Ricerca operativaRicerca operativa

Teoria delle Teoria delle decisionidecisioni

SommarioSommario

IntroduzioneIntroduzione

Fasi di uno studio di ricerca operativa

Definizione di ricerca operativa

Premesse

Problemi di scelta

Esempi

Chiudi

IntroduzioneIntroduzione

Uno dei fenomeni caratteristici di questo secolo è la rapida espansione delleUno dei fenomeni caratteristici di questo secolo è la rapida espansione delle organizzazioni umane, sia nelle loro dimensioni sia nella loro complessità.organizzazioni umane, sia nelle loro dimensioni sia nella loro complessità.Viste le dimensioni delle imprese moderne, le scelte direzionali possono coinvolgereViste le dimensioni delle imprese moderne, le scelte direzionali possono coinvolgere quantità notevoli di capitali e risorse umane.quantità notevoli di capitali e risorse umane. Le conseguenze di una scelta sbagliata possono mandare in fumo anni di lavoro Le conseguenze di una scelta sbagliata possono mandare in fumo anni di lavoro ed ingenti capitali; D’altro canto il ritmo della vita e dell’economia attuali ed ingenti capitali; D’altro canto il ritmo della vita e dell’economia attuali esigono decisioni in tempi rapidi.esigono decisioni in tempi rapidi.Per questi motivi sono nati metodi e tecniche capaci di dare una base più obbiettivaPer questi motivi sono nati metodi e tecniche capaci di dare una base più obbiettivae meno frammentaria alle decisioni che si devono prendere in qualsiasi campoe meno frammentaria alle decisioni che si devono prendere in qualsiasi campodell’attività umana.dell’attività umana.La ricerca operativa si occupa delle tecniche e dei metodi che sono di supporto alle La ricerca operativa si occupa delle tecniche e dei metodi che sono di supporto alle decisioni in campo economico ed organizzativo.decisioni in campo economico ed organizzativo.

Sommario

PremessePremesse

Il termine “ RICERCA OPERATIVA” sembra sia stato usato per la prima Il termine “ RICERCA OPERATIVA” sembra sia stato usato per la prima volta nel 1939, ma una volta individuata e definita la RO, le sue origini volta nel 1939, ma una volta individuata e definita la RO, le sue origini furono fatte risalire a tempi molto lontani della scienza e della società.furono fatte risalire a tempi molto lontani della scienza e della società.

Fra gli esempi isolati, ma importanti di anticipazione dei metodi della RO Fra gli esempi isolati, ma importanti di anticipazione dei metodi della RO possiamo ricordare i seguenti :possiamo ricordare i seguenti :

• Nel 1776 il matematico G.MONGE ha affrontato un problema di Nel 1776 il matematico G.MONGE ha affrontato un problema di trasporti esaminandone con metodi analitici gli aspetti economici.trasporti esaminandone con metodi analitici gli aspetti economici.

• Nel 1885 F.W. TAYLOR ha pubblicato uno studio sui metodi di Nel 1885 F.W. TAYLOR ha pubblicato uno studio sui metodi di produzioneproduzione

• Nel 1908 A.K. ERLANG ha studiato il problema della congestione del Nel 1908 A.K. ERLANG ha studiato il problema della congestione del traffico telefonico.traffico telefonico.

Tuttavia il progresso della RO non si sarebbe forse verificato se non fosse Tuttavia il progresso della RO non si sarebbe forse verificato se non fosse stato per i suoi sviluppi nelle organizzazioni militari durante la seconda stato per i suoi sviluppi nelle organizzazioni militari durante la seconda guerra mondiale.guerra mondiale. ContinuaContinua

I responsabili militari inglesi si rivolsero agli scienziati per chiedere il loro I responsabili militari inglesi si rivolsero agli scienziati per chiedere il loro aiuto, quando iniziò l’attacco aereo tedesco sulla Gran Bretagna.aiuto, quando iniziò l’attacco aereo tedesco sulla Gran Bretagna.

L’aiuto specifico chiesto agli scienziati riguardava l’adozione del radar nella L’aiuto specifico chiesto agli scienziati riguardava l’adozione del radar nella strategia di difesa aerea.strategia di difesa aerea.

Piccoli gruppi di scienziati, provenienti da diverse discipline, lavorarono su Piccoli gruppi di scienziati, provenienti da diverse discipline, lavorarono su questi problemi con notevole successo nel 1939,1940.questi problemi con notevole successo nel 1939,1940.

Questi gruppi di scienziati venivano generalmente assegnati i responsabili Questi gruppi di scienziati venivano generalmente assegnati i responsabili delle operazioni militari e quindi il loro lavoro divenne noto come “Ricerca delle operazioni militari e quindi il loro lavoro divenne noto come “Ricerca Operativa”.Operativa”.

Durante la guerra altri gruppi di scienziati fiancheggiarono i responsabili Durante la guerra altri gruppi di scienziati fiancheggiarono i responsabili militari americani, è da ricordare lo studio fatto per approvvigionare i militari americani, è da ricordare lo studio fatto per approvvigionare i reparti militari chereparti militari che

operavano in Africa od in Europa, in modo da rendere minime le perdite operavano in Africa od in Europa, in modo da rendere minime le perdite causate dagli attacchi aerei tedeschi durante l’attraversamento causate dagli attacchi aerei tedeschi durante l’attraversamento dell’Oceano Atlantico.dell’Oceano Atlantico.

Si trattava di scegliere tra convogli di grosse dimensioni e superdifesi e Si trattava di scegliere tra convogli di grosse dimensioni e superdifesi e piccoli convogli con una difesa più agile e meno dispendiosa. Per la piccoli convogli con una difesa più agile e meno dispendiosa. Per la cronaca fu scelta questa seconda via.cronaca fu scelta questa seconda via.

Dopo la guerra, questi operatori vennero, poco a poco, assorbiti dall’industria, Dopo la guerra, questi operatori vennero, poco a poco, assorbiti dall’industria, dalle aziende di consulenza, da università e da organizzazioni statali.dalle aziende di consulenza, da università e da organizzazioni statali.

Oggi la maggior parte delle grandi imprese si serve della RO.Oggi la maggior parte delle grandi imprese si serve della RO.Nel 1957 fu stabilita la ‘International Federation of Operational Research’Nel 1957 fu stabilita la ‘International Federation of Operational Research’

Premesse (continua)

Sommario

Definizione di ricerca operativaDefinizione di ricerca operativaDare una definizione di RO per dichiararne gli scopi e farne Dare una definizione di RO per dichiararne gli scopi e farne

intendere la natura non è facile.intendere la natura non è facile.Si potrebbe definire:Si potrebbe definire: “ “ L’ arte di rispondere male a quei quesiti a cui altrimenti si L’ arte di rispondere male a quei quesiti a cui altrimenti si

risponderebbe peggiorisponderebbe peggio””Questa definizione , più che una battuta, vuole mettere in Questa definizione , più che una battuta, vuole mettere in

evidenza la difficoltà di applicazione, ma nello stesso tempo, evidenza la difficoltà di applicazione, ma nello stesso tempo, la necessità della ricerca operativa. la necessità della ricerca operativa.

Fra le molte definizioni che si sono date la migliore è da ritenere Fra le molte definizioni che si sono date la migliore è da ritenere questa:questa:

“ “La Ricerca Operativa è la preparazione scientifica delle La Ricerca Operativa è la preparazione scientifica delle decisionidecisioni””

Più precisamente:Più precisamente: La Ricerca operativa èLa Ricerca operativa è l’applicazione del metodo scientificol’applicazione del metodo scientifico da da

parte di gruppi interdisciplinariparte di gruppi interdisciplinari a problemi che implicano il a problemi che implicano il controllo di sistemi organizzati (uomo-macchina) allo scopo di controllo di sistemi organizzati (uomo-macchina) allo scopo di fornire soluzioni che meglio servano alle finalità fornire soluzioni che meglio servano alle finalità dell’organizzazione nel suo insiemedell’organizzazione nel suo insieme..

Sommario

Fasi di una ricerca operativa

1 – Formulazione del problema

2 – Raccolta dei dati

3 – Costruzione del modello matematico

4 – Ricerca di una soluzione

5 – Controllo del modello

e della soluzione

6 – Attuazione eaggiornamentodella soluzione

Sommario

Formulazione del problemaFormulazione del problema

Contrariamente agli esempi didattici, i problemi pratici sono comunicati ad un gruppo di RO in modo vago ed impreciso.

E’ quindi necessario ben determinare gli obbiettivi appropriati, i vincoli da porre, le intercorrelazioni tra il settore da studiare e gli altri settori dell’organizzazione ecc…

Questa fase è fondamentale, perché influenza molto le conclusioni dello studio e sfocia nella seconda fase dello studio cioè la raccolta dei dati.

Fasi

Costruzione del modello matematicoCostruzione del modello matematico

I modelli matematici sono rappresentazioni astratte di situazioni reali espresse in termini di simboli ed espressioni matematiche.

Ci sarà sempre una funzione obbiettivo (o funzione di utilità, o funzione economica) da massimizzare(ricavi, profitti, vendite) o minimizzare(costi, perdite, macchinari,

infrastrutture); tale funzione dipenderà da una o più variabili d’azione (o variabili di decisione) di cui si dovranno determinare i rispettivi valori.

Le variabili spesso sono legate tra di loro, e devono sottostare a determinate limitazioni.

Tutto questo sarà rappresentato nel modello da equazioni e da disequazioni.

Fasi

Ricerca di una soluzioneRicerca di una soluzione

Creato il modello matematico, si cerca, se esiste, la soluzione ottimale, o con i metodi della matematica classica, o con metodi di analisi numerica, oppure con tecniche di iterazione partendo da una soluzione e cercando di migliorarla.

Una soluzione ottimale è quella che massimizza o minimizza (a seconda dei casi) la misura del rendimento in un modello.

L’ottimizzazione produce, quindi, la soluzione ottima del problema che viene formulato sotto forma di modello.

Poiché un modello non è mai una rappresentazione perfetta del problema reale, la soluzione non è mai la migliore soluzione del problema, ma tanto più si avvicinerà alla migliore soluzione quanto più il modello sarà ben costruito.

Fasi

Controllo del modello e della soluzioneControllo del modello e della soluzione

Trovata la soluzione ottimale nel modello, bisogna verificare la corrispondenza tra il modello e la realtà e la soluzione deve essere valutata.

In pratica il funzionamento del modello deve essere confrontato con la politica o la procedura che deve sostituire.

Alcuni controlli utili per il modello sono questi :

• Controllare se esistono errori banali ( di trascrizione, di calcolo, …), se si sono dimenticati fattori o relazioni importanti.

• Controllare che tutte le espressioni matematiche siano dimensionalmente coerenti con le unità di misura usate.

• Variare i parametri di input, le variabili di decisione e controllare se i risultati sono attendibili.

Fasi

Attuazione e aggiornamento della soluzioneAttuazione e aggiornamento della soluzione

Dato che l’obbiettivo della RO non è solo quello di produrre rapporti ma, soprattutto, di migliorare il comportamento di sistemi, i risultati devono essere praticamente attuati, dopo essere stati accettati da coloro che devono prendere delle decisioni.

A questo punto si fa l’ ultima prova e valutazione della ricerca.

Infine, se la decisione oggetto dello studio dovrà essere presa più volte, bisognerà controllare il modello in modo che si adegui sempre più alla realtà, e se occorre, aggiornarlo.

Fasi

Problemi di scelta

Condizioni di certezza Condizioni di incertezza

Effetti Immediati Effetti differiti

Campo di scelta discreto

Campo di scelta continuo

Ogn

i via

dà

un r

isul

tato

In f

unzi

one

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na v

aria

bile

Ogn

i via

dà

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nico

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A p

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aria

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azio

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Inve

stim

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ari

Inve

stim

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indu

stri

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Eff

etti

imm

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ti

Eff

etti

dif

feri

ti

Sommario

EsempiEsempi

Effetti ImmediatiEffetti ImmediatiEffetti differiti

Condizioni Certezza

Condizioni Incertezza

Effetti Immediati

Effetti differiti

Campo di scelta Discreto

Campo di scelta Continuo

Sommario

1 Variabile

2 o più Variabili

Campo scelta discretoCampo scelta discretoAd una industria viene richiesta la fornitura di un prodotto fabbricato in serie di 200 pezzi ciascuna,

in quantità non inferiore a 1200 pezzi giornalieri. Il prezzo per la fornitura di una sola serie al giorno

è di L 400.000, per due serie è di L 390000 ciascuna, per tre serie di L 380.000 ciascuna, e cosi via .

Il costo di fabbricazione è di L 150.000 per ogni serie, più L 300.000 giornaliere fisse. Determinare

il numero più conveniente di serie da fabbricare ogni giorno, tenendo presente che esso non

può essere maggiore di 15. Soluzione

Per trasportare della merce, ci si può servire di 3 imprese A, B, C, le quali offrono i loro servizi

alle seguenti condizioni :

A) L 75.000 a tonnellata

B) L 150.000 fisse, più L 6.000 a tonnellata

C) L 350.000 fisse, più L 5.000 a tonnellata

Determinare quando sarà più conveniente servirsi di ciascuna delle tre imprese.

SoluzionePer il noleggio di un autocarro è previsto un compenso di L 80 al Km più un canone

fisso giornaliero. L’ utente può scegliere il canone tra i seguenti :

A) L 50.000 con 100 Km gratuiti

B) L 55.000 con 200 Km gratuiti

C) L 60.000 con 300 Km gratuiti

Determinare l’ alternativa più conveniente a seconda della distanza giornaliera da percorrere.

SoluzioneEsempi

Indichiamo con x il numero di serie di pezzi da fabbricare giornalmente

Il prezzo unitario per serie 400.000 -10.000(x-1)I ricavi saranno R=[400.000 -10.000(x-1)]xIl costo giornaliero sarà C=150.000x + 300.000

Utile giornaliero f(x) = R - C = [400.000 -10.000(x-1)]x - (150.000x + 300.000)

x R(x) C(x) f(x)1 400000 450000 -500002 780000 600000 1800003 1140000 750000 3900004 1480000 900000 5800005 1800000 1050000 7500006 2100000 1200000 9000007 2380000 1350000 10300008 2640000 1500000 11400009 2880000 1650000 123000010 3100000 1800000 130000011 3300000 1950000 135000012 3480000 2100000 138000013 3640000 2250000 139000014 3780000 2400000 138000015 3900000 2550000 1350000

-500000

0

500000

1000000

1500000

2000000

2500000

3000000

3500000

4000000

4500000

0 5 10 15 20

R(x)C(x)f(x)

Campo scelta

Fino a 100 tonnellate Impresa A

Campo scelta

Tra 100 e 200 Impresa BOltre 200 impresa C

Impresa A

Impresa B

Impresa C

Canone A:50.000 per km<10050.000 +(x-100)*80 per km>=100

Canone B:55.000 per km<20055.000 +(x-200)*80 per km>=200

Canone C:60.000 per km<30060.000 +(x-300)*80 per km>=300

KM A B C20 50000 55000 6000040 50000 55000 6000060 50000 55000 6000080 50000 55000 60000100 50000 55000 60000120 51600 55000 60000140 53200 55000 60000160 54800 55000 60000180 56400 55000 60000200 58000 55000 60000220 59600 56600 60000240 61200 58200 60000260 62800 59800 60000280 64400 61400 60000300 66000 63000 60000320 67600 64600 61600340 69200 66200 63200360 70800 67800 64800

40000

45000

50000

55000

60000

65000

70000

75000

0 100 200 300 400

A

B

C

Campo scelta

Canone B fino a 262,5Fino Km 162,5 canone A Poi canone C

Campo Scelta continuo con una variabile azioneUn’ industria può produrre al massimo 110.000 litri di birra al giorno.Il prezzo unitario base

di vendita è L 250 al litro, e diminuisce proporzionalmente alla quantità x venduta secondo la

seguente relazione 250 – 0,002 x , cioè del 2 per 1000 per ogni litro venduto.

Il costo di produzione giornaliera comporta una spesa di L 500.000 più 40 – 0,001x per

ogni litro prodotto. Determinare la quantità di birra da produrre per ottenere il massimo

guadagno supponendo che tutta la produzione venga venduta.

SoluzioneI dati relativi a un magazzino di una industria sono i seguenti

a) Consumo giornaliero di materia prima : 100 q

b) Costo di magazzinaggio : L 5 al q/giorno

c) Spesa fissa per ordinazione : L 100.000

Determinare il Lotto economico di acquisto ed il numero di ordinazioni annue

Teoria Soluzione

In una fabbrica di scarpe si sostiene una spesa fissa giornaliera di L 5.290.000 più una spesa

per ogni paio di scarpe, variabile secondo la legge

10.000 + 0,4 x

Dove x è il numero di paia di scarpe prodotto giornalmente. Determinare x in modo tale che

il costo di un paio di scarpe sia minimo, nelle due ipotesi :

a) Che la massima capacità produttiva sia di 10.000 paia al giorno

b) Che la massima capacità produttiva sia di 15.000 paia al giorno.

SoluzioneEsempi

Funzione obbiettivo P(x)=R(x)-C(x)= - 0,0019x^2 +210 x – 500000 (Parabola)

Massimo nel Vertice x = 55263

Campo scelta continuo

Problema delle scorte di magazzino (Lotto economico d’acquisto)

Un tipico problema di scelta nel continuo è il problema delle scorte di magazzino.

Si tratta di minimizzare i costi di approvvigionamento e di stoccaggio di materia prima che occorre

ad una impresa nel suo ciclo di produzione. Dobbiamo considerare tre tipi di costo :

•Costi della materia prima

•Costi fissi per ogni ordinazione

•Costi di magazzinaggio

Osserviamo subito che, per limitare i costi di ordinazione, bisognerebbe fare poche ordinazioni ma di

grosse quantità , questo però aumenterebbe i costi di magazzino. Infatti i costi di magazzinaggio

dipendono dalla quantità immagazzinata.

Per costruire il modello matematico (in questo caso il modello sarà una iperbole non equilatera)

facciamo alcune astrazioni :

•Il consumo di materia prima sia costante nell’unità di tempo

•Il prezzo unitario di acquisto sia costante (non ci siano sconti di quantità)

•Le spese di magazzinaggio siano direttamente proporzionali alla quantità immagazzinata

La funzione obbiettivo Y, da minimizzare, è il costo complessivo

(Costo della materia prima + Costi fissi per tutte le ordinazioni annuali + Costi per lo stoccaggio ) .

Essa dipende dalla quantità X di materia prima di ogni ordinazione e dal numero di ordinazioni.

Indicato con Q il fabbisogno annuo di materia prima, il numero di ordinazioni è Q/X.

Chiamiamo C1 il costo fisso di ogni ordinazione

Chiamiamo C2 il costo di stoccaggio espresso in L/unità-giorno(Es. L 5 al quintale per ogni giorno)

Avendo supposto che il consumo sia costante nel periodo di tempo la giacenza in magazzino sarà X

all’ inizio del periodo e nulla cioè 0 alla fine. Mediamente sarà (X+0)/2, cioè X/2. ( Grafico)

Continua

Problema delle scorte di magazzino (continua)

Troviamo, ora, il costo totale da minimizzare, esso è dato da :

•Costo totale di ordinazione C1*(Q/X)

•Costo di magazzinaggio (x/2)*C2*360 = 180 * C2 * X

Y = 180*C2*X + C1*(Q/X)

Funzione del tipo Y=aX + b/X

Per trovare il Minimo vediamo dove si annulla la derivata prima:

2*180

*1

*1

2*180

02

2'

C

QCX

QCb

Caa

bX

X

ba

X

baY

X

baXY

La soluzione negativa per x non va accettata perché nel nostro caso è priva di significato.

Campo scelta continuo

XX

Y

xX

Y

C

C

Q

*9003600000000

*5*18036000

*100000

52

1000001

36000360*100

Campo scelta continuo

Il lotto economico d’acquisto è 2000 e si

fanno 18 ordinazioni all’anno.

Derivata prima

Valori che

annullano la

derivata prima

Minimo

La funzione obbiettivo è il costo medio, da minimizzare

10.000 15.000

10.92910.921

Ipotesi A: Per minimizzare il costo medio bisogna produrre fino al massimo della capacità produttiva, 10.000 paia al giorno con il costo di L. 10929 al paio.

Ipotesi B: Per minimizzare il costo medio bisogna produrre 11.500 paia al costo di L. 10921 al paio.

Campo scelta continuo

Capacità Produttiva

Ipotesi A

Capacità Produttiva

Ipotesi B

Derivata prima

Valori che

annullano la

Derivata prima

Problemi tipici di questo tipo sono quelli risolvibili

con la programmazione lineare

Esempi

In un deposito, di una casa editrice, che può portare 120 q, si possono immettere per un volume

massimo di 16 m cubi, due tipi di pacchi contenenti rispettivamente 10 dizionari di formato piccolo e

10 di formato grande:

•Ogni pacco del primo tipo ha volume di 0,01 m cubi e pesa 5 Kg

•Ogni pacco del secondo tipo ha volume di 0,02 m cubi e pesa 20 Kg

Nell’ipotesi che tutti i pacchi siano venduti e che il prezzo di ogni dizionario piccolo sia di L 9.000 e

quello di formato grande sia di L 20.000, determinare la ripartizione dei pacchi che consenta il

massimo ricavo. Soluzione

Facciamo ora un esempio di funzione obbiettivo non lineareUn’ impresa produce due beni x ed y, la funzione costo è data da C = 140x + 190y

I prezzi di vendita sono p1 e p2 rispettivamente per x e per y, dove

p1 = 660 – 0,8x – 0,2y e p2 = 620 – 0,6x – 0,4y . Determinare la quantità di x e quella di y

che massimizzano il profitto. Soluzione

Un’industria fabbrica due tipi di prodotto A e B che richiedono rispettivamente 20 e 30 minuti di macchina e 20, 10 minuti di lavoro manuale. La fabbrica può disporre al massimo di 1200 ore-macchina e di 800 ore-operaio.Determinare le quantità dei due prodotti che conviene produrre giornalmente per avere il massimo utile, sapendo che la vendita di una unità di A procura un utile di L 4.000 ed una unità di B L 5.000 Soluzione

0yx,

48.00010y 20x

72.00030y 20x

: Vincoli

5.000y 4.000x z

obiettivo Funzione

Regione ammissibile

Vertici

Vertici

z(0,0)=0

z(0,2400)=12.000.000

z(2400,0)=11.600.000

z(1800,1200)=13.200.000

Massimo

Programmazione lineare

Modello

Matematico

A(0,0);C(2400,0); D(1800,1200

)

B(0,2400);

Valori

0yx,

12.00020y5x

1.6002yx

:echiaramentPiù

segno di Vincoli 0yx,

1200,20y0,05x

160,02y0,01x

:Vincoli

200.000y 90.000x z

10)y*(20.000 10)x *(9.000z

obiettivo Funzione

Modello

matematico

Regione ammissibile

Vertici

Vertici

z(0,0)=0

z(1600,0)=144.000.000

z(0,600)=120.000.000

z(800,400)=152.000.000

Massimo

Programmazione lineare

A(0,0);

B(1600,0);

C(0,600);

D(800,400).

6

obbiettivo Funzione430y 520x0,8xy0,4y0,8xz

190y140xy0,4y0,6x620x0,2y0,8x660z

ypxpC-Rz

:profitto il è obbettivo funzione La

22

21

z=120000

z=120625

112,5

425

Evidenziamo solo la parte positiva della funzione obiettivo, in quanto la parte negativa non ci interessa

Tracciamo le curve di livello con

z=0z=50.000z=100.000z=120.000z=120.625

Massimo

x=112,5 y=425

Programmazione lineare

Problema delle scorte di magazzino (Lotto economico d’acquisto)