centro di distribuzione: x21+ x22+ x23400.

Il primo punto vendita ha richiesto almeno 120 unit di prodotto. La fornitura potr avvenire utilizzando i due centri di distribuzione che invieranno un quantitativo pari a x11+ x21. E' pertanto necessario imporre che: x11+x21120. Similmente per gli altri due punti vendita, si avr:x12+x22 270,x13+x23130.

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44Ricerca Operativa


Per calcolare il profitto complessivo derivante dalla vendita del prodotto necessario considerare che i costi di trasporto dipendono dal centro di distribuzione e dal punto vendita interessato. Se, ad esempio, si considera il primo centro di distribuzione e il primo punto vendita, il profitto unitario, esprimibile come differenza tra ricavo e costo unitario, sar dato da: 142=12.

Pertanto il profitto complessivo da massimizzare sar:z=12x11+13x12+15x13+11x21+11x22+11x23.

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45Ricerca Operativa


Max zz=12x11+13x12+15x13+11x21+11x22+11x23

s.v.x11+ x12+ x13 250

x21+ x22+ x23 400x11+ x21 120

x12+ x22 270x13+ x23 130

x11, x12, x13, x21, x22, x23 0(x11, x12, x13, x21, x22, x23 int.)

Soluzione ottima (spiegazione successiva): x11*=x12*=0; x13*=250; x21*=120; x22*=270; x23*=10 (z*=8150).

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46Ricerca Operativa

Problema di investimento finanziario

Una societ di assicurazione deve formulare un piano di investimento quadriennale sulla base di una liquidit valutabile in 300.000. Essa potr contare, inoltre, sull'utilizzo di liquidit addizionale per precedenti investimenti che si concluderanno al primo, secondo e terzo anno del seguente importo (in migliaia di euro):

Sono stati formulati due possibili progetti di investimento per i quali la societ pu stabilire una quota di partecipazione compresa tra il 25% e il 100%.

Liquidit60 55 32

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47Ricerca Operativa


Se la quota pari al 100%, i piani di investimento si articolano nel modo seguente:

Flussi di denaro(in migliaia di euro). Il segno + indica recupero di capitale, il segno - indica investimento

Se la percentuale di investimento minore del 100%, il flusso di liquidit dovr essere rapportato alla percentuale di partecipazione.

LiquiditIniziale Anno I Anno II Anno III Finale

-140 -60 +150 +30 +65-150 +50 -43 -22 +222

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48Ricerca Operativa


Non consentito ottenere prestiti nel corso del quadriennio ed eventuali eccedenze di liquidit iniziali o alle scadenze annuali possono essere investite in certificati di deposito bancari annuali al tasso di interesse stimato al 9%. Il problema stabilire la quota di partecipazione iniziale per i due progetti di investimento e la liquidit investita annualmente in certificati di deposito in modo tale da massimizzare la liquidit al termine del quadriennio.

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49Ricerca OperativaProblema di investimento finanziario: Formulazione

Si indichi con:x1= percentuale di partecipazione al primo piano di investimento;x2= percentuale di partecipazione al secondo piano di investimento;x3= liquidit da investire inizialmente in certificati di deposito (in migliaia di euro);x4= liquidit da investire in certificati di deposito al termine del primo anno (in migliaia di euro);x5= liquidit da investire in certificati di deposito al termine del secondo anno (in migliaia di euro); x6= liquidit da investire in certificati di deposito al termine del terzo anno (in migliaia di euro).

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Regola di Bland



Nel determinare i vincoli del problema sufficiente considerare che la quantit di denaro da investire annualmente in certificati di deposito dovr essere pari alla liquidit disponibile al momento.

Si avr allora inizialmente: x3=300(140x1+150x2),mentre, al termine degli anni successivi: x4=(60+1,09x3+50x2)60x1 (primo anno)x5=(55+1,09x4+150x1)43x2 (secondo anno)x6=(32+1,09x5+30x1)22x2 (terzo anno).

Introduzione




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Regola di Bland



Inoltre dovr essere 0,25x11 e 0,25 x21, nonch x3, x4, x5, x60.Al termine della scadenza quadriennale la liquidit sar pari a: z=65x1+222x2+1,09x6 che rappresenta, evidentemente, lobiettivo da massimizzare.

La soluzione ottimax1*=1; x2*= 0,25; x3*=122,5; x4*=146,025; x5*=353,4173; x6*=441,7248 (z*=601,9801)si ottiene risolvendo il seguente modello di PL (spiegazione successiva)

Introduzione




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Regola di Bland



Max zz = 65x1+222x2 +1,09x6

s.v.140x1+150x2 +x3 =30060x1 50x21,09x3 +x4 =60

150x1+ 43x2 1,09x4 +x5 =5530x1+ 22x2 1,09x5 +x6 =32

x1 1 x2 1

x1 0,25 x2 0,25

x3, x4, x5, x6 0

Introduzione




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Regola di Bland


53Ricerca Operativa

Problema di inventario

Unazienda specializzata nella lavorazione di lamierati riceve una commessa concernente la produzione di lamiere di zinco pari a 2,502,50 m.La quantit richiesta deve essere fornita periodicamente, improrogabilmente alla fine di ogni mese. Le richieste dt coprono un intervallo temporale di 5 mesi, come mostrato in tabella:

Quantit di lamierati di zinco richiesto per i 5 mesi successivi

Quantit270 290 250 240 310

Introduzione




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54Ricerca Operativa


Per la lavorazione dei lamierati si utilizza un unico impianto a ciclo continuo caratterizzato, per il particolare prodotto, da costi unitari di produzione mensile ct e da una capacit di produzione bt(espressa in massimo numero di unit che si in grado di lavorare mensilmente) cos riassumibile:

Costi unitari (in euro) e capacit mensile di produzione di lamierati di zinco

Le unit di prodotto eventualmente non consegnate verranno immagazzinate.

Costi unitari e capacit mensile25 28 32 21 24

250 220 280 270 260

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Regola di Bland


55Ricerca Operativa


Ci comporta un costo aggiuntivo di inventario, il cui valore unitario ht varia mensilmente nel seguente modo:

Costi unitari mensili di inventario (in euro)

Nel magazzino sono disponibili inizialmente 100 lamiere di zinco della dimensione desiderata. Lobiettivo per l'azienda pianificare la produzione di lamierati di zinco in modo tale da minimizzare i costi di produzione e di inventario.

Costi unitari10 12 8 10 11

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56Ricerca Operativa

Problema di inventario: Formulazione

Il problema rientra nella classe di problemi di inventario di singolo prodotto di tipo deterministico, giacch il livello di domanda da soddisfare nei periodi successivi gi noto con certezza all'inizio del primo periodo. Si indichi con:xt= numero di lamiere di zinco prodotte durante il mese t (t=1,...,5).

Il valore dell'inventario It alla fine di ogni mese sar pertanto dato da: It= It-1+xtdt, t=1,...,5.(inventario alla fine del mese precedente + produzione nel mese corrente quantit fornita allacquirente nel mese corrente).

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57Ricerca Operativa

Problema di inventario: Formulazione

Si avr, inoltre, che I0=100, che rappresenta la disponibilit iniziale di magazzino per la quale, senza perdita di generalit, non si assume alcun costo aggiuntivo.

Il modello risultante riportato di seguito. La soluzione ottima :x1*=240; x2*=220; x3*=270; x4*=270; x5*=260; I1*=70; I2*=0; I3*=20; I4*=50; I5*=0 (z*=34070)(spiegazione successiva).

Introduzione




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58Ricerca Operativa

Problema di inventario: FormulazioneMin zz=25x1+28x2+32x3+21x4+24x5+10I1+12I2+8I3+10I4+11I5s.v.

x1 I1 = 170x1 +x2 I2 = 460x1 +x2 +x3 I3 = 710x1 +x2 +x3 +x4 I4 = 950x1 +x2 +x3 +x4 +x5 I5=1260 x1 250

x2 220 x3 280

x4 270 x5 260

(x1, x2, x3, x4, x5, I1, I2, I3, I4, I5 0, int.)

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59Ricerca Operativa

Problema di assegnamento

In vista delle prossime elezioni, la Regione Calabria deve assegnare 5 localit (L1, L2, L3, L4 e L5) a 4 circoscrizioni elettorali (C1, C2, C3 e C4). In base alle posizioni geografiche delle 5 localit e a fattori di tipo organizzativo, la Regione ha stimato i seguenti costi di assegnamento (in migliaia di euro):

C1 C2 C3 C4L1 7,2 5,0 3,1 8,3L2 4,0 7,1 5,1 6,4L3 8,1 9,1 9,0 7,2L4 8,9 5,3 3,3 4,8L5 9,0 5,5 10,0 5,2

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60Ricerca Operativa

Problema di assegnamento

Ogni localit deve essere assegnata esattamente a una circoscrizione. Inoltre, alla circoscrizione C2 si devono assegnare esattamente due localit.Occorre decidere come assegnare le 5 localit alle 4 circoscrizioni con lobiettivo di minimizzare i costi complessivi.

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61Ricerca Operativa

Problema di assegnamento: Formulazione

Il modello prevede limpiego di particolari variabili decisionali, dette variabili binarie. Le variabili binarie possono assumere solo i valori 0 e 1; esse si presentano nei casi in cui si devono prendere delle decisioni di tipo si/no (associabili ai valori 1/0).

Variabili decisionali:xij {0,1}. In particolare, xij vale1 se la localit Li assegnata alla circoscrizione Cj, 0 altrimenti (i=1,,5; j=1,,4).

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62Ricerca Operativa


Ciascuna localit Li (i=1,,5) deve essere assegnata esattamente a una circoscrizione Cj (j=1,,4). Ci significa che: xi1+ xi2+ xi3+ xi4=1 per ogni i=1,,5.

Inoltre, alla circoscrizione C2 devono essere assegnate esattamente 2 localit. Ne segue che x12+x22+x32+x42+x52=2.

L'obiettivo di minimizzare i costi complessivi di assegnamento espresso come: z=7,2x11+5,0x12+3,1x13+8,3x14+4,0x21+7,1x22+5,1x23+ 6,4x24+8,1x31+9,1x32+9,0x33+7,2x34+8,9x41+5,3x42+3,3x43+4,8x44+9,0x51+5,5x52+10,0x53+5,2x54.

Introduzione




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63Ricerca Operativa


Min zz=7,2x11++5,2x54

s.v.x11+ x12+ x13 + x14 = 1x21+ x22+ x23 + x24 = 1x31+ x32+ x33 + x34 = 1x41+ x42+ x43 + x44 = 1x51+ x52+ x53 + x54 = 1

x12+ x22+ x32 + x42 + x52 = 2x11,, x54 {0,1}

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64Ricerca Operativa


Soluzione ottima (spiegazione successiva): le uniche variabili decisionali diverse da 0 sono x13*=x21*=x32*=x43*=x52*=1 (z*=25). Si osservi che possono esistere pi soluzioni ottime.

Indicando con ij il costo di assegnamento della localit Li alla circoscrizione Cj (i=1,,5; j=1,,4), il problema pu essere riformulato nel seguente modo:

Min z

z=

s.v.

xij{0,1}, i=1,,5, j=1,,4

= =

5

1

4

1i jijij x

=

==4

15,...,1 , 1

jij ix

25

12 =

=iix

Introduzione




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65Ricerca Operativa

Esercizio

Unazienda deve tagliare assi di acciaio di 300 cm, per realizzare profilati di lunghezza variabile (problema di cutting stock). In particolare, lazienda deve produrre almeno 400 unit di lunghezza pari a 120 cm (profilati di tipo A), almeno 600 unit di lunghezza pari a 80 cm (profilati di tipo B), almeno 800 unit di lunghezza pari a 60 cm (profilati di tipo C) e almeno 200 unit di lunghezza pari a 100 cm (profilati di tipo D). Sono stati definiti 5 modelli (o schemi) di taglio:Modello 1: consente di ottenere profilati di tipo A (1 unit) e profilati di tipo C (3 unit);

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66Ricerca Operativa

Esercizio

Modello 2: consente di ottenere profilati di tipo C (5 unit);Modello 3: consente di ottenere profilati di tipo A (1 unit), profilati di tipo B (1 unit) e profilati di tipo D (1 unit);Modello 4: consente di ottenere profilati di tipo D (3 unit);Modello 5: consente di ottenere profilati di tipo B (3 unit) e profilati di tipo C (1 unit).

Stabilire quante volte occorre impiegare ogni modello per soddisfare le richieste e minimizzare il numero complessivo di assi da tagliare.

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67Ricerca Operativa

Algebra lineare (alla base della RO)

Vettore n-dimensionale: n-pla di numeri reali (punto nello spazio Rn) vT=[1 2 n].

Un vettore si dice unitario se ha una sola componente unitaria e le altre nulle; si dice nullo se ha tutte le componenti nulle.

Le principali operazioni sui vettori sono la somma (ola sottrazione) e la moltiplicazione per uno scalare.

La somma di due vettori u e v (uT=[u1 u2 un] e vT=[1 2 n]) il vettore u+v che si ottiene sommando le componenti corrispondenti: (u+v)T=[u1+1 u2+2 un+n].

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68Ricerca Operativa

Vettori La moltiplicazione di un vettore v (vT=[1 2 n])

per uno scalare k il vettore kv ottenutomoltiplicando ogni componente di v per k: (kv)T =[k1 k2 kn].

La sottrazione di due vettori u e v si riconduce alla somma, considerando che v= 1v; pertanto si ha: u v=u+( v).

Altre propriet (u, v e w sono vettori in Rn, k uno scalare e 0n il vettore nullo in Rn):

(u + v) + w = u + (v + w),u + 0n = u, u + ( u) = 0n,u + v = v + u,k(u + v) = ku + kv.

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69Ricerca Operativa

Vettori

Inoltre, ai vettori u e v (uT=[u1 u2 un], vT=[1 2 n])pu essere applicata unaltra operazione, detta prodotto scalare, che esprime lo scalare ottenuto moltiplicando le componenti corrispondenti e sommando i prodotti risultanti: uTv=u11+ u22++ unn.

I vettori u e v si dicono ortogonali se il loro prodotto scalare zero: uTv=0.

Propriet del prodotto scalare: uTv = vTu.

Dati m vettori n-dimensionali v1,v2,,vm e m scalari 1,2,,m, allora il vettore v=1v1+2v2++mvmprende il nome di combinazione lineare dei vettori.

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70Ricerca Operativa

Vettori

Se gli scalari sono non negativi e tali che la loro somma 1, il vettore v=1v1+2v2++mvm , pi specificamente, una combinazione convessa.m vettori v1,v2, ,vm si dicono linearmente indipendenti se 1v1+2v2++mvm=0n solo per 1=2==m=0.Dati due vettori, linsieme di tutte le loro combinazioni convesse detto segmento congiungente. Un insieme V di vettori n-dimensionali si definisce convesso se per ogni coppia di vettori appartenenti allinsieme, il loro segmento congiungente anchesso completamente contenuto nellinsieme.

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71Ricerca Operativa

Vettori

v1,v2V e [0,1]: v1+(1)v2 V. In caso contrario si parla di insieme concavo.

Un vettore v un punto estremo di un insiemeconvesso se non pu essere espresso comecombinazione convessa di altri due vettoridellinsieme stesso.

v1 v2

Insieme concavoInsieme convesso

v1 v2

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72Ricerca Operativa

Matrici

Matrice (dimensione mn): mn numeri reali organizzati per righe e colonne.

Esistono operazioni e propriet analoghe a quelle riportate con riferimento ai vettori. Data una matrice A (mn) e una matrice B (np) il risultato della loro moltiplicazione una matrice C (mp) dove lelemento cij ricavato dal prodotto scalare delli-esima riga di A e della j-esima colonna di B. Es.

A= , B= , C=AB= .

102524111

110305

11151913

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73Ricerca Operativa

Matrici

Una matrice con una sola riga detta vettore riga; una matrice con una sola colonna detta vettore colonna.

Una matrice quadrata A (nn) si dice matrice identit In se ha tutti gli elementi sulla diagonale principale pari a 1 e i restanti pari a 0.

Per le matrici trasposte valgono i seguenti risultati: (AT)T=A, Se A e B hanno le stesse dimensioni (A+B)T=AT+BT.

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74Ricerca Operativa

Matrici

Sia A una matrice quadrata (nn). Se esiste una matrice quadrata B (nn) tale che AB=In e BA=In allora B detta inversa di A ed indicata con A1.Linversa, se esiste, unica.

A ha linversa (cio invertibile) se non singolare (determinante diverso da 0).

Il determinante di una matrice quadrata A (nn) ne specifica le caratteristiche e si indica con |A| o con det(A).

Introduzione




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75Ricerca Operativa

Determinante di una matrice

fissato un qualsiasi j, se lo si calcola rispetto a una qualsiasi colonna (j=1,,n) oppure, in maniera equivalente, da:

fissato un qualsiasi i,

se lo si calcola rispetto a una qualsiasi riga (i=1,,n).

1

21

22221

11211

=

==n

iijij

nnnn

n

n

Aa

aaa

aaaaaa

A

K

MMMM

K

K

=

=n

jijijAaA

1

Introduzione




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76Ricerca Operativa


Aij (i,j=1,2,,n) pu essere definito come segue: fissato lelemento di posto (i,j) si considera la matrice di ordine (n1), ottenuta dalla matrice A togliendo la riga i e la colonna j, e se ne calcola il determinante; moltiplicando tale numero per (1)i+j si ottiene il valore di Aij.

Cos, partendo dalla matrice pi piccola, di ordine(22)

si ha: det(A)=a11a22 a12a21.

=

2221

1211

aaaa

A

Introduzione




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77Ricerca Operativa


Si consideri una matrice 3 3 del tipo

.

In base agli elementi della prima colonna, si ottiene:det(A) = a11A11 + a21A21 + a31A31=

.

evidente che il calcolo del determinante diventa sempre pi articolato e complesso allaumentare delle dimensioni della matrice.

=

a

333231

232221

131211

aaaaaaaa

A

2322

131231

3332

131221

3332

232211 aa

aaa

aaaa

aaaaa

a +=

Introduzione




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78Ricerca Operativa

Determinante di una matricePropriet:Il determinante di A uguale al determinante di AT.Se gli elementi di una riga o di una colonna di una matrice sono tutti nulli, il determinante di questa matrice nullo. Se gli elementi di una riga o di una colonna sono uguali o proporzionali a unaltra riga o colonna, il determinante nullo. Il determinante non cambia se agli elementi di una riga o di una colonna si aggiungono o si tolgono gli elementi di altre righe o colonne moltiplicati per delle costanti arbitrarie.

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79Ricerca Operativa

Rango di una matrice

Si consideri una matrice A (mn). Il rango-riga di A il massimo numero di righe linearmente indipendenti (ogni riga di A interpretabile come un vettore). Il rango-colonna di A il massimo numero di colonne linearmente indipendenti (ogni colonna di A interpretabile come un vettore). Il rango-riga uguale al rango-colonna; quindi il rango di una matrice il massimo numero di righe o colonne linearmente indipendenti.

Rango(A)minimo(m, n).Se Rango(A)=minimo(m, n), A si dice a rango pieno.

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80Ricerca Operativa

Sottomatrici

Si consideri una matrice A (mn). Si pu ottenere una sua sottomatrice scegliendo alcune righe e/o colonne di A.

Si considerino tutte le sottomatrici quadrate, con determinante non nullo, estraibili da A. Si indichi con rlordine della sottomatrice di ordine maggiore con queste caratteristiche. Il rango di A pari a r.

Introduzione




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81Ricerca Operativa

Sottomatrici

Una matrice A pu essere partizionata in sottomatrici. Si consideri, ad esempio:

, dove

, , ,

.

=

=2221

1211

44434241

34333231

24232221

14131211

AAAA

aaaaaaaaaaaaaaaa

A

=

3231

2221

1211

11

aaaaaa

A

=

3433

2423

1413

12

aaaaaa

A [ ] 424121 aaA =

[ ] 444322 aaA =

Introduzione




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82Ricerca Operativa

Problemi di Programmazione Lineare

Nella prima parte del corso verranno studiati dettagliatamente metodi risolutivi per i modelli di Programmazione Lineare (PL). E opportuno ricordare che, date n variabili realix1,x2,,xn, una funzione lineare di tali variabili :RnR pu sempre essere espressa nella forma

(x1,x2,,xn)=s1x1+s2x2++snxn= ,con s1,s2,,sn costanti reali.Quindi, per n=3,

x1+4x23,5x32x1+(ln6)x2+x3

sono funzioni lineari;

=

n

jjj xs

1

Introduzione




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83Ricerca Operativa


mentre (x1)2+4x23,5x3x1+4x2+3,5

3x1+sinx24x3non sono funzioni lineari.

Equazione/disequazione lineare:

(x1,x2,,xn) t,

con t costante reale e funzione lineare.

3xe

=

Introduzione




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84Ricerca Operativa


Un problema di Programmazione Lineare (PL) caratterizzato da:una funzione obiettivo lineare (da minimizzare o massimizzare),un gruppo di vincoli rappresentato esplicitamente mediante un numero finito di equazioni o disequazioni lineari.

Introduzione




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85Ricerca Operativa


Un generico problema di PL potrebbe pertanto avere la forma seguente:

Opts.v.

= bi , i=1,,m1

bi , i= m1+1,,m1+m2

bi, i= m1+m2+1,,m1+m2+m3

dove:

=

n

jjj xc

1

=

n

jjij xa

1

=

n

jjij xa

1

=

n

jjij xa

1

Introduzione




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86Ricerca Operativa


Opt=Min o Opt=Max,xj sono le variabili decisionali (continue) non ci sono i vincoli sullinterezza, n il numero di variabili decisionali, cj sono i coefficienti della funzione obiettivo (indicati come coefficienti di costo nei problemi di minimiz.), aij sono i coefficienti delle var. decisionali nei vincoli (talvolta indicati come coefficienti tecnologici),bi sono i termini noti nei vincoli, m1, m2 e m3 indicano rispettivamente il numero di vincoli di uguaglianza, di disuguaglianza del tipo e di disuguaglianza del tipo .

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87Ricerca Operativa


Si noti che il problema precedente ingloba anche i cosiddetti vincoli di segno sulle variabili decisionali; tali vincoli, infatti, sono semplici disequazioni lineari.

Esempi (assumendo n=3): Vincolo di non negativit (i-esimo): x20ai1x1+ai2x2+ai3x30, con ai1=ai3=0 e ai2=1.Vincolo di non positivit (i-esimo): x10ai1x1+ai2x2+ai3x30, con ai2=ai3=0 e ai1=1.

Tuttavia, in generale, si preferisce mantenere questi vincoli separati dagli altri vincoli del problema.

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88Ricerca Operativa


Nel modello appena introdotto, la funzione obiettivo potrebbe anche essere affine, cio avere la forma

,

con d costante reale.Da un punto di vista algoritmico non vi alcunadifferenza nellottimizzare funzioni che differiscono fraloro per una costante!

=

+n

jjj xcd

1

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89Ricerca Operativa


Il modello potrebbe essere scritto in una forma pi concisa:

Opt cTxs.v.

A1x=A2xA3x

riunendo i coefficienti di costo e le variabili decisionali in distinti vettori n-dimensionali

1

2

3

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90Ricerca Operativa


,

i termini noti in 3 vettori di diverse dimensioni (m1, m2e m3)

, ,

=

nc

cc

cM2

1

=

1

2

1

1

mb

bb

M

=

+

+

+

21

21

11

2

mm

m

m

b

bb

M

=

++

++

++

321

221

121

3

mmm

mm

mm

b

bb

M

=

nx

xx

xM2

1

Introduzione




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91Ricerca Operativa


e i coefficienti delle variabili decisionali nei vincoli in 3 diverse matrici di dimensione m1n, m2n e m3n rispettivamente

,

.

212 211 21

212 211 21

112 111 11

2

=

+++

+++

+++

nmmmmmm

nmmm

nmmm

aaa

aaaaaa

A

K

MMMM

K

K

3212 3211 321

2212 2211 221

1212 1211 121

3

=

++++++

++++++

++++++

nmmmmmmmmm

nmmmmmm

nmmmmmm

aaa

aaaaaa

A

K

MMMM

K

K

12111

22221

11211

1

=

nmmm

n

n

aaa

aaaaaa

A

K

MMMM

K

K

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92Ricerca Operativa


Il notevole peso dato ai modelli lineari si pu spiegare in vari modi:molti concetti e propriet relativi ai modelli lineari si possono ritrovare, con opportune varianti, anche in modelli pi complessi;i modelli lineari possono essere risolti molto efficientemente;moltissimi modelli applicativi sono effettivamente modelli lineari o possono ricondursi a essi;molti modelli non lineari possono essere approssimati efficacemente mediante opportuni modelli lineari.

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93Ricerca Operativa

Definizioni

Si consideri un problema P di PL con n incognite x1,x2,,xn che possono essere viste come le componenti di un vettore n-dimensionale x (come in precedenza).

Si definisce regione ammissibile linsieme X dei vettori xRn che soddisfano tutti i vincoli.P detto ammissibile se X. In caso contrario, si parla di problema inammissibile. Un vettore xRn detto ammissibile per P se xX.

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Regola di Bland


94Ricerca Operativa

Definizioni

Un vettore xRn una soluzione ottima per P se xXe il valore di funzione obiettivo a esso corrispondente minore o uguale al valore di funzione obiettivo corrispondente a un qualsiasi altro vettore appartenete a X se il problema di minimizzazione (maggiore o uguale se il problema di massimizzazione). P illimitato se per ogni kR esiste xX tale che zk se il problema di massimizzazione(z il valore di funzione obiettivo corrispondente a x).

Introduzione




RisoluzioneGrafica

Forma Standard


Fondamentale

Forma Canonica


Regola di Bland


95Ricerca Operativa

Iperpiani e semispazi affini

Sia Rn un vettore non nullo e un numero reale. Linsieme H = {xRn: Tx=} si definisce iperpiano (un iperpiano generalizza la nozione di retta in R2). Un iperpiano un insieme convesso.

Un iperpiano suddivide lo spazio Rn in due insiemiconvessi definiti semispazi affini

H = {xRn: Tx}H = {xRn: Tx}

(in R2, H e H corrispondono a 2 semipiani).

Nota: lintersezione di insiemi convessi un insiemeconvesso.

Introduzione




RisoluzioneGrafica

Forma Standard


Fondamentale

Forma Canonica


Regola di Bland


96Ricerca Operativa

Problemi di PL con 2 incognite

Quando un problema di PL contiene solamente due variabili decisionali (n=2), si pu utilizzare un piano cartesiano e determinare una soluzione in maniera elementare con semplici deduzioni geometriche. Sebbene i problemi di PL siano generalmente caratterizzati da un maggior numero di variabili, la modalit di risoluzione grafica costituisce un valido supporto per una migliore comprensione dei metodi di soluzione dei problemi di PL per via numerica.

Nello spazio R2, vincoli lineari possono essere rappresentati graficamente, individuando per ciascuno di essi la retta o il semipiano in cui soddisfatta la condizione che esprimono.

Introduzione




RisoluzioneGrafica

Forma Standard


Fondamentale

Forma Canonica


Regola di Bland


97Ricerca Operativa

Problemi di PL con 2 incognite

In particolare, un vincolo di uguaglianza corrisponde a una retta, mentre un vincolo di disuguaglianza corrisponde a un semipiano. Lintersezione delle rette e dei semipiani associati ai vincoli individua la regione ammissibile.

Poich la funzione obiettivo anchessa lineare, possibile individuare un fascio di rette parallele tra loro, ciascuna delle quali rappresenta linsieme dei punti che corrispondono a uno stesso valore di funzione obiettivo. Tali rette parallele, note come curve di livello, sono ortogonali alla direzione del vettore definito dai coefficienti della funzione obiettivo.

Introduzione




RisoluzioneGrafica

Forma Standard


Fondamentale

Forma Canonica


Regola di Bland


98Ricerca Operativa

Rappresentazione di un vincolo

Rappresentazione del vincolo di disuguaglianza S:2x1+3x26 (semipiano).

x1

x22x1+3x2=6

Introduzione




RisoluzioneGrafica

Forma Standard


Fondamentale

Forma Canonica


Regola di Bland


99Ricerca Operativa

Rappresentazione delle curve di livello

Sia cT=[3 2] il vettore dei coefficienti della funzione obiettivo di un problema di PL con 2 variabili decisionali. Le curve di livello sono rappresentate dalle rette 3x1+2x2=z ortogonali alla direzione del vettore definito dai coefficienti della funzione obiettivo. Il valore di funzione obiettivo cresce nel verso di questo vettore.

x1

z

x2

c

Introduzione




RisoluzioneGrafica

Forma Standard


Fondamentale

Forma Canonica


Regola di Bland


100Ricerca Operativa

Esempio 1 Max z = 3x1 + 5x2

x1 4x2 6

3x1 + 2x2 18x1, x2 0

La regione ammissibile di seguito rappresentata:

x 1

x 2

1 2 3 4 5 6 7 8

1

2

3

4

5

6

7

8

9

R e g io n e a m m iss ib il e

x2

x1

Introduzione




RisoluzioneGrafica

Forma Standard


Fondamentale

Forma Canonica


Regola di Bland



Esempio 1

Facendo variare il valore di z si ottengono delle curve di livello parallele. Lobiettivo quello di individuare la curva di livello ottima. Si rappresenta il vettore dei coefficienti della funzione obiettivo cT=[3 5] (vettore applicato nellorigine) e si disegna una retta a esso ortogonale (si disegna cio una qualsiasi curva di livello). Si fa scivolare tale retta parallelamente a se stessa nel verso dato da c(poich si sta considerando un problema di massimizzazione). Nota: Per problemi di minimizzazione, si fa scivolare la retta parallelamente a se stessa nel verso oppostoa quello di c.

Introduzione




RisoluzioneGrafica

Forma Standard


Fondamentale

Forma Canonica


Regola di Bland



Esempio 1Lultimo punto della regione ammissibile incontrato dalla retta rappresenta lottimo del problema di PL considerato. In questo caso, lottimo corrisponde al punto di intersezione delle rette: x2=6 e 3x1+2x2=18 x1=2; x2=6. Il valore di funzione obiettivo associato a tale punto : z*=36.

Introduzione




RisoluzioneGrafica

Forma Standard


Fondamentale

Forma Canonica


Regola di Bland



Esempio 1

x 1

x 2

1 2 3 4 5 6 7 8

1

2

3

4

5

6

7

8

9

R e g io n e a m m iss ib il e

x2

x1

ottimo

Introduzione




RisoluzioneGrafica

Forma Standard


Fondamentale

Forma Canonica


Regola di Bland



Esercizio: Rappresentare la regione ammissibile per il problema dellesempio 1 nel caso in cui il vincolo 3x1+2x2 18 rimpiazzato dal vincolo 3x1+ 2x2 =18. Lottimo del problema cambia?

Introduzione




RisoluzioneGrafica

Forma Standard


Fondamentale

Forma Canonica


Regola di Bland



Esempio 2 Min z = x1 + x2

3x1 + 2x2 5x1 + x2 1x1, x2 0

La regione ammissibile un insieme vuoto: il problema inammissibile!

x1

x2

1

1

5/2

5/3 x1

x2

Introduzione




RisoluzioneGrafica

Forma Standard


Fondamentale

Forma Canonica


Regola di Bland



Esempio 3 Risolvere graficamente i seguenti problemi di PL

Max z = x1 + x2s.v.

x1 x2 0x2 1

x1 , x2 0

Min z = x1 + x2s.v.

x1 x2 0x2 1

x1 , x2 0

Introduzione




RisoluzioneGrafica

Forma Standard


Fondamentale

Forma Canonica


Regola di Bland



Esempio 3 La regione ammissibile dei due problemi identica, come identico il vettore dei coefficienti della funzione obiettivo.

x1

x2

c

Introduzione




RisoluzioneGrafica

Forma Standard


Fondamentale

Forma Canonica


Regola di Bland



Esempio 3 Poich cT=[1 1], la soluzione ottima del problema di massimizzazione x*T=[0 1] (con z*=1).

Il problema di minimizzazione, invece, ammette infinite soluzioni ottime poich la curva di livello corrispondente a z=0 coincide con la retta che definisce il primo vincolo. Essa corrisponde infatti a x1+x2=z=0 x1 x2=0.Le infinite soluzioni ottime sono del tipo:

x*() = +(1) , con [0,1] e z*=0.

00

11

Introduzione




RisoluzioneGrafica

Forma Standard


Fondamentale

Forma Canonica


Regola di Bland



Esempio 4 Min z = x1 0,5 x2

x1 + x2 0x1 + x2 1x1 , x2 0

Il problema illimitato!

x1c

x2

Introduzione




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Forma Standard


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Forma Canonica


Regola di Bland



Forma standard di un problema di PL

Un problema di PL pu essere rappresentato in vari modi equivalenti. Talvolta risulta utile ricondursi alla cosiddetta forma standard:

Mins.v.

= bi , i=1,,m

xj 0 , j=1,,n

Naturalmente, lo stesso problema pu essere espresso in una forma pi concisa:

=

n

jjj xc

1

=

n

jjij xa

1

Introduzione




RisoluzioneGrafica

Forma Standard


Fondamentale

Forma Canonica


Regola di Bland



Forma standard di un problema di PL

Min cTxs.v.

Ax=bx 0n

dove:

, , , .

21

22221

11211

=

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

A

K

MMMM

K

K

=

mb

bb

bM2

1

=

nc

cc

cM2

1

=

nx

xx

xM2

1

Introduzione




RisoluzioneGrafica

Forma Standard


Fondamentale

Forma Canonica


Regola di Bland



Trasformazioni

Un problema di programmazione lineare potrebbe non essere naturalmente nella forma standard.

Ricondurre un problema alla forma standardMax MinVincoli di disuguaglianza Vincoli di uguaglianzaVariabili non positive o non

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